1

Universitatea Tehnic Gh. Asachi Iai

Facultatea de Automatic i Calculatoare

Disciplina ELECTROTEHNIC - anul I

SEMINARUL NR. 1

I. GRUPAREA ELEMENTELOR PASIVE DE ACELAI FEL

P1. S se determine rezistena echivalent a circuitului din figur fa de bornele 1-1 cnd

bornele 2-2 sunt : a) la gol; b) n scurtcircuit.

Fig. 1.1

Rezolvare

n ambele cazuri gruparea de rezistene este mixt (reductibil la o secven de grupri serie i

paralel), i anume:

- n cazul a) grupul serie R2-R4 este n paralel cu R1, acest grup fiind n serie cu R3; se

obine deci:

421

4213'11

RRR

RRRRR

(S1.1)

- n cazul b), grupul paralel R2 , R3 este n serie cu R1, iar acest grup este n paralel cu

R4, astfel nct rezistena echivalent fa de bornele de acces 11 este:

32

3214

32

3214

'11

RR

RRRR

RR

RRRR

R

(S1.2)

P2. S se determine rezistena echivalent a gruprii din figur fa de bornele A-B.

Fig.1.2

1 2

3

4

(1) (2)

(1 ) (2 )

R

R R

R

R/2

R/2

R

R

R

R

R R RA

B

2

Rspuns : RRAB17

28 .

P3. S se determine rezistena echivalent fa de bornele A-B.

Fig.1.3

Rezolvare

Gruparea este complex (ireductibil la o secven de grupri serie i paralel), nct trebuie

aplicat teorema transfigurrii. Este avantajos s se nlocuiasc gruparea de 3 rezistene egale , R2/3

avnd conexiunea n stea, cu o grupare echivalent de 3 rezistene, egale cu R2, conectate n triunghi.

n urma transfigurarii gruparea devine mixt, avnd rezistena fa de bornele AB egal cu:

32

32

21

212

32

32

21

212

RR

RR

RR

RRR

RR

RR

RR

RRR

RAB

(S1.3)

P4. S se determine rezistena echivalent a gruprii din Fig.1.4.a fa de bornele A-B.

(a) (b) (c)

Fig.1.4

Rezolvare

Gruparea este complex, fiind necesare dou transfigurri succesive pentru a se ajunge la o

grupare mixt. Astfel, n Fig.4.b este repezentat gruparea obinut n urma transfigurrii triunghiului

R1-R2-R3 din Fig.4.a, intr-o o stea echivalent, R9-R10-R11; relaiile de transfigurare sunt de forma:

321

219

RRR

RRR

, etc. (S1.4)

R1

R 3

R 3

R 3

2

2

2

R3

A

B

R

R

R

R R

RR

R RR

R

1

4

8

9 2

1110

3 65

7

A B

R R

R R RR

7 8

10 11 65

A B

R R +

R12 R13

R14

4 9

R

R

R

R87

12

R14

13

A B

3

A doua transformare const n substituirea gruprii centrale cu conexiunea n stea , cu un triunghi

echivalent, R12-R13-R14, obinndu-se schema din Fig.4.c; relaiile de transfigurare sunt de forma:

611

946116111051059412

))(())(())((

RR

RRRRRRRRRRRRR

, etc. (S1.5)

Rezistena echivalent va fi (Fig.4.c):

138

138

712

71214

138

138

712

71214

RR

RR

RR

RRR

RR

RR

RR

RRR

RAB

(S1.6)

P5. S se determine capacitatea echivalent a gruprii din figur.

Rspuns :

32

3241

32

3241

CC

CCCC

CC

CCCC

CAB

.

Fig.1.5

II.ANALIZA CIRCUITELOR REZISTIVE LINIARE CU AJUTORUL

TEOREMELOR LUI KIRCHHOFF (TK I, TK II) I A TEOREMEI LUI

JOUBERT (TJ)

P6. S se determine curenii n laturile circuitului din figur. Se cunosc: r1=r2=1, R1=3, ,

R2=1, R3=2, e1=16V, e2=62V.

Fig.1.6

Rspuns : i1=-3A, i2=17A, i3=14A.

P7. S se determine curenii n laturile circuitului din figur. Se cunosc: e1=e3=100V, e2=50V,

ig2=5A, R1= R2= R3= R5=10.

1C

C C

C

2 3

4

A B

1

3

2i

i

i

e

r r

e

1

1

1 2

R R1 2

2

2

[ ]B [ ]B R3

4

Fig.1.7

Rezolvare

Analiza circuitului revine la soluionarea unui sistem algebric liniar de 3 ecuaii, dintre care

una se obine prin aplicarea teoremei TK I, iar celelalte dou prin aplicarea teoremei TK II combinate

cu TJ:

3155131

25522

2521

)(

0

eeiRiRR

eiRiR

iiii g

. (S1.7)

nlocuind valorile numerice se obine: i1=8A, i2=-9A, i5=-4A.

P8. S se determine tensiunea de ieire, Uie, a circuitului din figur.

R R

R R R

1 1

2 2 2

R R 3 3

i ig i g

u u ie ie

(a) (b)

Fig.1.8

Rspuns : 321

2

3RRR

iRRU

g

ies

.Indicaie: generatorul real de curent se echivaleaz cu un generator

real de tensiune (Fig.1.8.b).

P9. S se analizeze circuitul din figur. Parametrii circuitului sunt: e2=10V, R2=3, e3=5V,

R3=5, R12=2.

Fig.1.9

1

2

2

2

i

i

i

e

e2

R

R

R

1

2

5

5

3

R3

u

ig

e1

R2

2

2

3

R3

3i i

i

e

e

e R = i12 2

1

5

Rezolvare

Circuitul are n structura sa un generator de tensiune comandat n curent. Sistemul algebric de

ecuaii obinut prin aplicarea TK I, TK II +TJ este de forma:

212

323322

222

321 0

iRe

eeiRiR

eeiR

iii

(S1.8)

Rezolvnd, se obine: i1=15A, i2=10A, i3=-5A.

P10. S se determine curenii n laturile circuitului din figur.

Fig.1.10

Rezolvare

Circuitul are n structur un generator de curent comandat n tensiune. Sistemul algebric de

ecuaii obinut prin aplicarea TK I, TK II +TJ, i avnd ca necunoscute variabilele i1 i i3, este de

forma:

11211212

3311

321 0

iRGuGi

UiRiR

iii

g

g

(S1.9)

P11. S se analizeze circuitul din Fig.1.11 utiliznd teoremele lui Kirchhoff i teorema lui

Joubert. Se cunosc: R1=40/3 , R2=2 , R3=40 , ig1=7,5 A, e3=180 V.

Fig.1.11

Rezolvare

Dac se echivaleaz generatorul real de curent cu unul real de tensiune, circuitul are l=3 laturi

i n=2 noduri. Teorema de cureni se va scrie de n-1=1 ori, n nodul (1), iar teorema de tensiuni de l-

n+1=2 ori pentru cele dou bucle independente. Alegnd sensurile de referin pentru cureni i

sensul de parcurs al buclelor ca n figur rezult:

R

R Ri

e

(0)

(1)i

i

i

g

u

u u1 3

2

1

R3

3i i1

U

u

u

R1

2i G u = 21 1g

P.10

6

32233

112211

321 0

eiRiR

iRiRiR

iii

g .

nlocuind valorile numerice i rezolvnd sistemul se obine i1=6 A, i2=10 A, i3=4 A.

Tensiunile de latur au expresiile:

V20

V20

V20

3333

222

11111

eiRu

iRu

iRiRu g.

Bilanul puterilor este:

04201020620332211 iuiuiu .

Laturile 1 i 3 furnizeaz putere laturii 2.

P12. S se analizeze circuitul din figur care funcioneaz n regim staionar (generatoarele e1

i ig11 dau semnale invariabile n timp).

(a) (b)

Fig.1.12

Indicaii

innd seama de expresia tensiunii pe bobin, dt

diLu LL i a curentului n condensator,

dt

duCi CC , rezult c n regim staionar uL=0 i deci bobina este un scurtcircuit, i iC=0 , nct latura

cu condensator nu este parcurs de curent. Astfel, ignornd laturile n care curenii sunt nuli, schema

original este echivalent cu cea din Fig.1.12.b. Sistemul de ecuaii avnd ca necunoscute curenii i7

i i6 este:

0)(

0

77686

1176

iRiRR

iii g (S1.10)

R1

ig11

(1)(5)

(4)

(0) (2)(3) 9

1

1

35

6

6

6

ii

i

ii

i

ii

i

88 R R9

2i

C1

C2 C3

C4

e

R5R

R7

710

4

LL10

R10

(1)

(0)(2)(3)

ig

6

9

i = i

i = i

11

8

11

R6 R7

8R R9

i7

g

7

SEMINARUL 2

ANALIZA CIRCUITELOR REZISTIVE CU AJUTORUL METODEI

CURENILOR DE BUCL

P1. S se analizeze circuitul din Fig.2.1 cu ajutorul metodei curenilor de bucl. Se cunosc:

R1=3 , R2=6 , R3=2 , R4=6 , R5=3 , e1=30 V, e2=12 V, ig3=5 A.

Rezolvare

Circuitul are l=5 laturi i n=3 noduri. Alegnd buclele independente n numr de l-n+1=3 i

sensurile curenilor de bucl i a celor din laturi ca n Fig.2.1, se pot scrie matricile:

010100111001001

B][ 53 ;

5

4

3

2

1

55

R0000

0R000

00R00

000R0

0000R

R][ ;

000][2

1

15

e

e

e ;

0

0

0

0

615 ggii .

Matricea coeficienilor i cea a termenilor liberi au expresiile:

522

24324

441T

33b

0

0

[B]][B][R

RRR

RRRRR

RRR

R ;

2

233

1

g13b][[R]B][][B][

e

eiR

e

iee g .

nlocuind valorile numerice i rezolvnd sistemul (5.20) se obine:

2

1

4

3

2

1

13b

b

b

b

i

i

i

i .

Curenii de latur au valorile:

2

3

1

1

4

][B][][

b3

b2b1

b2

b2b3

b1

5

4

3

2

1

b

T

15

i

ii

i

ii

i

i

i

i

i

i

ii .

R

R R

Ri

i

i i

i i

ii ie e

g

bb b

21 3

1 33

2 5

5

4

(1) (2)

(0)

R

Fig. 2.1

8

Reinnd faptul c asocierea sensurilor de referin ale tensiunilor i curenilor se face dup regula de

la receptoare, rezult c tensiunile de latur vor fi:

6

18

12

6

18

][][][][][][

55

44

g3333

222

111

g

5

4

3

2

1

15

iR

iR

iRiR

eiR

eiR

eiRiR

u

u

u

u

u

u .

Verificarea bilanului de puteri conduce la identitatea:

0125412672][][][][ TT uiiu .

P2. S se analizeze circuitul din figur cu ajutorul metodei curenilor de bucl. Se cunosc:

R1= R2= R3= R4= R5= R6=2, e1=4V, e2=2V, e5=4V, ig4=1A.

Fig.2.2

Rspuns : T1;5,1;5,0bi (A). P3. S se analizeze circuitul din figur cu ajutorul metodei curenilor de bucl. Se cunosc:

R1=R2=2R3=4, R4=5, R5=R6=1, e3=3e5=9V, e4=10V.

Fig.2.3

Rezolvare

Alegnd curenii de bucl ataai buclelor independente ca n Fig.2.3, sistemul de ecuaii

obinut este:

R

R

1

4 ig4

1

1 2

3

1

46

1

2

32

6

6

i

ii

i

i

i

i

i i

i2R

e

e

RR5

5

5

4

4

u

uu e

b b

b R3

1

3

3

1

2

2

35

5

5

4

4

4

i

ii

i

i

6i

21

3

ii

i

bb

b

e

RR

RR

R e

e

9

5436543514

5335253213

4334231431

eeiRRRiRiR

eeiRiRRRiR

eeiRiRiRRR

bbb

bbb

bbb

.

nlocuind valorile numerice rezult soluia : ib1=1,04A, ib2=0,73A, ib3=1,22A.

P4. Circuitul din Fig.2.4, cu generator ideal de curent, are parametrii: R1=R2=2R3=R4/2=2,

R5=1, R6=6, ig=10A, e1=20V, e6=5V. S se analizeze circuitul utiliznd metoda curenilor de

bucl i s se determine puterea furnizat de generatorul ideal de curent.

Fig.2.4

Rezolvare

Alegnd buclele independente astfel nct generatorul ideal de curent s fie incident unei

singure bucle i asociind fiecrei bucle curenii ib1, ib2 respectiv ib3 avnd sensurile din Fig.2.4, se

poate scrie sistemul de ecuaii:

636543243154

13432432114

1

)(

)(

A10

eiRRRRiRRiRR

eiRRiRRRRiR

ii

bbb

bbb

gb

.

Numeric se obine ib2=-0,18A, ib3=-3,67A. Considernd regula de asociere de la receptoare pentru

sensul tensiunii i al curentului pe o latur, tensiunea la bornele generatorului ideal de curent se poate

scrie:

V87,30)( 32336633666 bbbg iiRiReiRiReu .

Puterea la bornele acestui generator este W7,308 ggg iuP , fiind furnizat (cedat) deoarece

Pg

10

Fig.2.5

P6. S se analizeze circuitul din Fig.2.6.a cu ajutorul metodei curenilor de bucl. Se va

utiliza graful topologic pentru stabilirea buclelor independente.

(a) (b)

Fig.2.6

Rezolvare

n configuraia dat circuitul are dou generatoare ideale de curent, ig1 i ig5, nct laturile 1 i

5 trebuie sa fie corzi n graful topologic, (Fig.2.6.b). Alegnd sensurile curenilor de bucl ca n

Fig.2.6.a i echivalnd generatorul real de curent R3 || ig3 cu unul real de tensiune, rezult c se poate

scrie sistemul de ecuaii avnd ca necunoscut curentul ib2:

53

633362643212

11

)(

gb

gbbb

gb

ii

eiRiRiRRRRiR

ii

.

P7. Circuitul din figur are parametrii: ig2=2A, R2=R3=4, e3=8V, u=20V, R4=2, e5=R25i2=

=2i2, R5=10, e6=8V. S se analizeze circuitul utiliznd metoda curenilor de bucl i s se efectueze

bilanul de puteri.

Fig.2.7

i ig g

1

4

5

5

5

5

3

1

5

1

i

i

i

i

i

2

1

3

i

i

i

b

b

b

e

e

R

R

R4

R33

2

u

(1) (2)

(3)(0)

ii

i

gg

g3

2

4

61 6

6

i

i

i

i

2

1

3

ii

i

b

b

b

e

R R

R 4

R

R

3

2 51

3

(1) (2)

(3)(0)

3

2

4

1 5 6

2i R

R

2

5

ig

3

45

2

3

3

i

i i1

2

2

ii

bb

e

R

R4

e

e i ( )

6

5

u

11

Rspuns: ib1=i3=3,8A, ib2=i5=1A. Bilanul de puteri 0k

kk

k

k iup .

P8. S se analizeze circuitul din Fig.2.8.a cu ajutorul metodei curenilor de bucl. Parametrii

circuitului sunt: ig=2A, ig4=0,1u3, e2=20V, e4=8i1, R1=6, R2=6, R3=4.

(a) (b)

Fig.2.8

Rezolvare

Laturile cu generatoare ideale de curent sunt: ig, generator ideal independent de curent, i

ig4(u3), generator ideal de curent comandat n tensiune. Buclele independente se aleg astfel nct

aceste laturi s aparin cte unei singure bucle (corzi n graful topologic Fig.2.8.b). Sistemul de

ecuaii obinut prin aplicarea metodei curenilor de bucl, completat cu ecuaiile caracteristice ale

generatoarelor comandate, este:

3333334

31114

3241142332122121

2

341

1,01,01,0)(

)(88)(

A5,A2,A2)()()(

)(

bg

bb

bbgbbbb

gb

gb

iRiRuui

iiiie

iiiiieeiRRRiRiRR

ii

uii

.

P9. n circuitul din Fig.2.9.a valorile elementelor sunt date n SI (sistemul internaional de

uniti de msur). S se simplifice circuitul aplicnd regulile de grupare serie i paralel pentru

generatoare i s se analizeze circuitul astfel obinut cu ajutorul metodei curenilor de bucl.

(a) (b)

Fig.2.9

Indicaie: Schema simplificat obinut n urma aplicrii regulilor de grupare a generatoarelor este

reprezentat n Fig.2.9.b. Alegnd curenii de bucl ca n figur se obine ib1=3A, ib2=4A, ib3=2A.

(0)

5i

R3

3i

(1)(2)

(3)1e i ( )4

i

u

g

g1

2

3

1

2

ii

i

12

ii

b

b

b

e

R

R2

g 3i u ( )4

u3

(1)(2)

(3)

(0)

3

4 5

1 62

(1)(2)

(3)

(0)

2 2

2

8

1

1 2

2

1

1

1

1

2

4

(0)

(1)(2)

(3)

22

1 11

2

6

11

6

12

SEMINARUL 3

ANALIZA CIRCUITELOR REZISTIVE CU AJUTORUL METODEI

TENSIUNILOR NODALE

P1. S se analizeze circuitul cu generatoare reale din Fig.3.1.a cu ajutorul metodei tensiunilor

nodale (TTN). Parametrii circuitului sunt: R1= R2= R3= R4= R5= R6=2, e1=e5=4V, e2=2V, ig4=1A.

(a) (b)

Fig.3.1

Rezolvare

Este indicat s se echivaleze generatoarele reale de tensiune cu generatoare reale de curent

(Fig.3.1.b).Circuitul are 3 noduri independente, (1), (2), (3), nct vor fi trei tensiuni nodale

necunoscute. Sistemul de ecuaii obinut prin aplicarea metodei tensiunilor nodale este:

1130431203101

552230320532102

221130120210621

)(

1,)(

)(

eGiuGGGuGuG

RGeGeGuGuGGGuG

eGeGuGuGuGGG

g

k

k

nlocuind i rezolvnd se obine u10=-1V, u20=2V, u30=1V. Utiliznd regula de la receptoare pentru

asocierea sensului tensiunii i al curentului pe o latur (tensiunile i curenii au acelai sens) se

obine: u1=u10-u30=-2V, u2= u10-u20=-3V, u3= u20-u30=1V, u4= u30=1V, u5=-u20=-2V, u6= u10=-1V.

Curenii n laturi sunt: i1=G1e1+G1u1=1A, ..., i6=G6u6=-0.5A. Bilanul de puteri trebuie s verifice

egalitatea 0k

kkiu .

P2. S se analizeze circuitul cu generatoare reale din Fig.3.2 cu ajutorul TTN. Valorile

elementelor de circuit sunt date n SI (sistemul internaional de uniti de msur), rezistenele n

ohmi.

R

R

R

1

3

4 ig4

1

10

1

2

32

6

6

i

ii

i

i

i

2R

e

e

RR5

5

5

4

ue

2030

u u

(0)

(1)(2)

(3)

ig

1

3

52

46

1

5

6

i

i

ii

ii

R

RR

R4

RR 32

4

(1)(2)

(3)

(0)

2

2

eR 5

5

eR

1

1

eR

13

Fig.3.2

Rezolvare

Circuitul are dou noduri independente, (1) i (2), prin urmare necunoscutele vor fi tensiunile

nodale u10 i u20. Sistemul de ecuaii obinut dup echivalarea generatoarelor reale de tensiune cu

generatoare reale de curent este:

2

6

2

12

2

1

2

1

2

1

4

1

2

1

4

1

2

124

2

1

4

1

2

1

4

1

4

1

2010

2010

uu

uu

.

Se obine u10=-1,05V i u20=1,26V. Tensiunile la bornele laturilor sunt : u1=u10-u20=-2,31V, u2=u1,

u3=-u10, u4=u5=u20. Curenii n laturi vor fi i1=u1/4, i2=6+u2/2, etc.

P3. S se analizeze circuitul din figur cu ajutorul metodei tensiunilor nodale.

Fig.3.3

P4. S se analizeze circuitul din Fig.3.4 cu ajutorul

metodei tensiunilor nodale.

Rezolvare

Circuitul are n componen un generator ideal de tensiune,e1, i

un generator ideal de curent, ig6 . Alegnd ca nod de referin unul

din nodurile la care este conectat generatorul ideal de tensiune e1

i numerotnd nodurile ca n Fig.3.4 se poate scrie sistemul de

ecuaii obinut prin utilizarea metodei tensiunilor nodale sub

forma:

R i

i

i

i

ii

R

Re1

2 2

2

1

5

5

3

3

4

4

(1)

(2)

(3)(0)

R e

ig66

Fig.3.4

(0)(1)

(2) (3)

(4)

10 40u u

20

30

u

uR

R

R R

R

Re

e

R

R

3 i (0)

4 1

10

2

i

i

i i 5 4

u 20 u

(1) (2)

(3) 2

6

2 4 4

2

12

14

'

3303320321031

'

2302320221021

110

g

g

iuGuGuG

iuGuGuG

eu

.

Coeficienii i termenii liberi au expresiile: 3321 /1 RGG ; 223223 /1 RGGG ;

53253222 /1/1/1 RRRGGGG ; 4431 /1 RGG ; 22'

2eGig ; 622

'

3 ggieGi .

Tensiunile la bornele laturilor sunt:

30620530104

10203203021101

;;

;;;

uuuuuuu

uuuuuueuu

.

Curenii n laturi se exprim fie cu ajutorul teoremei lui Joubert, fie, n cazul laturii cu generator ideal

de tensiune, utiliznd teorema I a lui Kirchhoff:

3416555

44433322222

;;

;;

6iiiiiuGi

uGiuGieGuGi

g

.

P5. S se analizeze circuitul cu generator ideal de tensiune din Fig.3.5 cu ajutorul TTN.

Fig.3.5

Rezolvare

Nodul de referin se alege nodul comun al celor dou generatoare ideale de tensiune.

Sistemul de ecuaii obinut prin aplicarea TTN este :

eu

uGuGuG

eu

30

302010

10

023 ,

avnd soluia u20=e.

P6. S se analizeze circuitul cu generatoare ideale

de tensiune din figur.

Indicaie : Circuitul are 4 noduri independente.

Nodul de referin se alege nodul comun al celor dou

generatoare ideale de tensiune astfel nct u10=e1, u20=e2.

Fig.3.6

(1) (2)

(3)(0)

4 2i i

R

5

6

i

i

1

3

i

i

e

e

R

R R

1

3

4

2

5

7

8

4

6 3

i

i

i

i i

i

i

i

2

1

1

R

ig3

(0)

(1)

(2)

(4)(3)2R

5R

5R

3R

u

u

u

e

e

15

P7. Circuitul din Fig.3.7 are parametrii : R1=6, e1=40V, R2=8, R3=12, R4=6, e5=40V,

R6=10, ig7=G7u2=0,25u2. S se analizeze utiliznd TTN.

Fig.3.7

Rezolvare

Circuitul are n structur un generator ideal independent de tensiune i unul de curent

comandat n tensiune. Alegnd nodul de referin ca n figur se obine sistemul de ecuaii avnd

necunoscutele u20 i u30 :

20107277

71130641201106

1130120321102

510

uuGuGi

ieGuGGGuGuG

eGuGuGGGuG

eu

g

g

.

Soluia este u20=31,64V; u30=1,19V.

P8. Circuitul din figur are parametrii : e1=e3=4V, R1= R3= R4= R5= R6= R7=1, G2=1S,

ig=G2u3, e=R7i3. S se analizeze cu ajutorul TTN.

Fig.3.8

Rezolvare

Nu exist restricii cu privire la alegerea nodului independent. Numerotnd nodurile ca n

figur i echivalnd generatoarele reale de tensiune cu generatoare reale de curent, se obine sistemul

)()( 3310373333737

10232

3045205

61130520651101

33112011031

eGuGReGuGRiRe

uGuGi

iuGGuG

eGeGuGuGGGuG

eGeGiuGuGG

g

g

g

.

1

1

2

2

5

6

3

54 4

i

i

ii

6i

2

1R

R

R

R e(0)

(1)

(2)

(3)

e

R

7i G u = 7 2g

u

4R

6

5

3

3

i

R

R

5 4i i

6

1

i

i1 R

u

3

(0)

(1)

(2)(3)

R3

3e=R i7

i G u = 2 3gee1

16

Numeric rezult u10= u20= u30=0. Tensiunile la bornele laturilor vor fi nule. Curenii n laturi

sunt : i1=G1e1+G1u1=4A, ig=0, i3=G3e3+G3u3=4A, i4=0, i5=0, i6=4A. Circulaia de curent se produce

numai pe laturile buclei exterioare a circuitului.

SEMINARUL 4

CIRCUITE ELECTRICE FR CUPLAJE MAGNETICE N REGIM

PERMANENT SINUSOIDAL (r.p.s.)

P1. Impedana din figur, de forma Z=R+jX, este alimentat cu tensiunea u(t) i absoarbe

curentul i(t). S se determine parametrii impedan, Z, rezisten, R, reactan, X, admitan

complex, Y, conductan, G, susceptan, B, n cazurile :

a) 6100cos224)(;32100sin2120)( ttittu ;

b) 4100sin212)(;23100cos120)( ttittu ;

c) 4100cos22)(;2100sin2220)( ttittu .

Fig.4.1

Rezolvare

Conform regulii de reprezentare n complex a semnalelor sinusoidale, valorile efective complexe ale

semnalelor n cele 3 cazuri sunt :

a) 36232

2424;120

jj

eeIeU ; b) 422

3

2 12;2

120

2

120

2

120

j

jj

eIeeU ;

c) 43

4222

2

22

2

22;220220

jjjj

eeIeeU .

Astfel impedana complex jXRI

UZ n cele 3 cazuri va fi :

a)

35,2,5,235,25,25 3 XRjeZj

;

b)

5,55525 4 XRjeZj

;

c)

10,101010210 4 XRjeZj

.

Admitana complex, BjGZU

IY

1 n cele 3 cazuri va fi :

a) )11(31,0,1,031,01,02,0 13

SSBSGjeYj

;

b) SBSGjeYj

1,0,1,01,01,025

14

;

c) SBSGjeYj

05,0,05,005,005,0210

14

.

I

U Z R+ X = j

17

P2. Circuitul din figur are parametrii :

41,4,7,34,34,3 33211321 CXXLXRRR CLL . Tensiunea de

alimentare este V)(2100sin2120)( ttu . S se determine impedana complex echivalent a circuitului fa de bornele de acces, precum i valorile efective complexe ale curenilor n laturi.

Fig.4.2

Rezolvare

Utiliznd regulile de grupare a impedanelor , valabile pentru circuite fr cuplaje magnetice,

se obine :

j

jXRjXR

jXRjXRjXRZ

CL

CLL 933

3322

332211'11

.

Curentul n circuitul principal va fi :

3110

933

120

'11

1

j

j

j

Z

UI , nct valoarea sa instantanee real este

)A(6100sin33,166100sin3

11210)(1 ttti .

Tensiunea U2, exprimat cu ajutorul TK II n complex scris pentru bucla din stnga a circuitului,

este : jIjXRUU L 403

401112 , nct )A(10

22

22

LjXR

UI , iar jIII

3

10213 .

n valori instantanee 2/100sin16,8)(,)100sin(10)( 32 ttitti (A).

P3. S se analizeze circuitul din figur utiliznd forma n complex a teoremelor lui Kirchhoff

(TK I, TK II) i a teoremei lui Joubert (TJ). Parametrii circuitului sunt :

ttette cos235)(,4sin60)( 21 ,

Hz50F,)(510CH,)10(1,5,5,2,20 4321 fLRRR . S se determine valorile

instantanee reale ale curenilor n laturi.

Fig.4.3

R

RR

L11 1

32

2

2

2

3

I

L C

I 3

UU

I

R

R

R1

1

1

3

2

2

2I

L

C

I 3

I

E

E

18

Rezolvare

Reactana bobinei este 102 LfLXL , iar reactana condensatorului este

5

105

10100

11

64

CXC . Valorile efective complexe ale tensiunilor surselor sunt

jeEjeEjj

3535,30302

602

24

1

. Sistemul de ecuaii obinut prin utilizarea TK I+II i

a TJ este :

23322

13311

321

)()(

)(

0

EIjXRIjXR

EIjXRIR

III

LC

L

.

nlocuind valorile numerice i soluionnd se obine I1=2, I2=2j , I3=2+2j . Valorile instantanee

reale ale curenilor n laturi sunt :

4100sin4)(;2100sin22)(;100sin22)( 321 ttittitti .

P4. Circuitul din figur are parametrii : 5,10,10 4231 LLC XXXR ,

A)(2100sin220)(,V)(100sin2100)( 21 ttitte g . S se determine valorile efective

complexe ale curenilor i tensiunilor, precum i puterile aparente complexe la bornele laturilor

(se va utiliza regula de la receptoare de asociere a sensurilor tensiunii i curentului).

Fig.4.4

Rezolvare

Valorile efective complexe ale semnalelor surselor sunt : jIE g 20,100 21 . Circuitul are

dou noduri independente, (1) i (2), i 3 bucle independente, dintre care una cu generator ideal

de curent (dac acesta nu se echivaleaz cu un generator real de tensiune, ceea ce ar reduce i

numrul buclelor independente la dou). Sistemul de ecuaii obinut prin utilizarea formei n

complex a TKI+TKII+TJ este :

0

0

0

442233

13311

242

431

IjXIjXIjX

EIjXIR

III

III

LLC

C

g.

nlocuind valorile numerice i rezolvnd se obine I1=10j, I2=10+20j, I3=10+10j, I4=10.

Tensiunile i puterile aparente complexe la bornele laturilor vor fi :

R

1

1

1

2

4

2

I

L

C

L I 3

I

I

E

X

X

X

4

3

2 I g

(1)

(0)

(2)

19

jIUSUU

jIUSjIjXU

jIUSjIjXU

jIUSjIjXU

jjjIUSjIREU

gggg

L

C

L

20001000

50050

2000100100

250050100

10001000)10)(1(100;100100

*

2222

*

444444

*

333333

*

222222

*

1111111

Se observ c se verific relaia de bilan a puterilor aparente complexe n r.p.s. :

054321 SSSSS , ceea ce nseamn att conservarea puterilor active , ct i a celor

reactive , 0,0 k

k

k

k QP .

P5. Parametrii circuitului din figur sunt :

10111

54

4

33

31

22 RLC

LRCC

LR ,

)100cos(2100)(,)100sin(2100)( 51 ttette . S se determine valorile efective complexe

ale curenilor i tensiunilor pe laturi (se va considera regula de la receptoare).

Fig.4.5

Rspuns : I1=6+8j, I2=4+2j, I3=2+6j, I4=2+16j, I5=10j ; U1=-20-60j, U2=20+60j, U3=20+60j,

U4=0, U5=0.

P6. In circuitul din figur se cunosc :

3,3,9,5,4sin3)( 21 CL XRXRtti . S se determine indicaiile aparatelor

de msur (puterea activ absorbit de circuit i valorile efective ale celor dou tensiuni).

L2

R

5

5

5

2I

I 4

I

E

(1)

(0)

(2)

I111

3

3

3

C

C

R2

R

L

L4

C4

I 3

E

20

Fig.4.6

Rezolvare

Valoarea efectiv complex a curentului este I=1,5+1,5j. Valorile efective complexe ale

celor dou tensiuni sunt :

jIXXjRRUIjXRU CLC 213))((,)V(9)( 21122 .

Indicaiile celor dou voltmetre vor fi : V2=9V, V1=(32+21

2)1/2

=21,21V.

Puterea aparent complex jQPjIUS 2736*

1 . Wattmetrul indic o putere activ

absorbit de 36 W.

P7. n circuitul din figur se cunosc 10321 CL XXRRR ,

)2100sin(2100)(,)100sin(2100)( 21 ttette . S se analizeze circuitul utiliznd

metoda curenilor de bucl (n complex).

Fig.4.7

Rspuns jIjII bbb 5,55,5 321 .

SEMINARUL 5

CIRCUITE ELECTRICE CU CUPLAJE MAGNETICE N REGIM

PERMANENT SINUSOIDAL (r.p.s.). REZONANA

P1. n circuitul din figur se cunosc :

10,30,20,10 1221 LXXXXR MCLL . S

se determine valoarea tensiunii sursei pentru care I3=1A i n

aceste condiii s se determine puterea activ i reactiv

furnizat de surs.

Fig.5.1

R

R

1

2

21

I

UU

U

L

C

X

X

V2V1

W**

(1)

(1 )

(1)

(0)

(2)RR

R

31

2

LC XX 21 EE I I Ib b b1 2 3

R

1

1 2

2

2

I

C

I

I3

E

XX

X

XL

M

L

* *

21

Rezolvare

Considernd faza iniial a curentului I3 egal cu zero, rezult I3=1. Cuplajul ntre bobine este

diferenial (I1 intr n borna polarizat a bobinei 1, iar I3 iese din borna polarizat a bobinei 2).

Sistemul de ecuaii obinut prin utilizarea teoremelor lui Kirchhoff i a teoremei lui Joubert (n

complex) este :

1322

2311

321

)(

IjXIjXIR

IRIjXIXXjE

III

ML

MCL

.

nlocuind valorile numerice i soluionnd se obine : I1=2+j, I2=1+j. Prin urmare E=20(1-j). Puterea

aparent complex la bornele sursei este jQPjIUS 6020*

1 . Circuitul absoarbe o putere

activ P=20W i cedeaz o putere reactiv Q=-60Var.

P2. n circuitul din figur se cunosc :

5,7,5,2,5,10,5

,)100cos(2100)(,)100sin(2100)(

33122121

21

CXRLLLRR

ttette.

S se analizeze utiliznd forma n complex a TK I+TK II+ TJ.

Fig.5.2

Rspuns : Cuplaj magnetic aditiv. I1=5-5j, I2=5+15j, I3=10+10j.

P3. n circuitul din figur se cunosc : )sin(220)( tte ,

,31

,11

1

C

R ,52 L

2,71

,1,31

23

3

3

2

LC

LC

. S se analizeze i s se

determine impedana complex echivalent la bornele sursei, Z11.

Fig.5.3

Rezolvare

Cuplajul magnetic este aditiv (att I2, ct i I3 ies din bornele polarizate ale celor dou

bobine). E=20 i sistemul de ecuaii obinut prin aplicarea formei n complex a TK I+TK II+ TJ este :

1

R

1 1 22

2

1 2

3

3

3

I I

IE E

L L

* *

C

R RL12

R 11

23

2

32

I

L

CC

I 3

I

E

C1 L2 L3* *

22

321

2233

3

33232

2

2

3232

2

21

1

1

III

ILjIC

jLjILjI

C

jLj

ILjIC

jLjI

C

jRE

.

nlocuind valorile numerice i rezolvnd se obine I1=I2=10+10j, I3=0. Impedana complex la

bornele sursei va fi : jI

EZ 1

1

'11 .

P4. n circuitul din figur se cunosc 2sin2200)(,)sin(220)( 31 ttettig ,

R2=20, R3=30, L2=20, L3=60, L23=10,1/(C3)=10. S se determine valorile

instantanee ale curenilor n laturi.

Fig.5.4

Rezolvare

Cuplajul magnetic este diferenial (I2 iese din borna polarizat, iar I3 intr n borna

polarizat). Valorile efective complexe ale semnalelor surselor sunt : Ig1=20, E3=200e-j/2

=-200j.

Sistemul de ecuaii obinut prin aplicarea TK I+TK II +TJ este :

32233

3

33323222

321

1)(

0

EILjIC

LjRILjILjR

III g

.

nlocuind valorile numerice i rezolvnd se obine I2=12, I3=-8. Valorile instantanee reale ale

curenilor sunt : ).sin(28)(,)sin(212)( 32 ttitti

P5. Circuitul neconex din figur modeleaz un transformator. Parametrii si sunt :

)sin(2210)(1 tte , R1=100, R2=75, L1=0,2H, L2=0,15H, L12=0,1H, C1=10F, =500s-1

. Se

cere s se determine tensiunea de mers n gol a transformatorului, uAB0(t), i curentul n secundar

cnd bornele A, B sunt puse n scurtcircuit (curentul de scurtcircuit), iABsc(t).

Fig.5.5

R32

3E

R

23

2

3L C

I 3

I

1L2

L3

*

*

Ig

R R1 21 2

1E L

L

L 2

12

1

* *

I I A

B

C1

UAB

23

Rezolvare

Considernd cazul cuplajului magnetic diferenial (sensurile curenilor ca n figur) se pot

scrie ecuaiile de tensiuni pentru cele dou bucle ale circuitului :

112222

2121

1

111

1

ILjILjRU

ILjIC

LjRE

AB

.

Dac secundarul este n gol I2=0 i, deoarece E1=210, se obine I1=1,05(1+j), UAB0=52,5(-1+j).

Dac secundarul este n scurtcircuit UAB=0, i sistemul de mai sus are soluia I1=0,9(1+j), I2=0,6j.

Cosidernd cazul cuplajului magnetic aditiv (I2 cu sens opus fa de cel din figur) sistemul se

scrie :

112222

2121

1

111

1

ILjILjRU

ILjIC

LjRE

AB

.

n acst caz la mersul n gol se obin aceleai valori pentru tensiunea UAB0 i pentru curentul I1, iar la

scurtcircuit, rezolvnd sistemul de mai sus pentru UAB=0, se obin curenii I1=0,9(1+j), I2=-0,6j. Se

constat c , de fapt, curenii sunt aceeai (I2 are semn schimbat, dar i sensul su este opus fa de

primul caz).

P6. Circuitul neconex cu cuplaj magnetic din figur are parametrii :

R1=L1=L12=L2=R2=L3=1/(C3)=22, )100cos(2220)(1 ttu . S se determine curenii n

primar i n secundar, impedana complex la bornele 11 precum i puterea activ i reactiv

absorbit de circuit.

Fig.5.6

Rezolvare

Cuplajul magnetic este aditiv, iar U1=220ej/2

=220j. Sistemul de ecuaii obinut prin aplicarea

teoremei TK II pentru cele dou bucle ale circuitului este :

1122

3

322

2121111

10

)(

ILjIC

LLjR

ILjILjRU

.

nlocuind valorile numerice i rezolvnd se obine I1=2+6j, I2=2-4j. Impedana complex la borne

este Z11=U1/I1=11(3+j), iar puterea aparent complex este jQPjIUS )3(440*

11 , nct

puterea activ este P=1320W i cea reactiv este Q=440Var.

P7. S se determine parametrii R, L, respectiv C pentru care se obine rezonana la bornele

circuitului din figur.

R R1 21 2

L

L

L 2

12

11L3

* *

I I

C3

U

24

Fig.5.7

Rezolvare

Circuitul fiind de tip paralel, fr cuplaje magnetice, se poate exprima cu uurin admitana

complex echivalent la bornele de acces :

eee jBGCLR

Lj

LR

R

LR

LjRCj

LjRCjY

222222222

1.

Impunnd condiia de rezonan , Be=0, se obin valorile pentru C, R, respectiv L care produc

rezonana.

a) La variaia capacitii C: 222 LR

LC

.

b) La variaia rezistenei R : 22LC

LR . n acst caz rezonana se poate obine numai n

condiia C

L

1

.

c) La variaia inductanei L C

RCL

2

222

2,12

411

. Rezonana se poate obine numai dac

CR

2

1, fiind dou puncte de rezona sau numai unul, n cazul egalitii. Dac

CR

2

1 nu se

poate obine rezonana la variaia inductanei.

P8. S se determine pulsaia de rezonan a circuitului din figur.

Fig.5.8

Rezolvare

Circuitul fiind de tip serie, fr cuplaje magnetice, este avantajos s se exprime impedana

complex echivalent la bornele de acces.

R

CL

(1)

(1 )

U

1 2

A B

R R

L C

25

ee

e

jXRRC

CR

LR

LRj

RC

R

LR

LR

CjR

CjR

LjR

LjRZZZ

2

2

22

2

2

222

1

2

1

2

2

22

2

222

1

22

1

2

2

1

121

11

1

1

Impunnd condiia de rezonan, Xe=0, se obine pusaia de rezonan

)( 21

2

2

2

1

CRLLC

CRL

R

Rr

.

n cazul particular R1=R2 se obine LC

r

1 , o expresie similar cu cea a pulsaiei de

rezonan n cazul circuitului RLC serie, respectiv RLC paralel.

P9. Circuitul din figur are parametrii R1=1k, L1=L2=2mH, L12=1mH, C3=1/6 F. Se cere

pusaia de rezonan a circuitului.

Fig.5.9

Rezolvare

Circuitul are un cuplaj magnetic (diferenial), nct regulile de grupare a impedanelor nu pot

fi aplicate (ele au fost stabilite pentru impedane lipsite de cuplaje magnetice). Impedana echivalent

fa de bornele 11 se poate determina n urma efecturii analizei circuitului, cu ajutorul relaiei

1

'11I

UZ .

Pentru acest circuit pot fi scrise trei ecuaii obinute prin aplicarea TK I+TK II +TJ, i anume:

3

3

11222

11222212111

321

)(

IC

jILjILj

ILjILjILjILjRU

III

.

Rezolvnd sistemul n raport cu necunoscuta I1 se poate exprima impedana complex echivalent

eee jXRCL

CLLLLLjR

I

UZ

1

1)(

32

2

312

2

1221211

1

.

Impunnd condiia Xe=0 se obine o ecuaie n 2, din care se poate exprima pulsaia de rezonan:

4

2

12213

1221 10102)(

2

LLLC

LLL

r rad/s. Frecvena de rezonan este kHz066,10

2

r

rf .

L2

R11 3

2

L12

*

*

I I

I

U C3

L1

26

SEMINARUL 6

CIRCUITE ELECTRICE LINIARE N REGIM TRANZITORIU.

ANALIZA N DOMENIUL TIMP

P1. n circuitul din Fig.6.1.a la momentul t=0 se deschide ntreruptorul. Parametrii

circuitului sunt: E1=4V, E2=30V, R1=1, R2=2, R3=3, L=2H. Se cere s se determine curentul

prin bobin dup comutare.

(a) (b) (c)

Fig.6.1

Rezolvare

a) Stabilirea condiiilor iniiale , t0

12 EE

R

L

3R1

1

R2

2

t

27

ctre care evolueaz circuitul. n acest caz regimul permanent va fi staionar , bobina va reprezenta

un scurtcircuit, iar 1)(31

1

RR

Eti

permL.

Astfel 1)()()( 2

31

131

tt

L

RR

LLL eARR

EeAtititi

permliber. Impunnd condiia

2)0( Li se obine valoarea constantei A=-3. n final soluia este t

L eti231)( avnd graficul din

Fig.6.1.d

-2 0 2 4 6 8 10-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

t (s)

iL (A)

Fig.6.1.d

P2. n circuitul din figur la momentul t=0 se nchide ntreruptorul. S se determine

tensiunea la bornele condensatorului dup comutare.

Rezolvare

Se presupune condensatorul iniial descrcat, uC(0)=0.Dup comutare se pot scrie ecuaiile

provenite din aplicarea TK I +TK II la care se adaug relaia curent-tensiune pentru condensator:

Fig.6.2

t

uCi

iRiRu

iRiRE

iii

CC

CC

C

d

d

0 1

1

1

.

Substituind n mod adecvat pentru a obine o ecuaie n necunoscuta uC se obine ecuaia diferenial

t

uRCuE CC

d

d32 .

RR

1

i

i

i

E

t=0

CuC

C

R

28

Ecuaia caracteristic ataat ecuaiei difereniale, 032 RCs are soluia RC

s3

2 .

Soluia general este de forma )()()( tututupermliber CCC

. Componenta de regim liber este soluia

ecuaiei difereniale omogene , stC eAtu liber )( , iar componenta de regim permanent reprezint

valoarea ctre care tinde uC n noul regim permanent care se stabilete dup terminarea regimului

tranzitoriu. n acest caz , deoarece iC perm=0, iperm=i1perm=E/2R, iar uC perm=Ri1perm=E/2. Impunnd

condiia de conservare a tensiunii pe condensator n momentul comutaiei se obine

2/02/)0( EAEAuC i soluia este

tRC

C eE

tu 32

12

)( .

P3. n circuitul din Fig.6.3.a la momentul t=0 comutatorul trece de pe poziia (1) pe poziia

(2). Parametrii circuitului sunt R1=3, R2=1, C=1F, E=4V. Se cere s se determine tensiunea la

bornele condensatorului dup comutare.

(a) (b) (c)

Fig.6.3

Indicaii

a) Determinarea condiiilor iniiale (analiza pentru t0 , comutatorul pe poziia (2) Fig.6.3.c

t

uCi

iii

iRu

iRuE

CC

C

C

C

d

d

21

22

11

2

11 1

d

d

R

Ru

t

uCRE C

C .

Ecuaia caracteristic 3

4110

||21

211

2

1

CRCRR

RRsCsR

R

R.

V1)(;)(21

2

ERR

RtueAtu

permliber C

ts

C . 431)0(;1)(3

4

AAueAtu Ct

C

t

C etu3

4

41)(

.

P4. n circuitul din Fig.6.4.a la momentul t=0 se nchide ntreruptorul. Sursa de tensiune

furnizeaz tensiunea E1=constant. S se determine uC(t) dup comutare.

21

i

ii

C

R1

2

E

C

u C

R

t>0

2

1

i

i

i

C

R1

2

E Cu (0)C

R

t

29

(a) (b) (c)

Fig.6.4

Indicaii

Schema nainte de comutare este reprezentat n Fig.6.4.b. Regimul este staionar. Rezult

1

321

3)0( ERRR

RuC

. Schema pentru determinarea tensiunii uC(t) dup comutare este reprezentat

n Fig.6.4.c. Condensatorul se descarc pe grupul de rezistene R2 n paralel cu R3 conform relaiei:

CR

t

CC eutu||)0()(

.

P5. n circuitul din Fig.6.5.a la momentul t=0 se nchide ntreruptorul. Sursa de tensiune

furnizeaz tensiunea E=25V; ceilali parametri au valorile R1=2,25k, R2=4k, L=9mH, C=1/90 F.

Se cere tensiunea uC(t) dup comutare.

(a) (b) (c)

Fig.6.5

Indicaii

Analiza pentru determinarea condiiilor iniiale se face pe schema din Fig.6.5.b n care bobina

s-a nlocuit cu un scurtcircuit (regim staionar). Se obine iL(0)=0, uC(0)=E=25V.

Dup comutare se analizeaz circuitul din Fig.6.5.c. Sistemul de ecuaii:

t

uCi

ut

iLiR

iRiRE

iii

CL

CL

L

d

d

d

d22

2211

21

.

Ecuaia diferenial avnd ca necunoscut pe uC(t) este

21

2

21

21

2

2

d

d

d

d

RR

REu

u

uC

RR

RR

t

uLC C

C

CC

.

i

i

i 3

C

2

C

uC

RR 32

t>0

R1

1

2

E

t=0

C

uC

R

R3

i

i

i 3

C

1 1

1

2

E C

u (0)C

R +R

R3

t

30

Circuitul este un circuit de ordinul II. Soluia general )()()( tututupermliber CCC

, n care

tsts

C eAeAtu liber21

21)( , s1 i s2 fiind rdcinile ecuaiei caracteristice ataate ecuaiei difereniale

0121

212

sCRR

RRsLC . Numeric se obine s1=-80000+60000j, s2=-80000-60000j.

Soluia de regim permanent se obine analiznd circuitul din Fig.6.5.c n regim staionar, bobina fiind

un scurtcircuit. Se obine iL perm=0, V1621

2

ERR

Ru permC .

Curentul tstsLLCL eAseAsCiit

uCi

liberperm

21

2211d

d . Condiiile de conservare se impun pentru

iL(0) i pentru uC(0).

Se obine sistemul algebric n necunoscutele A1 i A2

0

9

2211

21

AsAs

AA avnd soluia A1=4,5-6j , A2=4,5+6j .

n final, nlocuind i grupnd termenii pentru a pune n eviden funciile cu valori reale, sinus i

cosinus, se obine soluia

)60000sin(1260000cos916)( 80000 ttetu tC ,

avnd graficul reprezentat n Fig.6.5.d. Regimul tranzitoriu este oscilant amortizat.

Fig.6.5.d

P6. n circuitul din figur la momentul t=0 se nchide ntreruptorul. Parametrii circuitului

sunt: U=10V, L=1H, C=1F, 2250R . Se cere tensiunea la bornele condensatorului dup

comutare.

Fig.6.6

Indicaii

Circuitul are condiii iniiale nule , uC(0)=0, iL(0)=0.

Sistemul de ecuaii:

0 1 2 3

x 10-4

15

20

25

t (s)

uC (V)

t=0

Cu

C

R

LL

2

U

31

t

uCii

Riu

ut

iLU

CL

C

CL

d

d

d

d

2

2

.

Ecuaia diferenial n necunoscuta uC : CCC ut

u

R

L

t

uLCU

d

d

d

d2

2

.

Ecuaia caracteristic 0112

LCs

RCs , cu rdcinile )12(10002,1 s (reale, negative, regim

tranzitoriu aperiodic).

Soluia de regim permanent uC perm=U=10V. Soluia de regim liber tsts

liberC eAeAtu21

21)( .

tsts

C eAeAUtu21

21)( , t

uC

R

u

t

uCii CCCL

d

d

d

d2 .

Constantele A1 i A2 se determin din condiiile iniiale 0)()0(

0)0(

221121

21

AsAsCR

AA

R

Ui

AAUu

L

C

.

Numeric se obine )12(5,)12(5 21 AA .

Soluia pentru uC(t) este ttC eetu 2,24142,414 12512510)( .

32

SEMINARUL 7

CIRCUITE ELECTRICE LINIARE N REGIM TRANZITORIU.

ANALIZA CU AJUTORUL TRANSFORMATEI LAPLACE

P1. n circuitul din Fig.7.1.a la momentul t=0 se nchide ntreruptorul. Tensiunea de

alimentare este U0=constant. Se cere curentul prin bobin i tensiunea pe condensator dup comutare. R

R R

L

1

2 3

U t = 00

CuC

Li

(a) (b)

(c) (d)

Fig.7.1

Rezolvare

a) Stabilirea condiiilor iniiale.

Se analizeaz circuitul din Fig.7.1.b (ntreruptorul deschis). Regimul este staionar i bobina

a fost inlocuit cu un scurtcircuit. iC(0)=0, nct 21

022

21

0 )0()0(,)0(RR

URiRu

RR

Ui LCL

.

b) Schema circuitului dup comutare, n domeniul timp, este reprezentat n Fig.7.1.c.

Schema echivalent operaional asociat acesteia este reprezentat n Fig.7.1.d. Se observ prezena

surselor operaionale de tensiune : (0), corespunztoare fluxului magnetic iniial prin bobin (n

serie cu bobina, n sensul curentului iL(0)), respectiv uC(0)/s, corespunztoare tensiunii iniiale pe

condensator (n serie cu condensatorul, avnd polaritatea tensiunii iniiale pe condensator, uC(0)).

Sistemul de ecuaii obinut prin utilizarea formei operaionale a TK I + TK II +TJ este de

forma:

)()()(

)(1)0(

)()()0(

30

20

sIsIsI

sIsC

Rs

u

s

U

sIsLRs

U

CL

CC

L

.

R

R R

L

1

2 3

U0

Cu (0)C

i (0)L

Ci i1

t < 0

R R

sL

2 3

U s

0

u s(0)

U s( )C

C

L

C

1sC

I s ( )

I s ( )

(0)

Li

R R

L

2 3

U0

C

uC

t > 0

33

Din prima ecuaie se obine )(

)(1

)0()0(

)(2

210

2

0

2

0

sQ

sP

L

Rss

RR

Ls

L

U

sLRs

sLiU

sLR

s

U

sI LL

.

Formula de inversiune a lui Heaviside permite exprimarea funciei original atunci cnd

transformata sa Laplace este un raport de polinoame n variabila s. Astfel, dac )(

)()(

sQ

sPsF , n care

cele dou polinoame P(s) i Q(s) sunt prime ntre ele, gradul{ P(s)}

34

)(

)(

)(

1

)(

)0(

)(

21

2121

1

10

2121

110

1sQ

sP

LL

RRsLLs

sR

LE

LLsRR

iLs

E

sI

.

Impunnd Q(s)=0 se obin rdcinile s1=0, 21

212

LL

RRs

.

Calculnd derivata numitorului,21

212)('LL

RRssQ

, i utiliznd formula de inversiune a lui

Heaviside se obine curentul i1(t):

tLL

RR

ts

LLR

LRLR

RR

E

sQ

sP

Q

PsIti

21

21

2

-

211

1221

21

0

2

21

11

e)(

1

e)('

)(

)0('

)0()()( L

n Fig.7.2.c este reprezentat semnalul i1(t).

P3. n circuitul din Fig.7.3.a la momentul t=0 se nchide ntreruptorul. Parametrii circuitului

sunt R1=1, R2=1, L=1H, C=1F, E=6V. Se cere s se determine tensiunea pe condensator dup

comutare.

Fig. 7.2

R

R

i t( )

i

L

L

111

2

2

2

E

t = 00

R

R

I s( ) sL

sL

11 11 1

2

2

E s

0

L i (0)

ER + R

ER

1

1

2

0

t

i1

0

a b )

c)

21

0

RR

E

35

(a) (b)

Fig.7.3

Rezolvare

Circuitul are condiii iniiale nule. Schema echivalent operaional dup comutare este

reprezentat n Fig.7.3.b. Utiliznd TK i regulile de grupare a impedanelor operaionale, tensiunea

UC(s) se poate exprima sub forma:

sCR

sCR

sCR

sCR

sLR

s

E

sCR

sCR

sIsU LC 1

1

1

11

1

)()(

2

2

2

2

1

2

2

.

nlocuind valorile numerice i aducnd la forma raport de polinoame se obine:

)()(

22

6)(

2 sQ

sP

ssssUC

.

Ecuaia Q(s)=0 are rdcinile s1=0, s2=-1+j, s3=-1-j, iar ))(()()()(' 3232 sssssssssssQ .

Aplicnd formula de inversiune a lui Heaviside se obine

34

sin23)(

tetu tC .

P4. n circuitul din Fig.7.4.a la momentul t=0 ntreruptorul trece de pe poziia (1) pe poziia

(2). Tensiunea sursei este U0=constant. Se cere s se determine tensiunea pe condensator dup

comutare.

(a) (b) (c) (d)

Fig.7.4

Indicaii

Schema pentru determinarea condiiilor iniiale este reprezentat n Fig.7.4.b. Se obine

uC(0)=U0, iL(0)=0. Schema dup comutare este reprezentat n Fig.7.4.c, iar schema echivalent

operaional ataat acesteia , n Fig.7.4.d. Se pot exprima IL(s) i UC(s):

R L1

2

C

ii C

C

L

i

E

t = 0

R2

u

R sL1

2

1sC

I s( )I s( ) C

C

L

I s( )

Es

R2

U s ( )

R L1

C

C

U

t = 0

R2

u

(1) (2)

0

R1

C

C

U

u (0)

0

t < 0

iLL

C

C

R2

u

t > 0

I s( )LsL

C

R2

U s( )

t > 0

1sC

us

(0)

C

36

sCsLR

s

u

sI

C

L 1

)0(

)(

2

,

LCs

L

RsLCs

su

sCsLR

s

u

sCs

usI

sCs

usU C

C

CL

CC

1

11)0(

1

)0(1)0(

)(1)0(

)(22

2

.

Condensatorul se descarc pe grupul serie R2 L , procesul tranzitoriu putnd fi aperiodic sau

oscilant amortizat n funcie de natura rdcinilor ecuaiei 0122

LCs

L

Rs (reale sau complexe).

P5. n circuitul din Fig.7.5.a la momentul t=0 se deschide ntreruptorul. Curentul

generatorului este Ig=constant. Se cere s se determine curenii i1(t), i2(t) dup comutare.

(a) (b) (c)

Fig.7.5

Rezolvare

Schema pentru determinarea condiiilor iniiale este reprezentat n Fig.7.5.b. n aceast

schem bobinele au fost nlocuite cu scurtcircuite, iar generatorul real de curent cu unul real de

tensiune. Se pot scrie ecuaiile:

21

21

2211

21

)0(

)0()0(

)0()0()0(

RR

RRR

RIi

iRiR

iii

g

. Rezult

2121

1

2

2121

2

1

)()0(

)()0(

RRRRR

RIRi

RRRRR

RIRi

g

g

.

Schema echivalent operaional dup comutare este reprezentat n Fig.7.5.c. Se observ

prezena surselor operaionale de tensiune corespunztoare condiiilor iniiale, 1(0)=L1i1(0),

2(0)=L2i2(0), n serie cu cele dou bobine. Se poate scrie sistemul de ecuaii

)0()()()0()()(

)()(

22221111

21

iLsIsLRiLsIsLR

sIsIs

Ig

.

Se obine

RR R

LL

2

2

1

1 t = 0

Ig

1

2

i (0)

i (0)

RR

R

21R Ig

RR

sLsL

2

2

2

2

1

1

1

1

Is

g

I s ( )

I s ( )

(0) (0)

37

)(

)(

)(

))0()0(()()(

)()(

21

2121

112211

2

21

sQ

sP

LL

RRsLLs

iLiLsIsLRsI

sIs

IsI

g

g

.

Ecuaia Q(s)=0 are rdcinile s1=0, 21

212

LL

RRs

, iar

21

212)('LL

RRssQ

.

Utiliznd formula de inversiune a lui Heaviside se obine

)()(

)(

)(11)(

21

2121

2211

21

21

21

1

221

21

tiIti

eRRRRR

RLRRL

LL

RR

RR

IRti

g

tLL

RR

g

.

P6. n circuitul din Fig.7.6.a la momentul t=0 se deschide ntreruptorul. Parametrii

circuitului sunt: E=500V, R1=25, R2=100, L=5mH, C=10F. Se cere tensiunea uC(t) dup

comutare.

(a) (b) (c)

Fig.7.6

Indicaii

Schema pentru determinarea condiiilor iniiale este reprezentat n Fig.7.6.b. uC(0)=E,

iL(0)=E/R2. Schema echivalent operaional dup comutare este reprezentat n Fig.7.6.c. Numeric

se obine

)4000sin(6)4000cos(85,12400)( 3000 ttetu tC .

P7. n circuitul din Fig.7.7.a la momentul t=0 se nchide ntreruptorul. Sursa de tensiune este

E=constant. Se cere s se determine curentul n secundar, i2(t), dup comutare.

Fig. 11.25

i I s( ) I s( )i

(a)

(b)

* * * *R

R

R

R

R

L L sL

sLL

L

1

1

1

1

1

1

12 12

2

2 1

2

2

22

2

t = 0

s

EE

Fig.7.7

R

R

L1

2E

t = 0

CuC

R2E C

u (0)C

CLi (0) i (0)

R

sL

2E

1sC

us (0)

C

C

I s( ) I s( )

I s( )

L C

2

(0)

u s ( )

R1

38

Rezolvare

Condiiile iniiale sunt RR

Ei

1

1 )0( , i2(0-)=0,

1

1212111 )0()0()0(RR

ELiLiL

, )0()0()0()0( 112112222 iLiLiL .

Schema echivalent operaional este prezentat n Fig.7.7.b. Ecuaiile de tensiuni n form

operaional au expresiile:

)()()()0(

)()()()0(

1122222

2121111

sIsLsIsLR

sIsLsIsLRs

E

.

Rezolvnd sistemul n raport cu I2(s) se obine:

)(

)(

)()(

)0())0()0(()(

21211221221

2

1221112212

sQ

sP

RRLRLRsLLLs

LERLLssI

.

Notnd cu s1 i s2 rdcinile polinomului Q(s), curentul i2(t) va fi de forma:

tsts

sQ

sP

sQ

sPti

21 e

)('

)(e

)('

)()(

2

2

1

12 .

Trebuie observat c rdcinile s1, s2 sunt reale i negative pentru orice valori ale elementelor de

circuit, fapt ce poate fi uor verificat, regimul tranzitoriu fiind aperiodic cu 0)(lim 2

tit

. n secundar

apare un curent doar pe durata regimului tranzitoriu.

Fig.7.7