unde_electromagnetice1

8/4/2019 Unde_electromagnetice1

1/22

UNDE ELECTROMAGNETICE 141

2.UNDE ELECTROMAGNETICE2.1. Scurt istoricIn cartea"Electricitatea i magnetismul" , publicat n 1873,James Clerk

Maxwell a prevzut drept consecin a ecuaiilor de cmp posibilitatea de a

genera / detecta unde electromagnetice.Ulterior, n anul 1883,George Francis Fitzgerald a observat c teoriaMaxwell sugereaz faptul c acest tip de unde poate fi obinut prin modificri(variaii) ale curentului electric.

In anul 1887 Heinrich Hertz a produs i ulterior a detectat primeleunde radio (numite iniial, din aceast cauz, unde her iene ; ulterior undeleelectromagnetice avnd lungimi de und "lungi" au fost rebotezate de ctreMarconiunde radiotelegrafice ).

Experimentele efectuate de Hertz (un genial experimentator) s-au bazat pedou dispozitive, la construcia crora a depus o munc titanic.

Primul dispozitiv este ceea ce numim astzi eclatorul lui Hertz , a cruistructur poate fi urmrit n figura 2.1.

Bobina de inductieRuhmkorff

a. Eclatorul lui Hertz b. Rezonatorul lui Hertz



a. Eclatorul lui Hertz b. Rezonatorul lui Hertz

Figura 2.1

Bobina de inducie Ruhmkorff avea proprietatea de a induce n secundar otensiune nalt care ajuns la nivelul sferelor mici producea o descrcare

electric i (probabil) genera oscilaii electromagnetice de nalt frecven (deordinul 50 MHz). Existena acestor unde electromagnetice trebuia evideniat experimental, drept pentru care cel de-al doilea dispozitiv inventat de Hertz a fostrezonatorul care-i poart numele.

Rezonatorul lui Hertz (pe post de receptor) a fost amplasat n apropiereaeclatorului. Experimentele care au stabilit geometria optim a acestuia (adaptat frecvenei undelor generate) au durat nou ani. Ceea ce s-a obinut n prim faz a fost observarea unor mici scntei ntre cele dou sfere ale rezonatorului.Concluzia a fost c ntre cele dou dispozitive s-a transmis ceva .

Rezultatele obinute au fost prezentate sub titlul"Despre fenomene deinduc ie provocate cu ajutorul unor procese electrice n izolan i" ntr-o sesiune


2/22

ISTORIC. ECUAIA DE PROPAGARE A UNDELOR ELECTROMAGNETICEISOLUII ALE ACESTEIA

142

de comunicri a Academiei din Berlin (10 mai 1887).Ulterior Hertz a studiat maniera n care distana dintre cele dou dispozitive

influeneaz efectele obinute, apoi a efectuat experimente n urma crora ademonstrat c undele electromagnetice au ntr-adevr aa cum afirmase Maxwell

toate proprietile specifice luminii.Urmtorul moment semnificativ a fost anul 1897, cnd fizicianul rusAleksandr Stepanovici Popov a construit prima anten utilizat pentru a transmiteunde radio la o distan de 5 km. Tot el, cu un an mai devreme, reuise s transmit i s recepioneze (la o distan de 250 m) primul mesaj transmis n eter ; acesta,scris n alfabet Morse, era constituit din dou cuvinte : "Heinrich Hertz" (ca unsemn de omagiu la adresa acestuia).

Anul 1901 este anul n care fizicianul germanFerdinand Braun folosete pentru prima oar pentru recepia undelor radio un detector cu cristale (tot eleste considerat inventatorul oscilografului catodic / printele osciloscopului / nanul 1897). In acelai an Guglielmo Marconi realizeaz prima transmisietransatlantic (litera "S" n codul Morse) ntre Angliai Canada. Tot el,experimentnd diferite tipuri de antene, a inventat (n 1905) antena radio orizontal direcional.

In anul 1909 Marconii Braun au primit premiul Nobel n fizic pentruinventarea telegrafiei f r fir.

Anul 1901 consemneaz i numele lui Piotr Nikolaevici Lebedev care(independent de E.F. Nicholsi G.F. Hull) msoar presiunea radiant a luminii(dovedind c aceast mrime exist !).

Revenind puin n timp, trebuie menionate realizrile din domeniultelegrafiei i telefoniei cu fir. Astfel, n anul 1884 s-a realizat prima reea detelefonie ntre oraele Boston i New York (folosindu-se proprietile tuburilor catodice (primitive) de a prelucra semnale de nalt frecven. In perioada1884 1891 se afirm i inginerul croato americanNikola Tesla care inventeaz alternatorul electric, apoi bobina ce-i poart numele (i care produce tensiuniridicate la frecvene nalte). Tesla este inventatorul motorului asincroni"printele" curentului alternativ, a crui utilitate a fost demonstrat n 1893 cnd,mpreun cu George Westinghouse, a realizat prima instalaie de iluminat (laExpoziia Universal din Chicago, U.S.A).

1904 este anul n careJohn Ambrose Fleming inventeaz dioda cu vid.In 1906 fizicianul canadiano americaReginald Aubrey Fessenden a

inventat aparatul de radio cu modulaie n amplitudine, realiznd prima transmisiede voci i muzic n eter. In 1913A. Meissner a pus la punct un radioreceptor cuheterodin i un emitor de unde radio dotat cu tuburi electronice cu vid.

In 1914 se inventeaz trioda.Anul 1915 este reinut (n istoria fiziciii tehnologiei) drept anul n care s-a

realizat prima convorbire radiotelefonic transatlantic ntre oraele Arlington(Virginia) i Paris (turnul Eiffel). Tot atunci s-a consemnat prima convorbiretelefonic trasatlantic ntre Alexander Graham Bell (aflat la New York) i


3/22


Thomas A. Watson (la San Francisco). Dei contestat, Bell a fost recunoscut ncele din urm drept inventatorul telefonului (1876).

1918 este anul n care se pune la punct primul oscilator radio cu cristale iar Edwin H. Armstrong construiete receptorul radio cu superheterodin.

Urmeaz n 1919 construcia unui receptor n gama de frecvene scurte i (n1920) apariia primului post de radio liceniat, cu transmisiuni regulate.Perioada 1920 1940 corespunde intervalului de timp n care reeaua de

emisie radio s-a extins n toat lumea civilizat. Ca momente semnificativeioarecum complementare, trebuie menionate :

- inventarea primului tub electronic ce genereaz microunde (magnetron)de ctre Albert W. Hull (1821) ;

- realizarea primei celule fotoelectrice (1923) ;- nceputurile televiziunii : n 1924 fizicianul american (de origine rus)

Vladimir Kosma Zworykin inventeaz iconoscopul (prima camer deteleviziune)i obine primul brevet pentru un sistem de televiziune color ;- perfecionarea dispozitivelor i aparaturii : construirea pentodei (n 1927)

i apariia radioului cu gama de frecvene medii (n 1929).Se consider c perioada 1940 1950 corespunde extinderii reelei de

televiziune la nivel planetar.Ce a urmat ? Ceea ce constatm astzi la fiecare pas : tehnologia

indispensabil f r de care muli dintre noi nu ar mai putea tr i !(.. i cnd te gnde ti c totul a nceput cu un sistem de ecua ii, cu o

predic ie, cu experimente "primitive", cu intui ie, cu geniu i cu enorm de mult efort !)

2.2. Spectrul electromagneticPrin definiie radiaia electromagnetic const n emisia de unde

electromagnetice - care permit transmisia informaiei, respectiv a energiei, ladistan. Totalitatea frecvenelor (lungimilor de und) posibile pentru undaelectromagnetic constituie spectrul electromagnetic.

Dup cum se observ n tabelul I, un subdomeniu al undelor electromagnetice este ocupat de aa - numitele "radiaii vizibile". In fapt este vorbadespre lumin.Deoarece n istoria fizicii optica (studiul fenomenelor legate de lumin) a ocupat -mult vreme - un loc separat, ea fiind indisolubil legat de experimente percepute prin intermediul percepiei vizuale1 (impresiei percepute de acel instrument

1 Anticii erau familiarizai cu unele fenomene optice. Astfel, nc din Grecia antic nvaii au constatat c n medii omogene transparente lumina se propag n linie dreapt

(aceast concluzie fiind o consecin direct a modului n care apare umbra unui obiect iluminatde ctre o surs (Soare). Primele teorii legate de simul vzului porneau de la ideea c "razelevizuale" ar pleca din ochi, asemenea unor tentacule. Pe aceste premize Euclid, n tratatele sale


4/22


144

particular, excepional perfecionat de ctre natur , pe care l reprezint ochiuluman), vom insista puin asupra acestui subiect.

Natura fizic a luminii a preocupat muli fizicieni. Astfel pe la mijloculsecolului al XVII- lea experimentele cu lumin au condus la concluzii diferite

privind natura acesteia. Una dintre cele dou teorii vehiculate n lumeatiinific iapar inea lui Isaak Newton - el reuise s separe lumina alb n culorile salecomponentei era adeptul ipotezei c lumina este format din particule foarte mici,care se pot mica n vid i n substan, satisf cnd legile mecanicii clasice.Aceast ipotez (cunoscut drept ipoteza corpuscular , formulat n 1704 / ntratatul numit Opticks ) justifica propagarea rectilinie a luminiii legea reflexiei(prin conservarea de energiei de impuls mecanic) ; legea refraciei, n forma :

1

2

vvn = nu era susinut de rezultatele experimentale iar fenomenul de dispersie era

explicat prin ipoteza existenei a dou tipuri de particule, unele "roii" i altele"albastre", de mrimi diferite.Pe poziii opuse se afla teoria ondulatorie a lui Christian Huygens ,

formulat n 1678 n Tratatul asupra luminii (Trait de la lumire ), naintatAcademiei din Paris2. Aceast teorie se baza pe recunoaterea ipotezei eterului (camediu substanial prin intermediul cruia se transmiteau interaciunile) ; lumina eraconsiderat drept fiind de natura unei unde mecanice longitudinale care se propag prin eter. In ceea ce privete legea refraciei, relaia propus de Huygens era :

2

1

v

vn =

Conform teoriei lui Newton, la trecerea luminii dintr-un mediu optic mai puin dens la unul cu densitate mai mare, viteza luminii ar fi trebuit s creasc ; din punctul de vedere al teoriei lui Huygens, aceast vitez ar fi trebuit s fie mai mic.Prin urmare, stabilirea experimental a acestor viteze a devenit un element esenial pentru recunoaterea valabilitii unei teorii sau a alteia ("experimentumcrucis"/experiment crucial).

Ulterior muli ali fizicieni au f cut nenumrate experimente, ncercnd s aduc argumente n favoarea unei teorii sau alteia.

"Optica" i "Cataoptica", a enunat principiul propagrii rectilinii a luminii i legea egalitiidintre unghiul de inciden i unghiul de reflexie. Lucretius, n poemul "De rerum natura", ar tac lumina provine de la corpuri, iar Ptolemeu (120 e.n.) ncerca - pentru prima oar - s explicelegea refraciei luminii (afirmnd c unghiul de inciden i unghiul de refracie sunt mrimidirect propor ionale ; abia n anul 1630 Decartes a formulat corect aceast lege, stabilit experimental de ctre Snellius n anul 1621).

In acest context trebuie menionat i faptul c toi aceti nvai confecionau i utilizaulentile.

2

Ca o curiozitate merit menionat faptul c prima persoan care a afirmat c lumina ar avea un caracter ondulator a fost Leonardo da Vinci ; el a corelat reflexia luminii cu ecoul (cureflectarea undei sonore).


5/22

UNDE ELECTROMAGNETICE

TABELUL 1. DOMENIUL UNDELOR EDenumire Mod de generare

Unde hertziene

lungimediiscurteultrascurte

>103 m102 m


6/22


146

In jurul anului 1800Thomas Young , cruia i s-a alturat mai trziu (1817)Augustin - Jean Fresnel , au realizat experimente care studiau interferena luminii.Rezultatele lor erau n favoarea teoriei ondulatorii. In perioada 1820 - 1850Dominique - Francois Arago , Lon Foulcault i Armand - Hippolyte Fizeau

au demonstrat c viteza luminii este mai mare n aer dect n ap. Acest lucru areprezentat o reconfirmare a teoriei ondulatoriii a convins o mare parte dinfizicieni c aceast teorie este cea adevrat. Totui, dup aproximativ 100 de ani,teoria corpuscular a luminii a nceput s fie din nou acceptat.

Chiar nainte ca proprietile luminii s fie cunoscute, fizicienii au ar tat c lumina este rezultatul activitii electrice n atom (cunoaterea electricitiincepuse s devin necesar pentru a nelege comportamentuli proprietileluminii !). In 1800Alessandro Volta anuna realizarea unei baterii electrice care putea produce un curent continuu. Oamenii detiin (precum Michael Faraday )au folosit aceast surs pentru descoperirea de noi fenomene (cum ar fi electrolizasau capacitatea cmpurilor electricei magnetice de a se genera reciproc).

Dup cum am vzut n primul paragraf, James Clerk Maxwell i-a publicat n 1873 teoria n care formula legile de baz ale electromagnetismului ; elsublinia coincidena interesant dintre viteza de propagare a undelor electromagnetice n vidi viteza luminii ; aceast observaie, coroborat cu altedate experimentale, a condus la urmtoarele concluzii importante :

1. Viteza de propagare a luminii n vid este egal cu viteza de propagare aundelor electromagnetice n vid.

2. Lumina - asemenea undelor electromagnetice - sufer fenomene dereflexie, refracie, polarizare, interferen, difracie ; legile / relaiile caremodeleaz asemenea fenomene sunt identice.

3. Asemenea undelor electromagnetice lumina se propag i n absenasubstanei (n vid).

4. Responsabilitatea impresionrii ochiului uman i revine intensitiicmpului electric (vezi experiena Wiener).

5. Domeniul de lungimi de und pentru care lumina este vizibil este inclusn domeniul mult mai mare (infinit) al lungimilor de und posibile pentru undaelectromagnetic.

Revenind la discuia despre natura luminii, trebuie subliniat faptul c n1888, n timpul experimentelor f cute, Hertz a observat c lumina care cade pe unmetal produce "ruperea" unei sarcini negative (efectul fotoelectric). Experimenteleulterioare au sugerat c aceste sarcini ar putea fi nite particule.

In continuare alte experimente au ar tat c electronii exist i c reprezint elemente de baz ce intr n alctuirea atomului. In jurul anului 1900 era deja clar c electronii liberi sunt sarcini negativei c micarea acestora ntr-un conductor d natere curentului electric.

In anul 1900 fizicianulMax Plank , explicnd radiaia termic, devineiniiatorul teoriei cuantice pe baza creia, n anul 1905, Einstein a explicat efectul


7/22


fotoelectric, afirmnd c lumina este format din particule pe care le-a numitfotoni. Fiecrui foton i corespunde o cuant de energie dat de relaia =hE(unde este frecvena luminii iar h este constanta lui Planck).

Robert Andrews Millikan a msurat n anul 1906 sarcina electronului -

cea mai mic sarcin obinut experimental. Trei ani mai trziu ErnestRutherford a ajuns la concluzia c toi atomii au un "miez" ncrcat pozitiv(nucleul) - n care este concentrat cea mai mare parte din masa atomuluii careeste nconjurat de electroni. In 1913Niels Bohr a prezentat modelul atomului dehidrogen , pe baza cruia a explicat existena unor spectre de emisiei absorbie ;n acest fel s-a stabilit legtura dintre lumin i structura atomic.

Arthur H. Compton a ar tat (n 1923) c reflexia razelor X pe oint poate fi explicat dac se consider c ele ar fi - n fapt - nite particule. Astfel,teoria corpuscular a ctigat din ce n ce mai mult teren, f r s explice (ns)anumite fenomene ondulatorii, cum ar fi difracia. Totui (n 1927) Clinton J.Davisson i Lester H. Germer au descoperit c un fascicul de electroni poate fidifractat pe cristale. In acest fel ei au demonstrat c att teoria corpuscular ct icea ondulatorie erau corecte. (Ulterior lucr rile lui Heisenberg, Dirac, Louis deBroglie, au ar tat c dualitatea und - corpuscul nu este caracteristic numailuminii, ci oricrui flux de particule : electroni, protoni, etc.)

O dovad experimental direct n sprijinul teoriei referitoare la naturaelectromagnetic a luminii a fost obinut n anul 1947, cnd s-a constatat c electronii accelerai n betatroane pn la energii de ordinul MeV emit lumin.

Deoarece s-a demonstrat c lumina este un fenomen ondulator de natur electromagnetic , optica (ca domeniu de sine st t tor) a fost subordonat teoriei electromagnetismului.

Studiul fenomenelor optice a cunoscut - pe parcursul timpului - trecerea prin urmtoarele metode :

a) optica geometric, bazat pe noiunea de raz de lumin, pentru carelegile propagrii i formrii imaginilor fac abstracie de natura luminii ;

b) optica ondulatorie, caz n care interferena, polarizarea, difracia luminiisunt explicate cu instrumentele (matematice) ale electromagnetismului (undelor

electromagnetice) ;c) optica fotonic, pentru care aspectul corpuscular al undelor devine predominant (vezi efectul fotoelectric).

ConcluziiLumina (n sens clasic) desemneaz gama frecvenelor / lungimilor de und

din spectrul electromagnetic / care pot fi recepionate i de ctre ochiul uman.Lungimile de und corespunztoare se plaseaz n domeniul nm (vezitabelul II). Cele mai multe surse nu radiaz lumin monocromatic (lumin de o

singur culoare, avnd o frecven / lungime de und unic). Ceea ce se numetelumin alb este un amestec al tuturor culorilor din spectrul vizibil.

780400


8/22


148

Tabelul II(nm) Culoare

violet400 450albastru450 500verde500 550galben550 600 portocaliu600 650rou650 780

Sursele de lumin difer n funcie de maniera n care se realizeaz transferul de energie de la sarcini electrice (electroni) la unda emis. Astfel, dac energia provine de la cldur , atunci sursa se numete incandescent . Dac energiainiial este de alt natur (chimic sau electric) sursa se numete luminescent .Un caz particular de surs monocromatic i directiv este reprezentat de laser .Pentru fiecare mod de a produce lumina exist i un mod particular de a odetecta (aa cum cldura produce lumin incandescent, la rndul ei luminaincandescent - cnd este detectat - produce cldur msurabil).

Proprietile particulare ale luminii, fenomenele care pot avea loc(propagare n diverse medii, reflexie, refracie, dispersie, interferen, difracie,rezonan) precumi o mare parte dintre aplicaii, pot fi /i sunt studiate n cadrulteoriei mai generale a undelor electromagnetice.

2.3. Ecua ia de propagare a undelor electromagnetice.Reamintim cteva dintre concluziile importante ale capitolului anterior (capitolul 1) :

1. Cmpul electromagnetic reprezint o form special de existen obiectiv a materiei. Din punct de vedere macroscopic, acesta are o repartiiecontinu n spaiu i timp.

2. Cmpul electromagnetic este purttorul unei cantiti de energie denatur electromagnetic, energie capabil s se transforme n alte forme de energie,cum ar fi : energie termic, energie mecanic, etc. Energia electromagnetic se propag prin contiguitate (de la punct la punct) cu vitez de propagare finit. Pelng energie, cmpul electromagnetic posed i impuls3.

3. Cmpul electromagnetic este un ansamblu indisolubil format din cmpulelectric i cmpul magnetic, fiind generat de corpurile care se afl n anumite strisau avnd o existen independent. Cei patru vectori caracteristici sunt (n prim faz) :

3

Piotr Nicolaevici Lebedev, fizician rus, este cel care a impus ideea existeneiimpulsului undei electromagnetice, msurnd presiunea luminii asupra corpurilor solide (1899)i gazoase (1907).


9/22


( )( )

( )( )

t,r Ht,r D

lifundamentavectori

t,r Bt,r E material de

relatii

rrrr

rr

rr

Se admite c aceti vectori sunt continui n funcie de coordonate i detimp, n orice punct ordinar al spaiului, i c derivatele lor sunt continue.

Prin urmare cmpul electromagnetic este un cmp vectorial.

Cmpul electromagnetic constituie un sistem fizic, distinct de substan,care reprezint o realitate independent. Acest sistem fizic se mai numete radia ieelectromagnetic .

4. Structura local n fiecare puncti n fiecare moment a cmpuluielectromagnetic este o soluie a ecuaiei de propagare a undelor electromagnetice ;

ea decurge din ecuaiile cmpului electromagnetic, formulate de ctre Maxwell,i /sau din ecuaiile potenialelor (1.91) , respectiv a cuadripotenialului (1.109).

Varianta A. S-a demonstrat c n vid se obine - pentru poteniale (scalar ivector) / respectiv cuadripotenial - ecuaia :

JA 0crr

=

= /Vc { }

)ict(x tc1x= si

ic,J=, Vci ,A=cu

42

24

1=i22

i

2

c

0c

==

=

rrJ AJ A

In medii ideale (riguros liniare, omogene, izotrope, conservative,nedispersive, f r histerezis - ceea ce reprezint un concept idealizat) rezult :

== =

1=v, ivtxunde, 0sau

, 0 4v00cAA

Varianta B. Ecuaii asemntoare se obin i pentru toi vectorii cecaracterizeaz cmpul electromagnetic :

0)=H( 0=B 0)=E( 0=D tB-=E

tD=H

0)=(surselor

afaradindomeniul

in

timpde si pozitie deteindependen

scalare,rimiam=,0=J 0

HBED

rrrr

rr

rr

(

r

rr

rr

=

==

De exemplu :


10/22


150

( ) ( )( ) ( )

=

=

=

=

==

2

2

2

2

tH

tBE

tD

ttD

HHHHrr

rrr

rrrr

de unde se obine ecuaia :

==

0H aadic

1=v:unde 0

tHH

v

2

2

r(

rr

(2.1)

Plecnd de la aceleai ecuaii (difereniale Maxwell) de mai sus, dar izolnd alt mrime, se obin ecuaii asemntoare :

(2.2)

===

0E ; 0D 0B

vv

vrr

r

Forma similar a ecuaiilor vectoriale (2.1) + (2.2) - care se transfer lanivelul fiecarei componente scalare - sugereaz posibilitatea de a adopta oformulare general a problemei :

0x

4

1i2i

2=

=(2.3)

unde = oricare din componentele vectorilor de mai sus.In sistem de coordonate carteziene, ecuaia (2.3) are forma :

0tv

1

zyx 2

2

22

2

2

2

2

2=

+

+

(2.4)

fiind o ecuaie cu derivate par iale, de tip hiperbolic ; v este o constant dematerial, care are dimensiunea unei viteze (vezi : analiz dimensional).

Soluiile acestei ecuaii (formele explicite ale funciei )timp, punct( ) suntdeterminate - ntotdeauna- de geometriai de condiiile de frontier ale problemei.

2.4. Solu ii ale ecua iilor de propagare : tipuri de unde

2.4.1. Unde sferice

In capitolul 4 (volumul I), unde s-a discutat cazul undelor elastice, amar tat c ecuaia caracteristic oricror tipuri de unde are aceeai form : ceadedus anterior. Prin urmare, n privina soluiilor, ne ateptm s avem concluziiasemntoare.

Reamintim c - atunci cnd se aproximeaz sursele reale cu surse punctiforme4 iar mediul n care are loc propagarea este omogeni izotrop, sursaare simetrie sferic, iar soluia ecuaiei undelor are forma :

4

Sursele reale au ntotdeauna ntindere finit dar - la distane suficient de maricomparativ cu dimensiunea lor - ele pot fi considerate cuasipunctiforme (practic localizate ntr-un punct).


11/22


( )

)a(inversaregresivunda

vr t'cg

r 1

)a(directa progresivunda

vr tcf

r 1)t,r (t,,r,

sfericesimetrieidatorita4 4 84 4 76

((

4 4 84 4 76(

(

++

==//

Mrimea : )t,r (vr tconst. =

se numete faza undei ; avem dou

situaii posibile :

a) vr tconst.1

=

Condiia .const)t,r ( = permite identificarea acelor suprafee pe care fazaare o aceeai valoare; acestea se numesc suprafee echifaze sau suprafee de und .

In cazul de fa :

dtdr =v .const

vr t.const)t,r (1 =

=

mrime ce reprezint viteza de faz (viteza de deplasare a suprafeelor echifaz).

La un moment de timp precizat t0 , condiia .const)t,r ( 01 = conduce larelaia r = const.; prin urmare, suprafe ele echifaze sunt sfere concentrice, cucentrul n surs .

Mrimeav

r = reprezint timpul n care unda parcurge distana r de la

surs la punctul de observaie, n timp ce mrimea ( )t are drept semnificaientrzierea pe care o are perturbaia n punctul de observaie n raport cu sursa.

Explica ie :( ) t0,, 0r 01sursa1sursa == valoarea fazei specifice perturbaiei (oscilaiei)

la momentul iniial t0 (la surs) ; La 0r perturbaia ajunge dup scurgerea unui interval de timp += 0t't

(unde v/r = este timpul necesar propagrii). In acel momenti n acel punct fazaundei directe este :

( ) ( ) sursa1010111 t,0vr

vr t.const

vr 't.const't,r ==

+=

=

prin urmare unda direct ajuns n punctul r la momentul t > t0 are aceeai faz can surs undele diverg (pleac) din surs, motiv pentru care se numescundeprogresive sau unde directe .

b) ( )

+=

vr t.'constt,r 1 vdt

dr =

prin urmare undele converg ctre surs, numindu-se unde regresive sau undeinverse .


12/22


152

2.4.2. Unda plan . Unda armonic plan .Reamintim (vezi capitolul 4, volumul I) c unda plan reprezint o

aproximare a undei sferice n situaia n care distana fa de surs este mare.Frontul de und sferic este aproximat cu planul tangent la sfer , perpendicular pe

direcia de propagare. Din acest motiv, n expresia fazei dependena de r estenlocuit cu dependena de (abscisa planului tangent).Expresia undei directe devine :

=

=

vtconstf 1)t,(

vtconst)t,r (1

r (2.5)

Observa ie. Dac se pune condiia const1 = se obine relaia :(care definete un plan perpendicular pe axa Ox, n punctul de abscis .const= .

Unda se nume te plan deoarece suprafe ele echifaze sunt plane. Unda armonic plan reprezint forma concret pentru funcia de und ,

n cazul n care aceasta depinde de o singur coordonat spaial.In aceste condiii :

( )

( ) ( )

=

+

=

aregresivunda"+"a progresivunda ""

eAt,v

tt,

t, j

0

(

(

m

( )

+

=0v

t jeAt,

m

(folosim notaia n complex, care uureaz calculele ; altfel ar trebui s scriem :

( ) ( )t,cosAt, = )

Observa ii. Reamintim c : Unda armonic plan este un concept idealizat, n natur neexistnd

asemenea unde . Utilitatea folosirii ei este dat de faptul c orice perturbaie, orict de

complicat, poate fi reprezentat prin intermediul integralei Fourier, ca o sum de perturbaii elementare de forma :

+

-

t jt j de)(a N=(t) de)(a

propagarea fiecrei perturbaii elementare este descris de o und armonic. Forma exponenial a funciilor de und armonice uureaz calculele, iar

reconstituirea undei originale se face (n cazul liniaritii mediului) prin simplasuperpoziie a undelor elementare.

O serie de procese ondulatorii (elementare) ntlnite n practica pot fidescrise - ntr-o prim aproximaie - prin unde de forma :


13/22


+

= 0v

-tcosA=t),(Re)t,(Udirecia de propagare

z

Reamintim c n definirea i discutarea

proprietilor undei armonice plane intervinurmtoarele mrimi :

( )

)(frecventa fazei a variatiede viteza= t

=

ainitialfaza=0,0undeieaamplitudin=A

0

= (

+=

regresiveundeicorespunde"" progresiveundeicorespunde"-"

semnul unde fazei gradientul=r

=k mrmr

k r

se numete vector de und (tridimensional).Versorul 1

rdefinete direcia de propagare a undei iar M este punctul n

care se dorete a se stabili expresia undei plane.Reamintim c :

= r 1rr (proiecia lui r r pe direcia de propagare , efectuat

pentru a determina abscisa planului echifaz care trece prin punctul M)

zyxk 1cos1cos1cos11 rrrrr ++== deci :

( )

=++

=

=

=

1v

1cos1cos1cosv

=k 1

r

r r k

zyxrrrrr

rr

rmrmr

(2.6)unde :

( ) k k k v

k 2z2y

2x ++=

=r

cosv

k ; cosv

k ; cosv

k zyx

===

Utilizarea vectorului de und k r

permite obinerea unei formeechivalente de exprimare pentru unda armonic plan :

( ) ( )[ 00

k 0 r k t jv

r 1t jv

t jeAeAeAt, +

+

+

===rr ]

rr

mm

(2.7)

respectiv (prin separarea variabilelor) :

( ) ( ) ( ) t j jr k jt j er eeeAt,r t, 0 === rrrr

(2.8)

r1 rr M

yx

Figura 2.2


14/22


154

In ecuaia general de propagare a undelor, separarea variabilelor are dreptconsecin obinerea unei ecuaii de forma :

( ) ( ) 0t

er v1r e 2

t j2

2t j =

r

r

( ) ( ) ( ) ( )0r k r sau0r v

r 222 =+=+ rrrr (2.9)

numit ecua ie atemporal a undelor (ecuaie de tip Helmholtz).

Acceptm pentruintensitatea undei definiia :

(2.10)2A*I ==

deoarece = *A (amplitudinea undei) este o mrime accesibil msur rii,

propor ional cu energia undeii invariant n raport cu orice transformare a fazeiundei (invarian de etalon de spea a II-a, dup nomenclatura lui Pauli).Caz particular : Dac funcia de und este un vector n spaiul cartezian,

atunci : z*zy

*yx

*xI ++=

Dat fiind faptul c funcia de und (exprimat prin intermediul uneiexponeniale, respectiv al unei funcii trigonometrice) este periodic , putemdiscuta n amnunt despre periodicitaten contextul n care discuia implic celedou variabile (coordonatai timpul) :

Perioada T, care indic periodicitatea undei n raport cu variabila t (timp)se obine punnd condiia :

=

+= 2=T, n2nT

acelasi)nTt()t(

unde mrimea :

==2T

1 se numete frecven (= numrul de perioade din

unitatea de timp). Lungimea de und este distana parcurs de suprafaa de und n

intervalul de timp de o perioad. Aceast mrime reflect periodicitatea funciei deund n raport cu variabila :

Tvv2=, n2v

nt acelasi

)n()( ==+=

( = lungimea de unda = drumul parcurs de planul de faz constant n timp de o perioad)

Observa ie final . Deoarece perturbaia iniial este de natur electromagnetic, funcia (,t) poate fi oricare dintre mrimile locale alecmpului electromagnetic : intensitatea cmpului electric E

r, intensitatea cmpuluir

, inducia magneticarB,magnetic inducia electric H , D

rpotenialul magnetic

vector Ar

, etc.


15/22


Deoarece undele electromagnetice acoper o gam arte larg de frecveneunghiul re, car tabelul

foa e se mparte n mai multe subdomenii, se recomand a se consulta

care se propag ntr-undielectr

I , prezentat n introducerea acestui capitol.

2.4.3. Problem rezolvat (justificare a solu iei propuse de dAlembert)e consider o und electromagnetic planSic de-a lungul axei Ox. Ecuaia de propagare a cmpului electric este :

2

2

22

2

tE

c1

xE

=

rr

S se arate c ecuaia de mai sus admite soluii de tipul :( )( ))t,x(E),t,x(E,txEE zyx

r, , unde componentele )cxt(f )t,x(Ei = .

Rezolvare

zyyt,x(E1)t,x(E

zxx1)1)t,x(EErrr

++r

= Ecuaia :

tE

c1

x2E

2

2

2

2

=

r

este echivalent cu trei ecuaii scalare de forma :

r

zy,x,=i,tcx 2

i22

i

=

E1E

22

entru a gsi soluii ale acestei ecuaii, se observ c - dac se faceschimbarea de variabil (valabil pentru orice ecuaie de acelai tip cu cea de sus) :

P

),(E)t,x(E c/xtc/xt

ii =

+==

se obine :

+

=

=

=

+

=

=

+

=

+

=

=

xx

2i

E2EE

c1 =

EEEEc1FF

c1

xF

xF

c1 =

Fcunotam

EExc

1c1E

c1E

xxE

xE

xxEE

i2

2i

2

2i

2

2

iiii22

iiiiiii2

4 434 421

=

= +

= +

= +

=

= + +

2

Et t

Et t

Et

Et t

E E

G

Gt

Gt

E E E

i i i i i i

i i i

2

2

2

2

2

2

2

1 244 344


16/22


156

Ecuaia de propagare devine :

+

+

=

+

E

c12E

c1E

c1

E

c12E

c1E

c1 i

2

22i

2

22i

2

2i

2

22i

2

22i

2

2

ceea ce implic :

Ei

==

==

=

detindependen)(g' 0)('gE

dedepindenu)(f' 0)('f

0 E

i

i2

In consecin integrala general trebuie s fie de forma :

soluie propus de ctre dAlembert, sau :)(f )(g),(Ei +=

4342143421cci

(inversa) regresivaunda

xtcf

progresivaunda

xtcg),(E ++ =

m am mai precizat - funcii arbitrare,determinate de condiii particulare (la limit) impuse undei, iar mrimea c este -obligatoriu - o constant.

O expresie particular este, n acest caz, unda armonic plan :

Mrimile f (...) i g(...) sunt - cu

( )r k t jvv eAeAeA)t,(r 1

t jt j k rrrr

===

e genereaz

cmpuri electricei magnetice (cmpuri electromagnetice - undei fotoni- ) sunt :) Sarcini electrice punctiforme care se deplaseaz accelerat n vid ;generarea cmpului electromagnetic n tot spaiul este exprimat / confirmat deexisten soluii ale ecuaiei cuadripotenialului :

2.5. Generarea undelor electromagnetice (tratare clasic )In literatura de specialitate se arat c sistemele simple, car

a

a celor dou

( )

retardate) potentialesuntVsiA(erelativistcalcule

unde vector l potentialu, dv

r v

4=A 0 r

in vid electrice

sarciniiadeplasaredeviteza=vscalar l potentialu, dvr 4

10

r

=Vr r

Concluzie : Sarcina electric care se deplaseaz accelerat genereaz, ladistane suficient de mari, o und electromagnetic sferic, n care vibraiile


17/22


vectorilor sunt perpendiculare pe direcia de propagare a undei (aceast ultim afirmaie urmeaz a fi demonstrat ntr-un paragraf dedicat proprietilor undei electromagnetice). Domeniul din spaiu n care se propag undaelectromagnetic sferic se numeste zon de und

H,Err

.

t p) a

ectromagnetice emise nu suntriguros

rezult

ete spectrul de frecveneemise, se constat c unda electromagnetic

suprapunere de unde armonice de pulsatie ,unde :

oscila poate fi con pe frecven

fiecare din aceste oscila ar Mrimea lu are implicai Retinem ideea oscila iei de durat finit

b) Dipolul electric oscilant (echivalent unui oscilator liniar) genereaz und electromagnetic.

Exis en a dipolilor i proprietile acestora (n special proprietatea de agenera cm fost discutat la capitolul de electromagnetism (paragraful 1.1.3).

Datorit undei electromagnetice generate (radiaiei), oscilatorul pierdeenergie. Aceast pierdere de energie se reflect n amortizarea oscilaiilor, implicitn schimbarea frecvenei. Prin urmare, undele el

monocromatice.Tot din cauza faptului c energia electromagnetic scade exponenial,c fiecare oscilator n parte emite energie sub form de unde

electromagnetice ntr-un interval de timp foarte scurt :2/t j

0 eeE)t(E 0

= (2.11)

IMax Figura 2.2

Dac se folosete transformareaFourier invers, analizndu-se consecinelen ceea ce priv

generat de un oscilator const dintr-o0

0 +/ 20 - / 2

siderat ca o suprapunere de oscilaii, fiecare

e o durat finit n timp.i asupra valorii lui.

ar ia prima ei ;

iii

, pe care o vom folosi n cele ceurmeaz .

Observa ii :4101. In practica, deoarece pentru = 5000 rezult , se observ

c lrg n urmare undaelectro cromatic.

imea natural a liniei spectrale este foarte mic ; primagnetic (la surs) poate fi considerat practic mono

2. Tot n urma unor calculei a unor experimente, rezult c pentru unelectron n atom, la rad/s 104 15= (valoare medie n domeniul vizibil),0


18/22


158

interva tre momentul emisieii cel pentru care energia oscilatoruluiscade d

lul de timp ne e ori este s10 8 (timpul de via al un on ntr-o stare

excitat) .Reinem i utilizm n continuare ideea oscilaiei de durat finit.

ui electr

a iilor

punctul preciza

2.5.1. Propagar de durat finit a) Deoarece toate perturbaiile reale (oscilaiile) au o durat finit, trebuie

vzut cum influeneaz fenomenele tranzitorii forma funciei de und.Avem o perturba aie) de durat finit, care are loc ntr-un punct

din spa

ea perturb

ie (osciliu (surs). Expresia oscilaiei (dependente doar de timp) din

t este (vezi figura 2.3) :, Re

( ) ,t e j t=

00

, t t / 2A t


19/22


Funcia c :( )=2a ( )2a este reprezentat n figura 2.4 Se observ pentru :

2t (relaie de imprecizie) ; eaexprim incertitudineadeterminrii frecvenei n raport

, 0 ;o und monocromatic

atunci cndt 0 , ; frecvenla 0 la .

b) Studiem maniera n care se propag omrime (amplitudine) are valori semnificative e :

-3 -2 - 0 2 3

Figura 2.4( ) ( )= 22 aa

cu durata perturbaiei ; cnd t

riguros(armonic) trebuie emis uninterval de timp infinit, fiindntins n tot spaiul ;

ele tind s ocupe toat banda, de

perturbaie de durat finit, a crein domeniul de frecven

0 0 + / /2 2 Recurgem la o simplificare a problemei, impunnd urmtoarea condiie :

pentru foarte mic n raport cu pulsaia central 0 se consider :a( ) const. = A

Cu aceasta aproximaie putem scrie :

( )

+

+ 2/, 0 0=

2/, 02/


20/22

PROPAGAREA PERTURBAIILOR DE DURAT FINIT 160

( )

( ) ( )

( ) ( ) == +

+

+

2/

2/

x)(t jxk t j

2/ xddk xk t j

0 00000

0

0

00

deeA

1

==

=

2/

kxt j 0 deAdea2

)t,x(

d

dk

0

( ) ( ) ( )[ ] +

==

2/

2/

xd/dk t j

0

xk t j0

0

0000 de)t,x(

eA 4 434 421

0 (x, t) are expresia unei unde armonice plane.Facem schimbarea de variabil :

Notm expresia :

i calcu

+==

===

/2=q 2//2-=q 2/

dqdq

0

0e particular orile pentru val0

( ) bxd/dk t = 0lm integrala :

2 b= unde sin

22sin

b2

b jeedqe

2 b j

2 b j2/

2/

bq j

===

Deci :sin)t,x()t,x( 0

= (2.15)

Raportul sin

este un

factor de modulare.

O astf l de tenearmonic i

cuasimonocromatic , fiind de faptun pachet de unde

sin

- + x

Figura 2.5

e und es

(cu alun grup de unde care se propag).

te cuvinte

principalmaxim 1sin0

lim 0Pentru =

=

minime 20

0=sin :ndaC =

Notaia x desemneaz lrgimea pachminimele de ordinul nti, corespunztoare valorilor : = - i = +.

n2

etului de unde = distana dintre


21/22


Pachetul de unde se prezint sub forma unei perturbaii localizate ntr-oregiune relativ puin ntins.

litudinea undei :Amp

A x t A( , ) sin= depinde de ti prin intermediul variabilei.

Expresia funciei de und arat propag cu viteza , se poate definii o

suprafa de egal amplitudine (echiamp itudine), ca loc geometric al punctelor care au eeai amplitudine.

Suprafaa de egal amplitudine se deplaseaz cu viteza vg , numit vitez de grup rei legtur cu alte caracteristici ale undei se stabilete din condiia de.

In particular se poate discuta despre viteza de deplasare a amplitudiniimaxime

mp

c, pe lng suprafaa de undk x t const0 0 = ., care se de faz v

l- la un moment dat - ac

, a cconstan a amplitudinii : A(x, t) = const

a grupului de unde.Aceasta corespunde condiiei :

lim sin lim cos

0 0 11= =

00dk td22

i este viteza de grup a pachetului de unde, respectivviteza de transport aenergiei

dxxdk t b 0 == =v 0 g ==

.Consecin e : In medii nedispersive :

fazadeviteza=v, v

k =

x

2(la momentul t1) (la momentul t )

(propagarea pachetului de unde)

Figura 2.6

Re

xx

pachetul

de unde

Figura 2.7


22/22

PROPAGAREA PERTURBAIILOR DE DURAT FINIT 162

( ) vkvdk d

dk dvg ===

Se constat c n medii nedispersive viteza de faz coincide cu viteza degrup.

In medii dispersive :( )v ddk

ddk v k

dvk vdk + (2.16.a)

formul numele de relaia lui Rayleigh

g = = =

care poart . Totodat :

k dk dk ddk ddk 2 2dv2ddvddvdv

= ==

=

= ddv

vddv

k 2

vvg (2.16.b) pe e pronunate - n timpul propagrii - are loc

destr m rea pachetului de unde.i unde se bazeaz

e depropagare furnizeaz numai valori ale vitezei de grup.

Important. Viteza de faz poate depi viteza luminii, f r a contrazice primul postulat al teoriei relativitii restrnse. In schimb viteza de grup

Pentru dis rsii foartaDeoarece detec ia i m surarea caracteristicilor une

pe nregistrarea efectelor energetice ale acesteia , m suratorile de vitez

(viteza detransfer a energiei) nu depete niciodat viteza luminii n vid !

Observa ie asupra simplific rilor introduse i a rezultatelor ob inute :

dar 2t

=

2xk v/xt g

(2.17)

Se observ c :- atunci cndx 0 (pachet localizat) k nedeterm

= k vg

inat ;

certitudine / deimpreci tic reprezint un concept ideal (ceea ce am mai ar tat puin mai nainte).

Pe de alt parte, n cazul unui pachet de unde nu se poate stabili cu aceeai precizie vectorul de und i vectorul de poziie care localizeaz pachetul de unde nspaiu.

t valabile i pentru u

- atunci cndk 0 (und armonic) x , unda se ntinde n totspaiul.

Relaiile (2.17) sunt relaii de nedeterminare (de inzie). Ele spun, pe de o parte, c unda armonic strict monocroma

Relaiile de incertitudine stabilite pentru undele clasice sunndele de Broglie asociate microparticulelor.

unde_electromagnetice1

Documents