5/10/2018 12_Asimptote - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/12asimptote 1/3

www.webmateinfo.com

Asimptote

O problema importanta in trasarea graficelor functiilor este determinarea

asimptotelor .

Prin asimptota se intelege o dreapta ( orizontala , oblica sau verticala ) fata de

care graficul functiei “se apropie oricat de mult “ .

Se disting urmatoarele tipuri de asimptote :

Asimptote orizontale

Definitia asimptotei ORIZONTALE :

- Fie R E  f   →:

,  R E ⊆ , unde  E  contine un interval de forma ( )∞;a .

1) Daca :

( ) n x f   x

=∞→

lim, =n finit

atunci dreaptan=

este asimptota orizontala spre ∞+ pentru functia f  

.

2). Daca :

( ) n x f   x

'

lim =−∞→ , =n

'

finit

atunci dreaptan y '

=este asimptota orizontala spre ∞− pentru functia

 f  .

Observatii privind asimptotele ORIZONTALE :

1). Daca functia f  

nu este definita in ∞+ sau ∞− atunci nu are sens sa discutam

existenta asimptotelor orizontale .

2). Denumirea de orizontala pentru asimptota provine din aceea ca dreapta

n y =sau n y '

= 

este paralela cu axa Ox .

3). Daca limitele functiei date nu sunt finite atunci putem trece sa studiem existenta

asimptotelor oblice . Rezulta concluzia : o functie nu poate admite atat asimptote orizontale cat si

oblice !!!

4). Atentie : daca o functie nu admite asimptote orizontale nu rezulta neaparat ca admite

asimptote oblice . Conditia ca functia f  

sa admita asimptote oblice va fii ilustrata in cele ce urmeaza

.

Asimptote oblice

Definitia asimptotei OBLICE spre ∞+ :

- Fie R E  f   →:

,  R E ⊆ , unde  E  contine un interval de forma ( )∞;a .

- Se spune ca dreapta :nmx y +=

 

este asimptota oblica la ramura spre ∞+ a functiei f  

, daca distanta dintre dreapta si grafic ,

masurata pe verticala , tinde catre zero cand tinde catre ∞+ , adica daca :

( )[ ] 0lim =−−∞→

nmx x f   x .

5/10/2018 12_Asimptote - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/12asimptote 2/3

www.webmateinfo.com

Definitia asimptotei OBLICE spre ∞− :

- Fie R E  f   →:

,  R E ⊆ , unde  E  contine un interval de forma ( )b;∞− ,  Rb∈ .

- Se spune ca dreapta :

nmx y ''+=

 

este asimptota oblica la ramura spre ∞− a functiei  f   , daca distanta dintre dreapta si grafic ,

masurata pe verticala , tinde catre zero cand  x tinde catre ∞− , adica daca :

( ) 0lim''=−−

∞→

nmx x f   x .

Teorema :

1). Dreaptanmx y +=

este asimptota oblica la ramura spre ∞+ a functiei f  

, daca si

numai daca  Rnm ∈, , nm, finite , unde :

( ) x

 x f  m

 xlim

∞→

=

, cu conditia 0≠m  

si

( )[ ]mx x f  n x

−=∞→

lim 

2). Dreapta nmx y ''+=

este asimptota oblica la ramura spre ∞− a functiei f  

, daca si

numai daca  Rnm''', ∈ , nm

'', finite , unde :

( ) x f  m xlim

'

−∞→

=

, cu conditia 0'≠m  

si

( )[ ] xm x f  n x

''lim −=

∞→  

Observatii :

1). Practic pentru a determina asimptota oblica la ∞+ pentru f  

se procedeaza astfel :

se calculeaza( ) x f  m

 xlim

∞→

=

 

- daca m este finit , atunci se calculeaza limita

( )[ ]mx x f  n x

−=∞→

lim 

- daca si n este finit , atunci dreaptanmx y +=

reprezinta asimptota oblica spre ∞+ a

lui f  

.

2). Analog pentru determinarea asimptotei oblice spre ∞− a lui f  

.

3). Daca cel putin una din cele doua limite nu exista sau este infinita , curba nu are asimptota

oblica la ∞± .

4). In general , asimptotele oblice la ∞+ si ∞− ( in cazul in care exista ) sunt diferite .

5/10/2018 12_Asimptote - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/12asimptote 3/3

www.webmateinfo.com

Asimptote verticale

Fie R E  f   →:

,  R E ⊂ ,  Ra∈ punct de acumulare pentru  E  .

Definitia asimptotei VERTICALE la stanga :

- Se spune ca dreapta : a x =  

este asimptota verticala la stanga a lui f  

daca :

( ) +∞=

<

→

 x f  a xa x

lim

sau

( ) −∞=

<

→

 x f  a xa x

lim

.

- Dreapta a= , intr-un reper cartezian xOy

, este o dreapta paralela cuOy

, deci verticala .

Definitia asimptotei VERTICALE la dreapta :

- Se spune ca dreapta :

a x =  

este asimptota verticala la dreapta a lui f  

daca :

( ) +∞=

>

→

 x f  a xa x

lim

sau

( ) −∞=

>

→

 x f  a xa x

lim

.

Definitia asimptotei VERTICALE :

- Se spune ca dreapta :

a x =  

este asimptota verticala a lui f  

daca ea este asimptota verticala atat la stanga cat si la dreapta sau

numai lateral .

Observatii :

- Pentru existenta asimptotei verticale nu este necesar ca f  

sa fie definita in a x = .

- Functia f  

nu are asimptota verticala pe a x = , daca punctul a= este de continuitate

 pentru f  

(( ) ( ) Ra f   x f  

a x

∈=→

lim) .