Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro

Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro

Problema 3. Fie ABCD un patrulater convex, O punctul de intersecție al diagonalelor, M un punct de pe

segmentul AB și N un punct de pe segmentul CD. Să se arate că punctele O, M și N sunt coliniare dacă

și numai dacă AM D N O B O C BM C N O A O D .

Soluţie. Dacă notăm , , ,AM D N O B O C

a b c dBM C N O D O A

, atunci:

1

1 1

aO M O A O B

a a

1

1 1

bO N O D O C

b b

1

,O D O B O C d O Ac

1

1 1

bdO N O A O B

b c b

O, M, N sunt coliniare

1

11 11

1

1 1

a

a aO M O N ac abcd

bd bd

b c b

AM D N O B O C BM C N O A O D .

A doua soluție: Observăm că BM O A O B D N

AM D N O B O C BM C N O A O DAM O C O D C N

(1)

I. Să presupunem că O, M, N sunt coliniare.

Dacă MN BC , atunci din teorema lui Thales obținem BM O C

AM O A și

D N O D

C N O B , deci

1BM O A O B D N

AM O C O D C N .

Dacă MN BC , fie P MN BC . Aplicăm

teorema lui Menelaus în triunghiurile ABC și DBC cu

transversala PM și obținem:

1PC BM O A

PB AM O C și 1

P C O B D N

P B O D C N .

Comparând aceste două relații deducem că are

loc și relația (1).

II. Să presupunem că are loc relația (1).

Dacă ON BC , atunci din teorema lui Thales obținem D N O D

C N O B și din (1) rezultă că

BM O C

AM O A . Aplicând reciproca teoremei lui Thales în triunghiul ABC, obținem OM BC .

Cum ON BC și OM BC deducem că punctele O, M, N sunt coliniare.

Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro

Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro

Dacă ON BC , fie P ON BC . Aplicăm teorema lui Menelaus în triunghiul DBC cu

transversala PO și obținem 1P C O B D N

P B O D C N . Folosind relația (1) rezultă 1

PC BM O A

PB AM O C .

Conform reciprocei teoremei lui Menelaus rezultă că punctele P, O, M sunt coliniare. Deoarece

N O P deducem că punctele O, M și N sunt coliniare.