arhiva 2008 geometrie diferentiala completa alfabetic
TRANSCRIPT
1
Geometrie diferenţială An.1 Sem.2 MI – Info
Autor: Cris_43 – Deva Anul I. MI – Informatica, [email protected]
A 1
Cercul cu centrul în origine şi de raza r scris în coordonate polare are ecuaţia
a. p r= b. cos , sin ( )x p t y p t t= = ∈� a
C 25
Conditia de ...........................ORTOGONALITATE....................... a doua curbe ( )1γ şi ( )2γ pe o suprafata
( ),r r u v=� �
este:
( ) 0Edu u F du v dv u Gdv uδ δ δ δ+ + + =
D 103
Curba (C) de ecuaţie:
( ) 3 2 3 2 2: 1 , , 5 2 3, C x t y t t z t t t= + = + = + + ∈� este:
a. situată în planul: 8 10 3 0x y z+ − − = c. situată în planul: 3 2 0x y z+ − =
b. tangenta la planul: 3 2 1 0x y z+ + − = d. tăiată de planul: 3 2 0x y z+ − = în două
puncte.
c
D 85
Curba (C) definită prin ecuaţiile parametrice:
cos
sin
x r
y r
z k
θ
θ
θ
=
= =
este o:
a. elipsă în spaţiu. c. elice conică. b. elice circulară. d. altă curbă din spaţiu.
b
A 41
Curba a carei ecuatie implicita este:
( ) ( )2 2 2
3 3 3: 0C x y a a+ = >
se numeste ……………..…ASTROIDA……………..…
H 197
Curba a carei ecuatie implicita este:
( ) ( )2 2 2
3 3 3: 0C x y a a+ = >
se numeste .....................ASTROIDA.....................
A 4
Curba de ecuatie
( ) ( ): 1 cosC aρ α= +
reprezinta
a. un cerc scris în coordonate b. un lantisor c. o cardioida
polare şi de raza 2
a
c
A Curbe Plane B Curbe in spatiu C Suprafete
Grila actuala
D Prima grila (157 subiecte) E Grila 2007 - Curbe plane - True / False F Grila 2007 - Curbe strimbe - True / False G Grila 2007 - Suprafete - True / False H Grila 2007 - Completion
2
E 3
Curba de ecuatie:
( ) ( ): 1 cosC aρ α= +
este numita (se numeste) si cicloida.
F
E 6
Curba de ecuatie:
( ) ( ): 1 cosC aρ α= +
este numita (se numeste) si cardioida.
T
B 34
Curba de ecuatie:
0
at
z
ρ =
=
reprezinta ......................SPIRALA LUI ARHIMEDE......................
E 2
Curba definita de ecuatiile parametrice:
( )( )
( )
sin:
1 cos
x a t tC
y a t
= −
= −
se numeste cisoida.
F
E 4
Curba definita de ecuatiile parametrice:
( )( )
( )
sin:
1 cos
x a t tC
y a t
= −
= −
se numeste cicloida.
T
B 2
Curba definita parametric de ecuatiile:
( ) [ ]cos
: sin , 0, 2
x at t
C y at t t
z bt
π
=
= ∈ =
reprezintă:
a. o elipsă în spaţiu. c. o elice conica. b. o elice circulara. d. altă curba în spaţiu.
c
B 1
Curba ( )C definita prin ecuatiile parametrice:
cos
sin
x r
y r
z k
θ
θ
θ
=
= =
este o:
a. elipsă în spaţiu. c. elice conica. b. elice circulara. d. altă curba din spaţiu.
b
D 88
Curba definită parametric de ecuaţiile:
( ) [ ]cos
: sin , 0, 2
x at t
C y at t t
z bt
π
=
= ∈ =
reprezintă:
a. o elipsă în spaţiu. c. o elice conică. b. o elice circulară. d. altă curbă în spaţiu.
c
3
D 136
Curba definită parametric prin ecuaţiile:
( )cos
sin
x r
C y r
z k
θ
θ
θ
=
= =
reprezinta o:
a. spirală logaritmică c. elice circulară b. elice conica d. cerc în spaţiu.
c
D 102
Curba în spaţiu:
( ) 3 3 3: 3 2 4 , 4 3 2 , 2 4 3 , C x t t y t t z t t t= + + = + + = + + ∈�
este situată întrun plan ( )P de ecuaţie:
a. 10 8 27 0x y z+ − − = c. 10 8 27 0x y z− + − =
b. 10 8 27 0x y z+ − + = d. 10 8 27 0x y z− + − =
b
D 135
Curba lui Viviani, definită implicit de ecuaţiile:
( )2 2 2 2
2 2
0
0
x y z rC
x y rx
+ + − =
+ − =
admite reprezentarea parametrică:
a. [ ]
cos
sin cos , 0, 2
sin
x r t
y r t t t
z r t
π
=
= ∈ =
c. [ ]2
sin cos
sin , 0, 2
cos
x r t t
y r t t
z r t
π
=
= ∈ =
b. [ ]
2cos
sin cos , 0, 2
sin
x r t
y r t t t
z r t
π
=
= ∈ =
d. [ ]
2sin
sin cos , 0, 2
sin
x r t
y r t t t
z r t
π
=
= ∈ =
b
H 198 Curba plana a carei .....................CURBURA.....................constanta este un cerc.
A 42 Curba plana a carei ……………..…CURBURA……………..… constanta este un cerc.
H 213
Curba stramba a carei ecuatie implicita este
( )2 2 2 0
:0
x y rC
z
+ − =
=
reprezinta un .....................CERC.....................
H 216
Curba stramba a carei reprezentare parametrica este
( ) ( )cos
: sin
x at t
C y at t t
z bt
= ⋅
= ⋅ ∈ =
�
ste o elice .....................CONICA.....................
4
H 224
Curba stramba a carei reprezentare parametrica este
( ) ( )
cos
: sin
x r t
C y r t t
z kt
= ⋅
= ⋅ ∈ =
� (C):
este o elice ……………CIRCULARA……….............
B 18
Curba strimba a carei ecuatie implicita este:
( )2 2 2 0
:0
x y rC
z
+ − =
=
reprezinta un ......................CERC......................
B 16
Curba strimba a carei reprezentare parametrica este:
( ) ( )cos
: sin ,
x at t
C y at t t
z bt
=
= ∈ =
�
este o elice ......................CONICA......................
B 17
Curba strimba a carei reprezentare parametrica este:
( ) ( )cos
: sin ,
x r t
C y r t t
z kt
=
= ∈ =
�
este o elice ......................CIRCULARA......................
B 33
Curbe de ecuatie implicita
2 2 2 2 0
0
x y z r
z
+ + − =
=
este un ......................CERC......................
A 100 Curbele ( )1C şi ( )2C admit în punctul M un contact de ordinul n, dacă cele două curbe au (n +1) puncte
……………..…CONFUNDATE……………..…
A 98 Curbele plane a căror curbură este constantă sunt ……………..…CERCURI……………..….
A 91 Curbura cercului de raza 1/2 este ……………..…2……………..…
B 32 Curbura unui cerc de raza 1
4 este egala cu ......................4......................
A 48
Daca în punctul M (x,y)∈(C): ( ) ( )1 2, 0, , F x y F C D D= ∈ ⊂ �
( ) 2 2
20,
xy x yF F F′′ ′′ ′′− <
atunci M se numeste ……………..…PUNCT IZOLAT……………..… al curbei.
C 38 Dacă normala în punctul curent al unei suprafeţe păstrează direcţia fixă, suprafaţa este un …....…PLAN………
A 14
Determinati punctele singulare ale curbei
( ) ( )( )2: 2 1 0C y x x− − − =
şi sa se scrie ecuatiile tangentelor corespunzatoare.
a. ( )0, 2 2A y x= ± b. ( ) ( )0, 2 2A y x= ± −
b
5
A 59
Distanta de la un punct M la punctul T, unde tangenta (MT ) taie axa Ox se numeste
……………..…SEGMENT TANGENTA……………..…
G 8
Ecuatia normalei intr-un punct ordinar M la o suprafata definita de ecuatia explicita:
( ) ( ): ,S z f x y=
este:
1
X x Y y Z z
p q
− − −= =
−
unde x
p z′= si y
q z′=
T
G 9
Ecuatia normalei intr-un punct ordinar M la o suprafata definita de ecuatia explicita:
( ) ( ): ,S z f x y=
este:
1
X x Y y Z z
p q
− − −= =
unde x
p z′= si y
q z′= .
F
G 4
Ecuatia planului normal la sfera:
( ) 2 2 3 2:S x y z R+ + =
in punctul ( ) ( )0 0 0, ,M x y z S∈ este
0 0 0 0xx yy zz+ + = .
T
G 6
Ecuatia planului tangent la o suprafata definita de ecuatia explicita:
( ) ( ): ,S z f x y=
este:
( ) ( ) ( ) 0p X x q Y y Z z− + − + − =
unde x
p z′= si y
q z′=
F
G 7
Ecuatia planului tangent la o suprafata definita de ecuatia explicita:
( ) ( ): ,S z f x y=
este:
( ) ( ) ( ) 0p X x q Y y Z z− + − − − =
unde x
p z′= si y
q z′=
T
G 5
Ecuatia planului tangent la sfera:
( ) 2 2 3 2:S x y z R+ + =
in punctul ( ) ( )0 0 0, ,M x y z S∈ este
20 0 0xx yy zz R+ + = .
F
G 1
Ecuatiile:
[ ) [ ]( )cos sin
sin sin 0, , 0, 2
cos
x R
y R
z R
α β
α β α π β π
β
=
= ∈ ∈ =
constituie o reprezentare parametrica a unei sfere.
T
6
G 2
Ecuatiile:
[ ) [ ]( )cos sin
sin sin 0, , 0,
cos
x R
y R
z R
α β
α β α π β π
β
=
= ∈ ∈ =
constituie o reprezentare parametrica a unei semi-sfere.
F
A 53
Ecuaţia tangentei la curba
( )cos
:sin
t
t
x e tC
y e t
=
=
în punctul A(1,0).este ……………..…X - y - 1 = 0……………..…
A 52
Ecuaţia:
( ) ( ) 0y xY y F X x F′ ′− + − =
reprezinta ……………..…TANGENTA……………..… la o curba regulata ( ), 0F x y = , dusa printr-un punct
( ),x y al curbei.
F 1
Elementul de arc al curbei circulare:
( ) [ ]( )cos
: sin 0, 2
x a
C y a
z k
θ
θ θ π
θ
= ⋅
= ⋅ ∈ =
este
2 22ds a kπ= +
F
F 2
Elementul de arc al curbei circulare:
( ) [ ]( )cos
: sin 0,2
x a
C y a
z k
θ
θ θ π
θ
= ⋅
= ⋅ ∈ =
este
2 22ds a k dπ θ= +
T
E 10
Elementul de arc al curbei:
( ) ( ): 1 cosC aρ α= +
este:
2 cos2
ds a dα
α=
T
E 9
Elementul de arc al curbei:
( ) ( ): 1 cosC aρ α= +
este:
22 cos2
ds a dα
α= .
F
7
D 141
Elementul de arc pe curba:
( ) [ ]cos
: sin , 0, 2
x a
C y a t
z k
θ
θ π
θ
=
= ∈ =
este:
a. 2 2ds a k dθ= − c. 2 2ds a k dθ= +
b. 21ds a k dθ= + d. 211ds k d
aθ= +
c
D 139
Elementul de arc pe elicea conică:
( )
cos
sin
x at t
C y at t
z bt
=
= =
este:
a. 2 2 2ds a t b dt= + c. 2 2
ds a b t dt= +
b. 2
22
bds t dt
a= + d. 2 2 2
ds a t b dt= + +
d
E 12
Elementul de arc pe lantisorul de ecuatie:
( ) :C y chx=
este: ds chx= .
T
E 11
Elementul de arc pe lantisorul de ecuatie:
( ) :C y chx=
este: ds shx= .
F
D 143
Eliminand parametrul t intre ecuatiile parametrice reprezentand curba:
( ) 2
2
1
2
2
x t
C y t t
z t
= +
= + +
= − +
obtinem ecuatiile implicite ale curbei:
a. ( )( )
21 2 0
3 0
x zC
x y z
+ − − =
− − − = c. ( )
( )2 2 1 0
0
x z yC
x y z
+ − − =
− − =
b. ( )( )
22 1 2 0
3 0
z xC
x y z
+ − − =
− − + = d. ( )
( )2
1 2 0
3 0
x y zC
x y z
+ − − =
− − + =
b
8
D 84
Eliminând parametrul t între ecuaţiile curbei:
( )
2cos
: sin cos
sin
x r t
C y r t
z r t
=
= =
să se scrie ecuaţiile curbei (C) sub formă implicită.
a.
2 2 2 2
2 2 2
0
0
x y z r
x y z rx
+ − − =
+ + − = c.
2 2
2 2
0
0
x y ry
x y rz
+ − =
+ − =
b.
2 2 2 2
2 2
0
0
x y z r
x y rx
+ + − =
+ − = d.
2 2 2
2 2 2
0
0
x y z rx
x y z rz
+ + − =
+ + − =
b
D 21
Eliminând parametrul ϕ între ecuaţiile parametrice ale curbei:
( )
2
3
2 sin
sin2
cos
x a
Cy a
ϕ
ϕ
ϕ
=
=
(cisoida lui Diocles)
se obţine ecuaţia curbei sub formă implicită:
a. ( )2 2 22 0y x y ax+ − = c. ( ) ( )2 2 2 2 2 0x x y a x y+ + − =
b. ( )2 2 22 0x x y ay+ + = d. ( )2 2 22 0x x y ay+ − =
b
C 32 Elipsoidul este o suprafata ……………………..…REGULATA…………..
C 21
Fie ( )S datã de ecuaţia explicitã:
( ) ( ) ( ) 2: , , ,S z f x y x y D= ∈ ⊂ �
Coeficientii lui ………....GAUSS...................... se scriu sub forma:
2 21 , , 1E p F pq G q= + = = +
A 19
Fie ( ) ( ): , 0C F x y = o curba plana iar ( )M C∈ a.i prin M trec două ramuri ce admit tangente distincte
în acest punct (vezi figura ).
Atunci:
a. ( ) 2 2
20
xy x yF F F′′ ′′ ′′− > b. ( ) 2 2
20
xy x yF F F′′ ′′ ′′− = c. ( ) 2 2
20
xy x yF F F′′ ′′ ′′− <
a
9
A 20
Fie ( ) ( ): , 0C F x y = o curba plana iar ( )M C∈ un punct izolat (vezi figura ).
Atunci:
a. ( ) 2 2
20
xy x yF F F′′ ′′ ′′− < b. ( ) 2 2
20
xy x yF F F′′ ′′ ′′− = c. ( ) 2 2
20
xy x yF F F′′ ′′ ′′− >
a
A 82
Fie ( ) ( ): , 0C F x y = o curba plana şi ( ),M x y un punct regulat. Atunci dreapta de ecuatie:
( ) ( ) 0y x
X x F Y y F′ ′− − − =
se numeste ……………..…NORMALA……………..… la curba dusa prin punctul M
C 29
Fie ( ) 3S ⊂ � o suprafata reprezentatã prin ecuatiile ei parametrice Se stie ca unghiul a doua curbe
coordonate este dat de relatia:
cosF
EGα = .
Condtia de ortogonalitate a curbelor este …………..…F = 0…………...
A 90
Fie ( )C un arc de curbă plana, iar
0
1lim ,
def
xR s
ε∆ →
=∆
unde ε are semnificatia din figura alaturata
Atunci, s
ε
∆ reprezinta ……………..…ABATEREA UNITARA……………..…
B 39
Fie (C) un arc de curbă regulat din spatiu iar ( ), ,M x y z un punct arbitar pe (C). Numarul
3
r r
r
′ ′′×
′
�� ���
��
defineste ............................CURBURA......................... curbei
10
B 40
Fie (C) un arc de curbă regulat din spatiu iar ( ), ,M x y z un punct arbitar pe (C). Numarul
( )
2
r r r
r r
′ ′′ ′′′× ⋅
′ ′′×
�� ��� ���
�� ���
defineste ……………….....TORSIUNEA...................... curbei
D 151
Fie ( ) ( ) ( ) ( ): 2cos 2sin 4C r t i t j t k= + +�� ��
, o curba definita prin ecuatia sa vectorială şi
4oM tπ
=
un punct pe aceasta curbă. Atunci ecuaţiile tangentei si planului normal sunt respectiv:
a. 2 2
42 2
X Y Z π− − −= =
− si 2 2 4 4 0X Y Z π− + − =
b. 2 2
42 2
X Y Z π− − −= =
− si 2 2 4 4 0X Y Z π− + + − =
c. 2 2
1 1 2
X Y Z π− − −= = si 2 2 0X Y Z π+ + − =
d. 3 1 4
42 2
ZX Y
π−
− −= =
− si 2 2 4 2 0X Y Z π− + − =
b
D 73
Fie AB un segment de lungime AB=k (const), care se deplasează sprijinindu-se cu capătul A pe axa OX şi cu capătul B pe axa OY . Să se afle înfăşurătoarea familiei de drepte AB .
a. x
y acha
= c. 2 2 2
3 3 3x y k+ =
b. 3 3 3
2 2 2x y k+ = d.
2
3
cos,
sin
x a tt
y a t
=∈
=�
a
E 1
Fie arcul de curba: ( ) [ ]cos
: 0, 0,sin
xC
y
ρ θρ θ π
ρ θ
=> ∈
=
Atunci elementul de arc pe curba este: 2 2ds ρ ρ′= + .
T
A 51
Fie arcul de curbă regulat, definit parametric de ecuatiile:
( ) ( ), x x t y y t= =
Atunci derivatele de ordinul intai ( ) ( ),t tx t y t calculate intr-un punct arbitrar al curbei reprezinta
……………..…PARAMETRII DIRECTORI……………..… ai tangentei
A 89
Fie conica:
( ) ( ) 2 211 12 22 13 23 33: , 2 2 2 0C F x y a x a xy a y a x a y a≡ + + + + + =
Atunci, un punct ( ) ( ),M x y C∈ este un punct singular doar daca conica este
……………..…DEGENERATA……………..…
11
D 47 Fie curba ( ) 2 3 , C y x px p= + ∈� şi fie ,0
3
pA
un punct singular al curbei. Atunci:
a. A este punct de întoarcere pentru p < 0 c. A este punct dublu pentru p < 0 b. A este nod pentru p > 0 d. A este punct izolat pentru orice p > 0.
b
D 147
Fie curba ( )C de ecuaţii parametrice:
( )
cos
: sin
x a
C y a
z b
θ
θ
θ
=
= =
Atunci versorii triedrului lui Frenet in punctul A de parametru 0θ = sunt:
a. ( ) ( )2 2 2 2
, , aj bk bj ak
A n A i ba b a b
τ− +
= = =+ +
� �� ���� �
b. ( ) ( )2 2 2 2
, , aj bk bj aj
A i n A ba b a b
τ+ − +
= = =+ +
�� � ���� �
c. ( ) ( )2 2 2 2
, , aj bk bj ak
A n A b ia b a b
τ+ − +
= = = −+ +
� �� �� �� �
d. ( ) ( )2 2 2 2
, , ai bj aj bj
A n A b ia b a b
τ− +
= = = −+ +
� � � �� �� �
c
D 49
Fie curba ( )C definită implicit de ecuaţia: ( ) ( ): , 0C F x y = şi ( )0 0,M x y ∈� un punct singular.
Atunci:
a. M este nod dacă ( )2
0xy xx yyF F F′′ ′′ ′′− < în M
b. M nu un punct izolat dacă ( )2
0xy xx yyF F F′′ ′′ ′′− = în M
c. Prin M trec două ramuri ale curbei ce admit tangente distincte în acest punct
dacă ( ) ( )( )2
0xy xx yyF F F′′ ′′ ′′− = în M
d. Toate variantele de mai sus sunt adevărate
b
D 15
Fie curba ( )C definită în coordonate polare de ecuaţie: ( ) ( ) C ρ ρ θ= – (posibil (C)=ρ= ρ(θ)). Să se
scrie ecuaţiile tangentei (t ) şi normalei (n) la curba ( )C în punctul curent
a. ( ) ( ):tg
t Y y X xtg
ρ θ
ρ ρ θ− = −
′ − c. ( ) ( )
2:
tgt Y y X x
tg
ρ θ
ρ θ
′ ⋅− = −
′ −
( ) ( ):tg
n Y y X xtg
ρ θ ρ
ρ θ
′−− = − ( ) ( ):
2
tgn Y y X x
tg
θ ρ
ρ θ
′−− = −
′
b. ( ) ( ):tg
t Y y X xtg
ρ θ ρ
ρ ρ θ
′ +− = −
′ − d. ( ) ( ):t Y y tg X xρ θ′− = −
( ) ( ):tg
n Y y X xtg
ρ θ ρ
ρ θ ρ
′−− = −
′ + ( ) ( )
1:n Y y X x
tgρ θ− = −
′
b
12
A 29
Fie curba (C) definita implicit de ecuaţia: (C): F(x,y) = 0 şi ( )0 0,M x y ∈� un punct singular.
Atunci:
a. M este nod daca ( )2
0xy xx yyF F F′′ ′′ ′′− < în M
b. M nu un punct izolat daca ( )2
0xy xx yyF F F′′ ′′ ′′− = în M
c. Prin M trec doua ramuri ale curbei ce admit tangente distincte în acest punct
daca ( ) ( )( )2
0xy xx yyF F F′′ ′′ ′′− = în M
d. Toate variantele de mai sus sunt adevarate
b
A 24
Fie curba (C) definita în coordonate polare de ecuatie: (C) ρ = ρ (θ ). Notam V - unghiul dintre tangenta MT şi raza vectoare OM . Atunci:
a. 1
tgVρ
= b. 1
tgVρ
=′
c. tgVρ
ρ=
′ d. tgV
ρ
ρ
′=
c
D 118
Fie curba ( ) ( ) ( ): cos ln , sin ln , C x t a t y t a t z bt= = = , atunci binormala ( )nB într-un punct
( ) ( ), ,x y z C∈ are ecuaţiile:
( )( ) ( )cos ln sin ln
:n
X t a t Y t a t Z btB
A B C
− − −= = , unde:
a. ( ) ( )sin ln cos lnab
A a a t a tt
= +
( ) ( )cos ln sin lnab
B a a t a a tt
= −
( )21a
C at
= +
b. ( ) ( )sin ln cos lnab
A a a t a tt
= −
( ) ( )cos ln sin lnab
B a a t a a tt
= +
( )21a
C at
= +
c. ( ) ( )cos ln sin lnab
A a a t a a tt
= −
( ) ( )cos ln sin lnab
B a t a a tt
= +
( )21ab
C at
= +
d. ( ) ( )sin ln cos lnab
A a t t a tt
= +
( ) ( )cos ln sin lnab
B t a t a tt
= −
( )21ab
C at
= +
b
13
D 45
Fie curba ( ) : cos , n nC a n nρ θ= ∈� . Notăm
nS - lungimea segmentului subnormală polară şi R -
raza de curbură. Atunci:
a. ( )1n
S n R= + b. 1n
RS
n=
+ c. 2
nS n R= d. n
nS R=
a
F 18
Fie curba ( )C a carei ecuatie vectoriala este ( ) ( ): , C r r t t I= ∈� �
. Notam:
. .. ...
, ,r r r� � �
- derivatele de ordinul intai, doi, respectiv trei ale vectorului ( )r t�
,
1 1,
R T - curbura respectiv torsiunea curbei.
Atunci:
. .. ...
2. ..
, ,1
r r r
Rr r
=
×
� � �
� �
. ..
3.
1r r
Tr
×
=
� �
�
F
A 38
Fie curba de ecuatie implicita:
( ) ( ): , 0C F x y =
şi ( ) ( ),M a b C∈ un punct care satisface conditiile:
( )
( )
( )
, 0
, 0
, 0
t
x
t
y
F a b
F a b
F a b
=
=
=
Atunci, M se numeste ……………..…PUNCT SINGULAR……………..…al curbei ( )C
H 212
Fie curba de ecuatie implicita:
( ) ( ): , 0C F x y =
si ( ) ( ),M a b C∈ un punct care satisface conditiile:
( )
( )
( )
, 0
, 0
, 0
x
y
F a b
F a b
F a b
=
=
=
Atunci, M se numeste .....................PUNCT SINGULAR..................... al curbei ( )C .
A 13
Fie curba de ecuatie: ( ), 0F x y = şi M un punct pentru care
( ) 2 2
20,
xy x yF F F′′ ′′ ′′− >
Atunci
a. M este un punct izolat c. M este un punct regulat b. prin M trec doua ramuri ce admit tangente distincte în acest punct d. M este un punct de intoarcere
b
A 71
Fie curba de ecuatie: (C) : y2 − (x−2)(x−1)=0
Atunci ( )2,0A este un punctul singular de tip ……………..…NOD……………..…
14
A 21
Fie curba de ecuatie: (C):x4+2ax
2y−ay
3 =0 Să se stabileasca care dintre afirmatiile de mai jos este adevarata:
a. Originea este singurul punct regulat d. Originea este un punct dublu
b. ( )2,0A este un punct singular al curbei e. Originea este un punct triplu
c. Toate punctele curbei sunt regulate
e
A 35
Fie curba de ecuatii parametrice:
( )( )
( )( )( ): ,
x x tC t
y y tα β
=∈
=
şi ( ) ( ),M X Y C∈ un punct regulat situat pe curba. Atunci dreapta de ecuatie:
( ) ( ) 0t tx X x y Y y− + − =
reprezinta ……………..…NORMALA……………..… în punctul curent la curba data
A 36
Fie curba de ecuatii parametrice:
( )( )
( )( )( ): ,
x x tC t
y y tα β
=∈
=
şi ( ) ( ),M X Y C∈ un punct regulat situat pe curba. Atunci dreapta de ecuatie:
t t
X x Y y
x y
− −=
reprezinta ……………..…TANGENTA……………..… în punctul curent la curba data.
A 37
Fie curba de ecuatii parametrice:
( )( )
( )( )( ): ,
x x tC t
y y tα β
=∈
=
şi ( ) ( ),M X Y C∈ un punct regulat situat pe curba. Atunci dreapta de ecuatie:
t t
X x Y y
x y
− −=
−
reprezinta ……………..………………..…în punctul curent la curba data.
?
H 202
Fie curba de ecuatii parametrice:
( )( )
( )( )( ) ,
x x tC t
y y tα β
=∈
=
si ( ) ( ),M X Y C∈ un punct regulat situat pe curba. Atunci dreapta:
( ) ( ) 0x X x y Y y′ ′− + − =
este ecuatia .....................NORMALEI..................... in punctul curent la curba data.
15
H 215
Fie curba de ecuatii parametrice:
( )( )
( )( )( ): ,
x x tC t
y y tα β
=∈
=
si ( ) ( ),M X Y C∈ un punct regulat situat pe curba. Atunci dreapta:
X x Y y
x y
− −=
′ ′
este ecuatia .....................TANGENTEI.....................in punctul curent la curba data.
D 62
Fie curba de ecuaţie:
( ) : , 0x
C y ach aa
= ≠ (lănţişorul)
Notăm: 1
R- curbura curbei şi
nS - segmentul normală corespunzătoare unui punct arbitrar pe curbă.
Atunci:
a. 1
nSR
= b. 1
2 nSR
= c. 1
nS constR
= d. 2
nSR
=
c
D 63
Fie curba de ecuaţie:
( ) : ,kaC aeρ = (spirala logaritmică)
Notăm: 1
R - curbura curbei şi
nS - segmentul normală corespunzător unui punct arbitrar pe curbă.
Atunci:
a. 1
nSR
= b. 1
2 nSR
= c. 1
nS constR
= d. 2
nSR
=
c
D 144
Fie curba de ecuaţii parametrică:
( ) 2
2
1
2
2
x t
C y t t
z t
= +
= + +
= −
atunci ecuaţia planului osculator într-un punct arbitrar situat pe curba ( )C este:
a. ( )2 2 0t x y tz− + − − = c. 3 0x y z− − + =
b. ( )1 2 0tx t y z t+ − − + = d. 2 3 0x y z t− + − =
c
16
D 148
Fie curba de ecuaţii parametrice:
( ) 2
2
1
1
xt
C yt
z t
=
= =
( )
Atunci:
a. ( )C este o curba plană
b. curbura curbei este
( )
2
3/24 5
1 2 1
3 24 1
t
R t t
+=
+ +
c. torsiunea curbei este
( )
2
24 5
1 4 5
3 24 1
t
T t t
+=
+ +
d. 2Td = constant, unde d este distanta de la originea axelor de coordonate la planul
osculator într-un punct ( ) ( )M t C∈
d
D 146
Fie curba de ecuaţii parametrice:
( )
( )
( )
cos ln
sin ln
x t a t
C y t a t
z bt
=
= =
Atunci binormala in punctul curent are ecuatia:
a. ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2
sin ln cos ln
sin ln cos ln cos ln cos ln 1
X t a t Y t a t Z bt
ab ab aab a t ab a t a a t a t a t
t t t
− − −= =
− − +
b. ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2
cos ln sin ln
1sin ln cos ln cos ln sin ln
X t a t Y t a t Z bt
ab ab t aab a t a t a a t a a tt t
− − −= =
+− +
c. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
ln ln
sin ln cos ln cos ln sin ln
X at t Y a t Z bt
ab abt a t abt a t ab abt a t abt a t a t
− − −= =
− − +
d. ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )2
sin ln cos ln
sin ln cos ln cos ln sin ln 1
X t a t Y t a t Z bt
ab ab aab a t ab a t ab a t ab a t a
t t t
+ + += =
+ + +
b
D 89
Fie curba de ecuaţii parametrice:
( ) { }2
1 1: , , , \ 1
1 1 1
t tC x y z t
t t t
+= = = ∈ ±
− − +�
şi planul (P) de ecuaţie:
( ) 2: 4 2 3 0P x y z− + + =
atunci:
a. curba înţeapă planul în punctul 1
1, , 32
A
− −
c. curba este conţinută în plan.
b. planul este tangent la curbă în punctul M (1,0, −2) d. tangenta la curbă în punctul curent are direcţia normală a planului.
b
17
D 111
Fie curba de ecuaţii:
( )2 2
2 2
4 0:
4 0
x zC
x y
+ − =
+ − =
atunci, ecuaţia tangentei ( )t şi ecuaţia planului normal ( )nP în punctul ( )0 3,1,1M sunt respectiv:
a. ( ) ( )3 1 1
: , : 3 3 1 013 3
X Y Zt n X Y Z
− − −= = + − − =
b. ( ) ( )3 1 1
: , : 3 3 1 013 3
X Y Zt n X Y Z
− − −= = + − − =
c. ( ) ( )3 1 1
: , : 3 3 3 01 3 3
X Y Zt n X Y Z
− − −= = + + − =
d. ( ) ( )3 1 1
: , : 3 3 3 01 3 3
X Y Zt n X Y Z
− − −= = − − + =
−
d
D 14
Fie curba ( )C definită în coordonate polare de ecuaţie: ( ) ( ) C ρ ρ θ= – (posibil (C)=ρ= ρ(θ)). Notăm V
- unghiul dintre tangenta MT şi raza vectoare OM . Atunci
a. 1
tgVρ
= b. 1
tgVρ
=′
c. tgVρ
ρ=
′ d. tgV
ρ
ρ
′=
c
D 132
Fie curba în spaţiu:
( ) ( ) ( )2: 2 ln , 0C r t ti t j t k t= + + >�� ��
Să se calculeze versorul tangentei δ�
, în punctul ( )2,1,0P şi ecuaţia tangentei la curbă în acest punct.
a. 2 2 1
3 3 3i j kδ = + +
�� � � si ( )
2 1:
2 2 1
X Y ZT
− −= =
b. 2 2i j kδ = + +�� � �
si ( )2 1
: 2 2 1
X Y ZT
− −= =
c. 1
2i j kδ = + +
�� � � si ( )
2 1:
2 1 2
X Y ZT
− −= =
d. 2 2 1
3 3 3i j kδ = + −
�� � � si ( )
2 1:
2 2 1
X Y ZT
− −= =
−
a
A 12
Fie curba plana reprezentata cartezian de ecuaţia
( ) ( ) ( ) 2: , 0, ,C F x y x y D= ∈ ⊂ �
unde ( )1F C D∈ . În acest caz, solutiile sistemului
( )
( )
( )
, 0
, 0
, 0
x
y
F x y
F x y
F x y
=
′ =
′ =
se numesc puncte
a. singulare b. regulate c. izolate
a
18
A 88
Fie curba plana: (C) : F(x,y) ≡x3+xy2+xy+y3−2x2−2y2=0
Atunci, punctul originea este un ……………..…PUNCT IZOLAT……………..… pentru curba data.
A 86
Fie curba plana: (C) : y2 − (x−2)(x−1)=0
Atunci, punctul ( )2,0A este un ……………..…NOD……………..… pentru curba data.
A 87
Fie curba plana: (C) : y2 − (x−2)(x−1)=0
Atunci, punctul ( )2,0A este un ……………..…NOD……………..… pentru curba data.
D 54
Fie curba plană ( ) ( ) 3 2 2 3 2 2: , 2 2 0C F x y x xy yx y x y≡ + + + − − =
Să se stabilească punctele singulare ale curbei.
a. O(0,0), punct izolat. c. B(−1,−1) , punct singular de tip nod. b. A(1,1) , punct dublu. d. altă variantă.
d
F 10 Fie curba regulata de ecuatie vectoriala ( ) , r r t t I= ∈
� �. Atunci vectorul
r
rτ =
�����
se numeste versorul
binormalei la curba in punctul curent pe curba.
F
F 11 Fie curba regulata de ecuatie vectoriala ( ) , r r t t I= ∈
� �. Atunci vectorul
.
.
r
r
τ =
��
� se numeste versorul
tangentei la curba in punctul curent pe curba.
T
H 225
Fie curba regulata de ecuatie vectoriala ( ) , r r t t I= ∈� �
. Atunci vectorul r r
br r
×=
×
� �� ���
� �� �� se numeste
versorul .....................BINORMALEI..................... la curba in punctul curent pe curba.
F 12 Fie curba regulata de ecuatie vectoriala ( ) , r r t t I= ∈
� �. Atunci vectorul
r rb
r r
×=
×
� �� ���
� �� ��se numeste
versorul tangentei la curba in punctul curent.
F
F 13 Fie curba regulata de ecuatie vectoriala ( ) , r r t t I= ∈
� �. Atunci vectorul
r rb
r r
×=
×
� �� ���
� �� ��se numeste
versorul binormalei la curba in punctul curent.
T
H 214 Fie curba regulata de ecuatie vectoriala ( ) , r r t t I= ∈
� �. Atunci vectorul
r
rτ =
�����
se numeste versorul
.....................TANGENTEI..................... la curba in punctul curent.
F 14
Fie curba regulata de ecuatie vectoriala ( ) , r r t t I= ∈� �
. Notam cu τ�
respectiv b�
versul tangentei
respectiv al binormalei la curba in punctul curent. Atunci vectorul: n b τ= ×�� �
se numeste versorul canonic la curba in punctul curent pe curba.
F
19
F 15
Fie curba regulata de ecuatie vectoriala ( ) , r r t t I= ∈� �
. Notam cu τ�
respectiv b�
versul tangentei
respectiv al binormalei la curba in punctul curent. Atunci vectorul: n b τ= ×�� �
se numeste versorul normalei principale la curba in punctul curent pe curba.
T
F 16
Fie curba regulata de ecuatie vectoriala ( ) , r r t t I= ∈� �
. Notam cu τ�
respectiv n�
versorii tangentei
respectiv al normalei principale la curba in punctul curent si cu R raza de curbura corespunzatoare. Atunci
1d
nds R
τ=
��
T
F 17
Fie curba regulata de ecuatie vectoriala ( ) , r r t t I= ∈� �
. Notam cu τ�
respectiv b�
versorii tangentei
respectiv al binormalei la curba in punctul curent si cu R raza de curbura corespunzatoare. Atunci 1d
bds R
τ=
� �
F
H 206
Fie curba regulata de ecuatie vectoriala ( ) , r r t t I= ∈� �
. Notam cu τ�
respectiv b�
versul tangentei
respectiv al binormalei la curba in punctul curent. Atunci vectorul: n b τ= ×�� �
se numeste versorul
.....................NORMALEI PRINCIPALE..................... la curba in punctul curent pe curba.
H 222
Fie curba regulata de ecuatie vectoriala ( ) , r r t t I= ∈� �
. Notam cu τ�
respectiv n�
versorii tangentei
respectiv al normalei principale la curba in punctul curent si cu R raza de curbura corespunzatoare. Atunci
1dn
ds R
τ− =
��
.....................0.....................
H 223
Fie curba regulata de ecuatie vectoriala ( ) , r r t t I= ∈� �
. Notam cu b�
respectiv n�
versorii binormalei
respectiv al tangentei la curba in punctul curent si cu T raza de torsiune in punctul curent. Atunci
1dbn
ds T− =
��
.....................0.....................
H 217
Fie curba regulata de ecuatie vectoriala ( ) , r r t t I= ∈� �
. Notam:
{ }, ,n bτ�� �
- versorii triedrului lui Frenet
R , T - razele de curbura respectiv de torsiune corespunzatoare. Atunci:
1 1dnb
ds R Tτ− + =
� �� .....................0.....................
B 23 Fie curba regulata de ecuatie vectoriala: ( ) , r r t t I= ∈
� �. Atunci vectorul:
r
rτ =
�����
se numeste versorul
..........................DIRECTOR AL TANGENTEI...................... la curba în punctul curent.
B 24 Fie curba regulata de ecuatie vectoriala: ( ) , r r t t I= ∈
� �. Atunci vectorul:
r rb
r r
×=
×
� �� ���
� �� �� se numeste
versorul ......................DIRECTOR AL BINORMALEI...................... la curba în punctul curent pe curba.
20
B 27
Fie curba regulata de ecuatie vectoriala: ( ) , r r t t I= ∈� �
. Notam :
{ }, ,n bτ�� �
- versorii triedrului lui Frenet
R,T - razele de curbura şi respectiv de torsiune corespunzaroare. Atunci:
1 1dnb
ds R Tτ− + =
� ��......................0......................
B 25
Fie curba regulata de ecuatie vectoriala: ( ) , r r t t I= ∈� �
. Notam cu τ�
respectiv b�
versul tangentei
respectiv al binormalei la curba în punctul curent.Atunci vectorul: n b τ= ×�� �
se numeste versorul
..................DIRECTOR AL NORMALEI PRINCIPALE...................... la curba în punctul curent pe curba.
B 28
Fie curba regulata de ecuatie vectoriala: ( ) , r r t t I= ∈� �
. Notam cu b�
respectiv n�
versorii binormalei
respectiv ai tangentei la curba în punctul curent şi cu T raza de torsiune în punctul curent. Atunci:
1dbn
ds T− =
��
......................0......................
B 26
Fie curba regulata de ecuatie vectoriala: ( ) , r r t t I= ∈� �
.Notam cu τ�
respectiv n�
versorii tangentei
respectiv al normalei principale la curba in punctul curent si cu R raza de curbura corespunzatoare. Atunci:
1dn
ds R
τ− =
��
......................0......................
A 9
Fie curba regulata definita parametric de ecuatiile ( ) ( ), x x t y t t= = ∈� . Atunci dreapta de ecuatie:
X x Y y
y x
− −=
′ ′−
dusa printr-un punct arbitrar ( ),x y al curbei reprezinta
a. tangenta la curba b. normala la curba
b
B 19
Fie curba strimba ( )C care are reprezentarea parametrica:
( )
( )
( )
( )
: ,
x x t
C y y t t I
z z t
=
= ∈
=
Atunci dreapta ce trece printr-un punct arbitar ( ), ,M X Y Z definita prin:
t t t
X x Y y Z z
x y z
− − −= =
este ecuaţia ......................TANGENTA...................... la curba data.
21
B 20
Fie curba strimba ( )C care are reprezentarea parametrica:
( )
( )
( )
( )
: ,
x x t
C y y t t I
z z t
=
= ∈
=
Atunci ecuaţia:
( ) ( ) ( ) 0t t tx X x y Y y z Z z− + − + − =
reprezinta planul ......................NORMAL...................... la curba intr-un punct arbitar ( ), ,M X Y Z .
B 21
Fie curba strimba ( )C care are reprezentarea parametrica:
( )
( )
( )
( )
: ,
x x t
C y y t t I
z z t
=
= ∈
=
Atunci ecuaţia:
0t t t
tt tt tt
X x Y y Z z
x y z
x y z
− − −
=
reprezinta planul ......................OSCULATOR...................... la curba intr-un punct arbitar ( ), ,M X Y Z .
B 22
Fie curba strimba ( )C care are reprezentarea parametrica:
( )
( )
( )
( )
: ,
x x t
C y y t t I
z z t
=
= ∈
=
Atunci dreapta ce trece printr-un punct arbitar ( ), ,M X Y Z definita prin ecuatiile:
,X x Y y Z z
A B C
− − −= = unde , ,
t t t t t t
tt tt tt tt tt tt
y z z x x yA B C
y z z x x y= = =
este ......................BI.NORMALA...................... la curba data.
H 220
Fie curba strimba ( )C care are reprezentarea parametrica:
( )
( )
( )
( )
:
x x t
C y y t t I
z z t
=
= ∈
=
Atunci dreapta ce trece printr-un punct arbitrar ( ), ,M X Y Z definita prin ecuatia:
X x Y y Z z
A B C
− − −= = , unde , ,
y z z x x yA B C
y z z x x y
′ ′ ′ ′ ′ ′= = =
′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′
este .....................BINORMALA..................... la curba data.
22
H 227
Fie curba strimba ( )C care are reprezentarea parametrica:
( )
( )
( )
( )
:
x x t
C y y t t I
z z t
=
= ∈
=
Atunci ecuatia:
( ) ( ) ( ) 0x X x y Y y z Z z′ ′ ′− + − + − =
reprezinta planul ........................NORMAL........................ la curba intr-un punct arbitrar ( ), ,M X Y Z .
F 8
Fie curba strimba ( )C care are reprezentarea parametrica:
( )
( )
( )
( )
:
x x t
C y y t t I
z z t
=
= ∈
=
Atunci dreapta ce trece printr-un punct arbitrar ( ), ,M X Y Z definita prin:
X x Y y Z z
A B C
− − −= = unde , ,
y z z x x yA B C
y z z x x y
′ ′ ′ ′ ′ ′= = =
′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′
este ecuatia normalei principale la curba data.
T
F 5
Fie curba strimba ( )C care are reprezentarea parametrica:
( )
( )
( )
( )
:
x x t
C y y t t I
z z t
=
= ∈
=
Atunci ecuatia planului normal la curba intr-un punct arbitrar ( ), ,M X Y Z este:
( ) ( ) ( ) 0x X x y Y y z Z z′ ′ ′− + − + − =
T
F 3
Fie curba strimba ( )C care are reprezentarea parametrica:
( )
( )
( )
( )
:
x x t
C y y t t I
z z t
=
= ∈
=
Atunci ecuatia normalei la curba intr-un punct arbitrar ( ), ,M X Y Z este:
X x Y y Z z
x y z
− − −= =
′ ′ ′
F
F 4
Fie curba strimba ( )C care are reprezentarea parametrica:
( )
( )
( )
( )
:
x x t
C y y t t I
z z t
=
= ∈
=
Atunci ecuatia tangentei la curba intr-un punct arbitrar ( ), ,M X Y Z este:
X x Y y Z z
x y z
− − −= =
′ ′ ′.
T
23
F 9
Fie curba strimba ( )C care are reprezentarea parametrica:
( )
( )
( )
( )
:
x x t
C y y t t I
z z t
=
= ∈
=
Atunci dreapta ce trece printr-un punct arbitrar ( ), ,M X Y Z definita prin:
X x Y y Z z
A B C
− − −= = unde , ,
y z z x x yA B C
y z z x x y
′ ′ ′ ′ ′ ′= = =
′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′
este ecuatia binormalei la curba data.
T
H 218
Fie curba strimba ( )C care are reprezentarea parametrica:
( )
( )
( )
( )
:
x x t
C y y t t I
z z t
=
= ∈
=
Atunci ecuatia:
0
X x Y y Z z
x y z
x y z
− − −
′ ′ ′ =
′′ ′′ ′′
reprezinta planul .....................OSCULATOR..................... la curba intr-un punct arbitrar ( ), ,M X Y Z .
F 7
Fie curba strimba ( )C care are reprezentarea parametrica:
( )
( )
( )
( )
:
x x t
C y y t t I
z z t
=
= ∈
=
Atunci ecuatia:
0
X x Y y Z z
x y z
x y z
− − −
′ ′ ′ =
′′ ′′ ′′
reprezinta planul osculator la curba intr-un punct arbitrar ( ), ,M X Y Z .
T
H 226
Fie curba strimba ( )C care are reprezentarea parametrica:
( )
( )
( )
( )
:
x x t
C y y t t I
z z t
=
= ∈
=
Atunci dreapta ce trece printr-un punct arbitrar ( ), ,M X Y Z definita prin:
X x Y y Z z
x y z
− − −= =
′ ′ ′
este ecuatia .....................TANGENTEI..................... la curba data.
24
F 6
Fie curba strimba ( )C care are reprezentarea parametrica:
( )
( )
( )
( )
:
x x t
C y y t t I
z z t
=
= ∈
=
Atunci ecuatia:
0
X x Y y Z z
x y z
x y z
− − −
′ ′ ′ =
′′ ′′ ′′
reprezinta planul normal la curba intr-un punct arbitrar ( ), ,M X Y Z .
F
D 44
Fie curba ( ) 2: 1 xC y e= + şi M un punct arbitrar situat pe curbă. Notăm R , raza de curbură, t
S şi n
S
lungimile segmentelor subtangentă, respectiv subnormală corespunzătoare punctului M . Atunci
a. t
n
SR
S= b.
t nR S S= − c. t
n
SR
S
=
d. t n
R S S= +
a
A 62
Fie curba(C) , definita de ecuatiile parametrice
( )cos
:sin
t
t
x e tC
y e t
=
=
şi M (0) punctul fixat pe curba.Atunci segmentul subtangenta este
PN = ……………..…0……………..…
D 83
Fie curba:
( )2 2 2 2
2 2
0:
0
x y z rC
x y rx
+ + − =
+ − =
atunci ecuaţiile parametrice ale curbei date sunt:
a. [ ]
2cos
sin cos , 0, 2
sin
x r t
y r t t
z r t
π
=
= ∈ =
c. [ ]2
sin cos
cos , 0, 2
sin
x r t t
y r t t
z r t
π
=
= ∈ =
b. [ ]
2sin
sin cos , 0, 2
cos
x r t
y r t t
z r t
π
=
= ∈ =
d. alt raspuns
a
D 9
Fie curba:
( )
( )
3
22
43
1
tx t
C
y t
= +
= +
Se ştie că raza de curbură este dată de relaţia 5
44R y= . Dacă n
S este segmentul de normală al curbei,
atunci:
a. n
R S= b. 2n
R S= c. 4n
R S= d. 1
nSR
=
c
25
D 8
Fie curba:
( )
( )
3
22
43:
1
tx t
C t
y t
= +
∈
= +
�
Notăm R - raza de curbură în punctul curent pe curbă. Atunci:
a. 2
34R y= b. 3
24R y= c. 5
44R y= d. 4
54R y=
c
D 51
Fie curba:
( ) ( ) ( ) ( )22: , 0, , 0C F x y y x a x b a b≡ − − − = ≠
Să se studieze punctele singulare ale curbei.
a. ( )0,B b , este nod pentru curba ( )C dacă a b< .
b. ( ),0A a , este nod pentru curba ( )C dacă a b> .
c. ( ),0A a , este punct izolat pentru a b> .
d. ( )0,B b , este punct izolat pentru a b< .
b
A 103
Fie curbele
( )( )
( )1 :
x x tC
y y t
=
=; ( ) ( )2 : , 0C F x y = .
Dacă
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1... 0; 0,n nt t t tϕ ϕ ϕ ϕ +′= = = = ≠
atunci cele două curbe au în punctul ( )M t un ......................CONTACT...................... de ordinul n
D 5
Fie curbele ( ) ( )2
1 2: , : 12
x xC y e C y x= = + + . Să se calculeze curburile 1K şi 2K corespunzătoare
lui ( )1C şi respectiv ( )2C în punctul comun A .
a. ( ) 1 2 3
11,0 ,
2A K K= = c. ( ) 1 2
11,0 ,
2 2A K K= =
b. ( ) 1 23 3
1 21,1 , ,
2 3A K K= = d. ( ) 1 2
1 11,0 , ,
3 2 2A K K− = =
c
A 101 Fie curbele plane ( )1C şi ( )2C . Se spune ca cele două curbe au un contact într-un punct M ce aparţine
ambelor curbe dacă cele două curbe date admit în M aceeasi ......................TANGENTA......................
A 102
Fie curbele
( )( )
( )1 :
x x tC
y y t
=
=; ( ) ( )2 : , 0C F x y = .
Dacă cele două curbe au în punctul ( )0 0M t un contact de ordinul n, atunci 0t este rădăcină multiplă de
ordinul ......................n+1......................
26
D 46
Fie curbura ( ) 2 3: , C y x px p= + ∈� . Să se determine punctele singulare ale curbei
a. ,0 , ,03 3
p pA B
−
c. 0, , 0,3 3
p pA B
−
b. ,0 , ,03 3
p pA B
− − −
d. 0, , 0,3 3
p pA B
− − −
b
D 69
Fie ( ) ( ) ( )2 2 2:C x y rα β− + − = ecuaţia cercului osculator la curba de ecuaţie carteziană:
( ) ( ):C y f x= . atunci:
a.
( )
( )
( )
2 2
2 2
2
1
1
1
y yx
y
y yy
y
yr
y
α
β
′ ′+ = + ′′
′ ′+= −
′′
′+= ′′
b.
( )
( )
( )
2 2
2 2
32 2
1
1
1
y yx
y
y yy
y
yr
y
α
β
′ ′+ = − ′′
′ ′+= +
′′
′+=
′′
c.
( )( )
2
2
32 2 2
yx
x y x y
yx
x y x y
x yr
x y x y
α
β
′
= − ′ ′′ ′′ ′− ′
= +′ ′′ ′′ ′−
′ ′+
=′ ′′ ′′ ′−
d. alta varianta
b
B 35
Fie elicea circulara:
( ) ( ) ( ) ( ): 2cos 2sin 5C r t i t j t k= + +�� ��
Sa se calculeze lungimea arcului �( )AB situat pe curba ( )C unde A şi B corespund bijectiv valorilor
t = 0 şi respectiv t =1.
�ABl = ......................3......................
D 92
Fie elicea circulară:
( ) ( ) ( ) ( ): 2cos 2sin 5C r t i t j t k= + +�� ��
Să se calculeze lungimea arcului �( )AB situat pe curba ( )C unde A şi B corespund bijectiv valorilor
t = 0 şi respectiv t =1.
a. �( )
5AB
l = c. �( )
3AB
l =
b. �( )
4AB
l = d. �( )
2 5AB
l =
c
27
D 97
Fie elicea circulară:
( ) : cos , sin , C x a t y a t z bt= = =
Să se scrie ecuaţiile tangentei la curba ( )C în punctul curent.
a. ( )cos sin
:sin cos
X a t Y a t Z btt
a t a t b
− − −= = c. ( )
cos sin:
cos sin
X a t Y a t Z btt
a t a t b
− − −= =
b. ( )cos sin
:sin cos 0
X a t Y a t Z btt
a t a t
+ + += = d. ( )
cos sin:
cos sin
X a t Y a t Z btt
a t a t b
+ + += =
a
A 99
Fie familia de curbe (n +1) − parametrice:
( ) ( )1 1... 1 2 1: , ; , ,..., 0
na a nC F x y a a a
+ + =
Curba (γ ) se zice ……………..…OSCULATOARE……………..… la o curbă din familia ( )1 1... na a
C+
într-un
punct M al acestei curbe, dacă cele două curbe au în M un contact de ordinul n.
A 70
Fie o curba data ( )C şi M un punct pe curba a.i. prin acest punct trec în figura alaturata.
Atunci M este punct de ……………..…INTOARCERE……………..…
A 11
Fie o curba definita prin coordonatele sale polare: ( )ρ ρ α= şi un punct regulat M situat pe curba (vezi
figura). Atunci: segmentul tangenta polara este
a. ON ρ ′= b. 2
TNρ ρ
ρ
′+=
′ c. 2 2MN ρ ρ ′= +
c
28
A 32
Fie o curba definita prin coordonatele sale polare: ( )ρ ρ α= şi un punct regulat M situat pe curba (vezi
figura).
Atunci: segmentul tangentă polară este
a. ON ρ ′= b. 2
TNρ ρ
ρ
′+=
′ c. 2 2MN ρ ρ ′= +
c
A 18
Fie o curba plana ( )C şi ( )M C∈ un punct regulat (vezi fig.)
Atunci:
a. sin cosn i jα α= − +� ��
c. cos sini jτ α α= −� ��
b. sin cosi jτ α α= +� ��
d. sin cosn i jα α= +� ��
a
A 10
Fie o curba regulata de ecuatie: ( ) , y f x x= ∈� şi ( ),M x y un punct pe curba (vezi figura)
Atunci:
a. ;T
yX x
y= −
′
b. ;y
PN xy
=′
c. N
X yy′=
a
29
A 31
Fie o curba regulata de ecuatie: ( ) , y f x x= ∈� şi ( ),M x y un punct pe curba (vezi figura)
Atunci:
a. T
yX x
y= −
′ b.
yPN x
y=
′ c.
NX yy′=
a
B 30
Fie o curba strimba pentru care torsiunea sa este
1
0T
= .
Atunci, curba este ......................DREAPTA......................
A 17
Fie o curbă (C) şi un punct M regulat în care am definit tangenta şi normala la această curbă . Dacă notăm cu P proiecţia punctului M pe axa absciselor, atunci se pun în evidenţă următoarele segmente
(vezi figura)
a. MT − segmentul normala, c. PT − segment tangentă,
MN − subnormală, b. MT − subtangentă PT − segmentul tangentă, d. PN − subnormală.
d
H 211
Fie o suprafata ( )
( )
( )
( )
( ) 2
,
: , , ,
,
x x u v
S y y u v u v
z z u v
=
= ∈ ∆ ⊆
=
� . Atunci forma patratica:
2 2 22ds Edu Fdudv Gdv= + + (unde E,F,G este primul grup de coeficienti ai lui Gauss)
se numeste .....................PRIMA FORMA PATRATICA..................... a suprafetei ( )S .
30
C 16
Fie o suprafata ( )
( )
( )
( )
( ) 2
,
: , ,
,
x x u v
S y y u v u v R
z z u v
=
= ∈ ∆ ⊆
=
şi fie ( )( )
( ):
u u tt I R
v v tγ
=∈ ⊆
=
o curba oarecare pe suprafata ( )S .Atunci
2 22ds Edu Fdudv Gdv= + +
se numeste ........................ELEMENT.................... de arc pe curba ( )γ
C 20
Fie o suprafata ( ) ( ): ,r r u v∑ =� �
2 2 22ds Edu Fdudv Gdu= + +
Relatia (1) exprimã patratul …………………..ELEMENTULUI DE ARC..................... al curbei (γ) pe suprafata
(S) şi se mai numeste prima forma pãtratica fundamentala.
C 30
Fie o suprafata ( )S , iar v�
versorul normalei la suprafata intr-un punct arbitar
cos cos cosv i j kα β γ= + +�� ��
.
Numerele cosα , cos β , cosγ reprezinta .........................COSINUSII DIRECTORI.................. ai normalei
C 14 Fie o suprafata ( )
( )
( )
( )
( ) 2
,
: , ,
,
x x u v
S y y u v u v R
z z u v
=
= ∈ ∆ ⊆
=
. Atunci ( )( )
( ):
u u tt I R
v v tγ
=∈ ⊆
=
reprezinta o ......................CURBA................... pe suprafata .
H 210
Fie o suprafata ( )
( )
( )
( )
( ) 2
,
: , , ,
,
x x u v
S y y u v u v
z z u v
=
= ∈ ∆ ⊆
=
� . Atunci ( )( )
( ):
u u tt I
v v tγ
=∈ ⊆
=�
reprezinta o .....................CURBA..................... pe suprafata ( )S .
C 15
Fie o suprafata ( )
( )
( )
( )
( ) 2
,
: , ,
,
x x u v
S y y u v u v R
z z u v
=
= ∈ ∆ ⊆
=
. Atunci forma patratica:
2 2 22ds Edu Fdudv Gdv= + + (unde E,F,G este primul grup de coeficienti ai lui Gauss)
se numeste .......................PRIMA FORMA PATRATICA FUNDAMENTALA.................... a suprafetei ( )S
31
C 19
Fie o suprafata ( )
( )
( )
( )
( ) 2
,
: , ,
,
x x u v
S y y u v u v R
z z u v
=
= ∈ ∆ ⊆
=
. Atunci forma patratica:
2 22Ldu Mdudv Ndvϕ = + +
se numeste .......................A DOUA FORMA PATRATICA………….... a suprafetei ( )S (unde L,M,N este cel
de-al doilea grup de coeficienti ai lui Gauss)
C 27
Fie o suprafata ( )
( )
( )
( )
( ) 2
,
: , ,
,
x x u v
S y y u v u v R
z z u v
=
= ∈ ∆ ⊆
=
. Atunci forma patratica:
2 22Ldu Mdudv Ndvϕ = + +
se numeste a doua forma fundamentala a suprafetei ( )S , iar L,M,N este cel de-al doilea grup de coeficienti
ai lui ………….….…GAUSS………..…..…..
H 208
Fie o suprafata ( )
( )
( )
( )
( ) 2
,
: , , ,
,
x x u v
S y y u v u v
z z u v
=
= ∈ ∆ ⊆
=
� . Atunci forma patratica:
2 22Ldu Mdudv Ndvϕ = + +
(unde L,M,N este cel de-al doilea grup de coeficienti ai lui Gauss)
se numeste .....................A DOUA FORMA PATRATICA..................... a suprafetei ( )S .
C 28
Fie ( ) 3S ⊂ � o suprafata reprezentata de ecuatiile parametrice, iar ( ) ( ), u v
γ γ curbele de coordonate
duse prin punct ( )M S∈ şi fie ( )γ o curba oarecare trasata pe aceasta suprafata
( )( )
( ):
u u t
v v tγ
=
=
prin acelasi punct P. Relatia:
2
1cos
dr dv
R dsα
⋅= −
� �
exprima ……………......CURBURA...................curbei ( )γ .
C 26
Fie ( ) 3S ⊂ � o suprafatã reprezentatã prin ecuatiile ei parametrice
Atunci relatia
cosF
EGα =
exprima unghiul a doua curbe ........................COORDONATE.......................... pe suprafata ( )S .
32
H 207
Fie o suprafata ( )
( )
( )
( )
( ) 2
,
: , , ,
,
x x u v
S y y u v u v
z z u v
=
= ∈ ∆ ⊆
=
� si fie ( )( )
( ):
u u tt I
v v tγ
=∈ ⊆
=� o curba
oarecare pe suprafata ( )S . Atunci
2 22ds Edu Fdudv Gdv= + +
se numeste .....................ELEMENT..................... de arc pe curba ( )γ .
A 73
Fie parabola de ecuatie carteziana (C) : y2=2px, p>0.
Atunci axa Oy taie segmentul ……………..…TANGENTA……………..… în doua parti egale.
A 104
Fie parabola de ecuaţie carteziană
( ) 2: 2 , 0C y px p= > .
Atunci axa Oy taie segmentul ......................TANGENTA...................... în doua parti egale.
G 3 Fie suprafata ( ) ( ): ,S r r u v=
� � cu ( ) 2,u v ∈ ∆ ⊆ � si ( ) ( )0 0,M u v S∈ . Atunci prin M trec o
infinitate de familii de curbe coordonate ( ) ( ) u v
siγ γ . T
H 221
Fie suprafata ( ) ( ): ,S z f x y= cu ( ) 2,x y ∈ ∆ ⊆ � si un punct ordinar ( ) ( ),M x y S∈ .
Atunci vectorul ( )cos ,cos ,cosv α β γ=�
definit prin relatiile:
2 2 2 2 2 2
1cos , cos cos , cos cos
1 1 1
p q
p q p q p qα β α γ α
−= = = = =
± + + ± + + ± + +
este versorul .....................NORMAL..................... la suprafata.
C 12
Fie suprafata ( ) ( ): ,S z f x y= cu ( ) 2,x y R∈ ∆ ⊆ şi punct ordinar ( ) ( ),M x y S∈ .
Atunci vectorul ( )cos , cos , cosv α β γ=�
definit prin relatiile:
2 2 2 2 2 2
1cos , cos , cos cos
1 1 1
p q
p q p q p qα β γ α
−= = = =
± + + ± + + ± + +
este versorul ..................... NORMALEI..................... la suprafata.
C 18 Fie suprafata ( ) ( ) 2: ,S r r u v R= ∈ ∆ ⊆
� � şi fie ( )
( )
( )( ): 1, 2
i
i
i
u u tt I i
v v tγ
=∈ =
=
doua curbe pe suprafata pentru care 0dr rδ⋅ =� �
. Atunci cele doua curbe se numesc ............... ..............................
?
H 205
Fie suprafata ( ) ( ) 2: ,S r r u v= ∈ ∆ ⊆� �
� . Atunci expresia
2d EG F dudvσ = −
ne da .....................ELEMENT DE ARIE..................... al suprafetei ( )S
H 200 Fie suprafata ( ) ( ) 2: ,S r r u v= ∈ ∆ ⊆
� �� . Atunci versorul
r rv
r r
×=
×
� �� ���� �� ��
este versorul ..........
.....................NORMALEI..................... la suprafata.
33
C 17
Fie suprafata ( ) ( ) 2: ,S r r u v R= ∈ ∆ ⊆� �
.Atunci expresia:
2d EG F dudvσ = −
ne da .........................ELEMENTUL DE ARIE........................... al suprafetei ( )S .
C 8
Fie suprafata :
( ) 2 2 2 2: , , x u v y u v z uv∑ = + = − =
Elementul de arc pe curba
( )2 : 1vγ =
situata suprafata (Σ) este
a. 22 8 1 ;ds u du= + b. 2
2 8 1 ds u du= −
a
C 5
Fie suprafata definita parametric de ecuatiile:
( ) ( ) 2
cos
: sin ,
x u v
y u v u v
z u v
=
∑ = ∈ = +
�
Atunci ecuatiile normalei în punctul ( )0 1,M u v π= = sunt, respectiv
a. 1 1
1 1 1
x y z π+ − −= = b.
1 1
1 1 1
x y z π+ − += =
a
C 6
Fie suprafata definita parametric de ecuatiile:
( ) ( ) 2
cos
: sin ,
x u v
y u v u v
z u v
=
∑ = ∈ = +
�
Atunci ecuatiile planului tangent ( )0 1,M u v π= = sunt, respectiv
a. x y z π− − = b. x y z π+ + =
b
C 9
Fie suprafata definita parametric de ecuatiile:
( ) ( ) 2
cos
: sin ,
x u v
y u v u v
z u v
=
∑ = ∈ = +
�
Atunci ecuatiile planului tangent şi a normalei în punctul ( )0 1,M u v π= = sunt, respectiv
a. x y z π+ + = si 1 1
1 1 1
x y z π+ − −= =
b. 0x y z π+ + − = si 1 1
1 1 1
x y z π+ − −= =
−
a
34
C 4
Fie suprafata definita parametric de ecuatiile:
( ) ( ) 2
cos
: sin ,
x u v
y u v u v
z u v
=
∑ = ∈ = +
�
Atunci ecuatiile planului tangent ( )0 1,M u v π= = sunt, respectiv
a. 0x y z+ + = c. x y z π+ + =
b. 0x y z− − = d. x y z π− − =
c
C 13
Fie suprafata regulata
( ) ( ) 2: ,S r r u v R= ∈ ∆ ⊆� �
.
Atunci
r r
vr r
×=
×
� �� ���� �� ��
versorul ......................NORMALEI...................... la suprafata în punctul curent pe suprafata
C 7
Fie suprafata:
( ) : cos , sin , S x u v y u v z av= = =
Sã se afle elementul de arie pe suprafatã.
a. 2 2 d u a du dvσ = + b. ( )2 2 2 2 2ds du u a dv= + +
a
C 39
Fie suprafata:
( ) 2 2 3 3: 2 ; ; x u v y u v z u v∑ = − = + = −
şi punctul M (3,5,7) . Atunci ecuaţia planului tangent la suprafata în punctul M este ….…3X+Y-2Z=0…...…
?
D 157
Fie suprafaţa definită parametric de ecuaţiile:
( ) ( ) 2
cos
: sin ,
x u v
y u v u v
z u v
=
∑ = ∈ = +
�
Atunci ecuaţiile planului tangent şi a normalei în punctul ( )0 1, M u v π= = sunt, respectiv
a. 0x y z+ + = si 1 1
1 1 1
x y z π+ − += =
−
b. 0x y z π+ + − = si 1 1
1 1 1
x y z π+ − −= =
−
c. x y z π+ + = si 1 1
1 1 1
x y z π+ − −= =
d. 0x y z π+ + + = si 1 1
1 1 1
x y z π+ − −= =
−
d
C 35
Fie suprafaţa
( ) 2 2 2: 2 4 2 4 6 8 0S x xy y xz z x y z+ + + + + + − + =
Să se afle ecuaţia planului tangent în punctul M (0,0,2). …………….5x+2y–z+2=0…………….
35
C 36
Fie suprafaţa
( ) 2: 5 4 3S z x y= + −
Să se determine ecuaţia planului tangent în punctul M (1,0, 2). …………….10x+4y–z–8=0…………….
D 20
Fie un cerc de rază a . Fie A un punct pe cerc şi O punctul diametrar opus lui A. O secantă oarecare dusă prin O taie cercul în punctul C şi tangenta în A la cerc în punctul B. Să se afle locul geometric al punctului P astfel încât BP = OC .
a.
3
3
cos
sin
x t
y a t
=
= (astroida) (posibil y=2asin
3t) c. ka
aeρ = (spirala logaritmica)
b.
2
3
2 sin
sin2
cos
x a
y a
ϕ
ϕ
ϕ
=
=
(cisoida lui Diocles) d. ( )
( )
sin
1 cos
x a t t
y a t
= −
= − (cicloida)
a
B 6
Fie ( ) ( ), ,M x y z C∈ un punct regulat. Planul normal, ( )nP la curba ( )C în punctul M este
a. ( ) ( ) ( ) ( ): 0n
P X x x Y y y Z z z′ ′ ′− + − + − =
b. ( ) ( ) ( ) ( ): 0nP X x x Y y y Z z z′ ′ ′+ + + + + =
a
D 149
Fie:
( )2
2
ln , 0
x t
C y t t
z t
=
= >
=
ecuatia unei elice cilindrice. Atunci:
a. T R= b. T
constR
= c. 4T R= d. 1R
T= −
d
D 121
Fiind dată o curbă în spaţiu:
( ) ( ) ( ) ( ): , , C x x s y y s z z x= = = unde s I∈ ⊂ � , s parametru natural pe curbă şi notând:
1
R- curbura curbei,
1
T - torsiunea curbei, atunci care dintre următoarele egalităţi este falsă:
a. 1d
nds R
δ=
��
c. 1db
nds T
= −
��
b. 1 1dn
bds R T
δ= +
� �� d.
1 1dnb
ds R Tδ= − +
� ��
d
A 92
Inversul raportului
( )3
2 2
x y x y
x y
′ ′′ ′′ ′−
′ ′+
se numeste ……………..…RAZA DE CURBURA……………..… a unei curbe regulate (C) din plan.
36
E 7
Lungimea unui arc de curba AB definit prin ecuatiile sale parametrice:
( )( )
( )( )( ): ,
x x tC t
y y tα β
=∈
=
se calculeaza cu formula:
1ABl y dt
β
α
′= +∫
F
E 8
Lungimea unui arc de curba AB definit prin ecuatiile sale parametrice:
( )( )
( )( )( ): ,
x x tC t
y y tα β
=∈
=
se calculeaza cu formula:
2 2ABl x y dt
β
α
′ ′= +∫
T
D 129
Normala principală la curba ( ) ( ) ( ): cos ln , sin ln , , C x t a t y t a t z bt t= = = ∈�
în punctul curent este:
a. paralelă cu planul xOz . c. paralelă cu planul xOy .
b. perpendiculară pe planul xOy . d. face cu planul xOz un unghi de măsură 6
π
a
A 39
Numarul real pozitiv:
( )32 2
t tt tt t
t t
x y x y
x y
−
+
reprezinta ……………..…CURBURA……………..… curbei intr-un punct arbitrar al curbei definita parametric de ecuatiile:
( )( )
( )( ):
x x tC t I
y y t
=∈
=
H 201
Numarul real pozitiv:
( )32 2
x y x y
x y
′ ′′ ′′ ′−
′ ′+
reprezinta .....................CURBURA..................... curbei intr-un punct arbitrar al curbei definita parametric de ecuatiile:
( )( )
( )( )
x x tC t I
y y t
=∈
=
A 60 Numim segment normala în punctul M al curbei (C) distanta de la punctul M la punctul N, unde
normala (MN) taie axa ……………..…Ox……………..…
H 199
O curba pentru care raportul dintre razele de curbura si de torsiune este constant reprezinta o:
.....................SFERA.....................
37
B 31
O curba plana pentru care torsiunea sa
1
T= ......................0......................
este o dreapta.
B 29 O curbă pentru care raportul dintre razele de curbură şi de torsiune este constant reprezintă o:
......................SFERA..................... ELICE………......... ? ?
D 127
O curbă pentru care raportul dintre razele de curbură şi de torsiune este constant este o:
a. elice. c. cerc. b. elipsă. d. dreaptă.
a
H 219
O suprafata definita prin ecuatia implicita:
( ) ( ): , , 0S F x y z = cu ( )1F C D∈
pentru care
( )2 2 2 0 , ,x y z
F F F x y z D+ + = ∀ ∈
se numeste .....................REGULATA.....................
C 11
O suprafata definita prin ecuaţia implicita:
( ) ( ): , , 0S F x y z = cu ( )1F C D∈
pentru care
( )2 2 2 0 , ,x y zF F F x y z D′ ′ ′+ + = ∀ ∈
se numeste …………..…REGULATA…………….…
C 33
Originea este un .....................PUNCT DE SUPRAFATA..................... pentru conul de rotaţie
2 2 2x y z+ =
D 130
Parametrii directori ai normalei la planul osculator ( )oP în punctul ( )1A t = la curba
( ) ( ) ( ): cos ln , sin ln , C x t a t y t a t z bt= = = sunt:
a. ( )2 2 2, , 1A ab B a b C a b= = − = +
b. ( )2 2 2, , 1A ab B ab C a a= − = = +
c. ( )2 2 2, , 1A ab B ab C a b= − = − = +
d. ( )2 2 2, , 1A a b B a b C a a= − = − = +
c
C 22
Pentru o suprafata ( )S datã de ecuatiile parametrice
( ),r r u v=� �
notam ds elementul de arc. Completati semnul corespunzator pentru a obtine o egalitate.
2 2...... ...... 2ds Edu Fdudv Gdv= ++ ......................+ ......................
+
38
C 23
Pentru o suprafata ( )S datã de ecuatiile parametrice
( ),r r u v=� �
Atunci relatia
2d EG F dudvσ = −
exprima ......................ELEMENTUL DE ARIE.......................al suprafetei.
A 3
Pentru un arc de curbă definit prin ecuatiile sale polare: ( ) , ρ ρ θ θ= ∈� , elementul de arc este
a. 2 2' ''ds dρ ρ θ= + b. 2 2'ds dρ ρ θ= +
b
B 7
Planele normale la curba:
( ) 2: sin , sin cos , cosC x t y t t z t= = =
trec prin
a. originea sistemului de
coordonate b. punctul , ,
2 2 2A
π π π −
c. ( )1, 1, 1A
a
B 38
Planul de ecuatie:
0
X x Y y Z z
x y z
x y z
− − −
′ ′ ′ =
′′ ′′ ′′
se numeste ......................PLAN OSCULATOR...................... la o curba (C) din spatiu dus prin punctul regulat
( ), ,M x y z situat pe curba data.
D 145
Planul normal la curba de ecuaţii parametrice:
( ) 2
2
1
2
2
x t
C y t t
z t
= +
= + +
= −
dus prin punctul M de parametru arbitrar t si situat pe curba ( )C este:
a. ( ) ( )( ) ( )2 1 2 0X x t Y y t Z z− + + − − − = c. ( )2 1 0X Y Z t+ − + + =
b. ( ) ( ) ( )2 2 0X x t Y y Z z− − − − + − = d. 2 1 0X tY Z t− + − − =
a
B 11
Planul normal la curba
2
2
x z
z x
=
=
dus prin punctul M(1,1,1) este
a. 2X+Y+4Z−5=0 b. X+Y−Z−1=0
a
39
D 110
Planul normal la curba: ( ) ( ): cos ,sin sin ,cos sinC r a t t tα α=�
, în punctul curent, trece printr-o
dreaptă fină de ecuaţie:
a. 0
sin cos 0
x
y zα α
=
+ = c.
0
sin cos 0
y
x zα α
=
− =
b. sin sin cos cos 0
cos cos sin sin 0
x t y t z t
x t y t z t
α
α
− − =
− + = d.
0
cos sin 0
x
y zα α
=
− =
d
B 12
Planul osculator la curba
2
2
x z
z x
=
=
dus prin punctul M(1,1,1) este
a. 2X−Z−1=0 b. 2X+Y−3Z−1=0
b
B 8
Planul Xsin 2t + Ycos2t − Zsint = 0 reprezinta pentru curba
( ) 2: sin , sin cos , cosC x t y t t z t= = =
a. planul normal b. planul osculator c. planul binormal
a
A 49 Prin definitie, diferentiala functiei: ( ) ( ), s s t t= ∈� se numeste ……………..…ELEMENT……………..…
al unui arc de curbă ( )AB C∈�
D 137
Proiectia curbei:
( )2 2 2 2
2 2
0
0
x y z rC
x y rx
+ + − =
+ − =
pe planul xOy este:
a. o curba plană; c. un punct ( ),0,0M r ;
b. segmentul AB cu ( ),0,0A r şi ( )0, ,0B r− ; d. cercul 2 2 2x y r+ = .
b
A 61 Proiectia ortogonala ale segmentelor tangenta pe axa Ox se numeste
……………..…SUBTANGENTA…………………
D 138
Proiecţia curbei:
( )
cos
sin
x r
C y r
z k
θ
θ
θ
=
= =
pe planul xOy este:
a. ( )2 2 2 0
0
x y rC
z
+ − =
= c. cercul: ( )
2 2 2 0
0
x y rC
z
+ − =
=
b. un segment de dreaptă; d. alta variantă.
c
40
A 72
Punctul ( ) ( ),M x y C∈ de ecuatie
( ), 0F x y =
se numeste ……………..…NOD……………..… al curbei daca:
( ) 2 2
20
xy x yF F F′′ ′′ ′′− >
A 93
Raportul
( )3
2 2
x y x y
x y
′ ′′ ′′ ′−
′ ′+
se numeste ……………..…CURBURA……………..… unei curbe regulate (C) din plan.
A 44
Raportul dintre segmentul tangenta MT şi segmentul normala MN, corespunzator unui punctul fixat
( )0M al curbei
( )cos
:sin
t
t
x e tC
y e t
=
=
are valoarea ……………..…0……………..…
D 140
Reprezentarea elicei conice:
( )cos
sin
x at t
C y at t
z bt
=
= =
sub forma unei ecuaţii implicită este:
a. ( )
2 2 2
2 2 20
x y z
a b bC
yz barctg
x
+ − =
=
c. ( )2 2 2 2 2 0x y a z b
z by
+ − =
=
b. ( )
2 22
2 21
x yz
a bC
xz arctg
y
+ − =
=
d. ( )
2 2 2
2 2 21
x y z
b a aC
xz barctg
y
+ − =
=
a
D 125
Să se afle curbura curbei:
( ) ( ) ( ): cos ln , sin ln , C x t a t y t a t z bt= = =
în punctul curent pe curbă.
a. ( )
2
2 2
1 1
1
a a
R a b t
+=
+ + c.
2
1
1
t
R ab a a=
+ +
b. 2
2
1 1
1
b a a
R a
+ +=
+ d.
2
2
1 1
1
a at
R b a a
+=
+ +
a
41
D 38
Să se afle curbura K şi raza de curbură R în punctul M (1, −1) la curba:
( ) ( )3 3 2 2 0, ,C x y xy x y− + = ∈� (C) x3−y3+2xy=0 ,
a. 2
4 2, 8
K R= = c. 2
, 4 28
K R= =
b. 2
4 2, 8
K R= − = d. 2
4 2, 8
K R= = −
a
D 77
Să se afle desfăşurata elipsei:
( )cos
: , sin
x x tC t
y b t
=∈
=�
a.
3
3
cos
sin
x a t
y b t
=
= c.
( )
( )
sin
1 cos
x a t t
y b t
= −
= −
b.
23
3
cos
sin
cx t
a
cy t
b
=
= −
d. 2 2
2 21
x y
a b+ =
b
D 78
Să se afle desfăşurata parabolei:
( ) 2: 2C y px=
a. ( )32 4
27y x p= − c. ( )
32 8
27y x p= +
b. ( )32 8
27y x p= − d. ( )
32 80
27y x p+ − =
b
D 90
Să se afle elementul de arc al elicei circulare:
( ) [ ]cos
: sin , 0, 2
x a t
C y a t t
z kt
π
=
= ∈ =
a. 2 2ds a k dt= − c.
2 2
dtds
a k=
+
b. 1
ds dtk
= d. 2 2ds a k dt= +
d
B 3
Să se afle elementul de arc al elicei circulare:
( ) [ ]cos
: sin , 0, 2
x a t
C y a t t
z kt
π
=
= ∈ =
a. 2 2ds a k dt= − c. 2 2
dtds
a k=
+
b. 1
ds dtk
= d. 2 2ds a k dt= +
d
42
D 74
Să se afle înfăşurătoarea cercurilor de rază r dată, care au centrele pe cercul x2+y2=R2.
a. 3 3 3
2 2 2x y k+ = c. x
y acha
=
b. ( )
( )
sin
1 cos
x a t t
y a t
= −
= − d. alta varianta
d
D 72
Să se afle înfăşurătoarea familiei de curbe:
( ) ( ) ( ) ( )3 2
: ; ; 0C F x y a x a y a≡ − − − =
a. ( ) : 0D y x− = c. ( ) : 0D y x+ =
b. ( )4
:27
D y x− = − d. ( )4
:27
D y x+ =
b
D 75
Să se afle înfăşurătoarea familiei de drepte 2
py mx
m= + în care m este parametrul variabil.
a. 2
2
xy
p= c. 2 2y px=
b. 2 2x py= d. 2 2 2x y p+ =
c
D 71
Să se afle înfăşurătoarea familiei de parabole:
( ) ( )2
2: 12
xC y x
cα α= − +
a. ( ) 21:
2 2
Cy x
Cγ = + c. ( ) 21
:2 2
Cy x
Cγ = −
b. ( )2
2
1:
2 2
xy
C Cγ = + d. ( )
2
2:
2 2
Cx xy
Cγ = +
a
B 37
Să se afle lungimea arcului AM al elicei circulare
[ ]
1cos
21
sin 0, 22
1;
2
x
y
z
θ
θ θ π
θ
=
= ∈
=
ds= ......................1......................
D 91
Să se afle lungimea arcului de curbă:
�( )cos
: sin , 0,2
x a t
AB y a t k
z kt
π=
= ∈ =
a. �( )
2 2
2ABl a k
π= + c.
�( )2 22
ABl a kπ= +
b. �( )
2 2
ABl a kπ= + d. alt raspuns
a
43
A 6
Să se afle lungimea arcului
( ) [ ]: ; 0,2
x x
a aa
C y e e x b−
= + ∈
a. b
asha
b. x
asha
a
A 5
Să se afle lungimea unei bucle a cicloidei
( )( )
( )[ ]
sin: , 0, 2
1 cos
x a t tC t
y a tπ
= −∈
= −
a. 2 sin2
tds a dt= , b. sin
2
tds a dt=
a
A 78
Să se afle lungimea unei bucle a cicloidei
( )( )
( )[ ]
sin: , 0, 2
1 cos
x a t tC t
y a tπ
= −∈
= −
�AB
l = ……………..…8a……………..…
D 31
Să se afle lungimile segmentelor de tangentă MT , subtangentă PT , de normală MN şi subnormală PN
în punctul 1,12
Mπ
−
la cicloida ( ) [ )sin
0, 21 cos
x t tC t
y tπ
= −∈
= −
a.
2
2
1
1
MT
PT
MN
PN
= =
= =
b.
1
21
1
21
MT
PT
MN
PN
=
=
=
=
c.
1
21
21
1
MT
PT
MN
PN
=
= =
=
d.
2
1
2
1
MT
PT
MN
PN
=
=
= =
d
D 32
Să se afle lungimile segmentelor de tangentă MT , subtangentă PT , normală MN , subnormală PN în punctul M (1,1) la folium-ul lui Descartes: (C) x
3+y
3−2xy=0 – ( posibil sa nu apara la examen)
a. 2, 1, 2, 1MT PT MN PN= = = =
b. 1 1
, 1, , 12 2
MT PT MN PN= = = =
c. 1, 2, 1, 2MT PT MN PN= = = =
d. 1 1
1, , 1, 2 2
MT PT MN PN= = = =
a
44
D 96
Să se afle poziţia planului ( )P de ecuaţie:
( ) : 7 4 6 22 0P x y z+ + + =
faţă de curba:
( )1 1 1 1
: , 7 , 32 3
C x t y t z tt t t
= + = − − = +
a. Curba este inclusă în plan. b. Curba înţeapă planul în punct de parametru t = −1. c. Curba este tangentă la plan. d. Planul taie curba în două puncte.
c
B 4
Să se afle punctele de interesectie dintre curba
( ) 2 2 2: 2 3, 2 3 1, 3 2, C x t t y t t z t t t= + + = + + = + + ∈� şi planul ( )P de ecuaţie:
( ) : 6 0P x y z+ + − =
a. A(2,0,4), B(3,1,2) c. B(3,1, 2), C(−1,0, 2) b. A(2,0,4) d. C(−1,0, 2)
a
D 94
Să se afle punctele de intersecţie dintre curba
( ) 2 2 2: 2 3, 2 3 1, 3 2, C x t t y t t z t t t= + + = + + = + + ∈� şi planul ( )P de ecuaţie:
( ) : 6 0P x y z+ + − =
a. A(2,0, 4), B(3,1, 2) c. B(3,1, 2), C(−1,0, 2) b. A(2,0, 4) d. C(−1,0, 2)
a
A 15
Să se afle punctele singulare ale curbei (C):x3+y
3−3axy=0 , x > 0 şi sa se scrie ecuatiile tangentelor corespunzatoare
a. ( ) ( )0, ,A a y x a= ± −
b. Originea este singurul punct singular. Ecuatiile tangentelor este y x= ±
c. Originea este singurul punct singular. Ecuatiile celor doua tangente sunt 0, 0y x= =
c
D 50
Să se afle punctele singulare ale curbei:
( ) ( ) 3 3: , 3 0, 0C F x y x y axy a≡ + − = >
a. ( )0,0O , este punct singular de tip nod. c. ( )1, 3A a− , punct dublu.
b. ( )1, 3A a , punct dublu. d. altă variantă.
a
D 124
Să se afle raportul dintre curbura şi torsiunea curbei:
( ) : cos , sin , , C x a t y a t z bt t= = = ∈�
a. 2T
abR
= b. T b
R a= c.
T a
R b= d.
1
2
T
R ab=
c
45
D 37
Să se afle raportul dintre raza de curbură R şi lungimea segmentului normală MN corepunzătore curbei
( )( )
( )[ )
sin 0,2
1 cos
x a t tC t
y a tπ
= −∈
= −
a. 1R
MN= b. 2
R
MN= c. 2
R
MN= d.
1
2
R
MN=
b
D 36
Să se afle raza de curbură a cicloidei: ( )( )
( )[ )
sin 0,2
1 cos
x a t tC t
y a tπ
= −∈
= −
a. 4 sin2
tR a= c. 4 cos
2
tR a=
b. 4 sin2
tR a= d. 4 cos
2
tR a=
a
D 35
Să se afle raza de curbură a lănţişorului: , x
y ach xa
= ∈�
a. R a chx= c. 2 sR a h x=
b. sR a hx= d. 2 R a ch x=
d
D 153
Să se afle raza de curbură în punctul curent situat pe curba:
( )sin
: 1 cos
4sin2
x t t
C y t
tz
= −
= − =
( )
a. 1
1 sin cos2 2
Rt t
=
+
c. 2
4
1 sin2
Rt
=
+
b. 2
1
1 4sinR
t=
+ d.
2
2
1 sin2
Rt
=
+
d
A 67
Să se afle segmentul de tangenta intr-un punct arbitrar M al curbei
( )th
: 1
ch
x t t
Cy
t
= −
=
|MT| = ……………..…1……………..…
46
D 18
Să se afle segmentul de tangentă MT într-un punct oarecare al curbei ( ) 1
x t tht
Cy
cht
= −
=
a. 1
2MT = b. 1MT = c. 1MT = − d.
1
2MT = −
b
A 26
Să se afle subtangenta PT şi subnormala PN intr-un punct arbitrar M situat pe parabola (C) y2
= 2px.
a. PT = −2x, PN = p c. PT = p, PN = −2x b. PT =2y, PN = p d. PT = p, PN =2y
a
D 17
Să se afle subtangenta PT şi subnormala PN într-un punct arbitrar M situat pe parabola
( ) 2 2C y px=
a. 2 , PT x PN p= − = c. , 2PT p PN x= = −
b. 2 , PT y PN p= = d. , 2PT p PN y= =
a
47
D 19
Să se afle tangenta polară MT , normala polară MN , subtangenta (polară) PT şi subnormala polară PN
într-un punct oarecare al spiralei logaritmice: ( ) , 0kaC ae kρ = >
a. 2 21 11 , 1 , , MT k MN k k PT PN k
k kρ ρ ρ ρ= + = + = =
b. 2 21 1, , 1 , 1MT k MN PT k PN k k
k kρ ρ ρ ρ= = = + = +
c. 2 21 , 1 , , MT k MN k PT PN kk k
ρ ρρ ρ= + = + = =
d. 2 2, 1 , 1 , MT k MN k PT k PNk k
ρ ρρ ρ= = + = + =
a
D 126
Să se afle torsiunea curbei:
( ) ( ) ( ): cos ln , sin ln , C x t a t y t a t z bt= = =
în punctul curent pe curbă.
a. 2 2
1
1
abt
T a b=
+ + c.
2
1
1
abt
T a=
+
b. 2 2
1
1
bt
T a b=
+ + d.
2 21 1 a bt
T ab
+ +=
a
B 15
Să se afle versorii tangentei la curba (C) : x = acosθ, y = asinθ, z = bθ
în punctul ( )0M θ =
a. ( )2 2
aj bkM
a bτ
+=
+
���
b. ( )2 2
sin cosa i a j bkM
a b
θ θτ
− + +=
+
�� ��
b
48
D 119
Să se afle versorii triedrului lui Frenet într-un punct M oarecare al curbei:
( ) : cos , sin , C x a y a z bθ θ θ= = = (elicea circulară)
a.
( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
sin cos
sin cos
cos sin
a a bM i j k
a b a b a b
b b ab M i j k
a b a b a b
n M i j
θ θδ
θ θ
θ θ
= + −
+ + +
= + ++ + +
= +
�� � �
� �� �
� ��
b.
( )
( )
( )
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
sin cos
sin cos
cos sin
a aM i j bk
a b a b
b b akb M i j
a b a b a b
n M i j
θ θδ
θ θ
θ θ
−= + +
+ +
= − ++ + +
= − +
�� � �
�� � �
� ��
c.
( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
sin cos
sin cos
cos sin
b b aM i j k
a b a b a b
a a ab M i j k
a b a b a b
n M i j
θ θδ
θ θ
θ θ
= + +
+ + + −
= − −+ + +
= +
�� � �
� �� �
� ��
d.
( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
cos sin
sin cos
sin cos
b b aM i j k
a b a b a b
a a bb M i j k
a b a b a b
n M i j
θ θδ
θ θ
θ θ
= − + −
+ + +
= + ++ + +
= −
�� � �
� �� �
� ��
b
A 97
Să se calculeze curbura curbei corespunzatoare arcului de cicloida:
( )( )
( )
1sin
4:1
1 cos4
x t t
C
y t
= −
= −
în punctul t π= . ……………..…1……………..…
D 122
Să se calculeze curbura elicei circulare:
( ) : cos , sin , , C x a t y a t z bt t= = = ∈�
în punctul curent pe curbă.
a. 2
2 2
1 a
R a b=
+ c.
2 2
1 a
R a b=
+
b. 2
2 2
1 b
R a b=
+ d.
2 2
1 b
R a b=
+
c
49
D 61
Să se calculeze curbura într-un punct oarecare al curbei:
( )( )
( )
sin:
1 cos
x a t tC
y a t
= −
= −
a. 1 1
2 sin2tR
a
= c. 1 1
4 sin2tR
a
=
b. 1
2
tach
R= d.
1 1
4 cos2tR
a
=
c
D 41
Să se calculeze curbura şi raza de curbură a cardioidei: ( ) ( )2 1 cosaρ θ θ= − în punctul 2
Mπ
θ
=
a. 3 2 4 2
, 8 3
K R aa
= = c. 24
, 42
aK R
a= =
b. 4 2 3 2
, 3 8
K a Ra
= = d. 3
, 3
aK R
a= =
b
D 76
Să se calculeze ecuaţia desfăşuratei curbei plane dată de ecuaţiile sale parametrice:
( )( )
( ):
x x tC
y y t
=
=
a. ( )
22
2
1
:1
yX x y
y
yY y
y
γ
′ +′= − ′′
′+ = +
′′
c. ( )
2
2
1
:1
yX x
y
yY y
y
γ
′ += − ′′
′+ = +
′′
b. ( )
2
2
1
:1
yX x y
y
yY y
y
γ
′ +′= − ′′
′+ = −
′′
d. ( )
2
2
1
:1
yX x
y
yY y
y
γ
′ += + ′′
′+ = −
′′
b
D 11
Să se calculeze elementul de arc pe curba definită în coordonate polare: ( ) sin , m
C mm
θρ
= ∈
�
a.
1
sinm
ds dm
θθ
−
=
c.
1
sinm
ds m dm
θθ
−
=
b.
1
sin
1
m
nds d
m
θ
θ
+ =
+ d.
1
sinm
ds m dm
θθ
+
=
a
50
D 12
Să se calculeze elementul de arc pe curba: ( ) ( ) 1 cosC aρ α= + (cardioidă)
a. 2 sin2
ds a dα
α= c. 2
cos2
ads dα
α=
b. 2 cos2
ds a dα
α= d. 2
sin2
ads dα
α=
b
D 13
Să se calculeze elementul de arc pe curba: ( ) 2
x xe e
C y chx−+
= = (lănţişor)
a. ds shx dx= c. ds chx= (posibil ds = chx dx)
b. ds thx ds= d. 2 ds sh x dx=
c
D 93
Să se calculeze elementul de arc pe curba:
( )
2sin
: sin cos
cos
x a t
C y a t t
z a t
=
= =
a. cosds a t dt= c. sinds a t dt=
b. 21 cosds a tdt= + d. 21 sinds a tdt= +
a
B 36
Să se calculeze elementul de arc pe elicea circulara definită prin
( ) ( )1 1 1
: cos ; sin ; ; 02 2 2
C x t t y t t z t t= = = >
ds= ......................(1+(t)^2/2)^1/2 dt......................
D 33
Să se calculeze lungimea subtangentei PT la curba exponenţială: ( ) , bxC y ae x= ∈� ,a b constante
nenule
a. PT b= c. 2PT b=
b. 1
PTb
= d. 2PT b=
b
A 96
Să se calculeze raza de curbura a cicloidei:
( )( )
( )
sin:
1 cos
x a t tC
y a t
= −
= −
în punctul t π= . ……………..…4a……………..…
51
D 10
Să se calculeze raza de curbură a curbei ( )C dată prin coordonatele sale polare:
( ) sin , m
C mn
θρ
= ∈
�
a. 11 m
mm
Rn
ρ −+
= c. 11 m
mm
Rm
ρ+
+=
b 1
1
m
mm
Rm
ρ +=+
d. 1
1
m
mm
Rm
ρ−
=+
a
D 4
Să se calculeze segmentul de tangentă MT , segmentul de normală MN , subtangenta PT şi
subnormala PN pentru curba (C) 3 2 2 3 0x xy x y− + + − = în punctul M în care curba (C) taie axa Oy .
S-au notat T - punctul de intersecţie al curbei ( )b cu axa Ox , N - punctul de intersecţie al curbei (C)
cu axa Ox , P - proiecţia punctului M pe axa Ox .
a. 15 2 3
, 15 2, , 217 7
MT MN PT PN= = = =
b. 15 2 3
15 2, , 21,7 7
MT MN PT PN= = = =
c. 3 15 2
21, , , 15 27 7
MT MN PT PN= = = =
d. 3 15 2
, 21, 15 2,7 7
MT MN PT PN= = = =
a
A 110
Să se calculeze subnormala PN pentru curba
( ) 3 2: 2 3 0C x xy x y− + + − =
în punctulM în care curba ( )C taie axa Oy (vezi figura)
PN= ......................21......................
D 42
Să se calculeze subtangenta PT şi subnormala PN la cicloida:
( )( )
( )
sin:
1 cos
x a t tC
y a t
= −
= −
în punctul M arbitrar situat pe curbă:
a. 2 sin , sin2 2
t tPT a tg PN a t= = c. 22 sin , 2 sin
2 2 2
t t tPT a tg PN a= =
b. 22 sin , sin2 2
t tPT a tg PN a t= = d. 22 sin , 2
2
tPT a t tg PN atgt= ⋅ =
b
52
D 131
Să se calculeze torsiunea curbei:
( ) 2
1 1: , ,
1 1 1
t tC x y z
t t t
+= = =
− − +(C): 2
a.
52 2
2 4
1 1
1
t
T t t
+=
+ + c.
10
T=
b.
72 4
2 4
1 1
1
t
T t t
+=
+ + d.
32 2
2 4
1 1
1
t
T t t
+=
+ +
d
D 123
Să se calculeze torsiunea elicei circulare:
( ) : cos , sin , , C x a t y a t z bt t= = = ∈�
a. 2
2 2
1 a
T a b=
+ c.
2 2
1 a
T a b=
+
b. 2
2 2
1 b
T a b=
+ d.
2 2
1 b
T a b=
+
d
A 25
Să se calculeze unghiul V dintre tangenta MT şi raza vectoare OM , unde M este un punct oarecare al curbei (C) ρ =ae
kα (spirala logaritmica).
a. tgV k= b. 2
1tgV
k= c.
1tgV
k= d. tgV k=
c
A 54
Să se calculeze unghiul V dintre tangenta MT şi raza vectoare OM unde M punctul corespunzator
parametrului 090α = este situat pe cardioida definita prin
( ) ( ): 1 cosC a aρ = + . ……………..…-ctg pi/4 (sau) –1……………..… –1
D 16
Să se calculeze unghiul V dintre tangenta MT şi raza vectoare OM , unde M este un punct oarecare
al curbei ( ) kaC aeρ = (spirala logaritmică)
a. tgV k= b. 2
1tgV
k= c.
1tgV
k= d. tgV k=
c
D 120
Să se calculeze versorii , ,b nδ�� �
a-i triedrului Frenet corespunzători curbei:
( ) : cos , sin , C x a y a z bθ θ θ= = = (elicea circulară)
în punctul ( )0A θ = .
a. ( ) ( ) ( )2 2 2 2
, , aj bk bj ak
A b A n A ia b a b
δ+ − −
= = =+ +
� �� ��� ��
b. ( ) ( ) ( )2 2 2 2
, , bj bk aj ak
A b A n A ia b a b
δ+ −
= = = −+ +
� �� ��� ��
c. ( ) ( ) ( )2 2 2 2
, , aj bk bj ak
A b A n A ia b a b
δ− − +
= = =+ +
� �� ��� ��
d. ( ) ( ) ( )2 2 2 2
, , aj bk bj ak
A b A n A ia b a b
δ+ − +
= = = −+ +
� �� ��� ��
d
A 65 Să se detemine subnormala intr-un punct arbitrar la parabola de ecuatie carteziana (C) : y2=2px, p>0
PT = ……………..…p……………..…
53
A 107
Să se detemine subnormala într-un punct arbitrar la parabola de ecuaţie carteziană
( ) 2: 2 , 0C y px p= >
PT = ......................p......................
A 64 Să se detemine subtangenta intr-un punct arbitrar la parabola de ecuatie carteziana (C) : y2=2px, p>0
PT=……………..…–2x……………..…
A 108
Să se detemine subtangenta intr-un punct arbitrar la parabola de ecuatie carteziana
( ) 2: 2 , 0C y px p= >
PT=......................–2x......................
D 68
Să se determine cercul osculator într-un punct M al curbei plane ( )C dată pe ecuaţiile sale
parametrice.
( )( )
( ):
x x tC
y y t
=
=
a. Ecuaţia cercului osculator este: ( ) ( )2 2 2
x y rα β− + − = , cu
( )
( )
( )( )
2 2
2 2
32 2 2
y x yx
x y x y
x x yy
x y y x
x yr
x y x y
α
β
′ ′ ′+ = − ′ ′′ ′′ ′−
′ ′ ′+= +
′ ′′ ′ ′′−
′ ′+=
′ ′′ ′′ ′−
b. Ecuaţia cercului osculator este: ( ) ( )2 2 2x y rα β− + − = , cu
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
y x yx
x y x y
x x yy
x y y x
x yr
x y x y
α
β
′ ′ ′+ = +
′ ′′ ′′ ′−
′ ′ ′+= −
′ ′′ ′ ′′− ′ ′+
=′ ′′ ′′ ′−
c. Ecuaţia cercului osculator este: ( ) ( )2 2 2
x y rα β− + − = , cu
( )
( )
( )( )
2
12 2 2
2
12 2 2
12 2 2
yx
x y
xy
x y
x yr
x y x y
α
β
′
= − ′ ′+ ′
= − ′ ′+
′ ′+=
′ ′′ ′′ ′−
d. altă variantă.
a
54
D 100
Să se determine cosinuşii directori ai tangentei ( )t la curba ( )C de ecuaţie:
( ) : cos , sin , ,C x a t y a t z bt t= = = ∈�
a. 2 2 2 2 2 2
cos sincos , cos , cos
b a t a t
a b a b a bα β γ= = = −
+ + +
b. 2 2 2 2 2 2
cos sincos , cos , cos
a t a t b
a b a b a bα β γ
−= = = −
+ + +
c. 2 2 2 2 2 2
sin coscos , cos , cos
a t b a t
a b a b a bα β γ
−= = = −
+ + +
d. 2 2 2 2 2 2
sin coscos , cos , cos
a t a t b
a b a b a bα β γ= − = = −
+ + +
d
D 109
Să se determine curba descrisă de intersecţiile tangentelor la curba:
( ) ( )2 3: , , , C x t y t z t t= = = ∈�
cu planul xOy .
a. 23
40
y x
z
=
=
b. 23
0
y x
z
=
= c.
2
2
3
20
ty
ty
z
=
=
=
d.
2
32
30
ty
ty
z
=
=
=
b
D 64
Să se determine curbele plane ale căror curbură este constantă.
a. elipsele sunt singurele curbe plane având curbura constantă. b. cercurile sunt singurele curbe plane având curbura constantă. c. astroida este singura curbă plană având curbura constantă. d. altă variantă.
b
D 65
Să se determine curbele plane ale căror ecuaţie intrinsecă este:
2 2
1,
aa const
R a b= =
+
a. ( )
( )
sin
1 cos
x a t t
y a t
= −
= − c.
xy ach
a=
b. 2 2 2
3 3 3x y a+ = d. cos
sin
x a t
y a t
=
=
c
A 94
Să se determine curbura curbei:
( ) 2:1
2
x t
C ty t
=
= + −
în punctul 1t =
1
...R
= ……………..…1……………..…
55
D 6
Să se determine ecuaţia cercului osculator la elipsă în punctul de intersecţie cu semiaxa pozitivă a absciselor.
a.
22 2 42
2
a b bx y
a a
−+ − =
c.
22 2 42
2
a b bx y
a a
++ + =
b. 2 2
2 21
x y
a b+ = d.
2 2 42
2
a b bx y
a a
−− + =
d
D 116
Să se determine ecuaţia planului osculator în punctul ( )0,0,0O la elicea conică:
( ) : cos , sin , C x t t y t t z at= = − =
a. ( )0 : 0P aX Z− = c. ( )0 : 0P X Z− =
b. ( )0 : 0P X aZ− = d. ( )0
1: 0P X Z
a+ =
a
D 117
Să se determine ecuaţiile normalei principale ( )pN la curba:
( ) : cos , sin , C x a t y a t z bt= = = (elicea circulară)
în punctul ( )M C∈ corespunzător valorii 2
tπ
=
a. ( ) 2
2:
0 0p
X X a Z bN
ab a
π+ −= =
+ c. ( ) 2 2
2: p
Z bX Y a
Na b a b
π−
−= =
+
b. ( ) 2
2:
0 0p
X Y a Z bN
ab a
π− −= =
+ d. alta varianta
d
A 77 Să se determine elementul de arc al cercului 2 2 4x y+ = ,
ds=… ……………..…2ds……………..…
D 59
Să se determine evolventa cercului de ecuaţie:
( ) [ ]cos
: , 0, 2sin
x a tt
y a tγ π
=∈
=
a. ( )( )
( )
cos sin:
sin cos
x a t t tC
y a t t t
= −
= + c. ( )
( )
( )
sin cos:
sin cos
x a t tC
y a t t t
= +
= +
b. ( )( )
( )
cos sin:
sin cos
x a t t tC
y a t t t
= +
= − d. ( )
( )
( )
cos sin:
cos sin
x a t tC
y a t t t
= −
= −
c
56
D 60
Să se determine evolvenţa lanţişorului de ecuaţie:
( ) : 0x
y ach aa
γ = ≠
a. ( )
( )
sin,
1 cos
x r t tt
y r t
= −∈
= −� c.
( )
( )
cos sin,
sin cos
x a t t tt
y a t t t
= +∈
= −�
b. cos
, sin
x a tt
y a t
=∈
=� d. ,
tx t ath
a
tay
tch
a
= −
∈
=
�
d
A 76
Să se determine lungimea arcului de cardioida
( ) ( ): 1 cosC aρ α= +
cuprins intre punctele ( )0A şi ( )B π
...AB
l =� ……………..…4a……………..…
A 74
Să se determine lungimea arcului de cicloida
( )( )
( )
sin:
1 cos
x a t tC
y a t
= −
= −
cuprins intre punctele ( )0A şi ( )B π
...AB
l =� ……………..…4a……………..…
D 142
Să se determine lungimea arcului de curba �AB pentru
( )
cos
: sin
x a
C y a
z k
θ
θ
θ
=
= =
unde punctele A si B corespund valorilor 0θ = , respectiv θ π= .
a. �
2 22AB
l a kπ= + c. �
2AB
l akπ=
b. �
2 2
ABl a kπ= + d.
� 2 2
2AB
la k
π=
+
b
A 75
Să se determine lungimea lantisorului
( ) :2
x x
a aa
C y e e
= +
cuprins intre punctele ( )0A şi ( )B a
...AB
l =� ……………..…ash1……………..….
57
D 95
Să se determine parametrul λ astfel încât curba:
( ) ( )1 1 1
: , , 3 , 02 3
C x t y t z t tt t t
λ= + = + = + ≠
să fie tangentă la planul:
( ) ( ): 2 3 2 2 0P x y zλ λ− − + − =
a. 2
7λ = − b.
7
2λ = − c.
71,
2λ
∈ −
d. 1λ =
b
D 107
Să se determine punctele de pe curba: ( ) ( )2: ln , 2 , , 0C x t y t z t t= = = > în care planele normale
sunt paralele cu dreapta: ( ) : 4 0, D x y y z+ = = .
a. ( )1,0, 2M b. ( )1,0, 2M − c. ( )0, 2,1M d. ( )2,0,1M
c
A 30
Să se determine punctele singulare ale conicei data pe ecuaţia generala:
( ) ( ) 211 12 22 13 23 33: , 2 2 2 0C F x y a x a xy a a x a y a= + + + + + =
a. Doar conicele nedegenerate au puncte singulare. b. Doar conicele degenerate admit puncte similare.
c. Daca ( )0 0,A x y este un punct dublu al conicei date, exista o singura dreapta
tangenta ce trece prin acest punct. d. alta varianta.
b
D 56
Să se determine punctele singulare ale conicei dată pe ecuaţia generală:
( ) ( ) 211 12 22 13 23 33: , 2 2 2 0C F x y a x a xy a a x a y a= + + + + + =
a. Doar conicele nedegenerate au puncte singulare. b. Doar conicele degenerate admit puncte similare.
c. Dacă ( )0 0,A x y este un punct dublu al conicei date, există o singură dreaptă tangentă
ce trece prin acest punct. d. altă variantă.
d
D 55
Să se determine punctele singulare ale curbei ( ) ( )22: 1C y x x= − şi să se scrie ecuaţiile tangentelor în
aceste puncte.
a. ( )2, 2A şi ( )2, 2B − , puncte izolate. În aceste puncte curba nu admite tangentă.
b. M (1,0), punct dublu, dreptele tangente corespunzătoare: 1; 1y x y x= − = − .
c. O(0,0), punct dublu, tangentele corespunzătoare sunt dreptele de ecuaţie: ; y x y x= = − .
d. altă variantă.
b
D 48
Să se determine punctele singulare ale curbei ( ) ( )22: 1C y x x= − şi să se scrie ecuaţiile tangentelor în
aceste puncte.
a. ( ) ( ) ( )1 20,1 , : 1 , : 1M t y x t y x= − = +
b. ( ) ( ) ( )1 21,0 , : 1 , : 1M t y x t y x− = − + = − −
c. ( ) ( ) ( )1 20,1 , : 1, : 1M t y x t y x= + = − +
d. ( ) ( ) ( )1 21,0 , : 1, : 1M t y x t y x= − = −
d
58
A 95
Să se determine raza de curbura pentru curba:
( ) 2:1
2
x t
C ty t
=
= + −
în punctul 1t = .
R=……………..…1……………..…
D 53
Să se discute natura punctelor multiple ale curbei:
2 3 , y x px p= + ∈� (parametru)
a. daca 0,p ≥ ,03
pA
si ,03
pB
−
, sunt puncte duble.
b. daca 0,p < ,03
pA −
si ,03
pB
− −
, sunt puncte izolate.
c. daca 0,p > ,03
pA
si ,03
pB
, sunt puncte izolate.
d. daca 0p ≤ , ,03
pA
−
si ,03
pB
−
, sunt puncte duble.
b
D 86
Să se elimine parametrul t între ecuaţiile curbei:
( ) [ ]cos
: sin , 0, 2
x r t
C y r t t
z kt
π
=
= ∈ =
şi să se obţină ecuaţiile implicite ale curbei.
a. ( )
2 2 2 2 0:
0
x y z r
zy xtg
k
γ
+ + − =
− =
c. ( )
2 2 2 0:
0
x y z rz
yy arctg
kx
γ
+ + − =
− =
b. ( )
2 2 2 0:
0
x y z rx
zy tg
k
γ
+ + − =
− =
d. alt raspuns
d
A 28
Să se gaseasca curbura K şi raza de curbura R în punctul 4
Mπ
la curbura:
(C) ρ (θ)=5sin 2θ, θ∈[0,2π )
a. 1
22
K R= = b. 1
2 2
K R= = c. 2K R= = d. 1K R= =
d
59
D 152
Să se gasească vectorii de poziţie de pe curba:
( ) ( )21: 2 1C r i tj t k
t= + + −
�� �� în care tangenta la curbă este perpendiculară pe dreapta:
( )3 2 0
8 0
x yd
x z
+ − =
− + + =
a. există doi vectori de poziţie 1r i j k= − +�� ��
si 2 2r i j k= + +�� ��
b. există un singur vector de pozitie r i j k= − −�� ��
c. există trei vectori de pozitie 1 2 3, 2 , 2r k r i j r i k= = − = −�� � �� � �
d. există un singur vector de pozitie r i j k= + +�� ��
d
D 40
Să se găsească curbura K şi raza de curbură R în punctul 4
Mπ
la curbura:
( ) ( ) [ ) 5sin 2 , 0, 2C ρ θ θ θ π= ∈
a. 1
22
K R= = b. 1
2 2
K R= = c. 2K R= = d. 1K R= =
d
D 39
Să se găsească expresiile curburii K şi razei de curbură R în coordonate polare:
( ) ( )cos
: sin
xC
y
ρ θρ ρ θ
ρ θ
==
=
a.
( )
2 2
3\22 2
2K
ρ ρρ ρ
ρ ρ
′ ′+ −=
′+ c.
( )
2 2
3\22 2K
ρ ρ ρρ
ρ ρ
′ ′′+ −=
′+
( )
3\22 2
2 22R
ρ ρ
ρ ρρ ρ
′+=
′ ′+ −
( )3\22 2
2 2R
ρ ρ
ρ ρ ρρ
′+=
′ ′′+ −
b.
( )
2 2
3\22 2
2K
ρ ρρ ρ
ρ ρ
′ ′− +=
′+ d.
( )
2 2
3\22 2
2K
ρ ρ ρ ρ
ρ ρ
′ ′ ′′ ′′− −=
′+
( )
3\22 2
2 22R
ρ ρ
ρ ρρ ρ
′+=
′ ′− −
( )3\22 2
2 22R
ρ ρ
ρ ρρ ρ
′+=
′ ′′ ′′− −
c
D 34
Să se găsească familia de curbe care au subtangenta constantă şi egală cu 1
b
a. 2 , , .bxy ae a b const= c. , , bx
y ae a b const=
b. , , bxy ate a b const
−= d. ( )1 , , xy a be a b const= +
c
60
D 30
Să se găsească lungimile segmentelor de tangentă MT , de normală MN , subtangentă PT şi subnormală PN într-un punct M situat pe curba:
( ) , , ,12 2 4
C y tgx x Mπ π π
= ∈ −
a. 5 1
, 5, , 22 2
MT MN PT PN= = = =
b. 5 1
5, , , 22 2
MT MN PT PN= = = =
c. 1 5
2, , 5, 2 2
MT MN PT PN= = = =
d. 5 1
5, 2, , 2 2
MT MN PT PN= = = =
a
D 101
Să se găsească o reprezentare raţională a curbei definită implicit de ecuaţiile:
2 2 2 2 0
0
x y z
x y z
+ + − =
+ + =
a. ( ) 2
2 2 2
22 1 1, , ,
1 1 1
t tt tx y z t
t t t t t t
++ −= = − = − ∈
+ + + + + +�
b. ( ) 2
2 2 2
22 1 1, , ,
1 1 1
t tt tx y z t
t t t t t t
++ += − = = ∈
+ + + + + +�
c. ( )2
2 2 2
21 2 1, , ,
1 1 1
t tt tx y z t
t t t t t t
+− += = = − ∈
+ + + + + +�
d. ( ) 2
2 2 2
2 2 1 1, , ,
1 1 1
t t t tx y z t
t t t t t t
+ + −= = − = ∈
+ + + + + +�
c
D 104
Să se găsească parametrul real λ astfel încât curba:
( ) 3 2 3 2 3: , , 1 3 2 , C x t t y t t z t t t t tλ λ= + = + = + + + ∈�
să fie plană şi să se scrie ecuaţia planului care o conţine:
a. λ =1 şi 3 2 1 0x y z− + − = c. λ=1 şi 3 2 1 0x y z+ − − =
b. λ = −1 şi 3 2 1 0x y z+ + − = d. λ = −1 şi 3 2 1 0x y z− + − =
c
D 23
Să se găsească punctele de intersecţie ale curbei ( )C definită parametric de ecuaţile:
( )3
2
3
3
x t tC t
y t
= −∈
= −�
şi dreapta :
( ) 2 6 0d x y+ + =
a. ( ) ( ) ( )0,3 , 18,6 , 2, 2A B C− − − c. ( ) ( ) ( )0, 3 , 18,6 , 2, 2A B C− − − −
b. ( ) ( ) ( )0, 3 , 18, 6 , 2, 2A B C− − d. ( ) ( ) ( )0,3 , 18, 6 , 2, 2A B C− −
a
61
D 52
Să se găsească punctele singulare ale curbei:
( ) 4 2 3: 2 0C x ax y ay+ − =
a. curba nu are puncte singulare. c. ( )0,0O , este punct triplu.
b. ( )0,0O , este punct dublu. d. curba are două puncte singulare.
b
D 114
Să se parametreze ecuaţia implicită a curbei ( )( )
22 1 2 0
: 3 0
z xC
x y z
+ − − =
− − + =
a. ( ) 2 2: 1, 2, 2C x t y t t z t= − = + − = −
b. ( ) 2 2: 1, 2, 2C x t y t t z t= + = + + = −
c. ( )2 21
: , 1, 12 4 4
t t tC x y t z
−= = + + = −
d. ( )2 21
: , 1, 12 4 4
t t tC x y t z
+= = − + = +
b
A 23
Să se precizeze concavitatea arcului de elipsă:
� [ ]cos
: , 0,sin
x a tAB t
y a tπ
=∈
=
a. concav b. convex
a
A 22
Să se precizeze concavitatea spiralei lui Arhimede : (C): ρ =aα
a. concava inspre pol b. convexa inspre poli
a
D 57
Să se precizeze concavitatea şi convexitatea arcului de elipsă:
�( ) [ ]cos
0,sin
x a tAB t
y b tπ
=∈
=
a. arcul �( )AB este concav pe 0,2
π
şi convex pe ,2
ππ
b. arcul �( )AB este concav pe [ ]0,π
c. arcul �( )AB este convex pe 0,2
π
şi concav pe ,2
ππ
d. altă variantă.
d
B 13
Să se precizeze planele (A), (B), (C) din figura alaturata.
a. (A) - planul rectificator b. (A) - planul tangent c. (A) - planul normal (B) - planul osculator (B) - planul osculator (B) - planul osculator (C) - planul normal (C) - planul binormal (C) - planul rectificator
a
62
C 10
Să se scrie a doua forma fundamentala pentru suprafata definita parametric de ecuatiile:
( ) ( ) 2
cos
: sin ,
x u v
y u v u v
z u v
=
∑ = ∈ = +
�
a. ( ) ( )1/2 1/22 2 2 2 22 1 2 1 2n d r u dudv u u dv
− −
⋅ = − + + +� �
b. ( ) ( )1/22 2 2 2 22 1 2 1 2n d r u dudv v u dv
−
⋅ = − + − +� �
a
D 156
Să se scrie a doua formă fundamentală pentru suprafaţa definită parametric de ecuaţiile:
( ) ( ) 2
cos
: sin ,
x u v
y u v u v
z u v
=
∑ = ∈ = +
�
a. ( )1
2 2 22 1 2n d r u dudv−
⋅ = − +� �
b. ( ) ( )1
2 2 2 2 222 1 2 1 2n d r u dudv v u dv−
⋅ = − + − +� �
c. ( ) ( )1 1
2 2 2 2 22 22 1 2 1 2n d r u dudv u u dv−
⋅ = − + − +� �
d. ( ) ( )1 1
2 2 2 2 22 22 1 2 1 2n d r u dudv u u dv− −
⋅ = − + + +� �
d ?
A 56 Să se scrie ecuatiile normalei la curba (C) : x3+3x
2y−y2+9=0
în punctul A(0,3). ……………..…x = 0……………..…
A 57 Să se scrie ecuatiile tangentei la curba (C) : x3+3x
2y−y2+9=0
în punctul A(0,3). ……………..…y - 3 = 0……………..…
A 50 Să se scrie ecuatiile tangentei la curba (C) : x3+3x
2y−y
2+9=0 ……………..…Y – 3 = 0……………..… în punctul A(0,3).
B 14
Să se scrie ecuatiile tangentei şi a planului normal la curba:
( ) : cos , sin , , t t tC x e t y e t z e t= = = ∈�
în punctul ( )0 1,0,1M
a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1
: , :1 1 1 0 1 1 01 1 1 n
X Y Zt P X Y Z
− − −= = − + − + − =
b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1
: , : 1 1 1 0 0 1 01 1 0 n
X Y Zt P X Y Z
− − −= = − − + − + − =
−
a
63
D 134
Să se scrie ecuaţia binormalei la curba:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2: 2 ln , 0C r t t i t j t k t= + + >�� ��
în punctul ( )2,1,0P .
a. 2 1
2 0 1
X Y Z− −= =
− c.
2 1
2 1 2
X Y Z− −= =
− −
b. 2 1
2 1 2
X Y Z− −= = d.
2 1
2 1 0
X Y Z− −= =
c
D 70
Să se scrie ecuaţia cercului osculator la curba de ecuaţie carteziană: x
y acha
= (lănţişorul)
a. ( ) ( )2 2 2
x a y rβ− + − = cu
2
2
x xx ash ch
a a
xy ach
a
xr ach
a
α
β
= +
= +
=
b. ( ) ( )2 2 2x a y rβ− + − = cu
2
2
xx ash
a
xy ach
a
xr ach
a
α
β
= −
= +
=
c. ( ) ( )2 2 2x a y rβ− + − = cu
2
2
xx ash
a
xy ach
a
xr ach
a
α
β
= +
= −
=
d. ( ) ( )2 2 2
x a y rβ− + − = cu
2 2
xx ash
a
xy ach
a
xr a ch
a
α
β
= −
= +
=
b
64
D 25
Să se scrie ecuaţia explicită a curbei ( )C definită parametric de (prin) ecuaţiile:
( )
24 13 4 \ ,
4 3 3 2
2 1
tx
tC t
ty
t
+= +
∈ − − + =
+
�
a. 7 5 3
, \5 3 5
xy x
x
− = ∈
− � c.
5 7 3, \
5 3 5
xy x
x
− = ∈
− �
b. 7 5 3
, \5 3 5
xy x
x
+ = ∈
− � d.
5 7 3, \
5 3 5
xy x
x
+ = ∈
− �
a
A 55
Să se scrie ecuaţia normalei la curba
( )cos
:sin
t
t
x e tC
y e t
=
=
în punctul A(1,0). ……………..…x + y – 1 = 0……………..…
A 81
Să se scrie ecuaţia normalei la curba
( )cos
:sin
t
t
x e tC
y e t
=
=
în punctul A(1,0). ……………..…X + Y – 1 = 0……………..…
D 98
Să se scrie ecuaţia planului normal la elicea circulară:
( ) : cos , sin , C x a t y a t z bt= = =
în punctul curent pe curbă.
a. ( ) ( ) ( )sin cos cos sin 0a t X a t a t Y b t b Z bt− + − + − =
b. ( ) ( ) ( )sin cos cos sin 0a t X a t a t Y b t b Z bt− − + − + − =
c. sin cos 0a tX a tY bZ+ + =
d. cos sin 0a tX a tY bZ− − =
b
D 115
Să se scrie ecuaţia planului osculator ( )oP la curba de ecuaţie:
( ) : cos , sin , C x a t y a t z bt= = = (elicea circulară)
în punctul curent.
a. ( ) : sin cos 0oP b tX b tY aZ abt+ + − =
b. ( ) : sin cos 0oP b tX b tY aZ abt− + + + =
c. ( ) : sin cos 0o
P b tX b tY aZ abt+ − − =
d. ( ) : sin cos 0oP b tX b tY aZ abt− + − =
d
D 133
Să se scrie ecuaţia planului osculator în punctul ( )2,1,0P la curba:
( ) ( ) ( ) ( )2: 2 ln , 0C r t t i t j t k t= + + >�� ��
a. 2X−2Y−Z−3=0 c. 2X+Y+2Z−3=0 b. 2X−Y−2Z−3=0 d. 2X−Y−2Y−3=0
a
65
D 113
Să se scrie ecuaţia planului osculator la curba ( ) 2 2: 1, 2, 2C x t y t t z t= + = + + = − în planul curent
( ), ,M x y z .
a. ( ) : 3 0o
P x y z− − − = c. ( ) : 3 0o
P x y z− − + =
b. ( ) : 3 0o
P x y z+ − − = d. ( ) : 3 0o
P x y z+ + + =
c
D 150
Să se scrie ecuaţia planului rectificat in punctul 2
1,1,3
M
situat pe curba.
( ) 2
3
:
2
3
x t
C y t
z t
=
= =
a. 4 3 3 0X Y Z+ − − = c. ( ) ( )2
4 1 2 1 3 03
X Y Z
− + − − − =
b. ( ) ( )2
3 1 1 3 03
X Y Z
− + − − − =
d. 2 2 3 0X Y Z− + − =
d
C 34
Să se scrie ecuaţia planului tangent în punctul curent situat pe suprafaţa sferei de rază R.
( ) ( ) 2 2 2: , , 1 0S F x y z x y z≡ + + − =
…………….Xx+Yy+Zz=1…………….
B 10
Să se scrie ecuaţia tangentei în punctul curent la curba definită implicit de sistemul
2 2
2 2
2 0
1 0
x y
x z
− =
+ − =
a. 4 4 0
X x Y y Z z
yz z
− − −= =
− − b.
4 4 0
X x Y y Z z
yz pz
− − −= =
− −
a
A 80
Să se scrie ecuaţia tangentei la curba
( )cos
:sin
t
t
x e tC
y e t
=
=
în punctul A(1,0). ……………..…X – y – 1 = 0……………..…
D 43
Să se scrie ecuaţia tangentei la curba politropă: 0, 1m nx y m n= + =
a. ( )m
Y y X xn
− = − − c. ( )my
Y y X xnx
− = − −
b. ( )my
Y y X xnx
− = − d. ( )my
Y y X xnx
− = −
c
B 5
Să se scrie ecuaţia tangentei la curba
2 3/21 2 2
2 3r t i t j tk= + +
�� �� în punctul t = 2 .
a.
82 23
2 2 1
yx z
−− −
= = b. 2 3 2
2 2 1
x y z− − −= =
−
a
66
B 9
Să se scrie ecuaţia tangentei la curba
2 3/21 2 2
2 3r t i t j tk= + +
�� ��
în punctul 0t = .
a.
82 23
2 2 1
yx z
−− −
= = b. 0 0 1
X Y Z= =
b
D 29
Să se scrie ecuaţia tangentei şi normalei în punctul M (2, −1) la curba: (C) : x3+3x2y−y2−2x+9=0
a. ( ) : 7 13 0t x y− − − = c. ( ) : 7 13 0t x y+ − =
( ) : 7 9 0n x y− + = ( ) : 7 9 0n x y− − =
b. ( ) : 7 13 0t x y+ + = d. ( ) : 7 9 0t x y− − =
( ) : 7 9 0n x y− + = ( ) : 7 13 0n x y+ − =
d
A 27
Să se scrie ecuaţia tangentei şi normalei în punctulM (2, −1) la curba:
(C) : x3+3x2y−y
2−2x+9=0
a. ( ) : 7 13 0t x y− − − = c. ( ) : 7 13 0t x y+ − =
( ) : 7 9 0n x y− + = ( ) : 7 9 0n x y− − =
b. ( ) : 7 13 0t x y+ + = d. ( ) : 7 9 0t x y− − =
( ) : 7 9 0n x y− + = ( ) : 7 13 0n x y+ − =
d
D 24
Să se scrie ecuaţiie tangentelor duse prin originea O(0,0) la curba :
( )
24 13 4 \ ,
4 3 3 2
2 1
tx
tC t
ty
t
+= +
∈ − − + =
+
�
a. ( ) ( )1 2
1: , :t y x t y
x= = c. ( ) ( )1 2
9: , :
4t y x t y x= − =
b. ( ) ( )1 2
4: , :
9t y x t y x= = d. ( ) ( )1 2
49: , :
9t y x t y x= =
d
A 83 Să se scrie ecuaţiile normalei la curba (C) : x3+3x
2y−y
2+9=0 în punctul A(0,3). ……………..…X = 0……………..…
67
D 87
Să se scrie ecuaţiile parametrice ale curbei definită implicit prin:
( )
2 2 2
2 20
:
x y z
a bC
yz barctg
x
+− =
=
a. [ ]sin
cos , 0, 2
x at t
y at t t
z bt
π
=
= ∈ =
c. [ ]cos
sin , 0, 2
x at t
y at t t
z bt
π
=
= ∈ =
b. [ ]2
sin cos
cos , 0, 2
x at t
y at t t
z bt
π
=
= ∈ =
d. alt raspuns
c
D 7
Să se scrie ecuaţiile parametrice ale curbei: ( ) 3 3: 3 0C x y axy+ − =
a. ( )3
2
3
3
1
3
1
atx
tC t
aty
t
= +
∈ = +
� c. ( )2
2
2
3
1
3
1
atx
tC t
aty
t
= +
∈ = +
�
b. ( )
2
3
3
3
13
1
atx
tC t
aty
t
= + ∈
= +
� d. ( )
2
3
2
4
3
1
3
1
atx
tC t
aty
t
= +
∈ = +
�
a
D 82
Să se scrie ecuaţiile parametrice ale elocventei curbei plane de ecuaţii parametrice:
2
x t shtcht
y cht
= −
=
a. ( )( )
( )
1:
1
x t k sht
y cht k thtγ
= + −
= + − c. ( )
( )
( )
1
: 1
x t k cht
ky sht
cht
γ
= + − −
= +
b. ( )( )1
: 1
x t k tht
ky sht
sht
γ
= − − −
= −
d. ( )( )1
: 1
x t k tht
ky cht
cht
γ
= + − −
= +
a
68
D 80
Să se scrie ecuaţiile parametrice ale evolventei curbei de ecuaţie:
( )( )
( ):
x x tC
y y t
=
=
a. ( )( )
( )
sin cos:
cos sin
x a t k at tk const
y a t k at tγ
= − −=
= + −
b. ( )( )
( )
cos sin:
sin cos
X a t k at tk const
Y a t k at tγ
= − −=
= + −
c. ( )( )
( )
sin cos:
cos sin
X a t k at tk const
Y a t k at tγ
= + −=
= − −
d. ( )( )
( )
cos sin:
sin cos
X a t k at tk const
Y a t k at tγ
= + −=
= − −
c
D 79
Să se scrie ecuaţiile parametrice ale evolventei curbei plane de ecuaţie:
( )( )
( ):
x x sC
y y s
=
=
unde s este arcul pe curbă.
a. ( )( )
( ):
x x x k sk const
y y y k sγ
′= + −=
′= + − c. ( )
( )
( ):
x x x k sk const
y y y k sγ
′= − −=
′= + −
b. ( )( )
( ):
x x x k sk const
y y y k sγ
′= − −=
′= − − d. ( )
( )
( ):
x x x k sk const
y y y k sγ
′= + −=
′= − −
c
D 22
Să se scrie ecuaţiile parametrice ale strofoidei: x(x2+ y2)+a(x2−y2)=0
a. 2
2
2
1
1
atx
tt
aty
t
= +
∈ = +
� c.
( )
( )
2
2
2
2
1
1 1
1
at tx
tt
a ty
t
− = +
∈−
=+
�
b.
( )
( )
2
2
2
2
1
1 1
1
a tx
tt
at ty
t
− = +
∈−
=+
� d. ( )
( )
2
22
22
1
1
atx
tt
aty
t
=
+∈
= +
�
b
C 37
Să se scrie ecuaţiile planului tangent în punctul M (1, 3, 4) la suprafaţa
( ) 2
3
: 2
3
x u
S y u v
z u uv
=
= −
= −
…………….–2x+2y–z+12=0 3Y-2Z-1=0……….….
69
D 2
Să se scrie ecuaţiile tangentei ( )t şi normalei ( )n la curba: cos
sin
t
t
x e t
y e t
=
= în punctul ( )1,0A
a. ( )
( )
: 1 0
: 1 0
t x y
n x y
+ − =
− − = c.
( )
( )
: 0
: 1
t x y
n x y
− =
+ =
b. ( )
( )
: 1 0
: 1 0
t x y
n x y
− − =
+ − = d.
( )
( )
: 1 0
: 1 0
t x y
n x y
+ + =
− + =
b
D 3
Să se scrie ecuaţiile tangentei ( )t şi normalei ( )n la curba: 3 2 23 9 0x x y y+ − + = în punctul ( )0,3A
a. ( )
( )
: 3 0
: 0
t y
n x
+ =
= c.
( )
( )
: 3 0
: 0
t y
n x
− =
=
b. ( )
( )
: 0
: 0
t x y
n x y
− =
+ = d.
( )
( )
: 0
: 0
t x
n y
=
=
c
D 28
Să se scrie ecuaţiile tangentei (t ) şi normalei (n) în punctul 1
,32
M
la curba:
( )
24 13 4: \ ,
4 3 3 2
2 1
tx
tC t
ty
t
−= −
∈ − =
−
�
a. ( ) :16 5 0t x y+ − = c. ( ) :16 5 0t x y− − =
( ) : 2 32 97 0n x y− − = ( ) : 2 32 97 0n x y+ − =
b. ( ) :16 5 0t x y− + = d. ( ) : 16 5 0t x y− − − =
( ) : 2 32 97 0n x y+ − = ( ) : 2 32 97 0n x y− + =
c
D 27
Să se scrie ecuaţiile tangentei (t ) şi normalei (n) în punctul M (1,1)la curba:
( )
4
2 1 1
2
xx
xC
x
= −
≠
a. ( ) : 2 1t y x− = c. ( ) : 2 3 0t x y+ − =
( ) : 2 3n y x+ = − ( ) : 2 1 0n x y− − =
b. ( ) : 2 1 0t x y− − = d. ( ) : 2 1 0t y x+ − =
( ) : 2 3 0n x y+ − = ( ) : 2 3 0n x y− − =
c
70
D 99
Să se scrie ecuaţiile tangentei la curba:
( )2
2
2 0:
2 0
x azC
y bz
− =
− =
a. ( ) :2
X x Y y Z zt
b a z
− − −= = c. ( ) :
2
X x Y y Z zt
a b z
− − −= =
b. ( ) :X x Y y Z z
ta b ab
− − −= = d. ( ) :
2
X x Y y Z zt
a b ab
− − −= =
−
c
D 106
Să se scrie ecuaţiile tangentei şi a planului normal în punctul ( )0 1,1, 1M − la curba:
( )2 2 22 3 6
:2 3 0
x y zC
x y z
+ + =
+ + =
a. ( ) ( )1 1 1
: , : 2 1 02 1 0
X Y Zt n X y
− − += = − + =
− −
b. ( ) ( )1 1 1
: , : 2 1 02 1 0
X Y Zt n X y
− − += = − − =
−
c. ( ) ( )1 1 1
: , : 2 2 1 02 1 1
X Y Zt n X y
− − += = − + =
− −
d. ( ) ( )1 1 1
: , : 2 1 02 1 0
X Y Zt n X y
− − += = + + =
− −
b
D 105
Să se scrie ecuaţiile tangentei şi a planului normal la curba:
( ) : cos , sin , , t t tC x e t y e t z e t= = = ∈�
în punctul ( )0 1,0,1M
a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1
: , :1 1 1 0 1 1 01 1 1 n
X Y Zt P X Y Z
− − −= = − + − + − =
b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1
: , : 1 1 1 0 0 1 01 1 0 n
X Y Zt P X Y Z
− − −= = − − + − + − =
−
c. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 0 1 1: , : 1 0 2 1 0
2 n
X Y Zt P e X Y e Z
e e e e−
− − −= = − + − + − =
d. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1
: , : 0 1 0 1 1 1 00 0 1 n
X Y Zt P X Y Z
− − −= = − + − − − =
a
D 1
Să se scrie ecuaţiile tangentei ( )t şi normalei ( )n la curba 1y x= + în punctul de abscisă e (posibil x = e)
a. ( )
( ) 2
: 0
: 2 0
t x ey e
n ex y e
− + =
+ − + = c.
( )
( ) 2
: 0
: 2 0
t x ey e
n ex y e
+ − =
− − − =
b. ( )
( ) 2
: 0
: 2 0
t ex y e
n x ey e
− − =
+ − + = d.
( )
( )
2: 2 0
: 0
t ex y e
n x ey e
+ − + =
− + =
d
71
D 108
Să se scrie ecuaţiile tangentei şi planului normal la curba:
( ) ( )2: ln , 2 , , 0C x t y t z t t= = = >
în punctul ( )0, 2,1M .
a. ( ) ( )2 1
: si : 2 6 01 2 1
X Y Zt n X Y Z
− −= = + + − =
b. ( ) ( )2 1
: si : 2 1 00 2 1
X Y Zt n Y Z
− −= = + − =
c. ( ) ( )2 1
: si : 2 2 2 01 2 1
X Y Zt n X Y Z
− −= = + + − =
d. ( ) ( )2 1
: si : 2 2 6 01 2 2
X Y Zt n X Y Z
− −= = + + − =
d
D 26
Să se scrie ecuaţiile tangentelor la curba
( ) 3 3 2 3 0C x y x− − = (x2-y
2-3x
2=0) – alta varianta
paralele cu prima bisectoare a axelor de coordonate:
a. ( ) ( )1 2: , : 4t y x t y x= − = − c. ( ) ( )1 2: , : 4t y x t y x= = −
b. ( ) ( )1 2: , : 4t y x t y x= = − d. ( ) ( )1 2: , : 4t y x t y x= − = +
a
C 2
Să se scrie prima forma fundamentala pentru suprafata definita de ecuatiile:
( ) ( ) 2: ,
x u
y v u v
z uv
=
∑ = ∈ =
�
a. ( ) ( )2 2 2 2 21 2 1ds v du uvdudv u dv= + + + +
b. ( ) ( )2 2 2 2 21 2 1ds u du uvdudv v dv= + + + +
a
C 40
Să se scrie prima forma fundamentala pentru suprafata definita de ecuatiile:
( ) ( ) 2: ,
x u
y v u v
z uv
=
∑ = ∈ =
�
( ) ( )2 2 2 2 21 ... 1ds v du u dv= + + + + …………….2uvdudv…………….
C 1
Să se scrie prima forma fundamentala pentru suprafata definita implicit de ecuaţia:
( ) 3: x y z∑ + =
a. 2 2 24 2 2 4
1 2 11 1
9 9 9ds dx dxdy dy
z x y z
= + − + +
b. 2 2 24 4 4
1 2 11 1
9 9 9ds dx dxdy dy
z z z
= + + + +
b
72
D 154
Să se scrie prima formă fundamentală pentru suprafaţa definită de ecuaţiile:
( ) ( ) 2: , ,
x u
y v u v
z uv
=
∑ = ∈ =
�
a. ( ) ( )2 2 2 2 21 2 1ds u du uvdudv v dv= + + + +
b. ( ) ( )2 2 2 2 21 2 1ds v du uvdudv u dv= + + + +
c. ( ) ( )2 2 2 2 21 2 1ds v du uvdudv u dv= − + + −
d. ( ) ( )2 2 2 2 21 2 1ds u du uvdudv v dv= − + + −
b
D 155
Să se scrie prima formă fundamentală pentru suprafaţa definită implicit de ecuaţia:
( ) 3: x y z∑ + =
a. 2 2 24 4 4
1 2 11 1
9 9 9ds dx dxdy dy
x z y
= + + + +
b. 2 2 24 4 4
1 2 11 1
9 9 9ds dx dxdy dy
x z y
= − + + −
c. 2 2 24 4 4
1 2 11 1
9 9 9ds dx dxdy dy
z z z
= + + + +
d. 2 2 24 2 2 4
1 2 11 1
9 9 9ds dx dxdy dy
z x y z
= + − + +
c
D 67
Să se stabilească ordinl de contact r în punctul ( )2,0A între elipsa:
( )1
cos:
sin
x a tC
y b t
=
=
şi cercul:
2 4
2 2 2 22
0, c b
x y c a ba a
− + − = = −
a. r = 3 b. r = 2 c. r =1 d. r = 4
c
D 66
Să se stabilească ordinl de contact r în vârful ( )0,1V între parabola:
( )2
1 :2
xC y a
a= +
şi lănţişorul
( )2 :x
C y acha
=
a. r =1 b. r = 2 c. r = 3 d. r = 4
c
73
D 58
Să se studieze convexitatea şi concavitatea curbei ( ) :C aρ α= (spirala lui Arhimede).
a. curba ( )C este convexă spre pol.
b. curba ( )C este concavă spre pol.
c. curba ( )C nu admite concavitate sau convexitate.
d. altă variantă.
b
C 24
Se considera punctul M de intersectie al celor doua curbe. Relatia
cosdr r
dr r
δα
δ
⋅=
� �
� �
exprima ......................UNGHIUL DINTRE TANGENTELE........................... a doua curbe pe o suprafata data
prin ecuatiile sale vectoriale.
D 81
Se consideră curba plană:
( ) :2
x t shtchtC
y cht
= −
=
Să se scrie ecuaţiile parametrice ale ecuaţiei.
a. ( ) 2
3 2:
2 4
x cht shtcht
y cht ch tγ
= −
= − c. ( ) 2
3:
4 2
x t chtsht
y cht ch tγ
= −
= −
b. ( ) 2
2:
4 2
x t shtcht
y cht ch tγ
= −
= + d. ( )
24 2:
x sht sh t
y t shtchtγ
= −
= +
b
H 209
Se numeste cerc .....................OSCULATOR..................... intr-un punct M al unei curbe plane (C) cercul (γ) care
are cu (C) un contact de ordinul doi.
A 40 Se numeste cerc ……………..…OSCULATOR……………..… intr-un punct M al unei curbei plane ( )C
cercul ( )γ care are cu ( )C un contact de ordinul doi.
E 13 Se numeste desfasurata sau evoluta unei curbe plane (C) o curba (γ) care este desfasuratoarea curbei (C). F
E 15 Se numeste desfasurata sau evoluta unei curbe plane (C) o curba (γ) care este infasuratoarea familiei de normale duse la curba (C). T
E 14 Se numeste desfasuratoare sau evolventa (a) unei curbe plane (C) o curba (γ) care este infasuratoarea curbei (a carei desfasurata este curba data) (C). T
E 16 Se numeste desfasuratoare sau evolventa (a) unei curbe plane (C) o curba (γ) a carei desfasurata este curba data (care este infasuratoarea curbei) (C). F
A 45
Segmentele tagngenta MT şi normala MN corespunzatoare curbei (C) : x3−xy
2+2x+y−3=0 în punctele în care tangenta şi normala în M (1, 1) intersecteaza axa Ox , se gasesc în relatia
MN
MT= ……………..…–4……………..…
74
A 47
Segmentul de tangenta intr-un punct arbitrar M al curbei
( ) ( )th
: 1
ch
x t t
C tractriceay
t
= −
=
este
MT = ……………..…1……………..…
A 43
Segmentul subnormala corespunzatoare curbei (C):x3−xy
2+2x+y−3=0 în punctele în care tangenta şi normala în M (1, 1) intersecteaza axa Ox este
PN = ……………..…–4……………..…
A 63
Segmentul subnormala, corespunzatoare curbei (C) : x3−xy
2+2x+y−3=0 în punctele în care tangenta şi normala în M (1, 1) intersecteaza axa Ox, este
PN =……………..…–4……………..…
A 109
Segmentul subnormala, corespunzătoare curbei
( ) 3 2: 2 3 0C x xy x y− + + − =
în punctele în care tangenta şi normala în ( )1,1M intersectează axa Ox este PN =......................– 4......................
-4
A 68
Segmentul subtangenta polara OT corespunzator spiralei logaritmice
( ) : , 0kxC ae kρ = > .
este proportional cu distanta polara a punctului considerat, factorul de proprtionalitate fiind egal cu
……………..… k (sau) 1 / k……………..…
A 105
Segmentul subtangenta polara OT corespunzator spiralei logaritmice
( ) : , 0kxC ae kρ = >
este proportional cu distanta polara a punctului considerat, factorul de proprtionalitate fiind egal cu
...................... k (sau) 1 / k......................
A 84
Sensul pozitiv al ……………..…NORMALEI……………..… la o curba plana este dat de versorul:
d
nd
τ
α=
��
A 8
Spirala logaritmica
2ae
αρ =
isi taie razele vectoare sub un unghi constant de masura:
a. 1
tgVα
= b. 1
2tgV = c.
1tgV
k=
b
A 106 Subnormala parabolei 2 2y px= este constantă şi este egală cu ......................p......................
A 66 Subnormala parabolei y2 = 2px este constanta şi este egala cu ……………..…p……………..…
A 46
Subnormala PN intr-un punct arbitrar la parabola de ecuatie carteziana: (C) : y2=2px, p>0 este
PN = ……………..…p……………..…
75
C 3
Suprafaţa
( ) : cos , sin , S x u v y u v z av= = =
este
a. regulată b. singulara
a
D 112
Tangentele la curba ( ) ( ) ( ): sin cos , sin cos , tC x a t t y a t t z be−= + = + = intersectează planul
xOy după:
a. o elipsă de ecuaţie:
2 2
2 21
0
x y
a b
z
+ =
=
c. o elipsă de ecuaţie:
2 2
2 21
4 40
x y
a b
z
+ =
=
b. o hiperbolă de ecuaţie:
2 2
2 21
0
x y
a b
z
− =
=
d. un cerc de ecuaţie: 2 2 24
0
x y a
z
+ =
=
a
C 31 Toate punctele unei sfere sunt …………………..……OMBILICALE……………..….
H 203
Un arc de curba definit de ecuatia vectoriala
( ) ( ) ( ): , ,C r r t t α β= ∈� �
se numeste .....................REGULAT..................... daca ( ) ( )0, ,r t t α β≠ ∀ ∈�
A 2
Un arc de curbă definit de ecuaţia în coordonate polare:
( ) ( ), Iρ ρ α α= ∈ ⊆ �
se numeste regulat daca:
a. 2 2' 0ρ ρ+ ≠ b. ' 0ρ ρ+ ≠
a
A 34
Un arc de curbă definit de ecuaţia vectoriala
( ) ( ) ( ): , ,C r r t t α β= ∈� �
se numeste ……………..…REGULAT ……………..…daca ( ) ( )0, t ,r t α β≠ ∀ ∈�
A 79 Un punct ( ),M x y situat pe o curba ( )C se numeste punct ……………..…SINGULAR……………..… daca
2 2 0t tx y+ =
H 204
Un punct ( )M C∈ in care sunt satisfacute conditiile de regularitate se numeste punct
.....................REGULAT.....................
A 33 Un punct ( )M C∈ în care sunt satisfacute conditiile de regularitate se numeste punct
…………..… REGULAT ……………..…
A 69 Un punct dublu este pentru o curba un punct ……………..…SINGULAR……………..…
A 7
Unghiul V dintre tangenta şi raza vectoare corespunzator unui punct pe o curba definita de ecuatiile sale
polare: ( )ρ ρ α= este
a. tgVρ
ρ
′= b. tgV
ρ
ρ=
′
b
76
D 128
Unghiul V pe care îl face binormala la curba:
( ) ( ) ( ): cos ln , sin ln , C x t a t y t a t z bt= = =
cu axa Oz între punctul curent este:
a. 2
Vπ
= c. 2 2
cos1
aV
a b=
+ +
b. 0V = d. 2
2 2
1cos
1
aV
a b
+=
+ +
c
A 58 Vectorul normalei la o curba plana este orientat spre ……………..…CONCAVITATEA……………..…curbei
A 16 Vectorul normalei la o curba plana regulata este orientat spre
a. concavitatea curbei b. convexiitatea curbei a
A 85
Versorul
, 1dr
dsτ τ= =
�� �
ne dă sensul pozitiv al ……………..…TANGENTEI……………..… la o curba plana