unitatea 12_derivata si diferentiala de ordin superior

Derivata şi diferenţiala de ordin superior

1 Analiză matematică I – Curs şi aplicaţii

Unitatea de învăţare nr. 12

Derivate şi diferenţiale de ordin superior Cuprins Pagina

Obiectivele unităţii de învăţare nr. 12 2

12.1 Derivate de ordin superior 2

12.2 Diferenţiale de ordin superior 4

Lucrare de verificare – unitatea de învăţare nr. 12 6

Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare 6

Bibliografie – unitatea de învăţare nr. 12 7



OBIECTIVELE unităţii de învăţare nr. 12

Principalele obiective ale Unităţii de învăţare nr. 12 sunt: • Înţelegerea noţiunii de derivată de ordin superior • Familiarizarea cu diferenţialele de ordin superior • Aplicarea cu succes a unor elemente simple de calcul

12.1 Derivate de ordin superior

Derivate de ordin superior pentru o funcţie de o variabilă

Definiţia 12.1 (derivata de ordin doi) : Fie REf →: o funcţie. Funcţia f se numeşte derivabilă de două ori în Ex ∈0 dacă f este derivabilă într-o vecinatate a lui 0x şi derivata 'f

este derivabilă în 0x . În acest caz, derivata lui 'f în 0x se numeşte derivata a doua (sau de

ordin doi) a lui f în 0x şi se notează prin ''f ( 0x ). Dacă 'f este derivabilă pe E, atunci derivata lui 'f se numeşte derivată de ordin doi a lui f şi se notează prin ''f . Observaţii: i) În mod analog se definesc derivatele de ordin superior lui doi :

( ) ( ) ( ) ( )( )'1)3()4(''')3( ,...,, −=== nnI ffffff

Prin convenţie se consideră că ff =)0( . ii) Dacă u şi v sunt funcţii derivabile de n ori, are loc egalitatea

( ) ( )( )( ) ( )∑=

−=⋅n

k

kknkn

n xvxuCxvxu0

)( )()(

numită formula lui Leibniz.

Derivate de ordin superior pentru o funcţie mai multe variabile

Definiţia 12.2 (derivate parţiale de ordin doi): Fie funcţia RRXf →⊂ 2: derivabilă

parţial în raport cu x şi y pe X. Dacă derivatele parţiale 'xf şi '

yf sunt, la rândul lor,

derivabile parţial în raport cu x şi y, atunci derivatele lor parţiale se numesc derivate parţiale de ordin doi ale funcţiei f şi se notează prin :

( ) 2

2''"

2xf

xf

xff xxx ∂

∂=

∂∂

∂∂

==



( )xy

fxf

yff yxyx ∂∂

∂=

∂∂

∂∂

==2

''"

( )yx

fyf

xff

xyxy ∂∂∂

=

∂∂

∂∂

==2

''"

( ) 2

2''"

2yf

yf

yff

yyy ∂∂

=

∂∂

∂∂

== .

Observaţii: iii) Derivatele parţiale mixte ''

yxf şi ''xyf nu sunt în general egale. Dacă funcţia f are derivate

parţiale mixte într-o vecinatate V a lui (a, b) şi ele sunt continue în (a, b), atunci ( )baf yx ,'' = ( )baf xy ,'' (teorema lui Schwartz);

iv) În general, o funcţie reală de n variabile reale nxxx ,...,, 21 are 2n derivate parţiale de ordin

doi, şi anume njixx

f

ji

,1,,2

=∂∂

∂ . Teorema lui Schwartz rămâne valabilă şi pentru astfel de

funcţii; v) Se pot defini în mod asemănător derivatele parţiale de ordin 3, 4 ş.a.m.d. Astfel, pentru o funcţie ( ) ( )yxfyx ,, → există 8 derivate parţiale de ordin 3 şi anume

,,,, ''''''''''''3223 yyxyxx ffff .,,, ''''''''''''

22 yxyxyxxyxy ffff

Aplicaţii: 1. Să se calculeze derivata de ordin n ( *Nn∈ ) a funcţiei: xxxf cos)( 2= Rezolvare:

Se aplică formula lui Leibniz, unde

+==

2cos)(,)( 2 πnxxvxxu .

Avem 3,0)(,2)('',2)(' )( ≥=== nxuxuxxu n şi

+=

2cos)()( πnxxv n , astfel încât :

( )

++

−++

−+−=

2cos

2)1(cos2

22cos)1()( 2)( πππ nxxnxnxnxnnxf n .

2. Să se calculeze ( ) )0(nf dacă ( ) )1,1(,arcsin)( 2 −∈= xxxf . Rezolvare:

( ) 02)(')(''1

sau )1(

arcsin21

2)(''1

arcsin2)('

2

3222

=−+−

−−

−=⇒

−=

xxfxfx

xxx

xxf

xxxf

.

Derivăm de n ori această relaţie, după formula lui Leibniz, si obţinem ( )( ) ( ) ( ) 0)()()12()(1 2122 =−−−− ++ xfnxxfnxfx nnn de unde, pentru x = 0, găsim

)0()0( )()2( nn nff =+ .

Prin recurenţă rezultă ( )[ ]212)2( !12)0( −= − kf kk şi Nkf k ∈∀=− ,0)0()12( .



Test de autoevaluare 12.1 1. Să se calculeze derivata de ordin n ( *Nn∈ ) a funcţiei:

0,,),ln()( ≠∈+= aRbabaxxf

2. Completaţi spaţiul liber: ( ) ( )xy

fy

ff yxyx ∂∂∂

=∂∂

==2

''" ....

12.2 Diferenţiale de ordin superior

Diferenţiale de ordin superior pentru o funcţie de o variabilă Definiţia 12.3 (diferenţiala de ordin superior) : Fie RIf →: şi 2,,0 ≥∈∈ nNnIx .

Se spune că f este diferenţiabilă de n ori în 0x dacă f este derivabilă de (n – 1) ori într-o

vecinătate V a lui 0x şi funcţia ( )1−nf este diferenţiabilă în 0x .

Diferenţiala de ordin n în 0x se notează prin ( )0xfd n şi este dată de relaţia

( ) ( )( ) ( ) nnnnn xdxfdxxfxfd ⋅=⋅= )( 0)(

00 .

Diferenţiale de ordin superior pentru o funcţie de mai multe variabile Definiţia 12.4: Fie funcţia ( ) ( )yxfyx ,, → având derivatele parţiale de ordin n

continue. Atunci diferenţiala de ordin n a funcţiei f se notează prin fd n şi este definită prin :

fd n = +⋅∂∂

∂++⋅

∂∂∂

+⋅∂∂ −

−−

−kkn

kkn

nkn

nn

n

nn

n

n

n dydxyx

fCdydxyx

fCdxxfC ...1

110 …+

not

n

nnn y

fC =∂∂

( )n

dyyfdx

xf

⋅

∂∂

+⋅∂∂

= .

Observaţii: vi) Pentru n = 2 avem:

22

222

2

22 2 yd

yfdydx

yxfdx

xffd ⋅

∂∂

+∂∂

∂+⋅

∂∂

=

vii) Pentru o funcţie ( ) ( )pp xxxfxxx ,...,,,...,, 2121 → , diferenţiala de ordin n se defineşte

asemănător : ( )n

pp

n dxxfdx

xfdx

xffd

⋅

∂∂

++⋅∂∂

+⋅∂∂

= ...22

11

.



Aplicaţii: 1. Să se calculeze )2,1(2 fd în cazul funcţiei 132),( 22 −+++−= yxyxyxyxf . Rezolvare:

134),( +−=∂∂

yxyxxf

şi 123),( ++−=∂∂

yxyxyf

.

( ) =∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

= 22

222

2

22 )2,1()2,1(2)2,1(2,1 dy

yfdydx

yxf

dxx

ffd 22 264 dydydxdx +−

( 3),(,4),(2

2

2

−=∂∂

∂=

∂∂ yx

yxfyx

xf şi 2),(2

2

=∂∂ yx

yf ).

2. Fie funcţia zcybxaezyxfRRf ++=→ ),,(,: 3 . Să se determine fd n . Rezolvare:

Se demonstreză prin inducţie că fcbazyx

f tsrtsr

n

=∂∂∂

∂ , unde ntsr =++ şi că

( ) fdzcdybdxafd nn ⋅++= .

Test de autoevaluare 12.2

1. Completaţi spaţiul liber: 22

22

2

22 ....... yd

yfdx

xffd ⋅

∂∂

++⋅∂∂

=

2. Să se calculeze ),(2 yxfd în cazul funcţiei:

235),( 32 −+−= yexyxf xy .

De reţinut! • Derivatele parţiale de ordin superior • Diferenţiala de ordin superior



Lucrare de verificare la Unitatea de învăţare nr. 12 1. Să se calculeze derivata de ordin n ( *Nn∈ ) a funcţiei:

( ) xexxf −−= 1)( 2. Să se calculeze derivatele parţiale de ordin n pentru funcţia :

( ) Ryxeyxyxf yx ∈+= + ,,),( 22 3. Să se calculeze )2,3(2 fd în cazul funcţiei

1ln2),( 232

−+−= xyxyyxyxf .

Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Test de autoevaluare 12.1

1. 32

2)(''',)('',)('

+=

+−=

+=

baxaxf

baxaxf

baxaxf ,…,

( ) ( ) ( )n

nn

baxanxf

+−−= − !11)( 1

.

2. xf

∂∂

Test de autoevaluare 12.2

1. dydxyx

f∂∂

∂2

2

2. xyyexyxxf 310),( −=∂∂ ; 233),( yxeyx

yf xy +−=∂∂

xyeyyxx

f 22

2

310),( −=∂∂ ; yexyx

yf xy 63),( 22

2

+−=∂∂

xyxy xyeeyxyxf 33),(

2

−−=∂∂

∂

22

222

2

22 2 yd

yfdydx

yxfdx

xffd ⋅

∂∂

+∂∂

∂+⋅

∂∂

=



Recapitulare • ( ) 2

2''"

2xf

xf

xff xxx ∂

∂=

∂∂

∂∂

==

• ( )xy

fxf

yff yxyx ∂∂

∂=

∂∂

∂∂

==2

''"

• 22

222

2

22 2 yd

yfdydx

yxfdx

xffd ⋅

∂∂

+∂∂

∂+⋅

∂∂

=

Bibliografie 1. Constantinescu E, Deleanu D, Analiză matematică I. Note de seminar, Editura Crizon, Constanţa, 2007 2. Chiriţă S., Probleme de matematici superioare, Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1994. 3. Roşculeţ N.M., Culegere de probleme de analiză matematică, Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1988. 4. Roşculeţ N.M., Analiză matematică, vol I, II, Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1996.

unitatea 12_derivata si diferentiala de ordin superior

Documents