1. NOŢIUNI DE CALCUL VECTORIAL 1.1. MĂRIMI SCALARE ŞI MĂRIMI VECTORIALE

Mărimile care sunt complet determinate prin valoarea lor numerică

(pozitivă sau negativă) se numesc mărimi scalare sau scalari. Mărimile care sunt complet determinate prin valoarea lor numerică, prin

direcţie şi sens se numesc mărimi vectoriale sau vectori. Vectorul reprezentat prin segmentul de dreaptă orientat se numeşte vector

liber. În cazul când pentru definirea vectorului este necesară precizarea suportului, acesta se numeşte vector alunecător; dacă este necesară şi precizarea punctul de aplicaţie , acesta se numeşte vector legat.

1.2. COMPUNEREA A DOI VECTORI CONCURENŢI

Considerând doi vectori a şi b cu originea în punctul O şi unghiul dintre suporturile celor doi vectori, α, suma sau rezultanta celor doi vectori este vectorul c , definit ca mărime direcţie şi sens de diagonala paralelogramului construit cu vectorii a şi b , ca laturi (fig.1.1.a). bac += (1.1)

Mărimea vectorului rezultant este:

αcosab2bac 22 ++= (1.2)

Considerând ca referinţă, suportul vectorului a , direcţia vectorului rezultant este definită de unghiul β:

Fig. 1.1

α

αβcosab2ba

sinbsin22 ++

= (1.3)

Expresia analitică. Considerând că vectorii a şi b definesc planul Oxy, vectorul rezultant c va fi situat în acelaşi plan, cei trei vectori putând fi exprimaţi prin proiecţii pe axele sistemului menţionat, (fig.1.1.b):

jcicc;jbibb;jaiaa yxyxyx +=+=+= (1.4)

Conform relaţiei (1.1) putem scrie:

)jbib()jaia(jcic yxyxyx +++=+ (1.5)

3

Rezultă componentele pe axe ale vectorului rezultant c : yyyxxx bac;bac +=+= (1.6)

Mărimea vectorului rezultant este:

2yy

2xx

2y

2x )ba()ba(ccc +++=+= (1.7)

iar direcţia este dată de unghiul γ dintre suportul vectorului rezultant şi axa Ox:

xx

yy

x

y

baba

cc

tg+

+==γ (1.8)

1.3. COMPUNEREA A “n” VECTORI CONCURENŢI

Regula paralelogramului poate fi extinsă la compunerea unui număr

oarecare de vectori concurenţi 1V , 2V ,…. nV , ajungându-se la o construcţie grafică numită regula poligonului vectorilor, laturile acestuia fiind vectorii din sistem. O latură Vi a poligonului se obţine prin construirea unui vector echipolent cu vectorul iV având ca origine, extremitatea vectorului 1−iV şi ca extremitate, originea vectorului 1iV . +

Rezultanta sistemului de vectori este definită ca suma vectorială a vectorilor iV :

∑=

=+++=n

1iin21 VV...VVV (1.9)

Construcţia grafică reprezintă segmentul de dreaptă care uneşte originea primului vector

1V , cu extremitatea ultimului vector nV din acest poligon (fig.1.2.a).

Regula poligonului, pentru cazul particular de compunere a doi vectori concurenţi se numeşte regula triunghiului (fig.1.2.b).

Expresia analitică. Suporturile vectorilor din sistem fiind orientate în spaţiu se va considera un sistem de axe cartezian triortogonal Oxyz faţă de care vor fi exprimate componentele pe axe ale acestor vectori (fig.1.2.c). Notând proiecţiile pe axe ale vectorului iV cu Vix, Viy, Viz şi ale vectorului rezultant V , cu Vx, Vy, Vz, conform relaţiei (1.9) se scrie:

Fig.1.2

4

∑=

++=++n

1iiziyixzyx )kVjViV(kVjViV (1.10)

Analog raţionamentului anterior, rezultă valorile componentelor pe axe ale vectorului rezultant:

(1.11)

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

∑

∑

∑

=

=

=

n

1iizz

n

1iiyy

n

1iixx

VV

VV

VV

Mărimea vectorului rezultant este:

2z

2y

2x VVVV ++= (1.12)

Fig. 1.2

iar direcţia dată prin cosinusurile directoare:

VV

cos x=α , VV

cos y=β , VVcos z=γ (1.13)

1.4. DESCOMPUNEREA UNUI VECTOR DUPĂ DOUĂ DIRECŢII

CONCURENTE

Descompunera unui vector V după două direcţii concurente d1 şi d2 înseamnă determinarea sistemului de vectori concurenţi

1V şi 2V a căror rezultantă este vectorul V sau determinarea componentelor 1V şi 2V ale acestuia, pe cele două direcţii d1 şi d2. Folosind regula paralelogramului, prin extremitatea vectorului V se construiesc paralele la direcţiile d1 şi d2, punctele de intersecţie cu aceste direcţii definind extremităţile vectorilor 1V şi 2V , ca în figura 1.3.

Fig. 1.3

1.5. DESCOMPUNEREA UNUI VECTOR DUPĂ TREI DIRECŢII CONCURENTE ÎN SPAŢIU

Se aplică regula paraleogramului în două etape. În prima etapă se

descompune vectorul V după una din cele trei direcţii, spre exemplu d3 şi o 5

direcţie d1,2, obţinută ca intersecţie dintre planul format de celelalte două direcţii, d1 şi d2 cu planul format de cea de-a treia direcţie d3 şi vectorul V , rezultând componentele 3V şi 2,1V .

În etapa a doua se descompune componenta 2,1V după direcţiile d1 şi d2 rezultând componentele 1V şi 2V . Vectorul V reprezintă diagonala paralelipipedului având ca muchii, componentele 1V , 2V şi 3V (fig.1.4).

Fig. 1.4

1.6. PRODUSUL SCALAR A DOI VECTORI

Numim produs scalar al vectorilor a şi b , notat ba ⋅ , scalarul c:

αcosbabac =⋅= (1.14)

unde α este unghiul format de suporturile celor doi vectori. Produsul scalar al vectorilor a şi b poate fi exprimat ca produsul dintre

mărimea unui vector şi proiecţia celuilalt pe acesta, şi invers (fig.1.5).

⎪⎩

⎪⎨⎧

==⋅

==⋅

aprbcosabbabpracosbaba

b

a

αα

(1.15)

Expresia analitică. Când vectorii a şi b sunt exprimaţi prin proiecţiile pe axele sistemului triortogonal Oxyz:

⎩⎨⎧

++=++=

kajbibbkajaiaa

zyx

zyx (1.16)

expresia analitică a produsului scalar devine:

zzyyxx babababa ++=⋅ (1.17)

Fig. 1.5

1.7. PRODUSUL VECTORIAL A DOI VECTORI

Produsul vectorial al vectorilor a şi b este un vector c , definit astfel:

bac ×= (1.18) Vectorul produs vectorial are următoarele caracteristici:

a. mărimea (modulul) vectorului: αsinbac = (1.19)

6

reprezentând aria paralelogramului având ca laturi cei doi vectori, a căror suporturi formează unghiul α. b. direcţia este dată de o dreaptă perpendiculară pe planul definit de cei doi vectori c. sensul este dat de regula şurubului drept: sensul de înaintare al şurubului situat pe suportul vectorului c , prin rotirea vectorului a către vectorul b , în sensul parcurgerii unghiului minim dintre cei doi vectori (fig.1.6).

Expresia analitică. Cei trei vectori putând fi exprimaţi prin proiecţii pe axele sistemului triortogonal Oxyz:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++=++=++=

kcjcicckbjbibbkajaiaa

zyx

zyx

zyx

(1.20)

produsul vectorial este scris sub forma determinantului,

Fig. 1.6

zyx

zyx

bbbaaakji

bac =×= (1.21)

prin dezvoltarea acestuia, rezultând componentele pe cele trei axe ale vectorului produs vectorial, c :

(1.22) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−=−=

xyyxz

zxxzy

yzzyx

babacbabacbabac

1.8. PRODUSUL MIXT A TREI VECTORI

Produsul mixt a trei vectori , a , b şi c este prin definiţie, produsul scalar dintre vectorul a şi vectorul produs vectorial, cb × adică un scalar d:

)cb(a)c,b,a(d ×⋅== (1.23) Produsul mixt este un scalar şi

reprezintă volumul paralelipipedului având ca muchii mărimile celor trei vectori (fig.1.7).

VhAaprcb)c,b,a( cb =⋅=⋅×= × (1.24)

Întrucât Acb =× reprezintă aria bazei paralelipipedului având ca muchii cei trei vectori iar hapr cb =× reprezintă înălţimea paralelipipedului.

Fig. 1.7

7

Expresia analitică. Dacă vectorii sunt cunoscuţi prin proiecţiile lor pe axele sistemului triortogonal Oxyz atunci produsul mixt (1.23) poate fi exprimat analitic:

zyx

zyx

zyx

cccbbbaaa

)cb(a)c,b,a( =×⋅= (1.24)

1.9. DUBLUL PRODUS VECTORIAL A TREI VECTORI

Dublul produs vectorial al vectorilor a , b şi c este un vector d egal cu

produsul vectorial dintre vectorii a şi cb × fiind situat în planul vectorilor b şi c , conform relaţiei: c)ba(b)ca()cb(a ⋅−⋅=×× (1.25)

Dacă cei trei vectori sunt cunoscuţi prin proiecţiile lor pe axele sistemului triortogonal Oxyz conform (1.20), atunci dublul produs vectorial se scrie:

c)ba(b)ca(

)kcjcic()bababa(

)kbjbib)(cacaca(

cccbbb

jaiaiakakaja

cccbbbkji

)kajaia()cb(ad

zyxzzyyxx

zyxzzyyxx

zyx

zyx

xyzxyz

zyx

zyxzyx

⋅−⋅=

=++⋅++−

−++++=

=−−−

=

=×++=××=

8