tsra_cap5

8/13/2019 TSRA_cap5

1/11

68

Capitolul 5

Stabilitatea sistemelor liniare

Coninut

Scopul capitolului ............................................................................................. .................. 681. Stabilitatea sistemelor liniare ................................... ................................................ 68

1.1. Stabilitatea intern............................................................................................. 681.2. Stabilitatea extern................................................................ ............................ 70Algoritm de verificare a stabilitii ............................................ ...................................... 711.3. Criteriul Routh-Hurwitz .................................................................................... 72

Aplicaii rezolvate ..................................................... .......................................................... 72Aplicaii cerute ....................................................... .......................................................... 77Funcii Matlab utile .......................................................... ................................................ 78

Scopul capitolului

Noiunea de stabilitate este esenial n proiectarea unui SRA, aceasta fiind cel maiimportant criteriu de performanal sistemului.Dacsistemul ar fi instabil, evident cel nuar putea asigura reglarea conform referinei impuse. Trebuie spus c, spre deosebire desistemele din natur, care sunt n general stabile (datoritrespectrii principiului al doilea altermodinamicii), SRA pot fi instabile (ele absorbind energia necesar de la sursa carealimenteaz procesul ce trebuie reglat) dac sunt greit proiectate. Acesta este motivulpentru care trebuie acordat o importan deosebit n elaborarea unor metode adecvate

evalurii stabilitii sistemelor funcionnd n circuit nchis. Pentru cazul sistemelor cueantionare evaluarea stabilitii este cu att mai important, tiut fiind c introducereaeantionatoarelor nrutesc condiiile de stabilitate. De aceea este important s secunoascproprietile eseniale ale stabilitii i metodele de testare a acesteia.

n acest scop lucrare propune evaluarea condiiilor de stabilitate pentru sistemele dinamiceliniare pe baza unor criterii algebrice i unor metodele practice de testare a acestora.Lucrarea prezint noiunile de stabilitate intern i extern a sistemelor liniare, pentrusisteme in timp continuu si discret.

1. Stabilitatea sistemelor liniare

Stabilitatea sistemului este proprietatea acestuia de a restabili prin aciunea sa un nou

regim staionar, n condiiile n care sistemul a fost scos din regimul staionar anterior subaciunea variaiei mrimii de intrare sau a perturbaiilor.

Exista diferite definiii i concepte de stabilitate, dintre care se studiaz n continuaredou tipuri de stabilitate: intern (sau n sens Liapunov), extern, sau de tip intraremrginit- ieire mrginit, numituneori BIBO (Bounded Input, Bounded Output).

1.1. Stabilitatea intern

Def.: Un sistem linear este intern asimptotic stabil dac:

8/13/2019 TSRA_cap5

2/11

Stabilitatea sistemelor

69

( ) 0=

tlimt

, unde: ( )

=

)(,

)(,

SLDpentruZtA

SLNpentruRtet

t

At

Considernd componenta de regim liber din evoluia strilor unui sistem 0)( xt , relaiade definiie spune cun sistem liniar este intern asimptotic stabil dacevoluia strilor saletinde ctre zero cnd t , n absena intrrilor (comenzi i perturbaii):

( ) ( ) 00 ==

xtlimtxlimt

lt

Observaii: Stabilitatea interneste o proprietate caracteristicmatricei A. Matricele legatedirect de intrare/ieire B, C, D, nu intervin, fapt pentru care se spune ceste o stabilitateinternsistemului.

Interpretarea stabilitii: Dacun sistem este ntr-o stare de echilibru oarecare, dat, i estescos din aceasta datoritunei aciuni exterioare, el va reveni n starea iniialde echilibru la

ncetarea aciunii perturbatoare.

Verificarea stabilitii interne asimptotice se face utiliznd urmtoarea teorem:

Un sistem este intern asimptotic stabil daci numai dac:

a) n cazul sistemelor cu timp continuu Rt , valorile proprii ale matricei A aupartea realstrict negativ:

0

8/13/2019 TSRA_cap5

3/11

Capitolul 5

70

unde:

C Semiplanul stng din planul C al numerelor complexe, exclusiv axa imaginar

( )01U Aria din interiorul unui cerc de raz1, centrat n origine, exclusiv frontiera

Condiia de stabilitate pentru sistemul considerat este ca polii sistemului n circuit nchis

sfie situai n interiorul cercului de razunitate.

Criteriul de verificare a stabilitii interne: Un sistem este intern asimptotic stabil dactoate valorile proprii ale matricei A din cadrul reprezentrii n spaiul strilor a sistemuluisunt n domeniul de stabilitate. Astfel:

1. se calculeaz valorile proprii ale matricei A (mulime numit spectrul

matricei, ( )A ),din reprezentarea n spaiul strilor, adicsoluiile ecuaiei:

0= )AIdet( => ( )A

2. se testeaz dac aceast mulime este inclus n domeniul de stabilitatespecific sistemului considerat:

( ) CA pentru sisteme cu timp continuu

( ) ( )01UA pentru sisteme cu timp discret

Relaia de incluziune este strict, adicpentru stabilitatea asimptotic nu se admit valoriproprii pe frontiera domeniului de stabilitate.Observaie: Stabilitate simpldin mecanic, n care se admit i valori proprii pe frontierdar doar de ordinul unu de multiplicitate, din punctul de vedere al teoriei sistemelor nuprezintinteres practic.

Not: Dac un sistem continuu este intern asimptotic stabil, adic 0)Re(

8/13/2019 TSRA_cap5

4/11


71

1

8/13/2019 TSRA_cap5

5/11

Capitolul 5

72

pentru SLD: ( )[ ] ( )01UzH i P

],...,1[ ni , unde neste dimensiunea sistemuluiSistemul este stabil (extern sau intern) dacsunt verificate condiiile de la ultimele puncte.

1.3. Criteriul Routh-HurwitzCriteriul Routh-Hurwitzpermite aprecierea stabilitii direct calitativ, astfel:

Se considera polinomul caracteristic: ( ) 10 1 .....n n

A ns c s c s c = + + + , complet i cu

toi coeficienii pozitivi.

Condiia necesar i suficient ca rdcinile lui ( )A s s aib partea real strictnegativeste ca toi determinanii principali ai matricei Hurwitz sfie strict pozitivi:

1 3 5

0 2 41 1

1 3

1 30 2 2

0 2

1

0

00

0 00

0 0 0

0

n

n

c c c

c c cD c

c cD c c

c c Dc c

c

= >

= > = >

L

L

L

L

M

LLLLLL

Dac un minor pe diagonal 0iD < atunci rezult c sistemul este instabil, nemaifiind

necesarcalcularea tuturor determinanilor matricei Hurwitz.

Aplicaii rezolvate

A.5.1Se considerun sistem definit printr-o funcie de transfer de tipul23

1)(

ss

ssH

+

+= .

Se dorete studierea stabilitii acestui sistem cu ajutorul criteriului de stabilitate Routh-

Hurwitz. Astfel, se determin polinomul caracteristic ( ) 3 2 1A s s s s = + + + i severificdactoi coeficienii polinomului caracteristic sunt >0.Dac aceste condiii sunt ndeplinite, se alctuiete matricea Hurwitz, dup care se

calculeazminorii pe diagonal.

3

1 1 0

1 1 0 0

0 1 1

D =

Rezolvarea acestei aplicaii utiliznd comenzile MATLAB se realizeazn modul urmtor:>> num = [1 1];

>> den = [1 1 0 0];

>> H = tf(num,den);

8/13/2019 TSRA_cap5

6/11


73

Transfer function:

s + 1

---------

s^3 + s^2

% determinare polinom caracteristic>> X = 1+H

Transfer function:

s^3 + s^2 + s + 1

-----------------

s^3 + s^2

% calcul matrice Hurwitz>> D1 = [1 1 0;1 1 0;0 1 1]

D1 = 1 1 0

1 1 0

0 1 1

% calcul determinant>> det(D1)

ans =

0

Pentru acest exemplu determinantul matricei Hurwitz 3 0D = indicun sistem la limita destabilitate.

A.5.2 S se testeze stabilitatea intern i extern pentru urmtoarele sisteme cu timpcontinuu:

a)

=

10101A ,

=

11b , ( )20=Tc

b)

=

32

10A ,

=

1

0b , ( )01=Tc

Sistemul a) soluie:

1) Testarea stabilitii interne. ( ) ( ) 0det == AsICsA

Calcul analitic: Se calculeaz valorile proprii ale matricei A, prin rezolvarea ecuaiei

( ) 0=AsIdet :

( ) 110

101det 2 =

+

= s

s

sAsI => 1,1 21 == ss => ( ) { }

11,1 = CA

Calcul alternativ n Matlab: Valorile proprii ale unei matrice se obine cu funcia eig:

>> A=[1 10;0 -1];

>> eig(A)

ans =

1

8/13/2019 TSRA_cap5

7/11

8/13/2019 TSRA_cap5

8/11


75

Se calculeazvalorile proprii ale matricei A, prin rezolvarea ecuaiei ( ) 0=AzIdet :

( )700

070

.z

.zAzIdet d

+

+= => 7.0,7.0 21 == zz

sau alternativ numeric:

>> Ad=[-0.7 0;0 -0.7];

>> valori_proprii = eig(Ad)

valori_proprii=

-0.7000

-0.7000

ntruct ( )0, 121 Uzz sistemul este intern asimptotic stabil.

b)Testarea stabilitii externe. Deoarece sistemul este intern asimptotic stabil el este iextern strict stabil.

A.5.4Un sistem cu timp continuu este descris de urmtoarele matrice:

[ ]001,

0

1

1

,

700

020

001

=

=

= TcbA

Se cere: a) Sse verifice daceste intern asimptotic stabil;

b) Sse determine funcia de transfer a sistemului i sse aducaceastfuncie la o formireductibil;

c) Sse vizualizeze simultan evoluia n timp a mrimilor de stare x i amrimilor de ieire y, considernd la intrare un semnal treapt-unitari

condiii iniiale nule:0

0

0

0

x

=

a) Sse testeze stabilitatea externa sistemului i sse compare curezultatul obinut la punctul a).

Soluie:Calcul analitic

Testarea stabilitii interne: ( ) ( ) 0det 3 == AsICsA

0

700

020

001

100

010

001

det =

s => 7,2,1 321 === sss

8/13/2019 TSRA_cap5

9/11

Capitolul 5

76

( ) { } 17,2,1 = CA se observcsistemul este instabil intern .

Testarea stabilitii externe:

Funcia de transfer a sistemului:

( ) [ ] ,0

0

1

1

700

020

001

001

1

+

+

+

=

s

s

s

sH

Se observcmatricea (sI-A) este sub formJordan, atunci inversa ei acesteia este:

1

10 0

11 0 01

0 2 0 0 02

0 0 71

0 07

ss

ss

s

s

++

+ = +

=> ( )23

32

0

1

1

7

1

2

1

1

12 ++

+=

++=

ss

s

ssssH

=> { }2 3 2 0 2, 1s s s+ + = 1 C polii fac parte din domeniul de stabilitate

( )Re 0< , rezultnd de aici csistemul este stabil extern.

Calcul n Matlab:

% Calculul valorilor proprii ale matricei A, pentru testarea stabilitatii interne

A = [-1 0 0;0 -2 0;0 0 7];

b = [1;1;0];

ct= [1 0 0];

d = 0;

valori_proprii = eig(A)

valori_proprii =

-1

-2

7

% Calculul functiei de transfer a sistemului

[num,den] = ss2tf(A,b,ct,d)

num =

0 1 -5 -14

den =

1 -4 -19 -14

8/13/2019 TSRA_cap5

10/11


77

% Determinarea radacinilor numitorului functiei de transfer radacinile_numitor = roots(den)

radacinile_numitor =

7.0000

-2.0000

-1.0000

Funcia de transfer a sistemului are forma: ( )14194

14523

2

=

sss

sssH

Daca aceasta este adus la forma ireductibil: ( )

1

1

+

=

s

sH ,se observ cpolul acesteia

face parte din domeniul de stabilitate, rezultnd din calculul analitic c am putea spunedespre sistem ca ar fi stabil extern [2]. n lucrarea 8, intitulatconexiunea sistemelor va fianalizat mai n detaliu acest caz.

Simulare:

x' = Ax+Bu

y = Cx+Du

unde:C=[1 0 0]

D=0

x' = Ax+Bu

y = Cx+Du

unde:C=[1 0 0;0 1 0;0 0 1]

D=[0; 0; 0]

marimil e de stare x1, x2, x3

marimea de iesire yStep

0 1 2 3 4 5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

timp [s]

marimi de stare x1, x2, x3

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

timp [s]

marime de iesire y

Aplicaii cerute

1. Fie funcia de transfer a unui sistem discret ( )2.02.02 +

=zz

zzH , s se determine

polii sistemului folosind conversia ntre modelul 'tf' i cel 'zpk'. Sse reprezinte grafic(n planul complex), aceti poli i sse analizeze stabilitatea sistemului discret H(z).

2. Un sistem este dat de funcia de transfer ( )1

12 +

=s

zH . Se cere:

a) sse studieze stabilitatea sistemului cu timp continuu.

8/13/2019 TSRA_cap5

11/11

Capitolul 5

78

b) sse studieze stabilitatea sistemului discret obinut, pentru 1=h i3

=h .

3. Se consider circuitul RL serie. Se cere:

a) sse studieze stabilitatea circuitului.

b) sse vizualizeze simultan evoluia n timp a mrimilor de stare x i a mrimilor deieire y, considernd la intrare un semnal treapt-unitari condiii iniiale nule.

c) sse analizeze ce se ntmplcnd R=0?

4. Sse studieze stabilitatea circuitului RLC serie. Explicai comportarea acestuia atuncicnd R=0?

5. S se analizeze stabilitatea sistemului ce descrie motorul de curent continuu cuexcitaie independent. Se va considera, de asemenea i cazul cnd RA=0. Se vaobserva cdin punct de vedere al teoriei sistemelor comportarea sa este analoagcu acircuitului RLC, sistemele care le descriu fiind similare.

Funcii Matlab utile

n testarea stabilitii se vor utiliza urmtoarele funcii Matlab:eig()pentru calculul valorilor proprii ale unei matrice;roots()pentru calculul rdcinilor unui polinom;det() n calculul determinantului unei matrice.

tsra_cap5

Documents