7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora

http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 1/17

  Cine a fost Pitagora?

•Pitagora ( 580 î.Hr. - 500 î.Hr.) a fost un filozof şi matematician grec, originar din insula Samos,

întemeietorul pitagorismului, care punea la baza întregii realităţi teoria numerelor şi a armoniei. A fost şi

conducătorul partidului aristocratic din Crotone (sudul Italiei). Scrierile sale nu s-au păstrat. Tradiţia îiatribuie descoperirea teoremei geometrice şi a tablei de înmulţire, care îi poartă numele. Ideile şi descoperirile luinu pot fi deosebite cu certitudine de cele ale discipolilor apropiaţi.•Pitagora era ionian, originar din insula Samos, dar a emigrat la Crotone, în Italia de sud, unde a întemeiat

şcoala ce-i poartă numele, cea dintîi şcoală italică a Greciei antice  

•Pitagora a fost un mare educator şi învăţător al spiritului grecesc şi se spune că a fost şi un atlet puternic,aşa cum stătea bine atunci poeţilor, filosofilor (de exemplu, Platon însuşi) şi comandanţilor militari etc. 

•Pitagora pare să nu fi scris nimic. Doctrina filosofică a pitagorismului ne este totuşi destul de bine cunoscutădin lucrările lui Aristotel şi Sextus Empiricus, precum şi din lucrări ale pitagoricienilor de mai tîrziu. Totuşi, nuse poate stabili cu precizie ce aparţine lui Pitagora şi ce au adăugat pitagoricienii ulteriori. Celebrele texte"pitagoriciene" Versurile de aur ale lui Pitagora şi Legile morale şi politice ale lui Pitagora , existente şi întraduceri româneşti, aparţin unei epoci ulterioare. 

7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora

http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 2/17

  TEOREMA LUI PITAGORA

INTR-UN TRIUNGHI DREPTUNGHIC,PATRATUL LUNGIMII IPOTENUZEI, ESTE 

EGAL CU SUMA PATRATELOR 

LUNGIMILOR CATETELOR.

BC =AB +AC

 A B

C

2 2 2

7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora

http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 3/17

  Demonstrat i i ale teoremei lui PYtago ras 

Teorema lui Pitagora este numita astfel pentru ca descoperireaei se bazeaza pe scoala lui Pitagora. Mai devreme in Mesopotamiasi Egiptul antic, erau cunoscute triplete de valori care corespundlungimilor laturilor unui triunghi dreptunghic si folosite pentrurezolvarea problemelor ce contin astfel de triunghiuri, dar nu au fost

trecute in nici-un papirus,care sa stabileasca aceasta relatie. Astfel piramida Khafre, datand din secolul XXVI i.C.,a fost primamare piramida care a fost construita pe baza numerelor triunghiuluisacru 3,4 si 5, considerat de egipteni.

Teorema lui Pitagora are cele mai multe demonstratii,diferite

folosind metode. Dupa unii autori sunt 367 de demonstratii, iar dupaaltii, in jur de 1000 de demonstratii.

7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora

http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 4/17

1)Demostratia teoremei, facuta de Pitagora (se

banuieste).

 AB =BK• BC=A

• AC =CK• BC=A•  A = BC =BC(BK+CK)=

• =BC• BK+BC• CK= 

• =AB +AC

• DECI : BC =AB +AC

 ABGF

 ACIH

BCED

2

2

2 2

2 2 2

2

7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora

http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 5/17

2) Demonstrat ia lui Chou Pei 

(500-200 i.C.) 

Este vizuala si se bazeaza petriunghiul cu catetele de 3 si4 si

ipotenuza de 5.

Conform figurii,cele 8 triunghiuri cu aria 

de 6,impreuna cu patratul

mic, formeaza patratul

mare cu aria de 49.

7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora

http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 6/17

3) Demonstratia lui Platon

Se refera numai la triunghiul dreptunghic isoscel.

 Astfel in fig.2, patratul de latura AB, are aria jumatate

din aria patratului mare , iar cele patru triunghiuri ce sunt

in plus au aria egala cu suma ariilor patratelor celor douacatete, conform fig. 3,unde,

patratul fiecarei catete

este echivalent cu patratul

din fig. 1  fig.1

fig.2 

fig.3

7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora

http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 7/17

4. Demonstraţ ie dată de Euclid in ELEMENTE

 A

BC

DE

I

H

G

F

M

N

ariaABE=1/2•BE•BN=1/2ariaBEMN 

V.P.

ariaBCI=1/2•BI•AB=1/2aria AHIB 

Dar,ΔABE≡ΔBCI(LUL) =>aria BEMN = aria AHIB  (1) 

ariaACD=1/2CD•CN=1/2ariaCDMN 

ariaBCF=1/2CF•CA=1/2ariaCFGA 

Dar, ΔACD≡ΔBCF (LUL)=>

aria CDMN = aria CFGA (2)

 Adumand relelatiile 1 si 2 obtinem:

 Aria(BEMN+CDMN)=aria(AHIB+CFGA)

Deci aria BCDE=aria (AHIB+CFGA)

adica BC² = AB² + AC².

7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora

http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 8/17

5) Demonstratia lui Abraham

Garfield(fost presedinte SUA)

•  A =(a+b)(a+b)/2

• =(a +b +2ab)/2• =(a +b )/2+ab

•  A =2ab/2+c /2

• =c /2+ab• DECI: c =a +b

TRAPEZ

TRAPEZ

2 2

2 2

2

2

2 2 2

7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora

http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 9/17

6)DEMONSTRATIE VIZUALA

• Suprafetele ambelor patrate mari sunt egale cu(a+b). Patratul din stanga

este descompus in patratele de laturi a si respectiv b, si doua dreptunghiuri

congruente , de dimensiuni a si b si diagonala “c”. • Asezand in patratul din dreapta cele patru triunghiuri dreptunghice

• congruiente,obtinem patratul de latura “c”,a carui arie trebuie sa fie egala cuariile celor doua patrate de laturi a si respectiv b din stanga.

• Deci: a + b = c 

.

2

2 2 2

7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora

http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 10/17

7) DEMONSTRATIE VIZUALA

a+b+ab=c+2ab/2

SCAZAND ab DIN

 AMBII MEMBRIIOBTINEM :

a +b =c

Sau, prin mutarea triunghiurilor congruente• 1,2 si3 se acopera patratele de laturi a si

b, deci c =a +b

ab

c

a

b

a+b

a+b1

1

2

2

3

3

2 2 2

2 2 2

c

2 2 2

7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora

http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 11/17

8)DEMONSTRATIE VIZUALA

• PRIN DESCOMPUNE-

REA

CELOR 3 PATRATE

SE OBSERVA

EGALITATEA

c = a + b

2

2

2

2

2

c

a b

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

2 2 2

7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora

http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 12/17

9)Dem. lui Leonardo da Vinci

1

1

2

2

a bc

a2

b2

c22

ab

c2

22

x

x

y

y

7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora

http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 13/17

Motivarea demonstratiei

• In figura din stanga diagonalele celor doua patratesunt pe aceeasi dreapta si impart hexagonul in doua

figuri echivalente.

• Rotind cu 90 figura maro,obtinem portiunea maro

din figura din dreapta.•   Urmeaza sa observam congruienta triunghiurilor “x” si atriunghiurilor “y”,conform(ULU) iar la sfarsit a trapezelor dreptunghice 1 si 2.

• Comparand cele doua figuri constatam ca eliminandcele doua triunghiuridreptunghice congruiente , de catete

a si b, obtinem egalitatea:

•  

• a + b = c

0

2 2 2

7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora

http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 14/17

8)DEMONSTRATIE VIZUALA SI ALGEBRICA

• In fig. 1) avem :• c =4ab/2+(b-a)

• c =2ab +a +b -2ab 1)

• c =a +b• In fig. 2) avem :

• (a+b) =4ab/2 +c

• a+b +2ab= 2ab+c 2)

• a+b = c

22

2

2 22

2

2

2

2

2

2

2 22

ba

c

7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora

http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 15/17

9) Demonstraţ ie folosind rotaţ ia a 2 triunghiuri

 A

E

H

GF

DI

B

C

K1

2

2’ 

1’ BCDI patrat in care CE

 ┴ ABsi DE

 ┴ CEapoi ducem DE ┴ CG; DF║CG si KF║ AB 

Din constructii Δ1 ≡Δ1’ [(IU),<ABC≡<KBI,BI≡BC] si Δ2 ≡Δ2’ [(IU), <CDE≡<FDI,DI≡DC] 

Δ1 se va suprapune peste Δ1’ dupa o rotatie de90º in jurul punctului B,iar Δ2 se va suprapune

peste Δ2’ dupa o rotatie de 90º in jurul punctului D 

In acest mod, patratul BCDI construit pe ipotenuza BC,

a fost acoperit de patratele ABKG construit pe cateta AB si

DFEG construit pe latura DE egala cu cateta AC

Deci, BC² = AC² + AB².

V.P.

7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora

http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 16/17

10. Demonstraţ ie lui Bhaskara Aciarya (1114- 1178)

b²

c²

 A B

CDb c

b

c

c b

c

bcb

c

b

bc

bc

a

b

c

2

bc/2

bc/2

bc

2

bc2

Primul patrat ABCD se descompune in 2 dreptunghiuri

egale de arie bc si 2 patrate de arii b² si c².

 Al doilea patrat  A’B’C’D’ egal cu patratul ABCD sedescompune in 4 triunghiuri dreptunghice de arie bc/2 , si

un patrat de arie a² construit pe ipotenuza triunghiului

dreptunghic de catete b si c. 

Cum patratul A’B’C’D’ egal cu patratul ABCD, fiind de latura b + c, au ariile egale.

 Aria ABCD = Aria A’B’C’D’, dezvoltand: 

b² + c² + 2bc = a² + 4 bc2 

Deci , b ² + c ² = a ² .

V.A. 

7/14/2019 Demonstratii Ale Teoremei lui Pitagora

http://slidepdf.com/reader/full/demonstratii-ale-teoremei-lui-pitagora 17/17

,,Învăţând matematică,

înveţi să gândeşti’’. 

citat din Grigore Moisil  

,,Geometria este cea mai bună şi mai simplă

dintre toate logicile, cea mai potrivită să deainflexibilitate judecăţii şi raţiunii.’’ 

definiţie de Denis Diderot