tsra cap1 prez matlab-simulink sra tr laplace-tr z

1

Capitolul 1

Secţiune I - Noţiuni introductive despre Matlab-Simulink Secţiune II - Sisteme de reglare automată.

Transformata Laplace. Transformata Z

Conţinut 1. Scopul lucrării .............................................................................................................. 2 Secţiunea I ............................................................................................................................. 2 2. Aspecte teoretice .......................................................................................................... 2

2.1. Noţiuni introductive despre Matlab ..................................................................... 2 2.1.1. Caracteristici specifice limbajului Matlab ...................................................... 2

Tabela 1. 1 Operatori, comenzi şi funcţii Matlab utile ...................................................... 4 3. Aplicaţii cu rezolvare analitică şi numerică .............................................................. 6

A.1. Execiţii rezolvate - Manipularea vectorilor şi matricelor .................................... 6 A.2. Aplicaţie demonstrativă - Trasarea graficului unei funcţii .................................. 7 A.3. Aplicaţii cerute .................................................................................................... 7

4. Aspecte teoretice .......................................................................................................... 8 4.1. Noţiuni introductive despre Simulink ................................................................. 8

4.1.1. Algoritmul pentru simulare ............................................................................ 9 5. Aplicaţii de laborator ................................................................................................ 10

A.4. Aplicaţie demonstrativă – Simularea unui circuit RC serie .............................. 10 A.5. Aplicaţie cerută – Simularea unui circuit RL serie ........................................... 13

Secţiunea II ......................................................................................................................... 14 6. Aspecte teoretice ........................................................................................................ 14

6.1. Sistem de reglare automată. Noţiuni introductive ............................................. 14 6.1.1. Tipuri uzuale de semnale .............................................................................. 15

6.2. Transformata Laplace (pentru semnale analogice) ............................................ 16 6.3. Transformata Laplace inversă ........................................................................... 18 Funcţii Matlab utile .......................................................................................................... 19

7. Aplicaţii cu rezolvare analitică şi numerică ............................................................ 19 A.6. Aplicaţii rezolvate - Calculul transformatei Laplace şi Laplace inversă ........... 19

8. Aspecte teoretice ........................................................................................................ 23 8.1. Transformata Z (pentru semnale discrete) ......................................................... 23 8.2. Obţinerea transformatei Z direct din transformata Laplace ............................... 25

9. Aplicaţii cu rezolvare analitică şi numerică ............................................................ 26 A.7. Aplicaţii rezolvate - Obţinerea transformatei Z pentru o funcţie imagine Laplace 26 9.1. Transformata Z inversă ..................................................................................... 27 Funcţii Matlab utile .......................................................................................................... 27

10. Aplicaţii cu rezolvare analitică şi numerică ....................................................... 27 A.8. Aplicaţii rezolvate – Calculul transformatei Z inversă ...................................... 27

Capitolul 1

2

1. Scopul lucrării

Lucrarea este structurată pe două secţiuni:

• secţiunea I prezintă principalele caracteristici ale mediului de programare şi dezvoltare Matlab:

o sunt trecute în revistă, pe scurt, cele mai folosite comenzi, modalitatea de utilizare, precum şi un instrument foarte puternic al acestuia - Simulink-ul, util în modelarea, simularea şi analiza sistemelor dinamice;

este construit pas cu pas un exemplu de schemă bloc simplă pentru exemplificarea funcţionalităţii acestuia.

• secţiunea II introduce noţiune de sistem de reglare automată şi permite recapitularea unor noţiuni fundamentale despre transformata Laplace şi Z, ce sunt necesare în lucrările viitoare. Sunt prezentate exemple demonstrative rezolvate atât prin metode analitice cât şi în Matlab.

Secţiunea I

2. Aspecte teoretice

2.1. Noţiuni introductive despre Matlab

Matlab-ul este un limbaj de nivel înalt care integrează calculul, programarea şi vizualizarea într-un mediu uşor de utilizat. Versiunea completă a pachetului de programe MATLAB conţine alături de interpretorul de comenzi specific o întreagă colecţie de module specifice: Simulink, DSP, Control System, SimPowerSystems, System Identification, SimMechanics, Data Acquisition, Image Processing, Fuzzy Logic, Partial Differential Equations, Neural Network, Optimization, Financial, Statistics, Communications, Database, Virtual Reality etc. [ ].

2.1.1. Caracteristici specifice limbajului Matlab

Spre deosebire de alte limbaje de nivel înalt, elementele de bază pentru lucru sunt vectorii şi matricele, pe care utilizatorul le poate defini şi folosi fără a le specifica dimensiunile iniţiale. Problemele legate de gestionarea memoriei pentru operaţiile care presupun, spre exemplu, creşterea dimensiunii unui vector se fac automat, transparent pentru utilizator, ceea ce reprezintă un avantaj important pentru calculul ingineresc.

Fereastra principală de lucru a programului, Command Window, permite accesul direct la interpretorul de comenzi, care execută o secvenţă de cod linie cu line. Secvenţa de cod poate fi introdusă:

Noţiuni introductive

3

explicit, direct de la tastatură, în fereastra de lucru, după afişarea prompter-ului, constând în simbolul “>>”, iar după fiecare linie se apasă Enter

într-un fişier de tip text de date, care se salvează prin atribuirea unui nume şi a extensiei “nume_fisier.m” şi se lansează în lucru simplu prin: nume_fisier şi Enter. Observaţie: Execuţia acestuia poate fi realizată dacă fişierul sursă este localizat în directorul curent sau în unul din directoarele specificate în căile de căutare a Matlab-ului.

Variabilele definite în timpul unei sesiuni Matlab, sunt menţinute în memoria internă până la modificarea/ştergerea lor explicită sau închiderea programului. Este necesară salvarea explicită a spaţiul de lucru ce conţine variabilele de lucru dintr-o sesiune MATLAB, pentru a nu le pierde la părăsirea voită sau accidentală a mediului.

o Utilizatorul poate crea şi atribui valori unui număr de variabile aflate în memoria internă. Pentru a salva aceste valori şi a relua ulterior execuţia în acelaşi context de lucru se pot utiliza comenzi de salvare/restaurare de forma:

>> save „nume_fişier” - salvează variabilele în fişierul cu numele precizat

>> load „nume_fişier” - restaurează contextul de lucru folosind fişierul precizat

o Se pot defini variabile de tip constantă numerică, vector sau matrice, dându-le nume diferite, desemnate atât cu majuscule cât şi cu minuscule ( Matlab-ul este "case-sensitive").

o În spaţiul de lucru sunt create implicit o serie de variabile şi constante cu caracter special:

ans - desemnează cel mai recent răspuns nenominalizat; eps - precizia relativă în virgulă flotantă; pi = 3.1415926; inf – infinit; NAN - simbol folosit pentru un număr ce nu poate fi

reprezentat; flops - numărul de operaţii în virgulă mobilă efectuate; nargin - numărul de argumente de intrare ale funcţiei; nargout - număr de argumente de ieşire ale funcţiei.

o Variabilele definite pot fi afişate şi în mod grafic prin apelarea funcţiei “Show Workspace”, din meniul File. Astfel, se deschide o fereastră în care sunt prezentate variabilele conţinute la momentul curent în memorie, dimensiunea şi tipul acestora şi spaţiul de memorie ocupat de fiecare.

Documentaţia permite obţinerea unor informaţii cu caracter general despre comenzile interne şi externe Matlab. Pentru a afla mai multe informaţii despre orice funcţie sau operator se tastează în fereastra de lucru comanda help urmată de numele funcţiei dorite. De exemplu, pentru a alfa date despre operatori se tastează:

>> help ops

Capitolul 1

4

Tabela 1. 1 Operatori, comenzi şi funcţii Matlab utile

Operatori + adunare; - scădere; * înmulţire; / împărţire dreapta; \ împărţire stânga; ^ ridicare la putere; . / împărţire cu punct, la dreapta; .\ împărţirea cu punct, la stânga ' operator de transpunere a unui vector, sau a unei matrice (sintaxă: A' - calculează transpusa metricei A) .* înmulţire cu punct, are ca efect înmulţirea a doua matrice, de aceeaşi dimensiune, element cu element; .^ ridicarea la putere cu punct - va ridica la puterea indicată fiecare element al unei matrice Observaţie: Împărţirea / şi \ este analogă pentru expresii, dar provoacă ieşiri diferite în cadrul calculului matriceal: A\B - echivalent cu înmulţirea la stânga cu inversa lui A (sau soluţia ecuaţiei A*X=B);

A/B - echivalent cu înmulţirea la dreapta cu inversa lui A (sau soluţia ecuaţiei X*A=B); Operatori logici: & reprezintă SI logic; : S reprezintă AU logic ~ reprezintă NU logic Operatori relaţionali: == egal; ~= diferit de; < mai mic; <= mai mic sau egal; > mai mare; >= mai mare sau egal Funcţii de lucru cu matrice

expm(A)- furnizează exponenţiala a matricei A; det(A) – întoarce determinantul matricei A; inv(A) - calculează inversa matricei A; rank(A) - calculează rangul matricei A; eig(A)– furnizează valorile proprii ale matricei A (sintaxa: [X,D] = eig(A) returnează matricea diagonală D conţinând valorile proprii ale matricei A, iar în X vectorii proprii corespunzători) size(A) - determina dimensiunea lui A; trace(A) - calculează urma matricei A; sqrt(A) - extrage radicalul fiecărui element al lui A; length(x) - pentru argument vector, va returna lungimea sa; diag(A,k) - extrage elementele de pe diagonala k a unei matrice sau formează o matrice cu elementele desemnate în vectorul A plasate pe diagonala k tril (A) - reţine elementele de sub diagonala principală, zerorizându-le pe celelalte; triu (A) - reţine elementele de deasupra diagonalei principale, zerorizându-le pe celelalte. Funcţii ce acţionează rând pe rând, asupra elementelor fiecărei coloane a unei matrice. Rezultatul este un vector linie. max(A) - determină elementul maxim pe fiecare coloană; min(A) - determină elementul minim pe fiecare coloană; mean(A) - determină valoarea medie pe fiecare coloană; median(A) – calculează media pe fiecare coloană; sum(A) - suma elementelor pe coloană; sort(A) – întoarece o matrice în care fiecare coloană este aranjată în ordine crescătoare prod(A) - produsul elementelor pe coloană; cumsum(A) - suma cumulativă a elementelor pe coloană; cumprod(A) - produsul cumulativ a elementelor pe coloană; zeros(M,N) - generează o matrice nulă cu M linii şi N coloane (la matricele pătrate se poate omite numărul de coloane); ones(M,N) - generează o matrice cu elemente unitare; rand(M,N) - generează o matrice cu elemente aleatoare; eye(M,N) - generează o matrice identitate Funcţii polinomiale


5

poly(A) – întoarce un vector linie format din coeficienţii polinomului caracteristic al matricei A; roots(p) - întoarce un vector coloană care conţine rădăcinile polinomului ai cărui coeficienţi sunt incluşi în vectorul p; conv(p,q) – calculează produsul polinoamelor celor doi vectori reprezentaţi în p şi q. Funcţii elementare matematice

• algebrice (abs, sqrt, exp, log, log10); • numere complexe (real, imag, conj); • trigonometrice (sin, cos, tan, asin, acos, ...); • speciale (bessel, gamma).

Toate acestea au semnificaţia cunoscută în matematică. Crearea unei funcţii M-file function[o1,...,om]=nume_funcţie(arg_1, … arg_n), unde: o1,...,om sunt ieşirile, arg_1, …,arg_n sunt argumentele de intrare ale funcţiei, iar nume_funcţie este numele funcţiei. Funcţii grafice

plot(x)dacă x este un vector, produce afişarea elementelor lui x în funcţie de indexul elementelor plot(x,y)

dacă argumentele x şi y sunt vectori de aceeaşi lungime, desenează elementele lui y funcţie de elementele lui x.

dacă argumentul y este o matrice şi x este un vector, va trasa graficele corespunzătoare liniilor sau coloanele lui y în funcţie de vectorul x, folosind caractere diferite pentru fiecare dintre ele;

plot(x1,y1,x2,y2,...,xn,yn) – utilizată pentru a realiza desene multiple coresunzătoare perechilor (xn,yn), unde (x1,y1), (x2,y2),... sunt perechi de vectori.

plot(t,y,'linie')– permite setarea tipul de linie pentru reprezentarea grafică, astfel:

continuă „ -” întreruptă (dashed) „ –” punctată (dotted) „ : ” linie-punct (dashdot) „-.” punct (point) „ . ” plus „ +” stea(star) „* ” cerc(circle) „o ” x-mark „ x ”

Exemple de opţiuni de culoare: 'w' (white), 'r' (red), 'g' (green), 'b' (blue), etc. xlabel('mesaj') – permite etichetarea axei absciselor, prin mesajul inclus între apostrof ylabel('mesaj') – permite etichetarea axei ordonatelor grid – activeză caroiaj title( 'mesaj') – asigură inscriptionarea titlului pentru grafic, prin mesajul inclus între apostrof text – permite includerea de etichete Funcţii grafice în coordonate polare şi logaritmice: polar(theta,rho) - reprezintă grafic unghiul "theta" (în radiani) în funcţie de raza "rho" în coordonate polare; loglog(x,y) - furnizează grafice în coordonate logaritmice pentru ambele axe; semilogx(x,y) - furnizează grafice reprezentând pe x în coordonate logaritmice şi pe y liniar. Controlul ecranului Comutarea între ecranul grafic şi cel de comandă precum şi divizarea ecranului grafic sunt disponibile în MATLAB cu ajutorul următoarelor comenzi: - clg - şterge ecranul grafic; - shg - comută pe ecranul grafic;

- subplot(m,n,p) – împarte ecranul grafic în ferestre, iar parametrii m, n, p au următoarea semnificaţie: m - reprezintă numărul de grafice pe linie; n - numărul de grafice pe coloană; p - poziţia primului grafic inscripţionat în partiţia ecran realizată; - axis – permite trasarea de axe de către operator; - home - mută cursorul în coltul stânga-sus al ecranului; - hold - menţine unui grafic pe ecran în vederea suprapunerii unui alt grafic

Capitolul 1

6

Comenzi speciale - facilitează lucrul în cadrul sesiunii de lucru : clear X - şterge variabila X din spaţiul de lucru; clear all - şterge toate variabilele din spaţiul de lucru; clc - şterge ecranul de comanda; who – permite vizualizarea tuturor variabilelor definite anterior ... - semn de continuare a unei instrucţiuni pe a doua linie; % - plasat la începutul liniei, desemnează o linie de tip comentariu; disp - afişarea datelor şi mesajelor sub forma: disp(A) - afişează matricea A; disp('mesaj') - afişează mesaj.

3. Aplicaţii cu rezolvare analitică şi numerică

A.1. Execiţii rezolvate - Manipularea vectorilor şi matricelor Vectorii şi matricele pot fi introduse în Matlab: ca lista explicită de elemente, construite

cu ajutorul funcţiilor şi instrucţiunilor specifice. Ini ţializarea unui vector:

>> x = [1;2;3] % generează vectorul coloana: x = 1 2 3 >> x = 1:5; % generează vectorul linie x = [1 2 3 4 5] sau cu pas egal utilizând comenzi ce permit indicarea [val_min : pas : val_max], astfel: >> y = 0:0.1:10; % generează vectorul y cu valori de la 0 la 10, cu pasul 0.1 >> y = 0:pi/3:pi; % furnizează vectorul y = [0 1.0472 2.0944 3.1416] Observaţie: Orice instrucţiune Matlab urmată de simbolul '; ' se va executa însă este inhibată afişarea pe ecran a rezultatului instrucţiuni.

Ini ţializarea matricelor se poate realiza prin introducerea elementelor acesteia, pe linie, Separatorul dintre coloane este spaţiul, iar dintre linii este „;”, sau linie nouă. Corpul matricei va fi cuprins între paranteze pătrate: >> A = [1 2; 3 4] sau >> A = [1 2

3 4] Răspuns: A = 1 2 3 4

Selectarea unui element dintr-o matrice:

>> A(1,2) % furnizează elementul de pe linia 1, coloana 2. ans = 2 >>A = A(1:2,:); % selectează primele două linii ale matricei A >>A = A(2,:); % selectează întreaga linie 2 a matricei A


7

A.2. Aplicaţie demonstrativă - Trasarea graficului unei funcţii

1. Utilizând funcţia plot() descrisă în tabela 1.1, să se reprezinte grafic funcţia sinus pe intervalul [0 4π]. Comenzii de trasare a graficului i se vor adaugă: inscripţionarea unui titlu, etichetarea axelor şi trasarea caroiajului. Se vor scrie mai multe instrucţiuni pe aceeaşi linie, separate prin virgule.

Rezolvare: Se definesc cei doi vectori: • vectorul unghi, cu pasul dorit: 0.05* π • vectorul y = sin(alfa)

%-------------------------------- alfa = 0:0.05:4*pi; y = sin(alfa); plot(alfa,y)

% Se inscripţionează titlul şi axele % şi se trasează caroiajul

title('Functie sinus'), xlabel('alfa') ylabel('sin(alfa)') grid

%-------------------------------

0 2 4 6 8 10 12-1

-0.5

0

0.5

1Functie sinus

alfa

sin(

alfa

)

Figura 1.1 Graficul funcţiei sinus

Observaţie: Se poate renunţa la scalarea automată a graficului în favoarea unei scalări manuale, cu ajutorul următoarelor comenzi:

v = [x_min, x_max, y_min, y_max]; axis(v)

A.3. Aplicaţii cerute 1. Să se introducă şi să se afişeze următoarele matrice:

[ ] ;C;B;A

==

=

9

7

4

1

753143

21

Să se afişeze următoarele elemente: a) elementul de pe linia 2 şi coloana 1 din matrice; b) elementul al treilea din vectorul linie;

c) elementul al patrulea din vectorul coloană.

2. Utilizând tabela 1.1 din lucrare, să se calculeze pentru matricea

=

43

21A

următoarele: transpusa, determinantul, inversa, valorile proprii, rangul, exponenţiala şi pătratul acesteia.

Capitolul 1

8


4.1. Noţiuni introductive despre Simulink

Pentru modelarea sistemelor este furnizată o interfaţă grafică uşor de utilizat, care cu mici excepţii – dependente de versiunea softului – este asemănătoare celei ilustrate în figura 1.2..

Figura 1.2 Fereastra Simulink

Fereastra de lucru Simulink este accesată prin tastarea numelui acesteia în fereastra Command Window: >> simulink <Enter> sau prin selectarea pictogramei Simulink din meniul principal Astfel, se deschide o nouă fereastră - figura 1.3, care include simbolurile librăriilor puse la dispoziţia utilizatorului. Aceasta conţine pictogramele care formează librăriile standard ale programului: Sources, Sinks, Discrete, Linear , Nonlinear, etc. Accesarea librăriilor (Sources, Sinks etc) se face prin dublu-click. La selectarea unei pictograme din posibilităţile oferite de meniul principal, se deschide o nouă fereastră ce conţine biblioteca standard a subsistemului accesat. Notă: De la o versiune de Simulink la alta apar unele modificări care pot fi consemnate cu uşurinţă la accesarea fiecărei librării.

Fig 1.3 Simbolurile librăriilor SimulinkScurtă descriere a librăriilor Simulink:


9

• Sources conţine surse de semnal - generatoare de semnal sinusoidal, triunghiular, dreptunghiular, zgomot, rampă, pulsuri, treaptă, etc..

• Sinks conţine blocuri pentru vizualizarea semnalelor şi stocarea variabilelor - osciloscop, grafic XY, multimetru, etc.

• Discrete se poate folosi pentru simularea sistemelor cu timp discret, şi conţine blocuri ce furnizează funcţii specifice circuitelor discrete: funcţie de transfer discretă, filtru discret, întârziere în domeniul timp cu un pas, integrator discret, etc.

• Connections, sau Commonly Used Blocks (depinde de versiunea softului), conţine: blocuri care fac legătura dintre un subsistem şi exteriorul său - multiplexor şi demultiplexor de semnale.

• Linear, sau Continus se poate folosi pentru simularea sistemelor liniare, cu timp continuu şi conţine blocuri ce furnizează funcţii specifice circuitelor analogice: derivare, integrare, funcţie de transfer, întârziere în domeniul timp, etc.

• Nonlinear conţine blocuri ce se pot folosi pentru modelarea nelinearităţilor şi a discontinuităţilor care apar în evoluţia sistemelor.

• Math include funcţii matematice de ordin general: sumă, produs, amplificare, modul, fază, funcţii trigonometrice, etc.

Observaţie: Atunci când nu este cunoscută plasarea unui anumit bloc în sublibrării, însă este cunoscută denumirea acestuia, se poate introduce numele în câmpul “Find”- figura 1.4.

Figura 1.4 Câmpul “Find” permite cătarea unui bloc după denumire

4.1.1. Algoritmul pentru simulare

Etapele ce se parcurg pentru simularea unui model

1. Se poate deschide o nouă sesiune de lucru, materializată printr-o nouă fereastră, prin alege opţiunea: File/New/Model, în care se va realiza schema dorită pentru simulare, sau se deschide un model deja existent cu File | Open;

2. Se aduc în fereastra de lucru blocurile necesare pentru construirea schemei de simulare ce se pot copia, sau aduce prin drag and drop, din cadrul librăriilor standard. Prin execuţia unui dublu – clic pe pictogramă este posibilă modificarea parametrilor cu valorile dorite. După modificările necesare se închide fereastra de dialog prin butonul aferent OK.

3. Se trasează conexiunea dintre blocuri prin utilizarea butonului stâng, apăsat al mouse-lui între semnele celor două blocuri.

4. Prin alegerea opţiunii Simulation se va realiza configurarea parametrilor de simulare. Se stabilesc următoarele:

Capitolul 1

10

o metoda de integrare

o valoarea parametrilor de simulare

momentul de început al simulării (valoare propusă = 0s)

durata necesară simulării (ce depinde de aplicaţie)

pasul de simulare (minim şi maxim).

tolerance – eroarea relativă, la fiecare pas de integrare

• valori recomandate atunci când nu este posibilă setarea „auto”:

o pasul de simulare minim

o pasul de simulare maxim=10 x pasul de simulare minim

o toleranţa = pasul de simulare minim

o Simularea devine efectivă prin lansarea comenzii Start din cadrul aceleaşi opţiuni ale meniului principal.

Figura 1.5 Opţiunea de configurarea a parametrilor simulării

5. Prin deschiderea blocului Scope este pusă în evidenţă reprezentarea grafică a ecranului unui osciloscop printr-o fereastră care poate fi poziţionată într-o zonă dorită a monitorului.

5. Aplicaţii de laborator

A.4. Aplicaţie demonstrativă – Simularea unui circuit RC serie

Exemplul 1. Se consideră un circuit RC serie prezentat în figura 1.6, ai cărui parametrii sunt: Ω= 1R şi FC µ= 1 . Să se studieze răspunsul în timp al acestui sistem de ordinul

I, presupunând că circuitului i se aplică o comandă de tensiune de 1V de tip treaptă.

U

R

C

i

Figura 1.6 Circuitul RC serie


11

Rezolvare analitică:

Mărimea de comandă este tensiunea la borne U, iar mărimea de ieşire este tensiunea pe condensator. Ecuaţia specifică sistemului este:

( ) ( ) ( )tutudt

tduRC c

c =+⋅

Prin scrierea ecuaţiei cu ajutorul transformatei Laplace (a se vedea secţiunea II a lucrarii ), se obţine:

( ) ( ) ( ) =>=+⋅ sUsUssURC CC

( )( ) τ⋅+

=⋅+

=sRCssU

sUC

1

1

1

1

unde constanta de timp a sistemului este sRC 610−==τ .

Se obţine funcţia de transfer H(s) a circuitului RC serie:

( ) ( )( ) 6101

1−⋅+

==ssU

sYsH

Simulare:

Variabilele U, R şi L vor fi ini ţializate într-un fişier m-File, care se va executa din fereastra de comandă din Matlab, înainte de-a porni simularea.

%----------------------------- % Datele problemei

U = 1; %[V] R = 1; %[Ohm] C = 1e-6; %[F]

% -----------------------------

Pentru simularea aplicaţiei sunt necesare următoarele blocuri Simulink:

„Step” sau „Step Input”, existent în librăria „Sources”

„Scope”, existent în librăria „Sinks”

„Transfer Fcn” , pictogramă ,

din librăria „Linear” (versiuni sub 5), sau pentru versiuni superioare librăria intitulată „Continuous”

În pagina de lucru se vor realiza conexiunile dintre blocuri deja aduse şi va fi

salvătă schema realizată (circuit_RC.mdl, sau circuit_RC.m, depinde de versiunea softului).

Comanda de tensiune de 1V este de tip treaptă şi se va aplica din origine - ilustrare în figura 1.7.

Capitolul 1

12

Fig.1.7 Parametrii blocului „Step” Fig.1.8 Parametrii blocului „Transfer Fcn”

În meniul Simulation/ (Configuration) Parameters sunt fixaţi parametrii simulării, figura 1.9.

Figura 1.6 Parametrii simulării (Matlab ver. 7.0)

Se porneşte simularea prin lansarea comenzii Start din cadrul aceleaşi opţiunii Simulation, sau prin apăsarea butonului Start simulation, din meniul principal.

Figura 1.10 Schema Simulink pentru simularea circuitului RC serie


13

Se poate obţine o auto-scalare a graficului prin apasarea butonului Autoscale (binoclu), sau o mărire, respectiv micşorare a acestuia („zoom in” sau „zoom out”) selectând unul din butoanele din bara de unelte specifice blocului „Scope” – figura 1.11.

Figura 1.11 Evoluţia în timp a tensiunii la bornele condensatorului din circuitul RC, vizualizare pe osciloscop

Notă: Pentru o vizualizare corespunzătoare, în special atunci când se utilizează o versiune de Matlab ce necesită setarea parametrilor osciloscopului, pentru cele două axe se vor furniza valori astfel:

• „Horizontal Range” – se alege o valoare de 4-5τ, unde sRC 610−==τ reprezintă constanta de timp a circuitului RC serie. Curentul atinge valoarea finală (de regim permanent) după o evoluţie în regim tranzitoriu ce durează aproximativ 4τ. Prin alegerea unei valori în acest interval se va putea vizualiza evoluţia tranzitorie a curentului pe toată axa orizontală a osciloscopului,

• „Vertical Range” – se alege o valoare cel puţin egală cu valoarea finală a

curentului, care este R

UI = = 1A.

A.5. Aplicaţie cerută – Simularea unui circuit RL serie

Să se simuleze evoluţia curentului într-un circuit RL serie la aplicarea unei trepte de tensiune. Date de intrare: U=10 V, R=1 Ω, L=1 mH. Mărimea de comandă este tensiunea la borne U, iar mărimea de ieşire este curentul prin circuit.

Capitolul 1

14

Secţiunea II


6.1. Sistem de reglare automată. Noţiuni introductive

Un sistem de reglare automată (SRA) reprezintă o structură prin care se urmăreşte controlarea variaţiei unei mărimi, conform cu o referinţă dată (fiind util în aplicaţii precum: poziţionarea sateliţilor, reglarea vitezei la o maşină electrică, menţinerea unei temperaturi constante într-o incintă etc.). Structura generală a unui SRA este prezentată în figura 1.12.

refy ε yu

Fig.1.12 Structura unui SRA

unde se disting următoarele mărimi:

refy mărimea de referinţă, sau mărimea impusă;

ε eroarea de reglare; u mărimea de comandă către procesul fizic care este controlat; y mărimea de ieşire a sistemului (mărime măsurată) .

Regulatorul are rolul de a furniza comanda către proces în sensul minimizării erorii de reglare y y

refε = − . Condiţia de reglare este ca această eroare să tindă la zero.

În proiectarea teoretică a unui SRA se vor avea în vedere următoarele etape principale:

Etapa I: Modelarea matematică a sistemelor fixice continue şi discrete;

Etapa II: Definirea unor proprietăţi caracteristice sistemelor (stabilitate, controlabilitate, observabilitate etc.) şi metodele practice de testare;

Etapa III: Elementele de reglare automată: legi de comandă, structuri de reglare şi modalităţi de proiectare.

Cele două tipuri de sisteme ilustrate în figura 1.13 întâlnite în teoria sistemelor sunt: sistemele liniare netede (SLN), fig.1.13.a – al cărui răspuns este un semnal continuu şi sisteme liniare discrete (SLD), fig. 1.13.b, caz în care răspunsul este unul discret.


15

continuuy

][ st

discrety

][ st

(a) (b)

Fig. 1.13 Tipuri de răspunsuri ale sistemelor: (a) – SLN, (b) - SLD

Un semnal cu timp discret se obţine prin memorarea valorii unui semnal cu timp continuu la anumite momente de timp, echidistante. Valorile memorate se numesc eşantioane, iar procesul de memorare a acestor valori poartă numele de discretizare a unui semnal cu timp continuu. Intervalul de timp intre 2 eşantioane se numeşte pas sau perioadă de eşantionare (notat în mod uzual cu h, sau T).

6.1.1. Tipuri uzuale de semnale

a) Impuls Dirrac analogic are amplitudine infinită în origine şi durata 0 – fig 1.14.a, iar cel discret are amplitudine unitară în origine – fig.1.14.b.

][ st

cδ)(a

][ st

dδ)(b

Fig 1.14 Impuls Dirrac analogic - (a), respectiv discret – (b)

b) Semnal treaptă

0t

][ st

)(a

0t

][ st

)(b

Fig 1.15 Semnal treaptă analogic - (a), discret – (b)

Capitolul 1

16

unde s-au notat cu v.i. – valoare iniţială a semnalului, v.f. – valoare finală, iar cu 0t -

momentul în care se face trecerea de la v.i. la v.f. c) Semnal rampă

Semnalul rampă are valoarea 0 atâta timp cât 0t = şi apoi evoluează după o lege liniară pentru t → ∞ .

][st

Fig 1.16 Semnal rampă analogic - (a), discret – (b)

6.2. Transformata Laplace (pentru semnale analogice)

Definiţie: Dacă o funcţie ( ) )[ ∞+∈ ,0, ttf respectă condiţia ( ) tMetf σ≤ , atunci

relaţia ∫∞

−==0

)()()( dttfetfsF stL defineşte transformata Laplace a

funcţiei ( )tf , unde operatorul: ω+σ= js , iar funcţia )(sF se numeşte funcţie

imagine a funcţiei original ( )tf .

Tabela 1.2 Transformata Laplace a unor funcţii uzuale

Funcţia original Transformata

Laplace

( )tf )(tfL

Funcţia impuls unitar Dirrac ( )

=∞≠

=δ0

00

t,

t,t 1

Funcţia unitate (treaptă unitară), Heaviside ( )

≥<

=01

00

t,

t,th

s

1


17

Funcţia treaptă A s

A

Funcţia rampă ( )

≥<

=0

00

t,Ct

t,tf

2s

C

( )

≥<

=0

00

t,t

t,tf n Nn∈ 1

!+ns

n

Nnn

tn∈,

! 1

1+ns

Nnen

t atn

∈− ,!

( ) 11

++ nas

ate as−1

atte− ( )2

1

as+

atet −2 ( )32

as

!

+

tωsin 22 ω+ω

s

tωcos 22 ω+s

s

te at ω− sin ( ) 22 ω++ω

as

te at ω− cos ( ) 22 ω+++

as

as

Capitolul 1

18

Tabela 1.3 Proprietăţi ale transformatei Laplace

Liniaritatea: [ ] )()()()( sGsFtgtf ⋅β+⋅α=⋅β+⋅α L

Teorema întârzierii: ( )[ ] ( )sF = ettf st00 −−L

Teorema asemănării [ ]

α⋅

α=α s

Ftf1

)( L

Teorema deplasării: ( )[ ] ( )α−α s= F t f e t L

Teorema derivării originalului:

( )[ ] ( ) ( )0 = t' + - f ss FfL

Teorema integrării originalului: ( )

s

sFdt)t(f

t

=

∫0

L

Teorema derivării imaginii: ( ) ( ) ( )[ ]tf tsF ⋅−= ' L

Teorema integrării imaginii: ( ) ( )

=∫∞

t

tf dssF

s

L

Teorema de convoluţie: ( )[ ] ( ) ( )sGs Fg*f ⋅ = L , unde ( ) ( ) ττ−⋅τ∫ dtg fgft

0

= *

Teorema valorii iniţiale: )0()(lim +=∞→

fssFs

Teorema valorii finale: ( )∞=→

fssFs

)(lim0

6.3. Transformata Laplace inversă

Funcţia original se obţine cu relaţia: ∫∞

∞−π=

j

j

st dsesFj

tf )(2

1)(

Metodele de calcul ale funcţiei original sunt:

1. Aplicarea formulei de definiţie

2. Identificarea unor funcţii imagine a căror original se cunoaşte sau se poate deduce din tabela transformatei Laplace;


19

3. Descompunerea în fracţii simple şi inversarea Laplace a fiecărei componente

4. Utilizarea reziduurilor: ,)(Re)( kk

st sesFztf ∑ ⋅= , unde sk sunt polii funcţiei F(s).

Modalitatea de a calcula reziduului este următoarea:

1. calculul reziduului pentru un pol simplu

1s

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) st

ss

ss

stst

esFsslim

esFss,esF

11

111 s Rez

−=

⋅−=

→

=

2. calculul reziduului pentru un pol

multiplu kss = , cu

ordin de multiplicitate n

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]stnkn

n

ss

kss

stnkn

nst

esFssds

dlim

!n

esFssds

d

!ns,esFzRe

−−

=

−−

=

−

−

→

=−

−

1

1

2

1

1

k

1

1

)()1(

1

Funcţii Matlab utile residue - calculează residu, poli, returnati in vectori coloana, şi termenul liber laplace – calculează transformata Laplace ilaplace – calculează transformata Laplace inversă


A.6. Aplicaţii rezolvate - Calculul transformatei Laplace şi Laplace inversă

1. Să se determine transformata Laplace pentru următoarea funcţie: 4 tf(t) =

Soluţie analitică - aplicarea formulei de definiţie:

5

0

24)(

sdttfe)t(f)s(F st === ∫

∞−L

Soluţie ce utilizează funcţii Matlab:

>> syms t

>> f = t^4

f =

Capitolul 1

20

t^4

>> laplace(f)

ans =

24/s^5

2. Să se determine transformata Laplace inversă a următoarelor funcţii:

A. ( )6116

635223

23

++++++=

sss

ssssF

Soluţie de calcul analitic şi în Matlab:

Se apelează la Matlab pentru descompunerea în fracţii simple:

>> num = [2 5 3 6];

>> den = [1 6 11 6];

% Calcul: residuu şi poli, returnati in vectori coloana, iar k - termen liber

>>[r,p,k] = residue(num,den)

r = -6.0000 -4.0000 3.0000

p = -3.0000 -2.0000

-1.0000 k = 2

=> ( ) 21

3

2

4

3

6

6116

635223

23

++

++

−++

−=++++++=

ssssss

ssssF

( ) ( )[ ] ( )teeesFtf ttt- δ++−−== −−− 2346 231L , 0pentru ≥t

Soluţie de calcul doar în Matlab:

>> syms s

>> f = (2*s^3+5*s^2+3*s+6)/(s^3+6*s^2+11*s+6)

f =

(2*s^3 + 5*s^2 + 3*s + 6)/(s^3 + 6*s^2 + 11*s + 6)

>> ilaplace(f)

ans =


21

3/exp(t) - 4/exp(2*t) - 6/exp(3*t) + 2*dirac(t)

Răspunsul verifică soluţia analitică.

B. ( )( )3

2

1

32

+++=

s

sssF

Soluţie analitică: ( ) ( )( ) ( ) ( )3

32

21

111 ++

++

+==

s

b

s

b

s

b

sA

sBsF

( ) ( )( ) ( ) 0321

1

2

1

32 =

++=

+=

−=−= ss

ssds

d

sA

sBs

ds

db

( ) ( )( ) ( ) 132

2

11

2

1

1

22

2

1

32

2

1 =

++=

+=−=−= ss

ssds

d

sA

sBs

ds

db

( ) 232 12

3 =++= −=sssb

( ) ( )[ ]( )

( ) 0pentru,1

1

2

1

1

22

3111

≥+=+=

++

+==

−−− tetete

sssFtf

ttt

--- LLL

Soluţie Matlab:

>> syms s

>> f = (s^2+2*s+3)/(s+1)^3

f =

(s^2 + 2*s + 3)/(s + 1)^3

>> ilaplace(f)

ans =

1/exp(t) + t^2/exp(t)


3. Se consideră circuitul RC prezentat în figura 1.12, având următoarele date R=103 Ω, C=1mF. Să se calculeze funcţia Laplace.

Capitolul 1

22

tcosUs 3=

R

C+−

+

−0U

0=t

Figura 1. 12 Schema unui circuit RC cu elemente pasive

Tabela 1.2 Aplicarea transformatei Laplace pentru elemente electrice

Element Domeniul timp Aplicarea transformatei

Laplace. Domeniul s

Rezistor ( ) ( )tIRtU ⋅= ( ) ( )sIRsU ⋅=

Bobina ( ) ( )dt

tdILtU ⋅= ( ) ( )sIsLsU ⋅=

Condensator ( ) ( )dttIC

tU ∫⋅= 1 ( ) ( )

s

sI

CsU ⋅= 1

Soluţie analitică: CR

Cso ZZ

ZUU

+= , ( )

1

32 +

=s

ssU s

, RZ R = , sC

Z C1=

( )( ) ( )( ) ( )sFss

s

sRCs

s

sCR

sCs

sU

notat

o =⋅++

=++

=+

⋅+

= −33222 101011

3

11

31

1

1

3

( ) ( )( )( ) ( )

( )( )111111

32

2

22 +++++++=

++

++=

++=

ss

CBBAsCAs

s

C

s

BAs

ss

ssF

=> 515151 .C,.B,.A −=== => ( )1

51

1

51512 +

−+++=

s

.

s

.s.sF

Trecerea funcţiei Laplace în domeniul timp se realizează prin identificarea funcţiilor transformatei Laplace invers, utilizând tabela 1.1. Se permite astfel, identificarea ieşirii sistemului:

( ) ( )[ ]

t

oo

ett

sss

s

ss

ssUtU

−−+=

+⋅−

+⋅+

+⋅=

=

+−+

++==

5.1sin5.1cos5.1

1

15.1

1

15.1

15.1

1

5.1

1

5.15.1

22

2

1-1-1-

1-1-

LLL

LL

2. Prin aplicarea funcţiilor Matlab se obţine aceeaşi soluţie:

>> syms s

>> f = (1.5*s+1.5)/(s^2+1)-1.5/(s+1)

f =

((3*s)/2 + 3/2)/(s^2 + 1) - 3/(2*(s + 1))


23

>> ilaplace(f)

ans =

(3*cos(t))/2 - 3/(2*exp(t)) + (3*sin(t))/2

Răspunsul verifică soluţia analitică obţinută anterior.


8.1. Transformata Z (pentru semnale discrete)

Definiţie: Dacă o funcţie RZf >−: cu ( ) 0,0 <= ttf , respectă condiţia

( )t tfsuplimR = , atunci relaţia: ( ) [ ] ( ) k

k

defzkTfkTfzF −

∞

=⋅== ∑

0Z converge

pentru Rzz >∀ , şi se numeşte transformata Z a funcţiei )(tf . Funcţia )(zF se

numeşte funcţie imagine a funcţiei original ( )tf , iar operatorul 1−z semnifică o

întârziere în timp cu un pas de eşantionare.

Transformata Z este echivalentul transformatei Laplace pentru semnale discrete.

Tabela 1.4 Transformata Z a unor funcţii uzuale

Funcţia original

Funcţia original discretizată

Transformata Z

( )tf ( ) ( )kfsaukTf ( )zF

( )tδ

impulsul unitar Dirrac

( )kδ 1

( )th ( )kh 11

1−− z

t kT ( )21

1

1 −

−

− z

Tz

Capitolul 1

24

2t ( )2kT ( )

( )31

112

1

1−

−−

−

+

z

zzT

3t ( )3kT ( )( )41

2113

1

41−

−−−

−

++

z

zzzT

ate−−1 aKTe−−1

( )( )( )11

1

11

1−−−

−−

−−−

zez

zeaT

aT

atte−

akTte− ( )21

1

1 −−

−−

− ze

zTeaT

aT

( ) ateat −−1 ( ) akTeakT −−1 ( )( )21

1

1

11

−−

−−

−

+−

ze

zeaT

aT

aT

btat ee −− −

bkTakT ee −− −

( )( )( )11

1

11 −−−−

−−−

−−−

zeze

zeebTaT

bTaT

( )tωsin ( )kTωsin ( )

( ) 21

1

cos21

sin−−

−

+ω−ω

zTz

Tz

( )tωcos ( )kTωcos ( )

( ) 21

1

cos21

cos1−−

−

+ω−ω−

zTz

Tz

( )te ta ω⋅− sin ( )kTe akT ω− sin ( )

( ) 221

1

cos21

sin−−−−

−−

+ω−ω

zeTze

TzeaTaT

aT

( )te ta ω⋅− cos ( )kTe akT ω− cos ( )

( ) 221

1

cos21

cos1−−−−

−−

+ω−ω−

zeTze

TzeaTaT

aT

( ) 0,0 <= ttf

Tabela 1.5 Proprietăţi ale transformatei Z

Liniaritatea ( ) ( )[ ] ( ) ( )zGbzFatbftaf ⋅+⋅=+Z


25

Teorema avansului originalului ( ) ( ) ( )

−⋅=τ+ −

−τ

=

τ ∑ k

kzkfzFztf

1

0Z

Teorema deplasării cu o unitate, dacă 1=τ

( )[ ] ( ) ( )01Z zfzzFtf −=+

Teorema de întârziere ( )[ ] ( )zFztf τ−=τ−Z

Teorema de întârziere cu o unitate, dacă 1=τ

[ ] z

zF1kf

)(=−Z

Teorema derivării în raport cu o constantă

( ) ( )azFda

dtaf

da

dk

k

k

k,,Z =

Teorema asemănării ( )

=a

zFkfakZ , Ca∈

Teorema de convoluţie [ ] ( ) ( )zGzFgf ⋅=*Z , ( ) ( )τ−τ=∑=τ

tgfg*ft

0

Teorema valorii iniţiale ( ) ( )0)(limlim0

ftfzFtz

==→∞→

Teorema valorii finale ( ) ( ) ( )∞==−∞→→

ftfzFz

z

tzlim

1lim

1

8.2. Obţinerea transformatei Z direct din transformata

Laplace Prin considerarea razei de convergenţă a transformatei Z, TeR σ= , unde T este pasul de

eşantionare, se poate obţine direct transformata Z a funcţiei original discretizate )(tfd din

imaginea Laplace )(sF utilizând relaţia ( ) ( )∫∞+

∞− −π=

jc

jcsT

dsez

zsF

izF

2

1, care

se va rezolva prin aplicarea calulului cu residuuri )((z) kk

sTs,

ez

zsFzReF ∑

−⋅=

Capitolul 1

26

Calculul reziduu-lui pentru cazul unui pol

simplu 1ss =

( ) ( )

−⋅−=

− → sTsssT ez

zsFsslims,

ez

z)s(FzRe 1

11

Calculul reziduu-lui pentru cazul unui pol

multiplu kss = . cu

ordin de multiplicitate n ( ) ( ) ( )

−−

−=

=−

−

−

→ sTn

kn

n

kss

ksT

ez

zsFss

ds

dlim

!n

s,ez

z)s(FzRe

1

1

1

1

Pentru a obţine transformata Z se pot aplica următoarele metode:

• Aplicarea directă a formulei de calcul pentru funcţia original discretizată

• Trecerea funcţiei original în Laplace urmată de aplicarea formulei pentru obţinerea transformatei Z.


A.7. Aplicaţii rezolvate - Obţinerea transformatei Z pentru o funcţie imagine Laplace

1. Să se obţină transformata Z pentru următoarea funcţie imagine Laplace:

( ) ( )ssssF

23

12 ++

=

Soluţie analitică: ( )21 +

++

+=s

C

s

B

s

AsF => ( )( ) 2

1

21

1

0=

++=

→ sssslimA

s;

( ) ( )( ) 121

11

1−=

+++=

−→ sssslimB

s, ( ) ( )( ) 2

1

21

12lim

2=

+++=

−→ ssssC

s

( ) ( ) 2

50

1

150

23

12 +

++

−+=++

=s

.

ss

.

ssssF

( ) ( ) 5.05.02

5.0

1

15.0

23

1 22

+−=

++

+−+=

++= −− tt ee

sssssstf 1-1- LL

Soluţie Matlab:

>> syms s


27

>> f = 1/((s^2+3*s+2)*s)

f =

1/(s*(s^2 + 3*s + 2))

>> ilaplace(f)

ans =

1/(2*exp(2*t)) - 1/exp(t) + 1/2


9.1. Transformata Z inversă Funcţia original discretizată se obţine aplicând relaţia:

( )[ ] ( ) ( ) ( )∫−

π===− dzzzF

ikfkTfzF k 1

2

11Z

Transformata Z inversă a lui ( )zF determină o funcţie ( )kf unică, dar nu şi o funcţie

( )tf unică. Prin transformata Z inversă se obţine secvenţa de valori în timp, care

reprezintă valorile funcţiei ( )tf la momente de timp discret, astfel: t=0, T, 2T,…, fără a

se cunoaşte valorile lui ( )tf pentru alte momente de timp.

Pentru calculul funcţiei original se pot aplica următoarele metode:

• Identificarea unor funcţii imagine a căror original se cunoaşte sau se poate deduce din proprietăţile transformatei Z;

• Descompunerea în fracţii simple şi inversarea Z a fiecărei componente

• Utilizarea reziduurilor: (z)(kT) 1k

k

k z,zFzRef ∑ −⋅=

Funcţii Matlab utile

ztrans - calculează transformata Z iztrans – calculează transformata Z inversă


A.8. Aplicaţii rezolvate – Calculul transformatei Z inversă

Să se obţină transformata Z inversă pentru funcţiile:

Capitolul 1

28

1. ( ) ( )31

2

1 −

−

−=

z

zzF

Soluţie: ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )31

221

31

11

1

1

31

11

31

2

11

1

11

1

1 −

−−−

−

−−

−

−

−

−−

−

−

−

+−−−

−=−

−−

−=−

=z

zzz

z

zz

z

z

z

zz

z

zzF

( )( )

( ) ( )

−−

−

+=− −

−

−

−−

−

−

31

1

31

11

31

2

11

1

2

1

1 z

z

z

zz

z

z => ( ) ( ) ( ) ( ) ,....2,1,0 ,12

1

2

1

1

231

21 =−=−=

−=

−

−− kkkkk

z

zZkf

( )( )3

1

1−=−

z

zzzF

kk deci pentru ( ) 1,....,2,1,0 −= kzzFk avem pol triplu: 1=z

( )( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )[ ] ( ) ,..,,k,kkzkklim!

kzdz

dlim

!

zdz

dlim

!z

zz

dz

dlim

!

z,z

zkf

k

z

k

z

k

z

k

k

210 12

11

2

1

2

1

2

1

11

13

1

1 : triplupol 1

:functiei al residuu

2

1

1

1

2

2

133

2

2

3

=−=−==

=

−−

−=

=

−=

−→

−→

→

2. )2.0)(1(

)(2

−−=

zz

zzF

Soluţia 1 – calcul analitic: 1111 2.011)2.01)(1(

1)( −−−− −

+−

=−−

=z

B

z

A

zzzF

1

1

1

11

2.01

)1(

2.01

1)()1(

=

−

−

−− ⇒

−−+=

−=−

z

z

zBA

zzFz 25.1

8.0

1

2.01

0

2.01

1 ==⇒−

⋅+=−

AB

A

1

1

1

11

2.01

)2.01(

1

)2.01()()2.01( −

−

−

−−

−−⋅+

−−=−

z

zB

z

zAzFz

=> Bz

zA

z+

−−=

− −

−

− 1

1

1 1

)2.01(

1

1

)2.0( 02.01 1 ==− −

⇒zz

25.0)51/(1 −=−=B

=> n).(..)nT(fz.

.

z

.)z(F 20250251

201

250

1

25111

−=⇒−−+

−= −−

Soluţie 2 – calcul analitic şi cu funcţii Matlab:


29

212

2

20211

1

2021 −− +−=

+−=

z.z..z.z

z)z(F

Pentru descompunerea în fracţii simple, se utilizează funcţia Matlab residue. >> num = 1; >> den = [1 –1.2 0.2]; [r, p, k] = residue(num,den) % returnează reziduu, poli si termeni liberi r = 1.2500 -1.2500 p = 1.0000 0.2000 k = [ ]

1111 201

250

1

251

201

250

011

251−−−− −

−+−

=−−+

−=⇒

z.

.

z

.

z.

.

z.

.)z(F

Răspuns ce verifică soluţia anterioară Soluţie 3 – calculul este rezalizat doar folosind funcţii Matlab:

>> syms z

>> f = z^2/((z-1)*(z-0.2))

f =

z^2/((z - 1)*(z - 1/5))

>> iztrans(f)

ans =

5/4 - (1/5)^n/4 = 1.2500 – 0.2500*(0.2000)^n

Răspunsul verifică soluţiile anterioare.

tsra cap1 prez matlab-simulink sra tr laplace-tr z

Documents