APLICAȚII ALE PRODUSULUI SCALAR

Voi icircncepe prin a aminti că pentru doi vectori = 119874119860 și 119907 = 119874119861 produsul scalar este

dat de formula 119907 = | | |119907 | cos(119906 119907 )

Icircn continuare ne vom folosi de cacircteva proprietăți esențiale

119907 = 0 cu ne 0 și 119907 ne 0 lsaquo=rsaquo perp 119907

= 2 = | |2 ge 0 cu egalitate pentru = 0

119907 = 119907

(120572 + 120573119907 ) = 120572( ) + 120573(119907 ) (forall) 120572 120573120598ℝ

120572( 119907 ) = (120572 ) 119907 = (120572119907 )

Pentru un ΔABC cu O centrul cercului circumscris am avea 119874119860 119874119860 = 1198772 și

119874119860 119874119861 = 1198772 - 1198622

2 cu analoagele

De asemenea pentru (forall) MABC puncte icircn plan are loc relația

119872119860 119861119862 + 119872119861 119862119860 + 119872119862 119860119861 = 0 (Euler) iar o imediată consecință a acesteia este că icircn

orice triunghi icircnălțimile sunt concurente

1 Fie ABCD un paralelogram BEperpAC Eisin(AC) M mijlocul lui [AE] și N mijlocul lui

[CD] Arătați că dacă m(≮ 119873119872119861) = 90deg atunci ABCD este dreptunghi

(GM 2016)

Deoarece m(≮ 119873119872119861) = 90deg =gt MNperpMB deci 119872119873

119872119861 = 0

M și N mijloacele lui [AE] și [CD] deci

119872119873 = 119860119873 - 119860119872 = 1

2 (119860119863 + 119860119862 minus 119860119864 ) =

1

2 (119860119863 + 119864119862 )

De asemenea 119872119861 = 1

2 (119860119861 + 119864119861 ) =

1

2 (119864119861 - 119864119860 + 119864119861 ) =

= 1

2 (2119864119861 - 119864119860 )

Atunci 119872119873 119872119861 = 1

2 (119860119863 + 119864119862 )

1

2 (2119864119861 minus 119864119860 ) =

1

4 (119860119863 2 119864119861 ndash 119860119863 119864119860 + 119864119862 2 119864119861 ndash 119864119862

119864119860 ) 119860119861119862119863 119901119886119903119886119897119890119897119900119892119903119886119898 rArr =

1

4 (2 119861119862 119864119861 - 119860119863 119864119860 +2 119864119862 119864119861 - 119864119862 119864119860 )Dar 119864119861 119864119862 = 0 (EBperp

119864119862) iar 119861119862 119864119861 = - 119861119862 119861119864 = -BEBCcos 119864119861= - BEBC119861119864

119861119862 = ndash 1198611198642

119860119863 119864119860 = - 119860119863 119860119864 = - ADAEcos119863119860 = - AD AE cos 119860119862 = - AD AE 119864119862

119861119862 = - AE EC

Din toate acestea deducem că 119872119873 119872119861 =1

4 (- 2 1198611198642 + 2 EA EC) și știm că 119872119873 119872119861 = 0

deci EAEC = 1198611198642 Ținacircnd cont că BEperpAC Eisin(AC) din reciproca teoremei icircnălțimii avem

m(≮ 119860119861119862) = 90deg deci ABCD este dreptunghi

O altă problemă semnificativă care ar putea fi ținută minte ca rezultat este următoarea

2 (Teorema triunghiurilor ortologice) Fie triunghiul ABC și triunghiul 119860`119861`119862`

astfel icircncacirct perpendicularele din ABC pe B`C` C`A` și A`B` să fie concurente Atunci și

perpendicularele din 119860` 119861` 119862` pe BC CA și respectiv AB sunt concurente

Soluție Fie O puncul de intersecție al perpendicularelor din ABC pe B`C` C`A` și

respectiv A`B` și O` punctul de intersecție al perpendicularelor din 119860` ș119894 119861` pe BC și respectiv

AC Vom arăta că O`119862` perp AB Avem 119874119860 119861`119862` + 119874119861 119862`119860` + 119874119862 119860`119861` + 119874`119860 119861119862 + 119874`119861

119862119860 + 119874`119862 119860119861 = 119874119860 (119861`119874` + 119874`119862` ) + 119874119861 (119862`119874` + 119874`119860` ) + 119874119862 (119860`119874` + 119874`119861` ) + 119874`119860` (119861119874

+ 119874119862 ) + 119874`119861` (119862119874 + 119874119860 ) + 119874`119862` (119860119874 + 119874119861 ) = 0 (după efectuarea calculelor)

Cum 119874119860 119861`119862` = 0 119874119861 119862`119860` = 0 119874119862 119860`119861` = 0 119874`119860` 119861119862 = 0 și 119874`119861` 119862119860 = 0 rezultă că

119874`119862` 119860119861 = 0 deci O`119862` perp AB de unde concluzia

3 Fie ABCD un patrulater convex ortodiagonal icircn care O=ACcapBD Notăm cu

MNPQ punctele de intersecție a laturilor [AB] [BC] [CD] și [DA] cu perpendicularele duse

din O pe laturile patrulaterului ABCD opuse lor Demonstrați că MNPQ este dreptunghi

(RMT)

Fie 119872119860

119872119861 = m

119873119861

119873119862 = n

119875119862

119875119863 = p

119876119863

119876119860 = q

Știm că OMperpCD deci 119874119872 119862119863 = 0

Deoarece 119872119860

119872119861 = m deducem că

119874119872 = 1

1+119898 119874119860 +

119898

1+119898 119874119861 =gt (

1

1+119898 119874119860 +

119898

1+119898 119874119861 ) (119874119863 - 119874119862 ) = 0

1

1+119898 (119874119860 + 119898119874119861 ) (119874119863 - 119874119862 ) = 0

1

1+119898 (119874119860 119874119863 - 119874119860 119874119862 + m119874119861 119874119863 - m119874119861 119874119862 ) = 0

ABCD ortodiagonal =gt 119874119860 119874119863 =0 și 119874119861 119874119862 =0 deci 1

1+119898 (m119874119861 119874119863 - 119874119860 119874119862 ) = 0

1

1+119898ne 0

=gtm119874119861 119874119863 = 119874119860 119874119862 deci - mOBOD = - OAOC =gt mOBOD = OAOC =gt m= 119874119860∙119874119862

119874119861∙119874119863

Atunci icircn mod similar n = 119874119861∙119874119863

119874119860∙119874119862 p =

119874119860∙119874119862

119874119861∙119874119863 q =

119874119861∙119874119863

119874119860∙119874119862 =gt

119872119860

119872119861 = 119873119862

119873119861 = 119875119862

119875119863 = 119876119863

119876119860 = 119874119860∙119874119862

119874119861∙119874119863 deci

MN ∥ AC ∥ 119875119876 și MQ ∥ 119861119863 ∥ 119875119873 Ținacircnd cont că ACperpBD avem concluzia

4 Fie O centrul cercului circumscris ΔABC și D mijlocul lui [AB] Notăm cu E centrul de

greutate al triunghiului ACD Demonstrați că CDperpOE lt=gt AB=AC

(BMO 1985)

Este clar că 119874119864 = 1

3(119874119860 +119874119862 +119874119863 ) și 119874119863 =

1

2(119874119860 +119874119861 ) deci 119874119864 =

1

3(119874119860 +119874119862 +

1

2(119874119860 +119874119861 )) =

1

3 ∙ 3∙119874119860 +2∙119874119862 +119874119861

2 = 3∙119874119860 +119874119861 +2119874119862

6

CDperpOE lt=gt 119862119863 119874119864 = 0lt=gt (119874119863 -119874119862 )119874119864 = 0 lt=gt(1

2(119874119860 +119874119861 )- 119874119862 )

3∙119874119860 +119874119861 +2119874119862

6 = 0

lt=gt1

12 (119874119860 +119874119861 -2 119874119862 )(3 ∙ 119874119860 + 119874119861 + 2 ∙ 119874119862 ) = 0

Revenim la 119874119860 119874119860 = 1198772 și 119874119860 119874119861 = 1198772- 1198622

2

deci 1

12(31198772+1198772-

1198622

2 +21198772- 1198872+31198772-

31198622

2 +1198772+21198772- 1198862- 61198772+31198872- 21198772+1198862- 41198772) = 0

1

12(21198872-

41198622

2) = 0 =gt 21198872= 21198882 deci 1198872= 1198882 și cum bc gt 0 lt=gt b=c

Astfel CDperpOE lt=gt b=c

5 Fie ΔABC D mijlocul lui [BC] DEperpAB Eisin(AB) DFperpAC Fisin(AC) și M mijlocul lui

[EF] Demonstrați DM ∥ AC

(Baraj juniori 2018)

Fie BB`perpAC B`isin(AC) și CC`perpAB C`isin(AB)

Se cunoaște că AOperp 119861`C` deci ar fi de ajuns

să demonstrăm DMperp 119861`C` adică 119863119872 119861`119862` = 0

Deoarece M este mijlocul lui [EF]

avem 119863119872 = 1

2 (119863119864 +119863119865 )

Atunci 119863119872 119861`119862` = 1

2 (119863119864 +119863119865 ) (119860119862` - 119860119861` )

119897119894119899119894119890 119898119894119895119897119900119888119894119890rArr

1

4 (119862119862` +119861119861` )( 119860119862` - 119860119861` ) =

= 1

4 (119862119862` 119860119862` -119862119862` 119860119861` +119861119861` 119860119862` - 119861119861` 119860119861` ) =

1

4 (119861119861` 119860119862` - 119862119862` 119860119861` ) =

= 1

4 (-BB`AC`cos 119860119861119861`+CC`AB`cos119860119862119862`)

119861119862119861`119862` 119894119899119904119888119903119894119901119897119905119894119887119894119897rArr

1

4 cos119860119861119861`(119862119862` 119860119861` - BB`AC`) (1)

BCB`C`inscriptibil =gt ≮ 119860119862119862` equiv≮ 119860119861119861` =gt ΔACC`simΔABB`(UU) =gt

119862119862`

119861119861` = 119860119862`

119860119861` =gt CC`AB`=BB`AC` (2)

Din (1) și (2) =gt 119863119872 119861`119862` = 0 deci DMperpB`C` Cum și AOperpB`C` avem DM ∥ AC

Probleme propuse

1 Fie triunghiul ABC Pisin(BC) 1198751198631 perp 119860119861 1198631 isin(AB) și 1198751198632 perp 119860119862 1198632 isin(AC) Notăm cu

E mijlocul lui [1198611198631] și cu F mijlocul lui [1198621198632] Demonstrați că dacă Q este simetricul lui P față

de A și 1198761198631 perp 1198751198651 atunci 1198761198632 perp 1198751198652

()

2 Fie triunghiul ABC cu ABne 119861119862 ne 119862119860 ne 119860119861 și GIH centrul de greutate centrul

cercului icircnscris și respectiv ortocentrul său Demonstrați că m(≮ 119866119868119867) gt 90deg

(IMO 1990)

3 Fie triunghiul ABC cu G centrul de greutate și I centrul cercului icircnscris icircn triunghi

Demonstrați că OGleOI

(BMO 1996)

4 Fie ABCD un trapez ortodiagonal cu bazele BC și AD Notăm cu O intersecția diagonalelor

cu E proiecția lui O pe AD și cu F simetricul lui O față de mijlocul segmentului AD

Perpendiculara din F pe AD intersectează perpendiculara din D pe EB icircn H Să se demonstreze

că dreptele AH și CE sunt perpendiculare

(GM 2017)

5 Fie triunghiul ABC ascuțiunghic Notăm cu H ortocentrul său și cu M mijlocul lui [BC] Fie

119884ϵAC astfel icircncacirct 119884119867 perp 119872119867 și fie Qisin 119861119867 astfel icircncacirct QAperpAM Fie J intersecția lui MQ cu

cercul de diametru [MY] Demonstrați că HJperpAM

(EMC j 2017)

Elev Vasile Marian Daniel

clasa a IX-a

Colegiul Național Pedagogic bdquoȘtefan Odoblejardquo ndash DrTrSeverin

=gtm119874119861 119874119863 = 119874119860 119874119862 deci - mOBOD = - OAOC =gt mOBOD = OAOC =gt m= 119874119860∙119874119862

119874119861∙119874119863

Atunci icircn mod similar n = 119874119861∙119874119863

119874119860∙119874119862 p =

119874119860∙119874119862

119874119861∙119874119863 q =

119874119861∙119874119863

119874119860∙119874119862 =gt

119872119860

119872119861 = 119873119862

119873119861 = 119875119862

119875119863 = 119876119863

119876119860 = 119874119860∙119874119862

119874119861∙119874119863 deci

MN ∥ AC ∥ 119875119876 și MQ ∥ 119861119863 ∥ 119875119873 Ținacircnd cont că ACperpBD avem concluzia

4 Fie O centrul cercului circumscris ΔABC și D mijlocul lui [AB] Notăm cu E centrul de

greutate al triunghiului ACD Demonstrați că CDperpOE lt=gt AB=AC

(BMO 1985)

Este clar că 119874119864 = 1

3(119874119860 +119874119862 +119874119863 ) și 119874119863 =

1

2(119874119860 +119874119861 ) deci 119874119864 =

1

3(119874119860 +119874119862 +

1

2(119874119860 +119874119861 )) =

1

3 ∙ 3∙119874119860 +2∙119874119862 +119874119861

2 = 3∙119874119860 +119874119861 +2119874119862

6

CDperpOE lt=gt 119862119863 119874119864 = 0lt=gt (119874119863 -119874119862 )119874119864 = 0 lt=gt(1

2(119874119860 +119874119861 )- 119874119862 )

3∙119874119860 +119874119861 +2119874119862

6 = 0

lt=gt1

12 (119874119860 +119874119861 -2 119874119862 )(3 ∙ 119874119860 + 119874119861 + 2 ∙ 119874119862 ) = 0

Revenim la 119874119860 119874119860 = 1198772 și 119874119860 119874119861 = 1198772- 1198622

2

deci 1

12(31198772+1198772-

1198622

2 +21198772- 1198872+31198772-

31198622

2 +1198772+21198772- 1198862- 61198772+31198872- 21198772+1198862- 41198772) = 0

1

12(21198872-

41198622

2) = 0 =gt 21198872= 21198882 deci 1198872= 1198882 și cum bc gt 0 lt=gt b=c

Astfel CDperpOE lt=gt b=c

5 Fie ΔABC D mijlocul lui [BC] DEperpAB Eisin(AB) DFperpAC Fisin(AC) și M mijlocul lui

[EF] Demonstrați DM ∥ AC

(Baraj juniori 2018)

Fie BB`perpAC B`isin(AC) și CC`perpAB C`isin(AB)

Se cunoaște că AOperp 119861`C` deci ar fi de ajuns

să demonstrăm DMperp 119861`C` adică 119863119872 119861`119862` = 0

Deoarece M este mijlocul lui [EF]

avem 119863119872 = 1

2 (119863119864 +119863119865 )

Atunci 119863119872 119861`119862` = 1

2 (119863119864 +119863119865 ) (119860119862` - 119860119861` )

119897119894119899119894119890 119898119894119895119897119900119888119894119890rArr

1

4 (119862119862` +119861119861` )( 119860119862` - 119860119861` ) =

= 1

4 (119862119862` 119860119862` -119862119862` 119860119861` +119861119861` 119860119862` - 119861119861` 119860119861` ) =

1

4 (119861119861` 119860119862` - 119862119862` 119860119861` ) =

= 1

4 (-BB`AC`cos 119860119861119861`+CC`AB`cos119860119862119862`)

119861119862119861`119862` 119894119899119904119888119903119894119901119897119905119894119887119894119897rArr

1

4 cos119860119861119861`(119862119862` 119860119861` - BB`AC`) (1)

BCB`C`inscriptibil =gt ≮ 119860119862119862` equiv≮ 119860119861119861` =gt ΔACC`simΔABB`(UU) =gt

119862119862`

119861119861` = 119860119862`

119860119861` =gt CC`AB`=BB`AC` (2)

Din (1) și (2) =gt 119863119872 119861`119862` = 0 deci DMperpB`C` Cum și AOperpB`C` avem DM ∥ AC

Probleme propuse

1 Fie triunghiul ABC Pisin(BC) 1198751198631 perp 119860119861 1198631 isin(AB) și 1198751198632 perp 119860119862 1198632 isin(AC) Notăm cu

E mijlocul lui [1198611198631] și cu F mijlocul lui [1198621198632] Demonstrați că dacă Q este simetricul lui P față

de A și 1198761198631 perp 1198751198651 atunci 1198761198632 perp 1198751198652

()

2 Fie triunghiul ABC cu ABne 119861119862 ne 119862119860 ne 119860119861 și GIH centrul de greutate centrul

cercului icircnscris și respectiv ortocentrul său Demonstrați că m(≮ 119866119868119867) gt 90deg

(IMO 1990)

3 Fie triunghiul ABC cu G centrul de greutate și I centrul cercului icircnscris icircn triunghi

Demonstrați că OGleOI

(BMO 1996)

4 Fie ABCD un trapez ortodiagonal cu bazele BC și AD Notăm cu O intersecția diagonalelor

cu E proiecția lui O pe AD și cu F simetricul lui O față de mijlocul segmentului AD

Perpendiculara din F pe AD intersectează perpendiculara din D pe EB icircn H Să se demonstreze

că dreptele AH și CE sunt perpendiculare

(GM 2017)

5 Fie triunghiul ABC ascuțiunghic Notăm cu H ortocentrul său și cu M mijlocul lui [BC] Fie

119884ϵAC astfel icircncacirct 119884119867 perp 119872119867 și fie Qisin 119861119867 astfel icircncacirct QAperpAM Fie J intersecția lui MQ cu

cercul de diametru [MY] Demonstrați că HJperpAM

(EMC j 2017)

Elev Vasile Marian Daniel

clasa a IX-a

Colegiul Național Pedagogic bdquoȘtefan Odoblejardquo ndash DrTrSeverin

= 1

4 (-BB`AC`cos 119860119861119861`+CC`AB`cos119860119862119862`)

119861119862119861`119862` 119894119899119904119888119903119894119901119897119905119894119887119894119897rArr

1

4 cos119860119861119861`(119862119862` 119860119861` - BB`AC`) (1)

BCB`C`inscriptibil =gt ≮ 119860119862119862` equiv≮ 119860119861119861` =gt ΔACC`simΔABB`(UU) =gt

119862119862`

119861119861` = 119860119862`

119860119861` =gt CC`AB`=BB`AC` (2)

Din (1) și (2) =gt 119863119872 119861`119862` = 0 deci DMperpB`C` Cum și AOperpB`C` avem DM ∥ AC

Probleme propuse

1 Fie triunghiul ABC Pisin(BC) 1198751198631 perp 119860119861 1198631 isin(AB) și 1198751198632 perp 119860119862 1198632 isin(AC) Notăm cu

E mijlocul lui [1198611198631] și cu F mijlocul lui [1198621198632] Demonstrați că dacă Q este simetricul lui P față

de A și 1198761198631 perp 1198751198651 atunci 1198761198632 perp 1198751198652

()

2 Fie triunghiul ABC cu ABne 119861119862 ne 119862119860 ne 119860119861 și GIH centrul de greutate centrul

cercului icircnscris și respectiv ortocentrul său Demonstrați că m(≮ 119866119868119867) gt 90deg

(IMO 1990)

3 Fie triunghiul ABC cu G centrul de greutate și I centrul cercului icircnscris icircn triunghi

Demonstrați că OGleOI

(BMO 1996)

4 Fie ABCD un trapez ortodiagonal cu bazele BC și AD Notăm cu O intersecția diagonalelor

cu E proiecția lui O pe AD și cu F simetricul lui O față de mijlocul segmentului AD

Perpendiculara din F pe AD intersectează perpendiculara din D pe EB icircn H Să se demonstreze

că dreptele AH și CE sunt perpendiculare

(GM 2017)

5 Fie triunghiul ABC ascuțiunghic Notăm cu H ortocentrul său și cu M mijlocul lui [BC] Fie

119884ϵAC astfel icircncacirct 119884119867 perp 119872119867 și fie Qisin 119861119867 astfel icircncacirct QAperpAM Fie J intersecția lui MQ cu

cercul de diametru [MY] Demonstrați că HJperpAM

(EMC j 2017)

Elev Vasile Marian Daniel

clasa a IX-a

Colegiul Național Pedagogic bdquoȘtefan Odoblejardquo ndash DrTrSeverin