Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro

Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro

Etapa 6, Problema 3 Fie paralelipipedul dreptunghic ABCDEFGH şi M un punct interior. Fie , ,a b c măsurile unghiurilor formate de AM cu , ,AB AD AE . Demonstraţi că

cos cos cosAM AB a AD b AE c AG . Soluţie sintetică.

Fie ABN pr M ; atunci cos NAa

AM . Analog, dacă ADP pr M şi AEQ pr M , atunci

cosAP

bAM

şi cos AQc

AM . Atunci

cos cos cosAN a AP b AQ c 2 2 2 2AN AP AQ AM

AMAM AM AM AM

,

deoarece AM este diagonala paralelipipedului dreptunghic care se formează cu muchiile , , .AN AP AQ Avem apoi

AM cos cos cosAN a AP b AQ c < cos cos cosAB a AD b AE c . Din inegalitatea lui Cauchy,

cos cos cosAB a AD b AE c < 2 2 2 2 2 2cos cos cosAB AD AE a b c . Întrucât 2 2 2AB AD AE 2AG şi 2 2 2cos cos cosa b c 1 , problema este rezolvată. Soluţie vectorială. Evident că AMG este obtuzunghic în M , deci 2 2 2AG AM MG . Scriem această relaţie

sub forma 2 2 2

2

2AM AG MG

AM

şi deducem că 2AM AM AG

(*).

Dar AM AG AM AG

(**) şi

AM AG AM AB AD AE

AM AB AM AD AM AE

cos cos cosAM AB A AM AD b AM AE c .

Din (*) şi (**) obţinem inegalitatea 2 cos cos cosAM AM AB A AM AD b AM AE c AM AG

şi concluzia problemei urmează după simplificarea cu AM .■