A n e x a A

ELEMENTE DE ALGEBR

I ANALIZ

VECTORIAL

A.1. Algebr vectorial

Fie mul imea matricelor cu o coloan i 3 rânduri, pe care o not m cu 3E . Sunt

cunoscute propriet ile:

• adunarea

3

2

1

A

A

A

+

3

2

1

B

B

B

=

3

2

1

B

B

B

+

3

2

1

A

A

A

=

+++

33

22

11

BA

BA

BA

∈ 3E ; (A.1)

3

2

1

A

A

A

+

!

"""

#

$

0

0

0

=

!

"""

#

$

3

2

1

A

A

A

;

!

"""

#

$

3

2

1

A

A

A

+ %%%

&

'

(((

)

*

−−−

3

2

1

A

A

A

= +++

,

-

...

/

0

0

0

0

;

• înmul irea cu un num r real 111

2

3

444

5

6

3

2

1

A

A

A

α = α111

2

3

444

5

6

3

2

1

A

A

A

= 777

8

9

:::

;

<

3

2

1

A

A

A

ααα

∈ 3E ; (A.2)

oricare ar fi α∈R i ===

>

?

@@@

A

B

3

2

1

A

A

A

, ===

>

?

@@@

A

B

3

2

1

B

B

B

∈ 3E . Pentru a simplifica scrierea, not m A= ===

>

?

@@@

A

B

3

2

1

A

A

A

. Din

ultima proprietate, rezult c mai avem: )()( AA βααβ = ; AAA βαβα +=+ )( ; BABA ααα +=+ )(

Pentru c îndepline te condi iile de mai sus, spunem c 3E este spa iu vectorial peste R, iar

elementele lui 3E sunt vectori i elementele din R sunt scalari. Se observ c propriet C ile înmul irii vectorilor cu scalari sunt valabile i când înmul irea cu scalarul se face la dreapta. Fie vectorii liniari independen i:

i= DDD

E

F

GGG

H

I

0

0

1

; j= DDD

E

F

GGG

H

I

0

1

0

; k= JJJ

K

L

MMM

N

O

1

0

0

Se vede imediat c orice vector din 3E se poate descompune unic dup i, j i k:

A= JJJ

K

L

MMM

N

O

3

2

1

A

A

A

= PPP

Q

R

SSS

T

U

0

0

1

1A + VVV

W

X

YYY

Z

[

0

1

0

2A + \\\

]

^

___

`

a

1

0

0

3A = 1A i+ 2A j+ 3A k (A.3)

Vectorii i. j i k formeaz o baz în 3E .

Pe 3E putem defini produsul scalar prin rela ia:

332211 BABABA ++=⋅BA (A.4)

Sunt evidente propriet ile: ABBA ⋅=⋅ ; BABA ⋅=⋅ )()( αα ; CABACBA ⋅+⋅=+⋅ )(

023

22

21

2 ≥++==⋅ AAAAAA

egalitatea având loc dac i numai dac A=0. A se nume te norma (modulul) vectorului A.:

23

22

21 AAAA ++= (A.5)

Dac produsul scalar a 2 vectori este nul, spunem c vectorii sunt ortogonali. Se observ imediat c vectorii i, j i k sunt ortogonali i au modul unitar. Spunem c i, j i k formeaz o baz ortonormat . Atunci, avem 1A=⋅ iA , 2A=⋅ jA , 3A=⋅kA .

Pe 3E putem defini produsul vectorial prin rela ia:

321

321

BBB

AAA

kji

BA =× =32

32

BB

AAi +

13

13

BB

AAj +

21

21

BB

AAk (A.6)

pus sub form de determinant pentru a se re ine mai u or. Pornind de la propriet C ile determinan ilor, rezult imediat i propriet ile produsului vectorial:

0=× AA ; ABBA ×−=× ; BABA ×=× )()( αα ;

CABACBA ×+×=+× )(

Frecvent, se folosesc combina ii ale produselor scalare i vectoriale. De exemplu, produsul mixt este definit prin CBA ⋅× )( .

inând cont de defini iile produselor scalar i vectorial, rezult c produsul mixt poate fi pus sub forma:

CBA ⋅× )( =

321

321

321

BBB

AAA

CCC

(A.7)

Propriet C ile produsului mixt rezult imediat din propriet ile determinan ilor:

CBA ⋅× )( = )( CBA ×⋅ ; )( CBA ×⋅ = )( CAB ×⋅− ;

CBA ⋅× )( = ACB ⋅× )( = BAC ⋅× )(

Permut rile circulare permit re inerea u oar a ultimei propriet C i (Fig.A.1). Din propriet ile de mai sus, se vede imediat c , dac în produsul mixt apare un vector de dou ori, atunci produsul este nul. Dublul produs vectorial este definit prin )( CBA ×× . Se poate demonstra c :

)( CBA ×× = )()( BACCAB ⋅−⋅ ; CBA ×× )( = )()( BCACAB ⋅−⋅ (A.8)

Produs scalar de produse vectoriale este )()( DCBA ×⋅× .

inând cont de

propriet ile produsului mixt i dublului produs vectorial, avem:

)()( DCBA ×⋅× =[ ] [ ] DCBACABDCBA ⋅⋅−⋅=⋅×× )()()( =

= ))(())(( DACBDBCA ⋅⋅−⋅⋅

Imaginile în 3R ale vectorilor din

3E

•B

•A

•C

!

Imaginea în 3R a vectorului A=

3

2

1

A

A

A

este s geata care are proiec iile 1A , 2A , 3A pe

axele sistemului de coordonate carteziene (Fig.A.2). O astfel de s geat poate fi cea care are

coada în origine i vârful în punctul de coordonate 1A , 2A , 3A (Fig.A.3). Proiec ia unui punct

pe axa oz, de exemplu, se ob ine prin intersec ia axei cu planul paralel cu xoy, ce trece prin acel punct. Proiec ia unei s ge i pe axa oz, de exemplu, este definit prin segmentul cuprins între proiec iile capetelor s ge ii, având orientarea s ge ii. Aplicând teorema lui Pitagora în Fig.A.3, rezult c modulul unui vector (A.5) este egal chiar cu lungimea imaginii sale. Imaginile bazei i, j , k sunt s ge i de lungime unitate, a ezate pe axele ox, oy, oz. Numim versor vectorul de modul unitate. Imaginea unui versor indic o

direc ie în

3R.

Elementele bazei sunt versorii axelor de coordonate (Fig.A.4). Suma vectorilor asocia i unui contur închis este nul , deoarece suma proiec iilor lor pe orice dreapt este nul (în particular, i proiec iile pe axele de coordonate). În Fig.A.5 este ilustrat cazul a 3 vectori:

3A

2A

1A

! #"

"%$! '&)(+*,.-

3R

/

3A 01

2A

1A

235467 897 :7;=<>'6?4A@B'>DCE@?C%4GFBHJI=KL5M!LN4@EILPONKRQTS6EB'>UIVSWHBMXBY>H'S[Z?4\@KGLP4]6?4\@B^7

_`

ab cd

e f5g]hji ki lminWoqproWsutYvqt^wxi

A+B+C=0. Dac not m C’=-C, atunci avem:

C’=A+B (A.9) Se observ c imaginea acestei sume (Fig.A.5) se ob ine punând s geata lui B în continuarea lui A, iar apoi C are începutul la începutul lui A i vârful în vârful lui B. Putem folosi i regula paralelogramului: punem s geata lui B cu începutul la începutul lui A, construim paralelogramul αβγδ i s geata vectorului sum este diagonala paralelogramului ce pleac din începutul s ge ilor lui A i B. Din rela ia (A.9) rezult

B=C’−A (A.10)

Imaginea acestei diferen e este dat de s geata care are vârful în vârful desc zutului C’ i începutul în vârful sc z torului A (Fig.A.5). Pentru suma a mai mul i vectori, punem s ge ile vectorilor una dup alta, iar imaginea sumei este

s geata care are inceputul la începutul liniei poligonale i vârful la sfâr itul liniei poligonale (Fig.A.6). Produsul scalar a doi vectori are urm toarele semnifica ii:

ϕABcos=⋅BA = )(BPrA A⋅ = )(APrB B⋅ (A.11)

unde ϕ este unghiul dintre imaginile vectorilor A i B (Fig.A.7). Într-adev r, aplicând teorema cosinusului în triunghiul format din s ge ile celor 2 vectori i diferen a lor C=A−B, avem:

ϕABcosBAC 2222 −+= inând cont de (A.5), avem:

233

222

211 )()()( BABABA −+−+− =

= ϕcos223

22

21

23

22

21 ABBBBAAA −+++++

Dezvoltând i f când reducerile, rezult (A.11). Dac produsul scalar este nul, atunci cosϕ=0,

deci 2

πϕ = i imaginile vectorilor A i B sunt

perpendiculare. Produsul vectorial a doi vectori are i

urm toarele semnifica ii: ϕABsinnBA =× = ABSn (A.12)

unde versorul n este perpendicular pe imaginile celor 2 vectori i are orientarea definit de

regula burgiului rotit prin rota ia cea mai mic pe care o d m lui A pentru a c p ta orientarea lui B

(Fig.A.8). ABS este aria paralelogramului generat

!"#$%'&()+*-,/.(02134

β

5 6α 7798':+;<7

γ

6δ=>@?BA C#AEDAFHGIKJMLN$OQP4RTSU>WV@RTSXJ-Y3RO$>WJQZ[>G\]G+>+O-RT\PGS_^\O/`+>WYQA

a

ϕ b)(BPrAcdWe+f ghf if/jkmlHnpoq4or+qmsut/rvtwkxf

y z

ϕ|'~B #$B322<++pQ[H3@p4

2a 2b1b

1a W E+$B 3¡

W¢$£w¤(W¥§¦'¨ª©«'¥/¨]¬«T­®°¯

de imaginile celor doi vectori. Se spune c n ABS este aria orientat a suprafe ei acestui

paralelogram, iar n este normala la suprafa . Pentru a dovedi rela ia (A.12), ar t m c vectorul

n ABS are acelea i componente ca i vectorul BA × . Vom lua începuturile vectorilor A i B

în originea axelor (Fig.A.9). Componenta vectorului n ABS pe versorul k este:

k⋅⋅⋅⋅n ABS = ABS cos(k⋅⋅⋅⋅n) = 3ABS

unde (k⋅⋅⋅⋅n) este unghiul dintre cei 2 versori i, ca urmare, 3ABS este aria proiec iei

paralelogramului pe planul xoy. Segmentele 1oa , 2oa , 1ob , 2ob au ca lungimi chiar

proiec iile vectorilor A i respectiv B pe axele ox, oy. Triunghiul oab are jum tate din aria

3ABS . Aria )(oabσ = 32

1ABS a triunghiului oab se determin prin:

)(oabσ = )( 1obbσ + )( 11aabbσ )( 1oaaσ− =

= ))((2

1)(

2

12211211 BABABBA +−+− 212

1AA−

Dup efectuarea calculelor, rezult )(oabσ = )(2

11221 BABA − . Deci, 3ABS are valoarea

componentei pe axa oz a produsului vectorial (A.6).

Produsul mixt a 3 vectori are valoarea volumului v al paralelipipedului cu muchiile paralel cu vectorii. Într-adev r:

CBA ⋅× )( =

n C⋅ABS = )(CncosCS AB = hS AB ⋅=v

unde (Cn) este unghiul dintre n i C, iar h este în l imea paralelipipedului (Fig.A.10).

A.2. Integrale pe var iet i

"!#$!&%(') +*-,.

Fie un domeniu 3R⊂Ω (sau

2R ). Numim câmp de scalari (de exemplu, un câmp de temperaturi) o func ie R: →ΩT . Dac domeniul valorilor este un spa iu vectorial, spunem

c avem un câmp de vectori (de exemplu, un câmp de viteze 3: E→Ωw ), Asem n tor,

putem avea câmp de tensori sau câmp de flori. Dac nu exist pericolul confuziei, vom nota la fel func ia cu valoarea func iei într-un punct.

i) Integrala curbilinie de a 2-a spe

Fie un segment orientat l de lungime l i un punct care se deplaseaz de-a lungul segmentului sub ac iunea for ei constante F. Lucrul mecanic efectuat este (A.11)

lFF ⋅== lPrL l )( (A.13)

Fie acum în domeniul Ω un câmp de for e F i o curb orientat C. Dac am dori s determin m lucrul mecanic pe care-l efectueaz un punct la deplasarea pe curba C, sub ac iunea for ei F ce

depinde de pozi ia punctului, împ r im curba în

segmente arbitrar de mici kl∆ (Fig.A.11), pe

care admitem c for ele sunt constante i au

valorile kF din puncte arbitrare kM de pe

segmentele kl∆ i apoi însum m micile lucruri

mecanice kL∆ efectuate pe fiecare segment i calculate cu rela ia (A.13):

∑ ∆⋅=k

kkCL lF (A.14)

Rezultatul este ca atât mai bun, cu cât divizarea curbei C în segmente este mai fin . Limita

rela iei (A.12) când 0)( →∆ kk

lMax , dac aceasta exist , se noteaz :

∫ ⋅=C

C dL lF

(A.15) i se nume te integrala curbilinie de a 2-a spe , a lui F pe curba orientat C. În calculele numerice, integrala (A.15) se aproximeaz cu suma (A.14). Analitic, dac curba C este descris de )(tfx = , )(tgy = , )(thz = , cu [ ]bat ,∈ , atunci:

dtdt

dh

dt

dg

dt

dfd

++= kjil

i: ( )∫

=

b

axC dt

dfthtgtfFL )(),(),( +

+ ( ) ( ) dtdt

dhthtgtfF

dt

dgthtgtfF zy

+ )(),(),()(),(),(

Exemple din teoria câmpului electromagnetic unde întâlnim integrala curbilinie de a 2-a spe sunt rela iile de calcul ale tensiunilor electrice i magnetice.

kF

• kM

kl∆

"!$#%&('*)+-,/."&1023)423#5

ii) Integrala curbilinie de pr ima spe Fie un segment de lungime l dintr-o sârm cu sec iune constant i din acela i material.

Densitatea lineic (pe unitatea de lungime) de mas este lγ . Atunci, masa segmentului este:

llm γ= (A.16)

Fie acum o sârm de curb C, de-a lungul c reia densitatea lineic de mas depinde de punct.

Dac dorim s determin m masa sârmei, împ r im curba în segmente arbitrar de mici kl∆ , pe

care admitem c densit ile de mas sunt constante i au valorile kγ din puncte arbitrare kM

de pe segmentele kl∆ i apoi însum m micile mase km∆ ale fiec rui segment i calculate cu

rela ia (A.16):

∑ ∆=k

kkC lm γ (A.17)

Rezultatul este cu atât mai bun, cu cât divizarea curbei C în segmente este mai fin . Limita

rela iei (A.17) când 0)( →∆ kk

lMax , dac aceasta exist , se noteaz : ⋅=

CC dlm γ (A.18)

i se nume te integrala curbilinie de prima spe a lui γ pe curba C. În calculele numerice, integrala (A.18) se aproximeaz cu suma (A.17). Analitic, avem:

dtdt

dh

dt

dg

dt

dfdl

222 +

+

=

i: ( )∫

+ +

=b

aC dt

dt

dh

dt

dg

dt

dfthtgtfm

222)(),(),(γ

Exemple din teoria câmpului electromagnetic unde întâlnim integrala curbilinie de prima spe sunt formulele coulombiene i Biot-Savart-Laplace.

ii i)Integrala de suprafa de a 2-a spe

Fie o eav de sec iune constant de arie TS i de orientare Tn , prin care curge un fluid cu

viteza uniform w (Fig.A.12). Debitul volumic este dat de volumul de fluid ce trece prin

sec iunea transversal în unitatea de timp t

vd

∆∆= . Dar volumul v∆ este dat de produsul

dintre aria sec iunii TS i deplasarea l∆ pe care o face coloana de ap în timpul t∆ . Deci,

wSt

lSd TT =

∆∆= . Dac suprafa a plan nu este ortogonal pe direc ia evii i deci pe

viteza w, ci are orientarea n i aria S, atunci, în formula debitului, se înlocuie te TS cu S

cosϕ , unde ϕ este unghiul dintre vitez i normala n:

ϕSwcosd = = Snw ⋅ (A.19)

Fie acum o eav cu sec iune neconstant , în care câmpul de viteze nu mai este uniform (constant) i fie o suprafa S oarecare pe care dorim s calcul m debitul. Aproxim m suprafa a cu o suprafa poliedral cu

fe e de arii kS∆ arbitrar de mici, pe care admitem c vitezele fluidului

sunt constante i au valorile kw din puncte arbitrare kM de pe fe ele

k i apoi însum m micile debite kd∆ de pe fiecare fa i calculate cu

rela ia (A.19):

∑ ∆⋅=k

kkkS Sd nw (A.20)

Rezultatul este cu atât mai bun, cu cât divizarea suprafe ei S este mai

fin . Fie kρ∆ cea mai mare distan între dou puncte de pe fa a k.

Limita rela iei (A.20) când 0)( →∆ kk

Max ρ , dac aceasta exist , se noteaz :

∫ ⋅=S

S dSd nw (A.21)

i se nume te integrala de suprafa de a 2-a spe a lui w pe suprafa a orientat S. În calculele numerice, integrala (A.21) se aproximeaz cu suma (A.20). Analitic, dac avem suprafa a S

descris de ),( ηξfx = , ),( ηξgy = , ),( ηξhz = , [ ] [ ]dcba ,,, ×=∈Dηξ , atunci,

p strând variabilele η sau ξ constante, ob inem pe S dou familii de curbe de coordonate (Fig.A.13). Pe fiecare familie de curbe, elementele de arc sunt:

ξξξξξ dhgf

d

∂∂+

∂∂+

∂∂= kjil i η

ηηηη dhgf

d

∂∂+

∂∂+

∂∂= kjil

i, conform propriet ii produsului vectorial (A.12),

ηld ξld 2η

1η1ξ 2ξ

! "$#%"$&('*)+"-,$./0"213"547698(1+.:,<;9,$=?>@

ABC

Tn

TS

DFEHG@I JLKNMOIPRQTS+EVUHW+XY[Z XVW]\^E`_bacdEfeUgcih Zj Q$k Y[l I

ηξ lln dddS ×= = ηξ

ηηη

ξξξdd

hgf

hgf

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ki j

Rezult :

∫∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂=

D

ηξ

ηηη

ξξξdd

hgf

hgf

ww

d

zx

S

yw

Exemple din teoria câmpului electromagnetic unde întâlnim integrala de suprafa de a 2-a spe sunt rela iile de calcul ale fluxurilor electrice i magnetice.

iv) Integrala de suprafa de pr ima spe

Fie o tabl de grosime constant , omogen , de arie S i cu densitatea de suprafa a masei

Sγ constant . Masa tablei este:

Sm Sγ= (A.22)

Fie acum o tabl de forma unei suprafe e S, în care densitatea de suprafa a masei Sγ nu mai

este constant i dorim s calcul m masa tablei. Aproxim m suprafa a cu o suprafa poliedral cu fe e de arii kS∆ arbitrar de mici, pe care admitem c densit ile de suprafa ale masei sunt

constante i au valorile Skγ din puncte arbitrare kM de pe fe ele k i apoi însum m micile

mase km∆ ale fiec rei fe e i calculate cu rela ia (A.22):

∑ ∆=k

kSkS Sm γ (A.23)

Rezultatul este cu atât mai bun, cu cât divizarea suprafe ei S este mai fin . Limita rela iei (A.23)

când 0)( →∆ kk

Max ρ , dac aceasta exist , se noteaz :

∫=S

SS dSm γ (A.24)

i se nume te integrala de suprafa de prima spe a lui Sγ pe suprafa a S. În calculele

numerice, integrala (A.24) se aproximeaz cu suma (A.23). Analitic, în rela ia (A.24), punem:

ηξ

ηη

ξξ

ηη

ξξ

ηη

ξξ ddgf

gf

fh

fh

hg

hg

dS

222

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

Exemple din teoria câmpului electromagnetic unde întâlnim integrala curbilinie de prima spe sunt formulele coulombiene i Biot-Savart-Laplace.

v) Integrala de volum

Fie un corp omogen de volum v i cu densitatea masei γ constant . Masa corpului este:

vm γ= (A.25)

Fie acum un corp neomogen ce ocup domeniul D, pentru care densitatea de mas nu mai este constant i dorim s calcul m masa corpului. Împ r im corpul în subdomenii arbitrar de mici,

pe care admitem c densit ile de mas sunt constante i au valorile kγ din puncte arbitrare

kM din subdomeniile k i apoi însum m micile mase km∆ ale fiec rui subdomeniu i calculate cu rela ia (A.25):

∑ ∆=k

kk vm γ (A.26)

Rezultatul este cu atât mai bun, cu cât divizarea corpului în subdomenii este mai fin . Fie kρ∆

cea mai mare distan între 2 puncte de pe subdomeniul k. Limita rela iei (A.26) când

0)( →∆ kk

Max ρ , dac aceasta exist , se noteaz :

∫=D

dvm γ (A.27)

i se nume te integrala de volum a lui γ pe domeniul D. În calculele numerice, integrala (A.24) se aproximeaz cu suma (A.23).

Exemple din teoria câmpului electromagnetic unde întâlnim integrala curbilinie de prima spe sunt formulele coulombiene i Biot-Savart-Laplace.

A.3. Operator i diferen iali

În continuare, admitem pentru câmpurile scalare i vectoriale toate propriet ile necesare efectu rii calculelor (continuitate, derivabilitate etc.)

vi) Operatorul gradient

Fie R: →ΩT un câmp de temperaturi. Ne afl m în punctul ),,( zyxP , unde

temperatura este ),,( zyxT i ne propunem s determin m direc ia în care temperatura are

cea mai rapid cre tere i care este valoarea acestei cre teri. Fie u versorul direc iei de-a lungul c reia explor m temperatura i fie punctul ),,( zzyyxxQ ∆+∆+∆+ , aflat pe

aceast direc ie la o distan l∆ de punctul P i unde temperatura este ),,( zzyyxxT ∆+∆+∆+ (Fig.A.14). Cre terea

temperaturii pe direc ia u este dat de derivata pe direc ia u, definit de:

l

TlTlim

u

T pp

l ∆−∆+

=∂∂

→∆

)()(

0

rur=

=l

zyxTzzyyxxTliml ∆

+∆+∆+∆+→∆

),,(),,(

0 (A.28)

Deoarece zyx ∆∆∆ ,, sunt componentele lui u l∆ pe axele de coordonate ox, oy, oz, avem:

lx ∆⋅=∆ ui , ly ∆⋅=∆ uj , lz ∆⋅=∆ uk . Atunci, din rela ia (A.28), rezult :

ukujui ⋅∂∂+⋅

∂∂+⋅

∂∂=

∂∂

z

T

y

T

x

T

u

T= ukji ⋅

∂∂+

∂∂+

∂∂

z

T

y

T

x

T (A.29)

Deci, cre terea pe direc ia u este descris de produsul scalar dintre versorul u al direc iei i un vector care este definit doar de câmpul de temperaturi, pe care-l numim gradient:

∂∂+

∂∂+

∂∂= kji

z

T

y

T

x

TgradT (A.30)

Rela ia (A.29) se mai scrie:

u

T

∂∂

= gradT⋅u (A.31)

Se observ c cea mai rapid cre tere se ob ine atunci când direc ia u este paralel cu gradT

i are valoarea gradT . Deci, gradT indic direc ia celei mai rapide cre teri a câmpului de

scalari T, precum i valoarea celei mai rapide cre teri.

i i) Operatorul ∇∇∇∇

Scrierea i lucrul cu operatorii diferen iali sunt mult u urate dac se folose te operatorul:

zyx ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇ kji (A.32)

Operatorul ∇ este un operator de derivare, cu 3 componente care deriveaz în raport cu cele trei variabile, deci este un vector. Este un operator liniar. Cu ajutorul acestui operator scriem:

TgradT ∇= (A.33)

Q z P u

yx

Fig.A.14. Direc ie deexplorare.

Operatorul ∇ are toate propriet ile derivatelor i ale vectorilor, dar i restric iile acestora. El trebuie s se afle întotdeauna în fa a func iei asupra c reia se aplic , iar dac dup el apar mai multe func ii i se aplic doar asupra uneia dintre ele, atunci se marcheaz aceast func ie. De exemplu:

)()()()(↑↑

∇+∇=∇= ψϕψϕϕψϕψgrad = ψϕϕψψϕϕψ gradgrad +=∇+∇

ii i) Operatorul divergen Fie câmpul de viteze al particulelor de ap , de la suprafa a apei, într-o cad în care se afl

cufundat, imediat sub nivelul apei, un du “ telefon” (Fig.A.15). Fiecare punct din dreptul du ului constituie o surs de ap . Ne propunem s determin m debitul cu care contribuie fiecare punct, adic debitul pe unitatea de volum sau debitul specific într-un punct P. O problem asem n toare avem atunci când dorim s determin m “masa” într-un punct P al unui corp. În acest caz, lu m un mic domeniu ω de volum v∆ ce con ine punctul P i care are masa m∆ , iar

apoi definim densitatea de mas prin rela ia v

mlimv ∆

∆=→∆ 0

γ . La fel proced m i în cazul

debitului: lu m un mic domeniu ω de volum v∆ care con ine

punctul P i are debitul ∫∂

⋅=∆ω

dSd nw pe suprafa a ∂ω ce-l

m rgine te, iar apoi definim debitul specific prin rela ia:

v

dlimdv

specific ∆∆=

→∆ 0=

v

dS

limv ∆

⋅∫∂

→∆ω

nw

0

Prin defini ie, operatorul divergen este:

wdiv =v

dS

limv ∆

⋅∫∂

→∆ω

nw

0 (A.34)

Pentru a calcula divw în coordonate carteziene, alegem domeniul ω de forma unui paralelipiped drept cu dimensiunile

yyx ∆×∆×∆ 222 (Fig.A.16). S calcul m fluxul lui w pe

fe ele 'xS i "

xS ortogonale pe axa ox:

∫ ∫ ⋅+⋅' "

"'

x xS S

xx dSdS nwnw ≅

∫ ∫ ∆−−∆+' "

),,(),,(

x xS S

xx dSzyxxwdSzyxxw

= [ ]),,(),,(4 zyxxwzyxxwzy xx ∆−−∆+∆∆ =

x

zyxwxzy x

∂∂∆∆∆ ),,(

8

• ∂ωω

! "!#

'zn

"xn

"xS$

"yn '

xS 'yn

'xn %

"zn &'(*)!+-,).0/21!34154616174989:;5<=?>A@B3-C9CEDF#CE@/GIH

3/2D"GJH2K8LHM@6H#)

ultima expresie rezultând din dezvoltare în serie Taylor. Proced m la fel pe fe ele paralelipipedului, ortogonale cu axele oy i oz, iar apoi înlocuim în (A.34). Deoarece

zyxv ∆∆∆=∆ 8 ob inem:

z

w

y

w

x

wdiv zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=w

Folosind operatorul ∇, putem scrie: ww ⋅∇=div

Utilizarea operatorului ∇ permite lucrul u or cu expresii mai complicate, în care apar combina ii de câmpuri scalare i vectoriale. Câteva exemple:

AAAAAAAA divgraddiv ϕϕϕϕϕϕϕϕ +⋅=⋅∇+∇⋅=⋅∇+⋅∇=⋅∇=↑↑

)()()()()()( BAABBABABABA ×∇⋅−×∇⋅=×∇+×∇=×∇=×↑↑

div ,

)()()()(↑↑

⋅∇+⋅∇=⋅∇=⋅ BABABABAgrad = ABAB )()( ∇⋅+×∇× +

+ BABA )()( ∇⋅+×∇×

În ultima expresie, s-au folosit propriet ile dublului produs vectorial (par.A.1)

iv) Operatorul rotor Fie câmpul de viteze al particulelor de ap dintr-un

râu ce curge destul de repede încât s apar vârtejuri. În dreptul unui vârtej, apa este rotit , o m sur a rota iei de-a lungul unei curbe închise Γ fiind integrala de linie a lui w pe

aceast curb (Fig.A.17):

∫Γ

Γ ⋅= lw drotat

Pentru a aprecia rota ia fluidului dintr-un punct P (rota ia specific ), în jurul unei direc ii u, se alege o mic curb plan Γ de orientare u, care m rgine te o mic suprafa ce con ine punctul P i are aria S∆ , apoi se face limita:

S

d

limRS

u ∆

⋅

=∫Γ

→∆

lw

0 (A.35)

Evident, expresia de mai sus depinde de orientarea u. Fie

)( umax RMaxRu

= i fie maxu direc ia pentru care

se ob ine acest maxim. Prin defini ie, operatorul rotor este:

maxmaxRrot uw = (A.36)

De fapt, admitem a priori c : uu ⋅= maxmaxu RR = wu rot⋅ (A.37)

(condi ie suficient ), pentru a avea asigurate existen a i unicitatea valorii maxR . Pentru

a calcula rotw în coordonate carteziene, alegem o curb Γ=αβγδ de form dreptunghiular , de orientare u, ale c rei laturi cu dimensiunile "2'2 ll ∆×∆ sunt orientate pe direc iile versorilor t’ i t” (Fig.A.18). Avem

∆

Γ

"!$#%&'#%!(#%)

γ

* +-,+/. β0

δ ∆1

α2%35476 896:<;=6?>A@CBDFEGB$EGBGHJIGKFLM@ON5HJLEGB$EP3=QSR=T6

∫∫∫∫ ∫ ⋅+⋅+⋅+⋅=⋅Γ δαγδβγαβ

lwlwlwlwlw ddddd ≅ )""(''2 lwl P ∆−∆ tr +

+ )''(""2 lwl P ∆+∆ tr )''(""2)""(''2 lwllwl PP ∆−∆−∆+∆− trtr (A.38)

unde wt ⋅= ''w i wt ⋅= ""w . Din rela ia (A.28), avem:

=⋅∇∆−=⋅∆−=∂

∂∆−≅∆− '""'"""

('")""(' wlgradwl

t

wllw P

P ttr

tr

)')("(" wtt ⋅⋅∇∆−= l = =⋅⋅∇∆−×∇⋅×∆− )")('(")()'"(" wttwtt ll

)")('(")(" wttwu ⋅⋅∇∆−×∇⋅∆= ll

Procedând la fel cu to i termenii din membrul drept al rela iei (A.38) i, înlocuind în (A.35), rezult :

=⋅⋅∇+⋅⋅∇−= )")('()')("( wttwttuR )')("()")('()(2 wttwttwu ⋅⋅∇+⋅⋅∇−×∇⋅ =

= uR−×∇⋅ )(2 wu

de unde:

)( wu ×∇⋅=uR

De aici, rezult c valoarea maxim a lui uR se ob ine atunci când u are aceea i orientare ca i )( w×∇ , iar valoarea maxim este w×∇ . Deci:

=×∇= wwrot

zyx wwwzyx ∂

∂∂∂

∂∂

kji

i ipoteza (A.37) se confirm . Cazur i par ticulare de câmpur i scalare i vector iale.

• r

rVrgradVr

)(')( = , unde )()()( czbyax −+−+−= kjir . Într-adev r, deoarece

222 )()()( czbyaxr −+−+−= , avem =∂

∂x

rV )(

x

r

dr

dV

∂∂

r

axV

−= ' i,

procedând la fel cu coordonatele x i z, rezult formula dorit . • 3=rdiv . • 0=rrot . • 0)( =rfrotr . Într-adev r, inând cont de rela iile de mai sus, avem:

0'))(( =×+×∇=×∇r

ffrfr

rrr .

• ArA =⋅ )(grad , unde A este un vector constant. Rezult imediat prin scrierea

produsului scalar. • ArA =∇⋅ )( . Într-adev r, din formula dublului produs vectorial i din rela iile de mai

sus, avem: ArArArA =∇⋅+×∇×=∇⋅ )()()(

• 0)( =× rAdiv . Rezult prin folosirea propriet ilor produsului mixt.

• ArA 2)( =×rot . Într-adev r, din formula dublului produs vectorial i din rela iile de mai

sus, avem: AAArArArA 23)()()( =−=∇⋅−⋅∇=××∇ .

A.4. Rela i i integrale

vii) Formula lui Gauss

Fie 3R⊂Ω un domeniu cu bordura ∂Ω. Este valabil formula:

∫∫ΩΩ∂

=⋅ dvdivdS wwn (A.39)

numit formula lui Gauss. Într-adev r, împ r ind domeniul Ω în subdomenii kω

(Fig.A.19), integrala de volum este limit a sumei (par.A.2.):

∑ ∆k

kk vdiv )( w (A.40)

inând cont de defini ia operatorului divergen (A.34), suma de mai sus se poate scrie sub

forma:

∑ ∫∂

⋅k

k

k

dSω

nw (A.41)

unde kω∂ este frontiera subdomeniului kω . În expresia de mai sus, integralele pe

interfe ele dintre dou subdomenii se anuleaz (v., de exemplu, fa a comun subdomeniilor j i k, în Fig.A.19). R mân doar fe ele care nu separ dou subdomenii, deci fe ele de pe frontiera ∂Ω a domeniului Ω, adic membrul stâng al rela iei (A.39). Men ion m c , în

jn kn

jn kn jn kn

jω kω

jn kn

∂Ω Ω

!"!#

Fig.A.19, au fost desenate, pentru simplitate, subdomenii paralelipipedice, dar ele pot avea orice form , de exemplu tetraedrale, astfel încât frontiera ∂Ω poate fi modelat oricât de bine. Rela ia (A.39) poate avea urm toarea interpretare tehnic : debitul domeniului Ω, (prin frontiera sa ∂Ω) este egal cu suma debitelor specifice din domeniul Ω. Este util s facem observa ia c normala din integrala de pe frontier se transform în operatorul ∇ pentru integrala de volum:

∫∫ΩΩ∂

⋅∇=⋅ dvdS wwn

În ideea acestei observa ii, formula lui Gauss poate fi generalizat în forma:

∫∫ΩΩ∂

∇= dvfdSf ,...),,(,...),,( ϕϕ wwn

Câteva exemple:

∫∫∫ΩΩΩ∂

=∇= dvgraddvdS ϕϕϕn

∫∫∫ΩΩΩ∂

=×∇=× dvrotdvdS wwwn

∫∫ΩΩ∂

⋅∇=⋅ dvdS AwAwn ϕϕ )()(

viii) Formula lui Stokes Fie S o suprafa orientat cu bordura ∂S. Este valabil formula:

∫∫ ⋅=⋅∂ SS

dSrotd nwlw (A.42)

numit formula lui Stokes. Într-adev r, aproximând suprafa a S cu o suprafa poliedral cu

fe ele kσ , de arii kS (Fig.A.20), integrala de suprafa este limit a sumei (par.A.2.):

∑ ∆⋅k

kkk Srot nw)( (A.43)

inând cont de rela iile (A.37) i (A.35), folosite la defini ia operatorului rotor, suma de mai

sus se poate scrie sub forma:

∑ ∫∂

⋅k

k

k

dσ

lw (A.44)

unde kσ∂ este bordura fe ei kσ . În expresia de mai sus, integralele pe curbele ce separ dou fe e se anuleaz (v., de exemplu, latura comun fe elor j i k, în Fig.A.20). R mân doar curbele ce nu separ dou fe e, deci curbele de pe bordura ∂S a suprafe ei S, adic membrul stâng al rela iei (A.42). Men ion m c , în Fig.A.20, au fost desenate, pentru simplitate,

subdomenii patrulatere, dar ele pot avea orice form , de exemplu, triunghiulare, astfel încât bordura ∂S poate fi modelat oricât de bine. Rela ia (A.42) poate avea urm toarea interpretare tehnic : integrala de linie (rota ia) pe bordura ∂S este egal cu suma rota iilor specifice de pe suprafa a S.

A.5. Der ivate substan iale

Din punct de vedere tehnic, cel mai corect mod de a studia evolu ia propriet ilor substan ei este de a pune sub observa ie fiecare mic zon din acea substan (fiecare “punct” ). Dac substan a se afl în mi care, atunci mica zon este urm rit în deplasarea ei. De exemplu, dac dorim s studiem modul în care se înc lze te un fluid în timpul curgerii sale, atunci ne “a ez m” cu termometrul în mica zon pe care o urm rim (în sistemul de referin local) i m sur m temperatura deplasându-ne o dat cu mica zon .

ix) Der ivata substan ial a unui câmp de scalar i

Ne referim în continuare la studiul temperaturii T a unui fluid, în timpul curgerii sale, descris de câmpul de viteze w. Fie punctul P din substan unde dorim s analiz m evolu ia temperaturii (Fig.A.21). La timpul t, punctul P are coordonatele (x,y,z), descrise de vectorul

de pozi ie r . Temperatura în punctul P este T(x,y,z,t). Dup un timp ∆t, punctul P se deplaseaz cu ∆r=w∆t, adic :

zyx ∆+∆+∆ kji = twtwtw zyx ∆+∆+∆ kji (A.45)

i cap t coordonatele (x+∆x,y+∆y,z+∆z), temperatura punctului fiind T(x+∆x,y+∆y,z+∆z,t+∆t). Varia ia temperaturii din punctul P al substan ei este:

jn kn

jσ kσ

∂

!"#$

•%&('*) ∆ ',+•%&-'*+

./-021 341 5768189;:=<>-?@*?=A*:8?<BDCDEGFB2>HBD/JIK?L>M@NBOM@NFP?=CQP:/1

t

tzyxTttzzyyxxTlim

dt

Td

t

s∆

−∆+∆+∆+∆+=→∆

),,,(),,,(

0

=t

tzyxTtttwztwytwxTlim

zyx

t ∆−∆+∆+∆+∆+

→∆

),,,(),,,(

0

=t

Tw

z

Tw

y

Tw

x

Tzyx ∂

∂+∂∂+

∂∂+

∂∂

de unde rezult :

gradTt

T

dt

Tds ⋅+∂∂= w (A.46)

Observa ii: a) Din punct de vedere matematic, derivata par ial în raport cu timpul, t

T

∂∂

,

descrie evolu ia temperaturii dintr-un punct fix în sistemul de referin al laboratorului, de coordonate (xyz). Aceasta înseamn c facem diferen a dintre temperatura punctului Q al substan ei, care la timpul t+∆t cap t coordonatele (xyz), i temperatura altui punct P al substan ei care, la timpul ini ial t, avea coordonatele (xyz).

b) Dac viteza fluidului este nul , atunci derivata substan ial dt

Tds coincide cu

derivata par ial t

T

∂∂

.

c) Derivata substan ial a unui câmp de vectori A se ob ine imediat, f când derivatele substan iale ale componentelor:

xxxs gradAt

A

dt

Ad ⋅+∂

∂= w = xxxs At

A

dt

Ad)( ∇⋅+

∂∂= w ,

yyys

At

A

dt

Ad)( ∇⋅+

∂∂

= w , zzzs At

A

dt

Ad)( ∇⋅+

∂∂= w

de unde:

AwAA

)( ∇⋅+∂∂=

tdt

ds (A.47)

i i) Der ivata substan ial de flux

Fie suprafa a S(t), ata at substan ei (format din particulele materiale ale substan ei). Suprafa a evolueaz în timp o dat cu substan a, care se deplaseaz cu câmpul de viteze w

(Fig.A.22). Pentru a urm ri evolu ia fluxului )(tSΦ unui câmp de vectori A(x,y,z,t), prin

suprafa a S(t), facem derivata:

∫ ⋅=Φ

)(

),,,(tS

S dStzyxdt

d

dt

dnA (A.48)

Deoarece suportul de integrare este variabil în timp, derivata în raport cu timpul nu poate intra sub semnul de integrare ca derivat par ial . Pornind de la defini ia derivatei, avem:

dt

d SΦ=

⋅∆+∆+∆+∆+

∆ ∫∆+→∆ )(0

),,,(1

ttSzyx

tdStttwztwytwx

tlim nA −

⋅− )(

),,,(tS

dStzyx nA (A.49)

Am inut cont de faptul c fluxul SΦ variaz în timp atât din cauza varia iei în timp a

câmpului de vectori A, cât i datorit evolu iei în timp a suprafe ei S. Un punct de pe suprafa a S se deplaseaz cu

twtwtwtzyx zyx ∆+∆+∆=∆=∆+∆+∆=∆ kjiwkjir . La num r torul din

membrul drept al rela iei (A.49) sc dem i ad ug m expresia:

∫∆+

⋅)(

),,,(ttS

dStzyx nA

Rezult :

dt

d SΦ=

⋅∆+∆+∆+∆+

∆ ∫∆+→∆ )(0

),,,(1

ttSzyx

tdStttwztwytwx

tlim nA −

⋅− ∫

∆+ )(

),,,(ttS

dStzyx nA +

⋅

∆ ∫∆+→∆ )(0

),,,(1

ttStdStzyx

tlim nA −

⋅− ∫

)(

),,,(tS

dStzyx nA (A.50)

Integralele primului termen din membrul drept al rela iei (A.50) au acela i suport. Atunci, introducând t∆ sub integral , pentru acest termen putem scrie:

α= ∆+→∆

⋅∆

−∆+∆+∆+∆+

)(0

),,,(),,,(

ttS

zyx

tdS

t

tzyxtttwztwytwxlim n

AA

= dSt

tS

nA ⋅

∂∂

)(

(A.51)

În al doilea termen din rela ia (A.50) sc dem i adun m expresia:

∫ ⋅lS

dStzyx nA ),,,(

unde lS este suprafa a “ lateral ” descris de bordura S∂ a suprafe ei S, în deplasarea ei.

Atunci, al doilea termen din rela ia (A.50) se scrie:

β=

+⋅+⋅

∆ ∫∫∆+→∆ )(')(0

'),,,(),,,(1

tSttStdStzyxdStzyx

tlim nAnA

⋅+ ∫

lS

dStzyx nA ),,,(

⋅

∆− ∫

→∆lSt

dStzyxt

lim nA ),,,(1

0 (A.52)

unde nn −=' , iar suprafa a )(' tS ocup în spa iu aceea i pozi ie ca i )(tS , dar este

orientat invers, conform normalei 'n . Integralele primului termen al membrului drept din rela ia (A.52) au acela i integrant, iar reuniunea supor ilor de integrare formeaz o suprafa

închis lStSttS ∪∪∆+=Σ )(')( . Atunci acest termen se mai poate scrie, conform

formulei lui Gauss (par.A.4):

∫Σ→∆

⋅∆

= dStzyxt

limt

nA ),,,(1

01β = ∫

Σ

⋅∇∆→∆ Dt

dvt

lim A1

0 (A.53)

unde ΣD este domeniul m rginit de suprafa a Σ. Pentru ∆t arbitrar de mic, acest domeniu

este “o coaj ” arbitrar de sub ire i atunci, inând cont de propriet ile produsului scalar (par.A.1), elementul de volum se poate scrie:

∆ ∆ ∆

∂ ∆ ∆ ∂ "!# $%# &'&(#*),+.-/1024352,687'9:6;324<>="2@?"ACBD+FEG?7'HI#

tdSdv ∆⋅= wn

De unde rezult : ∫ ⋅⋅∇=S

dSnwA)(1β ∫ ⋅=S

dSdiv nwA)( (A.54)

Pentru ∆t arbitrar de mic, integrala din al doilea termen al membrului drept din rela ia (A.52) se face pe “o fâ ie” arbitrar de sub ire i atunci, inând cont de propriet ile produsului vectorial (par.A.1), elementul de arie orientat se poate scrie:

tddS ∆×= wrn

Atunci, inând cont de propriet ile produsului mixt, acest termen devine:

∫∫∂∂

⋅×=×⋅−=SS

dd rwAwrA )()(2β

Aplicând formula lui Stokes (par.A.4), rezult : ∫ ⋅×=S

dSrot nwA )(2β (A.55)

Revenind cu (A.55) i (A.54) în (A.52), apoi cu (A.52) i (A.51) în (A.50), rezult :

dt

d SΦ= 21 ββα ++ = dS

tS

nA ⋅

∂∂∫ ∫ ⋅+

S

dSdiv nwA)( ∫ ⋅×+S

dSrot nwA )(

sau, inând cont c integralele de mai sus au acela i suport de integrare, mai avem:

dt

d SΦ= ∫ ⋅

S

fdS

dt

d A (A.56)

unde:

)( wAAwAA

×++∂∂= rotdiv

tdt

d f (A.57)

este derivata substan ial de flux a câmpului de vectori A. Dac suportul de integrare S nu variaz în timp. Atunci derivata în raport cu timpul din rela ia (A.48) intr sub semnul de integrare ca derivat par ial , fapt confirmat i de rela ia (A.57) când w=0.

i i i) Der ivata substan ial de volum a unui câmp de scalar i

Fie domeniul Ω(t) ata at substan ei (format din particulele materiale ale substan ei). Domeniul evolueaz în timp o dat cu substan a, care se deplaseaz cu câmpul de viteze w

(Fig.A.23). Pentru a urm ri evolu ia integralei de volum )(tmΩ a unui câmp de scalari

γ(x,y,z,t), pe volumul Ω(t), facem derivata:

∫Ω

Ω =)(

),,,(t

dvtzyxdt

d

dt

dm γ (A.58)

Deoarece suportul de integrare este variabil în timp, derivata în raport cu timpul nu poate intra sub semnul de integrare ca derivat par ial . Pornind de la defini ia derivatei, avem:

dt

dmΩ =

−∆+∆+∆+∆+

∆ ∫∆+Ω→∆ )(0

),,,(1

ttzyx

tdvtttwztwytwx

tlim γ

− ∫

Ω )(

),,,(t

dvtzyxγ (A.59)

Am inut cont de faptul c fluxul Ωm variaz în timp atât din cauza varia iei în timp a

câmpului de scalari γ, cât i datorit evolu iei în timp a domeniului Ω. La num r torul din membrul drept al rela iei (A.59) sc dem i ad ug m expresia:

∫∆+Ω )(

),,,(tt

dvtzyxγ

Rezult :

∆

Ω ∆

∂ΩΩ

! "# $&%' )(+*-,./&021305468794:130-;8<30)=?>A@*/&B8=68C

dt

dmΩ =

∆+∆+∆+∆+∆ ∫

∆+Ω→∆ )(0),,,(

1

ttzyx

tdvtttwztwytwx

tlim γ

− ∫∆+Ω )(

),,,(tt

dvtzyxγ +

−∆ ∫∫

Ω∆+Ω→∆ )()(0),,,(),,,(

1

ttttdvtzyxdvtzyx

tlim γγ

(A.60)

Integralele primului termen din membrul drept al rela iei (A.60) au acela i suport. Atunci, introducând t∆ sub integral , pentru acest termen putem scrie:

α= ∫∆+Ω→∆ ∆

−∆+∆+∆+∆+

)(0

),,,(),,,(

tt

zyx

tdv

t

tzyxtttwztwytwxlim

γγ=

= dvt

t∫

Ω ∂∂

)(

γ (A.61)

Al doilea termen din membrul drept al rela iei (A.50) con ine integrale care au acela i integrant. Atunci, acest termen mai poate fi scris:

t

dvdvDD

t ∆

−

=∫∫

→∆"'

0lim

γγβ (A.62)

unde )()(' tttD Ω−∆+Ω= i )()(" tttD ∆+Ω−Ω= . Pentru ∆t arbitrar de mic,

domeniile D’ i D” sunt de forma unor “coji” arbitrar de sub iri i elementele de volum sunt:

tdSdv ∆⋅= wn , pentru D’ ,

tdSdv ∆⋅−= wn , pentru D” .

Not m cu S’ por iunea din suprafa a ∂Ω ce m rgine te domeniul D’ i cu S” por iunea din ∂Ω ce m rgine te domeniul D” . Atunci, inând cont de expresiile elementelor de volum, rela ia (A.62) se mai scrie:

∫∫∫Ω∂

⋅=⋅+⋅= dSdSdSSS

nwnwnw γγγβ"'

i, aplicând formula lui Gauss, rezult :

∫= dvdiv )( wγβ (A.63)

Înlocuind (A.61) i (A.63) în (A.60), rezult :

dt

dmΩ = ∫Ω

dvdt

dvγ (A.64)

unde:

)( wγγγdiv

tdt

dv +∂∂= (A.65)

se nume te derivata substan ial de volum a câmpului de scalari γ.

Observa ii. a) Dac domeniul Ω nu variaz în timp, derivata în raport cu timpul din membrul drept al rela iei (A.58) intr sub semnul de integrare sub forma derivatei par iale, fapt confirmat i de rela ia (A.65) pentru w=0.

b) Dezvoltând www divgraddiv γγγ +⋅=)( i inând cont de expresia derivatei

substan iale a unui câmp de scalari (A.46), rela ia (A.65) se mai poate scrie:

wdivdt

d

dt

d sv +=γγ

(A.66)

c) O semnifica ie fizic foarte simpl a derivatei substan iale de volum se g se te în legea conserv rii masei: oricare ar fi domeniul Ω(t) dintr-un fluid aflat în mi care este valabil rela ia:

dt

dmΩ=0

i din rela ia (A.64) rezult :

0=dt

dvγ

iar dac inem cont de rela iile (A.65) i (A.66) mai avem:

)( wγγdiv

t−=

∂∂

i

wdivdt

ds −=γ