89

GRUPUL COLAR DE CHIMIE INDUSTRIAL

TG. MURE

TRIUNGHIUL LUI PASCAL

PROF. RUSU-MARIAN CRISTINA

TG. MURE

2001

Numerele din figura (1) sunt coeficienii binomiali, iar dispunerea lor sub form de tabel triunghiular se numete triunghiul lui Pascal. nsui Pascal numea acest triunghi aritmetic.

Fig. (1)

La triunghiul din figura (1) pot fi adugate noi linii, el poate fi extins orict de mult.

Reeaua din figura (2) este de fapt, o poriune ptrat tiat dintr-un triunghi mai mare.

Figura (2)

Unii dintre coeficienii binomiali i descompunerea lor ntr-un tabel triunghiular apar i n scrierile altor autori, anterioare lucrrii lui Pascal. Meritele lui Pascal n aceast descoperire sunt suficiente pentru a justifica utilizarea numelui lui.

n primul rnd trebuie s introducem o notaie pentru numerele coninute n triunghiul lui Pascal. Pentru noi fiecare numr asociat unui punct din acest triunghi are o semnificaie geometric: el indic numrul de trasee distincte, n zigzag, de lungime minim, de la vrful triunghiului pn la punctul respectiv. Fiecare din aceste trasee trece de-a lungul unui aceluiai numr de cvartale s spunem de-a lungul a n cvartale. Mai mult, toate aceste trasee concord ntre ele i n ceea ce privete numrul de cvartale strbtute mergnd spre sud-vest i numrul de cvartale strbtute mergnd spre sud-est.

Fie l i respectiv r aceste numere (l nseamn deplasri spre stnga, r nseamn deplasri spre dreapta, bineneles n fiecare caz direcia general este de sus n jos).

Evident: n=l+r.Dac notm dou din cele trei numere n, l i r, al treilea este complet determinat, i tot aa este i punctul la care ele se refer.

Vom nota cu Crn (combinri de n luate cte r) numrul de trasee minime de la vrful triunghiului lui Pascal pn la punctul specificat de numrul n (numrul total de cvartete) i numrul r (cvartetele strbtute mergnd spre dreapta).

De exemplu n figura (3): C38=56; C510=252. Simbolurile pentru numerele din figura (1), au fost grupate n mod corespunztor n figura (3).

Simbolurile cu acelai numr inferior n se aliniaz pe orizontal n lungul bazei de ordinul n, este vorba de baza unui triunghi dreptunghic.

Simbolurile cu acelai numr superior r se aliniaz oblic n lungul bulevardului cu numrul r.

Figura (3)

n al doilea rnd pe lng aspectul geometric, triunghiul lui Pascal prezint i un aspect legat de proprieti numerice i de calcul. Toate numerele de-a lungul frontierelor (strada zero, bulevardul zero i punctul lor comun de plecare) sunt egale cu 1.

Prin urmare: C0n=Cnn=1.

Aceast relaie se numete condiia la limit a triunghiului lui Pascal.

Orice numr din interiorul triunghiului lui Pascal este situat pe un anumit rnd orizontal, sau pe o anumit baz. Un numr oarecare de pe baza (n+1) se calculeaz mergnd napoi sau recurgnd la cele dou numere vecine de pe baza n:

Crn+1=Crn+Cr-1n.

Aceast formul se numete formula de recuren a triunghiului lui Pascal.

Din punctul de vedere al proprietilor de calcul, numerele Crn sunt determinate de formula de recuren i de condiia la limit a triunghiului lui Pascal.

Cnd calculm un numr din triunghiul lui Pascal folosind formula de recuren, trebuie s ne bazm pe cunoaterea prealabil a dou numere de pe baza precedent. Exist ns o schem de calcul care este independent de cunotinele prealabile i o vom numi formula explicit a coeficienilor binomiali:

Tratatul lui Pascal conine formula explicit, Pascal nu spune ns cum a descoperit-o dar n schimb d o demonstraie cu totul remarcabil a formulei explicite. n demonstraie Pascal utilizeaz dou leme, n prima lem arat c formula explicit este valabil i pentru prima linie iar n cea de-a doua lem arat c dac formula este valabil pentru o baz oarecare n, atunci ea este valabil i pentru baza imediat urmtoare (n+1).

Pascal spunea: Vedem deci c propoziia este, n mod necesar, valabil pentru toate valorile lui n. Cci ea este valabil pentru n=1, n virtutea primei leme, prin urmare ea este valabil i pentru n=2, n virtutea lemei a doua; prin urmare ea este valabil i pentru n=3, n virtutea aceleiai leme i aa mai departe, ad infinitum.

Cuvintele lui Pascal citate aici au o importan istoric, fiindc demonstraia dat de el constituie primul exemplu de aplicare a unei scheme fundamentale de raionament, care se numete n mod obinuit: inducie matematic.

Pn acum am dat trei moduri distincte de abordare a numerelor din triunghiul lui Pascal:

interpretarea geometric (un coeficient binomial este numrul de drumuri distincte minime, ntre dou noduri ale unei reele de strzi);

abordarea formal (adic exclusiv prin calcul, coeficienii binomiali pot fi definii prin formula lor de recuren i prin condiia la limit);

formula explicit;Denumirea numerelor ne mai amintete o cale:

teorema binomului:Pentru orice x (fix sau variabil) i pentru orice ntreg nenegativ n, are loc egalitatea:

Exist i alte moduri de a aborda numerele din triunghiul lui Pascal, numere ce joac un rol important n foarte multe probleme interesante i se bucur de foarte multe proprieti interesante.

Acest tabel de numere are proprieti eminente i admirabile spunea Jaques Bernoulli, n el st esena combinatoricii, iar cei familiarizai cu geometria tiu c n el sunt ascunse secrete capitale din toat matematica.

Bibliografie:

Descoperirea n matematic Gheorghe Polya, Editura tiinific Bucureti 1971

Anexa 1

Anexa 2

Anexa 3

Powered by http://www.referat.ro/cel mai tare site cu referate

EMBED PBrush

EMBED PBrush

EMBED PBrush

EMBED PBrush

EMBED PBrush

EMBED PBrush

EMBED PBrush

EMBED PBrush