Serii de numere reale

Matematici aplicate n economie 1

Unitatea de nvare Nr. 6 Funcii continue Cuprins Obiectivele Unitii de nvare Nr. 6 6.1 Definiia funciei continue cu iruri, modul i limite de funcii 6.2 Funcii continue elementare care satisfac ecuaii funcionale 6.3 Proprieti ale funciilor continue Lucrare de verificare Unitate de nvare Nr. 6 Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de nvare Nr. 6

Pagina

2 2 3 4

5 5 6

Serii de numere reale

Matematici aplicate n economie 2

OBIECTIVELE unitii de nvare nr. 6 Principalele obiective ale unitii de nvare Nr. 6 sunt:

S cunosc definiiile echivalente ale funciilor continue S cunoasc proprietile funciilor continue S aplice rezolvarea ecuaiilor cu proprietile funciilor continue S cunoasc noiunea de uniform continuitate i legtura cu continuitatea

6.1 Definiia funciei continue cu iruri, modul i limite de funcii Funcie continu, funcie uniform continu, mulimi nchise, mulimi deschise

Serii de numere reale

Matematici aplicate n economie 3

Test de autoevaluare 6.1.

1. Fie 2

3 2 , 1( ) 1 , 1

, 11

ax b xf x x

xx ax

+ < = = > + +

Sa se afle ,a b\ astfel incat f sa fie continua\

2. Sa se studieze continuitatea functiei

2

2 2 , ( , ) (0,0)( , ), ( , ) (0,0)

xy x yf x y x y

x yo

= + =

Rspunsul se va da n spaiul gol de mai sus. Rspunsul la test se gsete la pagina 5.

6.2. Funcii continue elementare care satisfac ecuaii funcionale Limite ale unor iruri particulare. Aplicaii

Serii de numere reale

Matematici aplicate n economie 4

Test de autoevaluare 6.2. 1. S se demonstreze ca urmatoarea functie este continua pe 2\

3 3

2 2 , ( , ) (0,0)( , ), ( , ) (0,0)

x y x yf x y x y

x yo

+ = + =

2. Sa se verifice daca 1 , 0sin

( ), 00

xf x x

x

= =

Rspunsul se va da n spaiul gol de mai sus. Rspunsul la test se gsete la pagina 5.

6.3. Proprieti ale funciilor continue Funcii injective, surjective, bijective, inversabile

Serii de numere reale

Matematici aplicate n economie 5

Test de autoevaluare 6.3. 1. Fie :[ , ] [ , ]f a b a b continua. Sa se arate ca exista [ , ]c a b astfel incat ( )f c c=

2. Fie 5 4 3( ) 11 1f x x x x x= + + . Sa se arate ca f are o radacina in (0,1) Rspunsul se va da n spaiul gol de mai sus. Rspunsul la test se gsete la pagina 5.

Rezumat

Lucrare de verificare unitate de nvare nr. 6

1. Sa se determine functiile continue care verifica egalitatea: ( ) ( ) ( ), ( ) ,f x y f x f y x y+ = + \ .

2. Sa se arate ca

2 2

2 2

2 , ( , ) (0,0)( , )

, ( , ) (0,0)

x y xy x yf x y x y

x yo

+ = + = este continua in (0,0)

3. Sa se studieze continuitatea functiei 2

1 , 0sin( )

, 0xx

f x xxx ax

>= +

Rspunsurile testelor de autoevaluare

Rspuns 6.1

1. 3 2 1 1

1 1a b aa b

+ = = = = 2.

( , ) (0,0)lim ( , ) 0 (0,0)

x yf x y f = = ceea ce arata ca f este continua

Rspuns 6.2. 1. | ( , ) | | | | |f x y x y + ( ) 0f c =

( , ) (0,0)lim ( , ) 0 (0,0)

x yf x y f = = deci f este continua in (0,0) si

pe 2 {(0,0)}\ 2.f nu este continua deoarece sinx nu are limita la +

Serii de numere reale

Matematici aplicate n economie 6

Rspuns 6.3 1. Fie ( ) ( )h x f x x= avem ( ) ( ) 0h a h b deci ( ) [ , ]c a b astfel incat ( ) 0h c =

unde obtinem ( )f c c= . 2. (0) 1 0f = < , ( ) [ , ]c a b astfel incat ( ) 0f c = radacina c a lui f. (1) 11 0f = >

Bibliografie unitate de nvare nr. 6

Anghel P, Silvia Fulina. Matematici superioare, editura Muntenia, 2006 V. Brnznescu, O. Stnil, Matematici Speciale (teorie, exemple, aplicaii), Ed. All, Bucureti, 1998. Chiri, Probleme de Matematici Superioare, Ed. Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1989. M.

Serii de numere reale

Matematici aplicate n economie 7

Nicolescu, N. Dinculeanu, S. Marcus, Analiz Matematic, vol. I - III, Ed. Did. i Ped., Bucureti, 1971.