19041894 algebra liniara geometrie analitica geometrie diferentiala

7/21/2019 19041894 Algebra Liniara Geometrie Analitica Geometrie Diferentiala

1/395

UNIVERSITATEA TRANSILVANIA DIN BRAOVFACULTATEA DE CONSTRUCTII

SPECIALIZARI : CCIA , INST, DPCF

FACULTATEA INGINERIE ELECTRICA SI STIINTA

CALCULATOARELOR

SPECIALIZAREA : AUTOMATICA

PROF.UNIV.DR. ATANASIU GHEORGHE

ALGEBRLINIAR,GEOMETRIE ANALITIC

IGEOMETRIE DIFERENIAL

2007


2/395

PARTEA I: GEOMETRIE ANALITIC

Cuprins

Cap. 1 Noiuni preliminare............................................................1

Cap. 2 Spaii vectoriale................................................................17

Cap. 3 Spaii punctuale euclidiene..............................................48

Cap. 4 Geometria liniarn spaiu..............................................92

Cap. 5 Translaia i rotaia reperului cartezian.......................129

Cap. 6 Schimbri de repere n plan i spaiu............................134

Cap. 7 Conice...............................................................................138

Cap. 8 Cuadrice...........................................................................163

Cap. 9 Generri de suprafee.....................................................180


3/395

1

Capitolul 1

NOIUNI PRELIMINARE

n acest capitol se reamintesc noiuni de baz ca: mulimi, relaii binare,funcii, precum i elemente fundamentale ale algebrei liniare: matrice,determinani, sisteme liniare de ecuaii, predate n liceu.

Obiective operaionale:

1.1. Sstpneascoperaiile i relaiile binare pe acestea1.2. S-i reaminteascnoiunea de funcie i funciile elementare studiate1.3. Scunoascnoiunea de matrice i operaiile cu acestea1.4. Sreinproprietile determinanilor i calculul lor1.5. S fie capabil s rezolve sisteme liniare de ecuaii cu dou i treinecunoscute

Coninutul capitolului:

1.1 Mulimi, relaii binare i funcii1.2Matrice i determinani1.3 Sisteme liniare de ecuaii1.4 Legi de compoziie1.5 Bibliografie

1.1Mulimi, relaii binare i funcii

Mulimi

Prin mulime se nelege o colecie de obiecte care vor fi numiteelemente.Noiunea de mulime, ca orice noiune primar, nu se definete caalte noiuni prin genul proxim i diferena specific ci se caracterizeaznumind individual elementele sau specificnd o proprietate pe care o auelementele sale i nu o au alte obiecte.


4/395

2

Vom nota cu majusculeA , B, C,X, Y iar elementele mulimilor culitere mici a, b, c,x, y.

Pentru unele mulimi care vor fi des utilizate se folosesc notaiiconsacrate. Se noteaz cu N mulimea numerelor naturale, cu Z mulimeanumerelor ntregi, cu Q mulimea numerelor raionale, cu R mulimeanumerelor reale iar cu Cmulimea numerelor complexe.

Legtura dintre un element i mulimea din care face parte este datde relaia numitrelaia de apartenen. DacAeste o mulime i xunelement al su vom scriexAi vom citi xaparine luiA.

DacAiBsunt doumulimi, vom spune cAeste o submulime aluiBi vom scrieA B (A este inclusn B) dacorice element al mulimiiA este i element al mulimii B.

Simbolic scriemA B x, x Ax B.n teoria mulimilor admitem existena mulimii care nu are nici un

element, notat cu i numit mulimea vid. Mulimea vid este osubmulime a oricrei mulimi.

Doumulimi sunt egale,AiB, daci numai dacA BiB A.

Relaia de incluziune ne permite sdefinim clasa prilor uneimulimiX, notatcu P(X)i care are ca obiecte toate submulimile mulimiiX.

Definim n clasa prilorP(X),ale unei mulimiX, operaiile:

reuniunea a doumulimiAiBreprezintmulimea

A B= {x / xA sauxB}

interseciaa doumulimiAiBreprezintmulimea

A B= {x / xA sauxB}

Doumulimi se numesc disjuncte dacA B =

diferena mulimilorB iAnseamnmulimea

B \A= {x / xB saux A}

DacA BatunciB \Ase numeste complementaraluiA n raportcu Bi se noteazcu CBA. n clasa prilor P(X)ale mulimii X,notm cu

A = CXA, complementara lui A n raport cu X, i o vom numi simplucomplementara luiA.Este simplu de dovedit cdacA, B P(X)atunciB \A = B A .

produsul cartezianal mulimilorAiBnseamnmulimea

AB = {(a,b)/aA i bB}


5/395

3

Un element (a,b) ABse numetepereche ordonat.Douperechi ordonate (a1,a2) i (b1,b2) sunt egale daci numai daca1 =b1i a2 =b2.

n mod analog se pot defini operaiile de reuniune, intersecie iprodus scalar pentru trei sau mai multe mulimi.

Prin produsul cartezian al mulimilor X1, X2,, Xn, nelegem

mulimea sistemelor ordonate (x1,x2,, xn) cux1X1,i = n,1 , adic

X1 X2 Xn= {(x1,x2,, xn) /xiXI, ,i = n,1 , }

Un element al acestui produs cartezian l vom numi n - upl.Doun uple (x1,x2,, xn) i (y1,y2,, yn) sunt egale daci numai dacx1 =y1,x2 =y2,, xn =yn.

DacX1 = X, ,i = n,1 atunci vom folosi notaiaX X X = X.Numimpartiiepe mulimeaXo familie da pri ale lui X, disjuncte

doucte doui a cror reuniune este egalcuX.

Relaii

FieAiBdoumulimi nevide.O coresponden ntre elementele celor dou mulimi se numete

relaie binar.DacaA i bBi notm cu Rrelaia ntreAiB, atuncivom citi a este n relaia R cu b i vom nota cu aRb. Mulimea A senumete mulime de plecare iarBmulimea de sosire. Cele doumulimi nuau un rol simetric, motiv pentru care vom gndi elementele ce sunt n relaiaRca pe nite perechi ordonate. Astfel, o relaie binaro putem defini ca o

submulime G a produsului cartezian AB. O relaieR

ntre elementelemulimilorAi Bva fi datprin tripletul R= (G:A,B),unde GA Bva finumit graful relaiei R iar A i B sunt mulimea de plecare respectivmulimea de sosire.

DacB = A, relaia binarR se numete simplu relaie binar pemulimeaA.O relaie binarpe o mulime se noteazde regulcu

R, ,,etc.

1.1.1 Definiie. O relaie binar pe A se numete relaie deechivalendaca, b, cA, urmtoarele condiii sunt verificate:

1) a a - reflexivitatea

2) a b b a - simetria3) a bi b c a c - tranzitivitatea.

Dac o relaie de echivalen pe A, atunci pentru orice a Adefinim mulimea

={bA / b a}numit clasa de echivalen n raport cu relaia a elementului a. Unelement al unei clase de echivalene va fi numit reprezentantal acestei clase.


6/395

4

1.1.2 Teorem. Dac A este o mulime nevidi este o relaie de

echivalenpe mulimea A, atunci:1)a A ( a )2) =b,a b3) daci b sunt douclase de echivalenatunci

= b sau b = 4) reuniunea claselor de echivaleneste egalcu A.

Mulimea claselor de echivalendeterminate de relaia pe AsenoteazcuA/i se numete mulimea cta luiAn raport cu relaia .

n baza teoremei 1.2 rezultco relaie de echivalendeterminopartiie peAi reciproc. O partiie pe mulimeaAeste definitde clasele deechivalen. Reciproc, o partiie a mulimii A determin o relaie deechivalenpeA; douelemente dinA se gsesc n relaie dacele aparin laaceeai submulime a partiiei.

Exemple

1o Relaia de paralelism n mulimea dreptelor din spaiu este o

relaie de echivalen. Dou drepte d1 i d2 din spaiu spunem c suntparalele dac exist un plan ce le conine i care satisfac una dinproprietile:d1d2= sau d1= d2. Putem constata uor crelaia de paralelism astfeldefiniteste o relaie de echivalen.

Clasa de echivalen a unei drepte d este format din mulimeatuturor dreptelor paralele cu d. Aceast clas de echivalen se numetedirecia determinatde dreapta dn spaiul considerat.

2oNumere cardinale. DoumulimiAiBse zic cardinal echivalentesau echivalente dac exist o bijecie de la A la B. Aceast relaie este orelaie de echivalen n clasa tuturor mulimilor. Clasele de echivalen senumescnumere cardinale.Vom nota cardinalul mulimiiAcu cardA. DacNeste mulimea numerelor naturale vom nota cardinalul acesteia cu 0(alefzero). Orice mulime cardinal echivalentcu Nse numete numrabil.

DacA iBsunt doumulimi, card A = mi cardB = n, atunci card(AB ) = m n.

1.1.3 Teorem. O relaie binarpe mulimea A, notatcu , se numete

relaie de ordine daca,b,5A, sunt satisfcute urmtoarele proprieti:1) a a - reflexivitatea2) a b i b a a = b - antisimetria3) a b i b c a c - tranzitivitatea.

O mulimeApe care s-a definit o relaie de ordine se numetemulime ordonat i o vom nota prin (A, ).

Dacpentru orice a,b 5Aavem a b saub a, atunci mulimea


7/395

5

(A, ) se numetetotal ordonatsaulan.ntr-o mulime ordonat (A, ) un element a 5 A se numete prim

element (respectiv ultim element)al luiAdaca x (respectivx a)oricarear fix 5A.

Elementul a 5Ase zice maximal(respectiv minimal)dacdin a x(respectivx a) rezultx = a.

DacB A , un element a 5 A se zice majorant (respectivminorant)al luiBdacx a (respectiv a x) oricare ar fix 5B.Un element a 5Ase numete supremum (respectiv infimum) pentru

mulimeaB,dacx apentru x Bi dacx a , x Batuncia a (daca x pentru x Bi daca x, x Batunci a a).Elementul a 5A (dacexist) se noteazcusup (B) (respectiv inf (B)).

O mulime total ordonat (A, ) se zice inductiv dac oricesubmulime a sa are un majorant.

n teoria mulimilor se demonstreaz c urmtoarele afirmaii suntechivalente:

1o Axioma alegerii. Dac A1,A2,,An este o familie de mulimi

nevide atunciA1A2An .2o Lema lui Zorn. O mulime inductiv nevid are cel puin un

majorant.O mulime ordonat (A, ) se zice bine ordonat, dac orice submulimenevida sa are un prim element.

3oTeorema lui Zermelo. DacAeste o mulime nevid, atunci existo relaie de ordine , astfel nct (A, ) este o mulime bine ordonat.

Funcii

O relaie binarparticularo reprezintnoiunea de funcie.Fie doumulimi oarecareEiF.

1.1.4 Teorem. Se numete funciesau aplicaie definitpe E cu valori nF, o coresponden f prin care fiecrui element x E i se asociaz unsingur elementy F.

Proprietatea relaiei binaref, ce definete o funcie peEcu valori nF, se numeteunivocitate, adicx1,x2E, x1= x2f(x1) = f(x2).

Prin funcie se nelege deci, ansamblul format din mulimea deplecare F numit domeniu de definiie, mulimea de sosire F numitmulimea n care funcia ia valori i legea de coresponden f. Elementul

yFcare corespunde prinfelementuluixEse noteazprin

y = f(x) sauxyElementulxEva fi numit variabilindependent sau argument iary = f(x) F se numete imaginea luixprinf.

Vom folosi notaia f : E F, y = f(x).Notm cu F: ( E: F) mulimea tuturor funciilor definite pe E cu

valori nF. DacE = F,vom nota mulimea funciilor de laElaFprin


8/395

6

F(E).Doufuncii f1,f2 F(E, F)sunt egale,f1 = f2, daci numai dac

f1(x) = f2(x), xE.Graful corespondenei univocef, notat cu

Gf = {(x,f (x)) / xE }E F.Dou funcii f1 i f2 sunt egale dac submulimile produsului

cartezianE F, 1fG i 2fG sunt egale.O funcief : E F se numete injectiv dac

x1,x2E, x1 x2f(x1) f(x2)Funciaf : E Fse numete surjectivdac

yF, 0x E astfel nct y = f(x)Mulimeaf(E) se numete imaginea funcieifi se noteazcu

Imf = {yF/ 0x E astfel nct y= f(x)}Funciaf : E F este surjectivdaci numai dacf(E) = F. Oricrei

aplicaii f : E F i se poate asocia aplicaia surjectivf : E f(E) avndacela

i grafic.

Funcia f : E F se numete bijectiv dacf este injectiv isurjectiv.

Doumulimi sunt n corespondenbiunivocdacexisto aplicaiebijectivf : E F.

Sconsiderm funciilef : E Fig : F G. Funcia (g of ):EFdefinitprin relaia (g of )(x) = : g(f(x)) se numete compunerea funciilorfig.

Funcia 1EF(E) definit prin relaia 1E(x) = x, x E se numetefuncia identic a mulimii E. Graficul acestei funcii reprezint diagonalaprodusului cartezianEE.

O funcief:EFse numete inversabil dacexisto funcief 1:FE numitinversafuncieif,care satisface condiiile f 1of = 1E if of

-1= 1E.O funcie f : E F este inversabil dac i numai dacf este

bijectiv.Dacy = f(x)F,atuncix = f 1(y)Eeste numit imaginea invers

sau contraimaginea luiy.O funcie punctualf :E F nu admite ntotdeauna invers, dar

gndit ca o aplicaie de mulime are sens s vorbim de imaginea invers(reciproc) a unei submulimiFF n raport cuf,adic

f 1(F)= {x E / f (x) = y F}

O funcief :E Feste injectivdaci numai dacyF, mulimeaf 1({y}) conine cel mult un element.

1.2 Matrice i determinani


9/395

7

FieM ={1,2,,m}iN = {1,2,,n}doumulimi finite iXun inelcu unitate.1.2.1 Definiie. O aplicaie A : M N X, A (i,j) = aij X se numetematrice de tipul m n cu elemente din inelul X.

Valorile A(i,j) = aijse numesc elementele matricei A: M N X i nmod tradiional mulimeaIm A,organizatntr-un tabel dreptunghiular cu m

linii i n coloane, notat cu A, va fi numitmatrice dreptunghiular.

A =

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

,.....,,

.......................

,......,,

,......,,

21

22221

11211

Pe scurt, matriceaAva fi notatcuA = (aij), .,1,,1 njmi == O matrice cu o singurlinie sau coloanse va numi matrice linierespectivmatrice coloan sau vector.

Schimbarea liniilor n coloane n matricea A se numete

transpunerea lui A, iar matricea care se obine se noteaz cu A'

i senumete transpusa matriceiA.

Dacm = n, matricea Ava fi numitmatrice ptratic, iar nva finumit ordinul matricei.

n cele ce urmeaz, elementele matricelor folosite vor fi consideratedin corpul numerelor reale R sau complexe C, notat cu K. Mulimeamatricelor de tipul mncu elemente dinKva fi notatcuMmn(K).

Definim pe mulimeaMmn(K) operaiile de adunare a doumatricei produsul unei matrice cu un scalar.

DacA = (aij) i B = (bij) sunt dou matrice de tipul m n atunci

matriceaA+B =:(aij+ bij) este numitsumamatricelorAiB. Proprietileoperaiei de adunare a doumatrice rezultdin proprietile pe care le aresuma din corpulK.Matricea cu toate elementele nule va fi notatcu Oi ovom numi matricea zero,iar matricea A =: (-aij) va fi opusluiA.

DacKiA= (aij) Mmn(K),atunci matricea

A= :(aij)definete produsul matriceiAcu scalarul .

DacAMmn(K) iBMnp(K) atunci matricea de tipul mpdatde

AB =:

=

n

jjkijba

1

Va fi numitprodusul matriceiAcu matriceaB.

Sconsiderm mulimea matricelor ptratice de ordinul n, notatcu


10/395

8

Mn(K) . n mulimeaMn(K) produsul a doumatrice nu este comutativ. DacmatriceleA,BMn(K) satisfac proprietatea A B = B Aacestea vor fi numitecomutabile.

O matrice ptraticA cu proprietatea A = A(A = -A) se numetesimetric( antisimetric). Orice matrice ptraticpoate fi scrisn mod unic

ca suma dintre o matrice simetrici o matrice antisimetric.O matrice ptratic cu toate elementele situate dedesubtul sau

deasupra diagonalei principale nule se numete matrice triunghiular.

O matrice ptraticA = (aij) pentru care : kastfel nct akk 0i

i j, aij = 0,se numete matrice diagonal.

Matricea diagonaln care aij = 1, i = n,1 se numete matrice unitatede ordinul ni se noteazcuIn.

O matrice ptraticcu proprietatea AA = AA = Ise numete matriceortogonal.

DacAeste o matrice ptratic, atunci pot fi definite inductiv puterileluiA:

A= 1, An= AAn-1, n N*

Fie polinomul f(x)=aoxp+ a1x

p-1++ ap-1x +ap cu coeficienii dincmpulK.

Numimpolinom de matrice,matricea

f(A) = aoAp+a1A

p-1++ap-1A+apIn

undeAMn(K) iIneste matricea unitate de ordinul n.

1.2.2 Definiie.Se numete determinantulmatricei ptratice AMn(K)

elementul detAK dat de

detA =

nSp

naaa ,....,,)2()1(

21

unde Sneste grupul permutrilor de ordinul n, iar 1=

reprezintsignatura permutrii nS .


11/395

9

De cum este definit determinantul unei matrice ptratice A rezultcdet(A) = detA,motiv pentru care orice proprietate referitoare la liniile unuideterminant este adevrat i pentru coloane. S enunm principaleleproprieti ale determinanilor:

-dac elementele unei linii sunt reprezentate ca sume de cte doitermeni, atunci determinantul se descompune ntr-o sumde doi determinani.

-dac elementele unei linii se multiplic cu un numr t , atuncideterminantul se multipliccu t. n general det(tA) = tdet A.

-dac ntr-un determinant se schimb dou linii ntre ele, atunci seschimbi semnul determinantului.

-valoarea unui determinant nu se schimbdacla elementele unei liniiadugm o combinaie liniarformatcu elementele celorlalte linii.

Dac aij este un element al matricei A, notm cu ij determinantulobinut prin suprimarea liniei ii a coloanei j, numit minorulelementului aij,iar cu ij= (-1)

i+jijcomplementul algebrical acestui element.

Calculul determinantului matricei A, folosind teorema de dezvoltare

duplinia i, i = n,1 , este dat de formula

DetA = ikn

kika

=1

,

Matricele ptraticeAMn(K)pentru care detA 0se numesc matrice

nesingulare.MatriceaA-1cu proprietileAA-1 = A-1A = Ise numete inversamatriceiA. MatriceaAeste inversabildaci numai dacAeste nesingular.Inversa matriceiAse poate determina astfel: se calculeazdetA 0,se aflreciprocaA*prin nlocuirea elementelor matricei Acu complemenii algebricicorespunztori dupcare obinem

A-1= *det

1A

A

ntruct, n general, produsul a doumatrice nu este comutativ, avem(AB) 1 =B-1A-1.

Mulimea matricelor de ordinul nnesingulare mpreuncu operaia de

nmulire a doumatrice formeazun grup numitgrupul liniar general deordinul n,notat cu GL (n;K).

Grupul liniar general GL (n;K)conine cteva subgrupuri remarcabile:GO (n;K) = {AGL(n;K)/A = A-1}

numit grupul ortogonal de ordinulnSO (n;K) = {AGL(n;K)/A = A-1i detA = 1}

numit grupul ortogonal special de ordinuln.


12/395

10

1.3 Sisteme de ecuaii liniare

Fie sistemul de mecuaii cu nnecunoscute

Sistemul (3.1) poate fi scris condensat sub forma:

Dac notm cu A = (aij), matricea de tipul m n, matriceacoeficienilor necunoscutelor sistemuluiX = (x1,x2,,xn)iB = (b1,b2,,bm),sistemul (3.1) se scrie n mod echivalent sub forma matriceal:

AX = B (3.1)

Prin soluie a sistemului (3.1) nelegem n-upla (x1,x2,,xn ) caresatisface simultan toate ecuaiile sistemului.

Ordinul maxim al deteminanilor cu elemente dinA, nenuli este numitrangul matricei A, iar un astfel de determinant este numit determinantprincipal.Ecuaiile ce conin elemente din determinantul principal se numescecuaii principale iar celelalte se numesc ecuaii secundare. Analog vom numinecunoscute principale, respectiv necunoscute secundare.

Se numete determinant caracteristic, determinantul obinut prinbordarea determinantului principal cu coeficienii corespunztori dintr-oecuaie secundar i coloana termenilor liberi, respectiv necunoscutesecundare.

1.3.1 Teorem. (Rouche) Un sistem de ecuaii liniare este compatibil dacinumai dactoi determinanii sunt nuli.

n cazul n care rangul matricei A, r = rang A, este egal cu numrulecuaiilor, convenim cteorema lui Rouche este satisfcut.

Un sistem compatibil admite soluiile unic (este determinat ) dactoate necunoscutele sunt principale, r = n. n caz contrar sistemul admite oinfinitate de soluii (este nedeterminat), r < n.

Dacr = m = nsistemul (3.1) este numit sistem Cramer, caz n care

componentele soluiei sunt date de nix

x ii ,1, ==

= .

Sistemul (3.1) n care bi=0, i = n,1 se numete sistem omogen. Unsistem omogen este ntotdeauna compatibil, admind cel puin soluia banal

=+++

=+++

=+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

.............................................

...

...

2211

22222221

11212111

( )1.3

,1

=

=n

jijij bxa mj1

( )'1.3


13/395

11

(0,0,..,0). Pentru ca un sistem de ecuaii liniare i omogene sadmiti soluiidiferite de soluia banalimpunem condiia r < n.

1.4 Legi de compoziie

FieXo mulime nevid.1.4.1 Definiie Se numete lege de compoziie internpe X (sau operaiealgebric) o aplicaie * a produsului cartezian XX cu valori n X.

Legea de compoziie intern* asociazoricrei perechi (x,y)XXun elementz = x * y X,numit compusul luixcuy.

Exemple

1oPe mulimea numerelor complexeCi pe orice submulime

a sa se definete legea de compoziie intern+ : C C C, (z1,z2)az =z1 + z2 numitsuma a dounumere complexe.2

on clasaP(X) a prilor unei mulimiXoperaia de

intersecie a doumulimi definete peP(X)o lege de compoziieintern.

Fie YXo submulime nevidi * o lege de compoziie internpeX, atunci mulimea Yse numeteparte stabiln raport cu operaia * dacx, y Yavemx * y Y.DacY Xeste parte stabiln raport cu operaia * definit pe X, atunci restricia aplicaiei * la mulimea Y Y senumete lege de compoziie indus de * pe Y.

n cele ce urmeazvom prezenta cteva proprieti, notate cu I ,ale

operaiiilor algebrice cu ajutorul crora se definesc structurile algebricefundamentale.

Ia) asociativitatea

x, y, zX, x* (y * z) = (x * y) * z

Ib) elementul neutru

x X, eXastfel nctx * e = e * x = x

Dac legea de compoziie este de tip aditiv, elementul neutru e senumete elementul nuli va fi notat cu 0 (zero) , iar n cazul unei legi de tipmultiplicativ eeste numit element unitatei va fi notat cu 1 (unu).

Ic) elementul simetric

dacxX, xXastfel nctx * x = x * x = e


14/395

12

Daclegea de compoziie este de tip aditiv, elementul simetricxva finumit opusulluixi va fi notat cu x,iar daclegea de compoziie este de tipmultiplicativ atuncixva fi numit inversulluixi va fi notat cux-1.

Dac o lege de compoziie intern pe X este asociativ i admiteelement neutru, atunci orice element are cel mult un simetric. n adevr, dacxar admite douelemente simetricexixatunci

x = x* e = x * (x*x) = (x * x)* x= e * x= xId) comutativitatea

x, yXavemx * y = y * xDacpe mulimeaXsunt definite doulegi de compoziie notate cu* i respectiv oproprietatea

(D) x, y, zX, x*(yoz) = (x * y)o (x * z)va fi numit distributivitatealegii * fade legea o.

1.4.2 Definiie. O submulime X mpreun cu o lege de compoziie

internasociativse numete monoidsau semigrup.

Dac n plus operaia algebric * are element neutru ( estecomutativ) se spune c (X,*) este un monoidcu unitatesau unitar(monoidcomutativ sau abelian).

1.4.3 Definiie. O mulime G mpreuncu o lege de compoziie intern* asociativcu element neutru i care are proprietatea corice elementdin G este inversabil se numetegrup.

n plus daclegea de compoziie interneste comutativatunci (G,*)

se numete grup abelian.Vom spune coperaia * definitpe mulimea G cu proprietile

enunate determinpe G o structurde grup, iar proprietileIa,Ib,Ic(Icsatisfcutpentru x X) vor fi numite axiomele structurii de grup. Dacoperaia * este adunarea (nmulirea) atunci grupul se numetegrup aditiv( multiplicativ).

ntr-un grup (G,*) ecuaiile: a * x = b i x * a = b au soluii unice.

Exemple

1 Mulimea numerelor ntregiZmpreuncu operaia de adunare este

un grup abelian. n schimb mulimea Z nzestratcu operaia de nmulire nueste grup, singurele elemente inversabile sunt 1 i 1.

2 ntr-un semigrup cu unitate, submulimea elementelor inversabileformeazmpreuncu operaia induso structurde grup.

1.4.4 Definiie. Submulimea HG a grupului (G.*) se numete subgrup algrupului G daclegea de compoziie interninduce pe H o structurde grup,adic(H,*) este grup.


15/395

13

1.4.5 Propoziie. Dac (G.*) este un grup i H G o submulime, atunciurmtoarele afirmaii sunt echivalente:

1) H este un subgrup al lui G2) x,yH x * yH i xH xH

1.4.6 Definiie. Douelemente x, yH se zic echivalente la dreapta moduloH, x y, dacy-1xH.

Relaia este o relaie de echivalenpe H. Mulimea claselor deechivalen la dreapta se numete mulimea factor i se noteaz cu G/H.Analog se pot defini i clasele de echivalenla stnga. DacGeste un grupcomutativ atunci o clasde echivalenla stnga este clasde echivalenladreapta i reciproc.

1.4.7 Definiie. Un subgrup H al grupului (G.*) se numete divizor normal(subgrup normal) dacx h x-1H pentru xG i h H.

ntr-un grup abelian orice subgrup este un divizor normal.

1.4.8 Propoziie. DacH este un divizor normal al grupului (G, ) atunciclasele de echivalenla dreapta coincid cu clasele de echivalenla stngai n plus mulimea G/H poate fi nzestrat cu o structur de grup numitgrupul factor.

1.4.9 Definiie. Fie grupurile (G,*) i (G,o). O aplicaie f : G Gsenumete morfism (homomorfism sau omomorfism) de grupuri dac estesatisfcutrelaia:

f(x * y)= f(x)of(y), x,yG

Dacaplicaiafeste bijectiv( injectiv, surjectiv) atunci morfismulfva fi numit izomorfism (monomorfism, epimorfism).

n cazul n care G = G, morfismul (izomorfismul) de grupurif : GG este numit endomorfism (automorfism).

1.4.10 Definiie.O mulime nevidA, mpreun cu dou legi de compoziieinterne, dintre care una se noteaz de obicei aditiv +, iar cealaltmultiplicativ , se numete ineldacsunt ndeplinite condiiile:

1 (A,+) este grup abelian

2 (A, ) este semigrup

3 operaia de nmulire este distributivfade adunare:

x(y + z) = xy + xz, x,y,zA.

Dac(A,+,) este un inel pentru care nmulirea este comutativatunci(A,+,) va fi numit inel comutativ.


16/395

14

Dac (A,+,) este un inel n care nmulirea admite element neutru,atunci (A,+,) se va numit inel cu unitate sau inel unitar.

1.4.11 Definiie. Un inel unitar (K,+,) n care orice element nenul esteinversabil se numete corp.

Un corp n care nmulirea este comutativva fi numit corp comutativsau cmp.

1.4.12 Definiie.O aplicaie f : K L undeKiLsunt doucorpuri (inele),se numete morfism de corpuri (inele) dacsunt satisfcute proprietile:

1) f(x+y) = f(x)+f(y),x,y K2) f(xy) = f(x) f(y),x,y K

Dacn plus,feste bijectivatuncifse numete izomorfism de corpuri(inele).

Exemple

1 Mulimea (Z,+,) formeaz un inel cu unitate numit inelul

ntregilor.

2 Mulimea M(m;A), a matricelor ptratice de ordinul m cuelemente din inelul A,mpreuncu operaiile de adunare i nmulire a doumatrice, formeazo structurde inel unitar.

3 Mulimea numerelor reale Rdotatcu operaiile de adunare

i nmulire formeazun corp comutativ.

Fie X i doumulimi nevide oarecare

1.4.13 Definiie.Se numete lege de compoziie externpe X cu operatori dino aplicaie f : XX care asociazoricrei perechi ordonate (a,x)X,un element z = : ax X.

De exemplu dacA = (aij) Mnm(K) este o matrice de tip nmcuelemente din corpul K, iar ca mulime de operatori scalari considermmulimea numerelor reale R,atunci produsul unei matrice cu un numr real,A = : (aij),definete o lege de compoziie externpe muimeaMnm(K).


17/395

15

Dac mulimile X i A sunt nzestrate cu operaii algebrice interneatunci pe mulimeaXpot fi definite alte tipuri de structuri.

1.4.14 Definiie.Fie A un inel unitar. Se numete A modul de stnga ( saumodul la stnga peste A) o mulime nevid X pentru care sunt ndeplinitecondiiile:

I. (X, +) este o structurde grup abelianII. legea de compoziie extern: AX X satisface axiomele:

a) (x + y) = x + yb) (+) x = x +xc) (x) = () xd) 1 x = x, pentru ,A i x,yX.

Observaii

1 Noiunea de A modul la dreapta se definete n mod similar,

considernd aplicaia : AX X, (x,a) x a.

2 Dac inelul A este comutativ, atunci orice A modul la stnga

este un A modul la dreapta, i reciproc.

3 DacA este un corp comutativ (cmp) atunci (X, +, ) se numete

spaiu vectorial.Aceatstructurva fi studiatn capitolul urmtor.

Structurile algebrice definite anterior pot fi prezentate schematic nmodelul urmtor, unde * (+ sau ) desemneaz o lege de compoziieintern pe X ce satisface una sau mai multe proprieti din grupa I, iar definete o lege de compoziie externce satisface grupa aII a de axiome.


18/395

16

Un model similar poate fi construit pentru substructuri.

1.5 BIBLIOGRAFIE

1.5.1Nstsescu C. i colectiv: Exerciii i probleme de algebrpentru claseleIX-XII,E.D.P., Bucureti, 1991.

1.5.2 Nstsescu C., Ni C., Stnescu I., Elemente de algebr superioar,Manual pentru clasa a XI-a, E.D.P., Bucureti, 1984.

1.5.3Nstsescu C., NiC., Brandiburu M., Joia D., Algebr, Culegere deprobleme pentru liceu , clasele IX-XII, Ed. Rotech. Pro 1997.

1.5.4 Petric I., Lazr I., Probleme de Algebrpentru liceu, vol.III ( claseleXI-XII), Ed. Petrion, 1997.

A- cmp

(X,*)


19/395

17

Capitolul 2

SPAII VECTORIALE

Acest capitol este dedicat prezentrii noiunii de spaiu vectorial istudierii subspaiilor sale vectoriale. Submulimile de vectori liniarindependeni i liniar dependeni permit definirea noiunilor de bazidimensiuneale unui spaiu vectorial. n final, sunt prezentate spaiilevectoriale euclidiene, adicacele spaii vectoriale pe care s-a definit unprodus scalar, ceea ce permite concretizarea noiunilor de lungime a unuivector, unghiul a doi vectori, ortogonalitate, .a.

Obiective operaionale:2.1.Sprezinte, exemplificnd, noiunea de spaiu vectorial2.2.Sfie capabil sdecidcnd o submulime nevida unui spaiuvectorial este un subspaiu vectorial al acestuia2.3. Sreinnoiunile de bazi dimensiune2.4.Svizualizeze spaiile vectoriale n-dimensionale pentru n=1,2,3 i sexemplifice abstractizarea lor.

Coninutul capitolului:

2.1Spaiu vectorial:definiie i exemple2.2 Subspaii vectoriale2.3Bazi dimensiune2.4Spaii vectoriale euclidiene2.5Probleme rezolvate2.6Teme de rezolvat pentru evaluare

2.7Bibliografie


20/395

18

2.1. Spaiu vectorial: definiie i exemple

Noiunea de spaiu vectorial constituie obiectul de studiu al algebreiliniare i reprezint una dintre cele mai importante structuri algebriceutilizatn diferite ramuri ale matematicii precum i n disciplinele aplicate.

1.1 Definiie. O mulime nevid V se numete spaiu vectorial (liniar)peste cmpul K (pe scurt K-spaiu vectorial) dac suntindeplinite urmtoarele condiii:

I. (V, +) formeazo structurde grup abelian (de tip aditiv), adic

a) (x+y)+z = x+(y+z) , x, y, z Vb) V 0 astfel nct Vx , x + 0= 0+ xc) Vx , Vx , x + (-x) = (-x)+ x = 0d) Vx, y , xyyx +=+

II. Legea de compoziie extern : K V, (, x) = x, satisfaceaxiomele:

a) (x + y)= x + yb) (+)x = x +xc) (x)= ()xd) 1 x = x, ,K, x, y V.

Condiiile I i II reprezintaxiomele spaiului vectorial peste cmpulK.Elementele mulimii V se numesc vectori, elementele cmpului K

se numescscalari, iar legea de compoziie externse numete nmulirea cu

scalari.Dac corpul comutativ K este corpul numerelor reale R sau

complexe C, vom vorbi atunci despre un spaiu vectorial real, respectivspaiu vectorial complex.

n majoritatea cazurilor vom ntlni spaii vectoriale peste corpulnumerelor reale i le vom numi simplu "spaii vectoriale", iar n celelaltecazuri vom indica cmpul scalarilor.

Dacnotm cu 0Vvectorul nul al grupului aditiv Vi cu 0Kscalarulnul, atunci din axiomele care definesc spaiul vectorial V peste cmpul Kavem urmtoarele proprieti:

2.1.2 Corolar Dac V este un spaiu vectorial peste cmpul K, atuncipentru, xV, Kau loc proprietile:1)0Kx = 0V2)0V= 0V3)(-1)x= -x .


21/395

19

Demonstraie:1) Folosind axiomele IIb i IIdavem 0Kx = (0K+ 0K)x = = 0Kx + 0Kx 0Kx = 0V .2) innd cont de Ibi IIa, 0V= (0V+ 0V) = 0V+ 0V din care obinem

VV 00 = .3) din axiomele grupului aditiv ale cmpului K, consecina 1) i axioma Ic

avem x+ (-1)x= [1 + (-1)]x= 0Kx= 0V de unde obinem (-1)x= -x.

Exemple1 Fie K un corp comutativ. innd cont de structura aditiv

abeliana cmpului K, atunci mulimea K reprezintun K-spaiu vectorial.Mai mult dacK'Keste un subcorp, atunci Keste un K'-spaiu vectorial.Mulimea numerelor complexe Cpoate fi privitca un C-spaiu vectorial sauR-spaiu vectorial respectiv Q-spaiu vectorial.

2 MulimeaKn= KK K, unde Keste un corp comutativ,este un K-spaiu vectorial, numit spaiul aritmetic (standard),n raport cu

operaiile : x,y V ,K ,x= (x1, x2,..,xn), y = (y1, y2,..,yn)),...,,(: 2211 nn yxyxyxyx +++=+

),...,,(: 21 nxxxx =

3 Mulimea matricelor Mmn(K), este unK-spaiu vectorial n raportcu operaiile:

)(: ijij baBA +=+

)(: ijaA = , A = (aij), B = (bij) Mmn(K), K.

4 Mulimea K[X] a polinoamelor cu coeficieni din cmpul Kesteun K-spaiu vectorial n raport cu operaiile:,...),(: 1100 babagf ++=+ , ,...),(: 10 aaf = ,

f = (a0, a1,..), g = (b1, b2,..)K[X], K.

5 Mulimea soluiilor unui sistem de ecuaii liniare i omogeneformeazun spaiu vectorial peste cmpulKal coeficienilor acestui sistem.Soluiile unui sistem de mecuaii cu nnecunoscute, privite ca elemente dinK

n(n-uple), pot fi nsumate i nmulite cu un scalar respectnd adunarea iprodusul cu scalari definite peKn.

6 Mulimea vectorilor liberi V3 din spaiul punctual al geometrieielementare este unR-spaiu vectorialPentru a construi aceastmulime sconsiderm spaiul geometricE3

i mulimeaM=E3E3= {(A, B)/A, BE3}. Elementele mulimiiMsunt

numite bipunctesausegmente orientate i vor fi notate prin AB . PunctulA

va fi numit originea iarBva fi numit extremitatea segmentului AB . n cazuln care originea i extremitatea coincid se obine segmentul nul (A, A).


22/395

20

Dreapta determinat de punctele A i B se numete dreapta suport a

segmentuluiAB . Dousegmente orientate au aceeai direcie dacdreptelesuport sunt paralele sau coincid.

Dou segmente orientate nenule AB i CD cu aceeai direcie, auacelai sens dacextremitile lor se afl n acelai semiplan determinat dedreapta ce unete originile celor dousegmente,

Fig.1

Lungimea (modulul sau norma) unui segment orientat AB sedefinete ca fiind lungimea geometrica segmentului neorientat [AB], adic

distana de la punctul A la punctulBi va fi notatcu |AB | (||AB ||).Segmentul nul are lungimea zero .Pe mulimeaMintroducem relaia de echipolen"~".

Dousegmente orientateAB i CD se zic echipolentedacacesteaau aceeai direcie ,acelai sens i aceeai lungime, (fig.2) :

fig.2Se verificuor c relaia de echipoleneste o relaie de

echivalen pe mulimea M ( este reflexiv, simetrici tranzitiv).Mulimea claselor de echivalen, n raport cu aceastrelaie:

M/~= {( BA ) | A,B E3} = V3definete mulimea vectorilor liberi ai spaiului geometric E3. Clasa de

echivalen a segmentului orientat AB va fi notat cu vAB= i va fi

numit vector liber iar segmentul orientat AB B va fi numitreprezentantul vectorului liber v n punctul A. Direcia, sensul i lungimeacare sunt comune tuturor elementelor unei clase de echivalen definesc

direcia, sensul i lungimea vectorului liber. Pentru lungimea unui vectorliber vom folosi notaiile | v | sau || v ||. Vectorul liber de lungimea zero senumete vectorul nuli se noteazcu 0 . Un vector liber de lungime unu senumete vector unitatesau versor.

Doi vectori liber u i v sunt egali vu= dac reprezentanii lorsunt dousegmente orientate echipolente.

A

C

D

B

CA


23/395

21

Doi vectori liberi care au aceeai direcie se numesc vectoricoliniari. Doi vectori coliniari cu aceeai lungime i de sensuri opuse senumesc vectori opui.

Trei vectori liberi se numesc coplanari dacsegmentele orientatecorespunztoare sunt paralele cu un plan.

Mulimea V3 poate fi organizatca un grup aditiv abelian.

Dac vectorii liberi u i v sunt reprezentai de segmenteleorientate ABi respectiv AC, atunci vectorul reprezentat de segmentul

orientat AD definete suma vectorilor u i v i se noteaz cu vuw += (fig. 3)

fig.3

Regula ce definete suma a doi vectori liberi u i v este numitregula paralelogramelor (sau regula triunghiului).

Suma a doi vectori liberi +: V3 V3V3, vuvu +a),( este o

lege de compoziie intern bine definit (nu depinde de alegereareprezentanilor). Axiomele de grup aditiv abelian sunt uor de verificat.

Legea de compoziie extern

:K V3V3, vv =),(

unde vectorul v este caracterizat de aceeai direcie cu v , acelai sensdac 0> , sens opus dac 0


24/395

22

2.2 Teorem. Dac U este o submulime a K-spaiului vectorial V,

atunci urmtoarele afirmaii sunt echivalente:

1 Ueste subspaiu vectorial n V2 x, yU, K avem

a) x + yUb) xU3 x, yU, ,U x +y U.

Demonstraie1 2: dac U V este un subspaiu rezult c pentru

UyxUyx + , i pentru Ux i UxK ,ntruct cele dou operaii induc pe submulimea U o structur de spaiuvectorial.

2 3: UxKUyxb

,,, i UyxUya

+ .

3 1: Ux, y i pentru = 1, = -1rezultcx - y Uceea ce demonstreaz c U V este un subgrup abelian. Pe de alt partepentru Ux, y , K i Ux = 0 iar axiomele II dindefiniia unui spaiu vectorial se verific imediat, deci submulimea UVposedo structurde spaiu vectorial.

Exemple

1 Mulimea{0} Veste subspaiu n V, numit subspaiul nulallui V. Orice subspaiu diferit de spaiul vectorial Vi de subspaiul nul {0}se numetesubspaiu propriu.

2 Mulimea matricelor simetrice (antisimetrice) de ordinul nesteun subspaiu al mulimii matricelor ptratice de ordinul n.

3 Mulimea polinoamelor cu coeficieni reali de grad n,R[X] = {fR[X]/grad fn} reprezintun subspaiu vectorial al spaiuluivectorial al polinoamelor cu coeficieni reali.

4 Submulimile

Rx= {(x, 0)/xR} R2 Ry= {(0,y)/xR} R

2.

sunt subspaii vectoriale ale spaiului aritmetic R2. Mai general, mulimeapunctelor de pe orice dreaptce trece prin originea spaiului R2, determinun subspaiu vectorial. Aceste subspaii vectoriale reprezint mulimeasoluiilor unor ecuaii liniare i omogene n dounecunoscute.


25/395

23

2.2.3

Propoziie.Fie V1 i V2 dou subspaii n K-spaiul vectorial V.Submulimile V1 V2 V i V1 + V2 == VVvVvvvvVv += },,/{ 221121 sunt subspaiivectoriale.

Demonstraie. Pentru x, yV1V2x, yV1 i 2Vx, y cum V1i

V2 sunt subspaii vectoriale ale lui V rezult c pentru K, avem1Vyx + i 2Vyx + , deci x + y V1 V2. Folosind

Teorema 2.1 rezultprima parte a propoziiei.Dac 2121 VVuuu ++= i 2121 VVvvv ++= atunci pentruK, , =+++=+ )()( 2121 vvuuyau )()( 2121 vvuu +++ .

Cum V1 i V2 sunt subspaii vectoriale, 111 Vvu + i

222 Vvu + , c.c.t.d.

Observaie. Submulimea V1V2V nu este un subspaiu vectorial.

Exemplu. Subspaiile vectoriale Rx i Ry definite n exemplul 4, verificrelaiile:

RxRy= {0} iRx+ Ry=R2.

n adevr, dac(x, y) RxRy(x, y) Rxi (x, y) Ryy= 0 ix = 0,ceea ce dovedete csubspaiulRxRyeste format numai din vectorul nul.

Pentru (x, y) R2, (x, 0) Rx, (0,y) Ry, astfel nct(x, y)= (x, 0)+ (0, y) ceea ce demonstreazcR2Rx+ Ry. Incluziuneainverseste evident.

2.2.4

Propoziie.

Fie V1,V2Vdousubspaii vectoriale i vV1+ V2.

Descompunerea 21 vvv += este unic daci numaidacV1 V2= {0}.

Demonstraie:Necesitatea condiiei o demonstrm prin reducere la absurd.Presupunem c V1V2{0} v0 ce poate fi scris v = 0+v sauv = v+ 0,ceea ce ar contrazice unitatea scrierii, deci V1V2= {0}.

Pentru a demonstra suficiena condiiei admitem c'v'vvvv 2121 +=+= . Deoarece 111 , V'vv i 222 , V'vv , vectorul

2211 ' v'vvvu == este coninut n V1 V2. Cum V1 V2 = {0}rezultc 'vv 11 = i 'vv 22 = , adicunicitatea descompunerii.

Dac V1 i V2 sunt dou subspaii vectoriale ale subspaiuluivectorial V i V1 V2 = {0} atunci suma V1 + V2 se numete sumdirect i se noteazcu V1V2. n plus, dacV1V2= V, atunci V1i V2se numesc subspaii suplimentare. n cazul n care V1 V este un spaiuvectorial dat i existun unic subspaiu V2Vastfel nct V= V1V2,atunci V2se numete complementul algebric al subspaiului V1.


26/395

24

Exemplu. Subspaiile vectoriale Rx i Ry, satisfcnd proprietileRx Ry = {0}, Rx + Ry = R

2, sunt subspaii vectoriale suplimentare, iarspaiul aritmeticR2poate fi reprezentat sub forma R2= RxRy. Acest faptpermite ca orice vector (x, y) R2 s poat fi scris n mod unic ca sumavectorilor (x, 0)R2i (0, y)R2, (x, y)= (x, 0)+ (0, y).

Observaie. Noiunile de sum i sum direct pot fi extinse la un numrfinit de termeni.

2.2.5 Definiie. Fie V un spaiu vectorial peste cmpul K i S osubmulime nevida sa. Un vector v Vde forma

+++= ippxv ,2211 K, xi R(2.1)se numete combinaie liniarfinitde elemente dinS.

2.2.6 Teorem. DacSeste o submulime nevida lui V, atunci mulimea

tuturor combinaiilor liniare finite de elemente din S,notatcuL(S) sau , este un subspaiu vectorial al luiV, numit subspaiul generat de submulimea S sauacoperirea liniara luiS.

Demonstraie Aplicnd rezultatul teoremei 2.1 pentru x, y L(S),

, K, = =

=+=+p

i

q

jjjii yxyax

1 1

= =

+p

i

q

jjjii yx

1 1

)()( suma

reprezint tot o combinaie liniar finit cu elemente din S, deciL(S)yx + .

2.2.7 Consecin. Dac V1 i V2 sunt dou subspaii vectoriale alespaiului vectorial VatunciL(V1 V2)=V1 + V2.

Demonstraia este imediat.

2.2.8 Definiie. O submulime S V se numete sistem de generatoripentru spaiul vectorial V dac subspaiul generat desubmulimeaScoincide cu V, L(S)=V.

Dac submulimea S este finit, i pentru orice vector vV,

iK, ni ,1= astfel nct =

= n

iiixv

1

, atunci spunem cspaiul vectorial V

este finit generat.O generalizare a noiunii de spaiu vectorial este datde noiunea de

varietate liniar.


27/395

25

2.2.9 Definiie. Se numete varietate liniar n spaiul vectorial V o

submulime L V pentru care exist un vector x0 Lastfel nct mulimea }/{ 0 LV == xxxvL este unsubspaiu vectorial al lui V.

Subspaiul VLse numetesubspaiul directoral varietii liniareL.

Exemplu .Sconsiderm spaiul vectorial standardR2nzestrat cu sistemulaxelor de coordonatex O y(fig. 4)

Sconsiderm o dreaptLcare trece prin punctul Lbax = ),( 000 .

Punctul ),( 000 bbaaxxv == , (a, b) L este situat pe o dreapt

paralelcuL R2ce trece prin origine (demonstraia este imediat).

fig.4

n concluzie submulimea punctelor din spaiul vectorial R2situatepe orice dreapt(L) din plan reprezinto varietate liniaravnd drept spaiu

vectorial director dreapta ce trece prin origine i care este paralelcu dreapta(L).

Un subspaiu vectorial reprezint un caz particular de varietateliniar; este acea varietate liniara spaiului vectorial Vce conine vectorulnul al spaiului vectorial V(v0= 0).

Fie VunK-spaiu vectorial i submulimeaS= {x1,x2,,xp} V.

2.2.10 Definiie. Submulimea de vectori S = {x1, x2, , xp} V senumete liniar independent ( liber sauvectoriix1, x2, , xn sunt liniar independen) dac

egalitatea 0...2211 =+++ ppxxx , i K, pi ,1= ,

are loc numai dac 0...21 ==== p .

O mulime (finit sau nu) de vectori dintr-un spaiu vectorial esteliniar independent dac orice sistem finit de vectori este un sistem devectori liniar independeni.

y

x

b

b-b0

V1L

x

v

a a-a00a0

x0b0


28/395

26

2.2.11 Definiie. Submulimea de vectori S = {x1, x2, , xp} V senumeteliniar dependent(legatsau vectorii x1, x2,..,xnsunt liniar dependeni), dac () 1, 2, , pKnu toi nuli pentru care 0...2211 =+++ ppxxx .

Remarc:Dacanularea unei combinaii liniare finite, formatcu vectoriix1, x2, , xnV,permite exprimarea unui vector n funcie de ceilali (adicexistena mcar a unui coeficient nenul) atunci vectorii x1, x2, , xp suntliniar dependeni, n caz contrar acetia sunt liniar independeni.

2.2.12 Teorem. Dac S = {x1, x2, , xp} V este o mulime liniarindependentiL(S)acoperirea liniara luiS, atunciorice mulime de p + 1 elemente din L(S) este liniardependent.

Demonstraie. Fie vectoriiyi= =p

ja

1ijxj, i = 1,2,, p+ 1 din acoperirea

liniar L(S).Relaia 1y1 + 2y2 + +p+1yp+1 = 0 este echivalent cu

01

1

1

=

=

+

=j

p

j

p

iiji xa . innd cont c vectorii p, x,, xx 21 sunt liniar

independeni obinem pentru pj ,1= relaiile 1a1j + 2a2j +++p+1ap+1j= 0, care reprezintun sistem de p ecuaii liniare cu p+ 1necunoscute (i), admite i soluii diferite de soluia banal, ceea censeamncvectorii y1, y2,, yp+1 sunt liniar dependeni, c.c.t.d.

2.3. Bazi dimensiune

Fie VunK-spaiu vectorial2.3.1 Definiie. O submulime B (finit sau nu) de vectori din V se

numete baza spaiului vectorial Vdac:1) Beste liniar independent2) Breprezintun sistem de generatori pentru V.

Spaiul vectorial Vse zice ceste finit generat sau finit dimensional

dacexistun sistem finit de generatori.

2.3.2 Teorem. (de existen a bazelor) Dac V {0} este un spaiuvectorial finit generat i S este un sistem de generatoripentru V, atunci existo bazBSa spaiului vectorialV. (Din orice sistem finit de generatori al unui spaiuvectorial se poate extrage o baz).


29/395

27

Demonstraie: Mai nti s demonstrm c S conine i vectori nenuli.Presupunem c S= {0}, atunci { }0V \x poate fi scris sub formax = 0 = 0(S sistem de generatori) absurd ceea ce aratcpresupunereafcuteste fals, deci S{0}.

Fie acumx1Sun vector nenul. MulimeaL = {x1} Sreprezintun sistem liniar independent. Continum s adugm vectori nenuli din S

pentru care submulimea L s reprezinte o mulime liniar independent. Spresupunem cSconine n elemente, atunci Sare 2nsubmulimi finite. Dupun numr finit de pai vom gsi L S, un sistem de vectori liniarindependeni i pentru L S cu L L, L reprezint o submulimeliniar dependent(Leste maximal n sensul relaiei de ordine).

L este un sistem de generatori pentru V. n adevr, dacL= {x1, x2, , xm} pentru m = n L = Si este un sistem de generatori, iardacm < n, atunci { } S \Lx,xLL' mm = ++ 11 , reprezintun sistem

de vectori liniar dependei (Leste maximal) i =

++ =m

iiimm xxLSx

111 ,/ ,

xiL, , mi 1= . Rezult c =m

niixxVx ,, K, xi L, mi ,1= .

MulimeaLsatisface condiiile teoremei 4.1 deci formeazo baza spaiuluivectorialV,c.c.t.d.

2.3.3 Consecin. DacV{0} iSVun sistem finit de generatori iL1 S un sistem liniar independent, atunci exist obazBa spaiului vectorial V, aa nctL1B S.

Un spaiu vectorial Veste finit dimensional dacare o baz finit

sau dac V = {0}, n caz contrar se numete infinit dimensional.Exemple1n spaiul aritmetic Kn submulimea vectorilor B={e1,e2,, en},

unde e1={1, 0, , 0}, e2={0, 1, , 0},, en={0, 0, , 0, 1}, reprezintobaza spaiului vectorialKn, numitbaza canonic.

2 n spaiul vectorial al polinoamelor cu coeficieni reali R[X]submulimea B= {1, x, x2,..,xn,..}, constituie o a baz. R[X] este un spaiuinfinit dimensional.

2.3.4 Propoziie. ntr-un K-spaiu vectorial V finit generat, orice doubaze au acelai numr de elemente.

Demonstraie.Sconsiderm n spaiul vectorial Vfinit generat bazele BiB, avnd card B= n, respectiv card B= n. Folosind conseciena 3.3 obinempe rnd nn i nn, deci n= n.

Propoziia precedentpermite introducerea noiunii de dimensiunea unui spaiu vectorial.


30/395

28

2.3.5 Definiie. Se numete dimensiune a unui spaiu vectorial finitgenerat, numrul de vectori dintr-o baza sa, notat cudimV. Spaiul nul {0}are dimensiunea 0.

ObservaieDacVeste un spaiu vectorial cu dimV= n atunci:a) un sistem de n vectori este bazeste liber independent.b)

un sistem de n vectori este bazeste sistem de generatori.c) Orice sistem de m > n vectori este liniar dependent.

Vom nota unK-spaiu vectorial n-dimensional cu Vn, dimVn= n.

2.3.6 Propoziie. Dac B ={e1, e2,, en} este o baz a K-spaiuluivectorial Vn atunci orice vector x Vn admite o

exprimare unic =

=n

iiii K, ex

1

.

Demonstraie Presupunem c x Vn ar avea i o alt exprimare

=

=n

iiiex

1

. Egalnd cele dou exprimri obinem =

=n

iiii ) e(

1

0, o

combinaie liniarnula vectorilor liniar independeni ai bazei, echivalent

cu ,ni, ii 1== .

Scalarii 1, 2,, n se numesc coordonatele vectorului x nbaza B, iar bijeciile Kf: Vn , ),..., , (x n21a se numetesistem decoordonatepe V.

2.3.7 Teorem. (Steinitzteorema schimbului). DacB= {e1, e

2,, e

n}

este o baz n spaiul vectorial Vni S = {f1, f2,, fp}este un sistem de vectori liniar independeni din Vnatunci p n i dup o eventual renumerotare avectorilor bazeiB, sistemul B={f1, f2,, fp, ep+1,, en}reprezintde asemenea o bazpentru V.

Demonstraie: Aplicnd rezultatul consecinei 3.3 i faptul c orice doubaze au acelai cardinal rezultcp n.

Pentru a doua parte a teoremei folosim metoda induciei matematicecomplete. Pentru p = 1, f1 V se scrie n baza B sub forma

=

= ni

iief1

1 .Cumf10 rezultcexistcel puin un i0. Admind c

1 0 avem nn e

-... -e

-f

e

12

1

21

11

1= , adic {f1, e2,, en} este un

sistem de vectori generatori ai spaiului Vn, deci o baz. Admind c {f1,f2,,fp-1, ep,, en} este o bazatunci vectorul fpSse poate exprima subforma fp = 1f1 + 2f2++ p-1fp-1+ pep++ nen. n aceast relaie cel


31/395

29

puin un coeficient dintre p, p+1,, n este nenul, cci n caz contrarmulimea S ar fi liniar dependent. Fcnd eventual o renumerotare avectorilor ep, ep+1, , en, putem presupune c p 0 i obinem

np

np

p

pp

pp

p

p

pp e

...-e

-f

f

-... -f

-f

e += +

+

1

11

12

1

21

1 1 , din care

rezultc{f1, f2,,fp, ep+1,, en} este un sistem de nvectori generatori aispaiului n-dimensional Vn, deci o bazpentru Vn, c.c.t.d.

2.3.8 Consecin. (teorema completrii) Orice sistem de vectori liniarindependeni dintr-un spaiu vectorial Vn poate ficompletat pnla o bazn Vn.

2.3.9 Consecin. Orice subspaiu V al unui spaiu vectorial finitgenerat Vnadmite cel puin un subspaiu suplimentar.

2.3.10 Teorem. (Grassmann - teorema dimensiunii). DacV1iV2suntdou subspaii vectoriale ale K-spaiului vectorial Vnatunci

din (V1+ V2)= dimV1+ dimV2 dim(V1V2) (3.1)

Demonstraie:Fie {f1,f2,,fr} o baz a subspaului (V1V2) V1.n virtutea consecinei 3.8 putem completa acest sistem de vectoriliniar independeni la o baz n V1 , fie aceasta dat de mulimeaB1={f1,f2,,fr,er+1,,es}.n mod similar considerm n spaiul vectorial V2,baza B2 ={f1,f2,,fr, gr+1, ,gp}. Se demonstreaz uor c submulimeaB ={f1,f2,,fr,er+1,..,es,gr+1,..,gp},este un sistem de generatori pentru V1+ V2.

Submulimea B este liniar independent. In adevr ,

= += +== += +=

=+=++r

i

s

ri

p

riiiiiii

r

i

s

ri

p

riiiiiii g-efgef

1 1 11 1 1

0 ,

ceea ce nseamncvectorul +=

=p

riii VVgv

121 , deoarece suma din

membrul stng reprezintun vector al subspaiului V1 iar cea din membrul

drept un vector din V2. n spaiul V1V2 avem +=

==p

riiigv

1

=

r

iiif

1

011 = =+=r

iii

p

riii fg r+1= r+2= ... = r+p= 1= 2= ... = r= 0.

Folosind acest rezultat n prima relaie i innd cont de faptul cB1este o bazn V1rezult1= 2= = r=r+1=r+2= = 0, deci Besteliniar independent, adico bazn V1+V2.

n aceste condiii putem scrie dim (V1+V2) = r + s + p == (r +s) + (r + p) r = dimV1+ dimV2- dim(V1V2). c.c.t.d.


32/395

30

2.3.11

Consecin.Dacspaiul vectorial Vn este reprezentat sub formaV1= V1V2 atunci dimVn= dimV1+ dimV2.

S considerm un K-spaiu vectorial Vn i B = {e1, e2,, en}respectiv B= {e1, e2,, en} doubaze n Vn. Orice vector din Bpoate fiexprimat n funcie de elementele celeilalte baze. Aadar avem relaiile:

+++=

+++=

+++=

nnnnnn

nn

nn

ea...eaeae'

..........................................

ea...eaeae'

ea...eaeae'

2211

22221122

12211111

sau ,nj,eae'n

iiijj

=

==1

1 (3.2)

Notnd cu B = t[e1, e2,, en], B =t[e1, e2,, en] i cu

=

nnnn

n

n

,..., a, aa......................

,..., a, aa

,...,a, aa

A

21

22221

11211

matricea de tip n n, care are drept coloane

coordonatele vectorilor ej, ,nj 1= , relaiile (4.2) pot fi scrise sub forma

B= tAB (3.2)

Fie acum un vectorx Vn, exprimat n cele doubaze ale spaiuluivectorial Vnprin relaiile:

=

=n

iiiexx

1

i respectiv =

=n

jjj exx

1

'' (3.3)

innd seama de relaiile (3.2), obinem

= ====

=

==

n

ii

n

jjij

n

iiij

n

jj

n

jjj ex'aeax'exx

1 1111

'' .

Cum B este baz, egalitatea == =

=

n

iii

n

ii

n

jjij exex'a

11 1

este

echivalentcu

==n

jjiji x'ax 1 , ,ni 1= (3.4)

relaii ce caracterizeaz transformarea de coordonate ale unui vector la oschimbare a bazei spaiului vectorial Vn.

Dacnotm cu X= t[x1,x2,,xn] matricea coloana coordonatelorvectorului x Vn n baza Bi respectiv cu X=

t[x1, x2,,xn], matriceacoordonatelor aceluiai vectorx Vnn baza B, putem scrie


33/395

31

X= AX (3.4)

Matricea A= (aij) se numete matricea de trecere de la baza B labaza B. n concluzie,ntr-un spaiu vectorial finit dimensional avem teoremade schimbare a bazei :

2.3.12 Teorem. Dac n spaiul vectorial Vn, schimbarea bazei B cubaza B este dat de relaia B = tAB, atunci relaiantre coordonatele unui vector xVn, n cele doubaze ,este datde X= AX.

Fie Vn un spaiu vectorial i B= {e1, e2,,en} o baza sa. Dacvectorii v1, v2,, vp Vn, pn sunt exprimai prin relaiile vj

==

n

i

a1

ijei, atunci matricea A = (aij), avnd drept coloane coordonatele

vectorilor v1, v2,,vp, va fi numit matricea de trecere de la vectorii

e1, e2,...,en la vectorii v1, v2,, vp .2.3.13 Teorem. Rangul matricei A este egal cu numrul maxim al

vectorilor coloanliniar independeni.

DemonstraieSpresupunem crang A = r, adic

=

rrrr

r

r

,..., a, aa

......................

,..., a, aa

,...,a, aa

21

22221

11211

0.

0 implic liniar independena vectorilor v1, v2, ..., vr.Fie coloana vk, rkp i determinanii

i=

ik

rk

k

iri

rrr

r

a

a

a

aa

aa

aa 1

1

1

111

...

....

....

...

, ni ,1=

Fiecare din aceti determinani este nul deoarece pentru ir, iaredoulinii identice, iar pentru i> r, ordinul lui ieste mai mare dect rangulr. Dezvoltnd dupultima linie avem

ai1i1+ai2i2++airir+ ailD = 0 ail ==

r

j 1

jaij ; j=ijD, ni 1=

Aceste relaii scalare exprimfaptul corice coloanvk, rkp,este o combinaie liniara primelor rcoloane ale matriceiA, deci orice r+ 1vectori sunt liniar dependeni.


34/395

32

2.3.14 Consecin. DacB = {e1, e2,, en} este o baz n Vn, atuncimulimea B = {e1, e2,, en},

=

==n

iiijj ,nj,eae

1

1' este baz a lui Vn dac i

numai dac matricea de trecere A = (aij) estenesingular.

Fie Vi Wdouspaii vectoriale peste cmpulK.

2.3.15 Definiie. O aplicaie T : VW cu proprietile:T (x + y) = T(x) + T(y), x, y VT(x)=T (x) , x V, Vse numete morfism de spaii vectoriale sautransformare liniar.

O transformare liniarbijectivntre douspaii vectoriale vafi numitizomorfismde spaii vectoriale.

2.3.16 Teorem. Dou spaii vectoriale V i W peste cmpul K, dedimensiune finit, sunt izomorfisme dac i numaidacau aceeai dimensiune.

Un sistem de coordonate pe un spaiu vectorial finit dimensional Vn,f : V Kn , x Vn a (x1, x2, xn) K

n este un izomorfism de spaiivectoriale.

2.4. Spaii vectoriale euclidiene

Fie Vun spaiu vectorial real.Dac adugm, pe lng structura de spaiu vectorial, noiunea de

produs scalar, atunci ntr-un astfel de spaiu vectorial pot fi definite noiunilede lungime a unui vector, unghiul a doi vectori, ortogonalitate s.a.

2.4.1 Definiie. O aplicaie g: V V R, >+< ,zy,xz,y , x, y, z Vb) = , x, y V, Rc) = , x, y Vd) 0, = 0 x = 0 , x V

se numeteprodus scalarpe spaiul vectorial V.


35/395

33

2.4.2 Corolar DacVeste un spaiu vectorial euclidian atunci au locrelaiile:

1) = + 2) = , x, y, z V, R

2.4.3 Definiie. Un spaiu vectorial V pe care s-a definit un produsscalar se numete spaiu vectorial euclidian (sau Vposedo structureuclidian).

2.4.4 Teorem. Dac spaiul vectorial V este un spaiu vectorialeuclidian atunci avem inegalitatea Cauchy-Schwarz:

2 (4.1)

egalitatea avnd loc daci numai dacvectorii x i y suntliniar dependeni.

Demonstraie: Dacx = 0 sauy = 0 atunci are loc egalitatea n relaia 5.1.Presupunem x iy V nenuli i considerm vectorul z = x + y,, R. Din proprietile produsului scalar obinem :0 = = 2 + 2 + 2 ,

egalitatea avnd loc pentru z = 0. Dac lum = > 0 atunciobinem + 2 + 2 0, iar pentru = - inegalitatea devine - 20. c.c.t.d.

Exemple1 n spaiul aritmetic Rnpentru orice douelemente x=(x1,x2,...,xn)

iy = (y1, y2,..., yn), operaia

=:x1y1 +x2y2+...+xnyn (4.2)

definete un produs scalar. Produsul scalar astfel definit, numit produsul

scalr uzual,nzestreazspaiul aritmeticRncu o strcutureuclidian.2 Mulimea C([a, b]) a funciilor continue pe intervalul [a, b] este

un spaiu vectorial n raport cu produsul scalar definit de

=> 0, x 0 i || x || = 0 x = 0b) || || = | | || x ||, x V, R

c) ||x+ y|| ||x|| + ||y|| (inegalitatea triunghiului).

Demonstraie: Condiiile a) i b) rezult imediat din definiia normei iproprietile produsului scalar.Axioma c) rezultfolosind inegalitatea Cauchy-Schwarz

>++>


37/395

35

Dac norma definit pe spaiul vectorial V este euclidian atuncidistana definitde aceasta se numete metriceuclidian.

n concluzie, orice spaiu euclidian este un spaiu metric.O structur euclidian pe V induce pe orice subspaiu V V o

structureuclidian.Produsul scalar definit pe un spaiu vectorial V permite

introducerea noiunii de ortogonalitate.2.4.7 Definiie. In spaiul vectorial V vectorii x, y V se numesc

ortogonali dac < x, y > =0 .O mulime SVse spune ceste ortogonaldacvectorii si sunt

ortogonali doi cte doi.O mulime ortogonalse numete ortonormatdacfiecare element

al su are norma egalcu unitatea.

2.4.8 Propoziie. ntr-un spaiu vectorial euclidian V orice mulimeortogonal, format din elemente nenule, este liniar

independent.

DemonstraieFie S V\ {0} i 1x1+ 2x2++ nxn, o combinaie liniaroarecare finit de elemente din S. nmuliind scalar cu xj S, relaia

=

=n

iiix

1

0 devine 1 + 2 ++ n = 0.

Cum Seste ortogonal, = 0, i j i j(xj, xj) = 0. Pentru xj0, nj ,1= , > 0, de unde rezultcj = 0, nj ,1= , adicSesteliniar independent.

2.4.9 Consecin. ntr-un spaiu vectorial euclidian n-dimensional Vn,orice mulime ortogonalformatdin n vectori este obazn Vn.

Dacn spaiul vectorial euclidian Vnconsiderm bazortogonalB= {e1, e2,, en}, atunci orice vector x Vn poate fi scris n mod unicsub forma

=

=n

iiiex

1

, unde>==<

=== 111

,,

DacA = (aij) este matricea de trecere de la baza B la B atuncirelaiile de mai sus se exprimmatriceal sub forma tAA =In, adicAeste omatrice ortogonal.


40/395

38

2.4.17 Propoziie. La o schimbare de bazortonormatB= tAB, ntr-unspaiu vectorial euclidian Vn,, transformarea decoordonate este dat de X = AX, unde A este omatrice ortogonal.

2.5. Probleme rezolvate

2.5.1 Sse arate cmulimea matricelor cu elemente reale de forma

=

abcdbadc

cdab

dcba

M

constituie un spaiu vectorial cu patru dimensiuni peste corpul numerelorreale Ri sse determine o bazn acest spaiu.

Soluie:

Se verificaxiomele spaiului vectorial.1. Suma a doumatrice de forma dateste o matrice de aceeai form.

.

3333

3333

3333

3333

2222

2222

2222

2222

1111

1111

1111

1111

21

=

=

+

=+

abcd

badc

cdab

dcba

abcd

badc

cdab dcba

abcd

badc

cdab dcbaMM

unde s-a notata3 = a1 + a2, b3 = b1 + b2, c3 = c1 + c2, d1 = d1 + d2.

I1) Adunarea de matrice fiind asociativpe orice mulime de matriceeste asociativi n cazul particular ales.

I2) Elementul neutru (matricea nul) este de forma indicat:


41/395

39

I3) Elementul opus lui M este de aceeai form:

I4) Adunarea de matrice fiind comutativ pe orice mulime dematrice, este adevratn acest caz.

Produsul matricei M cu este o matrice de forma

.; R

abcd

badc

cdab

dcba

M

=

II1) (M1+M2)=M1+M2.II2) (+)M = M+M.II3) (M) = ()M.II4) 1M = M;1R.

Proprietile II1, II2, II3, II4 sunt adevrate deoarece sunt valabile ngeneral.

Axiomele fiind verificate, rezultcmulimea dateste un spaiu vectorialpeste corpul R, al numerelor reale.

Se consideracum matricele:

,

1000 0100

0010

0001

=A ,

0100 1000

0001

0010

=B ,

0010 0001

1000

0100

=C

.

=

abcd

badc

cdab

dcba

M

.

0000

0000

0000

0000

0

=


42/395

40

=

0001

0010

0100

1000

D

Rezultrelaia:

.dDcCbBaA

abcd

badc

cdab

dcba

M +++=

=

de unde rezultcse obine aA + bB + cC + dD = 0 daci numai daca = b= c = d = 0, deci matricele A, B, C, D sunt liniar independente.Aceeai relaie arat c orice matrice M este o combinaie liniar amatricelor A, B, C, D.Deci matricele A, B, C, D formeaz o baz, adic spaiul vectorial almatricelor M de forma datare patru dimensiuni.2.5.2. Sse demonstreze curmtoarea pereche de operaii nu definete ostructurde spaiu vectorial pe R2:

(x1,x2) + (y1,y2) = (x1+ y1,y2)k(x1,x2) = (kx1,kx2), kR.

Soluie:

Se cerceteazproprietile primei operaii:

(x1,x2) + (y1,y2) = (y1,y2) + (x1,x2) .

(x1,x2) + (y1,y2) =(1)( x1+ y1,y2)

(y1,y2) + (x1,x2) =(1)( y1+ x1,x2) (x1,x2) + (y1,y2) (y1,y2) + (x1,x2)

Deoarece adunarea nu este comutativ se poate trage concluzia c R2mpreuncu cele douoperaii nu formeazstructurde spaiu vectorial.

2.5.3n R3se considervectorii

1x = (1,2,3), 2x = (2,3,1), 3x = (a+3, a+1, a+2) aR.Sse afle valorile lui apentru care aceti vectori sunt liniari dependeni i

sse scrie relaia de dependenliniar.

Soluie:

Pentru ca vectorii sfie liniari dependeni, trebuie sexiste scalarii 1, 2, 3nu toi nuli astfel nct savem:

1 1x + 2 2x + 3 3x = 0 , 0 = (0, 0, 0)


43/395

41

sau

1(1,2,3) + 2(2,3,1) + 3 (a + 3, a + 1, a + 2) = (0,0,0).

Se obine sistemul liniar i omogen

( )( )

( )

=+++

=+++=+++

023

0132032

321

321

321

a

aa

,

care are soluii nebanale dacdeterminantul su este nul:

( ) .6;063213

132

321

==+=

+

+

+

aa

a

a

a

Deci pentru a = -6 vectorii dai sunt liniar dependeni. Pentru a afla relaiade dependenliniarse nlocuiete cu a = -6 n sistemul de mai sus

=+

=+

=+

043

0532

032

321

321

31

Se exprim1, 2 n funcie de 3din primele douecuaii

1 = 3; 2 = 3; 3 0.nlocuind i simplificnd cu 3obinem relaia de dependenliniar

;0321 =++ xxx

ntre vectorii

( ) ( ) ( ).4,5,3,1,3,2,3,2,1 321 === xxx Observaie.Pentru a -6 vectorii dai sunt liniari independeni, deci ei formeazo bazn R3.

2.5.4. S se determine dimensiunile subspaiilor sumei i intersecieisubspaiilor generate de sistemele de vectori:

( ) ( ) ( ){ }3,1,1,2,2,1,1,3,2 321 ==== uuuU


44/395

42

( ) ( ) ( ){ }3,3,1,1,1,1,1,2,1 321 ==== vvvV n R3.

Sse verifice teorema lui Grassmann prin aceste aplicaii.

Soluie:

Vectorii 321 ,, uuu sunt liniar dependeni, o bazn [ ]Upoate fi { },, 21 uu deci[ ] { },, 212211 RuuU += dim [ ]U = 2. Vectorii, 321 ,, vvv sunt liniaridependeni i [ ] [ ] .2dim,, 212211 =+= VRvvV

Subspaiul [ ]U + [ ]V este generat de reuniunea sistemelor U i V.

O baz n reuniune este 121 ,, vuu i deci dim ( [ ]U + [ ]V ) = 3, adic[ ]U + [ ]V = R3.

Subspaiul [ ]U + [ ]V conine vectorii pentru care ,22112211 vvuu +=+ adic21+ 2= 1+ 2, 31 + 22 = 21 + 2, -1 + 22 = 1- 2, sistem

cu trei ecuaii i necunoscute principale 1, 2, 1, iar 2 = , necunoscutsecundar.Obinem 1= , 2= , 1 = 2.Astfel cvom avea [U][V] = {(3, 5, )/ , R},iar dim[U][V] =1.Se verific teorema Grassmann: dim[U]+dim[V]=dim([U]+[V])+dim([U][V]).2.5.5.S se arate c n spaiul matricelor (Mm(K),+,) submulimile definiteprin S = {AMm(K)/A

t=A}(matrice antisimetrice) formeaz subspaiivectoriale i Mm= SA.Soluie: DacA,BS, atunci (A+B)t=At+Bt= A+B A,B S i ()t =At= S. Analog pentru A. DacAMm(K), atunci matricele

SAAB t += )(21 i AAAC t = )(

21 verificA = B+C.

n plus SA = {0}, astfel cMn= SA.2.5.6. Sse gseasco baza sumei i interseciei spaiilor vectoriale W iU generate de vectori

)3,2,0,3(),1,1,1,2(),1,0,1,2( 321 == aaa

).5,1,2,1(),2,1,1,0(),1,2,1,1( 321 == bbb Soluie:

Se verific uor c vectorii321

,, aaa , sunt liniar independeni. Verificm

dacsistemul de vectori { 1321 ,,, baaa }sunt liniari independeni.

Combinaia liniar: ,014332211 =+++ baaa


45/395

43

deoarece

1311

2210

1011

1322

0 sistemul omogen n 4321 +++ admite

numai soluia banal deci 04321 ==== fapt care arat c n W+Uexist4 vectori liniar independeni.

Cercetm liniar dependena a 5 vectori { }21321 ,,,, bbaaa dar deoarecerangul matricei sistemului omogen este maxim 4, rezult c cei 5 vectori

sunt liniar dependeni, deci dim (W+U) = 4, astfel { },,,, 1321 baaa formeazo baza sumei.

Pentru WU presupunem c() UWv atunci Wv i Uv .Dac

Wv atunci 332211 aaav ++= iar

Uv deci 332211 bbbv ++=

fapt care duce la 332211 aaa ++ = 332211 bbb ++ .

+=+

+=+

+=

=+

321321

32132

32121

31321

523

222

2

322

Condiia de compatibilitate a sistemului este:

0

52311

2210

2011322

321

321

321

31

=

+

+

+

echivalentcu 02 321 =+

=v (1-3, 1-2+23,21-2+3,-1+22-23)= (1-3,0,( 1-2+23)+ 1-3,-2(1-2+23)+ 1-3)= (1-3,0, 1-3, 1-3) = (1,0,1,1)( 1-3) deci dim (WU) = 12.5.7.Sse stabileascformulele de transformare ale coordonatelor cnd se

trece de la baza E = 4321 ,,, eeee la baza E = { }4321 ',',',' eeee unde:

)2,1,3,1('),2,1,1,2('),2,2,1,0('),1,0,1,2(' 4321 ==== eeee .

)1,0,1,1()1,0,1,1(),1,1,1,1(),0,1,2,1( 4321 ==== eeee


46/395

44

Soluie:Scriem fiecare din vectorii noii baze ca o combinaie liniara vectorilor dinvechea baz, determinnd astfel componentele matricei de trecere.

443322111' eeeee +++= relaie care devine:

(2,1,0,1) = (1+2-3-4, 21-2+23-4, -1+2+3, 2+3+4).Astfel se obine sistemul:

=++

=++

=+=+

1

0

1222

432

321

4321

4321

, cu soluiile

=

=

==

0

0

11

4

3

2

1

n acest fel am obinut prima coloana matricei de trecere.

Procednd la fel pentru 21 ',' ee i 4'e obinem coloanele (2), (3) i (4) aleaceleiai matrice.

Prin urmare : .

'

'

'

'

'

'

'

'

,

0100

1110

1011

1001

4

3

2

1

1

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

=

=

=

x

x

x

x

A

x

x

x

x

sau

x

x

x

x

a

x

x

x

x

iarA

Relaia de legturdintre noile coordonate i cele vechi este:

2.5.8.n spaiul R3se considerurmtoarele sisteme de vectori:

B = { })3,2,1(),0,0,1(),0,1,1( 321 === eee B={ })9,7,6('),3,2,2('),3,3,1(' 321 === eee

a) S se arate c B i B sunt baze i s se gseasc matricea detrecere de la B la B.

b) Sse gseascexpresia vectorului 321 752 eeex ++= n baza B.Soluie:

a) Vectorii din B (respectiv B) sunt liniari independeni i fiind nnumr de trei formeazbaz.

Pentru a determina matricea schimbrii de bazdescompunem 1'e dupB, ianume

3312211111' esesese ++= sau

.

'

'

'

'

43214

43

212

4321

+=

=

+=

+=

xxxxx

xx

xxx

xxxx


47/395

45

=

=+

=++

33

32

1

31

3111

312111

s

ss

sss

=

=

=

1

1

1

31

21

11

s

s

s

Analog

1,1,0' 3222123322221122 ===++= sssesesese

3,2,0' 3323133332231133 ===++= sssesesese

Astfel c:

311

211

101

b) DacX = (2 5 7)t(matrice coloan), atunci componentele X ale

lui x n baza B se obin din ecuaia matriceal X = S X.Calculm

,

112

325

1111

=S

i deci

.

2

1

0

7

5

2

112

325

111

'

=

=X

Astfel c ,'2'1'0 321 eeex ++= n baza B.

2.6. TEME DE REZOLVAT PENTRU EVALUARE

2.6.1.. Fie V i W douK-spaii vectoriale. Sse arate c VW= ={(x,y)|xV, y W} este unK-spaiu vectorial n raport cu operaiile :

(x1, y1) + (x2,y2) =: (x1 +x2,y1 +y2)(x,y) =: (x, y), x1,x2V,y1,y2W, K.

2.6.2. S se precizeze dac operaiile definite pe mulimile indicatedetermino structurde spaiu vectorial:

a) x, yR2;x= (x1,x2), y = (y1,y2), R

=

++=+

),0(:

),(:

2

2211

xx

yxyxyx

b)

=

++=+

),(:

),(:

21

1221

xxx

yxyxyx

, x, y R2, R


48/395

46

c)

=

+=

:

: 3 33

xx

yxyx

, x, y R, R

d)

=

++=+

),,(:

),,(:

123

233211

xxxx

yxyxyxyx

, x, y R3, R

2.6.3 Sse stabileasccare dintre submulimile de mai jos formeazsubspaii vectoriale n spaiile vectoriale indicate

a) S1= {(x,y) R2| 2x-y = 0}

b) S2= {(x,y) R2| 2x-y + 1 = 0}

c) S3= {(x,y) R2|x2-y2- 1= 0}

d) S4= {(x1,x2,x3) R3|x1-x2+ 2x3= 0}

e) S5= {(x1,x2,x3) R3|x1+x2-x3= 0,x1-x2 = 0}

2.6.4 Fie v1, v2, v3 V, trei vectori liniar independeni. S sedetermine Rastfel nct vectorii

+=

+=+=

133

322

211

vvu

vvuvvu

sfie liniar independeni, respectiv liniar dependeni.

2.6.5 Sse arate cvectoriix,y,zR3,x= (-1,1,1), y= (1,1,1), z= (1,3,3),

sunt liniar dependeni i sse gseascrelaia de dependenliniar.

2.6.6 S se determine suma i intersecia subspaiilor generate de

sistemele de vectori

U= {u1= (1, 1, 0), u2= (1, 0, 2), u3= (0, -1, 2)}V= {v1= (1, 1, 2), v2= (0, 2, 4)}

2.6.7 S se precizeze care din urmtoarele sisteme de vectoriformeazbaze n spaiile vectoriale date:

a) S1= {u1= (1, 2), u2= (2, -1)} R2

b) S2= {u1= (1, 0, -1), u2= (2, 1, -3), u3= (1, -1, 0)} R3

c) S3= {u1= (1, 0, 1), u2= (0, -1, 1), u3= (1, -1, 1)} R3

d) S4= {1, 1-x, (1-x)2, (1-x)3} R3[x]

S5=

11

11,

10

11,

00

11,

00

01M2(R)

2.6.8. S se verifice dac urmtoarele operaii definesc produsescalare pe spaiile vectoriale considerate

a) = 3x1y1+x1y2 +x2y1+ 2x2y2 ,x= (x1,x2),y= (y1,y2) R2


49/395

47

b) =x1y1- 2x2y2 , x= (x1,x2),y= (y1,y2) R

2

c) =x1y1+x2y3 +x3y2 , x= (x1,x2,x3),y= (y1,y2,y3) R3

2.6.9 S se ortonormeze sistemele de vectori n raport cu produsul

scalar uzual

a) v1= (1, -2, 2), v2= (-1, 0, -1), v3= (5, 3,-7)b) v1= (1, 1 , 0), v2= ( 1, 0, 1 ) , v3= (0, 0, 1) .

2.7.BIBLIOGRAFIE

2.7.1. Atanasiu Gh., Munteanu Gh., Curs de algebr, geometrieanalitic, geometrie difereniali ecuaii difereniale. Partea I-a,Universitatea Transilvania Braov, 1992.

2.7.2.Atanasiu Gh., Munteanu Gh., Postolache M., Algebr liniar,

geometrie analitic, geometrie diferenial i ecuaii difereniale. Culegerede probleme. Editura ALL, Bucureti, Ediia I-a, 1994, Ediia a II-a, 1998.2.7.3.Atanasiu Gh., Lazr V., Purcaru M., Curs de algebrliniari

geometrie analitic(pentru colegiu). Universitatea Braov, 2000.2.7.4. Piti Gh., Curs de algebr, geometrie i ecuaii difereniale,

Partea I-a, Universitatea Transilvania Braov, 1992.2.7.5. Udrite C., Radu C., Dicu C., Mlncioiu O., Algebr,

Geometrie i Ecuaii difereniale, E.D.P., Bucureti, 1982.


50/395

48

Capitolul 3

SPAII PUNCTUALE EUCLIDIENE

Spaiile n care vor fi studiate majoritatea noiunilor de geometrie din acest volumsunt spaii n care noiunile de punct i vector sunt indispensabile. Noiunea de spaiu afin

permite folosirea celor dounoiuni ntr-un cadru bine definit.Acest capitol este dedicat, n mod special, nsuirii cunotinelor de algebrvectorial: noiunea de vector, operaii elementare cu vectori, produse de vectori, ct i aconsecinelor geometrice aplicative: calculul lungimilor, unghiurilor, ariilor i volumelorformate de vectori.

Cea mai mare parte a disciplinelor tehnice folosesc intens aceastalgebr.

Obiective operaionale:3.1. S neleag noiunile de spaiu afin, spaiu punctual euclidian i spaiu punctualeuclidian al vectorilor liberi3.2. S rein proprietaile produsului scalar i ale produsului vectorial care vor figeneralizate la teoria cmpurilor scalare i vectoriale

3.3. S poat rezolva orice problem care necesit lungimi de vectori, arii deparalegornume, volume de paralelipiped i cazurile lor particulare

Coninutul capitolului:3.1.Spatiul afin: definiie i exemple3.2.Combinaii afine. Repere n spaii afine3.3.Subspaii afine3.4.Spaiul afin geometric al vectorilor liberi3.5.Spaiul punctual euclidian al vectorilor liberi

3.5.1.Proiecii ortogonale3.5.2.Produsul scalar3.5.3.Produsul vectorial3.5.4.Dublu produs vectorial3.5.5.Produsul mixt

3.6.Probleme rezolvate3.7.Teme de rezolvat pentru evaluare3.8.Bibliografie

3.1 Spaiul afin: definiie i exemple

n cele ce urmeaz vom considera o mulime nevidA= {A, B, C, ..., P, Q, R, ...} i vom conveni ca elementele sale sse numeascpuncteiarun element (A, B) AAsse numeascbipunct al lui A. PunctulAse va numi originea

bipunctului, iar punctulBse va numi extremitatea bipunctului (A, B). Bipunctele (A, B) i(B, A) se vor numi bipuncte simetrice.

3.1.1 Definiie. Numim spaiu afin, tripletul (A,V, )n care Aeste o mulime nevidde puncte, V un K-spaiu vectorial i funcia : A A A,

VvBA =),( , care satisface condiiile:A1) A, B, C A, (A, B) + (B, C) = (A, C)

A2) AVv A exist un punct B A, unic determinat de


51/395

49

relaia vBA =),( .

Mulimea Ase numete mulime suport a spaiului afin i elementele sale vor finumite punctele spaiului afin. Spaiul vectorial Vse numete spaiul vectorial directoralspaiului afin, iar elementele sale vor fi numite vectorii sap iului afin. Aplicaia estenumitfuncia de structurafin.

Elementele unui spaiu afin sunt puncte i vectori.

Spaiul afin (A, V, ) se zice real sau complex dupcum spaiul vectorial Vestereal sau complex.

Dac n axioma A1) considermA = B = C, atunci (A, A) = 0 , AA. Decioricrui bipunct (A, A) i corespunde prin funcia de structurvectorul nul V0 .

Vectorii corespunztori unei perechi de bipuncte simetrice sunt vectori opui.n adevr, dac lum C = B, n axioma A1) , avem (A, B) = - (B, A).

3.1.2 Consecin. Funcia este surjectivi n plus, pentru fiecare punct O Afixat , O: AV , O(A) = (O, A),A A, este bijectiv.

Demonstraia este imediatinnd cont de axiomele A1) i A2).

ntr-un spaiu afin (A, V, ) funcia determin o relaie de echivalen pemulimea bipunctelor lui A, pe care o vom numi relaia de echipolen.Vom spune ca bipunctul (A, B) este echipolent cu bipunctul (C, D) dacacestea au

aceeai imagine prin .

(A, B) ~ (C, D) (A, B) = (C, D) (1.1)

Se verific uor c relaia ~ este reflexiv, simetric i tranzitiv, adic este orelaie de echivalenpe A A.

Spaiul factor A A/ ~ este n coresponden bijectiv cu spaiul vectorial V.Fiecrui vector Vv i corepunde o singurclasde echivalende bipuncte echipolente,anume

-1( v ) = { (A,B)A A |(A,B) = v } (1.2)

Cnd identificm spaiul factor A A/ ~cu spaiul vectorialVprin aceastbijecie, clasa bipunctului (A, B) notatcu AB , poartnumelede vector liber al spaiului afin.

n aceste condiii axiomele A1) i A2) pot fi scrise n felul urmtor:

A,B,C A, CACBBArrr

=+ (1.3) AVv A , BA, unic aa nct vAB=

Fie O A un punct fixat i A = {O} A = {(O, A) / A A } mulimeabipunctelor de origine O.innd cont de Consecina 1.2 i c relaia A A a (O,A)A este o

coresponden bijectiv, rezult c A se poate identifica att cu A ct i cu spaiulvectorial director V.

Cnd se identificA cu spaiul vectorial Vse induce pe A structura vectorialdin V. Vectorii acestui spaiu se numesc vectori legaiai spaiului afin sau vectori tangeni

n Ola Ai vor fi notai prinOA .Cnd se identific A cu spaiul vectorial A, prin bijecia


52/395

50

A A (O, A) Ao, nseamncs-a considerat A ca spaiu vectorial, avnd punctul Oca origine.

Vectorul OAAOOA = ),( se va numi vector de poziie.Practic n orice punct OA al unui spaiu afin (A, V, ) se poate construi un

spaiu vectorial A, care se identificcu A .n urma acestor identificri, se justificnoiunea de dimensiunea unui spaiu afin

ca fiind dimensiunea spaiului vectorial director V.

Dac dimV= n, atunci spaiul afin de dimensiune n se va nota cu (A n, Vn) sausimplu An.

Observaii1 Un alt mod de a defini un spa iu afin pornete de la definirea unei relaii de

echivalenpe mulimea bipunctelor unei mulimi nevide A i apoi se cere ca spaiul ct ssatisfacanumitor axiome [ ].

2 Dacspaiul vectorial Veste un spaiu vectorial euclidian atunci spaiul afin (A,V, ) este numit spaiu punctual euclidian. DacdimV= n, vom nota atunci prin Enspaiul

punctual euclidian corespunztor. Structura euclidian a spaiului vectorial director V vapermite studiul proprietilor metrice ale unor submulimi din spaiul punctual euclidian En.

3 Existspaii afine care nu sunt spaii vectoriale. Dar, orice spaiu vectorial este

un spaiu afin, ntruct funcia : VVV, vuvu

rrrr

=),( , verificaxiomele A1) iA2). Spaiul afin astfel definit (V, V,) se numete spaiul afin canonicasociat spaiuluivectorial V.

Exemple1Spaiul afin standardS considerm spaiul aritmetic Kn. Acest spaiu poate fi organizat ca un spaiu

vectorial (ex.2, 1, Cap.2) cruia i putem asocia spaiul afin canonic (Kn, Kn, ) undefuncia de structurafineste definitde relaia (A, B) = (b1 - a1, b2 - a2, ..., bn - an) ,

pentru A= (a1, a2, ..., an) i B = (b1, b2, ..., bn) . Acest spaiu afin este numitspaiulafin standardi va fi notat tot cuKn.

n caz particular pentru K=R , avem spaiul afin standard(Rn,Rn,), n care spaiul vectorial directorRneste un spaiu euclidian (ex.1, 4, Cap.2),

deci spaiul afin (Rn

,Rn

, ) devine un spaiu punctual euclidian.2Spaiul afin geometric al vectorilor liberiConsiderm ca mulime suport spaiul punctual al geometriei elementare E3 ,

spaiul vectorial al vectorilor liberi V3 (ex.6, 2, Cap.2), ca spaiu vectorial director i

funcia : E3E3V3,(A,B) =ABV3, care asociazbipunctului (A, B) clasa deechivalena acestuia, ca funcie de structurafin.

Obinem n acest fel spaiul afin geometric al vectorilor liberiA3= (E3, V3, ). Acest spaiu a constituit modelul spaiilor afine.Vom studia n detaliu acest spaiu n capitolul urmtor.

3Varietile liniare ale unui spaiu vectorial Vsunt spaii afine.O varietate liniara unui spaiu vectorial Vreprezinto submulime L de forma

'V+= aL , unde V este o subspaiu vectorial al lui V.Dacvom considera funcia

:LLV, vwwava =++ ),(' ,atunci axiomele A1) i A2) sunt verificate i deci tripletul (L, V, ) este un spaiu afin.

n caz particular, orice subspaiu vectorial este un spaiu afin.

3.2. Combinaii afine. Repere n spaii afine


53/395

51

Fie spaiul afin (A, V,), un sistem de puncte {A0, A1, ..., Ap} Ai scalarii 0, 1,..., pK.

3.2.1 Definiie. Numim combinaie afina punctelor {A0,A1,...,Ap}A, punctul PAdat de

P= 0A0 + 1A1 + ...+ pAp cu 0 + 1+ ...+ p= 1 (2.1)

Relaia (2.1) poate fi neleas ca o relaie vectorial ntre vectorii de poziie aipunctelorP,A0, A1, ..., Ap, folosind ca punct origine un punct oarecare OA, adic

pp OAOAOAOP +++= ...1100 (2.1)Combinaia afin(2.1) poate fi scrisi sub forma

==

+

=

p

iii

p

ii AAP

10

1

1 , iK, pi ,1= (2.2)

Scalarii 0, 1, ..., pcu proprietatea 0+ 1+ ... + p= 1 se numesc coeficieniicombinaieiafine sauponderi.

3.2.2 Definiie. Un sistem finit de puncte din A se numete afin dependent dacexistun punct n sistem care sse exprime ca o combinaie afinacelorlalte puncte din sistem. n caz contrar vom spune csistemuleste afin independent.

3.2.3 Propoziie. Sistemul de puncte este afin dependent (independent) daci numai

dac sistemul de vectori }{ 02010 pAA, ...,AA,AA este liniardependent (independent).

Demonstraie. Dacsistemul de puncte {A0, A1, ..., Ap} este afin dependent atunci un punctpoate fi exprimat ca o combinaie afina celorlalte. Spresupunem cA0este o combinaieafina sistemului {A0, A1, ..., Ap}

A0= 1A1+ ...+ pAp, cu 1+ 2+... + p= 1 (2.3)

Considernd peA0ca origine relaia (3) poate fi scrissub forma vectorial

pp AAAAAA 0202101 ...0 +++= (2.4)Deoarece cel puin unul din coeficienii combinaiei este nenul rezultcvectorii

pAAAAAA 02010 ,...,, sunt liniar dependeni.

Reciproc. S presupunem c sistemul de vectori },...,,{ 02010 pAAAAAA este

liniar dependent, adic exist scalarii 1, 2, ..., pKnu toi nuli aa nct are locegalitatea

0... 0202101 =+++ pp AAAAAA (2.5)

Sconsiderm cazul 1+ 2+ ...+ p= , 0. Demonstrm cecuaia (2.5) nA0are soluie unic.

n adevr, alegnd OAca origine, ecuaia (5) poate fi scrissub forma :

0)(...)()( 0202101r

=++++++ pp OAOAOAOAOAOA de unde rezult


54/395

52

pp OAOAOAOA +++= ...221101 sau

pp OAOAOAOA

+++= ...22

11

0

adic A0 este unic determinat i n plus, 1...21 =+++

p

. Deci A0 este o

combinaie afina celorlalte puncte.Dac1+ 2+ ...+ p= 0, cum cel puin un scalar este nenul, de exemplu p, din(5) obinem

101

202

101

0 ... = p

p

p

ppp AAAAAAAA

Considernd 0= 0 obinem

11

22

11

00 ... = p

p

p

ppp AAAAA

unde 1... 1210 =

p

p

pp

, adicsistemul de puncte {A0, A1, ..., Ap} este afin

dependent.Fie An un spaiu afin n-dimensional.

3.2.4 Definiie. Un sistem de puncte R = {A0, A1,..., An} se numete reper afin nspaiul afin Andacsunt ndeplinite condiiile:1) Reste un sistem de puncte afin independent2) Orice punct P An poate fi exprimat ca o combinaie afin a

punctelor din R .

DacReste un reper afin, atunci pentru PA avem

nnAAAP +++= ...1100 , PAn (2.6)

n care 1...210 =++++ n (2.7)Sistemul de puncte {A0, A1, ..., An} afin independent, ce formeazun reper afin,

determin n mod unic sistemul de vectori liniar independeni nAAAAAA 02010 ,...,, cereprezinto baza spaiului vectorial director Vnal spaiului afin An.

Dacconsiderm punctul A0 = Oca punct origine al spaiului afin An i notnd

baza spaiului vectorial director cu nn AAeAAeAAe 0202101 ,...,, === r

putem defini

ntr-un spaiu afin Annoiunea de reper cartezian.

3.2.5 Definiie. Se numete reper cartezianntr-un spaiu afinAn,o pereche R= {O; B}, n care O este un punct fixat n An, iar B=

{ neee ,...,, 21 } este o baza spaiului vectorial director.

Fie B = { neee ,...,, 21 } o baz a spaiului vectorial director Vn. Atunci, pentru

fiecare punctP An, vectorul de poziie OPpoate fi scris n mod unic sub forma:

nnexexexOP rrr

+++= ...2211 (2.8)


55/395

53

Scalarii x1,x2,...,xnvor fi numii coordonatele cartezieneale punctuluiPn raport

cu reperul R = {O; B}, iar bijecia nnn

,...,x,xxP K)(21

aA va fi numitfuncie de coordonate corespunztoare reperului R= {O;

19041894 algebra liniara geometrie analitica geometrie diferentiala

Documents