LOGICA, anul I, CRP, SO

Bibliografie1. Aristotel: Metafizica, Ed. Acad. RSR, Bucureti, 19652. Aristotel: Organon, vol. I-IV, Ed. tiinific, Bucureti, 1957-19633. Bielz, P.: Logica, manual cl.a IX, Ed. Did. i Ped., Bucureti, 19924. Bieltz, P.: Logic i gndire critic, Editura Universitii Titu

Maiorescu, Bucureti, 20085. Botezatu, P.: Adevaruri despre adevar, ed. Junimea, Iasi, 19816. Botezatu, P.: Valoarea deduciei, Ed. tiinific, Bucureti, 19697. Botezatu, P.: Introducere in logica, ed. Polirom, Iasi, 19978. Didilescu, I., Botezatu, P.: Silogistica, Ed. Did. i Ped., Bucureti,

19769. Dima, T: Metodele inductive, ed. St. si Ped., Bucuresti, 197510. Dumitriu, A.: Istoria logicii, Ed. Did. i Ped., Bucureti, 197511. Enescu, Gh.: Logic i adevr, Ed. Politic, Bucureti, 196712. Enescu, Gh.: Dicionar de logic, Ed. t. i Encicl., Bucureti,

198513. Enescu, Gh.: Fundamentele logice ale gndirii, Ed. t. i

Encicl., Bucureti, 198014. Gavriliu, L.: Mic tratat de sofistic, Ed. IRI, Bucureti, 199615. Hegel, G.W.F.: Logica, Ed. Acad. RPR, Bucureti, 196216. Ionescu, N.: Curs de logic, Ed. Humanitas, Bucureti, 199317. Ionescu, N.: Curs de istorie a logicii, Ed. Humanitas, Bucureti,

199318. Leibniz, G.W.: Monadologia, Ed. Humanitas, Bucureti, 199419. Maiorescu, T.: Scrieri de logic, Ed. t. i Encicl., Bucureti,

198820. Petrovici, I.: Probleme de logica, ed. Agora, Iasi, 199621. Surdu, Al.: Logica clasica si logica matematica, Ed. Stiintifica,

Bucuresti, 197122. Svulescu, S.: Retoric i teoria argumentrii, Ed. SNSPA,

Bucureti, 200123. Stoianovici, D., Dima, T., Marga, A.: Logica

general, Ed. Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1990

Curs 1

LOGICA. OBIECT I JUSTIFICRI PROPEDEUTICE

Cunotinele, convingerile, opiniile i presupunerile noastre, ale tuturor, sunt formulate n (sau ca) propoziii. Propoziiile pot fi adevrate sau false. Adevrat i fals sunt n logic valori de adevr, sau valori alethice.

Valorile de adevr pot fi atribuite prin confruntarea direct a coninutului propoziional cu starea de lucruri, atunci cnd lucrul acesta este posibil, sau prin raportare (mediatoare) la alte propoziii. Fiecare dintre aceste variante corespunde cte unei teorii a adevrului (teoria adevrului- coresponden, respectiv teoria adevrului- coeren) de mare importan n gnoseologie, dar asta e alt poveste.

Procesul de determinare a valorii de adevr a unei propoziii cu ajutorul altor propoziii se numete inferen.

O inferen are premise (propoziii oferite drept temei) i concluzie (propoziia ntemeiat prin inferen). Ea (inferena) este valid din punct de vedere logic dac adevrul premiselor sale garanteaz adevrul concluziei.

Problema validitii inferenelor este distinct de problema valorii de adevr a propoziiilor componente. Validitatea presupune existena unor relaii specifice, de decurgere logic (sau consecin), ntre premisele i concluzia inferenei:

dac premisele sunt adevrate, concluzia este adevrat; dac e fals concluzia, cel puin una dintre premise e fals.

Astfel, cu privire la determinarea valorii de adevr a unei propoziii prin raportare la alte propoziii, a vrea s reinei:

O inferen are concluzie adevrat dac are premise adevrate i este valid.

Din aceast perspectiv, Logica este teoria inferenei valide. Sau, pentru a meniona o alt definiie, Logica este tiina legilor i formelor gndirii corecte. Printele logicii este socotit, n spaiul cultural occidental, Aristotel (384-322

.Ch.). Scrierile lui logice, Categoriile, Despre interpretare, Analiticile prime, Analiticile secunde, Topicele i Respingerile sofistice au fost grupate mai trziu sub titlul de Organon.

Organon nseamn instrument. Titlul surprinde dimensiunea propedeutic a exerciiului logic. Acesta pregtete intelectul n vederea angajrii coerente, clare i riguroase ntr-un (orice) demers de investigare.

Logic i limbajAadar, legile i formele gndirii corecte se constituie n obiect de studiu al logicii.

Dar gndirea, arat unii filosofi contemporani (ne aflm, potrivit acestora, n paradigma comunicaional, adic facem din comunicare principalul nostru obiect de interes teoretic), este inseparabil de limbaj. Limbajul este mediul de formare a gndirii. Limbajul exprim coninuturi de gndire. Nu este posibil gndirea n afara limbajului. Nu este posibil, de asemenea, un limbaj vid de orice coninut de gndire.

E ndreptit, n acest context, interesul logicii pentru limbaj.Cteva precizri terminologice, acum:

Limba este un sistem de semne care servesc comunicrii. Limba are lexis i gramatic. Lexicul este totalitatea semnelor (cuvintelor) limbii. Gramatica este totalitatea regulilor de folosire a lexicului.

Limbajul este limba manifest. Aceleiai limbi i corespund mai multe limbaje (diverse feluri de argou, jargon, dialecte). Vorbim o limb i utilizm un limbaj.

Limbajul curent este limbajul utilizat n comunicarea uman cotidian. Limbajul curent pune pentru logic problema reducerii impreciziei termenilor. Limbajul artificial, ca soluie a problemei impreciziei termenilor, reprezint o standardizare a limbajului natural. Tendina de standardizare, manifest de la nceputurile logicii, a fost amplificat de dezvoltarea logicii matematice, simbolice i a interesului manifest n interiorul acestei discipline pentru soluionarea problemei paradoxurilor logico-matematice, la nceputul secolului XX.

(V aducei aminte, cred, de Epimenide, cretanul, spune c toi cretanii mint. Bertrand Russell, un filosof despre vom mai povesti, a folosit o formulare alternativ pentru acelai tip de paradox ca suport al tentativei de rezolvare a problemei: (cam aa) Brbierul satului, adic steanul care i brbierete pe cei care nu se brbieresc singuri, se brbierete sau nu se brbierete singur?)

Pe fondul acestor dezvoltri, s-a conturat n filosofia contemporan interesul pentru analiza logic a limbajului. Facilitnd nlturarea erorilor date de limbaj n cunoatere, aceasta susinea reconstrucia logic a limbajului plecnd de la enunuri elementare.

Relaia dintre referin, semnificaie i sens s-a aflat n centrul acestei reconstrucii.

Referin, semnificaie, sens

n logic, termenul este un cuvnt sau un ansamblu de cuvinte care exprim o noiune i se refer la unul sau mai multe obiecte, reale sau ideale. Termenul are, astfel, trei componente:

lingvistic, reprezentat de cuvnt (sau expresie)cognitiv, reprezentat de noiune (sau concept)ontologic, reprezentat de obiect (sau referin)

Faptul c o expresie se refer la un obiect (adic expresia are un referent) i confer expresiei semnificaie. Modul n care expresia se refer la obiectul semnificat i confer expresiei sens.

Relaia de semnificare, adic de asociere a expresiei cu obiectul, se constituie la nivel individual. Sensul este conferit la nivel comunitar.

Semnificaia este, aa cum desigur bnuii deja, altceva dect referina. Avem termeni cu aceeai semnificaie i referine diferite, ca, de exemplu, termenul corespunztor cuvntului Eu. Avem termeni cu semnificaii diferite i aceeai referin, ca de exemplu, triunghi cu laturi egale/ triunghi cu unghiuri egale. i avem, cirea pe tort, termeni cu semnificaie i fr referin, ca perpetuum mobile.

Dar despre referin, semnificaie i sens va mai fi de multe ori vorba n anii acetia de coal. Teoriile comunicrii i cunoaterea tiinific datoreaz mult analizei logice a limbajului.

Curs 2

PRINCIPIILE LOGICII

Principiile logicii sunt legi logice de maxim generalitate din care deriv celelalte legi i reguli logice. Respectarea lor este condiie necesar pentru validitatea operaiilor logice.

Logica general admite existena a patru principii:

1. Principiul identitii: n formulare aristotelian, originar: Identic n sine se spune despre lucrurile a cror materie e una, fie ca specie, fie ca numr, ct i despre acelea a cror substan e una., i n formularea lui Leibniz, clarificatoare, Fiecare lucru este ceea ce este i n attea instane cte sunt, A este A , B este B.

2. Principiul noncontradiciei: (n formularea lui Aristotel) Este peste putin ca unuia i aceluiai subiect s i se potriveasc i totodat s nu i se potriveasc unul i acelai predicat

3. Principiul terului exclus: Dar nu este cu putin nici s existe un termen mijlociu ntre cele dou membre extreme ale unei contradicii i despre orice subiect trebuie s fie afirmat ori negat fiecare predicat.

4. Principiul raiunii suficiente (adugat celorlalte de ctre Leibniz): Niciun fapt nu poate fi adevrat sau real, nicio propoziie nu poate fi veridic, fr s existe un temei, o raiune suficient pentru care lucrurile sunt aa i nu altfel, dei de cele mai multe ori temeiurile acestea nu ne sunt cunoscute. (apud. Stoianovici .a., 1990)

(ntr-o ncercare foarte rudimentar de exemplificare a operrii cu principiile, Eu sunt eu. M-am nscut n Braov, aadar nu m-am nscut n afara Braovului.

Dac n-ar fi adevrat c m-am nscut n Braov, ar fi adevrat c m-am nscut n afara Braovului, nu exist alt variant. M-am nscut n Braov pentru c mama mea se afla n Braov n perioada naterii mele.)

Principiile logicii sunt:

formale, ntruct regizeaz procesele de raionare fr a se referi la caracteristicile particulare, concrete ale obiectelor;

constitutive gndirii, ntruct redau modalitatea cognitiv de abordare a lumii;

ntemeiate ontic, ntruct exprim trsturile de maxim generalitate ale lumii;

fundamentale, ntruct legile i regulile logicii le presupun i le particularizeaz n operaii logice

(de exemplu, silogismul, inferen deductiv cu dou premise, are cteva reguli generale de validitate, ntre care i urmtoarele:

-silogismul s aib trei i numai trei termeni, adic termenul mediu, cel care leag ntre ele premisele, s aib aceeai semnificaie n cele dou premise.

Dac aceast regul nu este respectat este nclcat principiul identitii, ca n exemplul de mai jos:

Pisica mnnc oareci. oareci e cuvnt .Pisica mnnc un cuvnt.

-n concluzia silogismului extensiunile termenilor nu pot fi mai mari dect n premise, adic nivelul de generalitate al concluziei nu poate fi mai ridicat dect al oricrei premise.

Dac aceast regul nu este respectat este nclcat principiul raiunii suficiente.);

propoziii necesare, ntruct propoziiile adevrate presupun adevrul acestora.

Principiile organizeaz gndirea, conturnd schema gradelor ei de libertate i astfel, mai spectaculos, modelnd realitatea.

Principiul identitii, formulat A=id A, indic persistena proprietilor definitorii ale unui obiect. Principiul pretinde termenilor implicai ntr-un raionament s-i pstreze nelesul pe parcursul raionamentului. Principiul identitii asigur gndirii claritatea.

Observaii: 1. limbajul natural ngduie frecvente nclcri ale principului identitii, n

sinonimie, omonimii .a.2. identitatea pe care o cere principiul (A=A) este altceva dect egalitatea,

echivalena sau congruena (A=B). n cazul lor, termenii implicai n relaie sunt diferii.

Principiul noncontradiciei, formulat (A & A), indic imposibilitatea coexistenei nsuirilor incompatibile. Acesta este, potrivit lui Aristotel, principiul suprem al cunoaterii. Principiul noncontradiciei asigur gndirii coerena.

Principiul terului exclus, formulat A v A, indic necesitatea ca una dintre proprietile contradictorii s fie adevrat. Potrivit lui, o propoziie este sau acceptat sau neacceptat ntr-un sistem de propoziii, alt variant neexistnd. Principiul terului exclus asigur gndirii consecvena.

Observaie: Propoziiile referitoare la evenimente viitoare, contingente, de asemenea

propoziiile referitoare la mulimi infinite suspend interogaiile despre aplicarea principiului terului exclus.

Principiul raiunii suficiente indic accesibilitatea i caracterul necesar al cunoaterii veritabile. Dup domeniul de aplicaie, principiul ngduie formulri diferite: Orice stare este precedat de alta, din care rezult cu necesitate; n spaiu i timp obiectele se determin i se condiioneaz; Orice aciune are un motiv; Dac se formuleaz o judecat, aceasta trebuie s aib un temei.

Principiul raiunii suficiente are caracter metodologic i asigur gndirii fundamentarea.

Principiile sunt formulate ca judeci. n ntemeierea acestora (ca evideniere a temeiului lor) ns, nu poate fi ignorat statutul lor special:

principiile sunt presupuse de propoziiile logice, aadar nu pot fi ntemeiate prin astfel de propoziii;

principiile sunt legi logice de maxim generalitate, aadar nu pot fi deduse din alte legi logice.

Din aceste motive, ntemeierea principiilor este indirect, adic prin consecinele considerrii lor ca false.

Astfel, 1. falsitate principiului identitii are drept consecin imposibilitatea

distingerii obiectelor (fiecare dintre acestea poate fi orice). (Bunoar, dac vi s-ar cere s rezolvai un exerciiu anume la examen, ai putea rezolva orice alt exerciiu, sau ai putea compune o poezie pe care s le prezentai cu succes drept rezolvrile cerute);

2. falsitatea principiului noncontradiciei are drept consecin caracterul accidental al tuturor proprietilor obiectelor. (Un examen dat ar fi trecut i picat la aceeai prezentare.);

3. falsitatea principiului terului exclus are drept consecin imposibilitatea distingerii adevrului de fals (Ar putea s nu fie adevrat c dac ai luat examenul nu l-ai picat) ;

4. falsitatea pricipiului raiunii suficiente are drept consecin imposibilitatea distingerii cunoaterii veritabile de pretinsa cunoatere (Ai putea socoti c e suficient s v prezentai n locul i la data la care e programat examenul pentru a obine o not de trecere).

Desigur, ncercrile de exemplificare pot fi simultan prilejuri pentru ntrebri care s nclceasc mai tare lucrurile. Propoziiile formulate n limbaj curent ngduie felurite tlmciri i rstlmciri. nc de la Aristotel logicienii sunt grijulii cu privire la acest aspect.

Pentru prevenirea impreciziilor, aplicarea pricipiilor logicii este ntrit prin evidenierea supoziiilor de validitate. Astfel,

n acelai timp i sub acelai raport, A=id A, n acelai timp i sub acelai raport (A & A), n acelai timp i sub acelai raport, A v A, n acelai timp i sub acelai raport, dac se formuleaz o judecat, aceasta

trebuie s aib un temei.

Formularea supoziiilor de validitate nu restrnge utilizarea principiilor, ci i d acesteia rigurozitate. Supoziiile de validitate nu mpiedic schimbrile, ci ngduie o definire corect a lor.

Curs 3

LOGICA TERMENILOR

(V aduc aminte, n logic, termenul este un cuvnt sau un ansamblu de cuvinte care exprim o noiune i se refer la unul sau mai multe obiecte, reale sau ideale.)

Ca teorie a predicaiei, adic a caracterizrii unui termen cu ajutorul altui termen, logica termenilor este parte a logicii generale.

Limba are, aa cum tii deja, lexis i gramatic. Cuvintele din lexis au neles ontic sau operaional. Cuvintele cu neles ontic intr n alctuirea termenilor categorematici (de la kategorein, a predica, gr.). Cuvintele cu neles operaional intr n alctuirea termenilor sincategorematici.

Acum, termenii categorematici pot fi:saturai (sau categorematici n sens strict), cu neles de sine stttor,

independent de context. Aceti termeni pot fi exprimai prin cuvinte izolate (substantive, pronume), substantive determinate de adjective (ex. grupa mare), sintagme (ex. limbaj de lemn), propoziii determinative (ex. Cel ce Sunt), fraze determinative.

nesaturai (sau consignificativi), termeni care dobndesc neles prin ataare la termeni saturai. Aceti termeni pot fi exprimai prin adjective, adverbe, verbe.

Termenii sincategorematici pot sta lng subiect (ex. toi, unii, niciun, numai,...) sau lng predicat (ex. necesar, posibil,), pot lega subiectul de predicat (ex. este, nu este) sau pot fi conectori logici (ex. i, dacatunci, sau).

Termenii categorematici pot fi clasificai n multe feluri, utiliznd diferite criterii. Dar naintea prezentrii acestei clasificri, cteva precizri:

Extensiunea unui termen reprezint mulimea obiectelor la care cuvntul aferent termenului se refer.

Intensiunea unui termen reprezint proprietatea sau ansamblul de proprieti caracteristice mulimii de obiecte la care cuvntul aferent termenului se refer.

Termenul i denot (indic) extensiunea i i conoteaz intensiunea. ntruct exist termeni cu intensiuni diferite i aceeai extensiune (de exemplu triunghi echilateral i triunghi echiunghiular), dar nu exist termeni cu extensiuni diferite care s aib aceeai intensiune, intensiunea determin extensiunea.

Clasificarea termenilor categorematici, acum:

A. din punct de vedere extensional, 1. termenii sunt vizi sau nevizi. Este vid un termen a crei

extensiune nu conine niciun element. Termenii de acest fel conoteaz proprieti contradictorii. Caracterul contradictoriu al acestora poate fi explicit, ca, de exemplu, n cazul termenului cerc ptrat, sau implicit, ca n cazul termenului actualul preedinte al Marii Britanii.

2. termenii sunt individuali sau generali. Este individual un termen a crei extensiune conine un singur element. De exemplu, actuala capital a Romniei, sau numr prim divizibil cu 2. Este general un termen care are n extensiune cel puin dou elemente (capital, numr prim).

3. termenii sunt colectiv sau divizivi. Un termen este colectiv dac denot o colecie de obiecte care au mpreun proprieti diferite de cele ale fiecruia luat n parte. De exemplu, pdure, armat, bibliotec. Un termen este diviziv dac proprietile obiectelor pe care le denot se regsesc ca proprieti ale fiecrui obiect denotat n parte. De exemplu, copac, soldat, carte.

4. termenii sunt precii sau vagi. Un termen este precis dac despre orice obiect se poate afirma cu certitudine c aparine/ nu aparine extensiunii acelui termen. Triunghi sau element chimic sunt termeni precii. Un termen este vag dac despre un obiect nu se poate afirma cu certitudine c aparine/ nu aparine extensiunii termenului. Termenii vagi au nucleu i margini ale extensiunii. n zona de margine, ndeplinirea criteriului de apartenen este nesigur. Tnr sau sntos sunt termeni vagi. (Specialistul, n spe medicul, opereaz n nucleul extensiunii termenilor. Omul de rnd opereaz n marginile acesteia, dup criterii subiective.)

B. din punct de vedere intensional, 1. termenii sunt abstraci sau concrei. Un termen abstract

conoteaz o nsuire considerat n sine, nelegat de un obiect determinat. Un teremen abstract conoteaz nsuiri ale unui obiect determinat. De exemplu, albastru e termen abstract iar albastru de Vorone e termen concret.

2. termenii sunt absolui sau relativi. Un termen absolut conoteaz nsuiri care pot fi enunate despre obiecte individuale, izolate unele de altele. De exemplu, om, carte, numr par. Un termen relativ conoteaz nsuiri care caracterizeaz obiectul denotat numai ca rezultat al relaiei dintre acel oboect i alte obiecte. De exemplu, sinonim, nsoitor, mam.

3. termenii sunt independeni sau corelativi. Un termen este independent dac n conotaia acestuia nu este necesar referirea la alt termen sau la negaia unui alt termen. Greutate, culoare, triunghi sunt termeni independeni. Un termen este corelativ dac n conotaia acestuia este antrenat necesar referirea la alt termen sau la negaia unui alt termen. Absolut/relativ, cauz/efect, sfer/coninut sunt perechi de termeni corelativi.

4. termenii sunt pozitivi sau negativi. Un termen pozitiv conoteaz prezena uneia sau mai multor proprieti la un obiect. Un termen negativ conoteaz privarea obiectului de una sau mai multe proprieti. De exemplu, orb sau nevertebrat sunt termeni negativi.

O observaie aici: termenii negativi nu sunt exprimai cu necesitate prin formulri ligvistic negative, adic utiliznd prefixe privative: a-, ne-, in-, anti-, etc. Aa cum am menionat deja, orb, adic lipsit de vedere, e termen negativ.

Aa cum bine ai observat la curs, clasificarea nu este absolut. Revelaia face din termenul abstract Dumnezeu un termen concret. Mam este termen relativ atunci cnd este pus n relaie cu termenul copil (mama este mam ntruct este mama cuiva), dar este termen absolut atunci cnd conoteaz nsctoare, sau ddtoare de via. Aezarea termenilor n una sau alta dintre clase este dependent de contextul discursului i de universul acestuia. Precizarea lor diminueaz impreciziile de utilizare a termenilor i le uureaz clasificarea.

Contextul discursului reprezint mulimea de propoziii i fraze n asociaie cu care este folosit termenul (care determin nelesul asociat termenului). ntr-un context bogat, termenul este conturat precis. ntr-un context srac se deschid mai multe ci de interpretare a termenului.

Universul discursului reprezint mulimea termenilor avui n vedere ntr-un anumit context.

Am menionat mai sus sfer/coninut ca termeni corelativi. Caracterul corelativ al acestora este evideniat de definiiile lor. Astfel,

Sfera termenului reprezint elementul din structura noiunii care reflect extensiunea termenului a crui intensiune este reflectat de coninutul termenului.

Coninutul termenului reprezint elementul din structura noiunii care reflect intensiunea termenului a crui extensiune este reflectat de sfera termenului.

Vom tot folosi aceti termeni. inei minte, mai simplu, sfera reflect mulimea de obiecte i coninutul mulimea de proprieti comune obiectelor aferente unui termen.

Structura termenilor

Din punct de vedere extensional, Noiunile sunt genuri (noiuni includente) sau specii (noiuni incluse). Genuri sau

specii fiind, noiunile alctuiesc serii i sisteme de noiuni. Seria de noiuni este un lan finit de noiuni exhaustiv ordonate prin relaia de

incluziune a extensiunilor. De exemplu, triunghi dreptunghic isosceltriunghi dreptunghictriunghipoligon convex reprezint o serie de noiuni (tiu c nu v plac exemplele acestea. Sunt folositoare pentru c sunt clare, nu ngduie interpretri multiple. Adugai, aa cum am convenit, orice exemplu corect i sugestiv v place).

Sistemul de noiuni este o grupare de noiuni parial ordonate dup relaia de incluziune a extensiulilor. De exemplu,

triunghi dreptunghic isosceltriunghi dreptunghictriunghipoligon convex

patrulater cu un unghi drept i laturi egalepatrulater

cu un unghi dreptpatrulater

pentagon

reprezint un sistem de noiuni. Seriile i sistemele de noiuni alctuiesc universurile de discurs. n interiorul

acestora, noiunile se ordoneaz de la speciile ultime (noiuni cu sfera cea mai

mic, nu sunt genuri pentru alte noiuni n respectivul univers de discurs), prin noiunile concomitent gen i specie, pn la genul suprem (noiunea cu sfera cea mai mare, nu este specie n acel univers de discurs).

Genul include specia n extensiunea sa, iar specia include genul n intensiunea sa.

Relaia dintre intensiunea i extensiunea unui termen este guvernat de legea variaiei inverse: n orice serie de noiuni, ordinii de cretere a extensiunii i corespunde o ordine de descretere a intensiunii i reciproc.

Din punct de vedere intensional, Noiunile au note (adic nsuiri, trsturi, caracteristici). Acestea sunt de mai

multe feluri:note ce aparin tuturor elementelor extensiunii specifice: propriul noiunii

nespecifice: notele-gennu aparin tuturor elementelor extensiunii: accidentul noiunii.

Propriul noiunii reprezint clasa de note caracteristice ce intr n intensiunea noiunii n mod exclusiv.

Cu ajutorul lui se definesc i se descriu termenii.

Notele-gen reprezint clasa de note nespecifice unei specii, dar specifice genului acesteia.

Cu ajutorul lor se determin proprietile generale ale obiectelor.

Accidentul unei noiuni reprezint clasa de note nespecifice ale genului reprezentnd propriul uneia dintre speciile sale.

Cu ajutorul lui se opereaz diviziunea noiunilor.

De exemplu, pentru seria de termeni utilizat ca exemplu mai sus, triunghi dreptunghic isosceltriunghi dreptunghictriunghipoligon convex,

-nota poligon convex este not-gen pentru noiunea triunghi (i pentru noiunile

triunghi dreptunghic i triunghi dreptunghic isoscel)-nota cu un unghi drept este propriu pentru noiunea triunghi dreptunghic, not-

gen pentru noiunea triunghi dreptunghic isoscel i accident pentru noiunea triunghi-nota cu dou laturi egale este propriu pentru noiunea triunghi dreptunghic

isoscel i accident pentru noiunea triunghi dreptunghic (i pentru noiunea triunghi).

Gata.

Curs 4

Raporturi logice ntre termeni generali

Dac termenii generali aparin unor universuri de discurs diferite, termenii sunt incomparabili. Dac aparin aceluiai univers de discurs, atunci sunt comparabili, aflndu-se unii fa de alii n raporturi de concordan sau n raporturi de opoziie.

Raporturile de concordan pot fi raporturi de: identitate

subordonare/ supraordonarencruciare (neexhaustiv)subcontrarietate (ncruciare exhaustiv).

Raporturile de opoziie pot fi raporturi de:contrarietatecontradicie.

Raporturile acestea sunt evideniabile la nivel extensional i la nivel intensional.

Raporturi extensionale ntre termeni generaliPentru reprezentarea grafic operaional a raporturilor dintre termenii generali

sunt utilizate diagramele Euler i Venn.

Diagramele Euler reprezint relaiile dintre sferele termenilor ca relaii ntre mulimi n universul de discurs.

Diagramele Venn reprezint ntotdeauna extensiunile termenilor aflai n relaie ca cercuri care se intersecteaz n universul de discurs i marcheaz suplimentar, prin x sau haur, prile din aceste extensiuni despre care exist informaii cu privire la caracterul vid/ nevid al lor.

n diagramele Venn se haureaz zona vid de elemente i se marcheaz cu x zona n care exist cel puin un element. O zon nemarcat este o zon indiferent informativ.

Diagramenle Venn mpart universul de discurs al relaiei dintre doi termeni n patru regiuni:

1. AB, adic elementele care sunt A, dar nu sunt i B; 2. AB, adic lementele care sunt att A, ct i B;3. AB, adic elementele care sunt B,dar nu i A; 4. AB, adic elementele care nu sunt nici A, dar nici B.

i acum, reprezentarea raporturilor (de concordan i opoziie) menionate anterior:

Raportul de identitate, n cazul cruia Toi A sunt B, Toi B sunt A, Toi A sunt B i Toi B sunt A, se reprezint grafic astfel (diagram Euler / diagram Venn):

Raportul de subordonare, n cazul cruia Toi A sunt B, Exist B care nu sunt A i Exist A care sunt B, se reprezint grafic astfel:

Raportul de supraordonare, n cazul cruia Toi B sunt A, Exist A care nu sunt B i Exist A care sunt B, se reprezint grafic astfel:

Raportul de ncruciare (neexhaustiv), n cazul cruia Exist A care sunt B, Exist A care nu sunt B, Exist B care nu sunt A i Exist A care sunt B, se reprezint grafic astfel:

Raportul de subcontrarietate (ncruciare exhaustiv), n cazul cruia Exist A care sunt B, Exist A care nu sunt B, Exist B care nu sunt A i Nu exist A care sunt B, se reprezint grafic astfel:

Raportul de contrarietate (excluziune neexhaustiv), n cazul cruia Exist A care nu sunt B, Exist B care nu sunt A, Nu exist A care sunt B i Exist A care sunt B, se reprezint grafic astfel:

Raportul de contradicie (excluziune exhaustiv), n cazul cruia Exist A care nu sunt B, Exist B care nu sunt A, Nu exist A care sunt B i Nu exist A care sunt B, se reprezint grafic astfel:

Raporturi intensionale ntre teremni generalin calitate de predicabil, un termen devine not. Din punct de vedere intensional,

raporturile ntre doi termeni sunt raporturi ntre posibile note ale unui al treilea termen. Astfel,

n raporturile de concordan (identitate, subordonare, supraordonare, ncruciare, subcontarietate) doi termeni pot figura simultan ca note n intensiunea cel puin unui alt termen.

n raporturile de opoziie (contrarietate i contradicie) doi termeni nu pot figura simultan ca note n intensiunea unui alt termen.

Termenii contrari se caracterizeaz prin absena notelor specifice termenilor opui i prin prezena unor note proprii. Ca predicate, termenii contrari nu pot fi afirmai n acelai timp despre acelai subiect, dar pot fi negai n acelai timp (contrarietatea pune n eviden principiul noncontradiciei). Termenii contrari divid universul de discurs n mai mult de dou regiuni.

Termenii contradictorii se caracterizeaz prin faptul c unul are ca not principal absena celuilalt termen. Termenii contradictorii sunt fiecare negaia celuilalt. Ca predicate, nu pot fi enunai nici ca aparinnd, nici ca neaparinnd

mpreun n acelai timp aceluiai subiect (contrarietatea pune n eviden conjugarea principiului noncontradiciei cu principiul terului exclus). Termenii contradictorii divid universul discursului n dou regiuni.

Raporturile existente ntre termeni ngduie derivarea unor termeni din alii. Derivrile acestea se numesc operaii logice cu termeni i pot fi de mai multe feluri:

Operaii logice cu termeni

Relaie descendent

Relaie ascendent

Relaie biunivoc

( )

Gen-specie Specificare Generalizare

ntreg-parte Difereniere Integrare

Relaie univoc

( )

Gen-specie Diviziune Clasificare

ntreg-parte Analiz Sintez

Specificarea este operaia logic prin care se construiete specia dintr-un gen al su.

Generalizarea este operaia logic prin care se construiete genul dintr-o specie a sa.

Diviziunea este operaia logic de descompunere a genului n speciile sale. Genul este termenul de divizat, speciile sunt membrii diviziunii. Diferena specific (dintre specii) reprezint fundamentul diviziunii. (Dup relaia dintre msurile laturilor i unghiurilor lor, poligoanele pot fi regulate sau neregulate e un exemplu de descompunere a genului poligon n speciile regulat i neregulat, dup diferena specific relaie dintre msurile laturilor i unghiurilor lor.)

Clasificarea este operaia logic de alctuire a genului din speciile sale. Diferena specific reprezint criteriul clasificrii. Aceasta poate fi natural sau artificial, dup cum criteriul este sau nu not definitorie a genului. (Merele, prunele i strugurii sunt fructe e o clasificare natural. Merele, prunele i globurile de Crciun sunt obiecte cu suprafa lucioas i curb e o clasificare artificial.)

Diferenierea este operaia logic prin care dintr-un termen care se refer la un ntreg se construiete un termen care se refer la una dintre prile ntregului.

Integrarea este operaia logic prin care dintr-un termen care se refer la una dintre prile ntregului se construiete un termen care se refer la ntreg.

Analiza este operaia logic prin care din termenul care se refer la ntreg se construiete mulimea termenilor care se refer la prile sale.

Sinteza este operaia logic prin care din mulimea termenilor care se refer la prile unui ntreg se construiete termenul pentru ntreg.

(Dac nu se potrivete ceea ce ai notat la curs cu ceea ce tocmai ai citit, corectai, v rog frumos, notiele.)

Pentru a fi corecte, operaiile logice cu termeni trebuie s respecte cteva reguli:

operaiile necesit trei termeni: termenul dat, termenul construit i diferena specific);

termenul dat i cel construit se afl n raport de ordonare;nota adugat/ ndeprtat prin operaie reprezint o diferen specific;fundamentul diviziunii/criteriul calsificrii trebuie s fie unic;diviziunea/ clasificarea trebuie s epuizeze extensiunea genului (n caz contrar,

operaiile sunt fie incomplete, fie abundente).

Curs 5

Definiia

Definiia este operaia logic de precizare a extensiunii i intensiunii termenilor. Este o operaie complex, conjugnd n moduri diferite operaiile simple prezentate anterior.

Definiia are form propoziional. Termenii se definesc prin intermediul altor termeni.

A=dfB

Definiia conine un termen de definit (definiendum), unul sau mai muli termeni prin care se definete (definiens) i relaia de echivalen ntre aceste dou pri. Definiia red semnificaia i sensul termenilor. Acestea alctuiesc coninutul definiiei.

Definiia delimiteaz i ordoneaz obiectele, ndeplinind mai multe funcii cognitive. Astfel,

fixeaz experienele de cunoatere,precizeaz nelesul termenilor, permind introducerea de termeni noi i

facilitnd traducerea expresiilor,susine folosirea colectiv a termenilor.

Dup procedeul de definire, definiiile pot fi denotative sau contative. Definiiile denotative evideniaz extensiunea termenului de definit. Definiiile conotative evideniaz intensiunea acestuia. Fiecare dintre aceste tipuri de definiii pot fi, la rndul lor, de mai multe feluri:

Definiii denotative

1. prin exemplificare, adic prin indicarea unui element din intensiunea definitului. Roman istoric este, de exemplu, Fraii Jderi. e o definiie prin exemplificare.

2. prin enumerare, adic prin indicarea tuturor elementelor cunoscute din extensiunea definitului. De exemplu, Metal alcalin este oricare dintre urmtoarele elemente: Li, Ka, Na, Fr, Cs, Rb.

3. prin indicare (sau definiie ostensiv), adic printr-un gest de artare nsoit de o expresie de felul Acesta este...., Iat un.... De exemplu, Regina-nopii este aceast floare.

Definiiile denotative sunt utile dar imprecise, nlocuind generalul prin particular sau singular.

Definiii conotative

1. prin sinonime, adic prin indicarea unui termen cu aceeai (sau ct mai apropiat, rareori exist sinonimie absolut) extensiune. Sunt definiii de dicionar.

2. prin gen proxim i diferen specific, adic prin introducerea termenului de definit n genul su i diferenierea acestuia de ceilali termeni

inclui n gen. Pentru a fi corect, o definiie de acest tip trebuie s ndeplineasc urmtoarele condiii:

genul s fie proxim (adic imediat supraordonat),diferena s fie specific (adic o not proprie n intensiunea

definitului care s l deosebeasc de celelalte specii ale genului proxim),

un termen poate fi inclus succesiv n genuri proxime diferite numai prin indicarea unor diferene specifice aferente.

O observaie: Acelai termen poate fi definit n mod corect n mai multe feluri, definiiile astfel

obinute avnd valori gnoseologice diferite. Definirea prin gen proxim i diferen specific este considerat n logic drept cea mai riguroas.

Dup felul entitilor definite, definiiile pot fi nominale sau reale. n cazul definiiilor nominale, definitul este o expresie (un nume). Sunt definiii de dicionar. Definiiile reale precizeaz coninutul termenilor. O definiie nominal menioneaz termenul de definit, artnd ce se nelege prin acesta. O definiie real folosete termenul de definit, artnd ce este (reprezint) acesta. Fiecare dintre aceste tipuri de definiii pot fi, la rndul lor, de mai multe feluri:

Definiii nominale

1. de nregistrare, adic de consemnare a nelesului expresiei n limbaj; 2. de precizare, aducnd o completare la nelesul unei expresii sau

modificndu-i nelesul n funcie de cunotinele noi;3. stipulative, adic de conferire a unei accepiuni noi unui termen

existent deja la introducerea lui ntr-un context nou, sau de introducere a unei construcii lingvistice noi.

O observaie:Definiiile stipulative se pot transforma n timp, prin intrarea termenilor definii n

limbajul curent, n definiii de nregistrare.

Definiii reale

1. generice, adic prin gen proxim i diferen specific, aplicabile termenilor generali, cuprini ntre speciile ultime i genul suprem n universul de discurs;

2. genetice, n care definitorul indic modul de formare a obiectului. De exemplu, tot de la geometrie dar mai puin coluros, Cercul este figura geometric obinut prin rotirea cu 360 a unui punct n jurul altui punct fix, la o distan constant de acesta.;

3. funcionale, n care definitorul arat funcia definitului n ansamblul funcional. De exemplu, Fondul de ten este produsul cosmetic care acoper denivelrile pielii, conferindu-i acesteia un aspect plcut.

4. relaionale, n care definitorul inidic relaiile specifice ale definitului. De exemplu, Unu (1) este numrul cu care nmulind orice alt numr se obine tot acel numr.

5. operaionale, n care definitorul indic operaiile de identificare a definitului. De exemplu, Acidul este substana chimic ce nroete hrtia albastr de turnesol.

Pentru a fi corecte, definiiile trebuie, de asemenea, s respecte cteva reguli:

A. Regula de extensiune: Definiia trebuie s fie adecvat. Asta nseamn c definitorul i definitul trebuie s fie exprimai prin termeni cu aceeai sfer. n caz contrar, definiia (incorect) este:

prea larg, n cazul n care definitorul este supraordonat definitului. Ptratul este un patrulater echilateral. este un exemplu de astfel de definiie prea larg.

prea ngust, n cazul n care definitorul este subordonat definitului. Paralelogramul este un patrulater echilateral. este un exemplu de astfel de definiie prea ngust.

cu termeni ncruciai, adic prea ngust sau prea larg n funcie de direcia de abordare. Paralelogramul este un patrulater cu diagonale congruente. este un exemplu de definiie cu termeni ncruciai (este definiie prea larg ntruct trapezul isoscel este de asemenea patrulater cu diagonale congruente, fr a fi paralelogram, i este definiie prea ngust ntruct exist paralelograme care nu au diagonale congruente, ca rombul). Cartea este instrument didactic; Naiunea este comunitatea vorbitorilor unei limbi sunt alte exemple de definiii cu termeni ncruciai.

B. Regula de intensiune: Definiia trebuie s fie clar. Asta nseamn c definitorul trebuie s fie mai clar dect definitul. n caz contrar, definiia (incorect) este:

tautologic, n cazul n care definitorul repet definitul. De exemplu, Existena este ceea ce exist.

circular, dac definitorul se sprijin, la rndul lui, pe definit. De exemplu, Frumosul este ceea ce suscit simul estetic (cnd Simul estetic este simul frumosului.).

O observaie aici: Definirea termenilor corelativi prin intermediul relaiei care i unete nu este definiie circular (de exemplu, Cauza este un obiect sau un proces care precede i produce cu necesitate un alt obiect sau proces denumit efect.)

ne-necesar negativ, n cazul n care definitorul indic ceea ce nu este definitul, nu ceea ce este acesta. De exemplu, Linia curb este linia care nu este nici dreapt nici frnt. e definiie ne-necesar negativ.

O observaie i aici: Negaia lingvistic nu exprim cu necesitate o negaie logic. De exemplu, Paralelele sunt drepte din acelai plan care nu se ntlnesc niciodat. nu este din punct de vedere logic o definiie negativ (predicatul logic aferent ei este distan constant n plan ntre cele dou drepte).

echivoc, n cazul n care definitorul cuprinde termeni cu semnificaie i sens imprecise. De exemplu, Repetiia este mama nvturii.

C. Regula de relaie: Definiia trebuie s fie consistent. Asta nseamn c definiia nu trebuie s contrazic alte definiii sau propoziii acceptate n universul de discurs. De exmplu, Capul Horn este marginea lumii nu poate fi mpreun adevrat cu propoziia acceptat n universul de discurs al tiinei contemporane Pmntul e rotund.

Curs 6

LOGICA PROPOZIIILOR

PROPOZIIILE CATEGORICE

n logic propoziie categoric sau de predicaie (numit aa de la kategorein, gr., a predica, adic a atribui o proprietate) este orice propoziie n care se enun ceva despre un obiect determinat sau despre membrii unei clase de obiecte.O astfel de propoziie are subiect i predicat. Subiectul propoziiei categorice este termenul care desemneaz ceva. Predicatul este termenul prin care se enun ceva despre ceea ce desemneaz subiectul.Raportul de predicaie este evideniat la nivelul limbajului comun prin copul (este) sau prin forma gramatical a termenului predicat (Cursul este ncnttor./ Cursul ncnt., de exemplu). Desigur, o propoziie categoric poate fi exprimat n forme gramaticale diferite, unele de mare complexitate.

Acum, dup calitatea lor, propoziiile categorice pot fi:afirmative, caz n care proprietatea predicat este afirmat despre subiect;negative, caz n care proprietatea predicat este negat n legtur cu

subiectul.

Dup cantitate (adic dup numrul subiectului), propoziiile categorice pot fi: singulare, caz n care subiectul este termen singular; generale, care la rndul lor pot fi:

universale, caz n care predicatul enun ceva despre ntreaga extensiune a subiectului;

particulare, caz n care predicatul este enunat despre o parte a extensiunii subiectului.

Combinnd aceste criterii de clasificare i admind c propoziiile singulare pot fi tratate ca universale ntruct predicatul lor enun ceva despre ntreaga extensiune a subiectului care este termen singular, se obin 4 tipuri de propoziii categorice cu subiect general:

A: universala afirmativ, Toi S sunt P: SaPE: universala negativ; Niciun S nu este P: SePI: particulara afirmativ, Unii S sunt P: SiPO: particulara negativ, Unii S nu sunt P: SoP.

Semnele sincategorematice (v mai amintii, desigur, ce-s astea) toi i niciun acoper n formulrile anterioare i cazul limit al clasei S cu un singur element, cazul propoziiei singulare.

Subiectul i predicatul unei propoziii categorice particip la semnificaia acesteia cu intensiunea i extensiunea lor. Astfel, din punct de vedere intensional, o propoziie SaP consemneaz faptul c proprietatea S este nsoit totdeauna de proprietatea P, din punct de vedere extensional SaP consemnnd incluziunea clasei S n clasa P.

Reprezentarea grafic a propoziiilor categorice evideniaz raporturile dintre termenii (S, P) acestora:

Diagrame/propoziii

SaP SeP SiP SoP

Euler

Venn

n reprezentarea cu diagrame Euler, am utilizat linia continu pentru a sugera certitudinea informaiei reprezentate grafic i linia ntrerupt pentru a sugera caracterul vag al respectivei informaii. n diagramele Venn, dup cum tii, este marcat cu x zona nevid (n care, adic, se tie c exist cel puin un element), este haurat zona vid i este nemarcat zona despre care lipsete informaia.

ntre propoziiile categorice exist tot felul de relaii. Considernd S i P (subiectul i predicatul) propoziiei categorice drept argumente ale ale acesteia, putem mpri propoziiile n:

simple (mai numite i atomice), adic propoziii ale cror argumente sunt termeni;

compuse (mai numite i moleculare), adic propoziii ale cror argumente sunt propoziii; propoziiile compuse pot fi, la rndul lor:

cu operatori verifuncionali, adic propoziii cu valoare de adevr determinat univoc de valorile de adevr ale argumentelor legate cu ajutorul operatorilor logici;

de modalitate, adic propoziii cu valoare de adevr dependent de tipul operatorilor logici care leag argumentele.

Relaiile dintre propoziiile simple sunt abordabile din perspectiva raporturilor existente ntre termenii lor. Vom reveni la acestea. A vrea s povestim acum despre propoziiile compuse cu operatori verifuncionali. Motivul acestei abordri oarecum pe dos (nti propoziiile compuse i apoi propoziiile simple) este didactic i, ntr-un caz fericit la care nc ndjduiesc, se va dovedi ntemeiat mai trziu.Aadar,

LOGICA PROPOZIIILOR COMPUSE CU OPERATORI VERIFUNCIONALI

Vom numi funcie de adevr raportul de coresponden ntre valorile de adevr ale propoziiilor elementare (simple, atomice) i valoarea de adevr a propoziiei compuse din acestea. Vom reprezenta astfel funcia de adevr:

a= TC(p,q) TO(p,q); T={0,1}

Pare mai nfricotor dect este. TC(p,q) reprezint valorile de adevr ale propoziiilor elementare ce alctuiesc propoziia compus. TO(p,q) reprezint valorile de adevr ale rezultatelor operaiei/operaiilor logice asupra propoziiilor elementare. Valorile de adevr pot fi fals (0) i adevrat (1).

Logica identific i opereaz cu 16 funcii elementare de adevr, funcii ce acoper intervalul raporturilor de coresponten posibile ntre valorile de adevr de la tautologie (care ia valoarea logic adevrat indiferent de valorile de adevr ale argumentelor sale) la contradicie (care ia valoarea logic fals indiferent de valorile de adevr ale argumentelor sale). V voi prezenta cteva dintre aceste funcii de adevr, anume pe cele pe care le socotesc mai folositoare n evaluarea logic a argumentrilor din demersurile de cercetare. Doritorii srguincioi vor gsi tabelul complet al funciilor elementare de adevr n Tractatus logico-philosophicus, lucrarea lui L. Wittgenstein despre care vei mai tot auzi.Aadar....

NEGAIA este funcia de adevr monar (cu un singur argument, adic) ce ia valoarea logic adevrat (1) cnd argumentul ia valoarea logic fals (0) i invers. Negaia este simbolizat p, se citete Nu este adevrat p, are semnificaia intuitiv a contestrii valorii logice a propoziiei date i se reprezint tabelar astfel:

p p 1 00 1

Tabelele funciilor elementare de adevr evideniaz regulile specifice de adevr ale acestor funcii. Cunoaterea regulilor de adevr este util n evaluarea logic a propoziiilor compuse. n cazul negaiei, regula de adevr arat aa:

Valoarea de adevr a negaiei este opus valorii de adevr a propoziiei negate.

Adic, -pentru p=1, p=0-pentru p=0, p=1,

sau, utiliznd notaia lui Quine ( pentru propoziie adevrat i pentru propoziie fals):p = (p), dac p= , p= iar dac p= , p= .

CONJUNCIA este funcia de adevr binar (cu dou argumente, adic legnd dou propoziii) care ia valoarea logic adevrat (1) atunci i numai atunci cnd ambele argumente sunt adevrate. Conjuncia este simbolizat p&q (sau p^q), se citete p i q, are semnificaia intuitiv a conexiunii simple a faptelor exprimate n propoziiile p i q i se reprezint tabelar astfel:

p q p&q1 1 11 0 00 1 00 0 0

n cazul conjunciei pot fi evideniate urmtoarele reguli de adevr:

Dac o component a conjunciei este adevrat, valoarea de adevr a conjunciei este dat de valoarea de adevr a celeilalte componente.

(p& = p, dac p= , & = , iar dac p= , & = )

Dac o component a conjunciei este fals, conjuncia este fals.

(p& = )

DISJUNCIA este funcia de adevr binar care ia valoarea logic fals (0) atunci i numai atunci cnd ambele argumetne sunt false (0). Disjuncia este simbolizat pvq, se citete p sau q, semnific intuitiv faptul c cel puin una dintre strile de fapt exprimate n propoziii se realizeaz i este reprezentat tabelar astfel:

p q pvq1 1 11 0 10 1 10 0 0

n cazul disjunciei pot fi evideniate urmtoarele reguli de adevr:

Dac o component a disjunciei este adevrat, disjuncia este adevrat.

(pv = )

Dac o component a disjunciei este fals, valoarea de adevr a disjunciei este dat de valoarea celeilalte componente.

(pv = p, dac p= , v = , iar dac p= , v = )

EXCLUZIUNEA este funcia de adevr binar care ia valaorea logic fals (0) atunci cnd argumentele ei au aceeai valaore logic i valoarea logic adevrat (1) atunci cnd argumentare au valori logice diferite. Excluziunea este simbolizat pwq (sau p+q), se citete sau p sau q, semnific intuitiv faptul c unul i numai unul dintre faptele exprimate n propoziii se realizeaz i este reprezentat tabelar astfel:

p q pwq1 1 01 0 10 1 10 0 0

n cazul excluziunii pot fi evideniate urmtoarele reguli de adevr:

Dac o component a excluziunii este adevrat, atunci valoarea de adevr a excluziunii este dat de valoarea de adevr a negaiei celeilalte componente.

(pw = p, dac p= , w = , iar dac p= , w = )

Dac o component a excluziunii este fals, valoarea de adevr a excluziunii este dat de valoarea de adevr a celeilalte componente.

(pw = p, dac p= , w = , iar dac p= , w = )

IMPLICAIA este funcia de adevr binar care ia valoarea logic fals (0) atunci i numai atunci cnd antecedentul este adevrat (1) i consecventul este fals (0). Implicaia este simbolizat pq, se citete dac p atunci q, semnific intuitiv c este imposibil ca faptul exprimat n antecedent s se realizeze iar faptul exprimat n consecvent s nu se realizeze i este reprezentat tabelar astfel:

p q pq1 1 11 0 00 1 10 0 1

n cazul implicaiei pot fi evideniate urmtoarele reguli de adevr:

Dac o component a implicaiei este adevrat, atunci valoarea de adevr a implicaiei este dat de valoarea de adevr a consecventului.

(p = p, dac p= , = , iar dac p= , = )

Dac o component a implicaiei este fals, valoarea de adevr a implicaiei este dat de valoarea de adevr a negaiei antecedentului.

(p = p, dac p= , = , iar dac p= , = )

ECHIVALENA este funcia de adevr binar care ia valoarea logic adevrat (1) atunci cnd ambele argumente au aceeai valoare logic i valoarea logic fals (0) cnd argumentele au valori logice diferite. Echivalena este simbolizat pq, se

citete dac i numai dac p atunci q, semnific intuitiv c ambele fapte exprimate n propoziii fie se realizeaz fie nu se realizeaz i este reprezentat tabelar astfel:

p q pq1 1 11 0 00 1 00 0 1

n cazul echivalenei pot fi evideniate urmtoarele reguli de adevr:

Dac o component a echivalenei este adevrat, atunci valoarea de adevr a echivalenei este dat de valoarea de adevr a celeilalte componente.

(p = p, dac p= , = , iar dac p= , = )

Dac o component a echivalenei este fals, valoarea de adevr a echivalenei este dat de valoarea de adevr a negaiei celeilalte componente.

(p = p, dac p= , = , iar dac p= , = )

INCOMPATIBILITATEA este funcia de adevr binar care ia valoarea logic fals (0) atunci i numai atunci cnd ambele argumente sunt adevrate. Incompatibilitatea este simbolizat p/q (sau p q), se citete nu p sau nu q, semnific intuitiv c cel mult unul dintre faptele exprimate de cele dou propoziii se realizeaz i este reprezentat tabelar astfel:

p q p/q1 1 01 0 10 1 10 0 1

n cazul incompatibilitii pot fi evideniate urmtoarele reguli de adevr:

Dac o component a incompatibilitii este adevrat, atunci valoarea de adevr a incompatibilitii este dat de valoarea de adevr a negaiei celeilalte componente.

(p/ = p, dac p= , / = , iar dac p= , / = )

Dac o component a incompatibilitii este fals, incompatibilitatea este adevrat.

(p/= )

REJECIA este funcia de adevr binar care ia valoarea logic adevrat (1) atunci i numai atunci cnd ambele argumente sunt false. Rejecia este simbolizat p q, se citete nici p nici q, semnific intuitiv c niciunul dintre faptele exprimate de cele dou propoziii nu se realizeaz i este reprezentat tabelar astfel:

p q p q 1 1 01 0 00 1 00 0 1

n cazul rejeciei pot fi evideniate urmtoarele reguli de adevr:

Dac o component a rejeciei este adevrat, rejecia este fals.

(p = )

Dac o component a rejeciei este fals, atunci valoarea de adevr a rejeciei este dat de valoarea de adevr a negaiei celeilalte componente.

(p = p, dac p= , = , iar dac p= , = ).

Curs 7

Acum, observai, v rog, c exist, de fapt, trei feluri de funcii de adevr: - a realizabile (sau funcii de adevr n sens strict), a cror valoare de adevr

depinde de valorile de adevr ale componentelor. Acestea iau valoarea logic 1 (adevrat) pentru cel puin o combinaie de argumente.

- a tautologice (sau legi logice) care iau valoarea logic 1 (adevrat) indiferent de valorile de adevr ale argumentelor

- a de contradicie care iau valoarea logic 0 (fals) indiferent de valorile de adevr ale argumentelor.

Pentru a evita ncurcturile de interpretare, v rog s urmai n simbolizarea expresiilor propoziionale compuse etapele algoritmului de mai jos. Dar, mai nti, s precizam civa termeni. Astfel, vom numi tria unui operator sfera de aplicare a operatorului n cadrul expresiei date. Operatorul principal este operatorul cu tria cea mai mare. Vom numi ordonare logic a expresiei propoziionale operaia de stabilire a sensului logic al acesteia. Ordonarea logic se face pe baza semnificaiei intuitive i a conectorilor (expresiile lingvistice ale operatorilor logici) existeni n formularea lingvistic a expresiei propoziionale compuse.

Acum, n sfrit, algoritmul:

1. stabilii conectorul principal al propoziiei/ frazei/ grupului de fraze i izolai subfrazele corespunztoare;

2. stabilii conectorii din subfraze i, n funcie de acetia, izolai propoziiile elementarea componente;

3. ordonai logic (dac este cazul) propoziia/ fraza/ grupul de fraze;4. reprezentai propoziiile elementare distincte (d.p.d.v. logic, desigur; tii deja

c limbajul comun ngduie formulri diferite pentru aceeai propoziie logic) cu ajutorul variabilelor propoziionale distincte (p, q, r, s...) i conectorii cu ajutorul operatorilor logici afereni;

5. stabilii tria fiecrui operator cu ajutorul semnelor auxiliare (paranteze, puncte, litere).

V propun varianta utilizrii parantezelor, variant impus de G. Peanno, pentru avantajul familiaritii noastre, a tuturor, cu ea. (Orict de suprai ai fi pe matematic, tot trebuie c v mai amintii cum parantezele de feluri diferite indicau la aritmetic ce avei de fcut cu numerele din expresie). Nu nseamn c notaia cu puncte (preferat de B. Russell i W.O. Quine) sau cea cu litere (Luckasiewics) nu i au fanii i avantajele lor.

Dou exemple de simbolizare:

A. (fr legtur cu examenul la Logic)Dac promovez examenul, atunci m duc n vacan la Costineti iar dac nu, atunci mi petrec vacana acas.

Conector principal: iar. Ceilali conectori: dac...atunci, dac atunci, nu. Propoziii elementare: p: (Eu) promovez examenul; q: M duc n vacan la Costineti; r: mi petrec vacana acas. Simbolizarea expresiei:

(pq) & (pr)

B. (exemplu dintr-un mai vechi manual de logic)Dac Ion ori Sandu ctig concursul de selecie, atunci prestigiul clubului colar va fi salvat, iar oraul nostru va fi cu siguran reprezentat la campionatul mondial de nataie. Prin urmare, sau Ion nu ctig concursul de slecie, sau prestigiul clubului clubului colar va fi salvat.

Conector principal: Prin urmare. Ceilali conectori: dac...atunci, ori, iar, sau...sau, nu. Propoziii elementare: p: Ion ctig concursul de selecie; q: Sandu ctig concursul de selecie; r: Prestigiul clubului colar va fi salvat; s: Oraul nostru va fi cu siguran reprezentat la campionatul mondial de nataie. Simbolizarea expresiei:

[(pvq) (r&s)] ( pwr)

Simbolizarea unei expresii propoziionale faciliteaz evaluarea logic a acesteia, adic stabilirea tipului de funcie de adevr ce i corespunde. Exist mai multe metode de evaluare. Cea mai la ndemn, ntruct este susinut de o reprezentare grafic sugestiv, este metoda matricial.

Metoda matricial de evaluare a expresiilor propoziionale compuse presupune construirea unei matrici cu un numr C=(n+m) coloane i un numr L=2n linii, n reprezentnd numrul de variabile propoziionale i m numrul de operatori logici din expresia propoziional.

Pentru evaluare, v rog s urmai etapele urmtorului algoritm:

1. ordonai dup importan operatorii propoziiilor compuse2. construii matricea, aeznd operatorii n ordinea creterii importanei lor

(ultima coloan va fi cea a operatorului principal)3. stabilii valorile de adevr ale aplicrii operatorilor intermediari asupra

propoziiilor aferente4. stabilii valorile de adevr pentru aplicarea operatorului principal asupra

propoziiilor intermediare (rezultate prin aplicarea operatorilor intermediari asupra propoziiilor aferente)

5. interpretai rezultatele aplicrii operatorului principal asupra propoziiilor intermediare:

-dac ai obinut pe coloana operatorului principal n excusivitate valoarea logic 1 (adevrat), expresia propoziional compus evaluat este lege logic; -dac ai obinut n exclusivitate valoarea logic 0 (fals), expresia propoziional este o contradicie; -dac ai obinut i valori 1 i valori 0, propoziia evaluat este funcie realizabil.

De exemplu:

1. Expresia [(p1q) &3 (q2r)] 5(p4r) se dovedete a fi tautologie:

p q r 1 2 &3 4 51 1 1 1 1 1 1 11 1 0 1 0 0 0 11 0 1 0 1 0 1 11 0 0 0 1 0 0 10 1 1 1 1 1 1 10 1 0 1 0 0 1 10 0 1 1 1 1 1 10 0 0 1 1 1 1 1

2. Expresia (p&1q) &3 (p/2q) se dovedete a fi contradicie:

p q &1 /2 &31 1 1 0 01 0 0 1 00 1 0 1 00 0 0 1 0

3. Expresia [(p/1q) &3 (q/2r)] 5 (p/4r) este realizabil:

p q r /1 /2 &3 /4 51 1 1 0 0 0 0 11 1 0 0 1 0 1 11 0 1 1 1 1 0 01 0 0 1 1 1 1 10 1 1 1 0 0 1 10 1 0 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 10 0 0 1 1 1 1 1

Pentru expresiile propoziionale cu mai mult de trei propoziii elementare, metoda matricial devine incomod de aplicat (dup cum am artat deja, n matrice numrul de linii crete dup funcia L=2n). n cazul lor este mai eficient utilizarea metodei de decizie prescurtat cu ajutorul regulilor de adevr (metoda Quine).

V sunt deja cunoscute regulile de adevr aferente funciilor elementare. Aplicarea metodei Quine urmrete etapele algoritmului de mai jos:

1. dai celei mai frecvente propoziii din expresia propoziional valoarea logic 1 (adevrat) n partea stng a paginii i valoarea logic 0 (fals) n dreapta paginii

2. aplicai regulile de adevr corespunztoare asupra schemei obinute3. dac n urma aplicrii regulilor de adevr obinei numai valori logice,

evaluarea s-a ncheiat; dac obinei o nou schem, reluai procesul de evaluare de la punctul 2 al algoritmului

4. interpretai rezultatele aplicrii regulilor de adevr:

-dac ai obinut n excusivitate valoarea logic 1 (adevrat), expresia propoziional compus evaluat este lege logic; -dac ai obinut n exclusivitate valoarea logic 0 (fals), expresia propoziional este o contradicie; -dac ai obinut i valori 1 i valori 0, propoziia evaluat este funcie realizabil.

De exemplu, pentru expresia [(p/q) & (q/r)] (p/r) vei proceda aa:

p=

[(/q) & (q/r)] (/r)[q & (q/r)] r

p=

[(/q) & (q/r)] (/r)[& (q/r)]

q=

[ & (/r)] rr

q=

[& (/r)] r[ & ] rrrr= r=

r= r=

Expresia este realizabil, lund valoarea logic 0 (fals) pentru combinaia p=1, q=0 i r=1 (Dar tii asta deja, ai interpretat rezultatele obinute prin metoda matricial).

nainte s hotri c e complicat i inutil ct vreme avei la ndemn metoda matricial, ncercai evaluarea unei expresii cu patru variabile propoziionale (avei una mai sus, [(pvq) (r&s)] ( pwr), dar putei gsi i variante mai spectaculoase) i apoi gndii-v ct timp v-ar fi luat s completai toate cele 16 (24) linii ale matricii.

Dintre tautologii, unele sunt foarte utile pentru identificarea relaiilor logice dintre propoziii. Acestea sunt legi logice fundamentale. Iat cteva dintre ele (nu trebuie s le memorai, trebuie numai s tii c exist i s le cutai cnd o s vi se par c v-ar fi de folos):

a. legi care exprim principiile logicii: -legile identitii: pp; pp; (p)p-legea noncontradiciei: (p&p)-legea terului exclus: pvp

b. legi ale proprietilor funciilor de adevr: -legile comutativitii: (p&q)(q&p); (pvq)(qvp)-legile asociativitii: [(p&q)&r)][p&(q&r)]; [(pvq)vr)][pv(qvr)]-legile distributivitii: [p&(qvr)][(p&q)v(p&r)]; [pv(q&r)][(pvq)&(pvr)]-legile tranzitivitii: [(pq)&(qr)](pr); [(pq)&(qr)](pr)

-legile idempotenei: (p&p)p; (pvp)p-legile de coborre a negaiei (De Morgan): (p&q)(pvq); (pvq)(p&q)

c. legile implicaiei materiale: -legile contrapoziiei implicaiei: (pq)( q p); (pq)( q p)-legile paradoxurilor implicaiei: p(qp); p(pq)-legile reducerii la absurd: (pp)p; [(pq)&(pq)]p

d. alte legi: -legile excluderii: [(pvq)&(pvp)]p; [(p&q)v(p&p)]p-legile absorbiei: [p&(pvq)]p; [pv(p&q)]p-legile eliminrii conjunciei: (p&q)p; (p&q)q-legile introducerii disjunciei: p(pvq); q (pvq).

nainte s ieim din logica propoziiilor compuse cu operatori verifuncionali, a vrea s v prezint i cteva scheme logice ale unor raionamente deductive (adic de la general la particular) valide utilizate n practica argumentrii:

a. raionamente (inferene) ipotetice: -modus ponendo-ponenes: [(pq)&p]q-modus tollendo-tollens: [(pq)& q] p

b. raionamente disjunctive: -modus ponendo-tollens: [(pwq)& p] q-modus tollendo-ponens: [(pvq)& p]q; [(pwq)& p]q

(denumirile latine marcheaz n cazul acestor scheme logice calitatea celei de-a doua premise i, respectiv, a concluziei: ponendo indic asetarea premisei, tollendo respingerea acesteia, ponens indic existena concluziei afirmative, tollens indic o concluzie negativ)

c. raionamente ipotetico-disjunctive (dileme) -dilema constructiv simpl: [(pq)&(rq)&(pvr)]q-dilema constructiv complex: [(pq)&(rs)&(pvr)](qvs)-dilema distructiv simpl: [(pq)&(pr)&( qvr)]p-dilema distructiv complex: [(pq)&(rs)&( qvs)](pvr).

Gata.

Curs 8

TEORIA INFERENELOR

V propun s ne ntoarcem acum la propoziiile categorice simple pentru a evidenia relaiile ce exist ntre acestea n virtutea relaiilor dintre termenii lor.

Vom numi inferen operaia logic de derivare din cel puin o propoziie dat a unei noi propoziii cu valoarea de adevr a propoziiei/propoziiilor date. Propoziiile date reprezint premisele inferenei, propoziia derivat reprezint concluzia acesteia. Inferena poate avea un numr variabil de premise, dup cum sugereaz definiia, dar o singur concluzie. Vom numi inferena cu o singur premis inferen imediat i inferena cu dou sau mai multe premise inferen mediat.

O s v povestesc n continuare cte ceva despre inferenele imediate. naintea povetilor stora, ns, pentru a uura utilizarea cunotinelor despre inferene n evaluarea argumentaiilor cu care profesional v vei ntlni, a vrea s lmurim cteva probleme de traducere/ transformare a propoziiilor din limbajul curent n propoziii categorice:

a. Despre propoziiile singulare a fost vorba deja. Am admis c pot fi considerate universale. Thales din Milet este filosof presocratic e o propoziie de felul Toi S sunt P (n formularea Toate persoanele identice cu Thales din Milet sunt filosofi presocratici.)

b. Uneori, destul de des, cuantificatorii nu sunt explicit formulai n propoziiile limbajului natural i trebuie explicitai pstrnd neschimbat nelesul propoziiei. Exist studeni integraliti este o propoziie de felul Unii S sunt P (Unii studeni sunt integraliti). Bursierii sunt integraliti este, ns, o propoziie de tipul Toi S sunt P (Toi bursierii sunt integraliti).

c. Uneori cuantificatorii sunt explicii, dar de forme diferite de cele standard i trebuie standardizai. Cuantificatori ca muli, majoritatea, civa, relativ puini, u.s.w. dau propoziii de felul Unii S sunt/ nu sunt P. Cuantificatori ca orice, oricare, oricine, u.s.w. dau propoziii de felul Toi S sunt P (Orice pasre pe limba ei piere devine Toate psrile pier pe limba lor). Cuantificatori ca nimeni, nu exist un dau propoziii de felul Niciun S nu este P (Nimeni nu se supr devine Niciun om nu se supr). Propoziia Toi S nu sunt P se transform n Niciun S nu este P (Toi studenii nu sunt veseli devine Niciun student nu e vesel).

d. Formele de negare a propoziiilor universale necesit, de asemenea, transformri ale propoziiilor n vederea standardizrii:

-O propoziie de felul Nu toi S sunt P devine Unii S nu sunt P (Nu toi studenii sunt veseli devine Unii studeni nu sunt veseli).

-O propoziie de felul Nu este adevrat c niciun S nu este P devine Unii S sunt P (Nu este adevrat c niciun student nu este de nota 10 devine Unii studeni sunt de nota 10).

e. Enunurile condiionale n care antecedentul i consecventul au acelai referent pot fi traduse n propoziii de felul Toi S sunt P sau Niciun S nu este P. (Dac e student n anul I, atunci i-a luat bacalaureatul devine Toi studenii din anul I i-au luat bacalaureatul. Dac e student n anul I, atunci nu e precolar devine Niciun student din anul I nu e precolar).

f. Enunurile exclusive, coninnd cuantificatori de felul doar, numai, niciunul cu excepia, u.s.w., sufer diverse transformri pentru aducere la una dintre formele standard ale propoziiilor categorice:

-O propoziie de felul Numai S sunt P devine Toi P sunt S. (Numai integralitii primesc burs de merit devine, inversnd funciile termenilor, Toi cei ce primesc burs de merit sunt integraliti).

-O propoziie de felul Numai S nu sunt P devine Niciun P nu este S (Numai cei fericii nu sunt ri devine Niciun om ru nu este fericit).

-O propoziie de felul Numai unii S sunt P devine Unii S nu sunt P (Numai unele probleme sunt grele devine Unele probleme nu sunt grele).

-O propoziie de felul Numai unii S nu sunt P devine Unii S sunt P (Numai unele probleme nu sunt grele devine Unele probleme sunt grele).

-O propoziie de felul Nu numai S sunt P devine Unii P nu sunt S (Nu numai cei buni au noroc devine Unii norocoi nu sunt oameni buni).

-O propoziie de felul Niciunul, cu excepia S, nu este P (Nimeni, cu excepia integralitilor, nu primete burs de merit) devine Numai S sunt P.

g. Enunurile exceptive, coninnd cuantificatori de felul toi cu excepia, toate n afar de, u.s.w. pot fi transformate n enunuri exclusive negative.

-O propoziie de felul Toi, cu excepia S, sunt P (pentru a folosi exemplul de la enunurile exclusive, Toi, cu excepia celor fericii, sunt ri) devine Numai S nu sunt P.

Cred c e bine s lmurim tot acum, naintea prezentrii inferenelor imediate, problema distribuirii termenilor n propoziiile categorice. Iat despre ce e vorba:

Un termen este distribuit dac propoziia n care apare ia n considerare ntreaga extensiune a respectivului termen. n caz contrar, termenul este nedistribuit. Termenul este distribuit/ nedistribuit relativ la propoziia categoric n care apare cu funcie de subiect sau predicat.

n cazul subiectului, distribuirea termenilor este legat de cantitatea acestora. Propoziiile universale (Toi S sunt P i Niciun S nu este P) iau n considerare ntreaga extensiune a subiectelor lor. Propoziiile particulare (Unii S sunt P i Unii S nu sunt P) iau n considerare cte o parte din extensiunea subiectelor lor.

n cazul predicatului, distribuirea termenilor este legat de calitatea acestora. Propoziiile afirmative (Toi S sunt P i Unii S sunt P) iau n considerare acea parte din extensiunea predicatului pe care acesta o are n comun cu subiectul. Propoziiile negative (Niciun S nu este P i Unii S nu sunt P) iau n considerare ntreaga extensiune a predicatului, indicnd excluderea extensiunii subiectului din aceasta (n extensiunea lui P nu exist niciun / acei S).Astfel, notnd cu + proprietatea distribuit i cu proprietatea nedistribuit, distribuirea termenilor n cele patru tipuri de propoziii categorice arat aa:

S PSaP + SeP + +SiP SoP +

Revenind la reprezentarea cu diagrame Euler a propoziiilor categorice, dac utiliznd difereniat linia continu i linia ntrerupt am urmri evidenierea distribuirii termenilor (n locul informaiilor despre mrimea extensiunii acestora), am proceda aa:

Diagrame/propoziii

SaP SeP SiP SoP

Euler

Distribuirea termenilor condiioneaz validitatea inferenelor cu propoziii categorice. inei minte, v rog:

ntr-o inferen valid niciun termen nu poate s apar distribuit n concluzie dac nu este distribuit n premise.

Vom (tot) vedea ce nseamn asta, pe msur ce povestim despre tipurile de inferene.n sfrit,

IINFERENE IMEDIATE CU PROPOZIII CATEGORICE

Inferm (tiu ct de ciudat sun) n scopul obinerii de cunotine adevrate. Ne putem atinge scopul dac pornim de la premise adevrate i respectm regulile de inferare. Aceste reguli sunt adecvate tipurilor de inferen pe care le folosim. n cazul inferenelor imediate (cu o singur premis, v aduc aminte), asta poate s nsemne:

A. Inferen prin opoziieadic operaia logic prin care, dat fiind una dintre propoziiile SaP, SeP, SiP, SoP cu valoare de adevr stabilit, se stabilete valoarea de adevr a celorlalte propoziii cu aceiai termeni. V amintesc, propoziiile acestea difer calitativ (sunt afirmative/ negative) i cantitativ (sunt universale/ particulare). Ele iau valoarea logic adevrat (1) sau fals (0) n funcie de raporturile existente ntre termenii S i P.

identitate subordonare supraordonare ncruciare excluziuneSaP 1 1 0 0 0SeP 0 0 0 0 1SiP 1 1 1 1 0SoP 0 0 1 1 1

Raporturile dintre propoziii, stabilite pe baza corelaiilor dintre valorile lor de adevr, sunt reprezentate sintetic de foarte mult vreme cu ajutorul ptratului lui Boethius (adic al lui Anicius Manlius Severinus Boethius, un filosof roman de la mijlocul mileniului I d. Ch.):

Raportul de contrarietate (ntre propoziiile SaP i SeP) are urmtoarele caracteristici:

cele dou propoziii nu pot fi ambele adevrate; propoziiile pot fi mpreun (ambele, adic) false.

Conform acestor caracteristici, inferena de contrarietate respect urmtoarele reguli:

dac SaP este adevrat (=1), atunci SeP este fals (=0)dac SaP este fals (=0), atunci nu se cunoate valoarea de adevr a SeP (SeP=?) dac SeP este adevrat (=1), atunci SaP este fals (=0)

dac SeP este fals (=0), atunci nu se cunoate valoarea de adevr a SaP (SaP=?)

Raportul de subcontrarietate (ntre propoziiile SiP i SoP; V mai amintii de ncruciarea exhaustiv a termenilor? Propoziiile particulare epuizeaz n acelai fel universul de discurs) are urmtoarele caracteristici:

cele dou propoziii pot fi ambele adevrate; propoziiile nu pot fi mpreun (ambele, adic) false.

Conform acestor caracteristici, inferena de subcontrarietate respect urmtoarele reguli:

dac SiP este adevrat (=1), atunci nu se cunoate valoarea de adevr a SoP (SoP=?) dac SiP este fals (=0), atunci SoP este adevrat (=1) dac SoP este adevrat (=1), atunci nu se cunoate valoarea de adevr a SiP (SiP=?) dac SoP este fals (=0), atunci SiP este adevrat (=1)

Raporturile de contradicie (ntre propoziiile SaP i SoP, SeP i SiP) au urmtoarele caracteristici:

cele dou propoziii nu pot fi ambele adevrate; cele dou propoziii nu pot fi ambele false.

Conform acestor caracteristici, inferena de contradicie respect urmtoarele reguli:

dac SaP este adevrat (=1), atunci SoP este fals (=0)dac SaP este fals (=0), atunci SoP este adevrat (=1)dac SoP este adevrat (=1), atunci SaP este fals (=0)dac SoP este fals (=0), atunci SaP este adevrat (=1)

dac SeP este adevrat (=1), atunci SiP este fals (=0)dac SeP este fals (=0), atunci SiP este adevrat (=1)dac SiP este adevrat (=1), atunci SeP este fals (=0)dac SiP este fals (=0), atunci SeP este adevrat (=1)

Raporturile de subalternare (ntre propoziiile SaP i SiP, SeP i SoP) sunt relaii asimetrice i au urmtoarele caracteristici:

cele dou propoziii pot fi ambele adevrate; cele dou propoziii pot fi ambele false.

Conform acestor caracteristici, inferena de subalternare respect urmtoarele reguli:

dac SaP este adevrat (=1), atunci SiP este adevrat (=1)dac SaP este fals (=0), atunci nu se cunoate valoarea de adevr a SiP (SiP=?)

dac SiP este adevrat (=1), atunci nu se cunoate valoarea de adevr a SaP (SaP=?) dac SiP este fals (=0), atunci SaP este fals (=0)

dac SeP este adevrat (=1), atunci SoP este adevrat (=1)dac SeP este fals (=0), atunci nu se cunoate valoarea de adevr a SoP (SoP=?) dac SoP este adevrat (=1), atunci nu se cunoate valoarea de adevr a SeP (SeP=?) dac SoP este fals (=0), atunci SeP este fals (=0).

Curs 9

Inferena prin opoziie valorific relaiile logice existente ntre propoziiile categorice SaP, SeP, SiP, SoP cu acelai subiect i acelai predicat. Cunoscnd valoarea de adevr a uneia dintre aceste propoziii, se infereaz cu privire la valorile de adevr ale celorlalte propoziii. Urmtoarele tipuri de inferen imediat produc propoziii adevrate (concluzii) de diferite calit i i cantit i, plecnd de la o propoziie SaP, SeP, SiP, SoP adevrat (premis).

B. Inferena prin conversiuneConversiunea este operaia logic prin care dintr-o propoziie adevrat dat se deriveaz alt propoziie adevrat de aceeai calitate schimbnd funciile logice ale termenilor.Premisa conversiunii se numete propoziie convertend. Concluzia conversiunii se numete convers.Dac premisa i concluzia sunt propoziii de aceeai cantitate, conversiunea se numete simpl. Dac cele dou propoziii sunt de cantiti diferite (premis universal i concluzie particular), conversiunea se numete prin accident.Nu toate tipurile de propoziii categorice suport (ambele tipuri de) conversiuni. Dar s vedem despre ce e vorba:

O propoziie SaP ar da prin conversiune direct propoziia PaS. Dar SaP i PaS sunt propoziii logic independente (exemplu, tot de la matematic: Toate ptratele sunt figuri geometrice cu laturi egale. e propoziie adevrat, n timp ce Toate figurile geometrice cu laturi egale sunt ptrate. e propoziie fals ) Din acest motiv, SaP nu poate fi convertit direct ( SaP(c ) PaS).

Lucrurile nu stau la fel pentru conversiunea prin accident a lui SaP: SaP(c ) PiS (pentru exemplul anterior, Toate ptratele sunt figuri geometrice cu laturi egale. (c ) Unele figuri geometrice cu laturi egale sunt ptrate.). Dac SaP este adevrat, i PiS este adevrat. Propoziia PiS este conversa prin accident a propoziiei SaP.

Propoziia SeP suport att conversiune simpl ct i conversiune prin accident:SeP(c ) PeS (Niciun ptrat nu are laturi inegale./ Nicio figur geometric ce are laturi inegale nu este ptrat.)SeP(c ) PoS (Niciun ptrat nu are laturi inegale./ Unele figuri geometrice cu laturi inegale nu sunt ptrate.)

Propoziia SiP nu suport, desigur, dect conversiunea simpl. (SiP are ambii termeni nedistribuii i, v amintii, ntr-o inferen valid un termen nu poate aprea ca distribuit n concluzie dac nu a fost distribuit n premise).SiP(c ) PiS (Unele ptrate sunt figuri geometrice cu laturi egale./ Unele figuri geometrice cu laturi egale sunt ptrate.)

Ei, asemeni propoziiilor SaP i PaS, i propoziiile SoP i PoS sunt logic independente (Unele ptrate nu sunt figuri geometrice cu laturi inegale. e propoziie adevrat i Unele figuri geometrice cu laturi inegale nu sunt ptrate. e, de asemenea, adevrat, dar Unele figuri geometrice nu sunt figuri geometrice cu laturi

inegale. e adevrat i Unele figuri geometrice cu laturi inegale nu sunt figuri geometrice. e propoziie fals).SoP(c )

Aadar,

SaP(c ) PaS

SaP(c ) PiSSeP(c ) PeSSeP(c ) PoS

SoP(c )

Dac simii nevoia verificrii rezultatelor inferenelor prin conversiune pe care intenionai s le utilizai n argumentare, utilizai distribuirea termenilor n propoziiile categorice. Daca un termen e distribuit n concluzie fr s fi fost distribuit n premise, inferena nu e corect.

SaP SeP SiP SoP PaS PeS PiS PoS ObservaiiS + + - - - + - + S nedistribuit n SoP i

distribuit n PoSP - + - + + + - - P nedistribuit n SaP i

distribuit n PaS

C. Inferena prin obversiuneObversiunea este operaia logic prin care dintr-o propoziie adevrat dat se obine o propoziie adevrat de calitate opus care are acelai subiect i ca predicat contradictoriul predicatului propoziiei iniiale.Premisa obversiunii se numete propoziie obvertend. Concluzia obversiunii se numete propoziie obvers.

Toate cele patru tipuri de propoziii categorice pot fi obvertite, desigur cu respectarea restriciilor privind distribuirea termenilor. Obversiunea reprezint o dubl negaie (schimbarea calitii propoziiei i negare a predicatului acesteia). Predicatul obversei i pstreaz distribuirea din obvertend. Pstrndu-i funcia, subiectul obvertendei i pstreaz i distribuirea n obvers.

Astfel,

SaP(o ) SeP (Niciun S nu este non-P)SeP(o ) SaP (Toi S sunt non-P)SiP(o ) SoP (Unii S nu sunt non-P)SoP(o ) SiP (Unii S sunt non-P).

Formulrile obverselor nu sunt neaprat preioase, rigide n limbajul comun. Astfel, Toate ptratele sunt figuri geometrice cu laturi egale. se obvertete n Niciun ptrat nu este non-figur geometric ce are laturi egale sau, mult mai simplu, Niciun ptrat nu are laturi inegale.

D. Inferena prin contrapoziieContrapoziia este operaia logic prin care de la o propoziie adevrat dat se ajunge la o propoziie adevrat ce are ca subiect contradictoriul predicatului propoziiei iniiale. (SPPS; S)Contrapoziia este o operaie logic alctuit dintr-o succesiune de obversiuni i conversiuni. Astfel,

SaP(o ) SeP (c ) PeS(o ) PaSSeP(o ) SaP (c ) PiS(o ) PoSSiP(o ) SoP (c ) SoP(o ) SiP (c ) PiS (o ) PoS

Dup cum observai, propoziia SiP nu suport contrapoziie. (SiP(c )PiS(o ) PoS(c )).Contrapusele care au ca predicat subiectele premiselor lor sunt numite contrapuse pariale. Ele au, aa cum observai, calitate opus fa de premisele lor: PeS, PiS, PiS.Contrapusele care au ca predicat contradictoriul subiectelor premiselor lor sunt numite contrapuse totale. Ele au calitatea premiselor lor: PaS, PoS, PoS.Mai observai, v rog, c propoziiile SaP i SoP dau contrapuse de aceeai cantitate cu ele, n timp ce o propoziie SeP d o contrapus de cantitate redus.

E. Inferena prin inversiuneInversiunea este operaia logic prin care dintr-o propoziie adevrat dat se obine o propoziie adevrat care are ca subiect contradictoriul subiectului ei.i inversiunea este o operaie logic alctuit dintr-o succesiune de obversiuni i conversiuni.Nu toate propoziiile categorice suport inversiuni.Astfel,

SaP(o ) SeP (c ) PeS(o ) PaS(c ) SiP (o ) SoPSeP(o ) SaP (c ) PiS(o ) PoS(c )Dar, ncepnd cu o conversiune, SeP (c ) PeS(o ) PaS(c ) SiP(o ) SoPSiP(o ) SoP (c )SiP(c )PiS(o ) PoS(c )SoP(o ) SiP (c ) PiS (o ) PoS(c )SoP(c )

Dup cum observai, doar propoziiile universale suport inversiuni. Concluziile lor pot fi propoziii inverse pariale (care au predicatul premisei) sau propoziii inverse totale (care au ca predicat contradictoriul predicatului premisei). Toate propoziiile inverse sunt propoziii particulare.

Acum, punnd una lng alta concluziile inferenelor imediate operate asupra propoziiilor categorice, situaia arat aa:

inferene/ propoziii

conversiune obversiune contrapoziie inversiuneparial total parial total

SaP PiS SeP PeS PaS SoP SiPSeP PeS (PoS) SaP PiS PoS SiP SoPSiP PiS SoP - - - -SoP - SiP PiS PoS - - Nu trebuie, desigur, s memorai toate aceste rezultate ale inferenelor. Ajunge s inei minte definiiile inferenelor imediate i s le utilizai la nevoie sau s tii unde s le cutai.

E vremea s mai complicm un pic lucrurile:

INFERENE MEDIATE CU PROPOZIII CATEGORICE

Aa cum am menionat deja, inferenele cu dou sau mai multe premise se numesc mediate. Inferenele cu dou premise se numesc silogisme. Dac toate propoziiile (cele dou premise i concluzia) silogismului sunt propoziii categorice, avem de-a face cu un silogism categoric. Despre silogismul categoric vom povesti pe ndelete n continuare.

Un exemplu, mai nti, ales nu tocmai la ntmplare:

Toi oamenii sunt muritori.Toi grecii sunt oameni.Toi grecii sunt muritori.

Dup cum observai, cele trei propoziii ale silogismului sunt alctuite cu ajutorul a trei termeni. n exemplul dat, oameni, muritori i greci. Unul dintre aceti temeni (oameni) este prezent n cele dou premise i nu este prezent n concluzie. Acest termen leag ntre ele cele dou premise, fcnd logic posibil concluzia. Aceasta din urm, alctuit din termenii necomuni ai premiselor, nu decurge din niciuna dintre premise luate separat.

Relaia aceasta ntre termenii propoziiilor silogismului categoric nu este accidental. Prin definiie, Silogismul categoric este inferena mediat n care din dou propoziii categorice care au un termen comun se deduce o propoziie categoric ai crei termeni sunt termenii necomuni ai premiselor.

nc de la Aristotel, termenul comun al propoziiilor silogismului se numete termen mediu. l vom nota cu M. Termenii necomuni se numesc termeni extremi. Unul dintre acetia, anume cel care joac rolul de predicat al concluziei se numete termen major. Premisa care l conine se numete premisa major sau majora silogismului. l vom nota cu P. Cellalt termen extrem, cel care joac rolul de subiect al concluziei, se numete termen minor. Corespunztor, premisa din care provine se numete premisa minor sau minora silogismului. l vom nota cu S.

Utiliznd notaiile tocmai convenite, silogismul din exemplul anterior va fi reprezentat astfel:

MaPSaMSaP

Termenii silogismului pot juca n premisele lui roluri diferite. Definiia silogismului nu i fixeaz pe acetia n cazul fericit prezentat mai sus, caz n care rolurile din premise se regsesc n concluzie. Dintre combinaiile posibile, numai unele sunt valide. Despre identificarea acestora a vrea s vorbim n continuare.Dar, mai nti, dou observaii:

1. Ordinea enunrii celor trei propoziii ale silogismului depinde de contextul argumentrii i nu afecteaz validitatea silogismului.

2. Statutul premiselor (major/ minor) este dat de rolul termenilor lor extremi n concluzie.

Problema validitii silogismelor, acum:Silogismele categorice pot avea premise de oricare dintre tipurile A, E, I, O. Combinaiile lor furnizeaz 4x4=16 perechi de premise diferite calitativ i cantitativ. Concluziile pot fi, la rndul lor, propoziii A, E, I, O, ridicnd la 16x4=64 numrul combinaiilor silogistice posibile. Rolurile jucate de termeni n premise se pot combina, de asemenea n 4 scheme (sau figuri) silogistice. Combianiile posibile ajung astfel la 64x4=256. Dup cum am menionat deja, numai unele dintre aceste combinaii sunt valide. Anume, cele care respect legile silogismului.Legile silogismului reprezint formulri ale cerinelor de identitate i distribuire a termenilor n silogism. Respectarea lor e condiie necesar (nu se poate fr...)i suficient (ajunge dac...) pentru validitatea silogismului. Unele dintre aceste legi sunt generale. Altele sunt specifice fiecrei figuri silogistice.

Legi generale ale silogismului:

I. Un silogism valid are trei i numai trei termeni. n caz contrar este nclcat principiul identitii, producndu-se eroarea logic de mptrire a termenilor. Dac premisele conin mai mult de trei termeni, nu se mai realizeaz medierea [Dac v aducei aminte, mai la nceputul cursului pisica mnca oareci...

Pisica mnnc oareci. oareci e cuvnt .Pisica mnnc un cuvnt.

e un exemplu de mptrire a termenilor n silogism. Animalul oarece din minor (premisa care d subiectul concluziei, tii asta) este altceva dect numele oarece din major.]

II. Termenul mediu al silogismului trebuie s fie distribuit n cel puin una dintre premise. n caz contrar, termenul mediu nu ar media ntre extremi i s-ar putea obine concluzii false din premise adevrate. De exemplu,

Unii studeni sunt braoveni.Toi ieenii din grupa I sunt studeni.Unii ieeni din grupa I sunt braoveni.

III. Un termen distribuit n concluzia silogismului trebuie s fie distribuit i n premisa n care apare. Despre aceast cerin am vorbit deja, ea vizeaz toate inferenele cu propoziii categorice, imediate i mediate. Nerespectarea ei produce n cazul silogismelor erori logice de major ilicit (predicat distribuit n concluzie fr a fi distribuit n concluzie) sau minor ilicit (subiect distribuit n concluzie fr a fi distribuit n concluzie). De exemplu, silogismul de mai jos pctuiete prin major ilicit.

Toi studenii sunt majori.Niciun elev nu e student.Niciun elev nu e major.

IV. Cel puin una dintre premisele silogismului trebuie s fie afirmativ. n caz contrar, la fel ca n cazul celei de-a doua legi, termenul mediu nu ar putea media ntre extremi, neavnd nimic (sau suficiente elemente) n comun cu acetia. Nicio concluzie ntr-un silogism cu dou premise negative nu decurge cu necesitate:

Niciun fluture nu e arpe. Unele legume/ vipere nu sunt fluturi.Unele legume (A)/ vipere (F) nu sunt erpi.

V. Concluzia silogismului trebuie s redea partea mai slab a acestuia, adic:

a. dac o premis este negativ, concluzia este negativ. O concluzie afirmativ ar indica existena unor elemente comune n extensiunile extremilor. ntruct termenul mediu nu are niciun element comun cu termenul extrem premisei negative, nu poate media cu privire la elementele comune din extensiunile extremilor. O astfel de mediere ar nclca principiul identitii.

b. dac o premis este particular, concluzia este particular. n caz contrar ar fi nclcate unele dintre legile enunate deja. Astfel, ntr-un silogism cu o premis particular i concluzie universal,

- dac ambele premise sunt negative, este nclcat legea IV.- dac ambele premise sunt afirmative, un singur termen este distribuit

(subiectul universalei) n premise. Conform legii II, acesta trebuie s fie termenul mediu. Astfel, minorul e nedistribuit n premis i distribuirea lui n concluzia universal ar nseamna nclcarea legii III.

- dac una dintre premise este afirmativ i una este negativ, sunt doi termeni distribuii n premise (subiectul universalei i predicatul negativei). Aceti doi termeni distribuii trebuie s fie termenul mediu, conform legii II i majorul, pentru a da concluzie negativ conform legii

V (a). Astfel, minorul e nedistribuit n premis i distribuirea lui n concluzia universal ar nseamna nclcarea legii III.

II. Cel puin una dintre premisele silogismului trebuie s fie universal. n caz contrar ar fi nclcate unele dintre legile anterior enunate. Astfel, ntr-un silogism cu dou premise particulare, - dac ambele premise sunt afirmative, termenul mediu nu este distribuit,

nclcndu-se legea II.- dac ambele premise sunt negative, este nclcat legea IV.- dac una dintre premise este afirmativ i una este negativ, un singur

termen este distribuit (predicatul negativei) i acela nu poate fi dect termenul mediu, conform legii II; dar concluzia trebuie s fie negativ, conform legii V (a), i poate fi negativ doar dac termenul major este distribuit n ea, ceea ce ar reprezenta o nclcare a legii III.

Unele tratate de logic general indic drept lege a silogismului i cerina

VII. Dac ambele premise sunt afirmative, atunci concluzia este afirmativ. O concluzie negativ se refer la elementele necomune ale extensiunilor termenilor extremi. Despre aceste elemente, premisele afirmative nu furnizeaz informaii. Referirea la acestea n concluzia silogismului reprezint o nclcare a principiului identitii.

Observai, v rog, c un silogism de forma

PaM (Toi grecii sunt oameni.MaS Toi oamenii sunt muritori.SoP Unii muritori nu sunt greci.)

nu ncalc niciuna dintre legile I-VI. Dac validitatea silogismelor este stabilit prin verificarea respectrii legilor silogismului, este ndreptit enunarea legii suplimentare VII. Pentru verificarea validitii unui astfel de silogism se dovedete foarte util metoda diagramelor Venn. Dar despre asta mai trziu un pic.

Curs 10

Legi speciale de validitate ale figurilor silogistice

Termenii silogismului (su