memorator geometrie pentru gimnaziu · 9.2 teorenrc importante, teorema inillirnii, teorenla...
TRANSCRIPT
GHEORGHE ADALBERT SCHNEIDER
MEMORATOR $I INDRUMARDE MATEMATICAGEOMETRIE
PENTRU GIMNAZIU
EDITUITA HYPERION
2.
t.GeometriePunctul, drea1.l Punctul
CUPRINSplanlpta, segmentul de dreaptS, sernidreapta
1.2 Dreapta1.3 Segmentul1.4 SemidreaplUnghiul2.1 Elemenlele gi nr6sura unui unghi2.2 Clasifi carea unghiurilor2.3 Congnrenla unghiurilor2.4 Unghiuri adiacente; bisectoarea unui unghi . , .
2.5 Unghiuri opuse la vArfl congruenta lor; unglriurifonrate in jurul unui punct; surna ntasurilor lor 12
3. Congruenla triunghiuriior 14
3.I Triunghi: definifie, clemente; clasiflcareatritrnghiurilor; perimetnrl triunghiului 14
3.2 Construcfia triunghiurilor 16
3.3 Conglucr-rla triunghiului oarecarc 11
Perpendicularitate I 9
4.1 Drepte perpendicr-rlare; oblicet distanta de la urr
punct la o dleaptb l 9
4.2 indltirnea in triunghi; concurenta inillinrilor l94.3 Criterii de congruen{i ale triunghiunlordreptunghice: IC, IU, CC, CU 2l4.4 Mediatoarea uuui seBlnettl; conslrucliame diatoarei unui segment; concLlrenla rnedia-
toarelor latr.rrilor unur tt'runghi; simetria fala de o
de dreapti.a ....
3
J
3
l5
8
I9
l0t0l0
4.
dreapta5. Paralelisrr
2223
235.1 Drepte paralelel construirea dreptelor paralele;
axioma paralelelor
85
5.2 Criterii dc paralelism (unghiuri tbrmare de douidrepte paralele cu o secante)
6. Proprietiliuletriunghiurilor "..... ....6.1 Sr.rnta misr.rrilor unghiurilor unuiunghi exterior unui triunghi; teorema
alc triunghiului isoscel . . .
ale tritLnghiului echilateralale triunghiului dreptunghic
24
2'7
27
2829
31
3233
33
34
3640424546
zto
46
4748
48495l51
t.iurgfri;unghiului
cxtcnor6.2 Medianarunui triunghi6.3 Proprietdti6.4 Propriet5ti6.5 Proprieta(iPatrulatcre
in triunghi; concurenta medianelor
7.I Patrulaterul convex, suma mdsurilor unghiurilorunui patrulater convex .
7.2 Paralelogram; proprietili7.3 Paralelograme pafiiculare; dreptunghi, ronrb gipAtrat;proprietati . ..7.4'I'rapez, clasificare; trapez isoscel, proprietlli . .
7.5 Arii; calcrrlul ariilor rrnor supralcte7.6 AplicaliiAsemdrrarea tri unghi r.rrilor8.1 llaporntl a doud segmentc, segmentepropor(ionalc8.2 'l-eorema paralclelor cchidistante. 'l'eorerna lui'I'ha les
8.3 Linia nrijlocie ?n rrir,rnghi. Proprieril.i. Centrulde grcutate al unui triunghi " . . . "
8.4 Linia mijlocie in trapcz; proprietdti8.5 TriLrnghiuri asemenea; teorerna fundamentall aascrniniri i
8.6 Aplicaliiltelafii rnetrice in rriunghiul drepnrnghic9. I Proieclii ortogonale pe o clreaptd
86
9.2 Teorenrc importante, teorema inillirnii, teorenlacatetei, teorema lui Pitagora 5l9.3 Nofiuni dc trigonometrie in triunghiuldreptunghic; sinusul, cosinusul, tangenta licotangenta unui unghi9.4 Rezolvarea triungh iului dreptungh ic9.5 Aplicalii
l0 CerculI0.1 Cercul; definitie, elenrente10.2 Unghi la centru; mhsura arcelor; arce
aongrllento10.3 Coarde gi arce in cerc . . ,
10.4 Unghi inscris in ccrc; triunghi inscris iu cerc .
1 0.5 Patrulater inscris in cerc; patrulater inscriptibil10.6 Poziliile rclative alc uncr drepte la16 ile r.rn
cerc; tangenta dintr-un punct exterior la un cerc;triunghi circumscris uuui cerc; patrulatercircumscris unui cerc10.7 Poligoane regulate; calcuh.rl elementelor intriungl-riul echilateral, pdtrat, hexagou regulat . . . .
10.8 AplicaliiGeonretrie in spa{iu
l. Relalii intre puncte, drepte Ei planel.l Puncte, drepte, plane; deternrinarea drcptei,determinarea planului 6l1.2 Unghiul a doud drepte irr spaliu, dropteperpendrculare
52
535455
5656
5't575859
58
59
606t61
1.3 Poziliile relative ale unei drepte la
66
66
68
) Proieclii ortogonale Pe un Plan2. I Proiectii de puncte, segmente qi de drepte pe un
plan; unghiul unei drepte cu un plan; lungimea
proiecliei unui segment pe un plan
2.2 Teorema celor trei perpendiculare
2,3 Unghi diedru; unghiul dintre doud plane; plane
perpendiculare3, Corpuri geometrice
3.I Prisuta regr.rlati
69'10
7073"15
78788081
82
3.2 Piramida regulatl3.3 Trunchiul de piramidd regulati3.4 Corpuri rotunde
3.4.1 Cilindrul circular drePt
3.4.2 Conul circular drePt
3.4.3 Tnrnchiul de con circular drept . . . . . .
3.4.4 Sfera
Tiparul executat laEDTTURA HYPERION
CRAIOVAStr. itnplratul Traian Nr. 30
88
GEOMETRIE PLANA1. Punctul, dreapta, segmentul de dreaptl'
scmidreaPtal.l Punctul
l. Punctul reprezintd o noliune fundamental6 a geometriei,
se noteazi cu litere mari de lipar: A,B, C, "' qi se reprezint[: ' '4
sau.Bsau.C,"'.Fiind date punctele,4 qi B, avenr una din situaliile:
- A = B - punctele sunt identice;
- A + B - punctele sunt diferite (distincte);
O mullime de puncte determin[ o figuri geometric6'
1.2 Dreapta
l. O dreapt6 se poate desena cu ajutorul unel rigle Ei este
nemirginiti. Ea se poate nota cu litere mici a,b'c,"' sau prin
citirea a doud puncte de pe ea AB'8C"".Exemple:
uh
ABMlV- Fiind dat[ dreapta a qi puncrul l, atunci avem una din
srruatiile:
- punctul I apar'|ine dreptei c Ei scriem a € .4;
Aa
- punctul I nu apa4ine dreptei a qi scrienr a E A.
ol
Trei puncte care se glsesc pe aceea$i dreaptl se nulllgsc
3
puncte coliniare
- Fiind date doua drepte a qi D, nothm a n b mullimea
punctelor cofftune dreptelor a Ei b.
- Daci afib = 0, atunci dreptele a qi b nu au nici un punct
comun qi se numesc drepte paralele qi se noteazi allb'
- Dac[ a.rb = i.4], atunci dreptele a 9i b au un punct comun 9i
se numesc drcPte concurente"
- Dacd a I' b are cet pulin doua puncte, atunci dreptele a Ei b
coincid $i scriem a = b.
2. Aplicafii
A
a) Desenali trei Btncte coliniare A, B' C gi un alt pu
M e {A,8, C}. Stabili ce drepte distincte trec prin aceste pttncte'
Itl c
Prin accste pllltcte trec dreptele distincte: AB,AM,BM,CM'
b) Se consideri punctele A, B, C, D astfel incdt dreptele AB
9i CD si fie paralele. Si se determine dreptele detetminate de
Solutie. A.
aceste puncte.Solu{ie. A
Bo C.
B
Dreptcle sunt: AB, CD,AC,BD'AD qi BC
Dc
1.3 Segmentul de dreapti
L Segmentul de dreapti reprezinlh portiunea dintr-odreaptl cuprinsi intre dou6 puncte A gi B ale dreptei, numite
I extrernilalile segrnentului.Segmentul se noteazd:
[AB) - caz in care contine toate punctele de pe dreaptd cuprinseintre I qi B, inclusiv I si B;(AB) - caz in care confine toate punctelc de pe drcapti cuprinseintre I gi B, fird si conf ina punctele /, $i B;
[AB) - caz in care conline toate punctele de pe dreaptd cuprinseintre I qi B, inclusiv punctul I , gi nu confine punctul B;(ABl - caz in care confine toate punctele dc pe dreaptl cuprinseintre I qi B, inclusiv punctul B ;i nu conline punctul l.
Exemple.
AB
ABABSegmentul [zll] se numeEte segnrentul nul.
2, Lungimea unui segment de dreapth [lB] reprezintadistan[a dintre punctele ,4 qi B, exprimati intr-o unitate de rrisurh,se noteazi lB qi se mdsoari cu rigla.
3. Unitatea principall pcntru nlIsurarea Iungimii este
metrul, care se va nota m.
Multiplii metrului sunt: dam : l0m. hnr= 100m, km:1000m.
Submultiplii nretrului sunt: dm, cm, mm qi avem ;
I m: 10 drn: 100 cm = 1000 mm.Segmentul de dreapt6 se poate construi cu ajutorul riglei.
4. Dou6 segnlente [, B] 9i [CD] sunt congruente, daciau lungimi egale qi notirn [.AB] = [CD).
Relafia de congruenla a segmentelor are unndtoareleproprietili qi este atunci relafic de cchivalcn{i:
B
a) este reflexivA: lABl = IABI;b) este simetricd: dacit[AB] = ICD], atunci [CD] = lABl;c) este tranzitivd: daca [,48] = [CD) $i [CD] = [EF],
anrnci [.48] = IEF].Mijlocul unui segment [AB] este purctul M, care imparle
segrnentul [lB] in doud segmente congruenre (lAMl: IMBI).5. Fiind datc scgmentele lABl li [CD], numim segmentul
sunri al celor doui segmente, segmentul [MN], care are lungimeaegald cu suma lurgimilor ceior doud segmente.
Excmplu. Fiind date segnrerrrele [,aB] qi ICD). AB = a siCD = b, atunci [/48] + ICDl: [MN], unde MN = a t b.
6. Fiincl date segmentele [, B] qi lCDl, AB ] CD, numimsegmcntul dileren(i al cclor doui segrnente, segmentul [MN],care are lungirnea egalh cu diferenla lungimilor celor douEsegnlente.
Bxemplu. Fiind date segmentele [,48] $i [CD], AB : aqiCD = b,a > b, arunci IAB)-ICDI= IMN),unde MN = a- b.
1. Fiind. date segmentele [AB] qi [CD], vom construiscgmentul sumtr al celor dou6 segmente astfel: pe dreapta suporta segmentului [lB] (de exemph.r), in preltmgirea lui [,AB]construim un segment [BE], astfel incdt BE = CD. Atuncisegnrentul sunr[ este segmentul [/E], deoarece AE : AB * BE ==AB+CD.
8. Fiind date segmenrele [lB] Si lCDl, AB > CD,construi segmontul diI'eren{i al celor doud segmente [AB)-[CD] astfet: pe dreapta suport a segmentului [z1B] se
segmentul [.4f], astlcl incilt AE = CD. Atunci segmentul difeleste segnrentul [EB], deoarece EB = AB - CD.
9. Aplica{iia) Desenali douh segmente de dreapt[ distincte Ei
aibh cel pLrlin doul pllncte conlune.
Solu{ie.ABC
Segmentele [lB] li [/C] au ca puncte comune toate punctelc
segmentului [,48] , deci cel pufin doul.
b) Desenafi doui drepte a qi b, care se intersecteazd ittpunctul A. Luali punctele distincte M,N e a qi P,Q e b, astlbl
inc6t .4 e{M,N} qi A4{P,Qi. Stabiliti toate segmentele dc
Segnrentele de dreapti determirlate de punctele M,N'P'Qsunt: [MN], tMP),IMQ), tNP], tNOl, [P0].
c) Fie A,B,C trei puncte coliniare. $tiind cA .48 = a $i
BC = b, sI se calculeze lC. Discu{ie.
Solrr(ie. Daci B e[AC), atunci .4C = AB + BC = a* b
Dacd A e [BCl, atunci AC = BC - BA = b - a
Dacd C€ [lB], atunci AC = AB - CB = a - b'
d) Fie.4, B,C trei puncte colinrare itr aceasti ordine. Fie Mmijlocul lui [AB],N mijlocul lui [BC] qiP rrrijlocul lui [r1C]. Sb se
demonstreze rela!iile:AC BC AB
l)MN=7; 2)MP=7; 3)NP= r.Solu{ie.
AB BC AB+BC ACMN=BMIBN= Z+T=
AC ABMP=AP-AM= 2-T=
AC BC AC_BC22
2AC_AB
2
DL
2
AB.,,
dreaptl determinate de punctele M , N , P , Q