LABORATOR 5In Laboratorul 5 se vor prezenta metode de integrare a ecuatilor si sistemelor de ecuatii diferentale

¢ | £

2 lab5mac.nb

Definirea unei functii

Functia definita si apoi reprezentata este f(x)=sin x

f@x_D := Sin@xD

Plot@f@xD, 8x, 0, 2 Pi<D

1 2 3 4 5 6

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Definirea unei functii de doua variabile

g@x_, y_D := Im@ArcSin@Hx + I yL^4DD

Reprezentarea grafica al lui g

Plot3D@g@x, yD, 8x, -2, 2<, 8y, -2, 2<D

-2

-1

0

1

2-2

-1

0

1

2

-5

0

5

¢ | £

lab5mac.nb 3

Diferentiala totala a unei functii de mai multe variabile

Diferentiala functiei g definita mai sus

Dt@g@x, yDD

4 Hx + ä yL3 HDt@xD + ä Dt@yDL Im¢AArcSinAHx + ä yL4EE

1 - Hx + ä yL8

unde Dt[x] si Dt[y] reprezinta functiile proiectii dx, rep dy din expresia uzuala a unei deferentale totale.

Grupam expresia de mai sus dupa Dt[x] si Dt[y]

Collect@%, 8Dt@xD, Dt@yD<D

4 Hx + ä yL3 Dt@xD Im¢AArcSinAHx + ä yL4EE

1 - Hx + ä yL8

+

4 ä Hx + ä yL3 Dt@yD Im¢AArcSinAHx + ä yL4EE

1 - Hx + ä yL8

Asa cum se stie, coeficientii lui dx, respectiv dy sunt derivatele partiale ale lui g in raport cu x, respectiv in raport cu y:

¶x g@x, yD

4 Hx + ä yL3 Im¢AArcSinAHx + ä yL4EE

1 - Hx + ä yL8

¶y g@x, yD

4 ä Hx + ä yL3 Im¢AArcSinAHx + ä yL4EE

1 - Hx + ä yL8

¢ | £

4 lab5mac.nb

Rezolvarea ecuatiilor diferentiale de ordin superior cu DSolve

Ecuatia diferentiala este y'''[x] + y[x] = a Sin[x].

DSolve@y'''@xD + y@xD � a Sin@xD, y@xD, xD

::y@xD ®

ã-x C@1D + ãx�2 C@3D CosB3 x

2F + ãx�2 C@2D SinB

3 x

2F +

1

6-a Cos@xD + 4 a Cos@xD CosB

3 x

2F2

+

a Sin@xD + 2 a CosB3 x

2F2

Sin@xD + 4 a Cos@xD SinB3 x

2F2

+ 2 a Sin@xD SinB3 x

2F2

>>

unde C[1], C[2], C[3] sunt constante arbitrare.

Problema Cauchy asociata ecuatiei de mai sus care se rezolva de asemenea cu DSolve: y'''[x] + y[x] = a Sin[x], y[0]=0,y'[0]=0,y''[0]=0.

DSolve@8y'''@xD + y@xD � a Sin@xD, y@0D == 0, y'@0D == 0, y''@0D � 0<, y@xD, xD

::y@xD ® -1

6a ã-x -1 + ãx Cos@xD + 4 ã3 x�2 CosB

3 x

2F - 4 ãx Cos@xD CosB

3 x

2F2

- ãx Sin@xD -

2 ãx CosB3 x

2F2

Sin@xD - 4 ãx Cos@xD SinB3 x

2F2

- 2 ãx Sin@xD SinB3 x

2F2

>>

Conditiile initiale se adauga in blocul de ecuatii la fel ca si in cazul rezolvarii unui sistem de ecuatii diferentiale:

DSolve@8y'@xD � x^2 y@xD, z'@xD � 5 z@xD<, 8y@xD, z@xD<, xD

::y@xD ® ãx3

3 C@1D, z@xD ® ã5 x C@2D>>

¢ | £

lab5mac.nb 5

Rezolvarea ecuatiilor cu derivate partiale de ordinul al doilea cu DSolve

Sa se rezolve ecuatia ¶2uHx,yL

¶x2 +2¶2uHx,yL

¶x ¶y- 3

¶2uHx,yL¶y2 = 0:

DSolveA9¶x,xu@x, yD + 2 ¶x,yu@x, yD - 3 ¶y,yu@x, yD � 0=, u@x, yD, 8x, y<E88u@x, yD ® C@1D@-3 x + yD + C@2D@x + yD<<

cu C[1] si C[2] functii arbitrare a caror argumente dau schimbarea de variabile Ξ si Η.

In schimb problema Cauchy ¶2uHx,yL

¶x2 +2¶2uHx,yL

¶x ¶y- 3

¶2uHx,yL¶y2 = 0, u(0,y)=y2,

¶uH0,yL¶x

=y3 nu o rezolva direct:

DSolveA9¶x,xu@x, yD + 2 ¶x,yu@x, yD - 3 ¶y,yu@x, yD � 0, u@0, yD � y2, ¶x u@0, yD � y3=, u@x, yD, 8x, y<E

DSolve::deqx: Supplied equations are not differential equations of the given functions. �

DSolveA9-3 uH0,2L@x, yD + 2 uH1,1L@x, yD + uH2,0L@x, yD � 0, u@0, yD � y2, 0 � y3=, u@x, yD, 8x, y<E

si trebuie rezolvata pas cu pas:

u@x_, y_D := f@-3 x + yD + g@x + yD;

Calculam ¶uHx,yL

¶x

¶x u@x, yD

-3 f¢@-3 x + yD + g¢@x + yD

si o redenumim u1[x,y]

u1@x_, y_D := -3 f¢@-3 x + yD + g¢@x + yD;

Calculam u[0,y]

u@0, yD

f@yD + g@yD

Calculam ¶uH0,yL

¶x=u1[0,y]

u1@0, yD

-3 f¢@yD + g¢@yD

Rezolvam sistemul obtinut din conditiile initiale:

DSolveA9f@yD + g@yD � y2, -3 f'@yD + g'@yD � y3=, 8f@yD, g@yD<, yE

::f@yD ®y2

4+3

4-y4

12+ C@1D , g@yD ®

3 y2

4-3

4-y4

12+ C@1D >>

Pentru f si g astfel obtinuti, rezulta expresia lui u:

6 lab5mac.nb

f@y_D :=y2

4+3

4-y4

12+ C@1D ; g@y_D :=

3 y2

4-3

4-y4

12+ C@1D ; Simplify@u@x, yDD

-5 x4 + 7 x3 y + y2 + x y3 - 3 x2 I-1 + y2M

Suprafata integrala are are reprezentarea grafica:

Plot3DA-5 x4 + 7 x3 y + y2 + x y3 - 3 x2 I-1 + y2M, 8x, -10, 10<, 8y, -10, 10<E

-10

-5

0

5

10-10

-5

0

5

10

-60 000

-40 000

-20 000

0

¢ | £

lab5mac.nb 7

Aproximarea solutiei sistemelor de ecuatii diferentiale cu NDSolve

Solutiile ecuatiilor si sistemelor de ecuatii diferentiale care nu pot fi integrate, pot fi aproximate cu diferite metode de aproximarede Mathematica 6.0 prin intermediul instructiunii NDSolve. Implicit este algoritmul Runge-Kutta, care in general da o aproxi-mare suficient de buna a solutiei. Mathematica 6.0 dispune si de alti algoritmi de aproximare care pot fi dati explicit cu "Method".

Sa se afle traiectoria rigidului liber a carui ecuatii de miscare sunt: m1'[t] = a1 m2[t] m3[t]m2'[t] = a2 m1[t] m3[t] m3'[t] = a3 m1[t] m2[t]a1 =

1

I3-

1

I2

a2 =1

I1-

1

I3

a3 =1

I2-

1

I1

I1,I2,I3 fiind componentele tensorului de inertie.

Ca a putem folosi instructiune NDSolve trebuie neaparat-sa dam valori numerice constantelor-sa adaugam conditiile initale in blocul de ecuatii

I1 = 7; I2 = 5; I3 = 1;

a1 =1

I3-

1

I2; a2 =

1

I1-

1

I3; a3 =

1

I2-

1

I1;

sol = NDSolve@8m1'@tD � a1 m2@tD m3@tD, m2'@tD � a2 m1@tD m3@tD, m3'@tD � a3 m1@tD m2@tD,m1@0D == 1, m2@0D == 1, m3@0D == 1<, 8m1@tD, m2@tD, m3@tD<, 8t, -10, 10<D

88m1@tD ® InterpolatingFunction@88-10., 10.<<, <>D@tD,m2@tD ® InterpolatingFunction@88-10., 10.<<, <>D@tD,m3@tD ® InterpolatingFunction@88-10., 10.<<, <>D@tD<<

Reprezentarea grafica a solutiei, adica traiectoria de miscare a rigidului:

ParametricPlot3D@Evaluate@8m1@tD, m2@tD, m3@tD< �. solD, 8t, -10, 10<D

-1

0

1

-1

0

1

0.981.001.02

Sa se gaseasca solutia sistemului si sa se reprezinte grafic:x1'[t] = x2[t] - k x3[t]x2'[t] = x1[t] x3[t]x3'[t] =-x1[t] x2[t]

8 lab5mac.nb

Sa se gaseasca solutia sistemului si sa se reprezinte grafic:x1'[t] = x2[t] - k x3[t]x2'[t] = x1[t] x3[t]x3'[t] =-x1[t] x2[t]

Se dau valori constantelor:

k = 7;

Se mai adauga conditii initiale in blocul de ecuatii:

sol = NDSolve@8x1'@tD � x2@tD - k x3@tD, x2'@tD � x1@tD x3@tD, x3'@tD � -x1@tD x2@tD,x1@0D == 1, x2@0D == 1, x3@0D == 1<, 8x1@tD, x2@tD, x3@tD<, 8t, -10, 10<D

88x1@tD ® InterpolatingFunction@88-10., 10.<<, <>D@tD,x2@tD ® InterpolatingFunction@88-10., 10.<<, <>D@tD,x3@tD ® InterpolatingFunction@88-10., 10.<<, <>D@tD<<

Reprezentarea grafica a solutiei:

ParametricPlot3D@Evaluate@8x1@tD, x2@tD, x3@tD< �. solD, 8t, -10, 10<D

-5

0

5 -1

0

1

-1

0

1

Sa se gaseasca solutia sistemului si sa se reprezinte grafic:x1'@tD = x2@tDx2'@tD = -x1@tD2 - x1@tD

Nu avem parametrii, deci adaugam numai conditii initiale in blocul de ecuatii:

sol = NDSolveA9x1'@tD � x2@tD, x2'@tD � -x1@tD2

- x1@tD, x1@0D == 1, x2@0D == 1=, 8x1@tD, x2@tD<, 8t, -3, 3<E88x1@tD ® InterpolatingFunction@88-3., 3.<<, <>D@tD,

x2@tD ® InterpolatingFunction@88-3., 3.<<, <>D@tD<<

Reprezentarea grafica a solutiei:

lab5mac.nb 9

ParametricPlot@Evaluate@8x1@tD, x2@tD< �. solD, 8t, -3, 3<D

-8 -6 -4 -2

-2

2

4

6

¢ | £

10 lab5mac.nb

lab5mac.nb 11