Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro

Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro

Problema 3. Fie M un punct ın interiorul rombului ABCD. Demonstrati cam(^AMB) + m(^CMD) = 180◦ daca si numai daca M se afla pe o diagonala arombului.

problema 7.5 din cartea lui V. Prasolov, Problems in Plane and Solid Geometry

Solutie:⇒

Consideram punctul N astfel ıncat ADMN sa fie paralelogram. Atunci segmentele[MN ], [AD] si [BC] sunt paralele si congruente, deci BCMN este de asemeneaparalelogram. Atunci AN = DM , BN = CM si AB = DC, deci triunghiurileABN si DCM sunt congruente (LLL). Rezulta ca ın patrulaterul ANBM avemm(^AMB) + m(^ANB) = m(^AMB) + m(^DMC) = 180◦, deci patrulateruleste inscriptibil. Diagonalele acestui patrulater sunt congruente, deci patrulateruleste trapez (sau dreptunghi), adica trebuie sa avem AM ‖ BN sau AN ‖ BM .Dar BN ‖ CM , deci, daca AM ‖ BN , atunci, din axioma paralelelor, rezultaca punctele A, M si C sunt coliniare. Analog, daca AN ‖ BM , atunci, folosindca AN ‖ DM si axioma paralelelor, deducem ca punctele B, M si D sunt coliniare.

⇐Daca M se afla pe diagonala (AC) atunci triunghiurile BCM si DCM sunt con-gruente (LUL), deci m(^CMD) = m(^CMB) = 180◦−m(^AMB). Analog dacaM ∈ (BD).

Alta finalizare a implicatiei ⇒AMBN inscriptibil implica ^ABM ≡ ^ANM ≡ ^ADM . Comparand triun-ghiurile AMB si ADM constatam ca ele au AB = AD, AM latura comuna si^ABM ≡ ^ADM . Conform criteriului de congruenta LLU putem avea douasituatii: fie ^AMB ≡ ^AMD si atunci triunghiurile sunt congruente (caz ın carerezulta usor ca M ∈ AC), fie unghiurile ^AMB si ^AMD sunt suplementare. Inacest caz triunghiurile nu sunt congruente, dar rezulta ca M ∈ (BD).

Va propunem si o alta problema asemanatoare:

Fie M un punct ın interiorul paralelogramului ABCD.Aratati ca ^MAB ≡ ^MCB daca si numai daca ^MBC ≡ ^MDC.