1795120258 probl seminar etc

7/23/2019 1795120258 Probl Seminar Etc

1/18

Problema 1.1

Sse obinecuaiile vitezei i spaiului pentru un punct material de mas m asupracruia acioneazfora F

r

, constant, tiind cla momentul iniial mobilul se afln punctulde coordonat 0r

r

i are viteza 0vr

, orientatpe direcia forei.

Rezolvare:Alegem un sistem de referin astfel nct axa Ox s fie pe direcia forei (fig. 1.1).

Astfel, la t=0:

=

=

=

=

=

=

=

=

=

0

0

r

0

0

0

0

0

0

00x

0

0

00x

z

y

z

y

z

y

x

r

r

x

v

v

vv

F

F

FF

(1.1)

Legea a doua a dinamicii: Fdt

vdm

r

r

= conduce la trei ecuaii scalare:

Fdt

dv

m x

=

0=dt

dvm

y (1.2)

dt

dvm z =0

Notm constamF ==/ , astfel cprima ecuaie a grupului (1.2) se scriesuccesiv:

a

dt

dvx = ; adtdvx = ;

= adtdvx ; 1catvx += Constanta de integrare 1c se afl innd seama c la 00,0 vvvt xx === ; rezult

01 vc = iar expresia componentei vitezei dupOx este: 0vatvx += .

Dar se tie cdt

dxvx = , i deci 0vat

dt

dx+= din care rezult succesiv:

dtvatdtdx 0+= ; =dx + tvatdt 0 ; 202

2

1ctvatx ++= . Dar la 0,0 xxt == , rezult

02 xc = i deci ecuaia spaiului dupOx este:

002

2

1xtvatx ++=

Pentru studiul micrii dup direcia Oy, din a doua ecuaie a grupului (1.2),

0=dt

dvy, se obine 3. cconstvy == . Dar la 0,0 0 === yy vvt , rezult 03=c i deci

ecuaia vitezei dupOy este 0=yv .

0rr

0vr

F

z

x

y

O

Fig. 1.1


2/18

Din 0==dt

dyvy se obine 4. cconsty == i innd seama c la 0,0 0 === yryt

rezult 04 =c i deci ecuaia spaiului dupOy este 0=y .Asemntor, ecuaiile vitezei i spaiului dup Oz vor fi 0=zv i 0=z i astfel

micarea punctului material este complet determinat.

Problema 1.2

Vectorul de poziie al unei particule este kjtitrr

rrr

743 22 ++= , exprimat n mcnd timpul tse exprimn s. Sse afle:

a) vectorii vitezi acceleraie;b) deplasarea particulei n primele 10 secunde de micare.

Rspuns: a) jiajtitvrr

rrr

r

86;86 +=+= ; b) jirrr

r

400300 += .

Problema 1.3

Un corp de masm=2 kg este plasat pe suprafaa Pmntului. Asupra sa acioneazpeverticaln sus o forF=100 N. tiind cg=10 m/s2,

se cere:

a)

acceleraia i viteza corpului dupparcurgerea distanei de 10 m;b) energia cinetici energia poteniala corpului dupparcurgerea acestei distane;c)

variaia energiei cinetice, poteniale i totale pe aceastdistan;d)

precizai forele care acioneazi natura lor, apoi calculai lucrul mecanic efectuat defiecare;

e) verificai teoremele variaiei energiei cinetice, energiei poteniale i totale pentru acestcaz.

Rspuns: a) a=40 m/s2; v=202 m/s; b) Ec=800 J; U=200 J; c) Ec=800 J; U=200 J;Et=1000 J; d)F-neconservativ(traciune); G-conservativ;F-G rezultanta;LF=1000 J;LG= - 200 J;LF-G=800 J; e)LF-G=Ec;LG=-U;LF=Et.

Problema 1.4Ce se poate spune despre traiectoria unui punct material al crui vector vitezse schimb:a)

numai n mrime;b)

numai n direcie.

Problema 1.5

Un punct material cu masa m=6 kg se mic rectiliniu sub aciunea forei F=3+4texprimatn N, cnd tse msoarn secunde. Sse afle dependena de timp a acceleraiei sivitezei precum si valorile acestora la momentul =3s dac la t=0, v0=0. Care este vitezamedie pe acest interval?

Problema 1.6Pentru mobilul din problema precedent s se determine legea de micare (dependena

lui x de timp).

Problema 1.7

Sse arate cn cazul micrii rectilinie uniform accelerat(a=constant) viteza medie pe

un interval [t1,t2] poate fi calculatcu formula( ) ( )

221 tvtvvm

+= .

Problema 1.8


3/18

Un punct material cu m=6 kg se micde-a lungul axei Ox sub aciunea forei F=3+4x,exprimat n N cnd x se msoar n m. Mobilul ncepe micarea din origine.. Care estedependena de x a acceleraiei i vitezei i ce valori au aceste mrimi dup parcurgereadistanei d=4 m?

Problema 1.9

Raza vectoare (vectorul de poziie) a unui punct mobil M, variazn funcie de timp,duplegea jtitr

rrr 243 = , unde ji

r

, sunt versorii axelor.Sse determine:

a)

Dimensiunea coeficienilor 3 i 4.b) Ecuaiile parametrice i ecuaia cartezian )(xy a traiectoriei, precum i reprezentarea

grafica traiectoriei.c) Vectorii vitezi acceleraie, precum i modulele lor, n funcie de timp.d)

Reprezentarea grafica celor doi vectori i unghiul ntre vectorii acceleraie ivitez, n funcie de timp.

e)

Vectorul mvr

, pentru primele secunde ale micrii.

Problema 1.10Micarea unui punct material n planul xOy este descrisde ecuaiile parametrice tx =

i )1( tty = unde i sunt constante pozitive, iar teste timpul. Sse determine:a)

ecuaia traiectorieiy(x)i reprezentarea ei grafic;b)

viteza vr

i acceleraia ar

precum i modulele lor, n funcie de timp;c) momentul de timp t0la care vectorul vitezface unghiul 4/ cu vectorul acceleraie.

Problema 1.11

Vectorul de poziie al unei particule este kjtitrr

rrr

743 22 ++= (m). Sse afle:a)

Vectorii vitezi acceleraie precum i natura micrii;b) Modulul vitezei particulei;

c)

Distanasparcursde particuln primele 10 s de micare;d)

Mrimea deplasrii rr

n acelai timp;

e) Sse explice rezultatele obinute.

Problema 1.12

Raza vectoare a unei particule variazn funcie de timp duplegea)1( ttbr =

r

r

unde br

este un vector constant iar - o constantpozitiv. Sse determine:a)

intervalul de timp la captul cruia particula revine n poziia iniialct i drumulsparcurs n acest timp;

b) ce semnificaie au br

i ?

Problema 1.13Pe un plan orizontal se aflun corp de masm. La momentul t=0, corpului i se aplicfora

orizontal tbFrr

= , unde br

este un vector constant. Daccoeficientul de frecare dintre corp iplan este , sse afle:

a)

momentul de timp la care ncepe micarea corpului;b) dependena de timp a vitezei corpului;c) legea de micarex(t).


4/18

Problema 1.14

O particulde masmncepe sse mite la t=0 sub aciunea unei fore tFF sin0rr

= ,

unde 0Fr

i sunt constante. Sse determine legea vitezei i distana parcursde particuln

timpul t. Sse traseze graficul distanei n funcie de timp.

Problema 1.15O particulde masmncepe sse mite la t=0 sub aciunea forei tFF cos0

rr

= , unde 0Fr

i sunt constante. Sse gseasc:a)

legea vitezei;b)

timpul de micare pnla prima oprire;c)

distana parcursde particuln acest timp;d)

viteza maxima particulei pe aceastdistan.

Problema 1.16

Asupra unei particule de masm, aflatn repaus, se aplic, la t=0, o forcare variazn timp duplegea )( ttbF =

rr

, unde br

este un vector constant iar este timpul ct

acioneazfora. Sse determine:a)

expresia impulsului particulei i mrimea impulsului la ncetarea aciunii forei;b) Distana parcursde perticuln timp ce acioneazfora.

Problema 1.16 bis

Impulsul unui corp cu masa m=2 kg variazduplegea kjtitpr

rrr

+= 42 . Sse afle:a) momentul kinetic al corpului cnd se afln punctul cu vectorul de poziie

kjirrrr

r

+= 230 ;b) energia cinetica corpului la momentul t=1s;

c) puterea forei care acioneazasupra corpului.

Problema 1.16 bis bis

Impulsul unui corp variazduplegea kjtitpr

rrr

+= 32 . Sse afle:a) momentul fade origine al forei care acioneazasupra corpului cnd acesta se afln

punctual cu vectorul de poziie jirrr

r

230 = ;b) fora care acioneazasupra corpului la momentul t=1s i reprezentarea grafica forei nacel moment;c) braul forei n punctual 0r

r

.

Problema 1.17

Douvehicule sunt oprite bar-n bar la semafor. Vehiculul din fapornete cuacceleraie constantape durata T. Al doilea vehicul pornete i el, dar meninnd o distan

proporionalcu viteza sa. Sse descrie micarea celui de al doilea vehicul pe durata T.

Problema 1.18

Dac se aplic un cmp electric cu intensitatea Er

, electronii liberi dintr-un metal, desarcin q i mas m, sunt antrenai sub aciunea forei electrice, ntr-o micare dirijat (dedrift). Dac se presupune c electronii ntmpin la naintare o rezisten proporional cu


5/18

viteza lor, vrFrr

r

= , s se obin legea vitezei i s se arate c viteza de naintare aelectronilor tinde la o valoare constant(de regim staionar). Sse reprezinte graficul vitezei.

Rezolvare:Se apliclegea a doua a dinamicii n forma (1.16):

dt

vdmFF rel

r

rr

=+

din care, dupnlocuirea forelor cu expresiile lor i proiectarea tuturor vectorilor pe direciade micare, se obine, succesiv:

dt

dvmrvqE =

rvqE

mdvdt

=

=

rvqE

mdvdt

CrvqEr

mt += )ln(

n care constanta de integrare C se determin impunnd condiia iniial: la t=0, vitezaelectronului este v=0; rezult:

qEr

mCCqE

r

mln;ln0 =+=

astfel cse obine

rvqE

qE

r

mt

= ln

din care rezultlegea cutat:

=

m

rt

er

qEv 1 .

Problema 1.19

Sse stabilesctimpul (numit timp de relaxare), dupcare abaterea relativa vitezei deantrenare a electronilor din problema precedentfade viteza de regim staionar devine mai

micdecte

1(e=2.71...).

Problema 1.20

Folosind definiia intensitii curentului electric, s se exprime, n funcie de viteza deregim staionar a electronilor, intensitatea curentului care se stabilete ntr-un conductor cndse aplic la capetele sale tensiunea electric U. Comparnd expresia obinut cu legea lui

Ohm, sse arate crezistivitatea electrica conductorului se exprimprin

2nq

me = , n care

neste concentraia electronilor liberi din conductor.


6/18

Problema 1.21

Sse evalueze timpul de relaxare a electronilor n Cu tiind cfiecare atom de Cu dnzona de conducie un electron de valen. Se mai cunosc Cu=610

7-1m-1 (conductivitateaelectric), NA=610

23 atomi/atomgram (numrul lui Avogadro), m=9,110-31 kg (masaelectronului), q=1,610-19 C (sarcina elementar), Cu=8,9 g/cm

3 (densitatea Cu), ACu=64u.a.m.(masa atomic a cuprului). S se discute rezultatul obinut n relaie cu frecvena

semnalelor utilizate n electronic.

Problema 1.22

Momentul cinetic al unei particule ]n raport cu originea O variaz dup legeajtiJrrr

22+= . S se determine momentulr

al forei ce acioneaz asupra particulei cnd

vectorulr

formeazun unghi de 300cu vectorul moment cinetic.

Problema 1.23

Momentul cinetic al unei particule n raport cu originea sistemului de referinO variaz

duplegea jtiJrrr 228 += . Sse determine:

a)

momentul forei,

r

, n raport cu originea sistemului de referin, care acioneazasupra particulei;

b)

expresia vectoruluir

cnd acesta formeazun unghi de 45cu vectorul momentcinetic.

Rspuns: a) jtMrr

4= ; b) jMrr

8= .

Problema 1.23 bis

Un corp cu masa de 2 kg se afln vrful unui plan nclinat cu unghiul =300ilungimea l=5 m. Corpul alunecpe plan, coeficientul de frecare fiind 32/1= . Se cere:a) lucrul mecanic efectuat de forele conservative i de cele neconservative, n acest caz;

b) sse verifice teorema energiei poteni sse afle energia cinetica corpului la baza

planului;c) momentele forelor de greutate i de frecare fade punctul de la baza planului, cnd corpulse afln vrful planului.


Un corp cu masa m=1 kg se micpe o traiectorie datde ecuaiile parametrice:5,3,2 2 === ztytx , n care treprezinttimpul de micare. Se cere:

a) expresia legii de micare, ( )trr

;b) viteza corpului la t=2 s i unghiul pe care-l formeazcu axa Oz;c) momentul cinetic al corpului fade origine la t=1 s.

Problema 1.24O particulde masm=0,5 kg se aflla momentul t=0 n punctul de coordonate (-1,0,1)i are impulsul kjip

rrrr

320 ++= . Asupra particulei acioneaz o for variabil n timp

ktjtitFr

rrr

22 )1(2 ++= . Se cere:a) momentul forei n raport cu originea sistemului de referinla momentul t=1s;b) momentul cinetic la momentul t=1 s;c) sse verifice teorema momentului cinetic.


7/18

Problema 1.24 bis

Sub aciunea unei fore, un corp cu masa m=0,5 kg se deplaseaz pe traiectoriakjtitrr

rrr

++ 232 . Sse afle:a) impulsul particulei;b) momentul kinetic al particulei n funcie de timp;c) fora ce acioneazasupra particulei la momentul t=5s.


Impulsul unei particule cu masa m=0,5 kg , la un moment dat, este kjtitpr

rrr

+= 243 iar

particular se afln punctual cu vectorul de poziie kjirr

rrr

++= 52 . Sse determine:a) fora care acioneazasupra particulei n acel punct;b) momentul acelei fore n raport cu originea;c) energia cinetica particulei la momentul t=1 s.

Problema 1.25

Se numete cmp de fore central un cmp n care energia potenialeste funcie numaide distana r pn la un punct, numit centrul cmpului, )(rUU= . S se arate c suportulforei exercitate de cmp trece mereu prin centrul cmpului i sse stabileasccondiiile ncare cmpul este atractiv sau repulsiv.

Problema 1.26

O particulse micsub aciunea unei fore conservative corespunznd funciei energiepotenialreprezentatn figur. Particula este lsatlibern punctul A.a) Care este direcia forei exercitate asupra particulei n punctul A?b) Dar n punctul B?c) n care punct este maximenergia cinetica particulei?d) Ct este fora ce acioneazasupra particulei n punctul C?e) Care este cea mai mare valoare a coordonateixa particulei n decursul micrii?

f)

Sse indice poziiile de echilibru stabil i instabil ale particulei.

Problema 1.27

U

xA

B

C


8/18

Energia potenial a unei particule ntr-un cmp de fore variaz dup legea

r

b

r

aU =

2, unde ai bsunt constante pozitive iar reste distana de la centrul cmpului. Se

cere:a) Valoarea r0 corespunztoare poziiei de echilibru a particulei; s se verifice dac

echilibrul este stabil.

b)

Valoarea maxima forei de atracie.

Problema 1.28

Energia poteniala unei particule are expresia

=

z

y

y

xaU unde a este o

constant. Sse afle:a) fora conservativcare acioneazasupra particulei;b) lucrul mecanic efectuat de forele cmpului cnd particula trece din punctul (1, 1, 1) n

punctul (2, 2, 3);c) Unitatea de msurSI pentru constanta a.

Problema 1.29 O particulde masm,care se miccu viteza v1, trece dintr-o regiune ncare energia sa potenialeste constanti egalcu U1 ntr-o altregiune n care energia sapotenial este de asemenea constant, dar egal cu U2. S se gseasc o relaie ntreunghiurile dintre direciile de micare n cele dou regiuni i normala la suprafaa plan deseparaie dintre aceste regiuni, precum i viteza particulei n regiunea a doua.

Rspuns: 2211 sinsin vv = ;m

UUvv

)(2 21212

+=

Problema 1.30

Folosind teorema momentului cinetic, s se obin ecuaia de micare a pendululuimatematic i perioada micilor sale oscilaii.

Problema 1.31

Un mobil se micpe un plan orizontal, frfrecare, sub aciunea unei fore centrale.Cnd mobilul se afln punctul P1, viteza sa este v1=4 m/s, perpendicularpe raza vectoare,iar cnd se afl n P2 viteza sa v2 face unghiul de 60

0 cu raza vectoare. Folosind teoremamomentului cinetic, sse afle viteza v2.

Problema 1.32

Se tie cfluxul de energie luminoasemis de Soare este 3,9.1026w, iar masa SoareluiM=2.1030kg. innd seama de conservarea momentului cinetic, s se afle cu ce vitez (rat)scade durata Ta anului datoritscderii masei solare prin radiaie. Care este rata de scdere arazei orbitei terestre?

Problema 2.1

Un oscilator armonic are masa corpului oscilant m=0,5 kg i constanta elastic ke=200N/m i oscileaz n absena frecrii. Se pune sistemul n oscilaie asfel nct atunci cnddeplasarea fade poziia de echilibru este de 0,015 m, viteza lui este de 0,4 m/s. Sse afle:

a) pulsaia proprie, perioada proprie, amplitudinea, faza iniiala micrii;


9/18

b) sse scrie ecuaia elongaiei, a vitezei i a acceleraiei ca funcie de timp.

Problema 2.2

Micarea pistonului unui motor de automobil este aproximativ armonic.a) Daccursa pistonului este de 0,1 m iar motorul funcioneazcu turaia de 2500 rot/min, s

se calculeze acceleraia pistonului la capetele cursei;

b)

Dacpistonul are masa de 0,35 kg, ce foracioneazasupra lui la capetele cursei? Dar lamijlocul cursei?c) Ct este viteza pistonului la mijlocul cursei?

Problema 2.3Reprezentai graficul amplitudinii unei oscilaii amortizate n funcie de timp. Marcai pe

axa timpului un interval de mrime egalcu T.a) De cte ori scade amplitudinea pe acest interval?b) Ce legturexistntre acest raport i decrementul logaritmic al oscilaiei?c) Cum se modificgraficul de mai sus dacamortizarea scade?

Problema 2.4

Sse determine factorul de calitate al unui oscilator a crui amplitudine scade lajumtate dup110 oscilaii.

Problema 2.5

Sse determine timpul dupcare amplitudinea oscilaiilor curentului dintr-un circuitcu factorul de calitate Q=5000 scade la jumtate, dacfrecvena oscilaiilor este =2,2 kHz.

Problema 2.6

Spotul unui galvanometru balistic indic urmtoarele trei diviziuni succesive:

8,12;6,5;20 321 === nnn . Considernd decrementul logaritmic al amortizrii ca fiindconstant, sse determine:a) n dreptul crei diviziuni 0n se va opri, la echilibru, spotul galvanometrului.b) Perioada Ta micrii oscilatorii, tiind cspotul, pornind din zero, trece deN ori

prin punctele extreme, n intervalul de timp t .c) Coeficientul exponenial al amortizrii.

Rezolvare:

a) Spotul galvanometrului executo micare oscilatorie amortizatn jurulpoziiei de echilibru (diviziunea 0n ), astfel cecuaia acestei micri este:

( ) ( ) += tAentn t sin0 ,

iar decrementul logaritmic este:

( )( )

constTnn

nn

Ttn

tn==

=

+=

03

01lnln .

Deoarece decrementul este constant n decursul unei perioade, el va fi constanti pe cele dousemiperioade, astfel cputem scrie:


10/18

22lnlnln

03

20

20

01

03

01 +=

+

=

nn

nn

nn

nn

nn

nn.

Egalnd argumentele ultimilor doi logaritmi, ecuaia algebric obinut are soluia

cutat: 4,102 231

2231

0 =+

=

nnn

nnnn .

b)

Aproximnd prima parte a micrii spotului, pn la atingerea diviziunii zero cuun sfert din period, se observcexistrelaia:

2)1(

4

TN

Tt += ,

de unde se obine uor expresia perioadei T.c) Deoarece valoarea diviziunii de echilibru este acum cunoscut, din

expresia decrementului logaritmic se poate afla uor valoarea acestuia.

Problema 2.7

Un oscilator de mas 0,01 kg este supus aciunii unei fore de rezisten i executoscilaii amortizate de pulsaie 100 rad / s i avnd coeficientul de amortizare 12103 = s .

Se cere constanta elastica oscilatorului.Rspuns: k = 2 N / m .

Problema 2.8

Perioada oscilaiilor proprii ale unui oscilator armonic este 1,6 s, iar energia sa totaleste 100 J. Dacoscilatorul pornete din origine, care este cel mai scurt interval de timp dupcare energiile cinetic i potenial vor avea valori egale i care este valoarea lor n acestmoment ?

Rspuns: 0,2 s i 50 J.

Problema 2.9

Un oscilator armonic are masa 0,01 kg, factorul de calitate 0,05 , iar constanta sa

elasticeste 400 N / m. Sse calculeze valoarea timpului de relaxare i a lrgimii curbei derezonana puterilor.

Rspuns: 2,5 10-3s i 400 rad / s.

Problema 2.10

Un circuit oscilant este caracterizat de capacitatea C=10 F, inductanaL=25 mH irezistenaR=1 . Dupcte oscilaii amplitudinea curentului din circuit va scdea dee=2,71... ori?

Problema 2.11

Sse arate c, ntr-un circuit RLC, pierderea de energie pe o perioad, WW/ , esteegalaproximativ (n ce condiii?) cu QLR /2/2

0

= , unde Q este factorul de calitate alcircuitului.

Problema 2.12

Un corp atrnat de un resort elastic produce o alungire a acestuia de 9,8 cm.. Care estedecrementul logaritmic al oscilaiilor amortizate ale pendulului elastic astfel format, dac

perioada oscilaiilor este 0,7 s?

Problema 2.13


11/18

Un oscilator este ndeprtat la distana l=1 cm de poziia de echilibru i apoi este lsatliber. Ce distanva parcurge n cursul oscilaiilor pnla oprire, dacdecrementul logaritmiceste =0,02?

Problema 2.14Ecuaia micrii amortizate a unui punct material de mas m=2.10-3 kg este

tey t 100sin3 10 = , elongaia fiind msuratn metri. Sse calculeze:a)

fora de rezisten care acioneaz asupra punctului material cnd acesta trece pentruprima datprin poziia de echilibru;

b)

fora de frnare n momentul cnd elongaia este prima dategalcu amplitudinea;c)

Sse afle decrementul logaritmic al oscilaiei.

Problema 2.15

Un sistem oscilant de masm=0,2 kg se aflntr-o incintizolatadiabatic. La unmoment dat, amplitudinea oscilaiilor esteA0=10 cm. Sse afle dupct timp va cretetemperatura sistemului cu o miime de grad, dacdupn=50 oscilaii, amplitudinea se reducela jumtate. Capacitatea termica sistemului i mediului din incinteste C=400 J/K iar

perioada de oscilaie este T=0,1 s. Care este variaia maxima temperaturii incintei?

Problema 2.16Un corp de mas gm 250= executo micare oscilatorie amortizatcu factorul de

amortizare4

= s-1, perioada oscilaiei proprii fiind

3

20=T s. Oscilaiile corpului devin

forate ca urmare a aciunii unei fore exterioare periodice tFt 2sin1,0 = , exprimatn N.Sse scrie ecuaiile elongaiei i vitezei oscilaiilor forate al oscilatorului i sse afle pulsaiade rezonana sistemului oscilant..

Problema 2.17

Un punct material efectueazoscilaii amortizate de pulsaie i coeficient de amortizare. Sse determine expresia n funcie de timp a amplitudinii vitezei, dacla momentul t=0:a) elongaia oscilaiei esteA0;

b) elongaia este zero iar viteza este v0.

Problema 2.18

Amplitudinile oscilaiilor sinusoidale forate sunt egale ntre ele pentru pulsaiile1=400 s

-1i 2=600 s-1. Sse determine pulsaia forei ntreintoare pentru care

amplitudinea oscilaiilor este maxim.

Problema 2.19

Un punct material de masm, aflat n repaus pe o suprafaorizontal, ncepe ssemite sub aciunea unei fore orizontale tFF sin0= , undeF0i sunt constante. tiind cla momentul iniial corpul se afln origine n repaus, se cere:a)

Sse afle ecuaia de micare,x(t), a corpului;b) Sse afle lucrul mecanic efectuat de foraF n decursul unei perioade, precum i energia

cinetica corpului dupun timp de la nceperea micrii egal cu perioada forei;c)

Pentru ce condiii iniiale micarea corpului devine oscilatorie?


12/18

d) Presupunnd cdupun timp egal cu jumtate din perioada forei aciunea acesteianceteaz, iar n continuare corpul se miccu frecare cu coeficientul, sse afle unde seoprete corpul.

Problema 2.20

ntr-un circuit electric avnd inductana L=10mH, capacitatea C=1F i rezistenaR=100au loc oscilaii amortizate ale curentului. Folosind legea a doua a lui Kirchhoff, sseobin ecuaia diferenial a oscilaiilor amortizate ale curentului din circuit. S se afle

pulsaia proprie a circuitului i pulsaia oscilaiilor amortizate. Care este valoarea maxim arezistenei pentru care mai pot exista oscilaii ale curentului?

Problema 2.21

Observnd cntr-un circuit serie RLC, n care condensatorul a fost ncrcat, variaian unitatea de timp a energiei cmpului electric din condensator i a cmpului magnetic din

bobineste egalcu puterea disipatn rezistor, sse obinecuaia difereniala oscilaiiloramortizate ale sarcinii electrice la bornele condensatorului. n ce condiii pot exista acesteoscilaii?

Problema 2.22

Sse arate c, n cazul amortizrii slabe, factorul de calitate al unui circuit n care au

loc oscilaii forate se poate scrie:

0Q , n care 0 este pulsaia proprie a circuitului iar

este lrgimea curbei de rezonan a curentului, )(I , la nlimea de 2 ori maimicdect amplitudinea curentului la rezonan.

Problema 2.23Folosind legea conservrii energiei (bilanul energiei), sse deducecuaia diferenial

a oscilaiilor forate ale sarcinii electrice de pe armturile condensatorului din circuitul serie

RLC, alimentat la o sursde tensiune electromotoare alternativde forma E=Emsint, ncareE este valoarea instantanee a tensiunii electromotoare iarEmeste amplitudinea sa.

Problema 2.24Sse scrie legea de variaie n timp, q(t), a sarcinii electrice din problema precedent,

preciznd expresia amplitudinii sarcinii, qm i a fazei sale iniiale, q , (defazajul fa de

tensiunea electromotoare).

Problema 2.25Sse obinlegea de variaie a curentului electric din circuitul de mai sus, i(t), preciznd

amplitudinea saImi faza iniial, i .

Problema 2.26ntr-un circuit electric au loc oscilaii amortizate astfel nct tensiunea la bornele

condensatorului este funcie de timp de forma teUu tm cos= . S se determine

momentele de timp n care modulul tensiunii la bornele condensatorului atinge :a) valoarea amplitudinii ;

b)

valoarea maxim.


13/18

Problema 2.27

ntr-un circuit electric au loc oscilaii amortizate astfel c tensiunea la bornelecondensatorului este funcie de timp de forma teUu t sin0

= .a) Sse afle timpul dupcare tensiunea trece prima datprin maxim i de cte ori este mai

micaceastvaloare maximdect amplitudinea din acel moment.b)

Sse afle intervalul de timp dintre doumaxime consecutive.c)

Sse evidenieze intervalele calculate pe graficul )(tu .

Problema 2.28

ntr-un circuit de capacitate Ci inductanLse produc oscilaii amortizate libere, astfelc intensitatea curentului variaz n funcie de timp dup legea teII tm

sin= . S sedetermine tensiunea la bornele condensatorului n funcie de timp i, n particular, la t=0.

Problema 2.29

Un circuit oscilant se compune dintr-un condensator de capacitate C=4 pF i o bobincuinductana L=2 mH i rezistena R=10 . S se determine raportul dintre energia cmpuluimagnetic din bobin i energia cmpului electric din condensator n momentul cnd

intensitatea curentului este maxim.

Problema 2.30

O particulde masmse gsete ntr-un cmp potenial unidimensional n care energiasa potenialeste ( )axUxU cos1)( 0 = , 0U i afiind anumite constante. Sse afle perioadamiciloroscilaii ale particulei n jurul poziiei de echilibru.

Problema 2.31

Sse rezolve aceeai problempentrux

b

x

axU =

2)( .

Problema 2.32S se determine amplitudinea rezultant la compunerea unui numr de n oscilaii

armonice de aceeai amplitudine:a)

cnd ntre oscilaii nu existdiferende faz;b) cnd ntre douoscilaii consecutive existdiferena de faz.

Problema 2.33

Un corp participsimultan la doumicri oscilatorii armonice de aceeai pulsaie iaceeai direcie, astfel coscilaia sa rezultanteste:

+

+=3

10cos22

10sin2

tty .

Sse determine:a)

amplitudinea rezultantA;b)

faza iniiala oscilaiei rezultante.

Rezolvare:

a)

+

+=3

10cos42

10sin2

tty

tiind c:


14/18

=2

sincos

,

nlocuind n relaia elongaiei, obinem:A1 = 2 m; A2= 4 m;6

;2 21

== .

Se obineA=.

c) tiind c

0

6cos4

2cos2

6sin4

2sin2

coscos

sinsin

2211

2211 =

+

+=

+

+=

AA

AAtg ,

se obine: 0= .

Problema 3.1

Sse scrie ecuaia diferenialde propagare a undei elastice transversale ntr-o coardelasticavnd masa unitii de lungimei supusla o forde ntindereF. Sse evideniezeexpresia vitezei de propagare a undei transversale.

Problema 3.2

a)

Demonstrai c orice und descris de o funcie de forma

=u

xtftxy ),( se

micn sensul poyitiv al axei Ox cu viteya u;

b) Artai c

=

u

xtftxy ),( satisface ecuaia undelor, indiferent de forma

concreta funciei f ;

c)

Care este viteza cu care se propag un impuls (unda) descris de( )2exp),( CtBxDtxy = , undeB, C, Dsunt constante pozitive?

Problema 3.3

O und nesinusoidal, avnd la un moment dat forma din figur, se propag ntr-ocoard, n lungul axei Ox, n sensul pozitiv al acesteia.

Sse determine, pentru punctele marcate ale corzii:a)

direcia vitezei transversale;

y

x

1

2

3

4

5

6


15/18

b) direcia acceleraiei transversale;c) cum se vor schimba rspunsurile de mai sus dacunda se propagspre stnga?

Problema 3.4

S se arate c ecuaia diferenial a undelor admite ca soluie i o funcie de forma)()(),( txAtxy = , numitundstaionar. Sse afle distana dintre doumaxime succesive.

Problema 3.5

O surs oscileaz ntr-un mediu elastic dup ecuaia ty 100sin25,0= (mm),emind unde plane. Lungimea de unda undelor produse este =10 m.

a)

Scriei ecuaia de oscilaie a unui punct aflat la distanaxde surs.b)

Dupct timp va ncepe soscileze un punct situat la distanax1=8 m de sursice defazaj existntre oscilaia acestui punct i cea din surs?

c)

La ce distanse aflntre ele doupuncte ale cror oscilaii sunt defazate cu /6?d) Ce defazaj existntre doupuncte situate la distana /2 unul de altul?

Problema 3.6

Pe suprafaa apei dintr-un bazin cad dintr-un robinet, la intervale de timp egale,picturi de ap. Distana dintre doucreste succesive ale undelor care se nasc fiind d=30 cmiar viteza de propagare a undelor la suprafaa apei u=0,3 m/s, sse afle numrul de picturi cecad pe minut din robinet.

Problema 3.7

O coardvibrantde densitate 7.5.103kg/m3are seciunea 2 mm2. Calculai lungimeacorzii dac, sub aciunea forei de ntindere de 75 N, oscileaz transversal cu frecvenat=20Hz. Modulul de elasticitate al corzii fiind E=10

11N/m2, ce frecvenvor avea oscilaiile

longitudinale ale corzii?

Problema 3.8

S se calculeze acceleraia i viteza maxim ale unei particule de aer ntr-o undultrasonorcu frecvena de 50 kHzi cu amplitudinea deplasrii particulei de 0,1 m.

Problema 3.9

tiind cintensitatea undei este egalcu puterea transferatprin unitatea de arie a uneisuprafee normale pe direcia de propagare, s se arate c, n cazul unui mediu izotrop,omogen i conservativ:a)

Dacsuprafeele echifaze sunt sfere concentrice, atunci rA /1~ , in care reste distana dela sursa punctiformla punctul de observaie;

b)

Dacsuprafeele de undsunt pnze cilindrice circulare coaxiale, atunci rA /1~ , rfiinddistana de la axa pnzelor, pe care este distribuit uniform sursa, pn la punctul deobservaie.

Problema 3.10

Care este puterea unei surse punctiforme care produce unde elastice sferice ntr-unmrdiu omogen, izotrop i neabsorbant, dac la distana de 10 m de surspunctele mediuluioscileazcu o amplitudine a vitezei de 1 cm/s? La ce distan de sursamplitudinea se reducela jumtate n comparaie cu cea de la 10 m?


16/18

Problema 3.11

O surssonorpunctiformi izotropeste situatpe perpendiculara duspe planulunui inel, n centrul O al acestuia. Distana de la punctul O la surseste l=1 m iar raza inelului

R=0,5 m. S se determine fluxul mediu (de ce mediu?) de energie care traverseaz ariadelimitatde inel, intensitatea sunetului n punctul O fiindI0=30 W/m

2. Amortizarea undelor

este neglijabil.

Problema 3.12

O surs sonor punctual i izotrop, cu puterea P=0,1 W, se afl n centrul unuicilindru circular drept cu raza R=1 m i nlimea h=2 m.Presupunnd cpereii cilindruluisunt perfect absorbani (de ce?), s se gseasc fluxul mediu de energie care ajunge pesuprafaa laterala cilindrului.

Problema 3.13

Viteza de propagare a sunetului ntr-o placde cuareste u1=5000 m/s. Placa de cuaremite ultrasunete de frecven fundamental=40 kHz i de amplitudineA=2.10-7m. Ssecalculeze:

a)

grosimea lamei;b)

energia emisde lamn timp de un minut, dacea oscileazn ap(ua=1500 m/s)i are aria unei fee egalcu S=4 cm2.

Problema 3.14

Sse calculeze coeficientul de absorbie al unui mediu n care amplitudinea unei undeelastice plane scade cu 20% pe distana de 100 m.

Problema 3.15

Fie o surspunctiformde unde sonore care emite ntr-un mediu omogen i izotrop,neabsorbant.a)

Reprezentai cteva suprafee de und emise la intervale succesive de o perioad;evideniai lungimea de und;

b)

Reprezentai aceleai suprafee de undcnd sursa se micspre receptor cu viteza vsu.

Problema 3.16

a) O surs sonor cu frecvena de 400 Hz se mic cu viteza de 30 m/s spre un receptorimobil. Ce frecvenrecepioneazacesta din urm, dacviteza undelor sonore n aer esteu=340 m/s?

b)

Ce frecven nregistreaz observatorul care se mic cu 30 m/s spre sursa sonormeninutn repaus?

c)

Artai cdacviteza relativa sursei fade receptor este micn comparaie cu cea aundei, atunci cele doucazuri de mai sus sunt identice.

Problema 3.17

nainte de a pleca trenul din staie, un cltor din tren sesizeazo anumitfrecvenasirenei locomotivei. Ce diferenconstatacelai cltor cnd aude sirena n timpul mersuluitrenului?


17/18

Problema 3.18

O mainse miccu viteza vs=12 m/s spre un zid i claxonul su emite un sunet cufrecvena fs=200 Hz, ce se propagcu 340 m/s.a) Sse gseasclungimea de unda sunetului n faa mainii i frecvena cu care fronturile

undei lovesc peretele.b)

Peretele reflecttor se comport ca o surs sonor cu frecvena gsit la punctul a). Ce

frecvennregistreazoferul mainii pentru sunetul reflectat de perete?c) Care este frecvena btilor auzite de ofer prin suprapunerea sunetului direct cu celreflectat?

Problema 3.19Undele sonore ajung la timpanul urechii unui om trecnd prin canalul auditiv cu

diametrul mediu de 7 mm. n cursul unei conversaii obinuite, intensitatea undelor sonore ncanalul auditiv este de cca 3,210-6W/m2. Frecvena tipicpentru cele mai multe sunete dintr-o conversaie este 100 Hz, densitatea aerului este 1,29 kg/m3, iar viteza sunetului este 340m/s.a) Care este puterea medie furnizattimpanului?

b) Care este amplitudinea undelor sonore?

Problema 3.20Amplitudinea presiunii unei unde sonore este de 10 N/m2(sunet puternic). Sse afle

fluxul de energie care ajunge la urechea omului, considerat ca fiind perpendicular peviteza de propagare a undei i avnd aria de 10 cm2.

Problema 3.21

Pentru sunetul cu frecvena de 103Hz, pragul de audibilitate corespunde intensitii de10-12 W/m2, iar pragul durerii 1W/m2. S se afle amplitudinea presiunilor sonorecorespunztoare celor doulimite.

Problema 3.22

a)

Care este puterea unei surse punctiforme care produce unde elastice sferice ntr-un mediuomogen, izotrop i neabsorbant, dac la distana de 10 m de surs punctele mediuluioscileazcu o amplitudine a vitezei de 1 cm/s?

b)

n mediul cu densitatea 1,29 kg/m3 , undele se propag cu viteza de 330 m/s. La cedistan de surs amplitudinea undei se reduce la jumtate n comparaie cu cea de la10m?

Problema 3.23

S se calculeze amplitudinea oscilaiilor sonore pentru sunetul standard (I0=10-12

W/m2,=1000 Hz).

Problema 3.24

Un sunet de intensitate egalcu 0,1 W/m

2

are nivelul de intensitate sonordiferit cu1dB fa de alt sunet. S se afle intensitatea celui de al doilea sunet i amplitudinilepresiunilor celor dousunete. Densitatea aerului este 1,29 kg/m3.

Problema 3.25

Un sunet se propagprintr-un perete cu grosimea de 1 m, umplut cu vat de sticl.Nivelul de intensitate sonor(energetic) la intrarea n perete este de 50 dB, iar la ieire scadela jumtate. Sse afle coeficientul mediu de absorbie al vatei de sticl.


18/18

Problema 3.26

Sse calculeze puterea unei surse sonore punctiforme, dacnivelul intensitii sonoreeste de 30 dB la distana de 100 m. Coeficientul de absorbie al mediului este de 10-4cm-1.

Problema 3.27

Cte persoane vorbind n oaptproduc aceeai senzaie auditivca o singurpersoan

vorbind cu voce tare? Pentru vorbirea optit nivelul auditiv este de 20 foni iar pentruvorbirea obinuiteste 50 foni, la frecvena de 1000 Hz.

Problema 3.28

a)

Amplitudinea presiunii pentru un sunet la pragul de audibilitate este de 10 -5N/m2. Careeste amplitudinea presiunii acestui sunet, dacel are nivelul de intensitate auditivegal cu80 foni?

b)

Care este nivelul de intensitate sonor(energetic) al sunetului dacpentru frecvena de1kHz amplitudinea presiunii la pragul de audibilitate este 2210-5N/m2?

Problema 3.29

Un observator, aflat la distana de 10 m de un diapazon care oscileaz, sesizeaz

dispariia sunetului diapazonului cu 20 s mai devreme dect un observator care se afl ladistana de 1 m. S se determine coeficientul de amortizare a oscilaiilor diapazonului. Seneglijeazabsorbia sunetului n aer.

Problema 3.30

S se calculeze eroarea relativ asupra rezultatului problemei precedente, care sedatorete neglijrii absorbiei sunetului n aer. Se presupune cvaloarea coeficientului mediude absorbie al aerului este 10-2m-1.

Problema3.31Atunci cnd se sufln gura unei sticle se aude un sunet. Pentru evaluarea frecvenei

lui, HELMHOLTZ a presupus caerul din gtul sticlei oscileazsub aciunea forei datoratevariaiei de presiune a aerului din interiorul sticlei. S se calculeze frecvena acestui sunetcunoscnd volumul 0V al sticlei, lungimea gtului sticlei li aria seciunii sale transversale

0S . Se presupune cvariaiile de presiune au loc n mod adiabatic.

1795120258 probl seminar etc

Documents