AJUSTAREA SERIILOR CRONOLOGICE

Ajustarea seriilor cronologice înseamnă înlocuirea termenilor reali ai seriei cronologice cu valori teoretice care exprimă legitatea matematică de evoluţie a fenomenului considerat.

1. Procedee de ajustare

Există mai multe procedee prin care se poate realiza ajustarea:

1.1. Ajustarea prin metoda mediilor mobile – se utilizează în cazul fenomenelor care prezintă variaţii sezoniere (turismul). Termenii reali se înlocuiesc cu medii parţiale, calculate din doi sau mai mulţi termeni succesivi în funcţie de periodicitatea oscilaţiei.

Mediile mobile se pot calcula dintr-un număr par sau impar de termeni.

Dacă media mobilă se va calcula dintr-un număr par de termeni, fiecare medie mobilă se va plasa între 2 termeni. Pentru a putea face ajustarea, cu aceste medii mobile, se vor calcula în continuare medii mobile din câte 2 termeni, obţinându-se mediile mobile definitive .

Seria de date empirice: y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8

Medii mobile iniţiale

Medii mobile definitive:

Exemplu:Fie o serie formată din 8 termeni care urmează să fie ajustaţi prin

procedeul mediilor mobile calculate din 3 termeni.Seria de date empirice: y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8

Mediile mobile

Se observă că s-au obţinut 6 medii mobile adică numărul termenilor seriei micşorat cu numărul termenilor din care se calculează media scăzut cu o unitate.

număr medii mobile = n – (k - 1) 8 3 - 1

În funcţie de mărimea ciclului de variaţie se alege numărul termenilor din care se face media, adică k.

1.2. Ajustarea prin metoda grafică – se reprezintă grafic seria de date empirice (cronograma) şi apoi se trasează dreapta sau curba care uneşte punctele extreme ale graficului astfel încât să aibă abateri minime faţă de poziţia valorilor reale în grafic:

Cronograma:

1.3. Metode de ajustare mecanice:1) Metoda modificării absolute medii: se utilizează atunci când modificările absolute

cu bază în lanţ au valori apropiate ceea ce indică o tendinţă de evoluţie sub forma unei progresii aritmetice, a cărei raţie este aproximată prin modificarea absolută medie:

;

2) Metoda indicelui mediu – se utilizează atunci când indicii cu bază în lanţ au valori apropiate, ceea ce arată că fenomenul analizat tinde să varieze în progresie geometrică, a cărei raţie este aproximată prin indicele mediu:

;

1.4. Metode analiticeMetoda celor mai mici pătrateMetoda celor mai mici pătrate este o metodă analitică de ajustare deoarece utilizează

funcţiile matematice. Alegerea celei mai potrivite funcţii pentru ajustare se face pe baza graficului şi a indicatorilor absoluţi şi relativi.

Astfel, funcţia liniară se utilizează când modificările absolute cu bază în lanţ au valori apropiate.

Funcţia exponenţială se alege atunci când indicii cu bază în lanţ au valori

apropiate.Funcţia de gradul II, se alege atunci când graficul prezintă un punct de

maxim sau de minim.Parametrii funcţiei de ajustare se determină cu ajutorul metodei celor mai mici pătrate care

spune că “suma pătratelor abaterilor valorilor reale de la valorile ajustate este minimă”.Fie: Yi sau = valorile ajustate

yi = valorile reale

OY

OXt

yt

Metoda celor mai mici pătrate spune că: .

Metoda celor mai mici pătrate a mai fost utilizată la estimarea parametrilor funcţiilor de regresie (cap. 7), numai că în cazul seriilor cronologice în locul variabilei independente x de la regresie utilizăm variabila timp (t).

Valorile variabilei timp (t) se măsoară cu ajutorul scalei de interval, în cadrul căreia originea scalei şi unitatea de măsură pot fi alese arbitrar.

Pentru uşurinţa calculelor valorile lui t se aleg astfel încât .

Putem distinge două situaţii:- dacă seria are un număr impar de termeni, atunci originea scalei va fi termenul central:

- dacă seria cronologică are un număr par de termeni, atunci originea scalei (t = 0) se va găsi între cei doi termeni centrali ai seriei. Cei doi termeni centrali vor primi valorile –1 şi respectiv 1, iar ceilalţi termeni ai seriei cronologice vor fi distribuiţi simetric faţă de cei doi termeni centrali la distanţă de două unităţi (pentru că distanţa dintre fiecare doi termeni succesivi trebuie să fie egală):

Cele mai utilizate funcţii analitice pentru determinarea trendului sunt:1) Funcţia liniară:

Metoda celor mai mici pătrate spune:

derivatele sumei în raport cu parametrii a şi b se anulează

Deoarece :

;

a – reprezintă media variabilei yt calculată ca o medie aritmetică simplă a termenilor seriei;

b – reprezintă panta dreptei de tendinţa (de trend), iar valoarea sa arată cu cât se modifică în medie fenomenul analizat dacă variabila timp se modifică cu o unitate (an, lună, trimestru).

2. Procedee de apreciere a calităţii ajustării

Atunci când se utilizează mai multe procedee diferite pentru ajustarea aceleiaşi serii

2001 2002 2003 2004 2005

- 2 - 1 0 1 2- 3 3

2006 2007

t

- 3 - 1 1 3 5- 5 7

t

- 7

cronologice, în final trebuie să alegem cea mai bună metodă de ajustare comparând rezultatele teoretice cu valorile reale:

1) se reprezintă pe acelaşi grafic valorile reale şi valorile teoretice obţinute prin diferite procedee de ajustare. Comparând valorile de pe grafic alegem valorile teoretice cele mai apropiate de valorile reale;

2) compararea sumei valorilor reale cu suma valorilor teoretice:

3) calcularea sumei pătratelor abaterilor valorilor ajustate de la cele reale:

4) se calculează coeficientul de variaţie al valorilor teoretice faţă de cele reale pentru fiecare metodă de ajustare folosită:

Cu cât v este mai mic cu atât metoda de ajustare este mai bună.

Exemplu:Pentru exemplificarea metodelor de ajustare a seriilor cronologice se va utiliza aceeaşi

serie pentru care s-au calculat şi indicatorii statistici:

Anul 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002Tariful lunar(USD)

11 13,2 13,9 15,2 16,8 18 20

Sursa: The New York Times (2 Aprilie 2003)

a) Ajustarea prin metode mecanice:a1) Ajustarea seriei cronologice prin metoda modificării absolute medii:

a fost calculat în exemplul de la subcapitolul 8.4.1.

a2) Ajustarea seriei cronologice prin metoda indicelui mediu:

a fost calculat în exemplul de la subcapitolul 8.4.1.

b) Ajustarea seriei cronologice prin metode analitice.Pentru a putea ajusta seria prin metode analitice trebuie să reprezentăm grafic seria

cronologică prin cronogramă:

Scara de reprezentare: 1 cm OY = 2 USD

Ajustarea prin funcţie liniară:Se poate observa de pe grafic că punctele sunt grupate în jurul unei drepte, deci pentru

ajustare putem utiliza funcţia liniară:

Estimarea parametrilor a şi b ai funcţiei liniare se face cu ajutorul metodei celor mai mică pătrate:

Acest sistem se rezolvă în ipoteza în care .Deci, vom avea:

Deoarece , va trebui să renumerotăm anii:

1996 1997 1998 1999 2000 2001 20021 2 3 4 5 6 7

a fost determinat în exemplul de la subcapitolul 8.4.1.

Deci:

Pentru:

Alegerea celei mai bune metode de ajustare:1) Se calculează suma abaterilor luate în valoare absolută între datele empirice şi cele

ajustate pentru toate metodele folosite. Se consideră cel mai potrivit procedeu acela pentru care .

Anul(USD)

prin media (USD)

prin metoda

(USD

prin metoda

funcţiei liniare(USD

prin prin prin

funcţia liniară

1996199719981999200020012002

11,013,213,915,216,818,020,0

11,012,514,015,517,018,520,0

11,00012,14413,40614,80016,33918,03820,000

11,2112,6214,0315,4416,8518,2619,67

0,00,70,10,30,20,50,0

0,0001,0560,4940,4000,4610,0380,000

0,210,580,130,240,050,260,33

Total 1,8 2,449 1,8

Deoarece este minim pentru metoda lui şi pentru funcţia liniară vom utiliza şi un alt criteriu pentru alegerea celei mai bune metode de ajustare.

EXTRAPOLAREA SERIILOR CRONOLOGICE

Estimarea valorilor viitoare ale unui fenomen porneşte de la tendinţa de evoluţie înregistrată anterior. Dacă se consideră că nu sunt probabile modificări în această tendinţă de evoluţie în perioada următoare atunci se pot determina valorile viitoare ale fenomenului studiat folosind aceeaşi metodă de ajustare prin prelungirea axei timpului.

Întrucât cea mai bună metodă de ajustare este funcţia liniară rezultă că valorile previzionate cele mai bune se obţin prin această metodă.

Extrapolarea tarifului practicat de companie pentru anul 2003 va fi:Anul 2003 este anul 4: