CUPRINS

P A R T E A I

it1 ECANICA NEWTONIANA CAPITOLUL 1 . FAI'TE EXPERIMENTALE 5 1 . F'rincipiul relativitatii si principiul determinismului . . . . . . . . . . 5 2 . (;rupul galileian ~i ecuatiile lui Newton . . . . . . . . . . . . . . . $ 3 . Exemple de sisteme niecanice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CAPITOLUL 2 . STUDIERI .: A EC:UATIILOR DE HISCARE . 5 4 . Sisteme cu un grad de libertate . . . . . . . . . . § 5 . Sisteme cu dou5 grade de libcrlate . . . . . . . . . # G . Cfmpul de forte potential . . . . . . . . . . . . . 5 7 . hIomentul cinetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 8 . Studierea miscjrii fntr-un clmp central . . . . . . . . 5 9 . hli~carea unui punct In spatiul tridimensional . . . . . $10 . Mi~carea unui sistem de n puncte . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . $11 . Considerente de asein5nare

P A R T E A A - 11-A

MECXR'ICB LA GRANGEANA . . . . . . . . . . . . . CAPITOLUL 3 . PRIKCIPIGL \ ARIATIONAL

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512 . Calcul variational . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . s13 . Ecuatiile lui Lagrange

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914 . Transformarea Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $15 . Ecuatiile lui Hamilton

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $1 G . Tcorema lui I. iou~i l le

$17 . LegRturi olonome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 918.Varietritidiferentiabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 319 . Sistemul dinamic lagrangean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 $20 . Teorema lui E . Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 $21 . Principiul lui d'Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 CAPITOLUL 5 . OSCILATII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 322 . Liniarizarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 $23 . Oscilatii mici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132. $24 . Asupra comportirii frccven[rlor proprii . . . . . . . . . . . . . . . 141 $25 . Rezonanta parametric5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 CAPITOLU L 6 . SOLIDUL RIGID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 $26 . JIi~cnrea in raport cu un sistem mobil de coordonate . . . . . . . . 156 927 . Forte d e inertie . Forta Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 $28 . Solidul rigid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 $29 . Ecuatiile lui Euler . Descrieren mi~ciirii datii de Poinsot . . . . . . . 178 630 . Titirezul lui Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 $31 . Titirezul adormit ~i titirezul rapid . . . . . . . . . . . . . . . . 191

P A R T E A A - 1 1 1 - A

MECANICA HAMILTONIANA . CAPITOLUL 5 FORME DIFERENTIALF: . . . . . . . . . . . . . . . 201

332 . Forme exterioare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 333 . Produsul exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 534 . Forme diferentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 335 . Integrarea forrnelor diferentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 $36 . Diferentierea exterioari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

937 . Strnctura simplectici pe o varietate . . . . . . . . . . . . . . . . 248 $38 . Curentii hamiltonieni in spatiul fazelor ~i invariantii lor integrali . . . 231 $39 .. Ylgebi-a Lie a cimpurilor de vectori . . . . . . . . . . . . . . . 256 920 . Algebra Lie a functiilor lui Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . 26i $41 . Geometrie simplectici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 $42 . Rezonanta parametric5 in sisteme cu mai multe grade de libertate . . . . 277 943 . Xilasul sitnplectic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 CAP1 r OLUL 9 . FORMALISUUL CANONIC . . . . . . . . . . . . . . 286 944 . Inrariantul integral Poincarb-Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . 286

5.15. Consecinte ale teoremei invariantului integral PoincarC-Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $46 . Principiul lui Huygens

$47 . Metoda lui ~acobi-Hamil ton de integrare a ecuatiilor canonice ale lui Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $ 18 . Functii generatoare (.. WITOLUL 10 . INTRODUCERE f N TEORIA PER'I'LRUrlTIILOI1 . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 19 . Sisteme integrabile $50 . Coordonatele ackiune-unglii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $51 . Nedierea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $52 . lledierea perlurhatiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . i lnesa 1 . ( ; u r b ~ ~ r a riemannianl -inesn 2 . Geodezicele metricelor invariante la stinga pe grupliri Lie ).i hidro-

. . . . . . . . . . . . . . . . . . dinamica flnidului ideal . . . . . . . . Anesa 3 . Structora sinlplecticj pe varietritile algebrice

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anesa J . Str i~ctur i de contact . . . . . . . . . . . . . . . . Anesa 5 . Sistenie dinamice cu simetrie

. . . . . . . ~ t i i e s a fj . P'orniele norinale ale hamillonienilor pritratici i inesa 7 . Formele normale ale sistemelor hamiltoniene in vecinstalea punc-

telor fise si a traiectoriilor inchise . . . . . . . . . . . . . i lnesa 8 . Teoria perturbatiilor misciirilor cvasiperiodice si teore~na lui

Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l ne sa 9 . Teore~na geornetricii n lui Poincari: ; generalizari si aplicatii

i inesa 10 . lI~11liplicitritile frecvenlelor proprii si elipsoizi dependenti de pam- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . metd

Anesa It . llsimptotici pentru lungimi de u n d l mici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anesa 12 . Singularitstile lagrangeene

Anesa 1.3 . Ecuatia l u i Korteweg-de \'ries . . . . . . . . . . . . . . . Indice de noti t~ni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f n mecanica clasic5 se utilizeazii o varietate destul de mare de metbode qi notiuni matematice : ecuatiile diferentiale gi curentii in spatiile de faze, variet5tile si aplicatiile diferentiabile, grupurile ti algebrele Lie, geometria simplecticg gi teoria ergodic5. Multe din teoriile matematice contemporane s-au n5scut din problemele mecanicii qi numai ulterior au c5piLtat acea form5 axiomatic5 $i abstract5 care le ingreuiazii atit de mult studierea.

I n aeeast5 carte, aparatul matematic a1 mecanicii clasice se construiegte chiar de la inceput, astfel incit cititorului nu i se cer cunostinte preliminare care s5 ias$ din cadrul cursurilor uzuale de analiz5 (derivat5, integral%, ecuatii diferenfiale), geometrie (spa- Iiu liniar, vectori) si algebr5 liniar5 (operatori liniari, forme p5tra- tice).

Cu ajutorul acestui aparat se analizeazii toate problemele fun- damentale ale dinamicii sistemelor mecanice, inclusiv teoria osci- latiilor, teoria miqc5rii solidului rigid gi formalismul hamiltonian. dutorul s-a strMuit peste tot s5 evidentieze aspectul geometric, calitativ a1 fenome~lelor. Din acest punct de vedere, cartea se a'propie mai mult de cursurile de mecanicii teoreticii destinate fizicienilor teoreticieni decit de cursurile traditionale de mecanicii teoretic5 expuse matematicienilor.

0 parte important5 a c5rtii este dedicat5 principiilor variatio- nale qi dinamicii analitice. Caracterizind dinamica analiticg, 3'. Klein scrie in cartes sa Lecji i despre dez~oltarea matematicii .in secolul a1 XIX-lea : ,,din aceste teorii, fizicianul poate extrage pentru problemele sale foarte putin, iar inginerul - nirnic". Dez- voltarea stiintei in anii care au urmat a infirmat hotgrit aceasti remarc&. E'ormalismul hamiltonian a stat la baza mecanicii cuantice $i este in zilele noastre una din armele arsenalului matematic cele mai des utilizate in fizic5. Dup5 ce a fost recunoscut5 importan@

st.ructurii simplectice qi a principiului lui Huygens pentru toate problemele posibile de optimizare, ecurttiile lui Hamilton au incepnt s& fie utilizate constant in cercethrile inginereqti in acest domeniu. Pe de alt5 parte, dezvoltarea contemporan5 a mecanicii cereqti, legat8 de necesitBtile cercetiirilor cosmice, a dus la o now2 renat;tere a interesului pentru metodele qi problernele dinamicii analitice.

Legzturile mecanicii clasice cu alte ramuri ale matematicii ~i fizicii sint multiple gi variate. A n e ~ e l e de la sfirgitul c&r$ii sint dedicate unora din aceste leggturi. In cadrul acestora, se consi- der& ca aplicatii ale aparatului mecsnicii clasice, bazele geometriei riernanniene, dinarnica fluidului ideal, teoria perturbatiilor mig- cgrilor cvasiperiodice a lui Kolrnogorov, formulele asimptotice pentru lungimi de und5 mici pentru ecuatiile fizicii matematice gi clssifiearea causticilor in optica geometric&.

-3ceste anexe sint destinate cititorului interesat gi nu intrti in proprama obligatorie a cursului general. Unele din ele pot sta la baza alcgtuirii unor cursuri speciale (de exemplu, despre metodele asimptotice in teoria oscilatiilor neliniare sau formulele asinipto- tice cvasiclasice). De asemenea, in anese s h t ineluse yi o serie de date cu caracter indrumCitor-(de exemplu, lista formelor normale ale hamiltonienilor pgtratiei). I n timp ee in capitolele fundamentale ale cBrtii autorul s-a strgduit s& expun& toate demonstratiile intr-un mod cit inai amhuntit, evitind triiniterile la alte surse, anexele sint constituite din enunturi de rezultate pentru ale ciiror demon- stratii se fae trimiteri la literatura de specialitate.

Raza cgrtii a constituit-o cursul obligatoriu de mecanicii ana- litic5 de trei semestre, expus de autor studentilor in matematick din anii trei gi patru ai Facult&$ii de matematicii-mecanicg de la Unirersitatea din illoscova, in perioada 1966 -1968.

Autorul ii este recunosciitor lui I.G. Petrovski, care a st&ruit ca acest curs 8% fie espus, scris qi editat. f n pregiitirea pentru tipar a lecgiilor, autorul a fost mult ajutat de L.A. Bunimovici, L.D. Vaingortin si V.L. Xovikov, care i-au pus la dispozitie notele de curs qi, in special, de N.N. Kolesnikov, care a ingrijit editia lito- grafiat5 (M.G.U., 1968). Aducem aici multumiri atit lor cit qi tuturor auditorilor gi colegilor care ne-au transmis observa$ii asupra textului litografiat; multe dintre aceste observatii au fost utilizete in pre@tirea acestei editii. Autorul ii este recunos- citor lui M.A. Leontovici care a propus tratarea legiiturilor prin trecere la limit& gi lui 1.1. Vorovici gi V.I. Iudovici pentru recenzia atentSi a rnanuscrisului.

V. I . Arnold

Mecanica newtonianii studiaz5 miscarea sistemelor de puncte materisle in spatiul euclidian tridimensional. f n acest spatiu actio- neaxii grupul de izometrii anicii newtoniene (chiar dac& ele se formu1eaz;i in lermeni clle eoordonate carteziene) sint invariante in raport cu acest grup*).

Un sistem mecanic newtoniau poteutial este definit de mesele punctelor sale gi energia sa potenGialR. Izometriilor spatiului care invariazg energia potentials le co~espund legi de conservare.

Ecuatiile lui Newton permit ss se studieze coinplet o serie de probleme importante ale mecanicii, cum ar fi problema miqcgrii intr-un cimp oentral.

*) Si chiar in raport cu grupul mai mare a1 transformgrilor galileiene ale spatiului - tirnp.