Academia de Studii Economice din Bucureti

Facultatea de ManagementInfluena Ratei omajului i a Ratei Infracionalitilor asupra Ratei CriminalitiiProblema A

nregistrai pentru 41 de uniti (judee), valorile specifice ale unei perechi de caracteristici (X i Y) ntre care exist o legtur logic. Datele prezentate sub forma tabelar fac parte din lucrare. 1. Prezentarea problemei (inclusiv descrierea naturii legturii dintre cele dou variabile, conform teoriei economice);

Se nregistreaz un eantion de n=41 orae, cupluri de valori (xi, yi) cu privire la efectul ratei de omaj asupra criminalitii, pentru anul 2005.Tabelul 1. Rata de omaj i criminalitatea, nregistrate pe un eantion de 41 de orae alese din Statistica Teritorial 2013, pentru anul 2005.

NR. CRTJudeRata Criminalitii ( Y )Rata omaj ( X 1 )

1Bihor5755.9

2Bistria Nsud2814.3

3Cluj2784.4

4Maramure3674.5

5Satu Mare2513.4

6Slaj2506.1

7Alba2828.3

8Braov2328.7

9Covasna2368.8

10Harghita4078.5

11Mure2144.6

12Sibiu2156

13Bacu3626.3

14Botoani4346.2

15Iai3327.2

16Neam3305.6

17Suceava3606

18Vaslui42110.1

19Brila3646.8

20Buzu2867.4

21Constana2455.6

22Galai3418.3

23Tulcea3256

24Vrancea3894

25Arge1835.2

26Clrai4109

27Dmbovia3147.4

28Giugiu1385.6

29Ialomia32112.1

30Prahova2096.3

31Teleorman2518.9

32Bucureti-Ilfov2412.4

33Dolj3096.3

34Gorj4049.3

35Mehedini4889.5

36Olt4027.1

37Vlcea2896.4

38Arad2643.4

39Cara Severin2437.9

40Hunedoara3769.4

41Timi2122.3

Din teoria i practica - legtur statistic exprimat printr-un model de regresie simpl liniar.

Regresia liniar simpl este un caz particular al analizei de regresie, deoarece ntr-un astfel de model variabila dependent ar fi explicat numai de o singur variabil independent.

Se nelege c, n exemplul dat, rata criminalitii nu depinde numai de rata omajului, ci i de un ansamblu de alte variabile pe care le exprimm sintetic printr-o variabil numit eroare sau reziduu.

Definitie: Rata somajului masoara procentul muncitorilor someri n raport cu forta totala de munca. Rata somajului este considerata unul dintre cei mai importanti indicatori ai conditiilor macroeconomice dintr-o tara.Rata criminalitii reprezint numarul persoanelor condamnate definitiv la 100000 locuitori. Pentru a determina n ce msur variabila independenta contribuie la modificarea variabilei dependente vom elabora un model de regresie liniar simpl, vom determina dac acesta poate fi considerat valid, adic dac exist, sau nu, o legtur liniar ntre rata omajului i rata criminalitii, iar dac acesta va fi valid, vom realiza o previziune a ratei criminalitatii pentru o alta perioada, caracterizata de anumite valori ale ratei somajului. 2. Definirea modelului de regresie simpl liniar

2.1- Forma, variabilele i parametrii modelului de regresie

Forma modelului de regresie liniar simpl este: sau Y = a+ b X + y= 221,143 + 13,864*X + n modelul de regresie de mai sus, a-ul este coeficientul termenului liber; nu are semnificaie din punct de vedere economic, reprezentnd valoarea Rata criminalitii, n cazul n care rata omaj este 0. Adic dac rata omaj este 0, Rata criminalitii crete cu 221,143.b= 13,864 reprezint coeficientul de regresie sau panta dreptei de regresie. Daca valoarea lui b este mai mare dect 0 rezulta ca legtura dintre cele doua variabile este directa. Totodat daca va crete Rata criminalitii cu o unitate, rat omaj va creste cu 13,864.Variabilele modelului, pentru exemplul considerat, sunt:

- variabila dependent (rezultativ):Y rata criminalitii;

- variabila independent (factorial, predictor):

X rata omajului (%)

- variabila eroare (reziduu):

- variabila aleatoare, variabila care nsumeaz influena altor variabile asupra ratei, dar care nu sunt specificate expres n model. Variabila exprim abaterile ntre valorile observate i valorile estimate prin model.Parametrii modelului de regresie simpl liniar, numii i coeficieni de regresie, sunt:

- ordonata la origine - arat valoarea medie a variabilei Y cnd ;

- panta dreptei - arat variaia medie a variabilei dependente, Y, la o variaie absolut cu o unitate a variabilei X, adic variaia variabilei Y este proporional cu variaia variabilei X:

.Proprieti ale modelului de regresie liniar:

simplitate

capacitatea de aplicare direct pentru verificarea existenei unei relaii ntre variabile

estimarea direct a parametrilor prin metoda celor mai mici ptrate.

2.2- Reprezentarea grafic a modelului legturii dintre variabile

In baza acestei reprezentri grafice se poate vedea clar o legatura liniar direct ntre cele doua variabile astfel modelul devine un model unifactorial liniar.3. Estimarea parametrilor modelului i interpretarea acestora 3.1 Estimarea punctual a parametrilorEstimarea punctuala a parametrilor se va face plecnd de la ecuaia yi=a+bxi cu ajutorul metodei celor mai mici ptrate.

M.C.M.M.P. const n a minimiza funcia

Condiia de minim a acestei funcii rezult din:

Estimarea parametrului a:

3.2- Estimarea parametrilor prin interval de ncredere

Intervalele nu includ valoarea nula, deci parametrii sunt semnificativi statistic.In Excel datele obinute sunt prezentate astfel:

4. Testarea semnificaiei corelaiei i a parametrilor modelului de regresie

n urma folosirii programului EXCEL s-au obinut urmtoarele rezultate:

Ecuaie econometrica

Intensitatea legturii dintre cele dou variabile se determin cu ajutorul coeficientului de corelaie liniar (Multiple R): Intensitatea dintre cele 2 variabile se msoar cu ajutorul a 3 indicatori:

Coeficientul de corelaie liniara

Raportul de corelaie

Coeficientul de determinareCoeficientul de corelaie liniara:

=

Daca valoarea coeficientului de corelaie liniara este mai mare dect 0 rezult c legtura dinte cele 2 variabile este una strns.

Raportul de corelaie:

Se regsete in Excel sub forma de Multiple R. n cazul de fa, pentru un model liniar, coeficientul de corelaie este egal cu raportul de corelaie, respectiv 0.338995748

Coeficientul de determinare:

Este prezentat n Excel sub denumirea de R Square i exprim proporia n care variabila x influeneaz variabila y. n cazul de fa rata omajului influeneaz n proporie de 11% rata criminalitii, restul de 89% reprezentnd influena altor factori.

Testarea semnificaiei raportului de corelaie se face cu ajutorul testului Fisher-Snedecor:

, R fiind semnificativ dac

4.2- Testarea parametrilor unui model de regresie simplu

Testarea parametrului a:

H0: a=0 (a nu este semnificativ statistic)

H1: a0 (a este semnificat statistic)

Z critic= 1,96

Z calculat=Z calculat > Z critic, => acceptam ipoteza H1 conform creia a este semnificativ din punct de vedere statistic

Testarea parametrului b:

H0: b=0 (b nu este semnificativ statistic)

H1: b0 (b este semnificativ statistic)

Z critic= 1,96

Z calculat== 2,25

Z calculat > Z critic => acceptam ipoteza H1 conform creia b este semnificativ din punct de vedere statistic.

5. Aplicarea analizei de tip ANOVA pentru validitatea modelului de regresie simplu i interpretarea rezultatelor

Verificarea verosimilitii modelului se face cu ajutorul analizei dispersionale (analiza variaiei).

Sursa Variatiei

Grade de libertateSuma Patratelor SSDispersiile corectate MS

Datorata regresieiK=1y/xSy/x

36230.22

Datorata eroriin-k-1eSe

7154,86

Totalan-1y

1) se stabilete ipoteza nul: H0: mprtierea valorilor datorate factorului nu difer semnificativ de mprtierea acelorai valori datorate ntmplrii, deci modelul nu este valid.

2) se stabilete ipoteza alternativ: H1: modelul este valid;

3) se calculeaz testul F: ( daca Signifiance F este mai mic de 0,05 atunci modelul este valid, liniar)

Deoarece Fcalc = 5,06 > Ftab = 4 ( modelul este valid, se accepta ipoteza H1, se respinge H0.

6. Testarea ipotezelor clasice asupra modelului de regresie simpl

Estimarea prin metoda celor mai mici ptrate a parametrilor modelului de regresie are sens numai dac sunt respectate anumite ipoteze.

6.1. Ipoteze statistice clasice asupra modelului de regresie simpl

Ipotezele statistice clasice asupra modelului de regresie sunt:- Liniaritatea modelului. Relaia ntre Y i X este liniar. Aceast ipotez este necesar pentru estimarea parametrilor modelului;

- Normalitatea erorilor. Variabila este distribuit normal: ;

- Homoscedasticitatea. Varianele V() sunt constante, oricare ar fi valorile variabilei X, adic, ;

Necorelarea erorilor. Erorile sunt necorelate ntre ele: ;

Independena erorilor de valorile variabilei X. Valorile variabilei sunt independente de valorile variabilei explicative X, adic .

nclcarea ipotezelor poate afecta calitatea estimatorilor.

6.2. Testarea liniaritii modelului propus

Liniaritatea relaiei dintre variabila dependent i variabila independent este important att pentru acurateea predictiv a modelului ct i pentru validitatea coeficienilor estimai.

Verificarea liniaritii se poate efectua grafic, folosind: scatterplots; diagrama reziduurilor din regresie.

Diagrama reziduurilor din regresie

Diagrama reziduurilor din regresie se construiete lund pe ordonat variabila reziduu i pe abscis variabila dependent . Dac reziduurile apar dispersate aleator, de o parte i de alta a valorii zero , atunci relaia poate fi modelat cu ajutorul regresiei liniare.

Dac reziduurile apar dispersate n blocuri deasupra sau sub valoarea zero, atunci relaia dintre variabilele considerate nu poate fi modelat cu ajutorul regresiei liniare.

Testarea ipotezei de autocorelare a erorilorVerificarea ipotezei de independen a erorilor n cazul acestui model va fi realizat cu ajutorul testului Durbin-Watson i const n calcularea termenului empiric:

Acceptarea sau respingerea ipotezei de independen a erorilor se bazeaz pe o anumit regul, care const n:

- dac autocorelare pozitiv;

- dac indecizie, recomandndu-se acceptarea autocorelrii pozitive;

- dac erorile sunt independente;

-dacindecizie, recomandndu-se acceptarea autocorelrii negative;

- dac autocorelare negativ.

Dac se accept autocorelarea pozitiv6.3Testarea normalitatii erorilor

Se tie c, dac erorile urmeaz legea normal de medie zero i de abatere medie ptratic (consecina ipotezelor c1, c2, c3), atunci are loc relaia:

.

Verificarea ipotezei de normalitate a erorilor se va realiza cu ajutorul testului Jarque-Berra, care este i el un test asimptotic (valabil n cazul unui eantion de volum mare), ce urmeaz o distribuie hi ptrat cu un numr al gradelor de libertate egal cu 2, avnd urmtoarea form:

~ =

unde: n = numrul de observaii;

S= coeficientul de asimetrie (skewness), ce msoar simetria distribuiei erorilor n jurul mediei acestora, care este egal cu zero, avnd urmtoarea relaie de calcul:

K = coeficientul de aplatizare calculat de Pearson (kurtosis), ce msoar boltirea distribuiei (ct de ascuit sau de aplatizat este distribuia comparativ cu distribuia normal), avnd urmtoarea relaie de calcul:

= 2,75Utiliznd pachetul de programe EViews n vederea calculrii testului Jarque-Berra, se constat c JB= 0,91, i c p(JB) = 0,87. Deoarece valoarea calculat a testului JB este mai mica dect valoarea tabelat a lui , iar testul JB a depit valoarea tabelat, ipoteza de normalitate a erorilor se accept.

6.4 Testarea ipotezei de homoscedasticitate

Exist dou variante de aplicare a testului White:

- utilizarea testului Fisher Snedecor clasic, bazat pe ipoteza nulitii parametrilor, respectiv:

H0:

Ipoteza de homoscedasticitate presupune faptul c variabila rezidual este de medie nul, iar dispersia ei este constant i independept de x. Pe baza acestei afirmaii putem admite faptul c legtura dintre y i x este relative stabil. Verificarea se face cu ajutorul testului White.

Aplicarea testului White:

Mai departe de face verificarea semnificaiei parametrilor de regresie nou construit, iar daca unul dintre acetia este nesemnificativ statistic, atunci ipoteza de heterodasticitate a erorilor este acceptat. Aplicarea testului White se va face utiliznd testul Fisher-Snedecor bazat pe ipoteza nulitii parametrilor.

H0: H1:Conform datelor obinute mai sus se accepta ipoteza H1, conform creia parametrii modelului sunt semnificativi statistic.

F calculat=F critic = 4

Datorit faptului c F calculate este mai mare dect F critic, se accept heterodasticitatea modelului.

Dac ipoteza nul, potrivit creia rezultatele estimrii sunt nesemnificative (), este acceptat, atunci ipoteza de homoscedasticitate se verific.

- utilizarea testului LM, calculat ca produs ntre numrul de observaii corespunztoare modelului, n, i coeficientul de determinare, R2, corespunztor acestei regresii auxiliare. n general, testul LM este asimptotic distribuit sub forma unui , pentru care numrul gradelor de libertate este egal cu: , unde k = numrul variabilelor exogene, respectiv:

~

Dac , erorile sunt heteroscedastice, n caz contrar, sunt homoscedastice, respectiv ipoteza nulitii parametrilor, , este acceptat.

Aplicarea testului White s-a realizat utiliznd pachetul de programe EViews:

Analiznd rezultatele afiate de programul EViews se constat c i , iar estimatorii parametrilor modelului sunt nesemnificativi pentru un prag de semnificaie (), deci ipoteza de heteroscedasticitate se verific.

Concluzii :Modelul de regresie liniar are un coeficient de determinare = 0.1149, adic rata criminalitii este explicata n msur de aproape 11% de ctre variabila independent inclus n model.Valoarea testului F este suficient de mare pentru a determina validitatea global a modelului pentru un prag de semnificaie de cel puin Significance F = 0.03014, cu mult mai mic dect ales.7. Previziunea valorii variabilei Y dac variabila X crete cu 10% fa de ultima valoare nregistrat (inclusiv interval de ncredere) pentru toate variantele cunoscute.

2,3( este ultima nregistrare n campul x1) * 1.1 (110%) = 2,53

= 221,14 + 13,862,53 = 256,185 Rezult astfel ca y 41 este mai mic dect ultima valoare nregistrat y 42, rezultnd la o cretere cu 10% a lui x i o creste cu 10% a lui y (rata criminalitii). 1. Prezentarea problemei (inclusiv descrierea naturii legturii dintre cele dou variabile, conform teoriei economice);

Se nregistreaz un eantion de n=41 orae, cupluri de valori (xi, yi) cu privire la efectul ratei infracionalitii asupra criminalitii, pentru anul 2005.

Tabelul 1. Rata infracionalitii i criminalitatea, nregistrate pe un eantion de 41 de orae alese din Statistica Teritorial 2013, pentru anul 2005.

NR. CRTJudeRata Criminalitii ( Y )Rata infracionaliti ( X 2 )

1Bihor575734

2Bistria Nsud2811011

3Cluj278945

4Maramure367851

5Satu Mare2511216

6Slaj250975

7Alba2821167

8Braov232915

9Covasna2361234

10Harghita4071356

11Mure214976

12Sibiu215795

13Bacu362901

14Botoani4341177

15Iai332839

16Neam3301413

17Suceava3601152

18Vaslui4211017

19Brila364759

20Buzu286931

21Constana2451028

22Galai3411028

23Tulcea3251061

24Vrancea3891121

25Arge183678

26Clrai4101248

27Dmbovia3141223

28Giugiu138789

29Ialomia3211059

30Prahova209761

31Teleorman251812

32Bucureti-Ilfov241922

33Dolj309876

34Gorj4041263

35Mehedini488906

36Olt4021012

37Vlcea289542

38Arad264933

39Cara Severin243914

40Hunedoara3761534

41Timi212727

Definitie: Rata infracionalitii masoara procentul infraciunilor la 100000 de locuitori. Rata infraionalitii este considerata unul dintre cei mai importanti indicatori ai conditiilor macroeconomice i sociale dintr-o tara.Rata criminalitii reprezint numarul persoanelor condamnate definitiv la 100000 locuitori. 2. Definirea modelului de regresie simpl liniar

2.1- Forma, variabilele i parametrii modelului de regresie

Forma modelului de regresie liniar simpl este: Y = a+ b X + y= 192,45 + 0,121*X + n modelul de regresie de mai sus, a-ul este coeficientul termenului liber; nu are semnificaie din punct de vedere economic, reprezentnd valoarea Rata criminalitii, n cazul n care populaia din mediul urban este 0. Adic dac rata infracionalitatea din mediul urban este 0, Rata criminalitii crete cu 192,45.

b= 0,121 reprezint coeficientul de regresie sau panta dreptei de regresie. Daca valoarea lui b este mai mare dect 0 rezulta ca legtura dintre cele doua variabile este directa. Totodat daca va crete Rata infracionalitate cu o unitate, Rata criminalitii va creste cu 0,121.2.2- Reprezentarea grafic a modelului legturii dintre variabile

In baza acestei reprezentri grafice se poate vedea clar o legatura liniar direct ntre cele doua variabile astfel modelul devine un model unifactorial liniar.

3. Estimarea parametrilor modelului i interpretarea acestora 3.1 Estimarea punctual a parametrilorEstimarea punctuala a parametrilor se va face plecnd de la ecuaia yi=a+bxi cu ajutorul metodei celor mai mici ptrate.

M.C.M.M.P. const n a minimiza funcia

Condiia de minim a acestei funcii rezult din:

Estimarea parametrului a:

3.2- Estimarea parametrilor prin interval de ncredere

Intervalele includ valoarea nula, deci parametrii nu sunt semnificativi statistic.In Excel datele obinute sunt prezentate astfel:

Tabel 2

4. Testarea semnificaiei corelaiei i a parametrilor modelului de regresie

n urma folosirii programului EXCEL s-au obinut urmtoarele rezultate

Coeficientul de corelaie liniara:

=

Daca valoarea coeficientului de corelaie liniara este mai mare dect 0 rezult c legtura dinte cele 2 variabile este una strns.

Raportul de corelaie:

Se regsete in Excel sub forma de Multiple R. n cazul de fa, pentru un model liniar, coeficientul de corelaie este egal cu raportul de corelaie, respectiv 0.28Coeficientul de determinare:

Este prezentat n Excel sub denumirea de R Square i exprim proporia n care variabila x influeneaz variabila y. n cazul de fa rata infracionalitii influeneaz n proporie de 8% rata criminalitii, restul de 92% reprezentnd influena altor factori.

Testarea semnificaiei raportului de corelaie se face cu ajutorul testului Fisher-Snedecor:

, R fiind semnificativ dac

4.2- Testarea parametrilor unui model de regresie simplu

Testarea parametrului a:

H0: a=0 (a nu este semnificativ statistic)

H1: a0 (a este semnificat statistic)

Z critic= 1,96

Z calculat=Z calculat > Z critic, => acceptam ipoteza H1 conform creia a este semnificativ din punct de vedere statistic

Testarea parametrului b:

H0: b=0 (b nu este semnificativ statistic)

H1: b0 (b este semnificativ statistic)

Z critic= 1,96

Z calculat=Z calculat > Z critic => acceptam ipoteza H1 conform creia b este semnificativ din punct de vedere statistic.

5. Aplicarea analizei de tip ANOVA pentru validitatea modelului de regresie simplu i interpretarea rezultatelor

Verificarea verosimilitii modelului se face cu ajutorul analizei dispersionale (analiza variaiei).

Sursa Variatiei

Grade de libertateSuma Patratelor SSDispersiile corectate MS

Datorata regresieiK=1y/xSy/x

26188.023

Datorata eroriin-k-1eSe

7414.048

Totalan-1y

2) se stabilete ipoteza nul: H0: mprtierea valorilor datorate factorului nu difer semnificativ de mprtierea acelorai valori datorate ntmplrii, deci modelul nu este valid.

2) se stabilete ipoteza alternativ: H1: modelul este valid;

3) se calculeaz testul F: ( daca Signifiance F este mai mic de 0,05 atunci modelul este valid, liniar)

Deoarece Fcalc = 3.53 < Ftab = 4 ( modelul nu este valid, se respinge ipoteza H1, se accepta H0.

6. Testarea ipotezelor clasice asupra modelului de regresie simpl

Estimarea prin metoda celor mai mici ptrate a parametrilor modelului de regresie are sens numai dac sunt respectate anumite ipoteze.Diagrama reziduurilor din regresie

Diagrama reziduurilor din regresie se construiete lund pe ordonat variabila reziduu i pe abscis variabila dependent . Dac reziduurile apar dispersate aleator, de o parte i de alta a valorii zero atunci relaia poate fi modelat cu ajutorul regresiei liniare.

Dac reziduurile apar dispersate n blocuri deasupra sau sub valoarea zero, atunci relaia dintre variabilele considerate nu poate fi modelat cu ajutorul regresiei liniare.

Testarea ipotezei de autocorelare a erorilor

Verificarea ipotezei de independen a erorilor n cazul acestui model va fi realizat cu ajutorul testului Durbin-Watson i const n calcularea termenului empiric:

Acceptarea sau respingerea ipotezei de independen a erorilor se bazeaz pe o anumit regul, care const n:

- dac autocorelare pozitiv;

- dac indecizie, recomandndu-se acceptarea autocorelrii pozitive;

- dac erorile sunt independente; -dacindecizie, recomandndu-se acceptarea autocorelrii negative;

- dac autocorelare negativ.

6.3Testarea normalitatii erorilor

Skewness (S)=coeficient de asimetrie

Kurtosis (K)=coeficient de aplatizare

Testul JB pe bazeaz pe ipoteza c S=0, n cazul nostru 0,164 este apropiat de aceast valoare, iar K=3.Probabilitatea Jarque-Bera(p(JB))>0,05=> se accept ipoteza de normalitate a erorilor.Testarea ipotezei de homoscedasticitate

Problema B1. Definirea modelului de regresie multipl liniarAcest proiect are scopul de a prezenta influenta ratei omajului i a ratei infracionaltii asupra ratei criminaltii prin intermediul modelului de regresie liniara multipla.

In cadrul proiectului voi folosi 41 de observatii , in anul 2005. Datele au fost preluate din baza de date Statisctic Teritorial.

2.1- Forma, variabilele, parametrii modelului de regresie multiplDin cele prezentate mai sus se observa faptul ca relatia dintre cele doua fenomene este una de cauzalitate. Fenomenele cauza sau variabilele exogene (independente) sunt reprezentate de rata omaj respectiv rata infracionalitii, iar fenomenul efect sau variabila endogena (dependenta) este reprezentata de Rata Criminalitii.Conform datelor din Tabelul nr. 1 putem construi un model econometric multifactorial de forma unei functii Yt=0+1*X1t+2*X2t+t unde Yt reprezinta valorile variabilei dependente Rata criminalitii si unde X1t;X2t reprezinta valorile variabilelor independente rata omaj repectiv rata infracionalitii.

Ecuatia functiei de regresie ia forma:

y = + 0*x0 +1*x1 +i , adica Rata criminalitii = + 0*rata omaj +1*rata infracionalitii +i 2.2 -Reprezentarea grafic a modelului legturii dintre variabile

Reprezentand grafic perechile observate (x1,x2),se constata ca intre variabile exista o legatura constanta si liniara.

2.Estimarea parametrilor modelului i interpretarea acestora

Cu ajutorul programului Excel:

Ceea ce nseamn c:

=151,7164 arat c, dac cele dou variabile explicative, X1 i X2 au valoarea 0,valoarea medie Ratei criminalitii este estimat la circa 152 persoane.

1=11,37 arata, meninnd celelalte variabile constante, atunci cnd Rata Criminalitii crete cu 1u.m., rata omajului crete, n medie, cu 11,37 %.

2=0,086 arata ca, meninnd celelalte variabile constante, rata infracionalitii

a crescut, n medie, cu aproximativ 0,086 persoane.

este numit parametru de interceptare,iar 1 si 2 coeficienti de regresie partiali. Se msoar intensitatea legturii dintre variabile folosind indicatorul adecvat, testnd semnificaia acestora pentru un nivel de semnificaie 0,05. Din tabelul generat de MS Excel avem Multiple R (Raportul de corelaie):0,39 ceea ce nseamn c legtura dintre Rata criminalitii,omaj i infracionalitate este una puternic.

Testarea semnificaiei raportului de corelaie:

Ipoteza nul (raportul de corelaie al colectivitii din care s-a extras eantionul de 41 uniti, nu difer semnificativ de zero, deci nu este semnificativ statistic);

Ipoteza alternativ ( raportul de corelaie al colectivitii din care s-a extras eantionul de 41 uniti, difer semnificativ de zero, deci este semnificativ statistic);

Testarea raportului de corelaie se face cu testul F:

Deoarece ( R nu este semnificativ diferit de zero, pentru un prag de semnificaie =0,05.

Regresia multipl cu ajutorul programului Eviews:

Unde ser02: rata somaj si ser03: rata infractionalitate

Conform Figurii se observa faptul ca modelul nu este semnificativ diferit de 0, acest lucru putand fi observat in urma estimarii, unde probabilitatea nu tinde catre 0 (Prob.(C)0.05; Prob.(ri)>0.05).

Aplicarea analizei de tip ANOVA pentru validitatea modelului de regresie multipl i interpretarea rezultatelor

S se verifice validitatea modelului de regresie pentru un nivel de semnificaie 0,05.

ANOVADf

(grade de libertate)SS (variana)

(suma ptratelor)MS

(media patratelor)

(dispersia corectat)F(calculat)Significance F

Regression (variaia

datorat regresiei)

2

48345,49

24172,74Testul

F=/

3,44Este

0,04<

(se respinge H0

Modelul este valid)

Residual

(variaia rezidual)38

266924,40

7024,32

Total (variaia total)

EMBED Equation.3 40

315269,90

H0: modelul nu este valid statistic (mprtierea valorilor datorate factorului timp nu difer semnificativ de mprtierea acelorai valori datorate ntmplrii)

H1: modelul este valid statistic

tiind c pragul de semnificaie este i (exist doi factori de influen) se stabilete:

valoarea critic:

regiunea de respingere: dac , atunci H0 se respinge

Determinarea statisticii testului () are la baz relaia:

Deoarece (3,44) < (4) ( se respinge, deci este adevrat, prin urmare, modelul este invalid.Testarea ipotezelor clasice asupra modelului de regresie multiplIpoteza de normalitate a erorilor

Din figura de mai sus observam ca este incalcata ipoteza de normalitate (Jarque-Berra=17,615450), iar probabilitatea este egala cu 0.000150. Daca probabilitatea p(JB) corespunzatoare valorii calculate a testului este suficient de scazuta atunci ipoteza de normalitate a erorilor este respinsa.

Testarea ipotezei de homoscedasticitate

Conform graficului reziduurilor, ochiometric se pare ca ipoteza de homoscedasticitate nu este incalcata intrucat graficul se incadreaza intr-o banda paralela cu abscisa. Pentru a verifica acest lucru vom folosi testul White din programul E-views.

Conform Figurii se observa faptul ca estimatorii parametrilor modelului nu sunt semnificativi diferiti de 0 fapt pentru care este acceptata ipoteza de homoscedasticitate, tinand cont de faptul ca testul verifica heteroscedasticitatea (White heteroskedasticity test).

Testarea ipotezei de autocorelare a erorilorAcceptarea sau respingerea ipotezei de independen a erorilor se bazeaz pe o anumit regul, care const n:

- dac autocorelare pozitiv;

- dac indecizie, recomandndu-se acceptarea autocorelrii pozitive;

-dac erorile sunt independente;

-dacindecizie, recomandndu-se acceptarea autocorelrii negative;

-dacautocorelare negativ.

Dac erorile sunt independente7. Previziunia valorii variabilei Y dac variabila X crete cu 10% fa de ultima valoare nregistrat

y = 151,71 + 11,37 x1i + 0,086 x2ix1(42) = 1,1 * 2,3 = 2,53x2(42) = 1,1 *727= 799,7y= b0 + b1 * x1 (42) + b2 x2 (42)y=151,71+28,76+68,77=249,24Rezult c y= 249,24 este mai mare dect ultima valoare nregistrat y 41 (151,71), astfel la o cretere cu 10% a lui x1(rata omajului) i x2(rata infracionalitii) va crete i y(rata criminalitii) cu 10%.Problema CFolosind datele Problemei A, s se testeze dac dispersiile (variaiile) celor dou populaii (variabila exogen i variabila endogen) sunt egale; testai dac mediile celor dou populaii sunt egale. Rezolvarea problemei C de exemplificat n Excel, cu interpretarea rezultatelor i parcurgerea etapelor testrii ipotezelor statistice.

Avem urmtoarele variaii:

Mean mediile eantioanelor

Variance- dispersii

Observations-volum eantion Df- grad de libertate

F-statistic test f

P( F