1734_4. modelul de regresie_7320

7/25/2019 1734_4. Modelul de Regresie_7320

http://slidepdf.com/reader/full/17344-modelul-de-regresie7320 1/14

Modelul linear unifactorial

Ecuatia de regresie

Metoda celor mai mici patrate

Nicolae-Marius JULA, Universitatea NicolaeTitulescu, Bucuresti



Modelul linear unifactorial

• Să presupunem căprintr-o cercetarestatistică selectivă

privind veniturile şiconsumul familiilor s-aobţinut un eşantion de

tipul celui prezentat întabel

Tabelul 1: Venitul (X) şiconsumul familiilor (Y)

t X Y1 50 452 55 483 60 504 65 605 70 586 75 627 80 588 85 709 90 72

10 95 8511 100 9012 105 8013 110 7514 115 9015 120 9016 125 11017 130 9018 135 9619 140 9020 145 9021 150 12022 155 14023 160 120

24 165 11025 170 140Nicolae-Marius JULA, Universitatea NicolaeTitulescu, Bucuresti



• Diagrama legăturii dintre venitul (X) şiconsumul familiilor (Y):

0

20

40

60

80

100

120

140

160

40 60 80 100 120 140 160 180

Y

X




Ecuaţia de regresie

• Din teoria economică se cunoaşte faptul căveniturile (X) şi consumul familiilor (Y) sunt douăvariabile care nu evoluează independent una dealta, mai exact, consumul depinde în mare

măsură de nivelul veniturilor.• Perechile de valori înregistrate sunt exprimate în

aceeaşi unitate de măsură şi sunt ordonatecrescător în raport cu veniturile.

• Acceptăm, pentru început, ipoteza că la nivelul întregii populaţii consumul depinde linear devenit




• Consumul, ca functie de venit:

Y = f(X,e)

unde e simbolizeaza ceilalţi factori carecontribuie la formarea comportamentului deconsum

• Fie M(Y/X) valoarea anticipată a consumuluiatunci când venitul atinge valoarea X:

M(Y / X) = a0 + a1X




• Daca interpretăm variabila M(Y/X) ca fiindvaloarea medie a consumului calculată pentru

toate familiile care înregistrează un anumitnivel X al venitului, atunci:

• a1 - înclinaţia marginală spre consum a familiilor

din populaţia analizată.• a0 - nivelul consumului atunci când venitul familiei

este zero.

Obs. Interpretarea economică a parametrului a0 porneşte de la

conceptul de nivel al consumului de subzistenţă




• Consumul efectiv înregistrat (Y) nu este întotdeauna egal cu M(Y/X) – valoarea

anticipată a consumului pentru un venit dat X• Consumul efectiv al familiilor ar trebui să fie

scris:

Y = M(Y / X) + eecuaţia de regresie a lui Y în funcţie de X

sau

Y = a0 + a1X + e




De ce apare eroarea e?

1. Deoarece comportamentul economic este suficient de complex,evoluţia variabilei Y este influenţată şi de alţi factori, diferiţi de X.

2. Existenţa unor elemente calitative, greu sau imposibil decuantificat. De exemplu, există elemente dificil de anticipat încomportamentul uman.

3. Este posibil să existe erori în observarea (înregistrarea) valorilorvariabilei Y. În această situaţie, variabila e poate fi considerată drepto măsură a erorilor respective




• Modelarea legaturii dintre X si Y – problema modelării legăturii dintre consum şi

venit este aceea de a determina, folosind dateledisponibile, o formă cât mai adecvată a relaţieidintre cele două variabile

– o dreaptă este complet determinată dacă se

stabilesc valorile a0 şi a1 – modelarea consumului (Y) în funcţie de venit (X)

înseamnă stabilirea unor valori â0 şi â1 pentruparametrii a0 şi a1 astfel încât înlocuind aceste

valori într-o ecuaţie de forma Ŷ = â0 + â1X, cu Xtcunoscut, să se obţină valori Ŷt cât mai apropiatede cele înregistrate în eşantionul selectat (Yt).




• Presupunem că există cel puţin o metodă princare pot fi calculate valorile estimatorilor â0 şi

â1

Definim diferenţa dintre consumul estimat Ŷt

şicel înregistrat efectiv Yt , numita variabila

reziduală:

ut

= Yt

– Ŷt

, t =1, 2, ..., n




• abaterea e măsoară diferenţa dintre variabila Y şiM(Y/X) – anticipaţia privind nivelul variabilei respectiveatunci când evaluarea priveşte întreaga populaţie, iar

această valoare (e) rămâne necunoscută;

• variabila reziduală u reprezintă abaterea dintre valorileY din eşantionul studiat şi estimările Ŷt privind valorilerespective determinate pe baza datelor din eşantion.

Aceasta înseamnă că, în măsura în care Ŷ este o estimarepe baza unei selecţii a valorii anticipate M(Y/X),variabila reziduală u este estimarea calculată pe bazaaceleaşi selecţii pentru variabila de abatere e.




Metoda celor mai mici pătrate

Y

X

Y

X

Y

X

XaaY 10

Yt

Xt

Y

X

XaaY 10

Yt

Xt

t10t XaaY

ut

Y

X

XaaY 10

Grafic, criteriul aplicat în cazul metodei celor mai mici pătrate este următorul:dreapta care asigură cea mai bună ajustare a punctelor empirice (dreapta deregresie) este aceea pentru care se minimizează suma pătratelor abaterilor dintrepunctele de pe grafic şi punctele care au aceiaşi abscisă pe dreapta de regresie,abaterile fiind măsurate vertical




Sistemul de ecuaţii normale:

n

1t

n

1t

n

1t

2

t1t0tt

n

1t

t10

n

1t

t

Xaˆ

Xaˆ

YX

XaanY




Fie â0 = 10.87, respectiv â1 = 0.679. Atunci X10 = 95 şi Ŷ10 se calculează:Ŷ10 = 10.87 + 0.679·95 = 75.375. În realitate, Y10 = 85. Diferenţa de 9.625 dintre consumul estimat Ŷ10 şi cel

înregistrat efectiv Y10 reprezintă eroarea de anticipare.

Diferenţa dintreconsumul estimat Ŷt şi cel

înregistrat efectiv Yt

reprezintă o estimare avariabilei de abatere et

din modelul de regresie.Mărimea respectivă,notată ut, se numeştevariabila reziduală dinecuaţia de regresie.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

1 0 0

1 0 5

1 1 0

1 1 5

1 2 0

1 2 5

1 3 0

1 3 5

1 4 0

1 4 5

1 5 0

1 5 5

1 6 0

1 6 5

1 7 0

1 7 5

1 8 0

Ŷ10 = 75.375

u10 = 9.625

Y10 = 85


1734_4. modelul de regresie_7320

Documents