trigoometria - · pdf filesecurantia generalitatea unei formule, tot va trebui a ... sinus,...

CURS

TRIGOOMETRIA

DE

SPIRU C. HARETU

BUCURESCITYPOGRAPHIA CURTII (LUCRATORII ASSOCIATI

11, PASAGIUL ROMAN 12

1873

DE

,

Tote essemplarele ' nese porte aceste doue semnaturi.

vor trebui

(/// ,A,71444e4

=um& amaeacei,

ffeirie'eaa

ontnufiti 'emefriu ?3ofe3CA SEMN DE

,u0PROFUNDA STIM:A SI RECUNOSCINTIA

C.2.Zwardet CamZe.oca,

PREFATIA

Opal pe care '1 suppun aprobarii publicului erade ua necessitate simtita in instructiune. Deca nu vaputé correspunde pe deplin acestei necessitati , celpulin va fi ua incercare care va servi cellor mai corn-petenti, aretandule imperfectiunile de cari vor tre-bui se se feresca in redactarea unui alt op de ace-iasi natura.

Divisiunea ce am adoptat este acea priirnita deautorii francesi cei mai acreditati. In cartea antaiu setratedia proprietatile generali alle liniilor trigono-metrice ; in a doua, trigonometria plana propriu-disa ;in atreia, trigonometria sferica ; in a patra, comple-mentul teoriei functiunilor circulare.

Am cautat pe cat s'a putut a simplified demon-stratiunile si am insistat pretutincleni assupra apli-catiunilor,, cari , fie dis in trecat, de multe ori suntconsiderat3 numai ea un accessoriu nefolositor alteoriei , in loc de a ft privite , curn trebue se fie, cascopul final la care tinde teoria,

IV PR EFATIA

Impartea din urma arn tratat nurnai questiunirecelle mai essentiali pentru completarea teorielordin prirnele trei carti , si cari puté fi studiate foracuno,scintia algebrei superiore, care dupe program-ma officiale nu se propune de cat in Facultate.

Asiu fi fericit deca personele competente in ma-teria ar bine-voi se'mi indice inp,erfectiunile ce vorgassj in acesta carte, spre a o puté face cat mai pro-pria de a satisface trebuintiele pe cari a fost desti-nata se le preintimpene.

Nota. Numerele insemnate cu un asteric de pe marginea pagiuei insern-nedia paragraful la care trebue se se refpre lectorul.

CURS DE TRIGONOMETRIA

CARTEA I

ST WM UL F UN C TIUNIL R CIRCULARI E

CAP1TULLTI, 1.

Notiuni preliminarii si definitiuni.

1. Trigonometria, in sensul cel mai general al cuventului , are de scop ca , danduse un numer sufficientde elemente cunoscute alle unei figuri geometrice, sedee mediu-loce de a se gassi prin calcul elementele ne-cunoscute alle ei. Acesta operatiune se numesce re-solutiunea acellei figuri.

Figurile geometrice assupra carora se aplica mai cusem a Trigonometria sunt poligonele, fia rectilinii , fiasferice. Inse ori-ce poligon pote se se clescompuna inun numer ore-care de triunghiuri prin linii dusse dinun punct ore-care la tote verfurile lui; resolvencl a-ceste triunghiuri, poligonul ensusi va fi resolvat. Prinurmare objectul trigonometriei, se reduce la resoluti-unea triunghiurilor rectilinii seu sferice. De aci 'i vine

8 CURS DE TR1GONOMETRIA

si numele, precum si divisiunea sea naturale in Trigo-nometria plana seu rectilinia si Trigonometria sferica.

Fia triunghiul re ctiliniu ABC. Elementele ori-caruitri-unghiu sunt in numer de siese : trei tinghiuri, A, B, C,si trei laturi, a, b, c. (1)

A Se scie din Geometria ca. un triunghiunu se pote construi de cat cel pucin cutrei elemente date. Prin urmare pen-tru a resolve un trinnghiu, este necessar

c se se dee cel pucin trei elemente cuno-scute alle lui.

Observare. Suma unghiurilor dintr'un triunghiu rec-tiliniu este 1800. Deca der ni s'ar da celle trei unghiurialle unui triunghiu, cu aceste elemente nu am puté re-solve triunghiul , caci in realitate nu ni s'au dat de catdoue elemente , imul din unghiuri fiind de sine cuno-scut deca se cunosc cele-alte duoe, prin relatia

A + B + C = 180°, de unde C = 180° (A + B).Prin urmare pentru cd, un triunghiu rectiliniu se fie

definit, trebue ca printre cele trei elemente date ale luise fie si cel pucin ua lature.

2. Pentru a resolve un triunghiu, este neceSsar maiantaiu a gassi relatiunile ce essiste intre differitele seleelemente ; ast-fel ch deca unele din aceste elemente arfi necunoscute, se le putem afla prin nisce simple reso-lutii de equatiuni. Inse elementele unui triunghiu findparte laturi, parte unghiuri, quantitati neomogene unelecu altele, relatiunile ce am puté gassi intre densele nu

(I) In trigonometria laturile unui triunghiu se insemneclia tot-cl'a-una euliterile mid alle unghiurilor la cari se opun.

6

B s

NOTIUNI PRELININARIE SI DEFINITIUNI 9

pot fi destul de simple si lesniciose pentre a face cu u-surintia ua resolutiune de triunghiuri. Din acesta eausain trigonometria unghiurile se inlocubsc prin nisce liniidrepte, numite functiuni circularie directe seu linii trigo-nometrice , si se cauta relatiuni nu intre laturile si un-

trzunghiului , ci intre laturile si lzniile trigono-metrice ale unghiurilor lui.

PRINCIPIOL LIII DESCARTES.

3. Mai inainte de a intra in studiul liniilor trigono-metrice vom admite principiul urmator, detorat lui Des-cartes , care simplifica forte mult formulele trigonome-triei si inlesnesce generalisarea bor.

Fie XY ua drepta indefinita si 0 un punt fix pe den-- 41--->-X

sa. Luhm puntul AX 0 A pe acesta drepta si

insemnhm distantia OA cu a. Se admite ca acesta dis-tantia se se considere ca posztiva sz se se insemnedie cudeca se socotesce de la origine in un sens ore-care, s. es.la drepta in sensul sagetii ; si negativa, cu semnul,decase considera in sensul opus. Pentru ca positia puntu-lui A pe drepta XY se fia determinata, trebue a se cu-nosce trei date : 10 positia pe acesta drepta a puntuluifix 0, care 86 illimesce originea si de la care se mesuradistantiele 20 marimea a a distantiei punctului A de laacesta origine, si 30 sensul in care acesta distantia estesocotita de la origine. In adever, deca cunoscem po-sitia originei, pentru a gasi positia puntului A , la dis-tantia + a de la origina , n'avem de cat pe drepta XYin sensul sagetii se luhm ua distantia OA = a , si A va

ghiurile

Y

;

10 CURS DE TRIGONOMETRIA

fi positia puntului cautat. Deca ni s'ar cere a gassi po-sitia unui punt A' situat la distantia a de la origine,am lua distantia Ok = a in sens contrar sagetii, si pun-tul cautat ar fi A'.

D6 aci urmedia principiul : Deca consideram pe uali-nia ore-care, drepta seu curba, diferite distantie mesuratedela uaorigine comuna, fixa pe acesta linie, si deca voima le introduce in calcul, vom affecta cu semnul valorilenumerice ale distantielor cari stint indreptate in un sens ,

si cu pe acele cari vor fi indreptate in sensul contrar.Cu tote acestea nu vomperde din vedere eh acest prin-

cipiu este numai conventional, si cà pentru a admite cusecurantia generalitatea unei formule , tot va trebui ademonstra cu rigurositate ch ea essiste in differite hy-potese.

ARCUR1LE DE CERC.

4. Se scie ca, un unghiu se Taesura cu arcul descrisintro laturile sele , cu centrul in verful unghiului si cuua radia arbitraria. Ast-fel mesura unghiului ABC vafi arcul AC.

UA

In trigonometria in general un-ghiurile se inlocuesc cu arcurile decerc. Aceste arcuri se mesura peua circumferentia a carei radia se

a considera tot- de-una egale cu uni-tatea (R --- 1) ; prin urmare, lungimea unei circumferentiecu radia R fiind 2 7; R, in trigonometria ea va fi tot deima egala cu 2 ; o semicirconferentia va fi ic , si tirt

quart de circumferentia

+

NOTIUNI PRELIMINARIE SI DEFINITIUNI

Ducund in circumferintia doue dia--- metre perpendiculare AC si BD, ace-

.) sta circumferintia va fi impartita inA patru parti egale , numite cadrane ,

F care porta fie-care numele de antaiul,al douilea, al treilea, al patrulea cadran.

Fie-care cadran al circumferentiei se imparte in ate90 parti egale numite grade ; fie-care grad se impartein 60 minute, fie-care minuta in 60 secunde. Prin urmareua circumferintia intrega are 360 grade , seu 21600minute, seu 1296000 secunde. Aceste diferite sub-im-partiri ale circumferentiei sei nsemnedia respectiv cu0 , n .

7 7 7ast-fel un arc de 15 grade 39 minute 51 secun-

de si 0,4 din o secunda, se insemnedia 15039'51,4.De cat-va timp a inceput se se usiteze o impartire

centesimale a circumferintiei, in locul divisiunei sexage-simale, espusa mai sus. Dupe acesta noua divisiune, unucadran se imparte in 100 grade, un grad in 100 minute,ua minuta in 100 secunde; asia ch circunferintia intregacuprinde 400 grade, seu 40,000 minute, seu 4,000,000secunde.

Origina de la care vom socoti arcurile pe circunfe-rentia va fi in general puntul A , la inceputul primuluicadran. Sensul in care vom considera arcele ca positiveva fi cel aretat de sageta , de la primul catre al doileacadran. Arcele socotite in sensul contrar vor fi priviteca negative. Ast-fel arcul AE va fi positiv, era AF ne-gativ.

ARCURI COMPLEMENTARE SI SUPLEMENTARE

5. Se numesc arcuri cornplementare doue arcuri a


caror suma este egale cu un cadran seu, ast-fel sunt

arcurile AE si EB , cfici AE EBSe numese arcuri suplementare doue arcuri a caror

suma este egala cu doue cadrane *mu ast-fel suntarcurile AE si EC, caci AE EC= n.

TRIGONOMET RICE

6. Liniile trigonometrice sunt in numer de siese : treipentru arcele simple : sinus, tangenta si secanta, si treipentru arcele complimentare: cosinus, cotangenta si co-secanta.

Liniile trigonometrice nu se considera nici ua datain valore absoluta, ci sunt date tot-d'd-una prin rapor-tul lor catre radia asia cand se dice a tangenta unuiarc este 3 , 7 , acesta insemnedia ch raportul Iungimeiabsolute a acelei tangente catre rAdia este 3,7.

SINUS

7. Se mimesce sinus al unui arc perpendiculara las-sata din ua estremitate a arcului pe diametrul care tre-ce prin cea alta estremitate. Ast-fel sinusul arcului AEeste EI -pi se insemnedia : El = sin AE.

13 Ducund EK paralel cu AC avem :EI =KO, ca paralele coprinse intre pa-

1 c A ralele ; prin urmare lantern dice ch si KOeste sinusul arcului AE.

Sinusurile se socotesc pe diametrulvertical BD de la originea O. In tot cursusul acesteiscrieri vom considera ca posiiive sinusurile socotite pe

LINIILE

11111%

G

*3

=

s ;

C

NOTIUNI PRELIMNARIE SI DEVINITIUNI 13

radia OB, si ca negative pe cele considerate pe OD.Ast-fel vom pune :

sin AE = EI,cci EI este egal cu KO, care se afla pe partea OB adiametrului BD ; si

sin ABG= GM,

c/aci GM este egal cu OP , considerat pe partea OD adiametrului vertical BD.

8. Cand arcul merge crescund de la A pene la B, a-

deca de la 0 pene la j, valorea sinusului remand tot-

d'a-una positiva si merge si ea crescund de la 0 in sus.

Cand arcul este AB seu j, valorea sinusului este BO ,

adeca radia ensusi; deci

sin 2 = BO = 1.

Arcul trecund in al duoilea cadran si merguncl de laB pene la 0, valorea sinusului este tot positiva, ense

-jos.merge descrescund de la 1 inArcul ABC = t are drept sinus pe 0, asia eh

sin n = 0.Cand arcul intra in cadranul al treilea, sinusnl de-

vine negativ, dupe conventiunea de mai sus; inse va-lorea arcului crescund dela ABC penea ABCD, adeca

37:de la n pene la , valórea absoluta a sinusului cresce

si ea de la 0 pene la 1 asia eh

1 .

In cadranul al patrulea sinusul remane tot negativ,,

sin ic OD =

+

=

14 CURS DE TRIGONONTETRIA

inse descresce in valore absoluta de la 1 pene la 0,adeca :

sin 2, =0 .

Prin urmare in resumat :In primul cadran sinusul este positiv si variadia de

la 0 pene la + 1.In al douilea cadran sinusul estepositiv si variadia de

la + 1 pene la 0.In al treilea cadran sinusul este negativ si variadia

de la 0 pene la 1.

In al patrulea cadran sinusul este negativ si, variadiade la 1 pene la 0.

De aci vedem ch tote valorile sinusului sunt coprinseintre limitele 1 si + 1. Ori ce valore a sinusului maimare de cat -I- 1 seu mai mica de cat-1 nu mai esteua valore reale, ci o valore absurda. La o assemenea va-lore de sinus nu correspund.e nici un arc real,

9. Deca ne am imagina ch arcul , dupe ce a percurscircumferintia intrega, ar trece de puntul A si ar per-curge din nou circunferintia in acelasiu sens si de maimulte ori , am vedé ch sinusul in aceleasi cadrane ianeincetat aceleasi valori cu aceleasi semne in un modperiodic : dupe fie-care trecere de ua circumferintia in-trega valorile si semnele sinusului se repeta Prin ur-mare sinusul este ua functiune 6rculariaperiodica, si pe-rioda sea este ua circumferentia sdu 2 n

Putem esprime acest principin prin formula urma-tore :

sin (2 k x) =sin x,in care k insemnedia un numer intreg ore-care, positivseu negativ.

+

NOTII.INI PRELIMINARIE SI DEFINITIUNI n

TANGENT&

10. Se numesce tangenta unui arc, portiunea tangen-tei geometrice dusa la una din estremitatile arcului , cu-prinsa intre acesta estremztate si diametrul ce trece princea alta estremitate.

Ast-fel tangenta arcului AE este AF si se insemnedia :AF . tg AE.

Tangentele trigonometrice se soco-tesc pe tangenta geometrica FK, si pun-

A tul A este considerat ch originea lor*. Seconsidera ca positive tangentele socotitede la originea A pe partea AF a tangen-tei geometrice , si ca negative cele con-

siderate pe partea AK. Ast-fel vom pune :tg AE = + AF si tg AI = AK.

11. Cand arcul merge crescund de la A pene le Badeca de la 0 pene la i , valorea tangentei remand totd'a-una positiva si merge si ea crescund de la 0 in sus.

Cand arcul este AB seui, diametrul ce trece prin .es-

tremitatea B a arcului, fiind paralel cu tangenta AF, ointalnesce la infinit ; prin urmare

IC

t g ,..5: = cc

Cand arcul AG intra in cadranul al duoilea , diame-trul ce trece prin estremitatea G a lui intalnesce liniatangentelor in partea sea inferiore AK; prin urmare inacest cadran tangenta este negativa. Arcul crescund dede la B spre C, tangenta descresce in valore absoluta ,

si cand arcul devine ABC, seu . , ea devine 0 ; decitg n = 0.

it3riAPPAIPsN

16 CURS DR TRIGONOMETRIA

Arcul ABH fiind in cadranul al treilea, tangenta AFse afla pe partea positiva a liniei tangentelor, si cresce

pe eat cresce si arcul si cand acesta are valorea 121- tan-

genta este erasi infinita; adeca :

tg 7= coIndata ce arcul intra in cadranul al patrulea, tan-

genta trece de ua data de la valorile positive la celenegative; si cu eat cresce arcul , cu eat ea descrescein valore absoluta, asia ch, arcul ajungund a fi 2 7c, avem

tg 2 -= O.

In resumat :In cadranul antaiu, tangenta estepositiva si variadia

de la 0 pene la + co .

cadranul al duozlea, tangenta este negativa. si va-riadia de la co pene la 0.

In cadranul al treilea, tangenta este positiva , si va-riadia de la 0 pene la

In cadranulal patrulea, tangenta este negativa siriadia de 1 co pene la 0.

Vedem der eh tangenta pote se ia tote valorile posi-bile de la oo pene la + co , si prin urmare la ori-ce va-lore reale a tangentei correspunde o valore reale pen-tru arc.

12. Deca ne am imaging ch arcul, dupe ce a per curscircumferentia intrega, ar trece de punctul A si ar per-curge din nou circunferentia in acelasiu sens si de maimulte ori am ved6 ch tangenta din done in done ca-drane ia neincetat aceleasi valori cu aceleasi semne inun mod periodic. Prin urmare tangenta este ua functiune

3is

7c

co ,

In

NOTIUNI PRELIMINARIE SI DEFINITIUNI 17

circularia periodica si perioda sea este ua semi circum-ferentia seu

Putem esprime acest principiu prin formula urmatore :tg (k .1C)= tg x,

in care k representa un numer intreg ore-care, positivseu negativ.

SECANTA

.13. Se numesce secanta a unui arc distantia de la cen-trul acelui arc pene la estremitatea tangentei sele trigo-nometrice. Ast-fel tangenta arcului AE este AF, era se-canta lui este OF, si se notedia: OF = sec AE,

Originea secantelor este centrulIt Elle Bunt positive deca intalnese linia

tangentelor, trecund chiar prin estremi-tatea arcului ; ast-fel secanta OF a ar-cului AE este positiva , câci trece prinestremitatea E a acestui arc. Din contra,secanta este negativa deca, pentru a in-

talni linia tAngentelor,, trebue prelungita in partea op-pusa estremitatii arcului ; ast-fel secanta,M a arculuiAG este negativa, cAci nu trece ea insasi prin estremi-latea G a arcului, ci numai prelungirea sea.

14. Cand arcul este 0, secanta este OA seu 1 ; adecasec 0 + 1.

Arcul crescund. in cadranul antaiupene la B, secanta3resce si ea, remanendneincetat positiva, si cand arculaevinei seu AB , estremitatea tangentei fiind la infi-

nit, dupe cum scim*,'avern :

sec y= co

*11

IC

+

O.

+

'

=

2

18 EERS DE TRIGONOMETRIA

Cand arcul intra in cadranul al duoilea, secanta tre-ce de ua data de la valorile positive la cele negative ,si cu cat cresce arcul , cu atat ea descresce in valoreabsoluta Cand arcul devine ABC seu n, secanta este OA.seu 1, adeca :

sec . = 1.

In cadranul al treilea, Secanta este tot negativa, insemerge crescund in valore absoluta, cu cat cresce si ar-cul ; asia eh, cand arcul este de trei cadrane , secantaeste erasi infinita ; seu

3nsec = co .

In cadranul al patrulea secanta trece de ua data lavalorile positive si descresce de la + oo pene cand ar-Cul ajungund a fi 2 n, avem :

sec 27c ---= -1- 1.

In resumat,in primul cadran secanta este positiva si variadia de

la + 1 pene la + co .

In al douilea cadran secanta este negativa si variadiade la co pene la 1.

In al trezlea cadran secanta este negativa si variadiade la 1 pena la Go .

In al patrulea cadran secanta este positiva si variadiade la + co pene la + 1.

Vedem der ch secanta pote se aiba tote valorile pos-sibile de la oo pene la + oo , afora de cele coprinseintre 1 si + 1. Ori-ce valore a secantei coprinsa intre

1 si + 1 numai este ua valore reale, ci ua valore ab-surda, si nici un arc reale nu correspunde la ua asseme-nea valore a secantei. -

15. Presupunend ch arcul ar percurge circumferentia


de mai multe ori si in acelasiu Bens, am vedé indata cisecanta reia neincetat acelleasi valori cu aceleasi semnein un mod periodic dupe fie-care interval de ua circum-ferentia intrega. Prin urmare secanta este ua functiunecircularia periodica, si perioda sea este ua circumferentiaintrega seu

Putem esprime acest principiu prin formula :sec (2 k + x)= sec x,

in care k represinta un numer intreg ore-care, positivseu negativ.

COSINIIS

16. Se .numesce cosinus al unui arc stnnsul arculuiseu complementar. Fie s. e. arcul AE ; ar-cul complementar al acestuia este EB ,

si dupe definitiunea sinusului avemEK = sin EB

prin urmareEK qos AE

Observhm a EK--=I0; prin urmare putem inca de-fini cosinusul ch este distantia de la centru pene la pi-ciorul sinusului.

Cosinusurile se socotesp pe diametrul orizontal ACde la originea 0%. Sunt positiv'e-cosinusurile socotite pepartea din drepta OA a diametrului , si negative cellesocotite pe partea OC. Avem ast-fel :

cos AE OI, si cos AF = OL.17. Deca drcul este 0.1 cosinusul find distantia de la

centru la estremitdtea smusului, avem :cos 0 =AO, seu cos 0 + 1

27c.

*3

B

:

=


Arcul crescund in primul cadran, cosinusul remaneneincetat positiv, inse descresce ; asia incat, cand ar-cul este AB sen ;, sinusul BO cadiend chiar in centru,avem :

7:cos == v.

In cadranul al doilea , cosinusul este negativ, si cucat cresce arcul , cresce si el in valore absoluta; candarcul este ABC seu avem :

cos = OC, seu cos.= 1.In cadranul al treilea cosinusul este tot negativ ; inse

cu cat cresce arcul, el descresce in valore absoluta, asia37r.

eh, cand arcul este ABCD seuT , avem :

37:COS-2- = V.

Ill cadranul al patrulea cosinusul este positiv ; si cu.cat cresce arcul, cresce si el; cand arcul este 2 n, avem:

cos 2 n + 1.In resumat :In cadranul antaiu cosinusul este positiv si variadia

de la + 1 pene la 0.In cadranul al doilea cosinusul este negativ si vari-

adia de la 0 pene la 1.In cadranul al treilea cosinusul este negativ si vari-

adia de la 1 pene la 0.In cadranul al patrulea cosinusul este positiv si vari-

adia de la 0 pene la + 1.Tote valorile cosinusului sunt coprinse, ca si alle si-

nusului, intre 1 si 1. Ori-ce valore a cosinusuluimai mare de cat + 1 seu mai mica de cat 1 nu mai

0.0


este ua valore reale, si nici un arc reale nucorrespundela ua assemenea valore de cosinus.

18. Deca arcul, trecuncl de puntul A , ar percurgecircumferentia de mai multe ori si in acellasiu sens ,

am vedé ch cosinusul, dupe fie-care trecere de ua cir-cumferentia intrega , reia acelleasi valori cu acelleasisemne in un mod periodic. Ptin urmare cosinusuleste uafunctiune circularia periodica si perioda sea este 2 z

Acest principiu se esprerne prin formula :cos (2 k n + x) = cos x,

k fiind un numer intreg ore-care , positiv seu negativ.

COTANGENTA

19. Cotangenta unui arc este tangenta arcului seucomplementar. Ast-fel complementul arcului dat AEeste EB, a carui tangenta este BI, considerand puntulB ca origine ; prin urmare :

BI= tg BE, seu BI =-- cot AE.1 r Cotangentele se socotesc pe tan-

g genta KI, dusa la inceputul cellui4 de al doilea cadran. Originea este'

punctul B. Cotangentele socotiteD la drepta de acest punct pe partea

BI sunt positive, era celle socotite la stanga pe parteaBK sunt negative. Asia: cot AE.+BI, si cot AF= BK.

20. Arcul dat find 0, avem :cot 0 ---- + 00 , 66. cot 0 = tg 90° = + 00 .

Arcul crescund in primul cadran, cotangenta remanepositiva si descresce neincetat pene la 0, adeca :

cot7= 0.

2 2 CURS DE TRIGONOMETRIA

In cadrannl al doilea cotangenta este negativa , sicresce in valore absoluta de la 0 pene la CO ; acestavalore o ard cand arcul esth ABC seu adeca :

cot 7Z 00

Arcul ABG trecund in cadranul al treilea, cotangentatrece de ua data de la valorile negative la celle posi-tive ; inse cu cat cresce drcul , ea descresce ; asia eh,

cand arcul este ABCD seu3i , a vem37

COL2 u.

In cadranul al patrulea cotangenta este erasi nega-tiva , si cresce in valore absoluta de la 0 in sus , penecand arcul fiind 2 ., avem

cot 2 7: = 00

In resumat :In cadranul antaiu, cotangenta este positiva si varia-

dia de la + 00 pene la 0.In cadranul al doilea, cotangenta este negativa siva-

. riadia de la 0 pene la co .

In cadranul al treilea, cotangenta este positiva si va-riadia de la + co pene la 0.

In cadranul al patrulea, cotangenta este negativa sivariadia de la 0 pene la CO

Prin urmare cotangenta, ca, si tangenta, este suscep-tibile de a priimi tote valorile possibile de la cc penela + Go , si la ori-ce valore reale a cotangentei core-spunde un arc reale.

21. Deca arcul ar percurge de mai multe ori circum-ferentia in acellasiu sens, am vedé chvalorile cotangen-tei revin cu acelleasi semne din done in doue cadrane in un mod periodic ; asia dera cotangenta este ua

=

.

.

.

NOTIUNI PISELIMINARIE SI DEFINITIUNI 23

functiune circularia periodica cu perioda ; principiu cese pote esprime prin formula :

cot =-- Cot x,

unde k este erasi un numer intreg ore-care, positiv seunegativ.

COSECANTA

22. Cosecanta unui arc se numesce secanta arculuiseu complementar. Asia, secanta arcului BE , comple-mentar arcului dat AE, este OI; acesta este dera co-secanta arcului AE, si se notedia :

cosec AE.

Dupe figura vedem eh cosecanta sepote inca defini : dzstantia de la cen-tru pene la estremitatea cotangentei.

Originea cosecantelor este cen-trul O. Cosecanta este positiva deca

cotange.ntelor trecund. chiar prin estre-dat ; si este negativa, deca pentru a in-

It"intalnesce liniamitatea arculuitalni acesta linia a cotangentelor,, trebue prelungita inpartea opusa estremitatii arcului. Asia avem :

cosec AE OI, si cosec ABG .0I.23. Cand arcul este 0, estremitatea cotangentei fiind

la infinie, avem : . *20

cosec 0 -1- co .

Inse cu cat arcul cresce in primul cadran, cosecan-ta descresce, remanand neincetat positiva; si cand ar-

cul este AB sett avem :

cosec-2 OB seu coseci + 1.

tic

OI

'

+

n

= +

=

24 CURS DE TRISONOMETRIA

In cadranul al doilea cosecanta este tot positiva 64sicresce neincetat pene cand arcul ajunge a fi ABC seu ;

atunci avem :cosec + co .

In cadranul al treilea, cosecanta trece de o data lavalorile negative, si descresce in valore absoluta de la

oo pene la 1, cu eat arcul cresce de la pene la37

d!venda

3=cosecT=-- 1In fine, in cadranul al patrulea, cosecanta find tot

negativa , cresce in valore absoluta de la 11-- 1 penela oo , avend acesta din urma valore cand arcul este2, adeca :

cosec 2 n = co .

In resumat :Iu primul cadran, cosecanta este positiva si variadia

de la + 00 pene la + 1.In al doilea cadran, cosecanta este poszttva si varia-

dia de la + 1 pena la + oo .

In al treilea cadran, cosecanta este negativa si varia-dia de la Go pene la 1.

In al patrulea cadran, cosecanta este negativa si va-riadia de la 1 pene la oo .

Prin urmare cosecanta, ca si secanta, priimesce totevalorile possibile de la oo pene la -I- op , afara de cellecoprinse intre 1 si + 1. Ori-ce valore a cosecantei co-prinsa intre 1 si + 1 nu mai este ua valore reale si

nici nu are reale nu correspunde la ia assemenea va-lore a cosecantei.

24. Presupunend ch. arcul fitrcurge de mai multe ori

7c

=

.

,


arcumferentia in acellasiu sens , vedem eh cosecantareia neincetat acelleasi valori cu acelleasi semne in unmod periodic la fie-care interval de ua circumferentiaintrega. Prin urmare cosecanta este ua functiune circu-laria periodica, si perioda sea este ua circumferentia in-trega seu 2

/Vest principiu se esprime prin formula :cosec (2 k -i- cosecx,

k fii4 un numer intreg ore-care , positiv seu negativ.

LINIILE TRIGONOMETRICE ALLE ARCELOR EGALE Si DESEMNE CONTRARIE

25. Teorema. Arcele egale si de semné contrarie aulinii trigonometrice egale si de semne contrarie; afora decosinus si secanta, cari sunt si de acellasiu semn.

1r Fie arcele AE si AF, eg-ale si deH contrarie*. Avem :

sin AE=EG,cos AE= OG,tg AE = AH,sec AE = OH,

sin AF =FG,cos AF OG,tg AF

sec AF= 01,cot AE = BK, cot AF = BL,

cosec AM. OK, cosec AF = OL.Triangurile OEG si OGF sunt egale, caci OE = OF

ca radio; anghiurile EOG si GOF sunt egale, caciAE= AF, si anghiurile EGO si OGF sunt egale, cadrepte; prin urmare :

EG = GF, seu sin AE= sin AF.Considerand inse sensul acestordoue sinusuri*, avem : *7

sin AE = sin AF.

x)

=AI,

--semne


In acelleasi triunghiuri OG fiind comun, avem :OG- = 0G-, seu cos AE = cos AF.

*16 Semnele sunt acelleasi la ambele cosinusuri*.Triunghiurile OHA si OAI sunt egale, chci OA este

comun la amendoue, anghiurile HOA si AOI Bunt e-gale din date, si HAO = OAI ca drepte; prin urmare :

AH = AI, seu tg AE tg AF.*10 Considerand inse sensulacestor done tangente*, avem

tg AE tg AF.Din acelleasi triunghiuri avem :

OH= OI, seu sec AE= sec AF.*13 Semnele ambelor secante sunt acelleasi*.

Triunghiurile dreptunghie OBK si OBL sunt egale,cci OB este comun, siBOK=BOL, din causa c3 BOK =900 KOA, si BOL = 90° LOC= 90° 10A. Dinegalitatea acestor triunghiuri resulta :

BK =BL, seu cot AE= cot AF.Considerand inse semnele, avem :

cot AE= cot AF.Din egalitatea acelorasi triunghiuri dcducem :

OK = OL, seu cosee AE = cosec AF,***22on

cosec AE= cosec AF.

Asia dera, pe basea acestei teoreme, putcfm pune re-latiunile :

sin x = sin ( x),cos x = cos ( x),tg x = tg ( x),

cot x cot ( x),sec x -=isec ( x),

cosecx -r-cosec (x).

=:

*19

,= ,L


LINIILE TRTGONOMETRICE ALLE ARCELOR SUPPLEMEN-TARIE

26. Teorema. Doue arce supplementarie an linii tri-gonometrice egale si de semne contrarze, afora de sinussi cosecanta, cari sunt si de acelleasi semne.

Fie arcele AE si EFC ast-felAE EFC =Ducund EF paralel cu AC, a-

vem :

EFC = EF FC, AEF = AE si FC AE ;deci :

EFC = AEF.Asia dera in locul arcelor date AE si EFC , putem

considera arcele AE si AEF.Dupe figura avem :

sin AE=---- EG, sin AEF = FH,cos AE OG, cos AEF = OH,tg AE AI, tg AEF = AK,

sec AE OL sec AEF = OK,cot AE =--- BL, cot AEF = BM,

cosec AE OL ; cosec AEF = OM.Triunghiurile dreptunghie OEG si OFH sunt egale

caci OE = OF, ca radie, si unghiurile EOG si FOH suntegale din causa eh EA = FC ; prin urmare :

EG FH, seu sin AE= sin AEFsi semnele ambelor sinusuri sunt acelleasi.

Din acelleasi triunghiuri avem :OGr= OH, seu cos AE = cos AEF,

+ EF,

=---

oh

. 28 CURS DE TRIGONOMETRIA

si considerand sensul ambelor cosinusuri,cos AE= cos AEF.

Triunghiurile dreptunghie OAI si OAK sunt egale,eaci OA este comun si unghiurile IOA si AOK suntegale pentru eh AE = AN; asia dera :

AI= AK, seu tg AE= tg AEF,si considerand sensul ambelor tangente,

tg AE. tg AEF.Din egdlitatea acellorasi triunghiuri resulta :

OI= OK, seu sec AE= sec AEF,si din consideratia sensului ambelor secante,

sec AE= sec AEF.Triunghiurile OBL si OBM sunt egale, caci OB este

comun , si unghiurile BOL si BOM sunt egale, pentruch BOL= 900 EOA, si BOM = 900 FOC, eraFOC ; prin urmaro :

BL =BM, seu cot AE= cot AEF,si considerand sensul,

cot AE= cot AEF.Din egalitatea acelorasi triunghiuri,

OL = OM, seu cosec AE= cosec AEF.Semnele sunt acelleasi la ambele cosecante. *22

Pe basea acestei teoreme putem dera pune relatiunile :sin x= sin x), cot x = cot x) ,

cos x cos (7, x), sec x sec (i x) ,tg x = tg x), cosecx = cosec (7, x).

LINIILE TRIGONOMETRICE ILLE ARCELOR CART DIFERAINTRE .ELLE CU UA SEMICIRCUMFERENTIA

27. Teorema. Arcele care diffAzntre densele cu ua

ECU=

er ( (7:

,

PRELlISINARIE SI DEFINITIUNI 29

semicircumfermtia au linii trigonometrice egale si desemne contrarie, afora de tangenta si cotangenta, cari ausi acelasiu semn.

Fie arcele AE si ABCF ast-fel eh ABCF AE =ECF= Avem :

sin AE =EG,scos AE = OG,tg AE = AI,

sec AE = OI,cot AE =BK,

cosec AE= OK ;sin ABCF FH, sec ABCF =cos ABCF = OH, cot ABCF =BK,tg ABCF = AI, cosec ABCF= OK.

Triunghinrile dreptunghie OEG si OHF sunt egale,caci OE = OF ca radie, si unghiurile EOG si HOF suntegale ca opuse la verf ; prin urmare :

EG =FH, seu sin AE = sin ABCF,si luand. in consideratiune semnele,

sin AE= sin ABCF.-Din egalitatea acellorasi triunghiuri avem :

OG = OH, seu cos AE = cos ABCF,si din causa sensului ambelor cosinusuri,

cos AE = cos ABCF.Tangenta arcului AE este AI, si a arcului ABCF tot

AI; prin urmare :tg AE= tg ABCF.

Cotangenta arcului AE, precum si a arcului ABCF ,

este BK; asia-deracot AE = cot ABCF.

NOTIUNI

OI,


Secanta arcului AE este OI, care trece prin estremi-tatea E a arcului ; secanta arcului ABCF este tot 01,

*13inse nu trece prin estremitatea F a lui; prin urmare%sec AE = sec ABCF.

Assemenea OK este coecanta si a lui AE si a luiABCF ; inse fiiud-ch trece prin estremitatea primului

,22arc, era prin a cellui de al doilea nu, avem* :cosec AE= cosec ABCF.

Putem dera, pe basea acestei teoreme, se stabilim re-latiunile urmatore :

sin x = sin e: + x), cot x= cot ( : x),cos x= cos (7:+x), sec x= sec (: + x),tg x =tg (+ x), cosec x= cosec (7: + x),

REDUCEREA. ARCELOR LA PRIMUL CADRAN

28. Se intempla de multe ori se se cera liniiie trigo-nometrice alle unui arc mai mare de cat un cadran ,

une-ori chiar coprindiend. mai multe circumferentie. Cuajutorul teoremelor precedente putem inse tot-de-unagasi un arc mai mic d.e cat un cadran, alle carui liniitrigonometrice se aiba aceasi valore absoluta ca si

trigonometrice alle arcului dat.Fie, spre essemplu , a se gassi liniile trigonometrice

alle arcului de 1953°. Impartind acest arc cu 3600, gas-.sim eh :

19531=-5 X360° -I- 153°,419,t2, prin urmare*15918, nniu21,24 sin ---= sin 1530,

cos 19530 = cos 1530 ,

seu 1953° =5 X27: + 153° ;

cot 1953° = cot 153°,sec 1953° = sec 1530,

+

li-niile

NOTIUNI PIIELIMINAIIIE SI DEF1N1T1UN1 31

tg 1953° tg 153°, cosec 1953° cosec 153%

si fiind-ch 153°. 180° 27°, avem* :

sin-1963° = sin 153° = sin 27°,cos 1953°. cos 153' = cos 27°,tg 19530= tg 153° = tg 27°,

cot 1953° = cot 153' cot27",sec 1953° = sec 153° sec27°,

cosec 1953° = cosec 153°= cosec27°.Fie inca arcul de 2375'; avem :

23756= 6 X360°+ 216=6X2 n+215°,si 2150= 1800+ 360;

prin urmare*,sin 23750= sin 2150= sin 350 ,

cos2375°-= cos215°= cos35°,tg tg 215° = tg35°,

cot 2375°= cot 215° = cot 35°,sec 2375°= sec 2150= sec 35°,

cosec 2375°. cosec 215° = cosec 35°.Fie in fine arcul de 1388° ; avem :

1388°=--- 4 X360° 52°-= 4 X 52°,asia-dera*

sin 13880 = sin ( 52°) sin 52°,cos 138S° = cos (-52°) = cos 52°,tg 138S°. tg (-52°) = tg 52°,

cot 13880 = cot (-52°)=-- cot 52°,sec 1388° = sec (-52°)-= sec 52°,

cosec 1388° = cosec (-52°) = cosec 52°,

*26

427

*25

=

2375',


ARCELE CARI CORRESPIIND LI IJA LINIATRIGONOMETRICA. DATA.

29. Cand ni se dh un arc, nu putem aye de cat uasingura valore pentru fie-care linia trigonometrica a sea.Nu este inse tot asia cand ni se dà ua linia trigonome-trica si se cere a se gasi arcul correspundiator la den-sa. In adever, scim ch functiunile circularie sunt toteperiodice ; prin urmare la ua valore a unei linii trigo-nometrice nu corespunde numai un arc, ci ua multimede arce cari differa intre densele cu un multiplu al pe-riodei.

Se se gasesca, spre essemplu, arcul al carui sinus arevalorea a ; fie 1 un arc al carui sinus are acesta valore.Inse sinusul avend. perioda 2 lc, nu numai arcul 1 va ayesinusul a, ci si arcele 2. +1, 4.-F 1, 6. +1, Prinurmare gasim pentru arcul cautat ua multime de valoricari implinesc cererea. Acellasiu lucru se intempld sipentru tote celle alte linii trigonometrice.

De ordinar inse, cand se dh ua linia trigonornetrica,dintre tote arcele cari correspund la densa, nu se iaude cat celle coprinse Intre 00 si 3600, si cu modul acestase reduce numerul arcelor cari respund la cerere.

Dandu-se sinusul unui arc, se se gasesca arcut.Deca sinusul dat a este positiv,pe ra-

v dia OB luhm 01= a, si prin I ducemA FE paralel cu CA ; arcul cautat este AE

seu AF; caci -deca din E si FE L si F M perpendiculare pe AC,

E L= sin AE, si FM = sin AF;inse EL=FM=OIa; prin urmare AE §i AF sunt inad.ever arcurile al caror sinus este-t-a.

13

rashm-

NOTIUNI PREL1MINAIIIE SI DEFINITIUNI 33

Deca sinusul dat a este negativ, luhm pe radia ODua lungime OK= a, si ducund prin K linia GH para-lela cu AC, arcul cautat este ABG seu ABCDH; chciMG-0K--asin ABG, si LH=OKasin ABODH.

Dandu-se cosinusul unui arc, se se gasesca arculConstructiunea este analoga cu cea data pentru si-

nus. Deca cosinusul a este positiv, luhm pe radia OAlungimea si ducund prin L pe EH paralel cuBD, arcul cautat este AE seu ABCDH. Deca cosi-nusul dat a este negativ, luhm pe 00 lungimea OMa,si prin M ducem paralel la BD ; arcul cautat esteAMP seu ABCG.

Dandu-se tangenta unui arc, se se gasesca arcul.....** Deca tangenta data a este

positiva , pe partea positivaAI a liniei tangentelor luhmAI =---- a, si prin I si 0 ducemIG-; arcul cautat este AE seuABCG; caci deca vom con-

strui tangentele acestor doue arce, vom gasi ch ambe-le au drept tangenta pe

Deca a este negativ, pe partea negativa AK a liniejtangentelor luhna AKa, si ducund. KF prin centru,arcul cautat esté AF sau ABCDH ; ciaci amendoue a-ceste arce au drept tangenta 'De AKa.

Dandu-se cotangenta unui arc, se se gasesca arcul.Cotangenta a find positiva, liana pe partea positiva

BL a liniei cotangentelor BL=a, si ducund LG, arculcautat este AE sau ABCG. Deca cotangenta dataeste negativa, luand pe partea negativ a BM a liniei

3

FG-

OL=a,

3 4 CURS DE TRIGONOMETRIA.

cotangentelor BM=a, ducem MH ; atunci arcul cau-tat este AF seu ABCDH.

Tandu-se secanta unuz arc, se se gasesca arcul.Deca secanta a este positiva, din centrul 0 cu ua

radia egale cu a descriem un arc care taia linia tan-gentelor in punctele I si K ; unind IO si KO, arcul cau_tat este AE seu ABCD1-1, in adever, secantele acestordone arce Bunt ± M.-Fa si -i OK=+a.

Deca secanta a era negativa, constructiunea era a-ceeasi ; inse prelungind pe I0 pene in G si pe KO penein F, arcul cautat era AF seu ABCG-.

Dandu-se cosecanta unui arc, se se gasesca arcul.Deca cosecanta data a este positive, din centrul 0

cu ua radia egale cu a descriem un arc care taia liniacotangentelor in punctele Ir si M; unind LO si MO, ar-cul cautat este AE seu AF.

Deca cosecanta data a este negativa, prelungindu peLO pene in G si pe MO pene in H, arcul cautat esteABCG seu ABCDH.

CAPITOLUL II.

FORMULE FUNDAMENTALE

Relatiuni intre liniile trigonometrice alleaceluiasiu arc.

30. Fia arcul AQ=a ; liniile sele trigonometrice sunt :F CD=sin a, BF----cot a,

OD=cos a, OE=sec a,AE=tg a, OF=cosec a.

Trianghiul OCD, find dreptanghiuin D, dh:

U-11)2+O2=2, seu, sin2 a=1, (1)c ci 00 este radia. Prin urmare suma patratelor sinu-s lui si cosinusului unui arc este egale cu unitatea.

Din (1) putem deduce inca :sin2a=1cos2a, seu sinar= ± V1cos2a, (a)cos2a=1sin2a, seu cosa =± Visinaa, (b)

Trianghiurile OCD si 0EA. Bunt assemeni, (lei auanghiul 0 comun, si pe celle-alth egale ca correspon-dente ; prin urmare :

-

a,+cos2


EA OA tga 1

CD OD, seu sina cosa 'ori, immultind ambii membri cu sin a,

sinatga (2)cosa'

adeca tangenta unui arc este egale cu raportul sinusuluicatre cosinusul acelui arc.

Din assemenarea acelorasi trianghiuri avem:OE OA seca 1

seu ,00 OD' 1 cosaori in fine

cosa seca=1.Din (3) putem inca scote, impartind cu cos a :

1seca.--

si impartind cu sec a:cosa'

1cosa secaDin aceste doue formule vedem eh cosinusul si secan-

ta unui arc sunt inverse una alteia.Trianghiurile OBF si OCD sunt assemeni, caci an-

ghiurile din B si D sunt egali ca drepte, si celle din Fsi 0 ca alterne-interne; prin urmare

BF OB cota 1.

sma,OD CD cosa

de unde, immultind ambii membri cu cos a,cosacota . , (4)sma

adeca cotangenta unui arc este egale cu raportul cosinu-sului catre sinusul acelui arc.

Din assemenarea acelorasi trianghiuri avem inca :

(3)

(c)

(d)

seu

FORMULE FUNDAMENTALE 37

OF 0B seu coseca 1

00 CD 1 sina,

torisina coseca=1. (5)

Din (5) putem inca deduce, deca impartim cu cosec a:1sina

'(e)coseca

era impartind cu sina,.

1co seca .

sina (0Din aceste done formule se vede eh sinusul si cose-

canta unui arc sunt inverse una alteia.Immultind (2) si (4) membru cu membru, avem :

sina cosatga cota .1,cosa sina

din care putem scote urmatorele doue formule :

tgacota

1

'(g)

cota 1(h)

tgaPrin urmare tangenta si cotangenta unui arc sunt in-

verse una alteia.Formulele (1), (2), (3), (4), (5), impreuna cu celle ce

am derivat pens acum dintr'ensele, sunt de un us fortedes in trigonometria, din care causa se si numesc for-mule trigonometrice fundamentale.

FORMULE CORRELATIVE

31. Sub acest nume se intelege ua seria de formuleprin eari esprzmem ua linia trigonometrica ore care a u-nui arc in functiune de ua alta linia trigonometrica a a-

38 CURS DE TRISONOMETRIA.

celui arc. Aceste formule sunt in numer de treidieci,si se deduc din fprmulele deja aflate:

sin2 a+ cos2a=---1, (1)sin a

tg acos a' (2)

1sec a cos a, (3)

cos acot (4)

sin a1

cosec a= sin a. (5)

Deca una din liniile trigonometrice alle arcului estecunoscuta, cele-alte cinci vor puts se se afle resolvendcelle cinci equatiuni de sus. Prin urmare problema sepote deslega tot-de-una.

10. Dandu-se sinusul unui arc, se se gasesca celle-altelinii trigonometrice alle arcului.

Valorea cosinusului se scote din (1); avem :cos a=±V1sin2a

Substituind acesta valore a cosinusului in (2), (3),(4), vom avd valorea tangentei, secantei si cotangenteiin functiune de sinus :

sirKi 1t g a = seca= ±V

1 sincota =-±V 1 siti2a`

V1sin2a, sinasi dupe (5),

1cosec a=:.sma20. Dandu-se cosinusul, se se afle cele-alte linii trigo.

nometrice.Din (1) avem:

sin a±V 1 cos2a

2a,


espressiune a sinusului in functiune de cosinus. Substi-tuind aceste valore in (2), (4), (5), vom aye si espres-siunea tangentei, cotengentei si cosecantei in functiuned.e cosinus:

cosa 1tga±V1cos2a, cota±--Vcos''i coseca+ ,cosa a 1. v 1cos2a

si dupe (3),1

seca__cosa

30 . Dandu-se tangenta, se se alle celle alte linii trigo-.

nometrice.Equatiunea (2) dh:

sina----tcosa tga,seu

(A)

sin2acos2a tg2a.Punem acesta valore in (1), si avem:cos2 a tg2 ad-cos2 seu cos2 a (1+tg2 a)=-1,

de unde1

cosa±V 1H-tg2a

Punend acesta valore in (A) vom aye valorea luisin a:

tg asina+Vd+tg2a

Din (3) avem:1seca. cosa ;

substituind in locul lui cos a valorea sea,seca.±v 1+tg2a.

Equatiunea (5) dh:

(B)

a=1,


si dupe (B),

1coseca= .sma

V 1+tg2acoseca=

*30 In fine equatiunea (h)* :

1cota

tga

tga4°. Dandu-se cotangenta, se se afle cele-alte linii

gonometrice.Din (4) avem:

cosa=sina cota, (C)

seucos2a----sin2a cot2a.

Punend acesta valore in (1), avem:sin2a+sin2a cot2a=1, oH sin2a (1-1-cot2a)=1,

de unde:1 (D)sina + , .

.1 v 1-4-cot2aAcesta valore pusa in (C) dh:

cotacosaV

± ,1+cot2a

,

si fiind-c h:1seca avem :

cosa

seca± V!+cot2a

Din (5) avem:cota

1coseca= .

smasi punend. in loc de sin a valorea data prin (D),

cosec a±V 1+cot2a

tri-

.

,

FORMUL E FUNDAMENTALE 41

In fine equatiunea (g)*1tga cota

5'. Dandu-se secanta, se se gasesca cele-alte linii tri-gonometrice.

Equatiunea (d)* dh: *30

1cosa secaPunend acesta valore in (1), avem succesiv:

1sin2a+ 2sec a-1,

sec2a sin2a+1=sec2a,sec2a-1

sin2asec 2a

Vsec2a-1sina+ secaPunend aceste yalori alle lui sin a si cos a in (2),(4)

si (5) si facund. reducerile, avem:1 seca

cota=----Vsec

-`42c:!_17 coseca ±Vsec2a-1

6° Dandu-se cosecanta, se se gasesca celle-alte liniitrigonometrice.

Dupe (e)* avem : *30

1sina coseca.Punend acesta valore in (1), (2), (3), (4), vom

aye, dupe nisce calcule analoge cu cclle de la casultrecut:

cosec2a-1 1cosa .±

cosec atga=±

V cosec2a-1

*3o

tga±V5e02a-1,

V


cota=± V cos ec2a 1, seca.±V cosec2a 1

Tabelul alaturat coprinde tote aceste resultate. Inprima colona verticale la stanga se afla inscris numeleliniei trigonometrice ce trebue se se esprime in functiu-ne de alta, si in prima colona orizontale este numele li-niei in functiune de care trebue se se esprime linia con-siderata. La intalnirea colonelor respective ale ambe-lor linii trigonometrice se afla espressiunea cautata.

coseca

HT

VIN

IIIIM

ITC

114f

13 a

rlfliv

tiO3

sin a cos a tg a cot a see a cosec a

sin a sin atg a 1

--E

V sec' ,a 71_ i"1°2 ' ± V 1 + tgl V I + otl ,

± see a cosec a

,.

COS 0 cos aI cot a I cosec' a-1

±-V 1 sins a _ v 1+ te 1 ± V 1 + cot2 see a come a

tg asin a tg a

1I

V 1 cos' 1 ± V sec' a-1± __+ cos a cot aA

± v me c,--.'

cot a_./

cos a 1

cot aI ---V I sin2 ,

± sin a.. ± V 1 cos' , tg a ± sectv 3c2 a-1

sec a 1 1 V 1 + cot2 a sec acosec a

+ v i + te P_i_.

1 (AO i COS a cot a V coseea a-1

cosec a1 I V 1 + tg2 , sec a

-7-sees ) cosec ains a 1 cos' a + tg a / 1.-1- cot' a i

V I

1 -.' sine --

COB_VV -I-

----v ± a

PR.CAD

±

±


ADITIUNEI ARCELOR

32. Sinus si cosinus. Ne propunem a gasi espres-siunea sinusului si cosinusului sumei a doue arce, cu-noscund sinusul si cosinusul arcelor simple.

Fia a=AE si b=EF doue arce ast-felch, suma br a+b--AF este mai mica de

A eat Ducem FI perpendicular p6 OE ;

FII, IL si EG perpendicularie pe OA, siKI paralel la OA. Avem:

sin a= sin AE=EG-, cos a=cos AE=OG,sin b=sin EF=FI, cos b cos EF= OI,

(a) sin (a+b)-----sin AF=FH=FA.±..1144 cfici KH=IL,(b) cos (a+b)---cos AF=OH=0, cad IlL=KI.

Trianghiurile OE,G si OIL sunt assemeni; prin ur-mare :

IL OI IL cosb=EG OE' seusina 1

de uncle IL=sina cosb.Din assemenareaTiallorasi trianghiuri avem:

OI OL cosbseuOG= OE' cosa 1

de unde OL=cosa cosbTrianghiurile FKI si OEG sunt

turile kr perpendiculare unele peFK FI FKOG OE

, seucosa

ori FK=cosa sinb.Din assemenarea ae,ellorasi trianghiuri avem:

KI FI KI sinbEG OE' seu sina 1

assemeni, câci au la-altele ; asia- dera :

sinb1

-2-*

oh

ori KI=sina sin b .

Substituind aceste valori alle lui IL, OL, FK, KI, inequatiunile (a) si (b), avem:

sin (a+b)sina. cosb+sinb cosa,, (1)

cos(a+b)-4cosa cosbsina sinb. (2)g3. Formulele (1) si (2) aulbst demonstrate in

tesea inse elle subsista in ori-ce alta ipo-

tese am face asupra marimei arcelor a si b.

1°. Formulele (1) si (2) subsista si in casul cánd

In adever, punend7C (c)a, si b

si adunand intre sine aceste doue formule,

(aj- t7),

si fiind-ch a + b>i' este evident a vom aye:7T na' -+-b' seu a +b <y*

Punend dera in (1) si (2) valorilerc

, a+b=ir (a' +Il),scose din relatiile (c), avem:

al cos(ib1

+sin( ;----b1 cos

bl=eos(ial

ipo-

ch(a4-b<i;

=T 2

a', b

sin1(.-t+bi=sinV-2

2

co+++ cos(

sin(i b ),

a+b>i.

b,

a' +a'

a= 2 2

*26de unde*

sin(a'+ 0-_--- cos a' sin b' +cos b' sin a',

cos(a'+ b')= sin a' sin b' cos a' cos b';si deca scambam semnele formulei din urma,

cos(a'+ b')---= cos a' cos b' sin a' sin b'.

Am ajuns dera chiar la formulele (1) si (2), si arcele

a' si b' implinesc conditia a' + b'<i.

20. Formulele (1) si (2). subsista si in casul cand adao-

gim "y la unul din arcele a sen b.7C 7C

4

2Fie a' a+ T' de uncle a=a t Punem acesta

valore in (1) si (2):7,

sin(d+ b sirKa'i) cosb

+sinb co(a'--21,

cos (a' + b f). cos (a' it ) cosb

7,sin(a'--2- ) sin b ;

inse avem:

sin (a'+ bi) = sin [Hi (a' + b)]

= sinD(a'+ b)].= cos(a' + b),

cos (a'd- bi- ). cos[{ ; (a'A- b)}]


cofiTe (a' +b)]=. sin (d-1- b),

sin (a' d,2 2 2

cos (a'2

al] =---cos(-1--- sin a'.2 2

Punend aceste valori in equatiunile de sus,

cos (a' -1- ,

sin (a'+b)=sina'cosb+cosa'sinb,in cari deca vom scamba semnele equatiunei antaiu,

vom da tocmai peste (1) si (2), si a' va fi egal cu a ma

rit cut.3° Formulele (1) si (2) subsiste pentru ori-ce valori po-

sitive alle lui a si b.Se dicem c arcul a este coprins intre m si m-I-1 ca-

drane, era b intre n si cadrane ; atunci insemnand

cu a' escesul lui a peste m cadrane, si cu b' escesul luib peste n cadrane, avem :

a a , b2

(d)

Inse pentru arcele a' sib', mai mici fie-care de cittavem relatiunile:

sin (a'+ -Fsinb'cosa',

cos (a'+0=cosa'cosb'sina'sinb'.Dupe demonstratiunea de mai sus, noi putem adao-

gi la fie-care din arcele a' si b', si de eke ori vom voi,eke un cadran ; dupe ce dera vom adaogi m cadranelui a' si n cadrane lui b', formulele din urma vor de-veni :

d =

cosa' cosb-Fsinbsina'

+

2

=

)

n+1


sin(mj-+a'+nj-2 2

+ sin( ni ) cos Lm

cos(mi±a'd-n 27L-I-1/)= cos(mi+ a')coKni-

sin(2

sin (n--Eb'),2

seu, dupe relatiunile (d),sin (a+b).--sina cosb+sinb cosa,cos (a+b).--cosa cosb sina sinb,

si aci a si b au valori positive, oricat de mafi vom voi.4°. Formulele (1) si (2) subsiste pentru ori-ce valori,

chiar negative, alle lui a si b.Se presupunem eh a si b sunt negative. Alegem un

numer intreg si positiv Ic, destul de mare pentru cacantitatile

2/c7c-4-a=d, 21c.4-b=b1,

se fia positive. Atunci (1) si (2) convin lui a' si b', ca-ri sunt positive, si avem :

sin (d+b')----sina' cosb'd-sinb' cosa',

cos (a'-l-b')=cosa' cosb' sina' sinb',seu

sin (2kn-f-a+-21c7:+b).sin(4k7c+a+b).sin(210c+a) cos (21c7,+b)+sin (2k,c+ b) cos (21cn+a),

cos (2k+a+21oc+b).cos (41cn+ a+b)cos (2Icn+ a) cos (2kn+b)

sin (21c.fa) sin (2kir+1')

_

48

-Fb)

+b'

-he)

a')

rORMULE FUNDAMENTALE 49

si considerand ch. sinusul si cosinusul sunt functiunicircularie periodice cu perioda 2 n ,4e

sin (a+b)=sina cosb +sinb cosa,cos (a+b)=cosa cosbsina sinb,

relatii in cari a si b sunt negative._

U4... -Vin acest sir de demonstratii resulta a formu-kle (1) si (2) sunt generale ; putem derainlocui inteen-sele pe b prinb, si atunci avem:

sin (a b)sina cos(b) +sin( b) cosa,cos (a b) cosa cos(b)--sina sin( b).

seu*sin (a b)=sina cosbsinb cosa, (3)cos (ab)cosa cosb+sina sinb. (4)

35. Observare. Formulele (1) si (2) se pot deduceuna din alta, precum si (3) si (4), deca inlocuim in una,

7C 7:b+din elle pe a prin a -I- T, seu pe b prin

In adever, deca in (1), spre essemplu, inlocuim pe b

prin b -1-i, avem:

sin(a+b+21-).--sina cosi2

b+-7--t )-Fsin( b + -1- )cosa,2 2

seucos{(a+b)}=sina sin(b)+cos(b) cosa,

ori*

*9,18

*25

cos(a+b)---- Bina sinb+cosa cosb.Assemenea si pentru celle-alte.36, Formulele (1) si (2) ne dau sinusul si cosinusul

sumei a doue arce ; inse este lesne a le generalisa sipentru mai multe arce.

Deca in (1) si (2) inlocuim pe b prin c+d, acelle for-mule devin: 4

*25


seu.

sin (a+c+d)=sina cos(c+d)+sin(c+d) cosa,cos (a+c+d)----cosa cos(c+d)sina sin(c+d),

sin (a+c-Fd),-----sina(cosc cosdsinc sind)+cosa (sinc cosd-Fsind cosc),

cos (a+c+d)=--cosa(cosc cosdsinc sind)sina (sinc cosd+sind cosc),

de unde_

sin (a+c+d)=sina cosc cosd-Fsinc cosa cos4+sind cosa coscsina

cos (a+c-Fd).cosa cosc cosdcosa sinc sind--sina sinc isindsina sind cosc.

Cu ajutorul acestora putem gasi sinusul si cosinusulsumei a patru arce, si asia mai departe.

37. Tangenta si cotagenta. Pentru a gasi tangen-*30(2) ta sumei a doue arce, vom recurge la formula*:

tg (a+b)__sin (a+b).cos (a+b)'

inlocuind. pre sin (a-1- si cos (a -Fb) eu valorile lor da-te prin (1) si (2),

tg (a+b)sina cosb-l-sinb cosacosa cosbsina sinb;

si impartind ambii termeni ai fractiunii cu cosa cosb,sina c4b sinb e6.1a

tg (a+b).cosa co\O cosb coNs,a

sina sinbseu

1cosa cosb

tg (a+b). tga+tgb (5)1 tga tgb

*25 Deca in acesta formula inlocuim peb cu b, avem

siniid,


tg (ab)tgatgb (6)1+tga tgb.

Pentru a gasi cotangenta sumei a doue arce, vom a-v6 assemenea:

cos(a+b) cosa cosb sina sinbcot (a+b) sin(a+b)'" sma cosb+sinb cosa.si impartind ambii termeni cu sina sinb,

cosa cosb

cot (a+ b)_sina sinbsing cosb sinb cosa

' +smbsma sma sinbseu

cota(a+b) cotb 1 (7)cot cotb+ cotaDeca aci inlocuim pe b b si scambam semnele

ambilor termeni ai fractiunei, avem:

cot (ab)__.1,1-cotacotb (8)

cotbcota38. Prin formulele (5) si (7) putem gasi tangenta si

cotangenta unei sume de mai mult de cat doue arce.In adever,Almenfl,. in aceste formule in loc de b pec+d, avem :

tga+tg(c+d)tg (a+c+d) 1tga tg(c-f--4

cota cot(c+d)-1cot (a+c+d)-- cot (c+d)+cota

si inlocuind pe tg(c+d) si pe cot (c+d) cu valorile kr,

tga+ tgc+tgd1tgctgd

tg(a+c+d)-- tgcl-tgd1 tg

1tgctgd

-

1

',?

dit

52 CURS UR TRI6ONODIETRIA

_tga+tgc tgdtgatgctgd1tgatgctgatgdtgctgd,

cotc cotd 1cota A 1cot(a+c-I-d)

cotccotd-1cotc± cotd cota

cota cotc cotdcotacotc cotdcota cotc+cota cotd+ cotc cotd-1

IMMULTIREA. ARCELOR.39. Consideram formulele

sin (a+b)=sina cosb-i-sinb cosa, (A)cos (a+ b)----cosa cosb Bina sinb.

Facunci ab, elle clevin:sin2a=2sina cosa, (1)cos2a=cos2asin2a. (2)

Aceste formule ne dau sinusul si cosinusul arculuiindoit 2a in functiune de sinusul si cosinusul arculuisimplu a.

Deca in (1) si (2) inlocuim pe rand pe sina si cosacu valorile lor date prin equatiunile (a) si (b) de la § 30,avem alte formule, destul de des intrebuintiate

sin2a.±2sinaV sin2a .±2cosa V1cos2a,cos2a=cos2a(1cos2a)=2cos2a-1,cos2a=1sin2asin2a=1-2sin2a.

Deca in formuleletga+tgb cota cotb-1tg(a+b)-1tga tgb' cot(a+v) cota+cotb (B)

facem assemenea a = b, avem:2tga

cot2a=cot2a-1 (3)tg2a- 1 tg2a 2cota40. In formulele (A) inlocuind pe b cu 2a, avem :

(


sin3a=sina cos2a-Fsin2a cosa,cos3a=cosa cos2asina sin2a,

si substituind in locul lui sin2a si cos2a valorile lor dateprin (1) si (2),

sin3a=--sina(cos2asin2a)+2sina cosa cosa.3sina %est sin3a,

cos3acosa.(cos2asin2a)-2sina sina cosacos3a-3cosa sin2a.

Punend in prima equatiune 1 sin2a in loc de cos2a,si in a doua 1cos2a in loc de sin2a, si reducund,

sin3a=3sina 4sin3a,cos3a=4cos3a-3cosa.

Facund si in formulele (B) pe b-2a, vem aye asse-menea :

2tgatga+ tg2a tga -1

1tgatg2a 2tga1 tgacot2a-1cata-1cotacot2a-1

cot3a=2cota

3tgatg3a,17-3tg2a

cot3a-3cotacota+cot2a cot2a-1

cota+ 3cot2a-12cota

AL_Putem gasi formule generale caH se ne dee si-nusul si cosinusul multiplului mini arc prin oH-ce wa-rner, intreg si positiv. Pentru acesta cousidcrhm equa-tiunile cunoscute :

sin(a+b)sina cosb+ sinkcosa,sin(ab)=-sina cosb sinboosa,cos(a+b)=cosa cosb sina sinb,cos(a b).cosa cosb + sina sinb.

Adunand respectiv aceste equatiuni, avem :

tg2atg3d,---- .

1_ tg2a


sin(a+b)-Esin(ab)=2sina cosb,cos(a+b)+cos(a b)=--2cosa cosb.

Junem a=mb ; atunci a+ b = (m-1-1)1, , ab b,si equatiunile devin:

sin(m-I-1)b=2sinmb cosbsin(m-1)b,1(4)cos(m+1)b=2cosmb cosb cos(m-1)b.J

Aceste formule, numite formulele lui Thoma Simp-son, ne dau mediul de a calcula sinusul si cosinusulmultiplului unui arc prin un numer intreg si positivm+1, cand. se cunoscu sinusele si cosinusele multipli-lor acelui arc prin numerele m si m-1.

Essemplu. Fia b=8°13"32", m-=-5; dupe (4) avem:

sin(5+1) X 8°13'32;-=--2sin 5X8°13'32"cos8°13'32"

sin(5-1)X8°13'321,

cos (5 +1)X 8°13'321 =2cos 5X8°13'32 '')cos8°1 3'32"

cos((5-1)X8'13'32"si effectuand immultirile,

sin49°21'12"---2sin41°7'40"cos8°13'32"sin32° 54'8",

cos49°21'12"--2cos41°7'40"cos8°13`32"cos32°54'8".

DIVI§IIINEA A RCELOR.

42. Deca in fdrmulelesin2a=2sina cosa,

cos2a= cos2a sin2a =2 cos2a 1.1 2sin2a,tg ,?tga cot2a-1cot2a- 2cota

cr

FORMULE FUNDAMENTALE

bpunem b in loc de 2a, si prin urmarein loc de a, a-ceste formule devin:

.sinb=2 b bco s2

cosb=cos 2b sin2b =2cos2b1= 1 2sin2b2 2 2 2

2tg-t ,2 b

tgb---4 2 , cotb-2cotbtg2T12

2

relatiuni cari ne dau sinusul, cosinusul, tangenta si co-tangenta arcului intreg in functiune de acelleasi liniialle arcului pe jumetate.

Adunand equatiunile

1=sin2 a + cos2-±-12 2

sina=2sinacosa2 2'

obtinem relatiunea :

de wade

a1+ sina =sin2 c0s2-4 +25in2

a cosa2 2 2

a 2

,.(sing-+ cos2 2

2 2

Deca, din contra, scadem una din alta equatiunile desus, avem :

(1)

55

sin-a+cos±=-±,71 +sina,

,2

12


de unde

1sina=sin2t1+ cos2a--2sin acos a2 2 2 2

(sinacosay2 2 '

sinacoe="-±V1sina2 2

Adunand equatiunile (1) si (2) si impartind cu 2, a-vem:

\sinf.t...._+/1+sina V1 Bina2

2 -± 2

Scadiend. equatiunile (1) si (2) una din alta siimpar-tind eu 2, avem:

a , (4)cos v 1+sina V1sina2--

2 -T 2

Formulele-(3) si (4) ne dan sinusul si cosinusnl arcu-Iui pe jumetate in functiune de sinusul arcului intreg.

44. Considerhm equatiunilea

sin22--kcos2a-

2

cos2a---sin2 a = cosa.2 2

Adunandu-le membru eu membru si impartind en 2,avem:

(3)

2a 1+cosa a)cos _,-..

2 2 'seu a--\Iv 1+cosel r..)cos ---.± _ .

2 2Scadiend una din alta equatiunile de sus si impar-

tind cu 2, avem:

1

FOIIMEE FUNDAMENTALS

sin2a 1cosa (b)2 2

de undo asin _± (6)V 1 cosa2 2

Impartind (6) prin (5) membru cu membru obtinem :

sin (:± 1cosa2 2a

+

1+cosacos-2

2

seu, fiind-ca in membrul al doilea se impart numaiquantitAtile de sub radical,

tg_a + 1cosa (7)2 1+cosa

Formulele (5), (6) si (7) .ne dau cosinusul, sinusul sitangenta arcului ye jumetate in functiune de cosinusul ar-cului intreg.

Observare. Deca presupuneni ca a <1800, atuncia atg- suntsi prin urmare sin-2, cos si

2 2positivi ;

2

deci in ipotesea ch a < 180°, nu vom lua de cht sem-nul + al radicalului din membrul al doilea al equatiu-nilor (5), (6) si (7), si atunci aceste equatiuni se scriu :

acos 1+ cosa sin a 1cosa tga 1cosa--V2 2 2 2 ' 2 1 -t cosi/.45. Decalin equatiunea

a2tga

1 tg 2 a9

eliminhm numitorul, avem :

54.

\,/

V

2

V

V

V

58 cuRs n TRIGONOMETRIA

tgatga

seu : tga tgc, a , aoH, divisand peste tot cu tga,

2tg +a 2 atg 1=0,2 tga 2

equatiune de gradul a doilea in tg-ya , care ne da, valo-

rea luitgl in functiune de tga :

2

1 1+tg2a1 / 12 + 1= tga tg2a5 tga V tg a

seu

tga. 1+tea2 tga

In assemenea mod, din

coa a ,2cota

tragem :a2cota cot, cot2LI2 2

de unde

cots 2cota2

equatiunea din care .scotem :

(8)

(9)cot 4--7-----cota ±Vcot2a+1;

2

acesta relatiune ne da, valorea cotagentei arcului ju-metate in functiune de valorea cotagentei arcului intreg,

tg21-2tg-a-2-,

±V.

--J.

1,

icot±2

cot-a--2

*44(a) si (b)

FORMULE FUNDAMENTA", 59

FORMULE C ALCUL ABILE PRIN LOGARITML

46. Pentru inlesnirea cakulelor este bine tot-de-una,pe eat se pote, a se inlocui sumele si differintiele ce fi-gureza in espressiunile algebrice si trigonometrice, prinprodusse si cAturi, din causa eh aceste din.urma, dupecum scim, se pot calcula prin logaritmi, pre cand celled'antaiu nu.

Am gasit deja*:

1 -f-cosa ----2cos2a 1cosa. 22sin --.a2' 2

Inse putem inca gasi si alte espresinni, forte insem-nate, calculabile prin logaritmi.

Consideram equaunile :sin (a+b).---sa cosb + s' b cosa,

cosb sinb cosa.Adunand mai antaiu aceste doue egalitati, si apoi

scadiendu-le membru cu membru, obtinem relatiunileurmatore:

sin(a+b)-I-sin(a b)=-2sina cosb, (A)sin(a-4-b) sin(ab)-2sinb cosa.

Punem:a+ b'--= p, a b.= q , (a)

aceste doue equatiuni, mai antaiu adunate si apoi sca-diute, si pe urma impartite cu 2, dau:

a P-Fq b P;q (b)2 '

Valorile date da (a) si (b) le substituim in (A), cari de-vin atunci:

sinP -I- sinq=2sinP+q cosPq2 2 '

(1)

sin(a a

2

60 CURS DE TR1CONOMETRIA

sinpsinq=2sinP-2gc05P+q (2)

2 -

Equatiunea (1) esprime c suma sinusurilor a douearce este egale cu de doue ori sinusul semisumei arcelor,immultit prin cosinusul semidiferentiei

Equatiunea (2) arata ch diferentia sinusurilor a douearce este egale cu de doue ori sinusul seMidiferentiei ar-celor immultit prin cosinusul semisumei /or.

47. Equatiunile

cos(a+b).cosa cosbsina sinb,cos(ab)=cosa cosb+ sina sinb,

mai antaiu adunate si apoi scadiute una din alta, dau:

cos(a+b)+cos(ab)=2cosa cosb,cos(ab)cos(a+b)=2sina sinb ;

si facund si aci substituirile indicate de equatiunile (a)si (b),

tcosp+cosq=2cosP q 3)cosP 2g2

cosqcosp=2sin P q sin 11-1 (4)2 2

Equatiunea (3) esprime ch suma cosinusuritor a douearce este egale cu de doue ori cosinusul semisumei arcelor immultit prin cosinusul semidiferentiei lor.

Equatiunea (4) areta ch diferentia cosinusurilor a douearce este egale cu de doue ori sinusul semisumei arcelorimmultit pin sinusul semi-differentiei lor.

Divisand una cu alta equatiunile (1), (2), (3) (4')done cate doue, obtinem ua seria de alte formule cal-culabile prin logaritmi:

lor.

2

f

MRMULE VUNDAMENTALt 61

2sinP+q cosP-"qsinp-l-sinq_ 2 2 +q -4. tgP cotPsinp sing 2sinPq cos P-Fq

2 2 P + q

. tg1'42

q X 1 --tg pqPq 2tg --

2

2sin P 4 q cos P qsinp + sing 2 2 tg pi q

,22cos P+q cosr

2q

2

cosp t cosq

sinp+sinqcosqcosp

sinpsinqcosp+cosq

sinpsinqcosq- cosp

2sin 12+ q cos2 2

cot2sin P±q sin Pq

2 2

2sin Pq 42P+cos2 2

2cos 1+q cos Pq2 2

2sin Pq cos P +q2 2

2sin 1' q sin pq2 2

cosp-i-cosq_2cos P42-1 cos P q

d--qcotp Pcot2

q2cosqcosp p± q sinpq

2

tg Pq2

---cotP+q2

2 2

49. Ecata formula insemnata care se intrebuintiediaune-ori in calcule.

2

_

2 2

2sin

P q_

,

62 CURS DR TRICONOMETRIA

Immultim una cu alta egalitatile

sin(a +b)------sinacosb-f-sinbcosa,sin(a sinacosb sinbcosa,

si obtinem:sin(a+ b)sin(ab). sin2acos2bsin2bcos2a.

Inlocuind in acesta egalitate mai antaiu pe cos'a sicos2b cu 1sin2a si 1sin2b, si apoi pe sin'a si sin2bcu 1cos2a si 1cos2b, &obanclim equatiunile:

sin (a+b)sin(ab)=sin241sin2b) sin2b;1sin2a),sin(a b)sin(a b)= (1 cos2a)cos2b(1cos2b) cos2aEffectuand. immultirile din membrul al doilea si fa-

cund tote reducerile, ajungem la equatiile:

sin(a+b)sin(ab)=sin2asin2b,sin(a+b)sin(ab)=cos2acos2b.

50. Putem face calculabile prin logaritmi si sumaseu diferentia a doue iangente. In adever

A

A

sina sinb sinacosb +sinbcosa sin(a+ b)cosasina

cosbsinb

cosacosbsinacosb sinbcosa

cosacosb'sin(ab)

cosa cosb cosacosb cosacosbIn assemenea mod avem:

cosacota+cotb= cost, cosasinb+ cosbsina sin(a +sma smb sinasinb smasmb

cota cotb=cosa cosb cosasinb cosbsina sin(a b)sina smb sinasinb smasmb

51. Se facem calculabile prin logaritmi suma seudiferintia a doue secante; avem:

1 1 cosa+cosbseca+secb.---

cosa cosb cosacosb

=

b

+

+

FOR1JULE FUNDAMENTALt

a+b ab2cos---- cos2 2

cosacosb1 cosbcosasecasecb-1

cosa cosb cosacosb

2 sinad-b sin

ab2 2

cosacosbAssemenea

coseca+ cosecb1 sinb+sina

.si1na sinb

. abSIM- COS--2 2

sinasinb1 1 sinbsinacoseca cosecbsina =

sinb sinasinb

2sinba cos a+b2 2

63

_sinasinb

(52. Pentru a face calculabile prin logaritmi espres-

siunea sina+cosb, observhm ch cob=sin -7--b), si a-(2

tunci

seu

sina+cosb.sina+2 b)

IC 7C b_acos

2 2

sina+cosb=2sin( +ab2

) cos 1' a+b4 4 2 1

Assemenea sinacosb=sina2

/sin,

2a 2-

--,---2sin ,

b)

84 tuks Dt TRIGO&OutTRIA

ba b + a. 2 cos

2 2ori

sinacosb=2sini a +62

)cos(2

ab).-k, 4 4 .)

53. Forte ad.essea este necessariu a se transformaespressiunile 1sina si 1+sina. Pentru acesta

2.

a

4 2

sina = + .2008212E±ccA 2 4 2 )'

4-41avend in vedere formulae aflate (a) si (13)*.Divisand una cu alta equatiunilo aflate si estragund

radecina patrata, gassim:tg 1sina

4 2 ) V 1+ sina54. Espressiunea

sinifa)-EsinBina sasico+na a

l+tga=1+ 2. -_-.

cosa cos,/ cosaTC cosi-L a)2sin 1 4

cosaAssemenea :

itgaicosa_sina cosasina1cosa,

( 7:----a)cosacosi2

2sin ,--i- sin4

aj

cosa cosasi fiind-ch

sinH'--a).cosr-Tf a)].cos(24-+ a),L

1 sina--1--cos --a)

1+

_21

_ .

cosa1

4

2

"

±

101114ULE FUNDAMENTALE 65

avem: 7C2sin4cos(4+a)1tgacosa

51. I_Tne-ori este necessariu a transforma espressiu-nea sina+sinb+sinc, in care a+b-1-

Avem mai antaiu:* *46

inb+sinc=2sin COSb+c bc (a)

s2 2

Inse din relatiunea deducem :4126,42si prin urmare*,

sinasin(b+c)=-2sinb+c cos b+c2 2

Adaogind acesta equatiune la (a),

sina+sinb+sinc=2sinb+c cosb+c--1--2sinb+c cosbc2 2 2 2

bc--2sinb+c(cos---b+c+cos );2

inse*

cosbc ;Pcosccos

2 2 2 2'asia-dera

*47

sina+sinb+sinc=4sin b+c cosbcosc .2 2 2

b+cPe lunga acestea din avem:2 2 2'

si prin urmare sin b+c cosa2

; deci equatiunea din ur-2

ma &vine:a b csina+ sinb+sinc. 4cos cos cos.2 2 2

Fia inca de transformat espressiunea sina+sinbsinc,in care a+b-Fc==. Vom aye, ca si mai sus:

6

(b).

a+

b +c+

a+b+c----., a

a=.(b+c),

.

dd

adunand,

seu

CUES DE TRIGONOMETRIA

b-c b+csinb sinc---2 sin COB

2 2

sina=--sin(b+c)-----2sinb-Fcb+ c

COE--;2 2

sina+sinb-8inc=200sb+c b+ c +

2 2 2

b+c sin-cos-2'2 2

(c)sina+sinbsinc=4sinasin-b cos-c .2 2 2

56. Se facem calculabile prinlogaritmiespressiunea

*50cot cot-b-+cot-c-2, in care a+b+c---n Avem*:2 2

b+csm.

2cot-b-+cot2

c

b2 sin-sin-2 2

si Sind b -Fc

2 2 2'a

COS -c 2cot-+ cot -,_

2 . 2 b csinsin --2 2

Inseacos-

a 2

2 . a2

adunand,

4

sinb c

cb.

.

)

-

VORMDLE FUNbAMtNTALE 67

a acos cosa 2 2cot-+ cot b c+ cot +

2 a2 a b csin-2 sinsin-2 2

cos(LzEsinl d- sin12-sin-).2 2 2 2

a b csin-sin-sin-2 2 2

Inse, dupe conditiunea pusa, avem:s_cosb + c cos-cos- m ms-s-.m.

a b c . b . c2..

2 2 2 2 2'atunci

_

-

a b c

2 2 2

coscl cos12cossinb-sinf+ sini!sinc-2 2 2(

2 2 2 2

a b csinsin sin-2 2 2

a b cCOS -COS COS

2 2. ,a . .sin- b c-smsm---2 2 2

seu in fine,

cota b c+cot-+ cot=cota cotb ccot.2 2 2 2 2

Ua demonstratiune identica ne va da, pentru ad b+ C=7C, Si

tga+ tgb-l-tgc=tgatgbtgc. --4"METODE GENERALE PENTRII A FACE ESPRESSIIINILE

CALCULABILE PRIN LOGARITMI.

57. Pane acum nu am urmat nici ua regula fissa irk

2

2

68 CURS DE T1CONOMETRtA

operatiunile ce am facut pentru a. transforma espres-siunile, ci am cautat numai a profita de forma lor par-ticularia pentru a simplifica, pe cht se puts, calculele.Sunt inse si metode generale pentru a face acesta trans-formare.

Fia binomul A+B, in care quantitatile A si B au ori-ce fel de valori vom voi, inse positive. Punend pe A cafactor comun, vom aye :

(a)A

Punem B 2 (b)

fiind un anghiu ajutator ore-care ; si putem tot-de-unagassi un anghiu p care se satisfaca equatiunea (b), chciscim eh tangenta unui arc pote se aiba tote valorile pos-sibile. Substituind. acesta valore in (a),

A-1-B=A(1-1-tg2 )=A sec2 Acos 2

cp

Anghiul p fiind determinat prin relatiunea (b), espres-Asiunea calculabile prin logaritmi, va fi si ea de-

cos 2cp

terminata.58. Lukm binomul A B, in care A si B sunt posi-

tive, inse A>B. Punend erasi pe A ea factor comun,

A B=A(1 .(c)

Fiind-ca A>B'<1; prin urmare putem puneA

cos cp,2

A(d)

si acesta relatiune ne va da tot-de-una ua valore reale

A-1-13----A(1+

cp

-B

9

,

A

B

. Bpentru cp. Punend in (c) valorea data de (d), aceaAespresthune se face:

AB=A(1cos )=Asin2p.Deca in A B presupunem ch A<B2 avem:

B.erasi A .cos2p,si punend

AB= B(1 cos2 )=Bsin259. Fia binomul

msina+ncosa,in care a este un anghiu ore-care, m si n nisce mono-me ore-care. Punend pe m ca factor comun,

msina+ncosa=mrsina+cosa .\ m

Deca luhm tg avem:

msina+ncosa=m(sina-f-tg y cosa)=m(sina +sin p cosa )cosp

seu in fine,

rnsina cos p 4 sin p cosaCOS

msina+ncosa-- msin( +a)COS

Assemenea am fi avut si:

rnsinanina msin(p a).cos

GO. Binomul A-±BtgaB\ B(A ±tga) devine, deca pu-

nem A-=--tg :

2 p

A

p.

cP

,


sin? sina+A±Btga=B(tg ± tga)=l3cos?

cosa )

B sin(p± a)cos ? cosa

Assemenea se transforma si A±Bcota.61. Fia inca espressiunea m±nsina, in care m si n

stint nisce quantitati ore-cari, inse nu coprind nici ualinia trigonometrica ; atunci

m±nsina cosa±nsinani cosa+sinacosa ncosa

l;

punend ncosatg p obtinem :

m±nsina=n(tg p cosa±sina)=n(sin ? cosa±sina) n(sin? cosa±sinacosCOS cp COS cp

nsin(p ±a)cos

62. Pentru a reduce in un monom un polinomreducem mai antain cei doi termeni

a+b in unul singur m; apoi red.ucem pe m si c in untermen n; pe n si d in un termenp, si asia mai departe.

Essemple. 1°. Se se faca calculabile prin logaritmiformula

cosa= cosbcosc+ sinbsinc cosA.Punend ca factor comun pe sinbcosA, avem:

c.cosa=sinbcosA( cosc+sinc),

coibsi luand tg?,cosA

cosa=sinb cosA(tg cos

COB

cp

l cos ?

ni tn

T )

a-l-b+c+d+....,

cp ti ..t.k

y


seu

sin cp cosc+sinccoscos

cosa=sinbccosA sin(cos?

2°. Se se faca calculabile prin logaritmi equatiunea:cotasinb=cosbcosC-FsinCcotA.

Punem pe cotA factor comun:

cotasinb=cot1( cosb cosC+sinC),cotA

Si luand cosb avem :cotA

cota sinb= cotA (tg p cosCd-sinC)

=cot.a.A sin? cosC+cos sinCCOS

de unde

cotasinb=cotA sin(cos

3°. Se transformhm OquatiuneasinccosA=cosasinb sinacosbcosC.

Acesta equatiune este identica cucosasinbsinccosA= sinCsinacosbcosC,

sinesi punend ca factor comun pe sinacosb,

cotatgb .sinccosA=sinacosb(.sMC

si punend cot atgb cot?,smC

sinccosA--sinacosb(cot p sinC.cosC)cos p sinCsin p cose

2siu

seu, i fiDel

c)

p

rp

±C)

T

p

p


sinccosA=sinacosb sin( C)sin cp

63. Regulele pre caH le-am dat pentru a face ua es-pressiune calculabile prin logaritmi de multe se potese nu se aplice, cand espressiunea are ore-cari forme

*46-56 particulari. Am dat* mai multe essemple de acesta.Eca inca ua espressiune forte insemnata, care se poteface calculabile prin logaritmi nu dupe metoda generale :

b2+ c2a2CosA-

2bcAdaogind 1 la ambele membre avem :

b2+0____a2 b2d-c2a2+2bc1+ cosA= +1

2bc 2bc(b + c)2 a2

2bcsi scadiend. 1 din ambele membre alle acestei din urmaequatiuni,

*65 si

COSA(1' +c)2a212bc

Punem tg +cSc a2 (b+c+t+ca); atunci

cosA= tg 1 ;

fi.ind-ch 1 , dupe cum

Sin(

vom vedé indate,

V2sinN7C

4 4cos.A..---tg tg 7

COSCOS cp COS-

4

*65 . 7, AfT 1 *cam cos_,4 2 V 2

7:

9

2bc 2bc

FORMULE FUNDAMENTALE fiS

LINIILE TRIG ONOMETRICE A CATOR-VA ARCURI.

64. Se gassim liniile trigonrmetrice alle arcului AEde 30°.

Laturea EF a unui exagon regulatinscris subintinde un arc EAF de 600;radia OA, perpendicularia pe acestalature, imparte arcul EAF in doueparti EA. si AF, fie-care de Cate 30';assemenea EG=-- GF. Inse EF=0E--=-1;prin urmare

EG sin30°=-1-.2

G-asim cos30° prin relatia

cos30°=V1-5in2300. V1_ 1 17 3

2

Impartiend espressiunea lui sin30° cu a lui cos30°,avem :

1tg30° .V 3

65. Fia arcul AB---45°. In trianghiul dreptanghiuOBC avem :

seu :

OG2+1-62=-6112, seu :cos2450+sin2450.=1.

Inse OC----BC, eaci BOC.----OBC=.45°;prin urmare

2sin245°=-1,

sin45°_,-1 .V 2 cos45°.Vi 2

In OAD avem erasi ADOA, adeca tg45°.=1.66. Deca demonstra ca mai sus* a sin60° este ju-ii64

*41-11LAIEAU\N!

-%,

7 4 CURS DE TRIGONOMETRIA

metate din laturea trianghiului equilateral inscris, ca-re lature se scie eh este V 3; prin urmare

V2A- cos60° I 1sin260°

tg60°- 3.4 2

67. Arcul de 18° este jumatate din arcul de 36° sub-intins de laturea decagonului regulat inscris, si valo-

rea acestei laturi se scie din geometria eh este /K-12 ;

prin urmare, dupe un rationament analog cu cel demai sus,

si

sin18° V8--- 1--cos72°.

4Atunci

cos180=1/1sin2180 .V1 5-F 1---2 V57-16

1710 F2 "-5--sin72°,4

1tg18°1/10+2ro

68. Dupe formula*:sin2a=2sinacosa,

1/10-1-217-6-sin36°.--=-2sin18°cos18° 24 4

(5-1-1_4-6) (I ,/,) 10 2 ArS-16

de uncle sinu,±1/10 21/ 5

4

avem :

seu

*3 9

sin60°--

162.

,cos54°.

2

3 1= VI

sin°36,,_4

FORMULE FUNDAMENTALS 75

69. Dupe formula* : sin3a=3sinacos2asin3a, avem*40inca :

3sin18°cos218°sin318°V5-1 10-1-2V-57 811-16

4 16 64de uncle

sin540 V-51F1 .cos360.4

Combinand prin impartire formulele aflate la § 68 si69, aflam:

tg360V10 2 VY,tg540__

AT+ 1

1/5+1 V10- 2 VT:70. Prin formulele

a 1 1sin-y= y 1-F-sina-± -2- V1-sina,

a 1 11+ sinaT

avem:

seu

ori

sin

cos

9°1--y v 1 fsin18°

190= 2- v 1+sin18° +

1v1sin18°,

1 vlsin18°,

sin9°--=.1 V4

l+ \/1-1/14

,2 2

cos9°--=-12 4 2 4

1 1-\/ 3+ VT- cos8r,4 '

3

1

y1cos . +

22A/ 1sina,

2

--2

2

1

\/1-1- 1

sin54°-=

,

./

/1 1/-1V

1/5VC =


0cos9_ / 1=1 y 3 + V-6--f- 1/5-3/-5-_, sin810.

Assemenea1sin27°.--i 1/5+ fro---

cos27° = 1 V 5+1/ 5 +4-

-It V3-1/5 --=oos63°,1 V3 -1/ 5 .---sinG3'.

-4-

4

CA PITULUL III.-TABLE TRIGONOMETRICE

71. Proprietatile pre cari le-am studiat pene acumnu vor put6 aye nici un us practic deca nu vom ayemedie de a gassi indata valorea numerica a liniilor tri-gonometrice alle ori-carui arc ni s'ar da. Inse liniiletrigonornetrice sunt functiuni transcedente alle arcului,adeca nu se pote stabili nici ua equatiune algebrica in-trega care, pentru ua valore a liniei trigonometrice, secoprinda tote valorile correspundiatore alle arcului. Dinacesta causa calculele prin cari aflam valorea liniilortrigonometrice alle unui arc dat sunt peste mesura delungi si difficile, si ar fi peste putintia a aplica formu-lele trigonometriei la caloulele practice, deca ar trebuica la fie-care moment se calculam si valorea liniiior tri-gonometrice ce ar intra in acelle formule. Din acestacausa se construesc table cari, pentru ori-ce valore dataa arcului, contin valorile calculate alle totor liniilorselle trigonometrice.

72. De si arcele pot se aiba valori ori-cat de mari,

78 CURS DE TRM0NOMETR1A

tablele trigonometrice nu se calculedia de cat pentru*28 arcele de la 0° pene la 90°, caci scim* ca ori-ce arc,

ori-cat de mare ar fi, se pote reduce la primul cadran.Pe lunga acestea, deca calcultbm tote liniile trigono-

metrice alle arcelor de la 00 pene la 45°, nu mai estenecessariu a calcula valorea lor si pentru arcele de la450 pene la 90'; caci aceste din,urma arce sunt comple-mentele cellor d'antaiu, si prin urmare liniile lor tri-gonometrice vor fi complementarie cu alle cellor d'an-taiu. Deca cunoscem, spre essemplu, sin 36°,:- cos 36°,tg_ 36°, cot 36°, sec 36°, cosec 36°, vom cunosce sicos 54° = sin 36°, sin 54°. cos 36°, cot 540= tg 36°,tg54°=cot 36°, cosec 54°=sec 36°, sec 54°=--cosec 36°;caci 54°=90°-36°.

73. Tablele trigonometrice nu dau chiar valorea nu-merica a liniilor trigonometrice, ci, fiind-ca mai totecalculele trigonometriei se fac prin logaritmi, dau nu-mai logaritmii acellor linii. Pe lunga acestea, tablele nucoprind logaritmii secantei si cosecantei arcelor, caci

1 1din relatiunile : sinx.7

cosx , avem:cosecx secx

logsinx--logcosecx, logcosx = logsecx. Prin ur-mare, pentru a gasi logaritmii secantei si cosecantei u-nui arc, n'avem de cat se luam logaritmii cosinusuluiseu sinusului acellui arc cu semnul contrariu.

Logaritmii liniilor trigonometrice se calculedia prinnisce metode alle caror principii le vom espune in scurt

ot2.58-2s1mai departe.* Acum ne vom multiami a areta numaipossibilitatea de a se construi tablele trigonometricepentru arcele din 10" in 10". Pentru acesta vom demon-stra mai antaiu urmatorele teoreme :

TABLt 'rR1GONOMETRICE 1$7

74. Teorema I. Ori-ce arc coprins intre 00 si 900este: 1° mai mare de cdt sinusul seu, si 2° mai mic de cdttangenta sea.

B 1°. Fi a arcul AB =a; avem : sina----BC,tga---DA. Ducem corda BA, si avem :

A.BC<BA, seu sina<BA, caci BC este per-

c pendicularia, era BA oblica. De alta par-te BA<arcBA, seu BA<a, caci arcele mai mici de cat90° sunt mai mari de cat cordele lor; prin urmare afortiori.

sina<a. (a)2'. Aria sectorului circular OBA este : OBA=-10A.

XarcBA=-10A <a. Aria trianghiului d.reptanghiu ODAeste : ODA---10AXAD----10AXtga ; inse ODA>OBA ,prin urmare IbAtga>10Axa ; si impartind de ambeleparti cu IOA,

tga>ta. (b)Relatiunile (a) si (b) se pot scrie in un sir :

sina<a<tga. (1)

(75. Teorema II. Cand arcul se micsioredia peste me-sura, raportul arcului catre sinusul seu tinde catre 1.

Punend. in (1) in l ocsinade tga pe , avem :cosa

Siiiiaa< sill 4 .co?sa

Impartind pe fie-care membru prin sina, aceste re-latiuni se fac :

1< a 1sina<cosa .

Inse deca arcul se apropia de zero, cosa se apropiade 1, asia eh deca arcul este forte mic, cosa se pote so-

n

80 CURS DR TR1GONOMETR1A

coti egale cu 1; deci la limita relatiunea de mai susdevine:

a .1, seu a=sina.sina

76. Observare. In calcul anghiurile se esprime seuprin gradele, minutele si secundele pre cari le coprind,seu prin lungimea absoluta a arcurilor cari le mesora,aceste arcuri fiind luate pe ua circumferentia cu radia1. Asia se pote dice ca, un anghiu este de 22°30', seua este mesurat cu un arc de lungimea 0,39269908Inse de multe ori este de trebuintia ca, cunoscund es-.pressiunea unui anghiu in un fel, se gasim espressiu-nea sea in cellu-alt fel.

Fia a lungimea linearia a unui arc care mesora unanghiu ore-care, si numerul intreg de secunde ce co-prinde acel arc; este evident et arcul a es.e egal cu dea" ori arcul de r; adeca a=--a"X arcf. Inse arcul de 1"fiind forte mic, avem dupe (2): arc 1"=--sinr; si atunci

a=dsinl", (3)din care a a (4)

sm1

Relatia (3) ne areta ch pentru a afla lungimea abso-luta a unui arc, trebue a immulti numerul de secunde cecontine el cu sin 1"; si (4), ca, pentru a afla numerul desecunde continut in un arc, trebue a imparti lungimeaabsoluta a arculut cu sin1"./

77. Teorerna III. Sinnsul unui arc coprins intre 0°si 90° este mai mare de clit dftentia intre arc si a patraparte din cubul arcului.

a"

y=_-.

TABLE TR1CONOMETRWE

Dupe teorema I avem

multind ambii membri ai

---a

avem : acos21- <2sm2 2

asin-a a

: <tcr- seu <--a 2.

2 2 aIm-

CoS

acestei neegalitati cu 2c0s2 .`2-

-si fiind-ch: 22 2

=1sin2a 2sina cosa =sina2 ' 2 2

,

al 1sin2a <sina, seu a asin 2 --'1<sina.2 2

Inse sin2a < a)2.a22 2

; punenci dera in neega1i-4144

n2tate pe in loc de sin2 a-2' vom aye a fortiori :

asa-4-<sina.

Corolariu. Din (5) deducem:

asina <-1,adeca diferentia intre un arc si sinusul seu este mai micade cat a patra parte din cubul arcului.

78. Teorema IV. Cosinusul unui arc mai mic de 90°este mai mare de cdt diferentia intre unitate si jumetatea

a2patratului arcului, adeca cosa>1---.2

Avem :* cosa .1-2sin2L si sin a <a Punend*422 2 2

dera in equatiune, in loc de sin22-'valorea mai mare

22

(-a- este evident ca, vom aye:2 , 5

8!

cos-L1-,

2

(6)

(6)

(12cosa>1-2 (7)seu cosa>1_92.2 , 2

79. Teorema V. Cosinusul unui arc coprins intre 0°si 900 este mai mic de cat unitatea minus jumetate din

patratul arcului, plus a sesse-spre-diecea parte din a patra

putere a arcului, adeca cosa<1(-12-2-1--a4.16

*77 Dupe (5)* avem :

sin->4

-2

seu:a a 1 (ay .

2 2 ,

a (a..) 312.

Deca dera in equatia: cosa-=1-2sin4 vom pune in2'

asin2-

1( aloc de valorea mai micatc-1 3 vom aye :

2

a2 2 ce) Sell: cosa<1----0- 4 2 2 322 16'

si a fortiori,(8)cosa<1 1-2+ 2-4.

2 16

Corolariu. Deca in (8) trecem pe 1--2

in membrul

antain cu semnul contrariu, avem:(9)

2cosa(1--a2) <64

16

CALCULUL SINUSULUI SI COSINUSULUI ARCULUI DE 10".

80. Sinus de 10". Se scie ch bingimea unei semicir-cumferentie, cand radia are valorea 1, este

7c=3,1415926535897932....,si fiind-ch ua semicircumferentia coprinde 180° seu648000", vom avea;

a%

'+2 4, 2

TABLE TRMONOMETRICE

seuarc648000"=3,1115926535897932....,

arc 11?-3'141592.... 0,000048481368111064800,

prin urmare

siarc 10"<0,00005,

(arc 10")/3<0,0000,00000000032.4

83

a3 .prmurmareinitnInse relatiunea (5)* dh: sina>a ----;4

casul de fatia:sin 10">?0,000048481368110 0,00000000100001032,si facimd substractiunea,

sin 10">0,000048481368078.Comparand valorea din membrul al doilea eif valo-

rea lui arc 10", vedem ch elle nu differa una de alta dect d.e la a 13 di ecimale inainte si inca acesta a 13a die-cimale in valorea arcului este numai en ua unitate maimare de cat a 13' diecimale din valorea lui sin 10.Deca dera vom lua

sin 10"----0,0000484813681, (A)putem fi securi cà erorea comisa asupra valorii luisin 10" va fi mai mica de cat ua unitate de al 13" or-din diecimal.

81. Cosinus de 10". Formula (9)* ne areta eh dife-%79(arc 10")2rentia intre cos 10" si 1 este mai mica de

2(arc 10)4cat . Inse deca lam pentru arc 10' valorea

160,0000481813...., gasita mai sus, aflam:

, /

;

84 CURS DR TRIGONOMETRIA

(arc 10") 0,0000000000000000039,16

quantitate care neavend cifre insemnatore de cAt de laa 18' diecimale inainte, se pote neglige cu totul. Asiadera putem lua:

cos10"=1 (arc 10)2,

sAll 2cos10"=---1 0,000000001152=0,9999999988248, (B)si asupra kcestei valori este comisa ua erore mai micade cfit ua unitate de al 18" ordin diecimaL

Cunoscund sin10" si cos10" vom gasi tg 10" prinrelatia tg10"--= sin10"

cos10".82. Sinusul si cosinusul arcelor din zo in .ro secunde.

*41Formu1e1e lui Thoma Simpson, date mai sus*, sunt:sin(m + 1)17.2 sinmbcosb sin(m-1)b,cos(m+1)b=2cosmb cosbcos(m-1)b.

Deca luhm b=10" si m=1, aceste formule devin :sin20"----2sin10"cos10", cos20"=2cos210"-1.

Punend b=10" si m=2, acelleasi formule dau:sin30"=.2sin20" cos10"-- sin10",cos30"--=-2cos20" cos10"cos10",

si asia mai departe. Facund in fine b=10" si m=m,avem:

sin(m+1)10"---2sinm I 0" cos 1 0" sin(m 1)10"(C)

cos(m+1)10"--=-2cosm10" cos10"cos(m-1)10Cu formulele lui Thoma Simpson putem dera calcu-

la sinusurile si cosinusurile arcelor din 10"in 10" cu a-jutorul lui sin10" si cos10", pre cari le-am aflat mai sus.

Calculele se pot prescurta observand ch factorul con-stant 2cos10" difera forte putin de 2 unitati, caci rela-

TABLE TRIEONOMETRICE 85

tia (B) ne areta c cos10" difera forte putin de 1. Pu-nem k=2-2cos10", de unde 2cos10"=2k. Substi-tuind. acesta valore in relatiile (C),

sin(m+1)10"=sinm10"(2k)sin(m-1)10',cos(m+1)10"----cosm10"(2k)cos(m-1)10",

din carisin(m+ 1)10"sinm10' sinm10" k sinm10"

sin(m--1)10",cos(m+ 1)10"=cosm 1 0"-Fcosm 1 kcosm10"

cos(m-1)10",seu

[sin(m+1)10" sinm101= [sinm1.0"sin(m-1)101ksinm10",

[cos(m+1)10"cosm1.01=[cosm10"cos(m 1)101kcosm10".

Aceste formule ne dau diferentiele sin (m+1)10"sinm10" si cos(m±1)10"cosin10", cand cunoscemdiferentiele precedente sin m 10" sin (m 1) 10" sicosm10"cos(m-1)10", precum si quantitatile sinm10'si cosm10". Adaogind acelle diferentie la sinm10" sicosm10" gasim pe sin(m+1)10" si cos(m+1)10".

Quantitatea constanta k se calculedia ua data pen-tru tot-de-una pentru a se introduce in calcule. Se ga-sesce

k=0,000000002304.83. Formai-ea tablelor de logaritmi dupe acesta me-

toda are trebuintia de lungi calcule aprossimative; side acea trebue din cand in cand a verifica resultatelecalculului, comparandu-le cu resultatele gasite prin altemediu-loce. Pentru acesta ne putem servi cu seria ar-

86 CURS DE TR1GONOMETR1A

celor din 9 in 9 grade, alle caror linii trigonometrice*64-7o1e-am gasit prin mediu-loce geometrice.*

TABLELE Lill CALLET.

84. Table le trigontmetrice celle mai usitate sunt ta-blele lui Lalande calculate cu cinci diecimale pentru ar-cele din primul cadran din minut in minut, si tablelelui Callet, calculate cu siepte diecimale, din secunda insecunda pentru arcele de la 0° pene la 5°, si din 10 se-cunde in 10 secunde pentru tote arcele de la 0° penela 90°.

Amendoue aceste table, editate si perfectionate de J.Dupuis, presinta ua dispositiune analoga. Vom da des-crierea si usul tablelor lui Callet, si tot ce vom dicedespre acestea se va aplica si la alle lui Lalande.

85. Prima parte a tablelor lui Callet dh logaritmiisinusului si tangentei arcelor de la 00 pene 5° din se-eundh in secunda. Inse sinusul si tangenta unui arcfiind egale cu cosinusul si cotangenta arcului comple-mentar, acesta tabla ne dh in acellasiu timp si cosinu-sul si cotangenta arcelor de la 90° pene la 85°.

Acesta tabla se imparte in doue : tabla de sinusuri.si tabla de tangente. Sinusurile sunt date pe verso alfoii, era tangentele pe recto; asia ch deschidiend tabla,sinusurile se afla pe pagina stanga si tangentele pe pa-gina drepta. Dispositiunea ambelor pagine este cu to-tul analoga.

Reproducem aci ua parte din tabla sinusurilor. Nu-merul gradelor este inscris desupra si dedesubtul tablei,afara din cadru. Pagina este impartita in opt coloneverticale, dhatre oari celle doue de la margini, d si h,

TABLE TR1GONOMBTRICE 87

coprind numerul de secunde, in colona a crescund. desus in jos de la 0 pene la 60, era in colona h de jos insus; pentru simplicitate, diecimile se scriu numai uadata, era incolo de subintieleg. Colonele d.e la mediu-loc, b, c, d, e,f,g, porta sus si jos numerul minutelor.

Cand arcul dat este coprins intre 00 si 50, logaritmiisinusului seu tangentei selle se, afla pe pagina ce portain partea de sus afara din cadru numerul de grade alarcului, in colona verticale care porta in capetul de susnumerul de minute al arcului, si pe linia orizontale caretrece prin numerul de secunde al arcului, inscris in co-lona de la stanga a.

Cand arcul dat este coprins intre 90° si 85°, logarit-mii cosinusului seu cotangentei selle se afla pe pagina ceporta in partea de jos afara din cadru numerul de gra-de al arcului, in colona verticale care porta in capetulseu de jos numerul de minute al arcului, si pe linia ori-zontale care trece prin numerul de secunde al arcului,inscris in colona de la drepta b.

Cand mai multi logaritmi succesivi inscrisi in aceasicolona au primele lor cifre comune, de ordinar se sub-intieleg celle doue de la inceput, afara numai de loga-ritmii estremi, si de cei scrisi in capul colonei. Ast-fel,cand in tabla gasim numai siesse cifre alle unui loga-ritm, trebue se-1 complethra, scriindu-i la stanga cifre-le escedente pre cari le contine logaritmul cel mai a-propiat, urcand seu pogorind.

1°. Fie a sé cauta logsin3°37'12'. Deschidem tabla laua pagina care in partea de sus se porte scris : sinus3°,si anume cauthm pe acea in care a treia colona verti-'oak, c, porta sus titlul 37'. Descinclem pe acesta colona


SINUS 3°.aff

36' 37' 38' 39' 40' 41, 0

0 T,7978941 2,79989742801,915 2,8038764 2,8058523 2-,8078192 601 979275 999307 019247 039095 058852 078519 9

2 979610 999640 019578 039425 059180 078846 8

3 9799451,7999973 019910 039755 059509 079173 7

4 980279 2,8000306 020241 040085 059837 079500 6

5 980614 000639 020573 040414 060166 0;9827 5

6 90048 000972 020904 040744 060494 080154 4

7 981283 001305 021235 041074.. 060823 080181 3

8 981617 001638 021567 041404 061151 080808 2

9 981952 001971 021898 041734 061479 081135 1

10 982286 002304 022230 042064 061808 081462 501 982620 002637 022561 042394 062136 081788 9

2 982955 002970 022892 042723 062464 082115 8

3 983289 '003302 023223 043053 062792 082442 7

4 983624 003635 023555 043383 063121 082769 6

5 983958 003968 023886 043713 063449 083095 5

6 984292 004301 024217 044042 063777 083422 47 984626 004633 024548 044372 064105 083749 3

8 984961 004966 024879 014702 064433 084075 2

9 985295 005299 025211 045031 064761 .084402 1

" 23' 22' I 21' 20' 19' 18' ff

COSINTJS 86°.

pene in randul orizontal care trece prin numerul 12 in-scris la stanga in colona a a secundelor. Acolo gassimcifrele 002970. Pentru a completa logaritmul, vom a-daogi la inceputul acestui numer cifrele 2,8 cari se aflainscrise la logaritmul cel mai apropiat urcand seu po-gorind, si atunci

logsin3°37'12"= 2,8002970.Cu totul assemenea se face si pentru a gasi

logtg3°37'12", care este :

logtg3°371 2". 2,8011641.

2°. Fie a 'se cauta logcos86°20'53". Deschidem tabla-la ua pagina care in partea ae jos se porte scris : cosi-

nus 86°, si cauthm pe aceea anume in care a cincia co-

b

1

TABLE TRIG0N0METR10E 89

lona verticale e porta jos titulul: 20'. Ne urchm pe a-cesta colona pune in randul orizontal care trece prinnumerul 53, inscris la drepta in colona h a secundelor.Acolo gassim eifrele 011074 ; si pentru a completa lo-garitmul, adaogind la inceputul acestui numer si cifre-le 2,8 cari se afla inscrise la logaritmul cel mai apro-piat urcand. seu pogorind, avem:

logcos86°20'53". 2,8041074.Tot assemenea se face si pentru a gasi logcot86°20'53'",

care estelogcot86°20'53"--2,8049902.

86. A doua parte a tablelor lui Callet d logaritmiisinusului, tangentei, cotangentei si cosinusului arcelor

de la 00 pene la 90°, din 10" in 10".Reproducem aci ua pagina din a d.oua parte a table-

lor lui Numerul gradelor, deca este mai mic de45, este scris in susul paginei, afara din cadru ; era decaeste mai mare de 45, se scrie in josul paginei. Numerulminutelor este scris in colonele verticale A si L, lastanga si la drepta paginei, si merge crescund de sus injos in A, si de jos in sus in L.

Numerul secundelor se afla scris in colonele vertica-le B si K, cari yin dupe alle minutelor, si acest numermerge crescund de sus in jos in B, si de jos in sus in K.

Sinusurile pentru arcele mai mici de 45° se gasesc incolona C, intitulata sus sin, era pentru arcele maimari de 45° in colona H intitulata jos Sin.

Tangentele, pentru arcele pene la 45°, se afla in co-lona E, intitulata sus tang, si pentru arcele mai maride 45°, in colona G intitulata jos tang.

Callet.


Assemenea cotanontele si cosinusurile arcelor penela 450 se vor gassi in colonele G si H intitulate suscotg si COS, si pentrui arcele mai mari de 15° in co-lonele E si C, intitulate jos cotg si COS.

Co lona cea mica D coprinde differentiele tabulaie in-tre logaritmii consecutivi inscrisi in colona C. Asseme-nea colona F contine differentiele intre logaritmii con-secutivi inscrisi in colonele E si G-, si colona I differen-tiele logaritmilor din colona H.

Fie acum: 10 a so gasi logsin28°13'30'.' Considerandeh arcul dat este mai mic de cat 45°, vom deschide ta-blele la pagina intitulata sus 28°, si in colona A vom cau-ta numerul minutelor, 13; apoi in B vom cauta si nu-merul de secunde, 30, corespondente la 13'. Atunci perandul orizontal care trece prin acest numer de secun-de, in colona C, intitulata sus sin, vom gasi cifrele748017; si adaogind la inceput si cifrele subintielese

avem:logsin28°13'30"--1,6748017.

2°. Se gasim logsin61046'40". Arcul fiind mai marede 45°, pc pagina intitulata jos 61°, vom cauta minute-le 46 in colona de la drepta L, era secundele 40 in co-lona alaturata K. Logaritmul cautat lu vom gassi incolona H in dreptul numerului secundelor 40; acestlogaritm este :

logsin61°46'10"---=1,9150351.3°. Fië Inca a se gasi logtg28°15'20". Vom cauta pa-

gina intitulata, sUs 28°, si in colona A dela stanga ace-stei pagine vom cauta 15' ; apoi in colona alaturata

28°ABC DE F G H IKL M506

" Sin. Tang, Cotg. Cos. 1 50.82 101.23 151.84 2o2.45 253.o

303.67 854.28 404.89 455.4

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

0

1020304050

010209040501

lo30 '

so'

401

60

101

26304050

1020

30401

50

1020

4050

01020904050

0

102030

4050

1020

40i

60,

4120304050

0

1-'9739769740162740556740949741342741735

742128742621742914743806743699744092

744485744877745270745663746065746448

746840747232747625748017748409740801

749194749586749978750370760762761164

751546891

593391393

393393991

393392393391393

3921

399393

3923113

392

3921

3931

392392,

392393

392392392392392392

75232976272/

992392

758113753504

392391-

753896392fl,

754287 "'754679 392756070755462

391

392755853 391

756246 °276663

757418

391

757041391391

767809 391768200 391

89275859276898370.0.24

760135760546

760937761328761718762109762500762890

1,6763281

Cos.

891391890391991891

391890391391390391

1,7287161287667

288173288679289184289690

290196290702291207291713292219292724

293230293736294241294747295252295757

296263296768297274

1222J298281298789

299295299800300305300810301316301820

3023253028303033353n840304345304850

306364305859306364306869307

308383308887309892309896910401310905

311410311914312418312929313427313931

314436314940315444315948316452816956

1,7317460

Cotg.

D

506

506506505506506

506605506506605506

500505506505505506

505506505505505

506505505505505506

505505505505505505

504505605505501505

605504605504506504

505604501505504604

506504504504504501554

0,2712839

712333

711827711321710816710310

7(9804709298708793708287707781707276

709770706264705759705263704748704243

703737703232702726702221701716701211

700705700200699695699190698685698180

1,9162609452496452583452270452157452045

461932451819451706451593

45)368

451255451142451029460916450803450690

450577450464

1

4502 8450125450012

449899449786449673449560449447449331

697675697170

449220h2ll9.7

696665

696160448994448881

295655, 448768695150 449955

6946461

448541wig 448428

1/440197'693131 448202

113

692627 448088692122 447975

691617 447862691118 447149690608690104

447635447522

689599 447166.

089096 447295

688590 447182688086 447069

416956687582687077 446842686673 446728686069 446615

6865646850606845566840526813518

683044

0,2682640

446501446888446275446161446048445934

1,9445821

Tang. Sin.

D.

113113118113112113

113113113113112113

113113113113113113

113113113118

113113

113113113113143114

113113113113113114

113118

114113113

113114113113114118

113114113114118114

113113114113114113

0

5040302010

05040302010

0

5040802010

5040302010

0

5040BO

2010

504030

2010

0

6040SO20

06040302010

05040802010

05040302010

0I/

50

49

48

47

45

44

-43

42

61°

5051 6o.52 lol.o9 161.54 302.05 252.58 808.07 853.58 4o4.o9 464.5504

1 6o.42 100.83 151.24 2o1.65 252.o

8o2.47 855.88 403.29 453.0393

2

4587

N. 378.8

117.9157.2108.5285.8275.1

8 914.49 459.7

12

46

39289.278.4

117.6158.8198.0235.2

7 974.48 818.89 852.8391

1

46

789

89.178.2

117.8168.4195.6234.8978.f812.8351.9

3901 899 788 1174 1588 195

2847 2788 8129 851113

1284687

9

11.925.839.945.958.507.879.190.401.7

Pag. 90.

i

0

, _19

4

64

599

8

/1 I

0

0

1

8

8

D

'

,--

1

TABLE TRIGONOMETRICE 9 t

B,20". Pe linia orizontale ce trece prin acest numerde secunde, 20, vom gasi:

logtg28°15"20"------1.,7303335.Tot assemenea vom gasi:

logtg61°41'30" =0,2687077,logcot28°14'50"=0,2698180,gogcot61°49"10"=-1,7289690,--logcos28°15'40"=1,9448768,logcos61°44'0"=-- 1,6753896.

IISUI T A.BLELOR.

Doue sunt problemele ce se pot presinta cand. voima ne servi cu tablele trigonernetrice: 10 Se da, un arcsi se cere se gassimlogaritmuluneia din liniile selle tri-gonometrice 20. Se dà logaritmul unei linii trigonome-trice a unui arc necunoscut, si se cere se gassim a-cel arc.

87. Problema I,Danduse un arc, se gassim loga-ritmul uneia din liniile selle trigonometrice.

Am vediut% cum trebue a procede pentru a gasi lo *8 6garitmul liniei trigonometrice a unui arc care se ga-sesce in table. Nu vom mai reveni asupra acestei pro-bleme, ci ne vom ocupa numai de casul cand arcul datnu se afla in table.

10. Se se gasesca logaritmul sinusului unui arc.Fie a se gasi logsin 28°14'36",5. Fiind-ca arcul dat

nu se afla in table, vom cautalogaritmii sinusului arce-lor ce se afla in table si intre cari este coprins arculdat, adeca:

logsin28°14'30" ----1,6750370

si logsin28°14'40" =1,6750762,

('7 9

;


In colona D vedem ch differentia intre acesti doilog aritmi este 392; de alta parte differentia intre celmai mic din aceste arce si arcul dat este de 6",5. Insepentru intervale forte mici, ca celle din casul de fatia,putem considera logaritmii sinusurilor ca fiind propor-tionali cu arcele ensesi; asia-dera putem face rationa-mentul urmator : la ua crescere de 10" a arcului, cor-respunde ua adaogire de 392 unitati de al sieptelea or-din la logaritm; la ua crescere de 6" ,5 a arcului, ce a-daogire se cuvine logaritmului? Proportiunea:

10" :392=6" 5 :x, ne da, :.x 392X6" '5

10254,8, valorea

quantitatii cu care trebue crescut logsin28°14'30" pen-tru a aye logsin28°11'36",5; prin urmare

logsin28°14'36Eca dispositiunea calculului:

logsin28°14' 30" -----1,6750370 A= 392pentru 6°,5 2548 392X6",5_254,8.logsin28°14'36",5=1,67506248 10

Observare. Cand differentia gasita pentru logaritmpresinta ua parte fractionaria, a carii prima decimaleeste mai mica de cat 5, tota partea fractionaria se la-peda ; era deca prima diecimale 6 mai mare de cat 5,partea fraetionaria tot se lapeda, marind inse cu uanitate ultima cifra a intregilor. Asia, in essemplul pre-cedinte differentia fiind 254,8, dupe transformare ea vadeveni 255, si atunci logsin28°14' 36%5 va fi 1,6750625.Deca differentia ar fi fost 254,31, spre essemplu, nu amfi introdus in calcul de cat partea 254.

Acesta observare 6ste aplicabile la tote calculele cese fac cu logaritmi.

e

x

u-

,5=i,67506248.

TABLE TRMON01ETR10E 93

88. Calculul partii proportionale 251,8 se pote facecu mult mai mare inlesnire cu ajutorul tablelor de di-ferentie proportionale, asiediate pe marginea paginei,afara din cadru. Aceste table coprind crescerile loga-ritmului correspundiatorie la fie-care crescere de 1",2"....9" a arcului. Se gassim, spre essemplu, care estecrescerea logaritmului ce corespunde la crescerea 6",5in arc, differentia tabulara fiind 392. Tabelul intitulat3 92 ne areta ch la crescerea 6" a arcului correspundedifferentia 235,2. Pentru a gasi si differentia corespun-diatore la crescerea de 0",5, observhm eh acesta diffe-rentia este a diecea parte din differentia correspundia-tore la 5", caci si 0%5 este a diecea parte din 5"; deciacesta differentia va fi 19,6, pre care adaogindu-o la235,2, aflhm 254,8.

Tot assemenea vom opera si pentru a gasi logarit-mul tangentei unui arc ore-care; asia

logtg6143'48" ,3 =0,269405589. 2°. Se se gasesca logaritmul cosinusului unui arc.Fie a se gasi logcos61°41'37" 8. Acest arc este co-

prins intre 61°41'39," si 61°41'40", si tablele dau :

logcos 61°41' 30" =1,6759764,logcos61°41'40" =-1,6759374,

cu differentia tabulara 390. Observhm inca chlogcos61°41'30" >logcos61°41'40" ,

cci scim ch in primul cadran cosinusul descresce cucat cresce arcul; prin urmare -Vora rationa in modul ur-mator : la ua descrescere de 10" in arc, corespunde cres-cerea la logaritm de 390; la ua descrescere in arc de2",2 (differentia intre arcul dat si arcul cel mai mare dincelle-alte doue), ce crescere la logaritm va corespunde ?

1

94 CURS DE TR1G0NONEETRIA

Tabela partilor proportionale ne dh:crescere correspundiatore la 2" =78crescere correspundiatore la 0" ,2 7,8

85,8.Acesta diferentia, find adaogita la logcos61°41'40",

:

logcos61°41." 3711,8=1,6759460.In assemenea mod gassim si

logcot28°18' 38" ,4=0,2686644.Observare. Din acestea ved.em câ pentru siuus si

tangenta, calculul diferentiei logaritmilor se face prinesces, adeca se ia in considerare diferentia intre arculdat si un arc mai mic de cat densul. Pentru cosinussi cotangenta acel calcul se face prin lipsa, cIci se iadiferentia intre arcul dat si un alt arc mai mare de cltdensul. Restul calculului este identic in ambele casuri.

90. In calculele precedente am presupus ch crescerilelogaritmilor sunt proportionale cu cre,cerile arcurilor.Cand.inse arcurile sunt forte mici, acesta nu mai esteesact pentru logsin si logtg, si atunci nu mai putem a-plica metodele ce am dat. Eca cum operhm in casulacesta :

Fie un arc dat, 4+h, esprimat prin un numer intrega.de secunde, si prin ua fractiune h de secunda. Pen-tru a gasi logsin(a+h) si logtg(a+h), arcele fiind fortemici, putem admite c raportul intre arcele a si ad-heste egal cu raportul intro sinusurile seu intre tangen-tele lor, adeca :

sin(a+h) a+h tead-h) a+hsina a tga a

si luand logaritmii,

cla

TABLE TR1CONOMETR10E 95

logsin(a+h)logsina-Flog(a+h)loga, i(1)

logtg(a+h)=logtga-Flog(a+h)loga. (

Aci logsina si logtga se afla din prima parte a table-kr trigonometrice, caci a este un numer intreg de secunde , log (a+h) si loga se afla din tabla logaritmilornumerelor. Valorile gasite pentru aceste differite quan..titati find introduse in relatiile (1), vom obtine pelogsin(a+h) si logtg(a+h).

10. Se aflam logsin0°2"38",7254. Acest arc, redus insecunde, este 158" ,7254. Prin urmare in acest essemplu,a=158, h=0,7251, si relatia antaia din (1) se face:logsin158" ,7254 = logsin158" -Flog158,7254.log158.

Inse, dupe table,logsin158" =1,8842319,

log158,7251=2,2006164,log158=2,1986571;

prin urmarelogsinO°2'38" ,7254=1,8862212.

Assemenea silogtgO°2'38",7254=4,8862213.

Pentru a gasi logcot a unui arc forte mic, trebue mai1antaiu a calcula logtg , cAci, din cotx tgx, avem:

logcotx--=logtgx. Asia:logcot0r2'38",7254=--(P8862213)=-3,1137787.2°. Se se afle logaritmul cosinusului unui arc forte

mic a-Fh.Din relatia

sin(a+h)tg(a+h)cos(a+h) ,

deducem:cos(a

06 OURS bE 1111CONOAtn1A

logcos(a /2)=---logsin(a+h)---logtea+h),formula prin care am puté calcula logcos(a±h), cunos-cund pre logsin (a+h) si logtg (a+h). Inse deca vominlocui pe logsin(a+h)silogtg(a+h) cu valorile lor dateprin (1) si vom reduce termenii assemeni, vom ajunge la

logcos(a+ logtga,seu logcos(a+h)logcosa. (a)

Prin urmare, deca arcele a+h si a sunt forte mici,logaritmii cosinelor lor sunt aprope egale. Acesta sepote ved4 si din table. Arcul 002' 38",7254 este coprinsintre 002/30" si 002'40"; inse a doua parte a tablelor a-reta a tote arcele de la 0°1'40" pene la 0°2'50" au acel-lasiu logcos; asia dera

logcosO°2'38" ,7254=logcos0°2'30" .

Observare. Din relathmea (a) resulta ch arcele fortemici sunt forte reu determinate prin cosinusurile lor ;asia, in essemplul precedinte am vediut ch la un acel-lasiu logcos correspondea tote arcele de la 1'40 penela 2'50", ceea cu produce ua incertitudine de 1'10".

Pe de alta parte avem :cosa=sin(90°a);

deca a este forte mic, 90^a differa prea putin de 90°;relatiunea acesta ne areta dera ca arcele vecine de 90°sunt forte reu determinate prin sinusurile lor, cari va-riadia prea incet.

Nu este tot asia pentru tangenta si cotangenta Ace-ste linii trigonometrice variadia mult mai rapede de catsinusul si cosinusul, eaci scim eh in primul cad.ran elleiau tote valorile de la 0 pene la oc. Observand dife-rentiele tabulare alle lor, vedem ca valorea cea mai micaa acestor differethie este la 450, asia-dera acolo tangenta

TABLE TRIGONOMETR10E 97

si cotangenta variadia mai incet, si acolo se pote pro-duce erorea cea mai mare. Inse cu tablele lui Cal letchiar acesta valore maximum a erorii este asia de ne-insemnata (0",03), incat se pote neglige. Prin urmaredin tote liniile trigonometrice, celle mai avantagiosepentru a represinta arcele cu esactitate sunt tangentasi cotangenta.

91. Problema II. Dandu-se logaritmul unei liniitri-gonometrice a unui arc, se se gasesca arcul.

Fie a se gasi arcul x al carui logsin este-1,9.451480.Cautam in table la colona intitulata Sin pene cand sedam peste logaritmul dat, .si vedem ca; acest logaritmse afla in colona H intitulata jos sin prin urmare, pen-tru a gasi secundele si minutele arcului, le vom lua ladrepta in colonele L si K, era gradele le vom lua dejos. Ast-fel arcul cautat este: x=--61°48'20".

Assemene vom face si pentru a gasi un arc corres-pundiator la un logcos, logtg, logeot dat; cand acestlogaritmi se afla in table. Ast-fel se gasesce :

Pentru logtgx =1,7297779, x=28°13'30",pentru logeotx .17,7307373, x=61°43'20",pentru logcosx=1,9449107, x=2801510",

92. Deca logaritmul dat nu se afla in table, vom cau-ta doi logaritmi intre cari se fie coprins logaritmul dat,si vom gasi arcul correspundiator la acest logaritm prinua proportia.

Ast-fel, fie logsinx---I,6756418. Cautand. in table,vedem eh acest logaritm este coprins intre

1,6756215=logsin28°17'0",si 1,6756636=logsin28°17'10",

Differentia tabularia intre acesti doi logaritmi este7

98 CURS CIE TRIGONOMETRIA.

391, era intre cel mai mic din acestia silogaritinul dat,173. Prin urmare, deca ua diferentia a logaritmilor de391 unitati de al septelea ordin diecimal corespunde laua crescere in arc de 10', ua differentia in logaritm de173 unitati de acellasiu ordin diecimal, la ce crescerein arc va corespunde? Respunsul este dat prin proportiunea:

391: 10"=-173: a, de unde 173X10.:=--- 4" ,4.

319Adaogind acesta crescere la arcul cel mai mic, ga-

sim arcul cautat :x=28°17'4",4.

Eca dispositiunea calculului:1,6756418----logsinx A-391r,6756245=logsin28°17'0"

-=173X10" Alf A

173 391 I 7

x=28'17'0" +4" ,4-28°17'4",4.93. Crescerea in arc de 4",4 se pote gasi si prin ta-

blele diferentielor proportionali de pe margine. Pentruacesta in tabelul intitulat 391 cauthm cea mai mare di-ferentia care se coprinde in 173, si acesta este 156,1,correspundiatore la 1". Scadiend apoi pe 156,4 din173, gasim diferentia 16,6. Impartind in minte nume-rele din tabel cu 10, vedem cà din tote caturile obti-nute, cel mai mare care incape in 16,6 este 15,64, co -respundiator la crescerea in arc 04,4. Oprinci aprosi-matiunea la partile din 10 alle secundei, crescerea to-tale in arc va fi dera de 4",4.

Tot assemenea, dandu-se: logtgx=f,7297543, ga-sim : x=28°13'25",3.

94. Se gasim arcul x al carui logcos estei,9447589.

TABLE TIUGONOMETRICE 99

Table le ne areta cà acest logaritm este coprins intre1,9147635=logcos28°17'20",

si 1,9447522logcos2S°17'30",a caror diferentia tabulara este 113 ; diferentia intrelogaritmul cel mai mic 1,9447522 si cel dat este 67.Dicem dera: deca la ua adaogire de 113 unitati de alseptelea ordin diecimal la logaritm, correspunde uadescrescere de 10" in arc, la ua adaogire de 67 unitatila logaritm, ce descrescere in arc va corespund.e ? Pro-portiunea :

113 : : a' , da: a' X113

Scadiend. acesta descrescere din arcul 28°17.3W, ga-sim arcul cautat : x=2 8°1 7'21", 1.

Valorea descrescerii arcului, 5",9, se pote gasi si printabla partilor proportionale. In tabelul intitulat 113 ye-dem ch numerul cel mai apropiat de 67 este 56,5, la carecorrespunde descrescerea 5". Apoi numerul din tabel di-visat cu 10 care se apropie mai mult de diferentia 6756,5=10,5, este 10,17, la care corespunde descrescerea0",9. Prin urma re descrescerea totale in arc este de 5",9.

In assemenea mod, pentru logcotx=1,7310710,1;omgasi : x=61.04213",3.

95. In lucrarile precedente am presupus ch variatiu-nile arcelor sunt proportionale cu variatiunile logarit-milor liniilor sele trigonometrice. Inse acesta nu maieste adeverat pentru arcele forte mici, cand. este, vor-ba se le determingm prin logsin seu logtg. In acestcas vom cauta in prima parte a tablelor trigonometricelogaritmul care se apropie mai mult de logaritmul dat;vom lua arcul correspundiator la acest logaritm, si-1

10"=67


vom reduce in secunde. Fie a acest numer intreg desecunde, si a-Fh numerul de secunde si fractiuni de se-cunda al arcului necunoscut ce corespunde la logarit-

itsoraul dat. Relatiunile (1)* ne dau:log(a+h)=logsin(a+h)logsina+loga, (2)log(a+h)==logtg(a+h)logtga-Floga.

Aci logsin(a+h) seu logtg(a+h) sunt quantitatile da-te, log sina seu logtga se afla in prima parte a tablelortrigonometrice, si loga in tabla de logaritmi a numere-bor. Prin urmare log(a+h) este determinat, precum sia+h, arcul cautat.

Fie a se determina, spre essemplu, arcul al caruilogsin este 33325473.

Prima parte a tablelor trigonometrice ne areta chlogsin cel mai apropiat de acesta este 3,3319783, cor-respundiator la arcul 007'23" 443". Prin urmare, inprima din formulele (2) avem: a=443, logsin(a+h)=3,3325473, logsina=3,3319783, si tablele ne dau: loga1og443 =2,6464037. Prima din formulele (2) devinedera :

log(a +h)=-,3325473T,3319783+2,6464037=2,6469727,

si calculand pe a+h, gasim : a+h=443",5807=0°7'23°,5807. Acesta este valorea arcului cautat.

Assemenea vom gasi : a + h = 0°8'10",4995, pentrulogtg(a+h),3762143.

Tot asia se operedia cand se cere a se gasi un arcmic, cunoscund logaritmul cotangentei selle; cftci a-cest logaritm este egal si de semn contrariu cu al tan-

*Jogentei.*

Deca inse se cere a se calcula un arc mic cunoscund

TABLE TR1GONCEstETMEE 101

logaritmul cosinusului seu, acest calcul nu se pote fa-ce cu precisiune. Fie, spre essemplu, a se gasi arcul alcarui logeos este 1,9999998, Table le areta eh acestlogcos corespunde la tote arcele coprinse intre 0°3'0"si 0°3'40" ; prin urmare determinarea ce ni se cere nuse poth face de cat cu ua nesecurantia de 40'.

CARTEA II

TRIGONOMETRIA RECTILINIA.

CIPITULUL I.

Proprietatile trianghiurilor rectilinii.

Vom continua si de aci inainte a insemna celle treianghiuri alle unui trianghiu cu literele majuscule A,B, C, era laturile cu literele minuscule a, b, c, cores-pundiatorie la anghiurile opuse. Deca trianghiul estedreptanghiu, anghiul drept se va insemna cu litera Asi hipotenusa cu a.

TRIANGHIERI DREPTANGHIE.

96. Teorema I. In ori-ce trianghiu dreptanghiu,ualature a anghiului drept este egale cu hipotenusa imniul-tita cu sinusul anghiului opus.

c Relatiunea ce trebue demonstrata este

Din verful anghiului B cu ua radiaclescriem arcul DF, si ducem DETs I,

b=asinB.

BD=1

--

PROPRIETAT1LE TRIANGHIURILOR RECTILINH 103

perpendicularia pe BA. Trianghiurile assemeni BCAsi BDE dau:

CA _BCDE BD

inse CA=b, DE=sinDF=sinB,BC=a, BD=1 ; prin ur-mare relatiunea se reduce la

sinBseu b=a sinB. (1)

C.C.T.D.Assemenea vom ave si

c=asinC. (1)97. Teorema II. In ori-ce trianghiu dreptanghiu ua

lature a anghiului drept este egale cu ipotenusa immul-tita cu cosinusul anghiului allaturat.

Trebue a clemonstra relatia,c.acosB.

Trianghiurile assemeni BCA si BDE, de mai sus, dau:BA BCBE =BD'

si inlocuind pe BA, BE, BC, BD prin valorile lor,

acosB

seu c=--acosB (2)C.C.T.D.

Assemenea aflam si:b=acosC (2)

Observarea I. Relatiunile (1) si (2) se pot deduce u-nele din altele. In adever, in ori-ce trianghiu drept-anghiu avem : B+ C=90°, seu B=90°C ; asia-dera

cosC. Punend acesta valore in (1), dobandim:

'

c


b=acose,care este una din relatiile (2).

Tot assemenea vom deduce si formulele (1) din (2).Observarea II. Redicand la patrat formulele:

b=asinB,c=acosB,

si adunand membru cu membru, obtinem:b2+ c2=a2(sin2B+cos2B),_422,

prin urmare patratul ipotenusei este egal cu suma patra-telor ambelor catete, resultat pre care lu cunoscem deja.

98. Teorema III. In ori-ee-17-ianghiu dreptanghiu,ua lature a anghiului drept este egale cu cea-alta latureimmultita cu tangenta anghiului opus.

Relatia ce trebue demonstrata esteb=cte.

Assemenarea trianghiurilor BCA si BGF de mai susne :

de unde .

OA= GFr b

BA BF, seu tgB

c 1 '

b=ctgB. (3)C.C.T.D.

Assemenea vom av6 sic=btgC. (3)

99. Observarea I, Find-eh: B+C=9.0°, avem:B=90° C, si: 0=90°B prin urmare : tgB=cotC,si : tgC=cotB, Punend aceste valori in (3), avem :

b=ccotC,1 (4).c=b cotB,J

adeca in un trianghiu dreptanghiu, ua lature a anghiu-

PROPRIETATILE TRIANGH1UR1LOR RECT1LINTI 105

lui drept este egale cu cea-alta lature immultita cu cotan-genta anghiului alaturat.

100. Observarea II. Relatiunile (3) si (4) se pot de-duce din (1) si (2) prin nisce simple impartiri. In ade-ver, divisand. equatiunile (1) si (2) respectiv una prinalta, avem:

b sinB c sinec cosB

,

b coseseu: ,si facund divisiunea in Sens contrariu,

c co;i13 b cosCb sinB a sinC

de unde c =hcotB, b---ccote.

TRIANGHIERI ORE-CARI SEU OBLICANGME

101. Teorema I. In un trianghiu rectiliniu ore-carelaturile sunt proportionale cu sinusurile anghiurilor opuse.

Relatiunea ce se cere a se demon-stra este:

a b c

sinA =--sinB --sinCDin verful C lasam perpendiculara CD pe AB. In

tringhiul dreptanghiu ACD, avere : *96

CD=AC sinA, seu: CDT-b sinA.In CDB avem assemenea

CDCB sinB, seu : CDa sinB.Comparand. acéste doue equatiuni vedem eh:

si divisand ambii membri cu sinA sinB,a

sinA sinB

c=--btgC;

's

33 13

asinB=bsinA,

b


Vom d.emonstra assemdnea chb c

sinB sinC.Putem dera aerie sirul de raporturi egale :

a b c (1)sinA sinB sinC.

C.C.T.D.Se vedem decaaceste relatiuni subsistd si cand trian-

ghiul are un anghiu A obtus. In acest cas, din trian-ghiul CDB, avem :

.

e CD=CBsinB, seu: CD=a sinB ;din CDA asem assemenea :

CD=--CA sinCAD,seu: CD=bsin(180°A),

* 2 6 D A si flind-ch sin(1800 A)=sinA*,CD=b sinA ;

asia-dera

de undeasinB=bsinA,

a b

sinA sinB

Prin urmare relatiunile (1) sunt generale.102. Teorema II. In un trianghiu rectiliniu ore-ca-

re; patratul unei laturi este egal cu suma patratelor ce-lor-alte doue laturi, minus de doue ori produsul acelorlaturi prin cosinusul anghiului coprins intre elle.

Seim din geometria ch patratullaturei opuse la un anghiu ascutiteste egal eu suma patratelor cellor-alte doue laturi, minus de doue ori

a

PROPRIETATILE TRIANGHIUR1LOR RECT1L1NII 107

produsul uneia din elle prin projectia cellei de a d.ouape cea d'antaiu; ceea ce se esprime prin equatiunea:

0B2==A02-4B2-2ABXAD.Inse CB=a, AC=b, AB=c, si in trianghiul dreptan-ghiu CDA avem :

AD=AC cosA ; asia-dera relatid de sus devine:

a2=b2+0-2bc cosA

Deca laturea considerata se opunela un anghiu obtus, relatiunea geo-metrica este:

032--= C 12± AB2+2ABX DA.base in trianghiul dreptanghiu CDA

avem :DA=CA cosCAD=b cos(180°A)= bcoske ; *26

punend in equatie acesta valore, si inlocuind pe CB,CA, AB, cu a, b, c, avem

d2=b2+-c2-2bccosA,

care este identica cu equatiunea gasita deja.Tot ast-fel vom gassi si espressiunea valorii lui

c2. Obtinem ast-fel celle trei equatiuni urmatore:

a2, b2+c2-2bc cosAb2=a2-Fc2 2ac cosB, (2)c2=a2-1--b2-2ab cosC.

603. Teorem a III. In ori-ce trzanghiu rectiliniu ore-care u ature este egale cu suma celor-alte doue, immul-

._

tite fie-car -espectiv cu cosinusul unghiului ce acesta la-ture face cu laTurea considerata.

2

b2+si

108 CURS DE TRIGONONIETR1A

Punend

Dupe figura avem:

Inse in ACD,ADbcosA.,

si in CDB,DBa cosB.

aceste valori in equatia de sus,c=acosB+bcosA.

C.C.T.D.. Deca triangbiul este obtusanghiu,avem:

si fiind-ea,A c B A=b cos(180°A),

avem:c=--acosB bcos(180°A);

inse cos(180°A)-----cosA, prin urmarec=acosB+bcosA,

Facund assemenea pentru celle-alte laturi, vom gasivalori analoge ; avem dera cele trei equatiuni urmatore :

abcosC+ccosB,b=acose +ccosA, (3)c--acosB+ bcosA.,

104. Sistemele de equatiuni (1), (2) si (3) se pot de-duce unele din altele.

Pentru a deduce equatiunile (3) din (2), adunam pri-mele doue equatiuni (2); avem:

a2-1--b2=b2 + 2 c2 2b ccos A+ a2 2accosB,si facund toth reducerile,

c=acosB bcosA,

c=DBDA,

c=AD+DB.

n DB= acosB,

PROPRIETAT1LE TRIANGH1URILOR RECTILIMI 109

care este una din equatiunile (3). Tot assemenea vomobtine si pe celle-alte doue.

Pentru a deduce din (3) equatiunile (2), immultimpe prima equatiune din (3) cu a, pe a doua cu b, p eatreia cuc, si le adunka :

a2-1-b2c2=abcose-i--accosB+ abcose+bccosAaccosB bccosA,

si facund tote reducerile,c2=a24-P-2abcose,

care este una din equatiunile (2). Celle-alte doue se ob-tin assemenea.

Din acestea resulta ch, sistemele de equatiuni (2) si(3) se pot deduce unele din altele; prin urmare sunt e-quivalente.

Se demonstram acum c sistemele (2) si (3) se potdeduce din equatiunile fundamentale

A-1-B+ C--=--180°, (a)a b c

(17)sinA sinB==sinC.

Relatiunea (a) dk:

de undecosB-FsinB cosi.

Decd insemnam cu tit valorea raportului constanta

sinA suaB smC,

vom aye :a m, m,

sinA smB smCde unde

(c)

C=180°(A+B),

sinC---sin(A+B)sinA

b c

=--m

110 CURS DE TRIGONOMETR1A

a . .sinA,=smB,b c .=Punend. aceste valori in (c) si facund red.ucerile,

c=acosB-FbcosA,care este una din equatiunile (3).

Se scotem relatiunea (b) din (2). Prima din acesteequatiuni dk:

cosA b2-Fc2a22bc

si ridicand la patrat,V-Fc4-f-a4-1-2b2c2-2a2b2-2a2c2cos2A-

4b2c2

scacliend acesta equatiune din 1=1 si reducund,2b2c2+2a2b2+2a2c2a4_ b4 c4

1 cos2A.= sin2A-4b2c2

divisand ambii membri cu a2,sin2A 2 b2c2+2a2b2+ 2a262a4 b4-04

a' 4a2b2c2

Deca din a doua equatiune (2) vom scote valorea luisin2B . .

din . sin2Csi a treia pe ac

, vom gasi tot aceasib2

sin2A.valore ca si pentru ;a2

prin urmare,

sin2A. sin2B sin2Ca2 b2 c2 4

si estragund radecina patrata,sinA sinB sinC

a c

caH sunt chiar equatiunile (1).Asia-clera celle trei sisteme de equatiuni (1), (2), (3)

m m

,b

P1WPMETAT1LE TRIANGIMMULOR RECTILIN11 lit

se pot deduce unele din altele; prin urmare elle suntequivalente. Tot assemenea si equatiunea

A+B+C-180°se pote deduce din acelle trei sisteme de equatiuni. Pen-tru kcesta, insemnand erasi cu m raportul constant allaturei catre sinusul anghiului opus, avem:

a=---- I 1, =-- trip

sinA. smB smCdin cari:

a=msinA, bmsinB, c=msinC,si punend aceste valori in una din equatiunile (3), spreOssemplu in cea d'antaiu, si impartind cu in, avem:

sinA=sinBcosC+sinC cosB,seu

sinA=--sin(B+C);deci, fiind-ck arcele A si B+C au acellasin sinus cu a-cellasiu semn, trebue se avem :

A=B+C, seu; A=180°(B+C).Prima hipotese nu se pote admite, cici, cum n'am

facut noi pene acum nici ua supositiune asupra valoriirelative a anghiurilor A, B, C, anghiul A s'ar puté se-fie si cel mai mic din tote, si atunci equatiunea

Car fi absurda. Vom admite clera numai pé a doua

A=180°(B+C), seu: A+B+ C-180°,care este chiar equatiunea (a) din formulele funda-mentale)

ANGHITTRI IN FUNCTIUNE DE LATURI.

105. Din equatiunile fundamentale

rt1

112 CURS DE TR1GONOMETRIAabcsmA smB smC

deducem, dupe teoria proportiilor :a+b

sinA-1-sint sin-a 3

si scamband internii,a+b

sinCAssemenea avem si:

ab sinA sinBsinC

Inlocuind pe sinA sinB si pe sinA sinB cu va-lorile lor calculabile prin logaritmi, si pe sinC cu

C C2sin cos obtinem :

2'

Inse din

deducem :

prin urmare

AB2sm cosa+b 2 2=r

. C C2

2sin AB cos-A-4:3a b 2 2

2sin cosC C2 2

A+B-FC=180°,

Ai-B=900_ C2 2

sinA+B C A+B C-cos-2 , cos = sm2 2 2

c

sinA-1--sinB_c '

.c

+

c

-c

'

.

PROPR1ETATILE TR1ANGHIURILOR RECTILIN11 113

Reducund dera dupe aceste formule factorii comunide la numeratorul si de la numitorul equatiunilor demai sus. remane:

AB . ABcos sin

a+b 2 ab 2_ .c . .0 ' c 0

2cosi--

Prin ua simpla permutare d.e litere vom obtine altepatru equatiuni analoge cu acestea. Sistemul intreg secompune dera din urmatorele sesse equatiuni, tote cal-culabile prin logaritmi, si coprindiend fie-care ekesesse elementele trianghiului

ABa b si.n

ABcos2

,c . 0 c C '

S112 COS-2 2

AC A eCOS - --- sina+c 2 ac 2b . B ' (1) b ' Bsm cos-

2 2B C BC

COS Sinb+c 2 bc 2

a siAn a Acos2 2

(2).

Divisand respectiv equatiunile (2) prin (1) avem :.AB Csin

2 2 abAB C

COS co2 2

tgABa b cotC.

2 a+b 2seu

sin-2

2

.

.

srn .

2

a-14

,

114 CURS DE TRIG0N01ETR1A

Operand assemenea vom gassi inca doue relatiuni ;asia-ca vom aye ua noua sistema de equatiuni calcula-bile prin logaritmi, cari coprind. fie-care ate doue la-turi si tote anghiurile :

tgAB__2

Ca tgA C2

BCtg-2

ab cotC ,a+b , 2

a ccot Ba+ c 2

b c cot Ab-t- c 2

106. Relatiuneaa2=b2+c2 2bccosA,

b2+cosA-

c2_a2da:2bc

(3)

*44 Inse avem*:

. A \,/ 1cosA A \/ 1+cosAnu ,2 2

.

Punend. in aceste equatiuni in loc de cosA valoreasea, vom aye :

b2+c2a2

sin-2 2

\I 2bcb 2--c2+a24bc.

. A 2bc

/a2(b2+ c2 2bc) 2--(bC)2V 4bc 4bc

\I(a+b7-c)(ab+c),4bc

A I 2bc I2bc+b2 ± e2a2cos--2 2 V 4bc

T\t cos --=

,

b2-i-c2 a2+

2 V

_

V

PROPRIETAT1LE TliIANGHIURILOR RECT1LIN1I 115

(b+c)2a2 (a+b+c)(b+ca)4bc V lbc

Pentru inlesnire punem:

scadiend pe rand din ambii membri 2a, 2b, 2c, vom axe:fca, 2(pb)=a+cb, 2(p c;

si substitiimd tote Aceste vaar hiequatiuhile de maisus,

sin A b) \l(pb)(pc)2 4,& bc

cosA

4bc/-2-P.2 (pa) \I p(pa)

2 bcequatiuni cari dau sinusul si cosinusul jumetatii unuianghiu in functiune de laturile trianghiului. Facunciassemenea si pentru celle-alte doue anghiuri, obtinemcelle doue sisteme de equatiuni urmatore :

. A \l(pb)(pc)2

p(p-Vb2bc

cos =Ac

sin_B ,l(pa)(pc) B VVpb)) cos =

2 V ac 2 ac

. \/(pa)(pb)2 ab

Ccos =\/p(pc)2 ab

Deca dividem fie-care equatiune din sistema (4) prinequatiunea correspondenta din sistema (5), obtinem unnou sistem de formule :

~ A pb)(pc)tg-2- -rpa)

By(pa)(pc)

c \l(pa)(pb)tg =

(6)

2(p a)=b

cz,

V V

V

(4)

a)

C,

vl

c)=a4

'

'

,V '

V '5).

tg p(p 5)

2 p(pc)

In tote formulele (4), (5), (6), trebue se luam pentruradical semnul -F; cftci anghiurile trianghiului fiind totemai midi de cfit 180°, jumetatile lor vor fi mai mici de90°, si prin urmare liniile lor trigonometrice vor fi po-sitive.

SUPRAFATIA TRIANGHIIILUI.

107. Se scie ca, suprafatia unui trianghiu este egalecu jumetatea produsului basei prin inaltimea sea. Ast-fel, in trianghiul ABC,

suprafatia s=--4ABXCD.=4cXOD.Ins e in trianghiul dreptanghiu ACD

avem:

A. CD=ACsinA.--_bsinA.

bcsinA (1)s-2

equatiune care da suprafatia trianghiului in functiunede doue laturi si anghiul coprins intre elle.

Deca trianghiul este obtusanghiu, avem inca :CD = CA sinCAD b sin(180°A)

valore pe care punend-o in

0

Prin urmare

B obtinem:bcsinAs-

2

Prin urmare equatiunea (1) este generale.108. Din relatiunda

scotem :

b csinB sine'

bsinesinB

3

s=--ic><CD,

33

PROPRIETAT1LE TI1ANGH1UR1LOR RECT1LINII 117

pe care punend-o in (1) avem:b2sinAsine

S,.-7.--.

, 2sinB '

si fiind-chB.180°(A+C),

b2sinAsines..- (2)2sin(A+C)'

equatiune care dh suprafatialtrianghiului in functiune deua tature si celle doue anghiuri alaturate.

109. Deca in

sinA=--2sinA cosA2 2

inlocuim pe sinA si cos A prin valorile kr date prin2 2

equatiunile (4) si (5)*, avem: *106

sinA=2V(PbX13 c)1 Ip(12 a)bc bc

2

ip bcPunend acesta valore a lui sinA in (1) si facund re-\

ducerile, obtinem equatiunea:S--=-1 I p(p - a)(p_b)(po,

equatiune care dh suprafatia trianghiului in functiunede celle trei laturi alle selle.--Essemple. 10. Se ca1cu1hm suprafatia unui triunghiu in

care eunoscem : b=234m,504; c=203m,17; A=41°43"56",8.,... _

Dupe (1) avem:

s-234' '504X203m,17Xsin4 1°43'56",82

de unde:

2

bi(P


logs =log234',504+log203m,17logsin41°43`56',8log2

.2,3701502+ 2,3078596+1,8232479 0,3010300=4,2002277 ;

prin urmares=15857mP,244.

2° Se calculam suprafatia unui trianghiu in care secunosee: A=41°43'56",8; C=58°29'48",6.

Dupe formula (2) avem :logs=2log234'504+logsin41°43'56",8

+logsin58°29'48',6 log2 logsin100°13'45" ,4.=4,7403004+ 1,8232479-H7,9307511-0,30103001,9930414=4,2002280,

adecas=15857mP,255.

3°. Se se afle suprafatia unui trianghiu in care se cu-nosce: a=158111,62; b-234',504; c.-203n1,17.

Formula (3) db.:

logslogp+log(p a)d-log(pb)A-log(p2

Inse in casul de fatia avem: p=298m,147; pa=139m,527; pb63',643 ; p Prin.urmare

Jogs2,1741301+2,1446583+1,8037506 +1,9776181

2

=4,2002288,geu

s=15857mP,284.110. In assemenea mod se pote gasi espressiunea

suprafetiei unui patrulater ore-care ABCD, in functiu-ne de diagonalele Belle AC si BD si de anghiul a cefacelle una cu alta. Avem:

b---234m,504;

c----.94m,977.

+

c)

PROPR1ETAT1LE TR1ANGH1U111LOR RECTILIN11 119

ABCD = A0B+BOC+COD+DOA.Inse in celle patru trianghiuri,

considerand si : sin (1800- )=sin., avem :

A0B=4A.OX OBsinBOC= OBX 0 Csincg,COD=10 CXDOA=10DXAOsin.,

si adunand,ABCD=4 sin . (AO X 0B+OBX0C+OCX0D+ODXAO)

=4 sin . {A0(0B+0D)-1-0C(0B+ OD)}=1 sin . (AoxBD+ocx BD)

4 sin .XBD(AO+ OC)=4 ACXBDsin ;

adeca suprafatia unui patrulater ore-care este egale cujumetatea produsului dzagonalelor prin sinusul anghiuluice fac elle una cu alta.

Essemplu. Date: AC 117,13; BD = 98',56;.-63°14'36",3.

Necunoscuta : ABCD=5154mD,124.111. Immultind una cu alta formulele (4)%, avem *106

sin-A (p-a)(p-b)(p-c)2 2 2 abc

Inse din (3)* scotem: *109

s2=p(p-a) (pL b) (p c),

seu : (p-b)(p-c)- s2.

(a)

Punend acesta valore in equatiune, remane :A B C s2sin sinsin--=2 2 2 pabc.

ODsin.,

--

sinB sin C

.

-


"06 Dom immultim una cu alta si relatiunile (5)*, ob-tinem :

A 13 C P11 p(p a) (pb)(pc)COS COS--COS-

2 2 2 abcseu

A B C pscoscos cos2 2 2 abc

"06 In fine, facund produsul relatiunilor (6)*, avem :A gB Cbg_ (p a)(p--b)(pc)i2 2 2 pVp(pa)(p--b)(pef

si inlocuind numeratorul si radicalul de la numitor prinvalorile lor date de equatiunile (a) si (3) precedente,ABC stg-- tg tg

-3t2 2 2 p2

RADIA CERCULUI CIRCUMSCRIS.

112. Fia trianghiul ABC ld care circumscriem uncerc, a carii radia o insemnkm cu R. Ducem diametrul

si unim D cu B.

se va screi:

de unde

Anghiul CBD este drept, caci esto in-scris in ua semi circumferentia, si prin ur-mare trianghiul dreptanghiu CBD dh :

CB=CDsinD ;inse CB=a, CD=2R, D=A; formula dera

a=2RsinA,

R a2sinA

si immultind ambii termeni ai fractiunei cu bc,abcR.=

2besinA4t107 Inse dupe formula ar,

-

tg

ri;

PROPRIETATILE TR1ANGHIURILOR RECTIL1NH 12 t

besinA

de unde2 bcsin1=45

asia-dera

R= abc abc4s 4vp(p a) (p()

Essemplu. Date: a=158',62; b=234m,504; c=203',17.Necunoscuta : R=119m,1458.

RA DIA CERC ULM INS CRIS.

113. Fia trianghiul ABC. Pentru a construi cerculinscris, dupe cum scim, ducem bissectritiele celor trei

anghiuri, caH se intalnesc tote' in unpunct 0, centrul cerculni inscris; de-ca din acest punct lashm perpendicularele OD, OE, OF pe laturile trian-ghiului, aceste perpendicularie sunt

radiele cercului inscris. Cunoscund dera centrul si lun-gimea radiei cercului inscris, va fi lesne a descrie a-cel cerc.

Se gassim ua espressiune a acestei radie, r. Dupefigura,

ABCA0B+BOC-FCCIA ;inse

A0BIAB XOF r,B C=ICBCOA=IACX0E----ibr ;

si adunand aceste trei egalitati membru cu membru,ABC=ir(a+b+c);

si punend ABC=s, a+b+c=2p,

XOD=4ar,

2

A


seu r--.Deca substituim in locul lui s valorea sea

1Ip(pa)(pb)(pc)si reducem, avem :

(p 7a) (pb) (pc).. P

Essemplu. Date : a=158m,62; b=234m,504, c=203m,17.Necunoscuta :

RADIELE CERCURILOR EXINSCRISE.

114. Cerc exinscris la un trianghiu se numesce uncerc tangent la ua lature a trianghiului si la prelungi-rea cellor-alte doue.

Pentru a construi cercul exinscris la ualature BCaa trianghiului, ducem bis-sectritiele BO si CO alle an-ghiurilor esteriore CBD siBCF; intersectiunea lor 0este centrul cercului cautat;din acest punct lasand per-pendicularele OD, OE, OFpe laturea BC si pre prelun-girile cellor-alte doue, ace-

fi egale cu radia cautata a cer-ste perpenclicularecului éxinscris la laturea a.

Pentru a gasi ua espressiune a acestei radie, obser-vkm

vor

ABC-Alp+ACO BCO ;si deca in trianghiurile ABO, ACO, BCO, consideram

s=pr,

cN

r-17

A.

.

PROPRIETATELE TRIANGIUUR1LOR RECTILINI1 123

respectiv ca base pe AB=c, AC=b, BC=a, si ca inaltimipe avem :

(b+C a)-- (p a),de unde

a= ;papunend in loc de s valorea sea si reducund,

p(pb)(p--p)a_ v pa

In assemenea mod vom gasi si espressiunea radielorcercurilor exinscrise la laturile b si c:

A /p(pa)(pc)V= V pb

A Ip(pa)(pb).Y- V Pc

115. Formulele (6)* dau :

tgA .A/p(p b) (pc) 1 A / p(pb) (p--c)2 p2(pa) v p -- a

de unde

Alp(pb) (17 c) AP gpa 2

si punend acesta valore in equatiunea care dh peavem :

*106

A

Assemenea p=ptg2

aY--prg .

Essemple. 1°. Date : a=158m,62; b=234',504, c=--203m,17.

OD=OF=----0E=cc,

4.

p

13

'

V


Necunoscute : ----113m,6503 ; p----249',1600;y.166°,9592.

20. Date : p-482m,356; A---52°16'35",4; B=-76°25'57"4;C=51°17'27",2.

Necunoscute : a=236'77031; ii=379m,7990;7=-231m75768.

116. Din formulele cari dau pe R,r,«,p,-;., se pot de-duce mai multe altele, cari de si nu au ver-ua impor-tantia prin elle ensasi, pot inse servi ca verificatiuni.Eca cAte-va din acelle formule :

1° Fdcund inversa equatiunilor

a --= ; ppa pb pcse obtine :

1 p 1 pa 1 pb 1 pcAdunand pe celle trei din urma din aceste equatiuni,

avem :1 1 pa+pb-I-pc 3p(a+b+c)

s'seu :

1 1 1 1Pirr2". Immultind intre elle formulele :

; 13 1 =pa pb pcobtinem :

de unde

S4 S4 ,2rahp (p a) (p b) (pc) -`

s=Vr. (2)

p

-..-_ -,-_-_-----,

01

s.

s

cc

(1)

(a)

s s, 1

s

r s s 2 s s

5+2 1

p

PROPRIETATILE TRIANGHITJRILOR RECT1LINH 125

30. Adunand una cu alta pe celle trei din urma dinformulele (a) si scadicnd pe cea d'antaiu, avtm :

s s sscc-FEH-T-r pTr-a p-b p-c p

sp(p-b) ' 2*.)+p(p7a)(ik c)-1-0,- a)(p-b)-(pla)(p-b)(p-c)p(p a)(p-b)(p - c)

[(p-b) (p-a)]-1-- (p-a) (p-b)[p(p-c)]).

Inse,p p a=2p-(a+b)=c,p-(p --c)=c ;

prin urmare

(p -b)}

c {(a+b)- c (a+b)- c c +(b a) c -(bs 2 2 2 2 I

(a + b)2 - c2 c2 (bs 4 4

abc.

Inse avem :abc4s

asia-dera :

(3)117. In cas cand trianghiul este dreptanghiu, putem

obtine alto formula, sciind cà in casul acesta

a2=b2+c2c

.(A)

2

10. Immultind una cu alta equatiunile

4_4.

-

ci

C A.-_--- X

4s s

kbigr+-s=--1R.

126 CURS DE TRUI0N0METR1A

(p a) (pb) (pc) Vp(p b) (pc)p a

avem:

r Vp(pa)(pb)2(pc)2p(pa)a+cb

I 2 2 ;

effectuand produsele si facund tote reducerile, avendin vedere si equatiunile (A), obtinem :

Assemenea vom av6 :p2(p._a)2(p-___ b)

?r= (pb)(pc)Prin urmare

r pr (4)

2°. Scadiend una din alta equatiunile

a=s

p a, r=.±,vom aye :

S 1a r= pa p pa p

sp (pa) sap(pa) p(pa).

Punend in loc de p valorea sea a+b+62

sifacund to-

te reducerile possibile, avend in vedere relatiunile (A),ajungem la :

Adunand intre densele equatiunile

Ypb pc

a+bc

1

r=A1

TR-S.

p

s

PROPMETATILE TR1ANGHILJR1LOR RECTIL1N11 127

avem :

13+r + 1..s(p c)

11+Pc sa

(1' b) (1' c) (1' b) (pc)'si facund reducerile,

Asia-dera(5)

Essemple. 1°. Verificand prin formula (3)% valorile*116gasite mai sus :

R-----119m,1458; T.53'2,1861; m=1131'1,6503;p 249m,1 600 ; T---166m,9592,

gassim numai differentia 0m,0002, care provine din mi-cile quantitati cari se neglig tot-de-una in calculele lo-garitmice.

2°. Acelleasi valori, verificate prin formulas=V rah,

nu dau nici ua diferentia de valorea lui s gasita la es-semplul 3'. *109

30. In un trianghiu dreptanghiu in care avem:a-302"3,752; b-185m,121; c-239m,56, s'a gasit pen-tru valorea radielor cercurilor inscris si exinscrise va-lorile urmatore :

r-60m,9645; a-363m,7165 ; fi-124m,1565;T=1 78m,5 9 5 5.

Aceste valori, verificate prin ambele relatiuni :aT(3+y, Ell

nu dau nici ua differentia.

1u) b p

srS:o

CAPITULUL II.

RESOLUTIIINEA TRIANGHIIIRILOR

Trianghiurile dreptanghie.

118. La resolutiunea trianghiurilor dreptanghie sepresenta patru casuri : 1°. Cand se dà hipotenusa si unanghiu ascutit, si se cer celle doue laturi alle anghiu-lui drept si cel-alt anghiu ascutit. 2°. Cand se dà hipo-tenusa si ua lature a anghiului drept, si se cere cea-altalature si celle doue anghiuri ascutite. 3°. Cand. se dhua lature a anghiului drept si un anghiu ascutit, si secere cea-alta lature a anghiului drept, hipotenusa si cel-alt anghiu ascutit. e Cand se dau celle doue laturialle anghiului drept, si se cere hipotenusa si celle doueanghiuri ascutite.

119. Casul I. Dandu-se hipotenusa a si anghiul as-cutit B al unui trianghiu dreptanghiu, se se calculediecelle doue laturi, b si c alle anghiului drept, si anghiulascutit C.

Vom determina anghiul C prin relatiunea cunoscutadin geometria : .

RESOLUTITJNEA TRIANGHTUR1LOR 129

B-1-0=,90°, din care : 0=90°B.Laturile b si c se vor determina prin formulele cu-

noscute*: *96,97

b=a sinB, c=a sinC.120. Casa. II. Se resolvem un trianghiu dreptan-

ghiu in care se cunosce hipotenusa a si ua lature b a an-ghiului drept.

Elementele necunoscute sunt c, B, C. Pentru a ledetermina avem formulele :

b=a sinB, b=a cosC,din cari d.educem :

sinB=.--cosC=b,a

eari dau valorea lui B si C. Pentru a afla pe c, intre-buintiitm relatiunea :

c2=a2b2,din care

c2.---_(a+b) (a b), seu c.V(a+ b) (a b).

121. Anghiul C, dupe acesta metoda, se determinaprin-e-oitnusul seu ; inse cand b difera prea putin de a,

cea ce se intempla forte adesea, quantitatea2 diferinda

si ea putin de 1, anghiul C este .mic; si fiind-ch scim*ch anghiurile mici se determina reu prin cosinusul lor,equatiunea precedenta nu ne va da pe C cu destula pre-cisiune. In acest cas calculhm mai antaiu pe C, si atunciformula

ne : c

si anghiul C, determinat acum prin tangenta sea, va ficalculat cu mai multa esactitate.

*95

dàc=btgC

tURS 1:1E TR1G0N0METRTA

Putem inca intrebuintia, pentru calculul lui C, si for-*44mula urmatore cunoscuta*:

cos2 1+ cosC

in care, punend in loc de cosC valorea sea, si im-a

multind ambii termeni ai fractiunei cu a, obtinem :C abtg2 a+b.

Calculul facundu-se prin logaritmi, acesta din urmaformula are avantagiul ca, coprinde numai logaritmiilui a b si a+b, caH intra si in valorea lui C.

122. Casul III. In un trianghiu dreptanghiu cunos-cund laturea b a anghiului drept si anghiul ascutit B, sese calculedie hipotenusa a, laturea c si anghiul C.

Anghiul C se determina direct prin formula :C= 9 0°B ;

*96,100era a si c se vor afla pHn formulele sciute*:

c=b cotB.smB

123. CasuI IV. Dandu se celle doue laturi b si c alleanghiului drept, se se calculedie hipotenusa a si anghiurileascutite B si C.

Determinam mai antaiu anghiurile B si C prin for-formulele

b=c cotC,

tgB cotC=--. (a)

Hipotenusa se determina in urma prin ver-una dinformulele :

din cari

b=a sinB, cosB,de unde

V 1

v

a

130

V

'

b=ctgB,

RESOLVTIUNEA TRIANGHIUMLOR 131

asinB,

a-cosB

Observare. Am fi putut calcula pe a dedreptul prina 2.= b 2+0.

Inse acesta formula nu este calculabile' prin logarit-mi. Pentru a o face calculabile prin logaritmi, vom pu-ne pe c2 ca factor comun, si atunci

7,2

a2=c2(1+c2

Punemb .-=-Egy; (b)

r-

atuncia2==c2(l tg2 )____c2(1+ Cos2p+sin2m c2

T

COS2

(1) COS2

Cp

de unde

cos?formula calculabile prin logaritmi care ne-ar da 1)6 a.Inse pentru acesta trebue se cunoscem pe si decacomparam formula (a) cu (b), vedem ch

adecaPrin urmare, chiar dupe metoda, determinarea lui a

depende tot de calculul lui B.

ITERIFICATIUNI

124. Pentru a fi securi de resultatele obtinute princalculele ce am espus, trebue se avem medie de a le ve-rifica.

Mediele celle mai ordinarie pentru a face aceste ye-rificatiuni constau intru a calcula pe unul din demen-

)

sin2?'cos /

c

c ,

tgB-tge= 1+,


tele date cu ajutorul elementelor calculate. Deca va-lorea aflata ast fel nu difera de cat prea putin de valo-rea data, calculul este esact. Spre essemplu, deca amcalculat pe a, c, C, dandu-ni.se b, B, cu valorile gasiteprin calcul pentru a si C vom calcula pe b prin formula

b----11(a+e)(ac),

si deca valorea aflata nu va diferi mult de valorea dataa lui b, calculul va fi esact.

ESSEMPLE.

Casul LI

Date Formule .Necunoscute.a=5836m,43; 0-90°B, 0=35°45131",4 ;B=254°14'28",6. b=a sinB, b=4736',1758

c=--a cosB. c=3410',6535.

Calculul lui C.900

B-54°14128',60=35°45131,1.

Calculul lui b. Calculul lui c.loga=3,7661473 loga=3,7661473

logsinB=I,9092805 logcosB=1,7666903logb=3,6754278 logc=3,5328376

1)=-4736'4758. c=:3410",6535.

Casul II.

'Date Formule Necunoscute.a=574',35, sinB=cosC=k, B=41°5816",41,b=384m,08. a 0-48°1'53",59,

c----V(a7b) (a b). c=427,0368.

;

RESOLUTIUNEA TRIANGHIURILOR 133

Calculul luz B si C.logb=2,5844217

loga=-3-,24082341)logsinB=logcosC=1,8252451

B=41°58' 6%41,0=48°1'53",59.

Calculul lui c.log(a+b)=2,9815604log(a b)=2,2793703,

2logc=5,2609307logc=2,6304654

c=427',0368.

VERIFICARE

tg_cV a b2 a +I;

log(ab)=2,27937031og(a+ b)=Y,0184396

21ogtg-C.1,29780992

1ogtg -=. 1,6489050.2

0.48°1' 53",62(cliff.0",03.)

Casul III.Date Formule Necunoscute

b=7536m,14, C=90°B, 0=33°35' 46",3,B=56°24' 13",7. ba. a=9047',4437,

c=5006m,2896.sinB 'c.b cotB.

Calculul lui C.90°

B=56°24' 13,7.C= 33°35'46%3.

1). Se scie din algebra eh, in loc de a seadé nn logaritm din altul, pntem a-daogi acestui din arms complemental celai d'antaia, adeca diferentia intre acellogaritm si 0. Acesta s'a fault aci, si in tote essemplele sabsequente nude aulost a se oath!, logaritmi.

C

.


Calculul lui a.logb=3,8771490

logsinB=0,0793769

Calculul lui c.logb=3,8771490

logcotB=1,8223670loga=3,9565259 logc=3,6995160

a =9047m,4437 c=5006',2896.Casul IV.

Date Formule Necunoscute.b=2236',34,

bB =30°22'54%85,tgB---cotC---,

c=3814m,51. c C=59°37' 5",15,

a= b a=4421',7306.sinB

Calculul lui B si C. Calculul lui a.logb=3,3495379 logb=3,3495379

1ogc=1,1185613 log sinB =0,2960544logtgB=logcotC =17,7680992 loga=3,6455923'

B=30°22' 54",85, a=4421m,7306C=59°37' 5",15.

BESOLUTIIINEA TRIANGRIURTLOR ORE-CART SEUOBLIGANGHIE.

125. La resolutiunea unui trianghiu oblicanghiu se

ttpot presinta patru casuri : 10. Cand se da,ua lature si doueanghiuri, si se cer celle-alte douelaturi si al treilea an-ghiu.A 2°. Cand se dh doue laturi si anghiul coprins in-tre elle, si se cere a treia, lature si celle-alte doue an-ghiuri. 3°. Cand se a, doue laturi si anghiul opus la una

On elle, si se cere a treia lature si celle alte doue an-ti. ghiuri. 40 Cana se dau celle trei laturi si se cer celle

trei anghiuri.126. Casul I. In un trianghiu ore care dandu-se la-

turea a si anghiurile B si C, se se determine al treileaanghiu A si laturile b si c, precum si suprafatia s.

.

.

RESOLUTIUNEA TR1ANGIIMR1LOR 135

Anghiul A se obtine direct din. formulaA+B+C=180°,

de undeA.180°BC).

Apoi din relatiunilea a

sm.A. smB smA suaCdeducem

asinB asinCbsinA C

sinASuprafatia este data prin formula cunoscuta:

a2sinBsinC2sin(B-I- C)

127. Casul II. Dandu-se laturile a si b si anghiulcoprins intre elle C alle unui trianghiu ore-care, se cal-culam a treia lature c, si anghiurile A si B, precum sisuprafatia s.

Prima metoda. Suma A4-B a anghiurilor cautate estecunoscuta din relatiunea:

A-I-B-180°C.Differentia lor o vom calcula prin formula (3)*: *105

tg A B ab flcot---2 ad-b 2

Vom aye dera, prin aceste formule:A-FB=M,

M si N fiind nisce quantitati cunoscute. Ad.unand, siapoi scadiend aceste egalitati una din alta, si impar-tind cu 2, avem:

M±N2

s==

11/4B=N,

A------

b c


MNB2

Anghiurile A si B fiind ast-fel determinate, vom cal-cula 1)6 c prin formula

asinCcsinA

*105seu mai bine prin ver-una din formulele (1) seu (2)4',earl dau:

. C (a b)cos-22c .

AB .11ABcos

2 2

Suprafatia este data prin formula:absinC

2,not A doua metoda. Din formulele fundamentale (1) cle-

ducem :csinA=asinC, (A)

1 03 si din (3r ,

ccosA=bacosC. (B)Cu aceste doue formule putem face resolutiunea in

un mod mai simplu, mai cu sema cand. nu se dh chiara, ci loga.

Impartindu-le una cu alta, avem:asinctgAbacosC'

de unclelogtgA.loga loaClog[ba cos% (C)

formula care ne d pe A. Inse aci intra logaritmulquantitatii b a cosC, care nn eote calculabile prin lo-garitmi ; va trebui dera a calculi mai antaiu valorea

/

RESOLUTIUNEA TR1ANGH1MULOR 137

termenului a cosC, pre care o vom scadd din b, si von).lua logaritmul restului, pre care hi vom introckce informula.

Anghiul A find cunoscul, B se va calcula lesne prin

B=180°(A+ C). .

Relatiunea (A) ne va da apoi

logcloga-FlogsinClogsinA,

din care aflhm pe c.128. Casul III. Se se resolve un trianghiu ore-care

in care se cunosc doue laturi a si b, si anghiul A, o-pus la a.

Se cauta c, B, C. Vom calcula mai antaiu pe B prinformula

sinB bsinAa

si apoi pé C prin0=180°(A+B)

in fine vom afla

c asinCsinA

Suprafatia s se va afla assemenea prin

s absinC2

129. Discutiune. Mai antaiu vom reaminti in cate-vacuvinte constructiunea geometrica a trianghiului, pen-tru ca discutiunea pe formula se fia mai bine intielessa.

Pentru a construi trianghiul cu elementele a, b, A,in un punct al unei drepte indefinite AB' facem an-

Formula

ghiul dat A, si pe drepta AC luhnalungimea AC.b ; din C cu ua ra-dia egale cu a descriem un arc, carene da, pe drepta AB' punctele B'siB", pre cari le unim cu C. Trian-ghiul cautat este ACB' seu ACB".

sinBbsinAa

ne va da pe B. Inse in table scim cb, nu se gassesc decat anghiurile mai mici de cat 00°, adeca anghiurileascutite. Fie M anghiul ascutit al carui sinus este e-

bsin Agal cu ; se scie inse .ch sia

arcul suplementar*26

180°M, care este obtus, va av6 acellasiu sinus; prinurmare trebue se vedem care din aceste doue an-ghiuri, M si 180°M, este adeverata solutiune a ques-tiunei.

Pentru ea M se fie ua solutiune a equatiunei, trebuese avem:

A-1-M<180°, (a)caci

A+M+C-180°.Assemenea, pentru ca 180° M se fie ua solutiune,

va trebui caA-1-180°M.<180°,

seuA<M. (b)

Se vedem cari sunt casurile in cari aceste conditiunipot fi inplinite.

10. Deca A>90°, valorea 180° M nu convine pentruB, caci in un trianghiu nu pot fi doue anghiuri obtuse;

A

RESOLUTIUNEA TR1ANGHIURILOR 139

remane dera numai M, care trebue inca se se supunaconditiunei (a), din care se deduce:

M<180°A.Aci M este ascutit; 180°A assemenea; prin ur-

mare putem pune:sinM<sin(180°A),

seu

InsesinM<sinA.

sinMbsinA;

aprin urmare bsinA <sinA,

aori b<a.

Deca b ar fi egal cu a, relatiunea

sinM.bs -inAa

s'ar reduce lasin M=sinA. seu: MA,

cea ce nu se pote, chci A>90°, si ast-fel trianghiul araye doue anghiuri obtuse ; prin urmare in ace it cas nueste nici ua solutiune.

Deca b>a, erasi n'avein nici ua solutiune, ettci atunci

relatia sinM-- bsinAne ar da : sinM>sinA ; deci, fiind-

aca anghiurile sunt obtuse, M<A, cea ce este in oposi-tie cu couditia (b).

2°. Deca A=90°, valorea 180°M, find mai marede 90°, tot trebue lasata, si atunci (a) ne dh:

90°+M<180°, seu: M<90°, seu: sinM<1,si punend valorea lui sinM si a liii A,

bsin90°<I, seu: b<a.a

Conditiunea este aceasi ca si in casul cand A>90°.In resumat dera, deca anghiul dat este obtus seu drept

trianghiul are ua singura solutiune, cu conditiuneinse calaturea opusa la anghiul dat se fie mai mare de cat cea-alta ; deca este egale cu densa, seu deca este mai mica,trianghiul n'are nici ua solutiune.

3°. Deca A<90°, valorea M a lui B se pote primi tot-de-una, cftci conditiunea (a) se pote tot-de-una satisfa-ce ; inse pentru a put4 admite si solutiunea 180°M,dupe (b), trebue se avem:

M>A,si fiind-ca si M si A sunt ascutite,

sAseubin .sinM>sinA,a

de undeb>a.

In acest cas dera se pote se fie doue solutiuni, M si180°M, inse cea din urma convine numai cand latu-rea opusa anghiului dat este mai mica de cat cea alta.

Deca bsinA=a, valoreabsinsrnM

ase reduce la

sinM=1, seu M=90°,si in casul acesta celle doue solutiuni M si 180°M sereduc la una singura.

Deca bsinA>a, valorea

devine

sinM bsinAa

sinM>1,

RESOLUTIUNEA TRIANGHIURILOR 141

care este absurda; prin urmare in casul acesta nu estenici ua solutiune.

Eca un tabel care contine resultatul totor acestor dis-cutiuni :

A>90la bl

A----90°{a.b1

A<90

a>b

a<bfa>b

a<bfa>bab

<ba>b sinA

a=b sinAa<b sMA .

1 solutiune, B<90";

0 solutiuni ;

1 solutiune, B<90°;

0 solutiuni ;

1 solutiun6, B<90°;1 solutiune, B<90';2 solutiuni, B'<90°;W-180°g;1 solutiune, B=90°,0 solutiuni.

Cu ajutorul acestui tabel se va puté recunosce dindate cMar deca problema are doue solutiuni, ua solu-tiune, seu nici ua solutiune cea ce este forte important,pentru:a evita de multe ori calcule inutile.

Verificari. Cand aunt doue solutiuni, putem aye doueverificatiuni forte simple. Fie Aif=c', Alr=c", ACB' ,

ACW.L.-C". Dupe figura,AD B"D=c", AD-FDB'=c'.

Adunand aceste egalitati, si avend in vedereB"D=B'D, vom aye:

AD c' c"

2

Inse in trianghiul dreptanghiu ACD avem :ADAC cosA=bcosA.

I.

=0'

eh

.

. . . .

. . .

. .

CURS CR l`RIGONOMETAtA

Vom calcula dera pe AD prin acesta formula, si deca

valorea aflata va fi identica calculul va fi esact.2

Assemenea, daca am scads una din alta celle doueequatiuni de sus, am aye :

clc"2

De alta parteDCB' ACD,DCB"--=ACD ACB"--=ACD C''.

Adunand,

DCB'=2

In CDB' avem :

sine'-2

Cff

Asia-dera, calculand pe DB' prin acesta equatiune,deca calculul este esact, valorea afiata va trebui se fie

Y

Cidentica cu2

130, Casul IV. Dandu-se celle trei laturi a,b,c, alleunui trianghiu ore-care, se aflam anghiurile lui, A,B,C,pectin: si suprafatia s.

Anghiurile se pot calcula prin equatiunile (4), seu*106(5), seu (6)*, tote calculabile prin logaritmi ; vom pre-

feri inse equatiunile (6), caci deca am intrebuintia for-mulele (4), ar trebui se cauthm siesse logaritmi, si a-nume pe al lui a,b,c,pa,pb,pc; deca ne-am ser-vi cu (5), am aye necesitate de siepte logaritmi : al luia,b,c.p, pa, pb, pc. Cu formulele (6) inse nu a-vem necessitate a cauta de cat patru: pe al lui p, pa,pb, pc. Afara de acesta, formulele din urma, de-terminand anghiurile prin tangenta lor, sunt mai pre-cise de cat celle-alte.

1 a

'-kc"c

=ACB'ACD=C'

DB' CB' sinDCB',----=

.

RESOLUTIUNEA. TRIANAMURILOR 143

Formulele ce vom intrebuintia vor fi dera acestea:A V(pb)(pc)tg _ ,

B Al(pa)(pc)tg--2--= ,

C ii(pa)(pb)2 v p(pc)

Suprafatia se va determina prins=11p(pa)(p b)(p c).

Observare. Pentru ca trianghiul se se pota resolve,este necessar si de ajuns ca ori-care din laturile. datese fie mai mica de cat suma cellor-alte doue. In ade-ver, deca am ave, spre essemplu:

a>b+c,ar resulta ch

b+c ap a2

ar fi negativ, pe cand p, pb, pc, ar fi positive. A-

tunci quantitatile de sub radicalele ce dau pe tgA, tgB2 2'

tg fiind negative, valorile anghiurilor ar fi imaginarie.

Datea=5816',35,B-54°37°12",4,C-78°19'45',7.

.,Filtfi5to

ESSEMPLE

Casul 1.Formule

A-180°(B+C),b asinB

sinA

c= asinCsinAa2sinBsinCs-2sin (B+ C).

Necunoscute.A=47°3'1",9,b=6478n17885,c=7782111,048,s=18452216mP.

2, p(pa)

p(p b)

=

C

I

'

'

2


Calculul lui A.180°

B+ C=132°56' 58",1A=47°3' 1",9.

Calculul lui b.loga=3,7646506

logsinB=f,9113340logsinA=0,1355157

logb=3,8115003b=6478',885.

Calculul lui c.loga=3,7646506

logsinC=1,9909276logsinA=0,1355157

logc=318910939c=7782',048.

Calculul lui s.2loga=7,5293012

logsinB=1,9113340logsinC=17,9909276log2=-1,6989700

logsin(B+B)=--0,13551571ogs--.7,2660485

s=-184522161",

Datea=578n1,312,b=345',104,C=48°18' 35",4.

SCasul II.

ANTAIA METODA

FormuleA+B 180° C,

tgA-Bab tgA+B2 a+b 2 '

asinC (c

sinA '

sabsinC2

Necunoscute.A----95°13'49",23,B-36°27' 35",37,c=433',6615,s=74517mP,586.


a;lculul lui A+B.180°

C.48°18'35",4.A+B=131°41'24",6.

Calculul lui AB.log(ab)=2,3677435

logtg A+B 0,34826432

1og(a+b)=:J,0346026

logtg A2

B. ,7506104

AB 29°23'6",93,2

AB=58°46'13",86.Calculul luz A si B.A+B-131°41'24",61B= 58°46'13%86

95°13'49",23B--= 36°27'35',37

A. DOUA

Datea=578'1312,b=345',101,C=48°18'35"4.

Calculul lui c.loga=2,7621622

logsinC=1,8731766logsinA.0,0018121

logc-2,6371509c=133',6615.

Calculul suprafetiei s.1aga=2,7621622logb=2,5379500

logsinC=1,8731766log2=1,6989700

logs=4,8722588s=74517'",586.

METODA.

Formule 1Vecunoscute.asinC A=95°13'49",25,tgAbacose B=36°27'35",35,

B=180°(A+C), c=433',6615.asinCsinA

Calculul lui acose.loga=2,7621622

logcosC=1;8228884logacosC=2,5850506

acosC=384',636610

A.=


Calculul lui ba cosC.b-=-345',104

acosC=384',6366b acosC=-39',5326

Fiind-ca numitorul bacosC al valorii lui tgA este ne-

gativ, formula tgA basainco C devine :

seasinCtgA (acosCb)'

de undeasinCtgA=--tg(180°A) acose b

Calculul lui 180°A.loga=-2,76216-22

logsinC----f,8731766log(acosClogtg(180°A)=-1,0383831

180°A,-84°46`10",75Ar=95°13'49",25 (diff.-1-0",02)

Calculul lui B.180°

A+C=143°32'21" ,65B=36°27'35" ,35(diff. ,02).

Calculul lui c.loga--=2,7621622

logsinC.1,8731766logsinA=0,0018121

logc=2,6371509c=433',6615.

b)=2,4030446

RESOLUTIUNEA TRIANGHIMULOR 147

Casul

Datea=21',324,b.=26',715,A=--45°32'16",4.

Formule

sinB bsinANecunoscute.

1a solutie. solutie.a 13'=-63°23'58",28, B"=116°861",72,

C.180°(A+B),asinC

C=71°3'45,32,--=28',26036,

C"=17°51'41",88,c"--=9n1,16401,

s"----871",3645.sinA

s=absinC2

Calculul lui b sinA.

logb=1,4267552logsinA=1,8535241

logbsinA=1,2802793bsinA=19m,0668

b>a>bsinA, avem doue solutiuni.*

Calculul lui B.

logb=1,4267552logsinA=1,8535241loga=2,6711313

logsinB=1,9514106B'=--63°23'58",28B"-416°36'1',72.

*129

III.

s'=.269m9,4182.

2s

Flind-ch


la solutie.Calculul lui C'.

180°A-I-V-108°56'11%68

0' 71°3' 45',32Calculul lui c'.

1oga=1,3288687logsinC' =1,9758331

logsinA= 0,1464759

*1 29

logc'=1,4511777e' =28'1,26036

Calculul lui s'loga=1,3288687logb=1,4267552

logsinC' =1,9758331log2=17,6989700

logs' =2,4304270i=269mp,4182.

24 solutie.Calculul lui 0.

180°A+B"= 162°8' 18"12

0"--=17°51' 41",88Calculul lui c".

loga=1,3288687logsinC"=-1,4867412

logsinA=0,1464759logc"-0,9620858

c=9m,16401.Calculul lui s".

loga=1,3288687logb 1,4267552

logsin0"----1,4867412log2=1,6989700

VERIFICARI.*

logs"=1,9413351s'=87114',3645

10. Formula: bcosAcr-l-c".2

Calculul lui bcosA.logb=1,4267552

logcosA.-17,8453693logbcosA=1,2721245

bcosA=18',71218

Calculul luic' -1--c'

2c' ---..--28',26036

c"---= 9'4,16401

C +C"_18'1,71218 (diff.0)2

C c'cm2°. Formula: asin°' 2-2

.2


Calculul lui asinC' C"

loga=1,32886870,C"logsin

2=1,6510490

2

logasin0' 2-C" 0,9799177

C'asin 0" 9m,548112

Calculul luic 2cIP

c'-=-28m,260369m,16,101

c"9m,51817 (diff. 0m,00006).

Casul

Datea=87m,5108,b=36m,927,c=64m,529,

FormuleA V(pb)(pc)tgT=

BV(pa)(pc)

C V(pa)(pb)2 p(pc)s=Vp(p a) (p b)(pc).

NecunoscuteA=116033/171/78,B-----22°10`34",16,0-41016'8",08,s=1065mP,7425.

CH=cl

-

IT.

--/--

,

,

tg V

2

.

p(pa)

p(pb)


Calculul lui A.log(p-b)=1,7600936log(p-c)=1,4764606

-logp="0246445-log(p-a)=T,1566052

2logtg-11- .0,41780392

logtg-A-.0,20890202

A=116°33'17",78.Calculul lui B.

log(p-a)=0,8433948log(p-c)-1,4764606

-logp.---T,0246145-log(p b)=2,2399064

21ogtg-11---..4844063

logtg-P--.T. 29220322

B-22°10`31",16.

yERIF1CARE

(diff. totale 0",02)

Calculul lui 0.log(p-a)=0,8433948log(p-b)=1,7600936

-logp=2,0246445-Iog(p-c)-5235394

21ogtgS-.17,15167232

ii,57583622

C=41°16'8" ,08.Calculul suprafatiei s.

logp -1,9753555log(p-a)=0,8433948log(p-b)=1,76009361og(p-c)=--1,4761606

21ogs=6,05530151ogs-3,0276523s=10651",7425.

A+B-i-C=180°0"0",02

2

C

CAPITIILIIL III.-ESERCITII SI APLICATIUNI.

Cdte-va casuri de resolutiuni de tridnghiuri, in cari sedau nu trei elemente, ci trei combinatiuni alle acestor

elemente.

131. Se se resolve un trianghiu dreptanghiu, dandu-se hipatenusa a si suma b +c a celor-alte doue laturi.

Se cauta B, C, b, c.Adunand relatiunile

avem :

b=---asinB,

c----asinC,

b+c-----a (sinB-1-sinC)

B + C B C---2asin cos ,2 2

si fiind-ca B !-- C=90°,

din care

b+c-2asin45°cos BC2 '

BC b-f-ecos

2 2asin45"'


equatiune care ne dk pe BC ; fiind-ch cunoscem sipre B +C, vom puté afla valorea fie-caruia din anghiu-rile B si C. Atunci laturile se vor calcula prin for-mulele

b=asinB,c=asinC.

Essemplu. Date: a=2416',34; b+c-3283',51.Necunoscute B.61°1151",48; C=28°55'8" ,52 ;

b=2115',032; c=1168m,477.132. Se se resolve un trianghiu dreptanghiu cunos-

cund Un anghiu ascutit B si differentia b c a celor douelaturi alle anghiului drept.

Necunoscutele sunt a,b,c,C.Anghiul C se determina indata prin

C=90°B.Relatiunile

b= asinB,c=asinC,

dau prin scadere:BC B+Cbc=a(sinBsinC).2asin cos

2 2

C2acos45°sinB

din care deducem:a. BC'

2formula ce dà hipotenusa in functiune de quantitati cu-noscute,

bc2

ESERCIT1I SI APL1CATIUNI 153

Laturile b si c le vom determina apoi prin formulelede mai sus.

Essemplu. Date: B=46°18'5" ,7 ; bc 0'1,7543.Necunoscute : 0-43°41,54",3; a-231'1,4810 ;

b=16",9764; c=16",2221.133. Se se r esolve un trianghiu dreptanghiu cunoscund

hipotenusa a si raportul-cal

cellor- alte doue laturi.

Avem:

tgBcot0=1-,

care ne dà anghiurile ascutite ; cu ajutorul lor si al hi-potenusei, vom calcula si laturile.

Essemplu. Date: a=13',152 ;b.1,5324

Necunoscute : B=---56°52'21" ,69 ; 0=33°7'38' ,31 ;b=11,0143 ; c= 71,1876.

134. Se se resolve un trianghiu ore-care cunoscundla-turea c, anghiul opus C si suma a+b a cellor-alte douelaturi,

Se cauta anghiurile A si B si laturile a si b.Ounoscem

A+B=1800C.Formulele (1)* dau inca *105

ABa+b cos

2 seu: cosAB a+b . C_.sm-C 2

2

care dà si differentia AB. Anghiurile A si B vor fidera cunoscute.

Suma a+b a laturilor fiind data, relatiunea (2)* *105

,c c 2

154 CURS DR TR1GONOMETR1A

. ABcSln

2aC '

C o S2

ne va da si differentia ab, si ast-fel vom puté cakulape fie-care din laturile a si b in parte.

Deca ni s'ar fi dat c, C, si differentia ab, amfi de-terminat mai antaiu pe AB prin relatiunile (2), si a-poi pe a-f-b prin (1).

Essemplu. Date : c=742m,14 ; C=114°49'32" ,4 ;a+b=831m,5 2.

Necunoscute: A=51°50'38",87; B=13°19'48",73;a=642m,9879; b=188m,5321.

135. Se se resolve un trianghiu ore-care, cunoscundanghzurile A,B,C si perimetrul 2p.

Se cauta a,b,c si s.Formulele

a bcsink sinB sinC

dau:a a+b+c 2p

sinA sinA-FsinB + sinCsinA+sinB-FsinC'seu:

a 2psinAsmA-FsinB-FsinC'

si inlocuiud pe sinA si sinA+sinB-FsinC cu valorik*42,55 lor*,

a=4cosAcosB cosC

2 2 2

. A A4psmcos-2

B Ccos-- COS-2 2

b_

psiA2

ESSERCITI1 SI APL1CATIUNI 155

Assemenea: . Bpm-2b

A Ccos-2-cos

.psin C

c-A Bcosros-

Pentru suprafatia avem :

s- absinC2

si inlocuind pe a si b cu valorile lor de mai sus si pe.2sinycos--,CsinC cu

22.A.B.0 Cp sinsm--sm cos-2 2 2 2

S- _p2tgAA B 2cos C 2cosycosy

Essemplu. Date : 2p=1836',24; A=36°14'56",2 ;B=73°28'23",6; C=70°16'40",2.

Necunoscute : a=435m,8163 ; b=706m,6043,c=693m,8188; s=144942m9,74.

136. Se se resolve un trianghiu ore-care, cunoscundua lature c, anghiul adjacent A si suma a+b a celloralte doue latuii,

Se cauta B,C,a,b.Din relatiunile

tgB tg-C2 2

a b c

sinAr=sinB=sinC'se deduce:

a+b+c a+bcsinA+sinB+sinC sinA+sinBsinC*

Inlocuind pe a+b-Fc cu 2p, pe a+bc, cu 2(pc),pe si sinA-EsinBsinC cu valorilelor*, obtinem: *55

2

sinA+sinB+sinC

2

.

2


2(pc)A

2pB C .A.B C4 cos cos cos 4sua-

2-sin cos-y

2 2 2

Reducund si scotiend. valorea lui B,Btg..pc A

cot-2-.2 p

Cunoscund pe B, C este cunoscut de sine. Laturilea si b se vor determina prin formulele fundamentale,

*los seu prin (2)*.Essemplu. Date : c=215m731; a+b=492m,07;

A=81024'13 ,8.Necunoscute : B=48°54'55" ,52 ; 0=49°40'501,68;

a=279m,2196 ; b=212',8502.137. Se se resolve un trianghiu cunoscund suprafatia

s si anghiurile A,B,C.Necunoscutde sunt a,b,c.Relatiunea

dh imecliat:

a2sinBsinCs

2sinl '

a_A I 2ssinlV sinB sinC

Assemenea avem si:bV2ssinB

sinAsinC '

c__\I2ssin0sinA sinB

.

Essemplu. Date : s=98mP,125 ; A---3148'12" ,3 ;B=66°38'53",2; 0=78°32'54",5.

Necunoscute: a=11m,1572; b=17'n,9467; c=19',1588.

b

2 2

2

/V

A

V

ESSERC1T1I S1 APLICATIUN1 157

138. Se se resolve un trianghiu ore care cunoscundradia cercului inscris, r, si anghiurzle A,B,C.

Trebue a se calcula a,b,c,s.C Trianghiul AOF cla,:

A Frcot-4-.'2

B trianghiul OFB a assemenea:

FB=rcotB .2

Adunand acestg relatiune cu cea precedinte,avem:

cos-A2 cos -B-- \

c=r (cot-4-- -I- cot3-3-)2 2 +

.sin A . B2

sin2-i

A .COST

B .s111cos-A Bsirt--F2 2

si fiind-ch

r. A . Bsinsm-

2 2. A+Bsin

2r

. A . B'sinsin-2 2

A+B _900_22 2 '

Crcos-2c A . Bsin-

2sin-i-

Assemenea se gasesce si:

2r

k

2


Arcos---2a

. B . C'sinTsin

B .rcos-2

. .sin-ysm-iA C.

Suprafatia s este data prinabsinCs-

2 '

in care inlocuim pe a si b cu valorile kr, si pe sinC cu .. C C

'2atunci

2

A B 0.02r2cos-2cos- cossin-22 2

.A.B. C2

2sin sin-2

sm22

seu

,

2 A B Cs=r cotcotcot.2 2 2

Essemplu. Date: r=4111,371; A-58°34'13",4;B=97°15`26" ,2; 0=24°10'20",4.

Necunoscute : a=24',2626, b=28n1,2066; c=11',6434;s=1401",1180.

139. Se se resolve un trianghiu ore-care, cunoscundua lature a, suma b + c a cellor-alte doue, si perpendicu-lara h lassata din A pe laturea a.

Se cere b, c, A, B, C.Avem:

2 2

2

2s

EsEriciTIT sr APL1CATIUN1 159

asia dera

seu

ori

bcsinA. .si: ahs s---2 ' 2 7

ah=bcsinA, (a)

ahsina.----,

bc

. .2sm-2A A ahcos-2 (b)

Avem apoi :a2=b2+c2-2bccosA

=0-1-c2+2bc-2bc-2bccosA=(b+c)2-2bC(1+cosA)

(b-i-c)2-4bc cos2t,

de unde (c)

cos2A (b + c)' a'2 4bc

Impartind (b) prin (c), obtinem:

tg 2ah2 (b+ c)2a2 '

care ca anghiul A. Atunci (a) ne va da pe bc in func-tiune de quantitati cunoscute,

ahbcinse din date avem :

sinA ;

b+c=m,m fiind ua quantitate cunoscuta. Avend dera suma siprodusul quantitatilor b si c, aceste quantitati, dupe

A

160 CURS DE TRIGONOMETR1A.

cum scim din algebra, vor fi radeeinile equatiunei degradul al doilea:

adeca:

ahx2mx+ -0sinA

m m2sinA-4ah2

+4sinA

m m2sinA-4ah2 4sinA

Cunoscand ast-fel tote laturile, am ajuns la un cascunoscut.

Essemplu. Date: a=12',514; c=19m,325;h=6m,142.

Necunoscute: b=13',1133 ; c=6m, 2117;A---70°39'17",70; B--81°21'27",41; 0-27°55'45",13.

140. Se se resolve un trianghzu ore-care cunoscundua lature c, anghiul opus C si perpendiculara h lasatadin C pe c.

Se cauta a, b, A, B.In ACD si CDB avem:

B DB---=hcotB;si adunand.,

ch(cotA+CotB)h(cosAA cosB)sinA sinB )

h sin(A+B) hsinCsinAsinB sinAsinB;

.47inse*cos(AB) cos(A+B)---2sinAsinB;

asia-dera

,N/

=--

ADhcotA,

CXV

\

ESSERCITII SI APIICATIUNI

2hsinC 2hsinCccos(AB)cos(A+ B) cos(AB)-f-cosC'

din care

161

cos(AB)=-2h sinCcosC.

Acesta formula o. vom face calculabile prin logarit-

mi* punend .!2---=cotcp, si atunci ea devine:

cos(AB) sin(Cy)Sin?

care dh differentia AB, si ast-fel vom put4 calculaanghiurile A si B. Atunci cunoscund ua lature c si an-ghiurile, revenim la un cas cunoscut.%

Essemplu. Date: c=534',59; C -64°18'33",4;

Necunoscute: A-.-94°8'9"35; B---21°33,17",25;a=----591m,6878 ; br----217m,9482.

141. Se se resolve un trianghiu ore-care cunoscundua lature c, inaltimea corespundiatore h si differentia ABa anghiurilor alaturate.

Se se afle a,b,A,B,C.Anghiul C se va determina prin equatiunea gasita

mai sus:

seu

si

cos(AB)=Lhsinecose;

cos(A.B)sin(0-1)sin?

, 2hc

11

*59

*126

h=217m,38.

,

162 CURS DE TR1GONOMETIUA

Atunci, cunoscund pe c,C si h, revenim la questiu-nea precedinte.

Essemplu. Date : ; h-.8m,434 ;AB=28°23'48",3.

Necunoscute: A.68°39,50",04; B=40°16,1",74 ;C=714'8",22; a=13m,0486; b=9m,0545.

142. Se se resolve un trianghiu cunoscund celle trei

Fie .,(3,r corespund respectiv la laturi-le a,b,c. Avem:

ac, bp cys-2 2 2

relatiuni din cari scotem:

b.2s c.-2s.Punend aceste valori in

A \I(pb)(p c) 1(a-f -c (a+b c)tg.2 p(pa) (a+b+c)(b+c a)'

vom av6:

Aps +2s

Y PAa Tt g- r ),2

si impartind ambii termeni si fractiunei de sub radicalcu 2sX2s,

(---F----- +------111)(111(1 1 1 )(1

-1-.----'--1 1 )'--+--d--aPr P r .immultind erasi ambii membri cu ce.pyXaPT,

inaltimi.inaltimile.cari

a.-2sa)

).

T,2s (7,2s+

(2s, +T2s+7,2s

crAt° 2

ESSERCITII SI APLICATIUNI

A ART-f-rxRcci)(Ri+naR)tg 2 V (PT-1-n-k-ot13)(cci-Fa3R7).

Assemenéa gasim si :

tg-1-3-.\/(4P+cqPi)(aY+RYccR)2 (Pi+cci+ccP)0 + Pr cci)'

/(043+aTP7)(pi+4a7)(k+ovr-1-4)(Pid-eqctP)

Cunoscund ast-fel anghiurile, relatiunile

s a2sinBsinC accs-2sinA 2

dau:

din care:

Assemenea:

a2sinBsinC ace

2sinA 2

asinAsinBsinC

psinBsinAsinC

163

7sinCcsinAsinB

Essemplu :Date :ot-,15m,324; p=9m,413; 7.18'1,102.Necunoscute : A=30°49'32",42; B=123°27'57",94;

0.2542'29",68; a.21m,6996; b=35m,3257;c.18m,3693.

143. Se se resolve un trianghiu cunoscund celle treimediane (numind mediana linia care unesce un verf altrianghiului cu mediulocul laturei opuse.)

a

2

sinAemB

164 CURS D11. TRIGONOMETRIA.

Fie ct,13,7, medianele cari tree respectiv prin verfurileA, B, C, ale trianghiului.

Unind'estremitatile E si D alle medianelor p si a,linia ED este paralela eu AB,cad imparte laturile AC si BC inparti égale. Asia-dera trianghiu-rile AFC, EGC sunt assemeni, sidau:

EG EC 1

AF, AC 2

Trianghiurile FBH si EGH sunt erasi assemeni, siprin urmare

EG EH (b)AF BH

Inse FB=AF, si prin urmare, comparand equatiu-nea (b) cu (a), avem:

EH 1

BR 2

Deci

sen

EH 1

EH+BH 1+2'

EH 1

R 3Asia-dera punctul de intalnire al cellor trei mediane

imparte pe fie-care dintr'ensele in doue parti, dintrecari partea despre base este iumetatea cellei despreverf, seu a treia parte din mddiana intrega.

Trianghiul BHC dh, dupe ua teorema din geometria :BH2+HC2-=-2HD2-1- 2BD 2 ;

inse

(a)

ESSERCITIT SI APLICATIUNI 165

BD

asia-dera:

a , HD= c±2 2 '

2PBR='

HC=--2i3 '

4 4 2 a2

_ R2 + 2--, ---1- 01 4- -9 r 9 ' 9 2

seu8p2+ 8r2 ---4ce + 9a2,

de unde2 ./a-- v 2N-2e co.3

Vom gasi assemenea :

20+272-2 ,3

2 ../c -- v2.2+2P--r2.3

Laturile fiind calculate, ajungem dera la un cas cu-noscut.*

Essemplu. Date : cc=:0',143; p==0,115, 1.---0m,083.Necunoscute : a=0m,093758; b=0',13573 ;

c=0111,16392 ; A=34°53'3",72; B=55°53'19",62 ;C=89°131361',72.

OPERA.TILINI PE PAMENT.

144. Trigonometria gasesce aplicatiuni variate si decea mai mare importantia in tote operatiunile ce au descop a determina dimensiunile unei figuri ore-care princunoscintia cAtor-va din elementele selle. Ast-fel se in-trebuintiedia calculul trigonometric la ridicarile de pla-nuri, la mesuratorile de distantie, de inaltimi, de an-ghiuri, etc. Tote aceste operatiuni se pot efectua si'prinmetode grafice ; inse nesecurantia acestor metode, si

*130

3

166 CURS DE TR1GONOMETR1A.

chiar dificultatea intrebuintiarii lor fac ca tot-de-una sese prefere calculul.

In aplicatiunile practice ale trigonometriei este ne-cessariu se se scie a mesura lungimi si anghiuri.

Lungimile se mesura en lantiul de agrimesura, seucu nisce rigle de lungimi cunoscute. Acest lantiu seuaceste rigle se pun pe drepta ce voim a mesura d.e ekeori incap, si numerand de cate oH am pus lantiul seuriglele pe acesta drepta, cunoscem lungimea ei.

Anghiurile se mesura cu nisce instrumente caH por-ta diferite numiri: grafometrul, cercul repetitor seu teo_dolitul stint celle mai usitate. Tote aceste aparate, re-duse la cea mai simpla espressiune a lor, se compundin un limb seu cerc gradat de metal, 0, care portadoue alidade, adeca doue rigle de metal, A_B si CD,

cari trec prin centrul cercului. Unadin aceste rigle, AB, este fixa, eracea-alta, CD, se pote inverti ingiu-

.......... _rub centrului 0. Pentru a mesuraun anghiu, se asiedia centrul cer-cului in verful 0 al anghiului EOF

ce trebue se se mesure, se indreptedia alidada fixaAB in directia uneia din laturile anghiului, OE, si au-dada mobile CD se invertesce;,ingiurul centrului pensse aduce in directia cellei de a doua lature a anghiu-lui, OF. Atunci arcul DB, cu care s'a miscat acesta a-

mesura anghiul.In instrumentele moderne alidadele sunt inlocuite

prin lunete, caH dau ua directie mai precisa, si pot ye-dé objectele la ua mai mare departare de cat ochiul lib er.

In celle mai multe din operatiunile de pe pament,deca terenul nu este cu totul orizontal, nu se mesura

lidada,

ESSERCITII SI APLICATIUM 167

liniile si anghiurile cum sunt in natura, ci projectiilelor pe un plan orizontal. Asia, in loc de a mesura drep-ta inclinata AB, se mesurd projectia sea AC pe ua liniaorizon tale .

Acesta se chiama a reduce li-niile si anghiurile la orizont.

Sunt diferite metode pentru ase reduce liniile si anghiurile la

A orizont. Teodolitul, intre altele,cl dedreptul anghiurile reduse la orizont.

TRIANGULATIIINE.

1.45. Pentru a se esecuta cu precisiune un plan alunei mosii, al unui orasiu seu alt-ceva, trebue a se de-termina distantiele respective intre diferitele Belle punc-te principali, reduse la orizont. Aceste distantie nu semesura tote direct, din causa a este forte anevoie ase mesura cu precisiune ua drepta pe pament ; ci pen-tru acesta se formedia ua multime de trianghiuri cari a-copere partea de loc considerata, si alle carom verfurise afla in punctele principali alle locului. In aceste tri-anghiuri se mesura cu instrumentele tote anghiurile sinumai ua lature, numita base; si apoi pHn calcul se de-termina tote celle-alte laturi alle trianghiurilor. Acestaoperatiune se numesce triangulatiune.

Eca un essemplu de trian-gulatiune. Cam in centrul lo-cului considerat, se alege unpunct 0, din care se se potavedé tote punctele principalealle locului. Se aleg apoi eke-va puncte insemnate, A,B,C,D,

U

a


E,F, ast-fel ca unind aceste puncte intre elle si cu 0prin linii drepte, trianghiurile ABO, BOC, etc., carivor resulta, S3 nu aiba nici un anghiu prea ascutit seuprea obtus, caci atunci erorile de temut sunt cu multmai mari. Se mesura tote anghiurile din aceste trian-ghiuri, si se alege ua lature ore-care, spre essemplu AB,care se se pota mesura direct in conditiunile celle maiavantagiose. Acesta lature va fi basea triangulatiunei.

In trianghiul AOB, cunoscundu-se AB si anghiurileA130, BAO, mesurate direct, se vor puté calcula si la-turile AO si BO.

Trianghiul BOC, in care se cunoscé BO din tri,an-ghiul precedinte, si tote anghiurile din mesuraturi', neva da lungimea laturilor BC si OC.

Tot assemenea mergund mai departe din trianghiuin trianghiu, vom determina laturile CD, OD, DE,OE, EF, FO, FA, AO.

Determinarea acestei din urma laturi ne pote servi caverificare ckci deca valorea gasita acum va fi identicaseu prea putin diferita de cea afiata la inceput din trian-ghiul ABO, acesta va fi ua proba c calculele au fostesacte.

Trianghiurile formate ast-fel numai cu punctele prin-cipali se numesc trianghiuri de antaia marime.

Pentru a determina in urma positiunea punctelormai putin insemnate, G-,H, I, K, se lega aceste puncteprin drepte cu punctele princip ale considerate mai ante,si se mesura tote anghiurile trianghiurilor FGE, OHD,1310, FKO, ast-fel formate. Aceste trianghiuri, in carise cunosce cate ua lature din trianghiurile de antaia

ESSERCITII SI APLICATIUNI 169

marime, si tote anghiurile din mesuraturi, ne vor d sidistantiele FG, GE, OH, HD, BI, IC, FK, KO, cari de-termina positiunea punctelor G, H, I,K.

CALCULUL DISTANTIELOR.

146. Se se gasesca distantia de la un punet pene la unalt punct inaccessibile.

Fia A punctul uncle statione-dia observatorul si B punctul vi-sibile iuse inaccessibile ; se ceredistantia AB.

Se mesura pe pament ua baseAC, care se treca prin punctul A;

apoi cu un instrument de mesurat anghiurile se ridicaanghiurile A si C; atunci trianghiul ABC, in care seounosce ua lature si doue anghiuri, ne va da prin uncalcul cunoscut% distantia cantata AB.

Esseinplu. Date : AC=315',74 ; A---72°13'24",1;C=47°37'18",5.

Necunoscuta: AB-268'1,904.147. Se se gasesca distantia d'intre doue puncte, visi-

bile inse inaccessibile.Fia A si B punctele inacces-/ sibile a caror distantia este

ceruta.Se mesura ua base CD, si

apoi aughiurile ACD si ADC ;trianghiul ACD, in care se cu-

":1 nosce ualature si done anghiuri,ne va da prin calcul laturea

apoi anghiurile BCD si BDC, si trian-AC. Mesurhm

*126

A \N, /I

e

1.70 CURS DE TRIGONOMETRIA

ghiul BCD, in care se cunosce laturea DC, mesurata,si celle doue anghiuri adjacente, ne va da pe BC. Atuncitrianghiul ABC, in care cunoscem pe AC si pe BCprincello doue trianghiuri precedente, precum si anghiulACB=ACDBCD, ne va da laturea AB, care este di-stantia cautata.

Essemplu. Date : CD=1432m,16 ; ACD =79013128",4ADC=35°51'12",3; BCD=46°25'56",8 ;BDC=64'36'5",9.

Necunoscuta : AB 787m,848.

CALCULUL INALTIMILOR.

148. Se calculdm inaltimea unut turn al carui picioraccessibile este pe un plan orizontal.

Asiedihm un instrumentde mesurat arighiurile in unpunct C, la ore-care depar-tare de piciorul turnului, simesuram anghiul BDE ceface radia visuale dusa la

verful turnului cu linia orizontale ED. Mesuram apoipe pament distantia AC. In trianghiul dreptanghiu BEDse cunosce laturea ED=AC si anghiul ascutit BDE ; vom

*122 put6 dera* se calculAm pe BE; adaogind la acesta ma-rime si pe EA=DC, care este inaltimea h a instrumen-tului, vom aye inaltimea AB a turnului.

Essempla. Date : AC=41m,35 ; BDE=39°15'49",6;

Necunoscuta AB=35',05.149. Se calculdm inaltimea unui turn al carui picior

accessibile nu este pe un plan orizontal.

;

h=r°,25.:

ESSERCITII SI APLICATIUNI 171

iz Asiediam un instrument demesurat anghiurile in D, si a-poi insemnhm pe turn un punctE ast-fel eh EB se fie egal cuDC. Mesurban pe urma an-ghiul ADE, precum si anghiul

ADZ, pe care 'lu face drepta AD cu verticala DZ; me-surhm in fine basea BC=ED. Trianghiul AED, in ca-re cunoscem laturea ED si anghiurile ADE siADZ, ne va da pe AE*; adaogind la acesta quantitate *126

pe EB=DC=h, inaltimea instrumentului, vom aye inal-timea AB a turnului.

Essemplu. Date : BC=52m,36; ADE=36°24,17",3ADZ-----40°58'12",2; h=0m,982.

Necunoscuta : AB=48m,485.150. Se calculdm inaltimea unui turn al carui picior

este inaccessibile, inse asiediat pe un plan orkontal.Asiediam in C un instrument de mesurat anghiurile,

si luhm anghiul ACE ce face radia visuale dusa la ver-ful turnului cu directia ori-zontale CE. Muthm apoi in-strumentul in D, tot pe ii-nia EC, si mesuram anghiulADE; in fine mesurthu sipe FG=CD. In trianghiul

ACD se cunosce laturea, CD si anghiuriie ADC siACD-180°ACE; prin urmare din acel trianghiuvomputé calcula pe AC*. Atunci trianghiul dreptanghiu *126ACE, in care se cunosce AC si ACE, ne vä da* pe AE, *119la care adaogind pe EB=h, inaltimea instrumentului,vom av6 inaltimea cantata AB.

11111111111111114

ottio di' Al

Ak

EAD=


Essemplu. Date : FG-12"1,15 ; ACE-144'27'42110 ;ADE-32°51'13",5; h=1"1751.

Necunoscuta: AB-34'1,264.151. Se se calculedie inaltimea unui munte.

Alegem doue puncteC si D ast-fel ca se pu-tern mesura cu inlesniresi precisiune ua base

F CD. Asiedihm apoi uninstrument de mesuratanghiiirile in D, si me-suram anghiul AFE for-

C.

mat de radia visuale dusa, la verful muntelui cu ceadusa la punctul E ; muthra pe urma instrumentul in Csi mesuram anghiul AEF, facut de radiele visuale dusela verful muntelui si la punctul F. Trianghiu AEF, incare se cunosce EF=CD si anghiurile alaturate ne va

126 pe AE. Atunci, deca mesurhm si anghiul AEG fa-cut de radia visuale dusa din E la verful muntelui cuorizontala EG, trianghiul dreptanghiul AEG, in carese cunosce hipotenusa AE din trianghiul precedent, sianghiul ascutit AEG-, va da pe AG. Inahimea totale amuntelui se va afla adaogind la AG pe GB=ECh, inaltimea instrumentului.

Essemplu. Date : CD=248m,36; AFE---58°13'26",3;AEF=72°15'20u,9; AEG=30°37'11",5;

Necunoscuta: AB-142',564.

WES TIUNI DIVERSE

152. Se prelungim ua drepta pe pament pene dincolode un obstacul care opresce vederea.

r !PtI,

cirflGl,I\

1

da°

h=--1m,18.

ESSERCITII SI APLICATIUN1 173

Fia drepta AB pe ca-Tre trebue se o prelun-

0 gim dincolo de obsta-culul 0, care impedecavederea.

Mesurhm ua portiu-ne AB din drepta data ;

apoi alegund un punct 0, din care se se veda si drep-ta AB, si obstaculul, si partea locului unde trebue pre-lungita drepta, mesuram anghiurile BAC si ABC ; atuncitrianghiul ABC ne va d a pe AC. Dupe acesta ducem uadrepta dupe voie CD in partea locului unde trebue pre-lungita drepta, si mesurhm anghiul ACD ; trianghiulACD, in care se cunosce AC si anghiurile A si C, ne va dape CD si anghiul ADC. Luand dera pe drepta indefinitaCD ua lungime egale cu distantia calculata ast-fel, siducund prin D na drepta DE mire se faca cu CD unanghiu egal cu cel gasit prin calcul, acesta drepta DEva fi chiar prelungirea cautata a dreptei AB.

Essemplu. Date : AB=87'11,34; BAC=50°13,25,,,4 ;ABC=107°38'9",3 ; ACD=61°29'32",8.

Necunoscute : AD C=68°17'1",8 ; CD=182m,284.153. Trei puncte de pe pament A,B,C, sunt insemna.

te pe ua charta; se gasim pe acesta charta si positiuneapunctului P care este ast-fel situat, cd distantia AB pri-vita din P, se vede sub anghiul oc, si distantia BC sub an-ghiul 1.

Este evident ca. punctul P,din care drepta AB se vedesub anghiul oc, se afla pe seg-mentul descris pe AB si ea-.pabil de anghiul a ; de alta

,


parte P trebue se se afle si pe segmentul d.escris peBCsi capabil de anghiul p. Asia-dera punctul P so va aflala intersectia acestor doue segmente.

Se care inse a détermina prin calcul positia punctu-lui P.

Punem BC.b, BAP.x, BCP.y, ABC-0).Trianghiul ABP dh:

BP ABsinx Bina

seuBp_asinx.

smaTrianghiul BCP dh assemenea:

asia.dera

de unde

BPbsinysinp! -

asinx bsiny.

sinpsina

sinx bsinasiny asinie

si dupe proprietatile proportiilor,

sinxsiny bsinotasinpsinx+ siny bsina asinli

*48 Inset xysinx tg

2

sinx+ siny x4-yg 2

asia-dera:

(a)

ABa,

ESSERCITIE SI APLICATIUN1 175

seu

xytg2 bsinaasinp

tg x-f- y bsina asia2

tg x y x+yt2 bsin +asinp

g2

Pentru a face calculabile prin logaritmi acesta equa-tiune, impartim ambii termeni ai fractiunei cu bsina siavem :

Punend

1 asinp

tg x y Nina tg x-FT2 1+ asmp 2

balm«

asinp---=tgY)

bsina

si observand ch relatiunea acesta devine:

seu

tg xy tg45°tgptg x+Y2 1+ tg45°tgio 2

xytg _tg(450(p)tg x-Fr.

2 2( 1)

Pe de alta parte suma anghiurilor din patrulaterulABCP find de 360°, avem :

a+P-Fx-i-y+Eq=360°,de unde

bsinaasinp

1tg45°,

,

176 CURS DE TRIGONOMETRIA -x-Fy 180° "+@+" (2)

2 2

Equatiunile (1) si (2) ne vor da pe x si y, cari de-termina positia punctului P pe charta.

Cunoscund. pe x si y, vom put6 determina si pe BPprin ver-una din relatiunile

asinxsina '

seu BP. bsiny.sinc3

Essemplu. Date : a----53°43'27",4; pif=-42°18'53",3 ;.-112°34'32",3 ; a=2456',13; b-1931',25.

Necunoscute : x 69°8'27",78 ; y=820141391',22 ;BP=2846m,918.

Observare. In cas canda+P-F-w=180°,

avem din (2):xytg-F-x-Fy _ 90°, Sell : 2. cc .

2

De alta parte, fiind-ch anghiurile opuse cl+p si . dinpatrulaterul ABCP sunt suplementare, patrulaterul esteinscriptibile ; prin .urmare si anghiurile x six vor fisuplementare, si vom av6:

sinx ----siny ;

atunci relatiunea (a) devine :a b

seuasinpbsince,

si prin urmaretgcp---1, si cp=-45°.

Formula (1) se face in casul acesta :

BP,_

sin« sinP'

ESSEMITII SI APLICATIUNI 177

°tgO 0xy 0tg X cr

2 0In cas dera cand celle patru puncte A,B,C,P, sunt pe

ua aceasi circumferentia, problema este nedeterminata.154. Se se reduca ua drepta la orliont.

Fiind data drepta AB si incli-narea sea() pe orizont, se ceredrepta AC redusa la orizont.

Trianghiul dreptaughiu ABCda, imediat :

ACAB coso.Asia- dera tia drepta redusa la oriTont este egale cu

drepta din natura imrnultita cu cosinusul inclinarii ei peorkont.

Essemplu. Date : AB-193m,37Necunoscuta : AC=191',381.

12

=

o--8°13'25",5.

CARTEA III

TRIGONOMETRIA. SFERICA.

CAPITIILIIL I.

Proprietatile trianghiurilor sferice.

155. Trigonometria sferica are drept object resolu-tiunea trianghiurilor sferice.

Laturile trianghiurilor sferice fiind nisce arcuri decercuri mari alle sferei, sé socotesc in grade, minute sisecunde, ca si anghiurile; inse deca voim se afihm lun-gimea linearia a unei laturi cunoscund numerul de gra-de, minute si secunde ce contine ea, vom puts face les-ne acesta determinare prin relatiunea cunoscuta dincreometria :

2.11 0x=--- x ,

360in care x insemnedia lungimea linearia a laturei, era x°numerul gradelor coprinse intr'ensa.

In trigonometria sferica nu vom considera de eattrianghiurile sferice alle caror laturi sunt mai mici de

WIOPRIETATILE TRIANGHIURILOR S0ER10E I

cat 1800; asia eh, deca unim verfurile A,B,C, alle trian-ghiului cu centrul 0 al sferei, formitm un anghiu triedry,

A alle carui fetie AOB, BOC, COA, semesura respectiv chiar cu laturile

B AB,BC,CA alle trianghiului sferic, si.........

alle carui anghiuri diedre pe aretele0A,OB4O0 sunt egale respectiv cuanghiurile A,B,C alle trianghiului.

Radia sferei in trigonometria sferica se considera tot-de-una egale cu unitatea.

Anghiurile trianghiurilor sferice se notedia tot cu li-terele A,B,C, si laturile opuse cu a,b,c. Deca un anghiueste drept, i se pune litera A ; assemenea deca ua la-ture este de 90°, se notedia cu lite,ra a.

156. Reamintim aci principalele proprietati alle trian-oliurilor sferice de caH vom aye trebuintia mai inurma:

1°. Suma anghiurilor, A,B,C, dintr'un trianghiu sfe-Hc este mai mare de cat doue anghiuri drepte si maimica de cat siesse. Urmedia de aci ch, in un trianghiusferic pntem aye nu numai un anghiu drept seu obtus,ci si doue ; chiar si trei.

20. Suma laturilor, a,b,c, este mai mica de cat ua cir-cumferentia.

30 Deca din fie-care verf al unui trianghiu sfericABC, cu ua radia de 90°, descriemcate un arc pe sfera, aceste arcuriformedia un nou trianghiu sfericA'B'C', care se numescepolar al celuid'antaiu, si a) fie-care lature a trian-ghiului ABC este suplementaria

ATT

LA

cot

*1


anghiul opus din trianghiul polar ; ast-fel :b+B'=180°,c+C'---180°; b) fie-care anghiu al trianghiu-lui considerat ABC este egal cu ua semicircumferen-tiaminus laturea opusa din trianghiul polar ; ast fel:

B-kh'180°,C+c'-=-180°.40 . Doue triangbiuri sferice ce se afla pe aceasi sfe-

ra seu pe sfere egale, sunt egale: a) cand au un anghiuegal coprins intre doue laturi egale ; b) cand au ua la-lature egale coprinsa intre doue anghiuri egale ; c) candau cate-trelle laturile egale ; cand au cate trelle an-ghiurile egale.

Din acesta proprietate resulta c un trianghiu sfericse pote tot- de-una resolve cand ni se dau trei ore caHdin elementele lui, fora a fi necessitate ca printre ace-ste elemente se se afle si cel putin na lature, cum amvediut la trianghiurile

Problema generale a trigonometriei sferice este deracea urmatore : dandu-se trei ore-cari din elementele unuitrianghiu sferic, se se determine un al patrulea element.Acesta problema se va resolve afland relatiuni intre patru ore-caH din elementele unui trianghiu sferic. Decavom presupune apoi c unul din aceste elemente estenecunoscut, celle-alte trei fiind cuuoscute, vom putéafla elementul necunoscut resolvend equatiunea.

Celle siesse elemente alle unui trianghiu sferic, cora-binate patru eke patru, dau celle 15 grupe urmatOre :

Aec, Babe, Cabe;ABab, ACac, BCbc ;ABac, ABbc, ACab, A Cbc, BCab, BCac;ABCa, ABCb, ABCc.

a+A:----180°,

A-tee-180°,

PROPMETAT1LE TRIANGHIURILOR SFERICE 181

Prin urmare relatiunile ce vom gasi intre patru ele-mente alle unui triaughiu sferic vor fi de patru feluri:

1°. Intre celle trei laturi si un aughiu ;2°. Intre doue laturi si anghiurile opuse la fie-care ;3°. Intre doue laturi, un anghiu coprins intre elle si

unul opus la una din elle.1°. Intre celle trei anghiuri si ua lature.

RELATILTNI INTRE CELLE TREI LATURI SI UN ANGHIU.

157. Fie ABC un trianghiu sferic, in care presupu-4 nem eh laturile AC= b si ABc

sunt fie care mai mici de 900 .

Ducem AE tangenta la arculAC, si AD tangenta la AB, siprelungim aceste tangente peneintalnesc radiele 0 C si OB in E

si D ; unim apoi D cu E. Dupe definitiunea liniilor tri-gonometrice, si find- ca radia sferei OA este egale cu1, avem:

AD=tgc, OD =secc, AE=tgb, 01.1=--secb;pe lunga acestea, anghiul DOE fiind mesurat cu arculBC, avem: DOE---a ; si anghiul diedru 0A013, avenddrept mesura anghiul plan DAE,

DAE= A.Trianghiul rectiliniu DAE dO :

iTt2==-1152+AT2 2 AD XAEcosDAE,seu

-Ft 2=tg2c-Ftg2b-2tgctgbcosA.Trianghiul DOE dh assemenea:

FE2.----15-02+N2 2D0 X0EcosDOE,seu

*102

182 CUBS DE TR1GONOMETR1A

DE2= sec2c+ sec2b-2seccsecbcosa.Egaland acesta valore cu cea precedinte,

eb+tec-2tghtgccosA=sec2b sec2c-2secbsecccosa,de uncle :

2secbsecccosa=--Xsec2b teb)--)- (sec2ctg2c)+2tgbtgccosA,

4:31si fiind-ce

avem:

seu

sec2bteb=1, sec2cfec=1,

secbsecccosa=1+tgbtgccosA,

cosa sinbsinccosbcosc

_1+cosbcosc

cosA,

si immultind tota equatiunea cu cosbcosc,cosa.-- co sbcosc+ sinbsinccosA. (a)

158. Formula acesta este generale, adeca esiste cMarin casurile cand b si c nu sunt mai mici de 900, precumam presupus in cursul demonstratiunei.

Se presupunem mai antaiu ca AB=c este mai marede 90°, pe cand AC---=b este tot maimic de 90°. Prelungim arcele AB siCB pene la intalnirea lor in B'. In

0 trianghiul sferic nou format, AB'C,laturea AC<90°, din date ; apoi AB'<90°, caci decaAB>90°, diferentia sea pene la BAB'=180° este evi-dent ca va fi mai mica de cat 90° ; acest trianghiti im-plinind dera conditiunea pusa la inceputul demonstra-tiunei precedente ca se aiba laturile AC si AB' mai micide 90°, vom aye relatiunea :

cosCB'= cosAB'cosAC+ sinAB'sinACcosB'AC,si fiind-ca

t

A

PROPRIETAT1LE TRLANGHIURILOR SFERICE 183

CB'=180°a, AB'=180°c, AC=b, B'AC=180°A,avem:

cosa--cosccosbsincsinbcosA,si scamband. semnele,

cOsa=cosbcosc+sinbsinccosA,care este chiar relatia (a); inse acum c>90°.

Fie inca b>90° si c>90°. Prelungim laturile AB si AOpene la intalnirea lor in A', si atuncitrianghiul BA'C, in care BA'<90°si CA'<90°, dk:

cosBC=cosBA1cosCk4-sinBA'sinCA'cosBA'C,

si fiind-caBC=a, BA'=180°c, CA'=180°b, BkC=A,

punend aceste valori in equatiune, vom aye erasi :cosa =cosbcosc+ sinbsinccosA,

relatiune identica cu (a), inse in care b>90° si c>90°.In fine, find ca acesta formula subsiste ori-cat de

mult s'ar apropia b sic de 90°, putem admite ca, easubsiste si la limita, adeca cand b si c sunt egali cu90°. Formula dera este generale.

Operand in B si C in acellasiu mod cum am facut inA, vom gasi alte doue formule; avem dera sistema ur-matore de trei formule:

cosa=cosbcosc+sinbsinccosA,cosb=cosacosc+sinasinccosB, (1).cosc = cosacosb+ sinasinbcos C,

cari sunt formulele fundamentale alle trigonometrieisferice, eaci din elle se deduc tote relatiunile ce vomgasi mai in urma.

1.

ct.


RELATIUNI INTRE DOUE LA.TURI SI ANGHIURILEOPUSE.

159. Scotiend. valorea lui cosA din prima din equk-tiunile (1), avem :

cosacosbcosccosAsinbsinc

si ridicand la patrat,cos2a+cos2bcos2c-2cosacosbcosc.cos2A

insesin2bsin2c

sin2A__1cos2A 1cos2a±cos2bcos2c-2cosacosbcoscsin2bsin2c

sin2bsin2ccos2a cos2bcos9c+2cosacosbcoscsin2bsin2c

(1cos2b)(1cos2c)cos2acos2bcos2c+2cosacosbcoscsin2bsin2c

1cos2a cos2b0082C+2cosacosbcoscsin2bsin2c

si impartind ambii membri cu sin2a,sin2A 1 cos2acos2b cos2c-1- 2 cosacosbcosc

sin'a sin2asin2bsin2cOperand assemenea asupra cellei de a doua si a treia

equatiuni (1), am gasi pentru '4n2B sisi.n2C aceasi va-sm2csin b

lore ca si pentrusin2A;

prin urmaresm2asin2A sin2B Sin2C

sin'a sin2b sin2 c

si estragund radecina patrata,sinA sinB sinC

+ ± . +sina smc

;

PROPRIETATILE TRIANGHIURILOR SPERICE I R5

inse fiind-ca si anghiurile si laturile trianghiului suntmai mici de 180", sinusurile lor sunt positive, si prinurmare nu vom lua in equatiunea precedinte de catsemnul+pentru fie-care termen avem dera sirul de ra-porturi egali:

sinA sinB sinC. (2)sina sinb sinc '

caH esprime eh in ori-ce trianghiu sferic sinusurile an-ghiurilor sunt proportionale cu sinusurile laturilor opuse,

RELATIUNI INTRE DOUE LA.TURL ANGHIUL COPRINSINTRE ELLE SI ANGI-IIUL OPUS LA UNA DIN ELLE.

160. Se se gasescd, spre essemplu, relatiunea ce e-siste intre elementele a,b,A,C. Trebue se eliminam pe csi pe B intre celle trei equatiuni (1).

In prima din equatiunile (1) inlocuim pe cosc prinvalorea sea data de a treia; acea equatiune devine atunci:

cosa.cosb(cosacosb PsinasinbcosC)+sinb&_wcosA."De alta parte formulele (2) dau :

sinCsincsina .sinA

Punend. acesta valore in equatiunea din urma, des-facund parentesele si punend pe sina sinb factor comunla termenii unde se afla, avem:

( cosA )cosa=cosacos2b -Fsinasinb cosbcosC+ sinC ;smAtrecund p6 cosa cos2b in membrul antaiu,cosa(1 cos2b)=cosasin2b=sinasinb(cosbcosC-f-sinC cotA),si divisand prin sinasinb,

cotasinb=cosbcosC + sinCcotA.In acellasiu mod vom gassi inca alte ,cinci formule

*156

I 86 CURS Dt TRIGONOMETRIA

analoge, asia ch. sistemul complet se compune din cel-le siesse formule urmatorie :

cotasinb=cosbcosC+ sinC cotA,cotasinc=cosc cosB sinB cotA,cotbsinc=cosccosA+sinA cotB,

(3)cotbsina=cosa cosC+ sine cotB,cotcsina =cosa cosB+sinB cotC,cotcsinb=cosbcosA+ sinAcotC.

Eca un mediu-loc facile de a tine minte aceste for-mule: voind, spre essemplu, a gasi relatiunea intre ele-mentele a,b,B,C, le vom scrie in ordinea urmatorie:

b ap a C C B,adeca : antaiu laturea la care se opune unul din an-ghiurile date; pe urma cea-alta lature; al treilea an-ghiul coprins intre laturi, si in fine anghiul opus la pri-ma lature ; elementele de la mediu loc se scriu de ekedone ori. Inaintea elementelor estreme se scriu initia-lele cot; inaintea cellor done caH yin lunga margini cu-ventul sin, si inaintea cellor doue din mediu-loc cos.Intre al doilea si al treilea element se puneintre al patrulea si al cincilea+.

RELATJUNI INTRE U.k LATURE SI CELLE TREI ANGHIURI

161. Consideram trianghiul A'B'C', polar al trian-'156 ghiului dat ABC; avem*:

a'=180°A,c'=-180°C,

, Inse in A'B'C' avem, dupe equa-tiunile (1):cosce=cosb'cosc'+sinb'sino'cos,V0

senanul,

b'=-180°B,

A1-180°a,

ai

P110PRIETAT1LE TRIANGHIURILOR SFER10E 187

inlocuind pe al,b',e',A', cu valorile lor,cosA=cosBcosCsinBsinCcosa,

si scamband semnele,cosA.-=---cosBcosC-FsinBsinCcosa.

In acellasiu mod vom gasi inca doue relatiuni ana-loge cu acesta, asia eh sistemul complet se compunedin celle trei equatiuni urmatore :

cosA.cosBcosC+sinBsinCcosa,1=.-

cosC=---cosAcosB+sinAsinBcosc,

(4)

FORMIJLE RELATIVE LI TRIINGHIURILE DREPTINGHIE.

162. Deca anghiul A este drept, avem: cosA=0sinA=1, cotA=0. Punend acesta valore in prima dinequatiunile (1), ea devine:

cosa=cosbcosc, (5)care esprime ch in un trianghiu eerie dr eptanghiu co-sinusul hipotenusei este egal cu produsul cosinuselor cel-bor. alte doue laturi.

163. Equatiunile (2) dau:

sinbsinasinBsinA

si pentru A=90°,sinb=sinasinB, sincsinasinC; (6)

adeca sinusul unei laturi a anghiului drept este egal cusinusul hipotenusei immultit cu sinusul anghiului opus.

.164. Introducund hipotesea A----90° in equatiunile(3), obtinem:

sinasinCsinc=

sinA

cotasinb=cosbcosC,cotasinc=cosccosB,


cotbsinc=cotB,cotcsinb = cot C,

si impartind pe fie care din aceste equatiuni respectivprin cosbcota, cosccota, cotbcotB, cotccotC, dobandimsistema

tgbtgacose,tgc---tgacosB,

(7)tgb=sinctgB,tgc---sinbtgC.

Celle doue d'antaiu esprim ch tangenta unei laturi aanghiului drept este egale cu produsul tangentei hipote-nusei prin cosinusul anghiuluz oblic alaturat; era celledoue din urma, ca tangenta unei laturi a anghiuluidrepteste egale Cu sinusul celei-alte din aceste laturi immultitcu tangenta anghiului opus.

165. Equatiunile (4), pentru 41-90°, dau :cosBcosCsinBsinCcosa,

cosBsinCcosb,cosC---sinBcosc,

si deca pe prima din acestea o dividem cu sinBsinC,cosa.cotBcotC,cosB=sinCcosb, (8)cosC=sinBcosc.

Cea d'antaiu din aceste formule areta eh cosinusulhipotemisei este egal cu produsul cotangentelor cellordoue anghiuri oblice; era celle-alte doue, c cosinusulunui anghiu oblic este egal cu cosinusul laturei opuseimmultit cu sinusul cellui-alt anghiu oblic.

166. Dhm aci ua metoda muemonica forte simpla pen-tru a se puté tine minte tote aceste formule. Pe laturile

PROPRIETATILE TRIANGHIURILOR SFERICE 1 89

reA b

2in loc de C. Atunci, deea

7:anghiului drept scriernTb in loc de

f,-considerAm trei elemente si deca ace-

ste elemente stint consecutive, cosinusul celui din mediu-loc este egal produl cotangentelor celor de la mar-gini; era deca celle trei elemente considerate nu sunt toteconsecutive, cosinusul elementului separat este egal cuprodusul sinuselor cellor-alte doue consecutive.

In aceste diverse consideratiuni anghiul A se soco-tesce ca cum nici n'ar esiste.

Spre essemplu, se se afle relatiunea ce esiste intre hi-.

potenusa a si laturile b si c. Aceste trei elemente ye-dem ch nu sunt tote consecutive, cad a este separatde b prin anghiul C, si de- c prin anghiul B. Laturile bsi c, din contra, sunt consecutive, chci anghiul A carese afla intre die un computa. Asia dera, dupe regula,vom aye :

7:C 0

sa=sin(

i(T ) 2

care este tocmai equatiunea (5).Se se afle inca relatiunea ce esiste intre a, c,13. Ace-

"10

ste trei elemente sunt consecutive; prin urmare, duperegula,

cosB---cotacot(--nc2

)=cotatgc,

si impartind cu cota,tgc --= tgacosB,

Re care este a doua din equatiunile (7).alte opt relatiuni se gasesc tot in acelasiu mod."11Celle

iu

sin(_-- c)--,cosbcosc,

190 btIM bE TRIGONOhiETRiA

167. Formulele (5),(6),(7),(8) pot se se puna sub alteforme mai comode pentru caicul, si tot-de-o data maiprecise, cAci tote vor da anghiurile si laturile prin tan-gentele lor ; de acea elle au preferentia in resolutiuneatrianghiurilor dreptanghie.

Formula (5) da, :cosb= cosa

cosc*44 Punend acesta valore in formula cunoscuta%

1cosb2 1+ cosb

avem :

seu

cosa/ cosccosa

1+ cosa V cosc+ Cosa

2sina+c sin ac2 2

2cos a+ c accos

2 2

tgb tg a±c tg a --e2 2 2

Deca din (5) am fi scos valorea lui cow; si am fi pus-oin formula :

c 1cosc1+ cosc

am fi gasit assemena :

tg tg a 4- b tga C.2 2

tg-b-2

COSC

2

.

t V '

coaC

V.

V

PROPR1E1ATILE l`FIIANOMIRIL011 SVER1Ch I1

Aceste doue formule esprim tangenta unei laturi aanghiului drept in functiune de tangenta semisumei sisemidiferentiei hipotenusei si a cellei-alte laturi.

168. Prima din formulele (6) dh:sinbsinasinB

care pusa in formula* *53

ori

r atg(45 + --±\/ 1+sina1sina'

tgy150+-).-±( a

sinb1+ sir& VsinB+sinb+sinb sinBsinb1sinB

2sin B+ b B bcos

2 2

. Bb2sm 13+12cos

9 2

tg(45°+)2

Assemenea si

tg(450--1-)_ 0 c2

tg2

169. Deca din prima equatiune (6) am, fi scossinbsinBsina

2

C-fc

da:

V

B + b2teb'2


si am fi pus inB1+sin

2 1smBam fi gasit, dupe ua seria de transformari identice cucele de sus :

B)tg05

Assemenea sia+c

tg(450+C)=.2

2

t acg2

170. Prima din formulele (7) (14:tgb

cosk,--=tga

care pusa in equatiaCg- 1eose2 1 -f-cose

dà :

tg

tgb,C tga_A tgatgb\1

z V tgb V tga-Ftgb1+tga

lsina sinbcosa cosb V sinacosb sinbcosasina sinb sinacosb+sinbcosacosa cosb

-r-

_

tg(45o+

a+b

ab2

g2

tg

/ \ ..

,

_\V

PROPR1ETATILE TRIANGEHURILOR SVERIGE 193

Isin(ab)sin(a+b).

Putem dera in locul primelor doue formule (7) sesubstituim pe celle urmatore :

0 isin(ab)2 V sin(a-Fb)'

to B =,/ sin(ac).2 V sin(a+c)

171. A treia si a patra din formulele (7) dau:. tgb .Rub tocsinc=---,

tgC,tgBcari puse in formulele

tg(450-1---c ).±V1-Fsinc2 1sin c'

toL(450 _i_____b ') L.+, 11-Fsinb2 V 1sinb'

dau, dupe nisce transformari analoge cu celle de la for-mulele imediat precedente :

( ctgL45°+)=-±V si.n(B+b)2 sm(Bb)

tg(4504_ b2).,, \/ sin(C+c)sm(Cc)

,

172. Deca in

tg a____,Vlcosa2 1-1-cosa

punem in loc de cosa valorea data de prima din equa-tiunile (8), avem :

+0------a I1 cotBcotO / sinBsinC cosBcosC.2 P-F-cosBcotC V sinBsinC+ cosBcosC

13

)

) V

L 2

V

194 CURS RE TRIGONOMETRIA

cos(B + C)cos(BC)

*26s1 fiind-ch*cos(B+C)=cos(180° BC),

a cos(180°BC)2 V cos(BC)

173. In fine celle doue din urma equatiuni

cosb cosB cosCsinC

COSC=---smB

seu

(8)

cosB cosCcosb cos(900C)' cosb=cos(90°B).

Aceste valori puse in

(btu :

tgb 1 cosb2 1+ cosb

cosB(cos90°C) cos(900C)cosB

1+ cosB V cos(90° 0)-1- cosBcos(90"C)

22sin(45°-1- B sin(-45°+

2B+C)

2cos[45°+ BC)cos(450+2 2 )

dau :

seu :

tg2-=\/ tg 045 + B--f-C ( BCtg(45 + );

assemenea:

CB-f-0 0 BCtg/ tgt45 + %co2

174. Deca din celle doue din urma equatiuni (8) amfi scos

=.\/

)

42]

V

tgb2

B

2 ) 2

PROPIIIETATILt TR1AXCHIIR1I.Ofl SFERICg I 95

B)_cosCcos(90° , : cos(90°--C)= cosBcosc cosb

si le-am fi substituit in*

=V1cos(90°B)tg(45°-1-12 1+cos(90°--B)'

tg 45°--0) \/1cos(90°C)s 2 1+cos(90°C),

am fi avut, dupe diferite transformari, analoge cu alte-le pre cari le-am mai vediut deja:

C+c Cctg115°-13.2).\/ tg tp,2

tg(45° --2C j= B+b Bbtg tg ,

si facund inversa,

Bcot05°-2 tg(45°+-B C2-Fc C2 c,

)= tg(45o+C)=±:i/ B + bcotcoK45° Bb2 v 2 2

FORME RELITIVE LA. TRIA.NGHIURILERECTILA.TERALI.

175. TJn trianghiu sferic se numesce rectilateral canduna din laturile selle, a, este de 90°.

Formulele relative la trianghiurile rectilaterali levom deduce, ca si pe celle pentru trianghiurile drept-anghie, din formulele generali (1), (2), (3), (4), facunda=90° ; atunci : cosa=0, sina=1, cota=0, si acelleequatiuni devin:

cos1=cosBcosC, (1)

*53

).±V cot cot

V

V

2 2 2

c0t


sinB=sinAsinb,1sinC=sinAsinc,J

tga----tgAcosQ,tgC----tgAcosb,tgB=sinCtgb,tge=sinBtgc,

(2)

(3)

cosA= cotbcotc,cosb=cosBsinc, (4)cosc=cosCsinb.

176. Eca ua metoda mnemonica comoda pentru a tine9(4 minte aceste formule. Scriem pe fi-

gura 90° C in loc de C, 90°B in6

loc de B, si 180° A in loc de A.061A Atunci, voind a stabili ua relatiuneintre trei elemente consecutive alle trianghiului (latureaa nu se socotesce), vom aye cosinusul elementului de lamediuloc egal cu produsul cotangentelor elementelor dela margini; era dera celle trei ellemente nu sunt consecu-tive, cosinusul elementului separat va fi egal cu produsulsinuselor cellor-alte doue.

Fie, spre essemplu, a se gasi ua relatiune intre ele-mentele Aceste elemente, nefiind. consecutive,cci c este separat de celle-alte doue prin anghiul A,avem :

cosc=sin(90°-0)sinb=sinbcosC,care este a treia din (4).

Se se gasesca ua relatiune intre A,B,C. Aceste ele-mente nu sunt consecutie ; deci

cos( I 80°A)= sin(90°B)sin(90^-- C),seu

PROPRIETATILE TRIANGHIT.JRILOR SPERICE 197

cosA=cosBcosC,care este equatia (1).

Se gasim, in fine, ua relatiune intre B,C,b, caH suntconsecutive ; avem, dupe regula data :

cos(90°c)=cot(90°B)cotb,seu

sinC=tgBcotb,

tgB=sinCtgb,a treia din formulele (3).

FORMULE CALCULABILE PRIN LOGARITMI CARI DAUANGH1URILE IN FUNCTIUNE DE LATURI,

ori

177. Din celle patru sisterne de formule ce am gasitla 158, 151, 160, 161, numai formulele (2)* sunt calcu-labile prin logaritmi; trebue se transformhm si pe cel-le-alte ast-fel ca se se pota si elle calcula prin logaritmi.

Formulele (1)* pot se ne dee anghiurile in functiunede laturi; asia cea d'antaiu din elle dh:

cosAcosacosbcoscsinbsinc ;

inse acesta espressiune nu este calculabile prin loga-ritmi.

Vom pune acesta valore in equatiunile. A. V 1cosA. A V 1+ cosA

2,

2 2 2si vom avea :

Asin--2

cosacosbcoscsinbsinc

2

sinbsinc+coshcosccosa2sinbsinc

*159

*158

sm

198 miss DE TRIGONOMETR1A

si

Vcos(be)cosa2sinbsinc

a+sin bc a b+c2 2

sinbsinc

cosacosbcoscA 1 -I-cos, sinbsinc2

2

..\/ cosa cosbcosc+sint,sinc=-_-

Vcosacos(b-+ c)2sinbsinc

Punern

2sinbsinc

a+b+c b+c--asin sin2 2

sinbsinc

a+b+ c=2p,scadiend successiv din ambii membri ai acestei equa-tiuni 2a,2b,2c, si divisand. cu 2, avem inca:

b+ca a+c b a+b c

2 2 2

Substituind aceste valori in equatiunile la cari amajuns mai sus, avem:

sint= sin(pb)sin(p---c)sintsipc

A sinpsin(p a)cos-2 V sinbsinc

Operand in acellasiu mod asupra cellei de a doua si*L58 a treia equatiuni (1)%, vom obtine alte doue parechi de

fprmule; in totul dera twem celle doue,sisteme urma-torio,

c-f)sin

_pa, b, --pc.

.

V

2 V

PROPR1ETATILE TRIANCHIURILOR SFERICE 199

sin A _V sin(p b)sin(pc)2 sinbsincB sin(p a)sin(p2 sinasinc

sin q_y sin(p a)sin(pb)2 sinasinb

sinps'n (p a)cos A .A/

2 sinbsinc

B sinpsin(pb)2 v sinasincC sinpsin(pc)2 V sinasinb

Divisend respectiv equatiunile (1) prin (2) si factuidreducerile, obtinem ua noua seria de formule :

(1)

(2)

A V sin(pb)sin(pc)2 sirpsin(pa)

Btg - sin(pa)sin(p c)(3)sinpsin(pb)

Ctg sin(p a)sin(pb)_sinpsin(pc)

Aceste trei sisteme de equatiuni ne dau sinusul, cosinusul si tangenta semianghiurilor trianghiului in func-tiune de laturi.

La tote radicalele trebue se se ia semnul +, cftei ju-rnetatile anghiurilor A, B, C sunt mai mici de 900, siprin urmare liniile lor trigonometrice Bunt positive.

Ca mediu practic de a memôra aceste formule, vomobserva cä factorii d,e sub radieale sunt identiei CU eei

sin

'

'

.-'

I

tg

2

V

200 CURS DE TR1GONORETRIA

de sub radicalele din formulele (4),(5),(6), de la § 106,cu singura diferentia ch ii s'a pus inainte la fie-carecuventul sin.

FORMULE CALCULABILE PRIN LOGARITMI CARI DAULATURILE IN FUNCTIUNE DE ANGHIURL

178, PunemA+B+C 1800=6.

Quantitatea egale cu diferentia intre suma anghiu-rilor trianghiului si 180° se numesce esces sferic si aremare importantia in trigonometria sferica.

*156 Consideram trianghiul polar A'B'C' al trianghiuluidat ABC. Anghiurile acelui trianghiu polar vor fi*:

A'=180°a, B'=180°b, C'=1.80°c,era laturile lui,

b'=-180°B, c'=180°C;facund suma acestor trei din urma egalitati si insem-nand cu 2p' perimetrul a'-Fb1-+c' al trianghiului polarA'B'C', vom aye:

d-Fb'+ci--2p'= 3 60° (A +B-PC 180°) ;impartind cu 2 si observand. ca A-f-B+C-180°_,E,

p'=180°-2

prin urmare.

p'a'=1E0°i(180°A)=A-

(180°B)=B

2 2

Et

a'=-180°A,

p'c'=1.80° ; (180° C)=C

PROPRIETATILE TRIANQHIUR1LOR SFERICE 201

Aplicand trianghiului polar formulele (1),(2), avem :

sin(p'b')sin(p'c')sin A'2 sinb'sinc'

A' Vsinp'sin(p' a')cos

2 sinb'sinc'

si punend. in loc de A',p'.p'a',p'--b',p'c',a',b',c', va-lorile date mai sus, vom

seu

sin(90°._-(1=2

=..-cos(90°(1-)2

.sin B2 2

sin(180°B)sin(180-0'

sin[180°2 2

sin(180°B)sin(180°C)'

2 2

sinBsinC

sinfsin[A_j]2 V sinBsinC

Operand tot assemenea si asupra cellor alte din equa-. b . -btiunile (1) si (2), am gasi si espressiunea cos'-

2 2c ccosl, sin-2-. Eca fomulele la caH ajungem :

.A/

.

avO:

\/

/ =)sinrA.--Ll\

coo

\/ sin[13-4 )sin(C )

2

\/2 1 2

2 2

202 CURS 13'!: TRIGONOMETRIA

sin -L- si4 A ' )2 2sin a

2 sinBsin-C '

sin-L- shiB 2- j2 2

sinAsinC ,

sin--L sin( C --1-)2 2

sinAsinB2

a2

sin(B sin2 2

sinBsin C

sinfA -L. I sin [C---52-]2cos-

2 sinAsinC 7

(4)

(5)

c/sin[A. --lsin (B s )

2 2

sinAsinBImp artind respectiv formulele (4) prin (5), gasim inca :

sin-L sin[A. E 12 /

sin(B -2--)sin( C----1l 2) 2

b sin -L sin( B--12 2tg2-

sin(A lsin( C i)2

sin sin( C

B 6 )2 -2-

V

,sin-C

--LI

tg a

tg

bBID

2

(6)

PROPRIETAT1LE TR1ANGH1URILOR SFERICE 203

In tote aceste formule, radicalele trebue luate tot cu

semnul+, caci arcurile a ,--b--,-csunt tote mai mici de ctit 90".2 2 2

FORMULELE LU1 DELAMBRE.

179. Deca in. A+B . A B .--ksm-cos-B A

2sin

2cos

2 2 2

. A . B Acos-, Bcos-inlocuim pe sm-, sin-, cu valorile lor da2 2 2 2

te prin formulele (1) si (2) avem :

sin A+B Vsinpsin2(p -b)sin(p-c)2 sinasinbsin2c

A isinpsin2(p-a)sin(p-c)+ V sinasinbsin2c

sin(p-b)Vsinpsin(p-c)+

sin(p-aVsinpsin(p--e). _sinc sinasinb sinc sinasinb

..._ sin(p-a)::lisin(p-b)1/ sinpsin(p 0sine sinasinb

Inse D. to- k

sin(p a)+sin(p b) = 2sin 2P-a -bcosP-b (11 a)2 2

,_ 2sinc cosa- b

,2 2

c csinc----2sin-cos

2 .,,

si dupe (2),Vsinpsin (2) c) C

sinasinb 2

Punend tote aceste valori in equatiunea de sus si

simplificand fractia cu factorul 2sinc, reimaile:2

.-._

=_-

V

v


seu

abCOS

.sinA+B 2

2cos

2

A+B a bsin cos2 2

cos cos-2

Deca tot ast fel in. A B

Sin . sincos- SUL2 2 2

A+Bcos2

ABcos

2

A Bcos cos2 2

. B ACOS

2 2'

. A . Bsin sin2 2

A 13cos cos-2 2

. A . Bsin-2 2

A. .sin,Binlocui m pe2

, cos A-, cos cu valorile kr date2 2

prin (1) si (2), si facem acelleasi transformari ca si maisus, gasim inca trei equatiuni. In totul dera avem a-ceste patru forinule :

A+BSin

2

cos-2

ABsin2

cos-2

a bcos

2

cos-2

sinab2

. csin

(7)

cos-2

C

. AB

=

_

. ,C c

_'

2

ensCc

2

PROPRIETATILE TRIANIGHIURILOR SFERICE 205

A+B a + bcos cos

2 2

.sin-2 cos-2

A B a 11- bcos

2 2

siCn sin c-2 2

(7)

Aceste formule esprime reletiuni intre cate-siesse e-lementele trianghiului. Elle au fost descoperite de De-lambre, din care causa si porta numele lui.

Eca cum se pot memora aceste formule : deca an-ghiurile sunt puse in primul membru si laturile in aldoilea, precum sunt in tabelul (7), observam : 1° eh inprimul membru la numerator si la numitor sO afla douelinii trigonometrice diferite, pe cand in membrul al doi-lea ambii termeni ai fractiunii coprind linii trigonome-trice assemeni ; 20 cand la numerator in un membru seafla un sinus, la numeratorul membrului cellui-alt se aflasemnul; deca la cel d'antaiu se afla un cosinus, cel-alt coprinde semnul+.

INALOGIILE LIM NAPIER.

180. Divisend membru cu membru pe antaia din re-latiunile (7) cu a treia, pe a doua cu a patr a, pe a pa-tra cu a treia, si in fine pe a doua cu antaia, obtinemurmatorea seria de patru formule, descoperite de Na-pier, din cari fie care coprinde câte cinci elemente alletrianghiului :

C

sin

206 D1'118 Dt 1111GONOMETIUA

t gA +B ab

cos2 2

cotC cosa+ b,

2 2

tgA B sina_ b

2 2

cotC sia±b'n

2 2

tg a+ b ABcOS

2 2ctg- A-FBcos

absinABtg

2 2

c A-FBtg-i- sin

(8)

.ZSPRESSIIINI DIVERSE ALLE ESCESULIII SFERIC.

181. Suprafatia unui trianghiu sferic fiind ua func-*219 tiune a escesului seu sferic, dupe cum vom vedd indata*,

este important a aye mediuloce prin cari se putem de-termina direct acest sees sferic.

*178 Immultind membru cu membru equatiunile (6)* cariatg- . b

tg-2-.dau pe functiune de anghiuri, avem:

2

a btg-to---==

2 °2

sin2-L2 2

sin(B2

siuA_j-)sin(B_-)2 2

2 2

2

sin2(C

IIROPRI1TAT1LA T1ThANGIIII31111,OR S1ER10E 207

sin -s-2

sinl2_ ,

cosCsin(C-2-) sinCcos-!--- sin E2 2 2

si divisend sus si jos cu sin2-2 '

a b 1tg-2- tg

sinCcotl--cosC2

de undea boot-2 cot-

2 (9)+cosC

cot 8 ,2 sinC

equatiune care dh espressiunea escesului sferic in func-tiune de done laturi alle trianghiului si de anghiul co-prins intre elle.

182. Din

deducem :A.+B+C-180°---=.

A+B n.-"---E

2 2Punend acesta valore in prima din formulele lui De-

lambre, avem: .CE abcos cos

2 2C c icos cos--2 2

de aci, dupe proprietatile proportiilor,C -E C a

cosb ccos cos

2 2 2 2-Ce +cosC cosab +cos-C--,

cos2 2 2 2

-

,2

2

=-90°

cos


*46,47 seu*

ori

20e e2sin sin4 4 4 4

c a + b. c+ a b2sin sm

2cos 20 Ecos

e 2cosca + b c+ab 'cos4 4 4 4

2C-6 t p--a p btg4

tg4tg

2tg

2(a)

In a treia din formulele lui Delambre inlocuim asse-A +B C E

mb nea2

pe prin 90°2

s1 avem :'

sin 0E COSa+b2 2_

de aci

seu:

siCnccos--

2 2

;

C-1 .SII1

0 a+bCOS

csna COS-

2 2 2 2

0 E 0 a+bsin2

+ sin+ cos--2

cos2' 2

E 20E 2sinaitn-c sia+b c2sin-4 cos4 4 4-

)

2sin 20-6 E 2cosa+b+c a+bccos cos

4 4 4 4din care

tg4-__tg P tgPc20 6 2 2tg

4Immultind acesta equatiune cu (a),

(b)

1

4

PROPRIETATII,t TR1ANGTHUR11.011 SPER1CR 209

tg2L= tgp tg P a to' P C4 2 2 6 2 6 2

si estragund radecina patrata.

tg-1--.0

to. P .t..6 P a t p-b p cg g

24 2 2 2

Acesta formula, descoperita de Simon Lhuillier dinGeneva, da, escesul sferic in functiune de celle trei la-turi alle trianghiului.

RADII CERCULUI CIRCUMSCRIS.

183. 'Fie trianghiul sferic ABC ;unim polul 0 al cer-cului circumscris cu verfurile trianghiu-lui prin arce de cerc mare, si ducem incaarcul OD perpendicular pe laturea b.

Distantiele polare OA, OB, OC fiindB egale, avem:

U AB = OBA, OBC=OCB, OCA.=0AC.Punem:

=0AB =OBA, 13=OBC=OCB, T=OCA=OAC.Dupe figuta,

ce+13B, (a)

Adunand aceste egalitati si divisend. cu 2, obtinem:A+B+C 18 00-Ps

tx+13+Y=2 2

9 00+2

(b)

Din ace ta egalitate scadiend. pe rand egalitatile (a),

a=90°

13=900--[A.---0 (c)

r=900{BTi-).14

eldy=A,

P+rC.

a

OURS DE TR1GONOMETR1A

Acum trianghiul dreptanghiu ADO da, dupe a doua*164 din formulele (7)* :

tgAD. tg AO co sr :punend radia cautata a cercului circumscris;substituind in loc de r valorea sea data prin (c), si ob-

CA b Acaciservand inca ca, AD=2

AOC este isoscel,

avem:

seu

tgRsin (B--121,

tgbtgR- 2

sin(B--2-)(1)

formula care da radia cercului circumscris in functiunede ua lature ore-care, de anghiul opus si de escesulsferic.

btg-2Deca in (1) inlocuim pe prin valorea sea data de

*168 equatiunile (6)%, avem:

seu

tgR=

tgR=

sinl.sin(B 6 )2 2

sin(A 22-)sin2(B -12-)) sin(Ci)

sin 6-2

siniA(2)

care da radia cercului circumscris in functiune de an-ghiuri.

tgr.-

,

0

,-Vsin(L.BVsinC-V

PROPFUETATILt TRUNGIIIUR11.011 SFERICE 21 1

184. FieArcurile de

RAMA CERCULUI INSCRIS.

0 polul cercului inscris la trianghiul ABC.cerc mare AO, BO, CO, impart anghiurile

A,B,C, in &Ate doue parti egale, si dinegalitatea trianghiurilor B OF cu BOD,AOF cu AOE, COE cu COD, resulta :

BF=BD, AF=AE, CE=CD ;A

asia-dera

seu

de unde

a+b+c=2BD-F2DC-F2AE,

p=BD+DC-I-AE=a+AE,

AE=pa.Trianghiul clreptanghiu AOE dA, dupe a treia din

formulele (7)*sinAE-cotOAEtgOE.

Insemnand cu r arcul OE, radia cautata a cerculuiinscris, si punend in loc de AE si OAE valorile p -a

.SI

A-2' Asin(pa)-cot-2tgr,

seu tgr=tgAsin(p- a).2

Atg-2.Substituind in locul lui valorea sea data prin e-

quatiunile (3)* si reducund,

tgr-V isn(p-a)sn(p-isin(p -a)sin(p b)sin(pc)(3)

sinpAcesta equatiune d radia cercului inscris la trian-

ghiu in functiune de laturile.lui.

*164

*177

B D

ORAIN

2 I 2 CURS DE TR1GONOMETR1A

RADIELE CERCURILOR EXINSCRISE.

185. Fia trianghiul ABC, Se scie car pentru a con-A strui cercul exinscris la ua lature ore-

care a, se duo arcurile BO si CO, bis-sectritie alle anghiurilor esteriore CBFsi BCE , si punetul lor de intersec-tie 0 este polul cercului exinscris lalaturea a. Radia acestui cere se ga-sesce ducund arcele OF, OD, OE, res-pectiv perpendicularie pe celle trei la-

turi alle trianghiului.Trianghiurile egale BDO si BFO dau :

BDBF ;assemenea, DCO si CEO fiind egale, avem :

CDCE;prin urmare

AE=AC + CD,si adunaud,

AF -1-AE --=AB BC= 2p,si fiind-ch AFAE din egalitatea trianghiurilor AFO siAEO,

Trianghiul dreptanghiu AFO

sinAF=cotFAOtgF0

punend in loc de AF valorea seap, insemnand pe FO curadia cercului exinscris la laturea a, si observand

din causa egalitatii trianghiurilor AFO si AEO an-

ghiul FA0=-1, avem

:

;

AF=AB+BD,

AC

AF,p.

ch,

PROPR1ETATILE TR1ANGH1UR1LOR SFERICE 213

seu

Asinpcotpc,,

tgatgA sinp ,2

inlocuind pe fgA cu valorea sea data de equatiile (3)*2

si facund reducerile,

tgV-----.- sinpsin(pb)sin(pc)-sin(pa)

Assemenea vom afla si :

tg - Vsinpsin(p a)sin(p---c),sin(pb)

tgr sin(pc)Vsinpsin(p a)sin(p b).

{4)

*177

\I

CAPITULUL II.

Resoluliunea trianghiurilor sferice.

186. Mai nainte de a intra in resolutiunea trianghiu-rilor sferice, vom reaminti urmatorele doue teoreme,forte importante, din geometria.

Pentru ca cu trei laturi date se fie possibile a se con-strui un trianghiu sferic, este necessariu si de ajuns :1' ca fie-care din laturile date se fie mai mica de catsuma cellor-alte doue; 20 ca suma cellor trei laturi sefie mai mica de cat ua circumferentia de cerc mare.

Pentru ca cu trei anghiuri date se fie possibile a seconstrui un trianghiu sferic, este necessariu si de ajuns :1° ca suma anghiurilor date se fie mai mare de cat doueanghiuri drepte si mai mica de cat siesse ; 2° ch cel maimic dintre elle, marit cu doue anghiuri drepte, se devina mai mare de cat suma cellor-alte doue.

Trebue se observhm assemenea caq deca un aughiuseu ua lature a trianghiului sferic sunt date pr:n cosinu-sul, tangenta seu cotangenta lor, elle sunt pe deplin de-terminate, caci valorea lor fiind coprinsa intre 0° si

*155 180"*, semnul liniei lor trigonoraetrice ne va areta decasunt mai mici seu mai mari de 900. Deca inse anghiulseu laturea sunt date prin siuusul lor, elle nu mai sunt

RESOLTJTIUNEA TRIANGHIUMLOR SFERICE 215

cu totul determinate, cIci la ua aceeasi valore positivaa sinusului correspund doue arcuri, suplementarie unulaltuia.

Pe de alta parte, deca un anghiu sea ua lature vorfi date prin un cosinus, ua tangenta sen ua cotangentanegativa, va trebui se luhm nu chiar anghiul seu latu-rea date de table, ci suplementul lor, cad numai arcu-rile coprinse intre 900 si 180° au acelle linii trigonome-trice negative.

RES0LTJTIIJNEt T RI A N GliiIIRIL OR DR E P T ANGH I E.

187. Se scie cà un trianghiu sferic pote se aiba si doueanghiuri drepte; si chiar trei. Inse in casul cel d'antaiuse scie ch celle doue laturi cari se opun la anghiuriledrepte Bunt fie-care de &Ate 90° era a treia lature esteegale cu anghiul opus. In casul al doilea ate trelle la-turile sunt de &ate 90°. Prin urmare, aceste doue Ca-suri nedand loc la nici ua problema, ne vom ocupa nu.mai de resolutiunea trianghiurilor re au nurnai un an-ghiu drept.

Acesta resolutiune presenta siesse casuri : 10 candse dau celle doue laturi alle anghiului drept ; 2° ua la-ture a anghiului drept si hipotenusa; 3° ua lature a an-ghiului drept si anghiul oblic adjacent ; 4° ua lature aanghiului drept si anghiul oblic opus; 5° hipotenusa siun anghiu oblic ; 6° celle doue anghiuri oblice.

188. Casul I. Dandu-se lalurile b si c, se se resolvetrianghiul.

Se cere a, B, C.Hipotenusa se va calcula prin formula (5) :*

cosa=cosbcosc,itIG2


Anghiurile B si C sunt date prin celle doue din urma*161 din formulele (7)*, din cari scotem :

ctgtgB tgb,

sinc smbDeca hipotenusa a nu este bine determinata prin co-

sinusul seu, vom calcula mai intaiu pe B, si apoi a va*I64 fi dat prin a doua formula (7)*:

tgctgacosB.

Trianghiul are tot-de-una ua solutiun.189. Cam] II. Dandu-se hipotenusa a si laturea b se

se resolve trianghiul.*162 Se cauta c, B, C. Le vom gasi prin (5)*, prima din**163

164(6) si prima din (7)***, cari dau:

***cosa sinbsinB , cosC tgb

COSCtga

. (a)cosb sina

Inse aceste fortnule dau elementele necunos-cute prin sinusul seu cosinusul lor, cari nu le determinacu destula precisiune in unele casuri, este mai bine aintrebuintia formulele urmatore, gasite la 167, 169 si170, cari ne dau acelleisi elemente prin tangenta lor :

a+b abtg 27.11 tg tg ,

tg(4504--B )=2 abtg '

2

tg C sin(ab)2 sin(a±b).

Aceste formule sunt si mai comode, caci nu cer de

fiind-ca,

tg0

,

2 2

tg a b2

TIESCILTJTIUNEA. TRIANGHIURILOR SFERICE 217

a+ b a- b .sm(a-b),c'ht cautarea a patru logaritmi : tg2

, tg - ,2

sin(a+b), pentru calculul chtor trelle elementele.Pentru ca problema se fie possibile, formulele (a) ne

areta eh trebue se avem :sinb<sina ;

atunci vom aye assemenea:cosa<cosb, tgb<tga,

si vom aye pentru sin B, cosc, cose valori reale Insepentru ca sinb se fie mai mie de eat sina, deca a<90°,trebue se avem: b<a , seu : b>180°a; era decaa>90°, b>a, seu: 1<180°a. Canda=-90°, sina -1, siin acest cas avem tot de-una: sinb<sina. Deca acesteconditiuni Bunt implinite, problema are ua singura so-lutiune, de si anghiul B este dat prin sinusul seu, cficiformula

sinB= sin/.sina

ne areta eh B si b sunt amendoi de o data inferiori seusuperiori lui 900, ciaci sinB si sinb crese si se micsiorediaimpreuna. Tot prin acesta observatie vom puté alegepe care din semnele-hseu- trebue se luam in formula

BtgL45 +care dh pd cand intrebuintihm a doua si-2

stema de formule.190. Casul III. Dandu se laturea b si anghlul C, se

se resolve trianghiul.Trebue se se gasesca, a,c,B.Pentru acesta intrebuin-

tiam a doua din formulele or, prima si a patra, din (7)**: *165**161

tgbcosB= cosbsinC, tga-cosC,

tgc=sinbtgC.

218 CURS DE TRIGONOMETIllA

Dem anghiul B nu e bine determinat prin cosinusulseu , calculam mai antaiu pe a seu c, si pe urma B vafi dat prin ver una din formulele urmatore :

cotB==cosatge, cotB=sinccotb.Trianghiul are tot de-una ua singura solutiune.191. Casul 1V Se se resolve un trianghiu dreptan-

ghiu cunoscund laturea b si anghiul opus B.Necunoscutele sunt a,c,C. Vom intrebuintia prima din

*163formulele (6)*, a treia din (7)** si a doua din (8)"*: **164

slI1U tgb .sinC cosB ***165

(a)Shia sinc=cosbtgB,inBs

seu mai bine formulele urmatore, aflate la 168, 171si 174:

B-F b

t ( 450tg

a 2

tg B-,7b

(b)to. 4o0+- -+ V

sin(B±b)

tg[45°4--C) V B+b Bbcot cot2 )

192. Discutiune. Ori-cdre din aceste doue sisteme deformule am intrebuintia, pentru fie care necunoscutayom gasi cate doue valori suplementarie, caci primulsistem ne dh necunoscutele prin sinusurile lor*, era celde al doilea coprinde radicale cu semnul duplu. Se ve-dem dera pe cari din valorile date de aceste equatiunitrebue se le luAm impreuna.

10. Deca b=B, prima sisteroa da:sina = sinc=sinC=1,

si prin urmarea=c--= 0=-900.

\, sin(13b)'

..±2

2

2 2

*1,6

RESOLUTIUNEA TRIANGHIURILOR SFERICE 219

In acest cas dera trianghiul este bidreptanghiu.2°. Deca b<90°, cosb, tgb sunt positive si fiind-ch

c si C sunt mai mici de cat 180°, adeca sinc si sinCsunt positive, vedem, dupe formulele (a), ch si tgB sicosB sunt positive, adeca B<90°. Pe lunga acestea, aceleasi formulc ne areta eh b<B, caci alt fel sina, sinc,sinC n'ar av6 valori reale. Se presupunem ch acesteconditiuni sunt implinite tote. Formula

cosa-= cosbcoscne areta ch, cosb fiind positiv, cosa si cosc au tot-de-una acellasiu semn, si prin urmare a si c sunt amen-doue de ua data mai mici de 90°, seu de o-data maimari de 90°. Equatiunea

tgc=sinbtgCne areta assemenea ch c si C sunt erasi amendoue maimici seu amencloue mai mari de 90°. Prin urrnare, decainsemnhm en a',c',C' valorile mai mici de 90° pe cari nile dau tablele pentru a,c,C, solutiile problemei vor fi

c= c',C=C',seu

a=180°a,, c = 180°c', C=180'C'.3°. Deca b>90°, formulele (a) ne areta ch, pentru

ca a,c, C se fie reale si mai mici de 180°, trebue se a-vem inca B>90°, si b>B. Deca aceste conditii vor fiimplinite, in equatiunea

cosa ----cosbcosccosb find negativ, trebue ca cosa si cosc se fie de sem-ne contrarie, adeca a si c se fie unul superior si altulinferior lui 90°. De alta parte formula

tgc----sinbtgC,in care sinb este positiv, aceta ch tgc si tgC sunt de a-cellasiu seinn, si prin urmarz c si 0 aunt in acellasiu

a=d,

timp inferiori seu in acellasiu timp superiori lui 1800.Insemnand d.era erasi cu a4,c',01valorile mai mici de 900pe cari le dau tablele pentru a,c,C, solutiile problemeivor fi :

a=a', c=180°c', 0=180°C',seu

a=-180°a', c==c', 0-04.Tabelul urmator coprinde in resumat tote aceste dis-

cutiuni.b=B

B90°

1 solutiune(trianghiu bidreptanghiu);0 solutii;

b<90 °B<90°,b>B . . . . 0 solutii;

a=a', a=180°a',B<90°,b<D, 2 solutii c= c' , c=180° c' ,

= si C=180° C'B__<90° 0 solutii ;B>90°,b90` a=a', a=-180°d,B>90°,b>B,2 solutii c=180°c', c=c',

0=180°C', si 0=0'.193. Casul V. Se da hipotenusa a si anghiul oblic

B, si se cere a se resolve trianghiul.*163 Necunoscutele b,c,C le calculkm prin formulele (6)*,**164***165(7)** si (8)***:

cotBsinb=sinasinB, tgc=tgacosB, tgCcosa

Deca laturea b nu este bine determinata prin sinusulseu, vom calcula mai antaiu pe c seu pe C, si apoi vomaye pe b prin

tgb=sinctgB, tgb=tgacos aProblema are tot-de-una ua solutiune unica.

C',

RESOLUT1UNEA TRIANGHTURIL011, SFERICE 221

194. Casul VI. Dandu-se anghiurile oblice B si C,se se resolve trianghiul.

Se cauta a,b,c, jre cari le putem aye prin formulele:

cosa=cotBcotC cosb--cosB cosccosesinC, sinB

seu mai bine prin celle urmatore, gasite la 172 qi 173,cari dau laturile prin tangentele lor :

tga COS(180°-B--- C)2 V cos(BC)

b 13--Ctgr tg B+2-- 45 tg, +450

c B+C )tg C_B+45°8 2 , 2

Prima formula din a doua sistema ne areta eh, pen-tru ca problema se fie possibile , trebue eh: 10 sumaB+C se fie mai-mare de 900 si mai mica de 2700; 2° dif-ferentia BC se fie mai mare de 90° si mai micade+90°. In aceste conditiuni, cos (180°(B+C)} sicos (B C) au valori positive , si prin urmare vom ob-

tine pentru tg-aua valore reale. Tot assemenea valorile2

b c vor fi reale. Problema are dera ua sin-

gura solutiune.ESSEMPLE

Casul I.Date.

b=6903417",3,c=104°10'28",2,

\I ),)

tg,

222 CURS DE TR110NOMET1t1A.

Formule

tgB tgbsinc

tgC= tgcBirth'

ctgtga .

cOsB

Calculul lui Blogtgb=0,4289162

logsinc=0,0131278logtgB=0,4423440

B=70°8'38",92

Necunoscute.B=70°8'38'1,92,C-103°18'56",87,a=94°54'11'',23.

Calculul lui C.logtg(180°c)=0,5976262

logsinb=0,0282102logtg(180° C)=0,6258361

C=103°18'56" ,87.Calculul lui a.

logtg(180° c)=-0,5976262logoosB=0,4689620

logtg(1800a)=1,0665882a=9.1°54'11',23.

Ca sul II.Dote.

a.68°16'28" ,4 ,b=53°21'34",6.

Formule.

tgfAl tga+b tg a b,z 2 2

tgl 2

g r.--C V sin'(a b)

sin(a+b)

Necunoscute.c=51039156" ,21iB=59°44'25',28 ,C=57°36'20",92 ;

tg a+b-2

t abg2

I11SOLUT1UNEA. 1RIAN6HIURILOR SPERIM

Ca lculul lui C.

logtga+b=0,25298472

logtga2b. 1,1160312

2logtgeri,3690159

1ogtgc r1,6840580

c----51039,56",24,

Calculul lui B.

logtga2Eb=0,2520847

1ogtgab=0,88306882B450+-2 )-1,136053521ogtg

1ogtg(450+B )=0,5680.2682

45°+.74°52'12",64,2

B=59°44'25'1,28.

Calculul lui C.

logsin(a b)----1,4105830logsin(a+ b)=0,0698591

i,48044212

logtg c--_=1.,74022112

0=57°36'2011,92.

Casul

Date. Formule.

b=65°10'29".3,0=42 37`52",5.

cosB=conbsinC,

tga= tgbcosC'

tgcsinb tgC.

Necunoscute.

B--73028'46",79,a=71°12'14",99,c=39°52'42",12.

'223

2

t 2

224 CURS DE TBIGONOMETRIA

Calculul lui B,

logcosb----T,6230954IogsinC-1,8307665logcosB= f,4538619

73°28'46'179.

Date.

Calculul lui a.

logtgb=0,3347957logcose=0,1332828

1ogtga-0,4680785a---71°12'14'',99.

Calculul lui c.

logsinb=1,9578911logtge=1,9640494logtgc--1,9219405

c=30°52' 42" ,12.

Casul IV.

;

B=74°50'24",4. r a)t 45°g( + 2 )

Formule.

Bd-btg2

B-btg2

t c) sin(B +b)tg 45 ±sin(B -

( 0 C) ±A/ . B+b t B-btgi 45 +--2-

2

Necunoscute.

la solutiace= 59°55'7'1,84,c' =24°17'53" ,06,C'=28°23'37",90;

2a solutia.a"----120°4'52",16 ;c''=1554216",94 ;

b----56°3813",2

.

C'''=151°36'22",10.

'

2

IIESOLUTHINEA TBIANGIIIUBILOR SVERICE 225

Calculul lui a.B+blogtg

2=0,3461053

Iogtg B-2 b 0,7953323

2logtg(450+1-1,1414376( 2

1ogtg(450+-1 =0,57071882

-40°+-a2 74°57'33",92.

a'=59°55'7",84; a"-120°4'52",16

Calculul lui c.logsin(B+b)=-1-,8716096

logsin(Bb)-0,505307721ogtg(450+-1-0,3799173

2

_ c4a0+A=0,1s995s7logtg(

45°+-2 .57°8'56",53.

c'=24°17'53",06; c"-----15542"6",94.

Calculul lui C.

logcot B-i-b2

1,6538917

logeot B-2 b =0,7953323

21ogtg150-F --2C ).04192270

i

15

2

2

2


logtg(450+C21.012246135

45° +

C'=28°23'37",90 ; C"=151°3622",10.

Casul V.

Date Formule.a-108°37'12'1,4; sinb.sinasinB,B=49032143",3. tgc=tgacosB,

cotBtge=cosa

Calculul lui b.

logsina.1,9766509logsinB=1,8813389logsinb=--1,8579898

b=46°8'40",54.

/Vecunoscute.b=46°8'40",54;c=62°33'30",15 ;0.69°28'19'1,03.

CalLulul lui c.

logtga=0,4724629logcosB=1,8121415

logtgc=0,2846041c.62°33'30",15.

Calculul lui C.logcotB=1,9308026

logOsa----0,4958120logtgC=0,4266146

0-69°28191',03.

Casul VI.

Date.B=69°25'13'',4 ;

.--.59°11/48",95.2

.

IIESOLUTIUNEA TRIANGHIUFIILOR SFERICE 227

Formule.

1.0.-.=. Icos(180°BC),6 2 V cos(BC)

tg_Ib =\/t,c1B+2 0_450) tg(B---C+450)

tgi=litg:B 0 ( CB2

Necunoscute.a-----65°10'44%42;b==58°10' 45" ,9 6 ;

c-----37°14'5",76.

Calculul lui a.logcos(180°BC)=1,5588611

logcos(BC)=0,0525057

21ogtg a -,-1,61136682

1ogte-21--.1,8056834

a=65°10'44",42.

Calcidul lui b.

logtg(B+C2

451---1-,2728250

logtg(BC +45°Y-0,2178,8332. .

.17 72logtgy=1,4907083

b 7logtg -,_1,7453542

2

b+58°10'45",96.

451

2

2_

2

2


Calculul lui c.

logtg 'B+ C 450). 17,27282502

logtgr B+ 451.1,7821168

21ogtg-;-.1-,0549418

logt41,5274709

c=37°14'5",76.

RESOLUTIUNEA. TRIANGHIURILOR RECTILATER LI

195. Resolutiunea unui trianghiu rectilateral s potereduce la resolutiunea unui trianghiu dreptang u. Inadever, deca considerhm trianghiul polar A'B'C al tri-anghiului rectilateral dat ABC, anghiul A' al trianghiu-

H polar va fi egal cu180°Ja=90°;prin urmare trianghiul A' 'C' estedreptanghiu, si lputem re olve. Cu-noscund elementele lui A"C', vomcunosce si pe alle lui AB , cari sunt

arc

, suplementare cu ale cell i d'antaiu.Trianghiurile rectilaterali inse se pot 9 olve si di-

*175 red prin formulele ce am date si pre c '.i. le putemtransforma in acellasiu mod eh si pre cell relative la

*167-174trianghiurile dreptan ghiee.Celle siesse casuri ce se pot presinta lai resolutiunea

trianghiurilor rectilaterali sunt : 1° Child se dau anghiu-rile B si C ; 2° anghinrile A si B ; 3° anghiul B si latu-rea adjacenta c; 4° anghiul B si laturea opusa b ; 5° an-ghiul A si laturea b ; 6° laturile b si c.

2

a


196. Casul I. Dandu-se anghiurile B si C alle unuitrianghiu rectilateral, se se resolve trianghiul.

Acest cas se pote reduce la casul I al resolutiuneitrianghiurilor dreptanghie ; se pote inse resolve si directprin formulele% : *175

cosBcosC, tgc----tgCsmC sinB

seu calcuam mai antaiu laturea b seu c, si pe urmaanghiul A prin ver-una din formulele

cr0t tgBtgA-- b tgA----cosib cosc

Essemplu. Date B=611°38'4' ,2; C=52°12'29",3.Necunoscute A=11P12'50",17 ; b=69°27'41" ,23;

c=54°58'52",38.197. Casul II. 'Dan u-se anghiurile A si B alle unui

trianghiu rectilateral, se se resolve trianghiul.Acest cas , care se p te reduce la casul II al resolu-

tiunei trianghiurilor dreptanghie, se pote resolve si di-rect prin formulele urrnatore :

cose cosA , si sinB , cosc=_ tgBcosB smA tgA

caH se pot pune sub florma

cot A-I-B ABcot2 2

tg(4504--b )=-±2

tg2

AB'tg-2--

--

tg-g2.= ,

!

230 CURS DE TRIGONONIETRIA

ta, c /sin(A+B)V sin(A B)

Essemplu. Date : A-72°28'15"A); B=59°13'24",6.Necunoscute : C=126035'19",8 ; c=12291'45",3 ;

b=64°17'24",4.198. Casul III. Dandu-se an ghiul B s laturea ad-

jacenta c, se se resolve trzanghiul.Seu reducem problema la casul III al resolutiunei

trianghiurilor dreptanghie, seu intrebuinara formulele:

cosb=cosBsinc, tgA= tgB, tge-ifsinBigc.cosc

Deca voim se determ;nhm pe b priiJ tangenta sea,calcubm mai antaiu pe A seu C, si apdi pe b prin unadin relatiunele :

a cotb--cosAtgc, cotb=sinecotB.Essemplu. Date : B=43°38'12",1 ; cr 58°11' 8",3.Necunoscute : b=37°58'33',03 ; A1118°54'9",98 ;

0= 48°611", 93.199. Casul IV . Dandu-se anghiul B si laturea opusa

b, se se resolve trianghzul.Acest se poth reduce la casul ET a resolutiunei tri-

anghiurilor dreptanghie; inse se pote resolve si prinformulele :

sinBsinA =tgBsinC

cosh'

sinb' tgb' cosB

caH se pot transforma in :

(Altg(45 -fT

smc

2

o


tc145°4_ C sin(b±B)61 2

± V sin(1,1B)'( c b b+Btgi45°+--2)=-4cot cot .

Problema pote se aiba doue solutiuni, ua solutiuneseu nici una; solutiile se pot alege prin nisce conside-ratiuni analoge cu @elle de la § 192.

Essemplu. Date : B.= 53°18'38'' ,0 ; b=74°15128" ,S.Necunoscute. Prima solutie : A'= 123°34'40" ,65 ;

C'=-22°13'45",59 ;A doua solutie : A" =56°25'19'1,35; C"--157°46'14,41.

c"--=152°59'37",92.200. Casul V. Dandu-se anghiul A si laturea b,

se resolve trzanghiul.Putem aplica resolutiunea casului V de la trianghiu

rile dreptanghie, seu formulele:

sinB==sinAsinb, tgC=.tgAcosb, tgc= cotbcosA

si deca voim se avem pe B prin tangenta sea, calcu-land mai antaiu pe C seu c, vow aye :

tgB =sinCtgb, seu : tgB tgAcosc.Essemplu. Date : A=96°15'32",7; b---80°31711,5.Necunoscute : B=7S°15'57" .72 ; C=57°34'55%09 ;

c=58°7'37",54.201. Casul VI. Dandu-se laturile b si c, se se resolve

trianghiul.Problema se pote reduce la casul VI al resolutiunei

trianghiurilor dreptanghie, seu se pote resolve dedrep-tul prin:

cosb COSC,cosA--cotbcosc, cosB= ,Sine sirlb

j

2

c'=27°022,06.

,


cari se pot transforma in :

tgA cos(bc)2 cos(180°bc)

tg!3r--V tgi 450+ b c) tgr 459-1±1,2 l 2

tg =ctg(----450-4-12+1tg 45° b 2 c

2 2Essemplu. bate: 17.78°13'26' ,4 ; c=63°29'53",8.

Necunoscute A= 9 5°5 7'5 9 '',8 ; B ---- 7 6°49' 3", 88 ;

C=63°33'0" ,38.

OBSERVARE.

202. Nu numai resolutiunea trianghiurilor rectilate-rali se pote reduce la resolutiunea trianghiurilor drept-anghie, ci, in unele casuri particulari, se pote face as-semenea si pentru un trianghiu ore-care.

1°. Deca trianghiul are doue laturi egale, a si b, sendoue anghiuri egale, A si B, el este isoscel ; prin ur-

mare, ducund arcul CD perpendicularpe base, vom imparti trianghiul dat indoue trianghiuri dreptanghie egali, si infie-care din acestea vom cunosce, afora,

3D C de anghiul drept, ua lature seu un an-

ghiu dat, si ver-un alt element, tot (Tat; resolvend unuldin aceste trianghiuri dreptanghie, vom cunosce si ele-mentele trianghiului dat.

2°. Deca printre elementele date se afla doue laturi,a si b, seu doue anghiuri, A si B, suplementare, pre-lungind laturile a si c pene la intalnirea lor in B', vom

\/

2

f

V

t

e

8'

RESOLUTIUNEA TRIANGTHURILOR SFERICE 233

6

forma un al doilea trianghiu, AB'C,care este isoscel ; cAci deca a+b-180°,av ern assemenea: a+ CB'.180°; decib=c13";,era deca A+B =180°, avem:

si B'AC+A=180°, deci B'=B'AC. Vom resolvedera trianghiul B'CA desfacundul in doua trianghiuridreptanghie egale, precum am dis mai sus, si din ele-mentele lui vom deduce pe alle trianghiului dat.

BESOLUTIUNEA. TRIANGHIURILOR ORI-CARI.

203. Resolutiunea trlanghiurilor sferice ore-cari pre-senta siesse casuri: 1° Cand se dau celle trei laturi ; 2°celle trei anghiuri ; 3° doue laturi si anghiul coprins in-tre elle; 4° doue anghiuri si laturea copriusa intre elle ;50 doue laturi si anghiul opus la una din elle ; 6° doneanghiuri si laturea opusa la una din elle.

Aceste siesse casuri se pot reduce la trei prin con-sideratiunea trianghiului polar. In adever, avend, spreessemplu, a resolve trianghiul ABC in care sunt cunos-cute laturile a sib si anghiul coprins C, in trianghiulpolar A'B'C' vom cunoEce : A' 180°a, B'=180°b,

adeca doue anghiuri si laturea coprinsaintre elle. Calculand elementele c, A, B alle lui ABC,vom cunosce si elementele C'=180°c, a'=180°A,b'-=180°B alle lui A'B'C'. Vedem dera c casul IIIsi IV se pot resolve unul prin altul. Assemenea este sipentru casul I cu II, pentru V cu VI.

204 Casul I. Dandu se laturile a, b, c, se se resolvetrianghiul.

Anghiurile A,B,C se calculedia prin formulele (1),(2)seu (3)*; se prefera inse celle din urra : 4e177

a

C,

,

B'=B,


A \/ sin(p b)sin(pc)bg=-2 sinpsin(pa)

B sin(p a)sin(pc)2 V sinpsin(pb)

C sinf pa)sin(p b)2 V sinpsin(pc)

a+b+cin eari p-2

*182 Escesul sferic se pote calcula direct prin formula*:

tg P tgPa tgpb tgp c2 2 2 2

*186 Pentru ea problema se aiba ua solutiune, trebueca suma laturilor se fie mai mica de 61 3600; 20 ca

fie.care lature se fie mai mica de cAt suma cellor altedoue. Deca prima conditiune n'ar fi implinita, sinp arfi negativ; deca cea de a doua n'ar fi implinita, si amave, spre essemplu, a>b+c, sin(p a) ar fi negativ, erasinp, sin(pb), sin(pc) ar fi positive. In ambele ca-suri radicalele coprindiend quantitati negative, am av6

A B C .pentru tg, tg tg--, msce valori imaginarie.2 2 2

205. Casill IL Dandu se anghiurile A,B,C, se se re-solve trfanghiul.

*178 Laturile se pot calcula prin formulele (4), (5) seu (6)%;se intrebuintiedia inse de preferintia formulele (6) caridau laturile prin tangentele lor :

tga2

sin-s sin( A2 2

sin (B sin (C ,12 ) 2

,

------\/

,

ug -_-=7

1°

V

RESOLUTIUNEA TRIANGHIUR1LOR SFERICE 235

sin-Lsi4B2 2

sin(A E

2)sin (C

2

sin( C2 2tg-2-

isinB_j]2 )

Problema are ua solutiune unica deca: 10 jumetateaescesului sferic E este coprinsa intre 0° si 180° ; 2° decafie-care anghiu este mai mare de cat jumetatea escesu-lui sferic. Deca una din aceste conditii n'ar fiimplinita;

am obtine pentru tg'-b tg-c valori imaginarie.2 2 2

206. Casul III. 'Dandu se laturile a si b si anghiu1coprins C, se se resolve trianghiul.

Trianghiul este tot- de-una possibile. Anghiurile Asi B se pot determina prin antaia si a doua din analo-giele lui Napier*.

a bcos

tg A+B 2 cot C2 a+ b 2cos

2

.nabSi

tgA B 2cot-C ,

2 . a+ b 2sin2

cari dau suma si diferentia lui A si B, din cunoscintiacarora vom put6 deduce chiar pe A si B. Laturea c se

H

sin(A.2

tg;

%I SO

n


va calcula pe urma prin ver-una din cella- alte doue a-nalogii :

A+Bcosc 2tg9 = AB tg

2cos

2

sin A+Bc 2 a bug -2 sin A---B 2

2

207. De multe ori este necesitate a se calcula direct*158 laturea c ; atunci intrebuintiam formulele (1)*, cari dau:

cosc=cosacosb+sinasinbcosC.*61, ess.j. Acesta formula, facuta calculabile prin logaritmi*,

devim, :cosbcos(a?)cosc

cos?in care

tgy=tgbcosC.Anghiul B inca se pote calcula direct cu aiutorul an-

*161 ghiului aussiliar cp ; in adever, a patra din relatiunile (3)*:cotbsina=cosacosC+sinCcotB,

da :

sinCcotB=--- cotbsina c o sa co sC=co tb (sina cosacosC)

=cotb(sinacosatgbcose),si punand erasi : tg?tgbcosC,

cotb

sinCcotB= cotb(sinacosatg?)= cotb sina cos?cosa sin?cosp

cotbsin(a?)cos?

a b

tg


Inse din:tg?=tgbcosC,

avem:cose

cotb==tgp

si acesta valore, pusa in equatia din urma, dh:

sinCcotB cosCsin(a?) cosCsin(a ?)cosp tgp sin9

sen in fine,

c0t/3_cot0si11(ap)sin?

Tot assemenea, prima din formulele (3)* devine: *161

cotA_cotCsin(bk)sink

punend:tg+=tgacosC.

208. Intrebuintiarea anghiurilor aussiliare ? si k facetot una ca si cand am descompune trianghiul dat indone trianghiuri dreptanghie. adever, ducund ADperpendicular pe CB, trianghi dreptanghiu ACD da.:*

tge --;---tgbcosC=tg?,

seuCD?.

Avendera din acellasiu trianghiu:

ttosAD--=cosb, tgAD sinpcotCcos?

Trianghiul AI-2) , in care DB=a-- CDa?, da, :

COS cosADcosDBcosbcos(a?)COSy

sinDB cotCsin(ap)icotBtgAD sin?

*164,(7)

a

238 CURS DE TR1GONOMETE1A

cari sunt tocmai formulele gasite mai sus. Tot asseme-nea vom gasi si formula care dh pe A, lasand un arcperpendicular 'din B pe AC.

209. Casul 1V. Dandu-se doue anghiuri A si B silaturea coprinsa c, se se resolve trianghiul.

Problema are tot de-una ua solutiune unica. Latu-rile a sib se calculedia prin celle doue din urma din

*180 analogiele lui Napier*:

A.B . ABcos sin

a+btg . 2 tgc, tg a b 2 tgc .2 A + B 2 2

cos sin A + B 2

2 2

Anghiul C se va calcula in urma prin ver-una dincelle alte doue analogii:

a+b sin a+bcos

cot = 2 tg A+ B, cotC 2 tg A7)- B

2 ab 2cos

2 sina b

2 2

210. Pentru a obtine direct anghiul C, intrebuintihm*161 pe a treia din formulele (4)*:

cbsC-----cosAcosB-FsinAsinBcosc-=-cosB( sinAtgBcosc),

'si punendcotptgBcosc,

acesta equatiune devine :cosBqin(A.?)

cossin?

Laturile a si b pot assem( nea se se obtina in parte*160 prin nrmatorele din formulele (3)*:

2

cosA+

RESOLTJTIUNEA TRIANGHTURILOR SFERICE

cotasinc=cosccosB+sinBcotAcotbsine=cosrcosA+sinAcotB

Pe a doua o transformhm in modul urmator:

cotbsinc- cotBrcosccosA.+sinA

cotB---cotB(cosAcosctgB-PsinA),

si punend. erasi:

avem:

239

(a)

cotptgBcosc, (b)

cos(A-0)cotbsinc.----cotB(cotg,cosA+ sinA)=-- cotB

sing,si fiind-ca, dupe (b),

cosc sing,cotB= cosccoto, coscp

cotb cosrsin sin(AT) cotccos(A--9)sin( sin g, cosc. COST

Prima din formulele (a) se transforma in acellasiumod punend.

si devine :cot+tgAcosc,

cotacotecos(B-0cos4,

211. Acesta a doua metoda de resolutiune se poteinterpreta erasi prin descompunerea trianghiului datin doue trianghiuri dreptanghie; in adever, ducund ar-cul All perpendicular pe BC, trianghiul dreptanghiuBAD da*:

cotBAD=cosctgB=cotT7seu

BAD-9.Apoi, din acellasiu trianghiu, avem :

cosB _cosB, tgADcosBAD cosg,cosAD=sinBAD sing, cote cote

*16548)

c

,

940 CURS DE TR1GONOMETR1A.

Trianghiul DAC, in care CAD=AT, dh:

cosCcosADsinCAD cosBsin(A

cotbcosCAD cotccos(AtgAD cosT

Am put6 assemenea obtine pe a ducund din B unarc perpendicular pA AC.

212. Casul Y. Dandu-se doue laturi, a sib, si anghiulA opus la a, se se resolve trianghiul.

Vom calcula mai antaiu anghiul B prin formula

sinBsinbsinAsina

care dh anghiul 3 prin sinusul seu, asia-dera Vora ayepentru B doue valori, suplementarie una alteia.

Celle-alte doue necunoscute , C si c , se vor calcula*180 apoi prin analogiile lui Napier* :

ab A+B . a b ABcos cot-

2 2sin

2cot

tg2 a+b .

cos sin2 2

cosA+Btga+b . A-1-B a b2 2 2

tg2

t crb 2 AB .sin AB

cos2 2

Fiind-ch am gasit pentru B doue valori , aceste for-

mule ne vor da erasi pentru C si-c- &Ate doue valori.2 2

Inse fiind-ch nu admitem de cht valorile lui -9- sic2 2

*155 coprinse intre 00 si 900*, vom introduce in formulelede sus numai acelle valori alle lui B cari vor face pe

sin%

C

/

2

RESOLUTIUNEA TRIANCHIURILDR SFERICE 241

C ctg si tgi. positive. Pentru acesta trebue ca diferen-

title a b si AB se fie de acellasiu semn; vom luadera numai acelle valori alle luT B caH vor face diffe-rentiele a b si AB de acellasiu semn.

213. Elernentele c si C se pot calcula si de dreptulprin formulele :

cosa= cosbcosc+ sinbsinccosA,cotasinbcosbcose+ sinCcotA..

Prima din aceste formule devine :cosa=cosb(cosc-Ftgbsinccog),

tg4,--tgbcoAA,

cosa=cosb(cosc+sinctgq, )=co sb

si punend

de uncle

COS(0-0)

COS go

COSt1COS

cosbCOS(C(p)

Din a doua formula scotem :cotasinb=cotAcosC(cosbtgA+tgC),

si punend.cot+=cosbtgA,

de unde

cotAcosb,cot+

avem :

cotasinbcosbcose cos(C+) cos(C+)cosbcot+ sin+cosu cos+

de und.e

(a)

COS(C)=cotacos+tgb. (b)In for/aulele (a) si (b) anghiurile 9 si+ fiin mai mici

16

242 CURS DE TRIGDNOMETRIA

de 900, Com, si cosl, stint positive ; prin urmare cos(cT)va fi positiv deca cosa si cosb vor fi de acellasiu semnsi negativ deca cosa si cosb vor fi de semne contrarie.Assemenea, cos(C-0 va fi positiv deca cota si tgb vorfi de acellasiu semn, si negativ in casul contrariu. Dinacestea resulta eh C>T Si C.>+ deca a si b sunt de odata mai mari seu mai mici de 90'; si c<cP si C<+,deca a si b sunt unul mai mare si altul mai mic de 900

214: Discutiune. Formulele ce am dat pentru reso-tiunea casului V ne pot areta imediat, chiar prin date,deca problema are ua solutiune, doue seu nipi una, sine dau si valor le acestor solutiuni. Cu tote Oestea esteutile a studia mai de aprope diferitele ciicumstantiealle problemei.

Formulele intrebuintiate sunt :sinbsinA.

(a)sina

cotA +13 cosab AEY . a bcot sintg 2 2 2 2

, (b)2 a-Fb

cos2 2

tga+bcos A+B tg SULa b . A+B

c 2 2 2 2tg (c)2 AB ABcos sin .

2 2

Deca a=b, formula (a) ne are a ch si A= B ; atunciprimele din formulele (b) si (c) i e dau:

cot=tgAcosa, t

a+b

Pentru ca se avem pentru2 2

valori intre 0° si

c tgacosA.c2--

'

sif

RESOLUT1UNE4 TRIANGHIMLOR SFERTCH 243

90°, trebue ca tgA. si cosa, fga si cosA se fie de acellasiusemn., si pentru acesta trebue ca a si A se fie amendoide odata inferiori seu superiori lui 900. Deca acesta

. conditie e implinita , problema are ua solutiune unica.Se trecem la casul general. Pentru ca se avem ua

solutiune a problemei, trebue ca sinbsin A se fie coprins/sina

intre 0 si+1 ; atunci vom aye pen u B doue valori, illsi M', suplementarie una alteia ( M'=180°,-I- si decaM<90°.M<M'). Inse am vediutf c5, pentru ca acestevalori se fie solutiuni reale ale robleinei, trebue ca sefie ast fel incht se faca difereVele AB si ab de a-cellasiu semn. Va trebui deria se avem AM de acel-lasiu semn cu a b, si Agt de acellasiu sewn cu ab.

1°. Fie A<90° si b<90°/.

DeCa a<b, SE i4iriliba > 1 si formula (a) ne areta eh,

sinB>sinA, adeca B>A; si prin urmare punenci inloc des B solutiunile seille, M>A si M'>A ; avem deradoue solutiuni, c'aci atht diferentiele AM si ,Ar,cat si diferentia a 11; sunt negative.

Deca a>b si a+b<180°, avem : b<180°a sisinb<sina ; formula (a) ne areta atunci ch. sinB<sinA;prin urmare M<4.. Inse M' fiind mai mare de 90° sisi A<90°, avem/ M'>A. Diferentia AM este derapositiva, ca si ab, pe carpi AM' este negativa ; asia-dera n'avem de cAt ua singura solutiune, care este M.

Deca a>b si a+b-180°, avem : b=1 SWa, sinb=sina;formula (a) areta atunci eh, sinB=sinA, seu B=A; deciM=A, era M'>A, cAci am presupus cA, M'>M. Asia-deradiferentia AM se reduce la zero si AAl! este nega-

*212

stria

tiva, pe cand a b este positiva ; deci problema n'arenici ua solutiune.

Deca a>b si a+b>180°, b>180° a si sinb>sina,atunci, dupe (a), sinB>sinA ; ar trebui dera se avem:M>A si M'>A ; inse, deca ar fi ast-fel, diferentieleAM si A M' ar fi negative, pe cand ab este posi-tiva ; asia dera ambele aceste solutiuni trebue lasate laua parte.

2°. Fie A<90° si b=90°.

In acest cas formula (a) devine : sinB sinA decasina

a<b, sina<1, si prin urmare sinB>snA, M>A, si afortiori M'>A. Asia-dera diferentield a b si AM,precum si a b cu AM', sunt impreuna negative;problema are dera doue solutiuni.

Deca a>b , diferentia a b este positiva , pe candAM si AM' sunt negative, si nu a em nici o solutiune.

Deca a,b, diferentiele ab AM se reduc lazero, era AM' este negativa ; eci erasi nu avem niciiia solutiune.

3° Fie A<90° si b>90°.Deca asina

(chci in al doilea cadran sinus rile sunt cu atkt mai micicu cAt sunt arcele mai man Formula (a) ne areta a-tunci cà sinB>sinA, M>A si a fortiori M'>A. Dife-rentiele A. M si AM' sikit dera negative, ca si a b :avem doue solutiuni.

Deca aA; n mai A doua solutiune convineproblemei, caci diferent. le AM' si ab sunt amen-doue negative, pe cand AM=0.

"

li

.

Deca a1800/, b>180° a si sinb<sina;atunci sinB<sinA si M<IA.; inse 31>A, ca.ci A<90°,era MI>90°. A doua valore convine problemei, era cead.'antaiu trebue lasata1 ua parte.

Deca a>b, sina<sinfr, chci a sib sunt in cadranulal doilea. Formula (a) e da. atunci: sinB>sinA, M>Asi MI>A. Diferentiele AM si AM' fiind negative,pe cand a b este po itiv, nu avem nici ua solutiune.

Deca a=b, avem i ca: sinA, M A si M'>A.Diferentiele AM si a b se reduc la zero, pe candAM' este negativa nu este nici ua solutiune.

Discutiunea hipoteselor A=90° si A>90° se face cutotul in acellasiu mod, si de acea nu vom insista asu-pra ei; ne multiamini numai a insera resultatele in ur-matorul tabel:

A<90°

A=90°

ab, a+b<180° . . . 1 solutiune;a+b=seu>180° 0 solutiuni;

b=90ofab 0 solutiuni;

fab, ad-b<180° . . . 2 solutiuni;b>90°Ilab, a+b=seu>180° 1 solutiune;

0 solutiuni;

( seu180° 0 solutiuni;

b . . . . ua infinitate de solutiuni ;ci<seu>b 0 solutiuni;

r.<b, a fb----seu<180°. 0 solutiuni;b>900a<1,, a +b>180° . . . 1 solutiune;

ilaseu>b 0 solutiuni;

sinB=

.

a<b, .

ta

6=90°1

I

fa= seub, a-I- b- seu<180° 1 solutiune ;

[a>b, a-+b>180° . 2 solutiuni ;

b=90,,Jaseu90° la>b 2 solutiuni ;

a<b, :11-b-----seu<1800 0 solutiuni;b>900 a< a+b>180° .

b1 solutiune ;1 solutiune ;

a>b 2 solutiuni.

215.. Casul VI. Dandu-se doue anghiuri A si B si la-turea a opusa la A, se se resolve trianghiul.

Vom calcula pe b prin formulasinasinB

sinb___ (a)sinA

si apoi calculam pe C si c prin analogiile lui Napier :

cosab cotA+B cot.sina b AB4 C 2 2 2 2Lg.-- . ,

2 a + b . a+ bCOS SM -

2 2

cosA+Btga+b . Ai-B absin tg4 c 2 2 2 2

2 AB .SDI

ABcos

2 2

216. Formula (a) determinand pe b prin sinusul seu,dh doue valori pentru b, m si m', ast fel eh m -i-m'=180°.Inse fiind-ch noi cauthm numai valorile elementelor co-

Cprinse intre 0° si 180°, trebue ca espressiunea lui tg2

si tg2 ' data de formulele (b), se fie positiva, si pentru a-

(b)

.

.

, . . .


cesta trebue ca diferentiele ab si AB se fie de acel-lasiu semn. Prin urmare din celle doue valori gasitepentru 17 nu vom admite de Cat pe acellea caH vor im-plini acesta conditiune. Cu modul acesta vom cunoscenumerul solutiunilor reale alle problemei.

Discutiunea completa a formulelor (a) si (b) se_ faceintocmai ca si_pentru casul precedinte, de acea tinvom mai reveni asupra ei.

Casul V si VI al resolutiunei trianghiurilor sfericeore-caH primesc de multe oH numele de casuriindoiosealle frianghiul ilor sferice, caci pote fi la prima vedereore-care nesecurantia asupra valorilor lui B seu b cariconvin problemei Inse acesta nesecurantia di,pare in-data ce se esaminedia cu atentiune datele problemei.

217. Elementele C si c se pot determina si directprin formulele

cosA=cosBcose +sinBsinCcosa,cotasinc-4--cosccosB+sinBcotA.

Punend. in prima din aceste formulecot+cosatgB

si in a douacotacotocosB

elle devin, dupe nisce transformari analoge cu celle dela casul precedinte :

sin(C+) cosAcosB

sin(c sin 9) cotAtgB.In aceste formule, fiind.ch sin "? si sinp sunt positive,

sin(C) va fi positiv, adeca C>4,, deca cosA. si cosBsunt de acellasiu semn; si sin(C-0 va fi negativ, ade-

*214

ca C.<+. deca cosA si cosB sunt d semne contrarie.Assemenea sin(ccp) este positiv, si prin urmare c> [P,deca cotA si tgB sunt de acellasiu semn, si sin(c.) esteeste negativ, adeca c<p, in casul contrariu.

Din acestea resulta c diferentiele cT Si sunttot de-una de acellasiu semn. positiv dem A si B sunttot de o data superiore seu inferiore lui 900, negativdeca unul e mai mare si altul mai mic de 90°.

'Date

a= 84°19'34",2,b= 68°29'7",6.c=108°34',17",0.

ESSEMPLE

Casul I.Formule.

A'gr'

sin(p b)sin(10c)2 V sinpsin(pa)

B sin(p a)sin(pcj.g1.= V sinpsin(pb)

C sin(pa)sin(pb)4 2 -V sinpsin(pc)

lg.pb, pcv tgtg tg .

Necunoscute.

75°50'40",58;B= 65°1'42",32;C=112°31',52",92;

73°24'15"72.

,

-

p p -a24 2 2 2

.A=

RESOLIITIUNEA TR1ANGHTUR1LOR SFER10E 249

Calculul lui A.

logsin(pb)=T,9467618logsin(pc)=17,5758220

logsinp=0,1201984logsin(pa)=0,1404087

A21ogtg-2- =1,7831909

1ogtgA 189159552

A=75°50'40",58.

Calculul lui B.

logsin(pa)=-1,8595913logsin(pc). f, 5758220

logsinp= 0,1201984logsin(pb)=0,0532382

B21ogtg-2.1,6088499

1ogtgB-2=1,8044250

B=65°1'42",32.

Calculul lui C.

logsin(pa) =1,85959131ogsin(pb) =17,9467618

logsinp 0,1201984logsin(pc)= 0,4241780

21ogtgc0,35072952

1ogtg-0=0,17536482

C-112°31'52",92.

Calculul lui E.

logt 0,3382048

1ogtg13-2 a-1;6316897

logtgP-2 1' .-1,7805410

1ogtgPc.1,29107632

21ogtgi=37,0415118

1ogtgi=i,5207559

E=73°24115",72.

VERIFICARE

A+B+C-180°--= E=73°24`15",82 totale01',1).

2

(duff.


tga2

Formule.

sin!. s;n(A-1)2 2

sin[13-]sin(C-172 2

2 2

2 I. 2

sinsin IC2 2

Casul ILDate.

A-98°32'28-,6;B=83°25'10",4;Q=113°3.9'5111,6.

sidA -2 2

Calculul lui a. Calculul lui b.

1ogsini=1,9275295 1ogsin-2-6 =1,9275295

.Necunoscute.a=-102°20'39",48 ;

b=78 54'38'1,54 ;c-=115°12'26",66.

1ogsin(A.-- -1,8145659

=0,3643198

_iogsinc_j)=o,o

2logt4-0,1886011

logtgL 0,09430052

a-102'20'39%48.

1ogsin (13- -2)-1,6356802

logsiniA.4-0,1854341

logsin[C-

2logtgt -1,83082972

logtg -2-1,9154149

b=78°54'38" ,54.

1ogsiri13---

=

bsinisiniB-12)

g-2 =-

sin(21.

'4=


Calculul lui c.

1ogsini----1,9275295

1ogsin(C--0.i,9178141

logsin[A--

,i1.0,3643198

2logtg =0,39509752

logtg c .0,19754882

c=115°12'26',66.Ca su I III.

Date.a=53°15'28",4;b=44°43'52',0;C=73°20'48',6.

Formule. Necunoscute.a b A=71°26'0",80 ;

cos2 C B---56"21'41",66 ;

4 2 a+ bc0' 2 ; c=54°5'1'7,70.cos

2

sinabA B 2 C

tg 2 a+ b c0tsin2

A+Bsintg, 2tg a b

z sinAB 2

2

A+B


Calculul lui A 4-B

logcos ab 17,99879662

1ogcot-C--0,12804462

logcos a+b _0,18300912

logtg A+B2

0,3098503

A+B=127°47'42" ,46.Calculul lui AB.

logsin a-2b .2,8712315

1ogcot=0,12804462

logsin a+2 b _0,1222563

Calculul lui A si BA+B=127°47'42',46AB=15°41 9"14

A=71°26 0",80B 56°21141",66.Cal ulul lui c.

logsin A-I-B ._.-:- 1,9532807

2

logtg a;b .,8724349

logsin A;B=0,8822351

logtgi-=1,7079507

c=54°5'1",70.

logtg A-2

B _4)1215324

A B=154'19",14.CALCULUL DIRECT AL LIII c.

Formule.tg co =tgbcose ;

cosbcos(aT)cosc-_,

Calculul lui 0logtgb=1,9959236

logcosC=T,45724211ogtgT=1,4531657.

9=15°50'57",31.

COS9

Calculul lui c.logcosb=1,8515136

1Ogcos(a--9)-- 1,8999971logcos 0=0,0168323

logcosc=1,7683430c=54°5'111,72(diff. 0",02).

2

RESOLUT1UNEA TRIANGNMBILOR STERICE 253

Casul IV.

Date.

A=120°23'5",8 ;B .75°0'0",0 ;c=38°48'22" ,2.

Formule Necunoscute.

AB a= '975°25",28 ;

a+b 2 c b-59°4816`1,42.tg 2 A 102' C=38°43'2",24.cos

2

. ABsinabtg . 2 tgc.

2si n

+. BA 2

2

a+bC

2

Atg2cot =sin

B.

sin2

Calculul lui a+b.

1ogcosA-2B_i,9650081

clogtgi=1,5468092

logeosA+B2

-0,8733622

Calculul lui ab.

logsin AB 1,58634512

logtgi .1,5468092

A+Blogsin .0,0039260

a+b .0,3851795 logtga;b .1logtg2

4370803

a+b.135°13 '2511,70. 1 a b---=15°36'52" ,86.

cos

2


Calculul lui a si b.a+b--=135°13'25/1,70a b---15°36'5211.86

a--=75°25'9",28b--=59°48'16",42.

Calculul lui C.

logsin a-1-21' 1,9659657

ABlogtg2

.1,6213370

logsina-2b. 0,8669642

logeot9 .0,45426692

0=38°43'2",24.

CALCULUL DIRECT AL LIU C.Formule.

cotp----tgBcosc ;

cosC cosBsin(AT)=sing'

Calculul lui p.logtgB=0,5719175logcosc=1,8916883logeot?-0,4636358

p=18°58131",22.

Calculul lui C.logcosB---=-1,4129962

logsin(A-0=1,9913315logsinc0=0,487901.3logcose =1,8922290

0=3804312",33 (cEff.0",09).

Casul V.Date.

a=--105°31'42",3 ;b=83°43'13",5 ;A==113°38'15",4.

Formule.sinbsinA

sinB=--sina ;

2

RESOLUTIUNEA TRIANGIUUR1LOR SFE1110E 255

tg C

2

tg c -2

sina -b

2

sin

sin

b

2

A+B2

.sm A-B2

cot A -B2 ;

tga- b

2

Necunoscute.la solutie. 2a solutie.

B'----70055'36",16 ; B"--- 1 0 04' 2 31", 8 ;

C'---51°46'54",16; C"-----156"16'53",52 ;c'=-55°43'16",98. c"----154°58'20,68.

Calculul lui B.

logsinb =1,9973864logsinA=i-,9619427

- logsina =0,0161493logsinB =1,9754784

la solutie.B'=70°55'36',16.

Calculul lui C.

1ogsina-b .1,2768385

2

logcotA-2

13'--.0,4078244

a+b .0,00141612

logtg 0/.1,68607902

C'=-5146'54",16.

2a solutie.1r=109°4'23",81.

Calculul lui

logsin a; b=1,2768385

logcotA2

.1,3995467

-1ogsin =0,0014161a+b2

C"1ogtg--.0,6778013

C"-----156°16'53",52.

a+


Calculul lui c'.

logsinA4-2-B1-1,9996554

logtg ab2

_1,2847511

logsinA-2M=0,4387163

c'logtgT.

=1'7231228

c'=-55°43'16" ,98.

Calculul lui c".

A+B"logsin2

_1,9691079

logtg b=-1,2847511

AB"logsin2

=1,3908912

1ogtg-2 0,6537502

=154°58'20" ,68.

CALCULUL DIRECT AL LUI C' SI C".

Formule.

cot+----cosbtgA. ;

cos(+ C)cotacos tgb.

Calculul lui 4).

logcosb=1,0389381logtgA=0,3588520

logeot =1,3977904+=104°1,53" ,76.

Calculul lui C.

logcota=1,4438241logeos+ =1,3846347

logto=0,9584480logcos(+C)=1,7869068.

P solutie.

C'---52°14'59",5601=51°46'54",20(diff.0 ",04).

2a solutie.

C" =52°14'59%56C" =156°16'53" ,32(diff.0" ,20).

+

2

RESOLUT1TJNEA. TRIANGHWRILOR SFER10E 257

CALCUL-01 DIRECT AL LW c' SI c".Formule.

twp-----tgbcosA ;

cos(c-9)cosacos 41cosb

Calculul lui p. Calculul lui c.logtgb=0,9584480 logcosaf,4276747

logcosA-1,6030908 logcos p =1,4226919logtg so =0,5615388 logcosb,-- 0,9610616

p=105°2048",78. logeos(cp)=17,8114282.la solutie.

9) e=49°37'31",78;e==55°43'17",00(diff.0 ",02).

2a solutie.C" c, =49°37'31" ,78;

c"==154°58'20" ,56(diff.00 42).Casul VI.

Date,A=65°15'32",4 ;B.58°23'48',,6 ;a-73°42`8'`,2.

Formule Necunoscute.sinasinB b=64°10,13",69 ;

sinA ' C=112°5'14'1,68.ab c ,101.°4117",44.sin

tg-. = 2 cot A---2--B;

C

a+bsin

2

sin-A-FB

tgg.2 tg abc

A-2 B 2s 17

sinb=

2

.

2


Calculul lui b.

logsina-1,9821882logsinB---1,9302856

logsinA=0,0418143logsinbI,9542881

b=64°10'13",69.

Calculul lui C.

1ogsincb.2,9195219

logcotA-2B.1,2221718

logsin a+b2

=0,0300337

1ogtg .0,17172742

0.112°514",68.

Calculul lui c.A+Blogsin

21,9452389

ablogtg2

logsinA-2B-1,2229509

1ogtg 0,08921582

c=101°41'17",44.

CALCIUM DIRECT AL LIU C.

Formule.

cot + =cosatgB ;cosAsin+

cosB

Calculul lui C.1ogcosk---T,62.17132Iogsin+1,9589618

logcosB=0,2806414Iogsin(C+).1,8613164

C-4-46°36'18",14

(cliff. 0",16).

sin(C-1).

Calculul lui +.logcosa=1,4481319logtgB=0,21092701opot+-1,6590589.

+=65°28'56",38.

.-2-,9210260

0:=112°544ii,52.

2

2

RESOLuTIUNEA TR1ANCHIUR1LOR SioERICE 259

CA LOULUL DIRECT AL LUI c.

sin(c

Calculul lui p.

Formule.cotacotp

cosBco)--=sin co cotAtgB.

Calculul lui c.

logcosB=0,2806414logcot?-1,7465851

p=60°50i28,,,47.

logsine----1,9411500logootA=1,6635274logtgB.0,2109270

logsin(cp)----1,8156044ccp.---40°50/48u,85c=101°41,17,,,32

ESPRESSIUNEA IN LUNGIME A LATURILOR.

218. Pene acum laturile a,b,c alle unui trianghiu sfe-ric au fost tot-de-una esprimate in grade, minute si se-cunde, si radia sferei a fost tot-de-una presupusa egalecuunitatea. Se pote inse calcula si lungimea linearia aunei laturi deca se cunosce numerul de grade continutintr'ensa, si lungimea radiei R a sferei.

Fie 1 lungimea unui arc de dintr'ua circumferen-tia a carii radia este 1; fie inca a° numerul de secundecontinut in un arc de cere mare al unei sfere cu radiaR, si a lungimea lui linearia ; era l' lungimea unui arcde 1" din ua circumferentia tot cu radia R. Dupe geo-metria avem:

.R seu r=111;T -I'inse

logcota=1,4659437

la


a=a°1 ;deci

a=a°R1.Valorea Iui sintsinr difera asia de putin de valo-

rea 1 a arcului de I" incat priraele siepte diecimale alIelui logsird sunt identice cu celle siepte diecimale de lainceputul lui log1; prin urmare in calculele logaritmiceunde nu se intrebuintiedia de cat logaritmii cu sieptediecimale putem presupune ch

si atunci

seu(1)

care ne dh lungimea laturei cand cunoscem numerulde secunde continut intr'ensa. De aci tragem:

aa (2)Rsinl"

care dh numerul de secunde al unei laturi deca cunos-cern lungimea sea linearia.

Essemple. 10. Date :Necunoscuta: a.5',002.2° Date: a=25',722; R =18'3,513.Necunoscuta :

SUPRAFAT1A UNU1 TREANGIIIIT SPERIC.

219. Cunoscem din geometria sferica espressiuneásuprafetiei S a unui trianghiu sferic :

S.T 6360° 'in care T represinta jumetate din suprafatia totale asferei, si 6 escesul sferic. Inse T-,_-27a2; deci

sin1-1,

a°=-34°18'52',1; R=8r°,392.

a°=79°3621,,7.


nR 2B

180°Deca prefacem pe e si 180° in secunde, fiind-ch It es-

prime lungimea unei semicircumferéntie cu radia 1*,

Catul018° 648000 este lungimea arcului de 1", care

am vediut* ch este egal cu sinl".Punend acesta valore in formula din urma, obtinem :

S=R2e sinl", (3in care trebue se nu perdem din vedere e esprime)numeTul de secuncle coprins in escesul sferic.Essemplu. Date: R-486',5; E= 8 4°1 3 '2 8 ", 4 = 3 0 3 2 0 8 ", 4 .

Necunoscuta : S=347921r",84.

*1

*218

ch

8--

"

CAPITIMUL III.

Esercitii si aplicatiuni.

220. Se se resolve un trianghiu sferic in care se cu-nosce ua lature a, anghiul opus A si suma seu diferentiacellor-alte doue laturi b si c.

Deca se da a, A, b+c, vom determina anghiurile ne-cunoscute B si C prin a treia si a patra din formulele

*179 lui Delambre* :b+c

cosB t C 2 .sin,

2

ACOB

2 acos-2

sinb+cBC 2 . Acos sin,

2 . a 2sin2-

cari ne dau suma B+C si diferentia B C ; prin ur-mare chiar pe B si C.

Laturile b si c le vom calcula in urma prin formulele :

sinb sina sine sinasinB sinA sinC sin A

-

ESSERCITU SI APLICATIUNI 263

Deca se dh a, A, bc, anghiurile B si C se vor de-termina prin primele doue formule alle lui Delambre :

bccos

sin B+ C = 2 A2 a

cos ,2cos-

sin bc. BC 2 Asin cos.

2 sina 2

2

Laturile b si c se determina apoi in acellasiu mod casi mai sus.

Essemp/u. Date : a=64°28'33',4 ; A=76°3'51'1,2;b+c-----98°34'13",6.

Necunoscute : B=90°32'12',72 ; C=32°43'40",98;b=68°23'34",04; c=30°10'39",53.

221. Se se reduca un anghiu la oritonte.Un observator 0 mesura anghiul

BOC al radielor visuale duse la doueobjecte B si C, anghiul BOC nefiindin un plan orizontal. In aplicatiuniinse este mai tot-de-una necessariu ase cunosce nu ensusi anghiul BOO,ci projectia WOC' a acestui anghiu pe

un plan orizontal. Acesta projectie se numesce anghiulredus la oritont.

Pentru a se reduce anghiul BOC la orizont , se me-sura si anghiurile A0B,A0C ce fac radiele visualedusela celle doue objecte considerate cu verticala AO. Ima-ginandu-ne apoi ua sfera cu radia 1 si cu centrul in 0,acesta sfera va taia fetiele triedrului OABC dupe arcele

2


AB,BC,AC, cari formedia un trianghiu sferic , al caruianghiu A are drept anghiu plan cu care se mesura chiarpe anghiul cdutat WOO'. Resolvand dera trianghiul

*204 ABC*, in care se cunosce AB=A0B , AC=A0C ,

BC=BOC , tote quantitati mesurate, vom putO calculaanghiul A.

Reducerea anghiurilor la orizont nu se mai face astadiprin calcul, cAci cu teodolitul se pote mesura directanghiul B'OC'.

Essemplu. Date : BO C-49°28'31" ; ;

COA=82°51'43".Necunoscuta : A=-13'0C'=---50°0'1" ,8.222. Cunoscund longitudinea si latitudinea a doue lo-

curi de pe suprafatia pamentului, se se calculedie distantiaintre aceste doue puncte.

Fie P si P' cei doi poli aiPEP'E' primul meridian , spre

essemplu cel care trece prin Paris, EE'equatorul, A si B punctele considerate.Se da, :pentru A, longitudinea L=EPC, si la-titudinea 1=A0;

pentru B, longitudinea L'=-EPD, si latitudinea iBDIn trianghiul sferic APB se cunosce dera anghiul

APB=rL,laturea AP= 90°--/, si BP= 90° Putem*206 dera resolve trianghiul* si calcula laturea ceruta AB.

Lungimea linearia a lui AB s'ar puté gasi prin for-*218 mula (1)*; inse in casul acesta putem se reducem acea

formula in modul urmator.Formula

11

pamen-tului,

1'.

ESSERCIT11 SI APLICATIUNI 265

AB 1

180°--7z

in care AB este numerul de secunde continut in distan-tia de la A la B, 1 lungimea linearia a lui AB si lun-gimea semicircumferentiei, dà :

si fiind-ch

si pentru pament

avem :

180°

180°=64800011,

n=20000",

1-20000'xAB _13 0

2 4

'n>(A.B.648000

lat. 44°25'39I'N.Essemplu. Date : BucuresciLong. 23°46'12"est ;

. lat 48°50'11'N.ParisLong. 0°0'0"

Necunoscuta : AB---16°49/48,91=1870",028.223. Dandu- se longitudinile si latitudinile a trei puncte,

A,B,C, de pe suprafatia pamentului , se se calculedie su-prafatia trianghiului sferic ABC, formal de aceste puncte.

Vom calcula laturile AB,BC,AC alletrianghiului ABC dupe metoda datala problema precedinte , si apoi esce-sul sferic E prin formula (10)*. Atuncirelatiunea (3)** ne va da suprafatiacautata , sciind ch pentru pament

R=6377398'.

*182

n19

iv

,AB1--


lat. 47°10'24"N.Essemplu. Date : JassyLong. 25°15'45" e st

Londra lat. 51°30'49''N Petersburg lat. 59°56'30"NLong. 2°25'57"vest Long. 27°58'13"est.

Necunoscute : JL---18°26'17",43 ; JP=12°51'59",38;LP=18°51'19",73; E= 1°5 9 '9 , 0 3 = 7 I. 4 9 , 0 3 ;

S----4409643kmP,181818.221. Se se calculedie volumul unui paralepiped cunos-

cund lungzmea cellor trei muchi alle unuza din anghzu-rile selle solide, si anghzurile ce aceste muchi fac intr e elle."r Fie OB=p, OC= y lungimile cellor trei muchi

date , cari tote concurain punctul 0; BOC=a,AOCb, A0B=c anghiu-rile ce aceste muchi facuna cu alta.

Lasand din C perpen-e' diculara CD pe fatia AB,

volumul paralepipedului este :

V--,-dreptanghiu ABXCD. (a)

Inse107* dreptanghiu AB=2ABO 2 aysine arsine. (b)

2

Trianghiul dreptanghiu CDO da :

CD=COsinCOD=PsinCOD. (c)

Ne imaginam ua sfera cu centrul in 0 si cu radia 1,care taia fetiele triedrului OADC dupe arcele A'D',D'C', A'C'. Trianghiul sferic A'D'C' este dreptanghiuin D', eaci CD fiind perpendicularia pe fatia AB, si pla-

;

OA,

.if

o

ESSERC1TII SI APrICATIUNI 267

nul CDO, care trece prin CD, va fi perpendicular peacea fatia. Prin urmare, dupe proprietatile trianghiurilor sferice dreptanghie*,

sinC'D'=sinA'C'sinA',sen

sinCOD=sinbsinA',ori

A' A'sinCOD=2siubsincos2

.

Prelungind arcul A'D' pene in B' si unind B' cu C'prin un arc descris din 0 ca centru, in trianghiul sfe-ric A'B'C' avem : B'C'=a, A'B`=c punend de-

A' A'ra in loc de sin si de valorea lor data prin e-2

quatiunile (1) si (2)*,

sinCOD=2sinb sinpsin(p a)sin(pb)sin(p c)

sin2bsin2c

lisinpsin(pa)sin(pb) sin( p c)2sinc

Substituind acesta valore in (c),

CD=2P sinpsin(pa)sin(p b)sin(pc).sinc

Acesta valore a lui CD precum si valorea mi AB dara de (b) o introducem in (a), si atunci

V2yV sinpsin(pa)sin(p b)sin(pc).Essemplu.. Date: a=15m,38; p=21m,13; r=18m,72;

a b 52°38'32"; c=79°25'15".Necunoscuta : V=4282',4833.

*163(6).

*177

;

2

CARTEA IV.

COMPLEMENTUL TEORIEI FIINCTIUNILOR CIRCULA RIE.

CAPITULIIL I.

1MMULTIREA SI IMPARTIREA ARCELOR.

Espressiuni imaginarie.

225. Ua espressiune imaginaria este ua functiune ca-re coprinde radicalul V-1. Ori-ce espressiune de felulacesta pote tot de una se se reduca la forma a+b11-1,in care a si b mint quantitati reale, positive, nille'seunegative.

Fie r un numer positiv ore care si a un anghiu ; pu-tem tot de-una gasi pentru r si nisce valori cari se sa-tisfaca equatiunile

din cari(a)

aCOS Salm= ;

era deca le adunam, dupe ce le-am ridicat la patrat,r2(sin2a,+cos2a)=L_a2+b2,

a=rcosa,

. b

IMMULTIREA SI IMPARTIREA ARCELOR 269

seuVa2+ b2.

Punend valorile (a) in locul lui a si b in espressiuneaimaginaria, ea devine :

a+ r(cosa+V--1sin.).Numerul r se numesce modulul, era anghiul argumen-

tul quantitatii imaginarie. Modulul este egal cu radecinapatrata a sumei patratelor quantitatilor reale ce insotiescimaginara. Argumentut este un anghiu datprin sinusul sicosinusul seu, si fiind- cà aceste linii trigonometrice suntperiodice, tote arcele, diferind intre elle cu 2n seu cuunmultiplu al lui 2, caH vor aye drept sinus si cosinus valo

rile si vor utén fi luate ca argument al espressiu-r rnei imaginarie date. Prin urmare, pentru ca doue espressiuni imaginarie, r(cos.-F-1/=isin.) sise fie egale, este de ajuns ca modulele lor r si r' se fieegale, era argumentele lor Si al se difere cu un mul-tiplu al circumferentiei.

Doue espressiuni imaginarie se numese conjugatedeca difera una de alta numai prin semnul termenuluiin care se afla ; ast fel sunt : r(cos.+1/211sin.) si

Ua quantitate reale positiva pote fi considerata ca uaquantitate imaginaria al carii argument este un multipluprin un numer cu sotiu al unei semicircumferentie; sivaquantitate reale negativa ca ua quantitate imaginaria alcarii argument este un multiplu przn un numer fora so-tiu al unei semi-circumferentie.

In adever, in espressiunea imaginariar(cos2loc+V-1sin2k7c),

a

r(cos


2k find. un numer ore-care cu sotiu, avemcos2kn=1, sin2k7c=0 ;

r(cos2kx+V-1sin2k/c), r,r fiind ua quantitate reale positiva.

Assemenea, inrIcos(2k4-1)7c+Vlsin(2k+1) TC

2k-1-1 find un numer fora sotiu,sin(2k-1-1)n=0;

asia derarIcos(2k4-1)=-14-1sin(2k-{-1) }---=r,

si r este ua quantitate reale negativa.

deci

FORMULA LUI MOIVRE

226. Fie a se immulti espressiunile imaginarier(cos.+Vlsin a ) si r`(cosP-FV---1sinP ). Avem :

r(cosa+V-1sinc, )xr'(cosp V-1sinp )=rrqcos a COO +V l COS sinP+Vlsin COSP Bina sinp)

(a+1))+VImmultind. ambii membri ai acestei egalitati cu ua a

treia quantitate imaginaria rh(cosy+V I siny), vom avd:r(cosa+V 1sina)r(cosi3+ V 1sin3)r" (cosy+ V-1 silly)

.rr'{cos(ce -I- 0)+V 1 sin(a+0)1e(cosy-EV --1 si ny)

=rr'r" cos(a+13)cosy+V lcos( z+ i3)siny

+V 1sin(a+13)cosy---sin(a-H3)siny

---rr,r"{cos(c +.0+7)-1-- 1sin(c +13+7)1.Urmand assemenea pentru patru, cinci, factori,

vom obtine formula generale :

r(cosce+V-1sina)r(cosi3-1- V-1sini3)r"(cos7 +(/7.11siny

cos(2k+1)n------1,

a a

1sin(a+P)}.

-I-

--rticos

INIMULTIREA SI INIPARTIREA ARCELOR 271

. r, (cosv+V 1 sinv)

. . .-FV 1sin(a+0+7+ ...+v)j (1)

Membrul al doilea coprinde ua espressiune imagina-ria al carii modul este rr'r" rn, era argumentulce+3+7+. +v; asia-dera produsul mai multor espres-siuni imaginarie este tot ua espressiune imaginarza alcarii modul este produsul modulelor factorilor, era argumentul e suma argumentelor.factorilor.

Operand in acellasiu mod vom gasi inca :r(cosa+V---11sina)r`(cosi3Vlsini3)

(1 bis)

r(cosaVlsina)r'(cos(3--V 1sini3)-----rrqcos(a+p)V--1sin(a+13)}. (1 tér.).

Corolariu I. Deca in (1 bis) presupunem :a=p, formula devine :(cosa 1 sina)(cosa V 1sina)=---coa+asia dera produsul a doue quantitati imaginarie conju;gate este egal cu unitatea.

Corolariu II. Din equatiunea(cosa+V---Isina)(cosa V 1sina)=1,

deducem:1_ .cosaV=1.sina ;

cosal-Visinaprin urmare inversa unei espresszuni zmaginarie este uaalta espressiune imaginaria, conjugata at cea data.

227. Deca in formula (1) punem:. . . =rn, . .

ea devine : .

Ir(cosa-i-J-7-isina))m=rm(cosma+Vsinma), (2)

r

+1/

.

icos(a+13+7+. .+0

--rrqcos(a.-13)+Vlsin(otg)},

r.r.1 ;

272 CURS o TR1GONOMETRIA

m find numerul factorilor. Acesta formula, numita for-mula lui Moivre, esprime ch putereauneiespressiuni ima-ginarie este tot ua espressiune imaginaria, al carii moduleste chiar modulul rade, thei ridicat la ua putere egale cua espressiunei imaginarie, era argumentul este tot argu-mentul radechui immultit prin esponentul puterii la ..arese ridica acesta radecina.

IMMULTIREA ARCELOR

228. Formula lui Moivre ne d. possibilitatea de acalcula sinusul si cosinusul unui multiplu ore care alarcului in fun-Aiune de sinusul si cosinusul arcului sim-plu. In adever, deca in

rm(cosma+V-isinma)-rm(cosa+ V=Isina)meliminam factorul comun rm si desvoltAm puterea dinmembrul al doilea dupe binonul lui Newton, observand

: (V-1)2=-1, (v-1)5=-V-1, (V-1)4=1,...., avem :

cosma+V=Isinma=cosma+-mV=icosm'sina1

m(m-1)cosm -2asin2a-m(m-1)(m-2)V

i-cosm-sasinBa1.2 1.2.3

m(m-1)(m 2)(m 3)cos' 4cethia4a . . .

1.2.3.4

[cosmm(m-1)

--=cosm-2asin2aa-

1.2.3

+m(m -1)(m 2)(m - 3) cos'asin4a -

1.2.3.4

+V-1ricosm'asina-m(m-1)(m -2)cosm-aasin2a1 1.2.3

cg.

-

iMMULTIREA SI IMPARTIREA ARCELOR 273

m(m-1)(m----2)(m 3)(in - 4)cos um a-

1.2.3.4.5Inse cand avem ua egalitate intre quantitati reale si

quantitati imaginarie se scie ch quantitatile reale suntegale intre elle si celle imaginarie assemenea; avemdera :

m(m -1) cos'asinIacosma=cosma1.2

m(m -1)(m 2)(m 3)cos'asin4 a . . . (1)1.2.3.4

sinma.--cosm'asina-F m(m-1)(m-2)cos'8asin3a

1 1.2.3m(m-1). . . .(m-4)cosm'asin5-+ (2)

1.2 3 4.5In (2) am eliminat factorul comun V-1.In membrul al doilea din (1) nu intra de cat putert

cu sotiu alle lui sina; deca dera vom voi a av4 pe cosnzain functiune numai de cosa, vom inlocui pe sin'a prin1-cos2a, pe sin'a prin si atunci membrulal doilea al acelei equatiuni ne va da pe cosma in func-tiune de cosa prin un polinom rational, caci va continenumai puterile intregi alle lui cosa.

In membrul al doilea din (2), deca m este fora sotiu,intra tot puteri cu sotiu alle lui cos«, deci inlocuind pecos'a prin prin 1-sin2a, pe cos'a prin (1 -sin'a)2,membrul al doilea al acellei equatiuni ne va da pe sinmain functiune de sina prin un polinom rational, caci vacontine numai puterile intregi alle lui sina. Deca insem este cu sotiu, membrul al doilea al equatiunei (2)contine puteri fora sotiu. alle lui cosa. In acest cas, pu-nend pe cosa factor comun, formula (2) devine :

18

ra_6 . 61.

+

274 CURS DE TR1G0N0METRIA

sinma =cosa cosm'asina m(m-1)(m-2)cos'asin3aF112

Ll 1.2.3

m(m-1) (m--1)cos' 6asin3a1.2.3.4 5

Parentesul contine numai puteri cu sotiu alle lui cosa;inlocuind dera pe cos'a prin 1 sin2cc, pe cos'a prin(1sin2a)2,...., vom aye in parentes un nolinom ce vacontine numai puterile intregi alle lui sina, si prin ur-mare va fi rational. Inlocuind. inse si pe factorul comuncosa, prin V1sin2a, membrul al doilea incetedia de afi rational. Deci, cand m este cu sotiu, sinma pote fiesprimat prin un polinom care se contina numai pute-rile lui sina, inse acest polinom va fi irrational.

229. Divisand (2) prin (1) obtinem:sinma =tgmacosma

m no m(m-1 )(m-2) no m(m,-1)..(m-4) eosm-54 4. Cos a sincc e s asin3a+ 1.2 3.4 .5-V 44 m m m-1 ) m-2 tn,m-1)(m-2)(rn-3) m-4cos a cos asin2c4+

1.2.3.4 cos a8in4a. . .

si divisand ambii termeni ai fractiunei din membrul aldoilea prin cosma,

tgaM(m-1)(m-2),m(m-1)...(m-4)wa_...1 1.2.3 1.2.3.4.5 6

, (4)tgma_1 " 1)tg2a "-1)(m-2)(m-3) tg6a-1.2 1.2 3.4

formula care dh pe tgma in functiune de tga.Essemple. 10. Se se determine sinSa cunoscund pe sina.Punend in formula (2) m8, a=a, avem:

sinSa...8cos'asina- 8.7.6cos'asin3a

1 1.2.3

.

_1.2

1MMULTIREA SI IMPARTIREA ARCELOR 275

8.7.6.5.4 . , 8.7.6.5.4.3.2 .7cosasma,cos asm a

1.2.3.4.5 1.2 3.4.5.6.7seu

sinSa = S cos7asin a-56costasina+5 GcoiasidaScosasin7a.

Deca voim se afIhm pe sin8a numai in functiune desina. punem in acesta equatiune pe cosa ca factor co-mun in membrul al doilea, si atunci

sin8a=cosa(8coeasina 5 6 coeasida+56coeasinta--sin7a) ;

inse

cosa=----V1sin2a, cos2a=1sin2a, cos4a=1+sin4a-2sin2a,coea =1-3sin2a+ 3sin4a sida.

Punend aceste valori in formula si facund reducerile,sin8a--41sin2a(8sina 80sin8a+ I 92sida-128sin7a).

Polinomul din membrul al doilea este irrational acicontine pe si m a fost cu sotiu; acest resul-tat coincida dera cu cea ce am dis la finele § 228.

2°. Se se determine sin5a in functie de sina.Avem: m=5, a=a ; punend. aceste valori in (2),

sin5a.-5 coeasina 5 .4.31

cos2asin,a + 6.4.3,2.1 sin,a

1

5cos6asina-1 cos2asida+sida.Pentru a esprime pe sin5a numai in functie de sina,

inlocuim in acesta formula pe cos2a prin 1sin2a, pecos'a prin 1 2sin2a-1- sida, facem reducerile si obtinem :

sin5a=5sina-20sin2a+16sida.In casul de fatia, m find fora sotiu, sin5a este espri-

mat prin un polinom rational ce contine numai pe sina.3°. Se se determine cos% in functie de cosa,

V 1sin'a,

1.2.3.4.5


Formula (1) da:

cos6a=cos6a 6.5cos4asin2 a

1.2

+ 6'54'3 cos'asin4a-6.5.4.3.2.1 . ,1.2.3.4 1.2.3.4.5.6sm a

=coea-15cos4asin2a +15cos'asin4asin6a,si inlocuind pe sin2a, sin4a, sin6a prin valorile kr infunctie de cosa si reducund,

cos6a=32coea-48cos4a-1--18cos2a-1 ;cos'a este esprimat prin un polinom rational ce coprin-de numai pe cosa.

4°. Se se determine tg7a in functie de tga.Formula (4) da:

7 7.6.5itga-1.2.3 7.6.5.4.3tea-7.6.5.4.3.2.17tia+1.2.3.4.5

1.2.3.4.5.6.7tgatg7 a7.61-- 7.6.5.4ea . t a1.2

7.6.5.4.3 2etg2a+1.2 t.3.4

7tga 35 tea +21tea tea-= .

1-21tg2a+35tea-7tea

DIVISIIINEA ARCELOR.

Sub deest titlu ne propunem problema inversa acel-leia pre care am resolvat-o mai sus, adeca: dandu se li-nia trigonometrica a unui arc, se se gasesca linia trigo-nometrica a submultiplului acelui arc.

230. Dandu-se cosa se se gasesca cos-1.a -m

*228 In equatiunea (1)* punema=13 si prin urmare ma =a;

ea devine atunci:

1 1.2.3.4.5

-&----

co6." a m(m-1)cosin-sa.coe sin -2 a . 2 ain 1.2 m frl

+t71(??11)(171-2)(m-3) ,,,_4 a . 4a

cos sin .i.2.3.4 m m

Aci cosa este quantitatea data si necunoscuta;

punem dera: cosa.b,< cosa ._.-.1c, si fiind-ch_ m

qsin- 1.Cos-

m insin _. 1cos ,

m2 a)9

. ,2 a , i ,a. 4a

vom axe:d, 2

sin2.1 x2, sin4a . . . .

Facund intocuirile equatiunea devine :

elm(m-1)xn1-2(11.2

m(ntl)(92-2)(m-3)xm-4(l_x2)2_1.2.3.4

Desfacund parentesele ce contin pe x, grupand ter-menii ce contin puteri egale alle lui x, si inseinnald cuA pe confactorul lui a,m, cu A, pe al lui cu A4 peal lui . . . , equatiunea va lua forma:

Axm-i-A2e-4-1-A4en-4+. . .=b.

Prin urmaré determinarea lui x, adeca a lui cos (-±, in

functiune de b, adeca de cosa, depinde de deslegareaunei equatiuni de gradul In in x.

Essemplu. Cunoscund pe cosa , se se determine cos-a.6

Punend in (1)* in loc d.e ma pe a , in loc de CC I:06-a- *228

si in loc de m pe 6, acea equatiune devine :

_,

(1x2)in

xm-2,

-

278 CURS DE TRIGONOAIETRIA.

65 a netcosa-=-,cos° cos*-6 -6 1.2 6

6.5.4 3 2 a . 4 a 6.5.4.3.2.1 . aCOS--S111

1.2.3.4 6 6 1.2.3.4.5.6 6

=cos, a 15cos4a sin24±-i- 15cos2a6

sin4-a-- sin6a .6 6 6 6 6

Punem: cosab, cos a .x; atunci, fiind.-ca,6 6

1 cos'a sin4a 1cos' a sin'a 1 1 cos' a6 6 6 6 6

avem : sin241 sin' a- (1 x2)2 =1 2 x2 + x4,6

if x2)3=1-3x2-1-3x4 x6. Introducund tote a-6

ceste valori in equatiune, effectuand immultirile si gru-pand termenii ce coprind. acelleasi puteri alle lui xavem :

32x6-48x4+18x2 1=1,,

equatiune de gradul a iesselea care resolvata ne va

da pe x, adeca pe cos , in functie de cosa, represintat6

prin b.

231. Dandu-se sina, se se gasesca sin

*228 10 Deca m este fora sotiu, punend in equatiunea (2)*

in loc de ma pe a si in loc de a pea , vom av6 :m

sina----nicosm-1--asin a m("1-1)(m-2) cos'sa sins a1 m m 1.2.3 In 77/

m(m-1). . . .(m-4) m-5COS

a : a+ . . . .

1.2.3.4.5 m m

6

8111 -

--=

1-x2,

sin' -(1

,

4-2

sin'Ta

-


Punem : sina= b, sina x; si find- ca puterile rn 1,

m-3, m-5, la cari este ridicat cos -11-sunt tote cu so-

tiu , cAci m este fora sotiu , vom inlocui pe cos° cu

1-x2, pe cos4-4-1- cu (1 x2)2, Facund. apoi tote

immultirile, grupand termenii ce contin puteri identicealle lui x, si insemnand erasi cu A, A2, A4, . . . . con-factorii termenilor . . . equatia valua forma :

Axm-hA2xm-2-FA4e1-4+. . . . =b;acesta relatiune este de gradul m in x; deci pentru a

determina pe sin '2- in functie de sina , deca m este

fora sotiu, trebue a resolve ua equatiune de gradul m.2° Deca rn este cu sotiu, punend in (3)* pe a in loc *228

de ma si pe a-

. loc de a, equatiunea aceea devine :

a[msina =co s- -cos'_2asin

a m(rn ---1)(m-2)cosin- 4asin3-a

m 1 m m 1.2.3 mn2(m-1) (m-4) .1_2 a

COS.

Sill,a

9 ...1.2.3.4.5 m m

Punem : sina=b, atunci : cos1-.1/1-x2,In

cos' -a .1-x2, cos4-a-=-(1-42,

tine numai puteri cu satin alle

Parentesul con-

lui cos-a, cfici rn este111

cu sotiu; substituind dera in equatiune aceste valoria-, aalle lui sina, sin cos . . . . , in parentes nu vca

Xm, xm-2, xm-4,

m

. .

,

sin-ax;rn

,171 M


intra de cAt espressiuni rationali cari vor contine pe x;

singur factorul comun cosa va fi represintat prin es-7/2

pressiunea irrationale1/1x2. Deca dera, dupe ce amfacut inlocuirile , vom face tote reducerile i vom in-semna cu A1, A,, A5, . . . . confactorii termenilor xn1-1,xnk-2, . . . , equatiunea precedinte va lua forma :

1/1x2 . . . ]=b;ridicandu-o la patrat,

(1x2){.41xra-1-EA3pcm-3-+A5xm-5+. .r=b2.

Acesta equatiune este de gradul 2m in x; asia dera,-pentru a gasi pe sina in functie de sina , cand. m este

cu sotiu , trebue a resolve ua equatiune de gradul 2m.

Essemple. 1°. Se se determine sina- cunoscund pesina.5

*228 Equatiunea (2)* &vine in casul de fatia :a a 5.4 3 a a 5.4.3.2.1 ,asina=5cos4-sin cos' sin3 + -5 5 1.2.3 5 5 1.2.3.4.5 5

10cos2-a -a +sin5-a--= 5 cos4 asin -a

5 5 5 5 5

Punem : sina=b , sin a-..-x; prin urmare : cos,a5 5

1 sin2-a 1 x2; cos4a (1 sin2 a )=-(1x2)25 5 5

=1-2x2+ x4. Facund tote reducerile equatia devine16x5-20x3-fr 5x=b,

equatie de gradul al cincilea care trebue resolvata pen-

tru a afla pe x, adeca pe sina5

in functie de sina.

2°. Se se determine sin'2- cunoscund pe sina.8

. .

xm-°,

.

sin'

;

1MMULTIREA SI IMPARTIREA ARCELOR 281

Equatiunea (3)* devine , punend : m=8, maa,a

- :

8

a [ 8 6 a . a 8.7.6 4 a . 3sm

asina=cos1

cos sin8 1.2.3cos 8

8.7.6.5.4cos' sin5

a 8.7.6.5.4.3.2sin7-fl.

1.2.3.4.5 8 8 1.2.3.4.5.6.7

=cos: 8cos6 a sin 2-56cos4-asinsl8 8 8 8

+56cos2 sin5a a8 8

a x-2Punem : sina=b, sina prin urmare : cos = vl ,8 8

acos' cos4a-=1-2x2+x4, cos6-a=1-3x2+ 3x4..e;8 8

introducund. aceste valori in equatiune si facund re-ducerile in parentes, equatiunea devine :

1/1x2[8x-8 Ox3+192x3-128x7]ridicandu-o la patrat si reducund erasi,64x2-1344x4+10752x3-42240x3+90112.1:'°- 106496x12

+65536x14-16384x16----P,equatiune de gradul al siesse-spre-diecelea care db. pe

sina in functiune de sina.8

Observare. Equatiunea din urma vedem ch nu cu-prinde de eat puterile cu sotiu alle lui x; deca deravom pune x2=y, ea va deveni :64y-1344y2+10752y3-42240y4-1-90112y5-106496f

+65536y7-16384y8=b2,equatiune de gradul al optulea in y ; prin urmare, chiar

*228

8

a

8 8

8


cand m este cu sotiu, determinarea lui pote se se

reduca la resolvarea unei equatiuni de gradul m

232. Dandu-se tga se se determine tga=.

*229 Punend in (4)* ma=a, a.-a , avem :

m4. a m(m-1)(m-2)te-Lg Lg.

tga-1-1 m 1 2.3 m 1.2.3.4.5 m

m(m-1)t +a m(m--1)(m-2)(rn -3) 4 a

1.2em tg

1.2.3.4.5

si facund tga=b,

172 ill(712-1)(171 -2)2+ m(m-i) (m-4) 5

--X X

b -1 1.2.3 1.2.3 4.5I)x2+m(m-1)(m-2)(m-3)x4_

1.2 1.2.3.4seu

x+b- m(m-t)(m-21 3-b2)2(9)2 -1) (In -2)(m-3)x4-x

1 1.2 1.2.3 1.2 3.4

+"1(111-1)--1-7(m----4)xs-4- =b,-1.2.3.4.5equatiune de gradul m care ne va da pe x=tg-- infunctiune de tga-b.

Essemplu. Cunoscund pe tga, se se determine tg-a .7

*229 Punendavem:

7

atga..tg-piin (1)* m=7, tgmq=b,7

7.6.5 7.6.5.4.3 5 7.6.5.4.3.2.1x,x -1 2.3 1.2.3.4 5 1.2.3.4 5.6.7

b -17 6 7.6 5.41_ x2+ 4 7.6.5 4 3 2 x6

1.2 1.2.3.1 1.2 3.4.5.6

,

m

in--m

tga =a-,m

--....

1m

a.a

sinTna

a

x


de unde7x-1-21k' 352 35bx4-i- 21x5+7b,t6 b,

aequatiune de gradul al sieptelea care dh pe tg7.

ESPRESSIIINEA LUT SINma SI COSma IN FUNCTIUNE DESINUSELE SI COSINUSELE MULTIPLILOR ARCULUI

233. Fie espressiunile imaginarie conjugatecosa+V-1 sina, cosa ;

punernu=cosa+V-1sina,

(1)v = cosa --V 1 sina.

Ridicand la puterea n aceste doue equatiuni, avemdupe formula lui Moivre% :

un -1- V-- 1 sin na

vn cosna 1 sinna.Adunand, si pe urma scadiend aceste doue equatiuni,

avem :

lin IP =2V-1 sinna (a)

era deca le immultim una cu alta,un vn =cos2na+V=isinnacosnai/ isinnacosna

seuun vn 1. (b)

Equatiunile (1) adunate dau :2cosa=u+v,

si ridicund la puterea m,2mcosma---(u+v)m;

desvoltAm puterea din membrul al doilea dupe legeabinomului lui Newton :

*2?7

sina

un --Fvn

;

-1-sin2na,

e-

f

=cosna

=2cosna,


2mcosma.uml-trium-1v+m(m-1)um-21,2+..+_uvm-1+vm.1 1.2 1

Deca 9,2, este cu sotiu, desvoltarea are un numer determeni fora sotiu, si atunci termenul de la mediu-loceste

m(rn mm

rn4 U2 V

7

1.22

era deca m este fora sotiu, desvoltarea ar6 un mimerde termeni cu sotiu, si la mediuloc vor fi doi termenicu confactori egali, si anume :

m(m )....m +2 3 m(m-1)....m+2 3rn-i rri-1 m-F1

U-2- V 81 2 2U V 7m-1 m-11.2.3 1.2.3

2 2

prin urmare grupand term enii equidistanti de estremi-tati (cad se scie eh au confactori egali), in casul candm este cu sotiu, vom av4 :

2mcosraa----(um+vra)+,702-1+i,--1)

1-m(m-i)(U )) +U )+.......1.2

m(m -1) (71+11 m rnUT 3-

1.22

----(ura+vm)d- zw(urn-2d-pm-2)+m(m-1)112p2(ura-4+1,m-4)+...1 1.2

2 ml-i2

,

1

m-2 171-2

2+ v

rn

-

/MIAULTIREA SI IMPARTIREA ARMOR 285

m(m-1)2 m m

...... -rn1.2.3

era deca m este fora sotiu,

2mcosma-=-(um-f-vm)+E(um-Winim-l)1

-Fm(m-1)(01-42v2-1-u2vm-2)+1.2

m+3m(m-1) 2 f m±/ n2-1 m-1 m-I-1

tU 2 V 2 +24-2, 2 j1

1.2.32

m(m]) ,s 2--.-.(umvm)+/Inup(um-2-1-P')-1- zev (um-4+Pn")+...

1 1.2

rn(m-1) m+32

1.2.3 na-12

m-1 in-1U 2 2 (U-I-V).

Inse dupe (a) si (b),um-t-vm=2cosma, uni-2-HP3-2-2cos(m-2)a,

uy--=1, ;

substituind aceste valori in equatiunile precedente ,

avem, pentru casul cand na este cu sotiu :

2mcosma.2cosma+2- cos(m-2)a+21

*1-1)cos(m - 4)a+...

1.2

1.2.32

si divisend ambi membri cu 2,

+1)

+ 1)-2-

P

-

t71

-2-

,

u5jA1,

2

286 CURS DE TR1GONOMETR1

2mlcosma=cosmad--icosin-2)a+m(m

1 2cos(m-4)a+

m(rn-1) +1 ( 2 ).

-4-2 7

7(2)

1b1.2

2

era cand m este fora sotiu,

2mcosma=2cosma+2-mcosm-2)a+2m(m-1)cos(m-4)a+1 1.2

m+ 3

+2 In-2 cosa,m(rn-1)

1.2. 32

si divisend ambii membri cu 2,

2m-lcosma=cosma+-1

cos(m-2)a+m(m-1) cos(m-4)a+...1.2

m(m- 1).... m+32

cosa. (3)M 11.2.3

2

Essemple. 1°. Se se desvolte cos'a in functie de cosa,cos2a, . . . .

Formula (2) dh, pentru m=6 :

25cos6a=cos6a+1 cos4a+ .-:Pcos2 a+1 .6.5.4.1.2 2 1.2.3'

seu32cos5a=cos6a+6.cos4a +15cos2a+ 10.

2°. Se se desvolte cos's, in functie de cosa, cos2a,....Formula (3), pentru m=5, dh:

5 425cos5a=cos5a+5cos3a+-cosa,1 1.2

A

m-1

1


seu16 cos5a= cos5a+ 5cos3a+10cosa.

234. Scadiend equatiunile (1) una din alta, avem:

2V-1.sina=u- v;ridicund la puterea m ambii membri si desvoltancl bi-nomul din membrul al doilea,

m m(m-1)2m(V-.)insinma----(u-v)m=um--1 um--1v-i- um-21,2

1.2ri(m-1)(m-2)um-Gys+

1.2.3Deca m este cu sotiu, desvoltarea din membrul al

doilea are un numer fora sotiu de termeni, si termenulde la mediuloc este

(A)

m(m-1) (-2+1)mm m

+ -i- -i-u v ;

1.2 _m2

prin urmare grupand termenii equidistanti de estremi-tati cari se scie a au aceiasi confactori si acelleasi sem-

one, avem :

2m(V-1)msinula.(um+vm)-11(01-1v+uvm-11

+In(m-1)(Ulin-21,2+142y1711-2)

. .1.2

m(m-1) . . . . (i+1) m .

1.2.3 ... ,m2

m )± 97/(97/

1.2-1)142p2(um-4pm-4)_....==.(um+Pm)--up(um-2-0/n-2

1

.+ U P .2 uivi.


m(m 1) . . .2 U.

1.2 . . . .2

Inse, dupe equatiunile (a) si (b),um+vm.-200sma,

uv.1,Substituind aceste valori in equatie si divisand am-

bii membri cu 2,

21n-1(/ 1)msinma= cosma--1cos(m-2)a

m(m 1)cos(m-4)a1.2

. + 1)1

±

2

Aci (V-1)m nu este imaginaria, caoi dupe algebra,

si fiind-ch m este cu sotiu,.ya fi in numer intreg, si2

espressiunea (-1)7 va fi reale.Deca m este fora sotiu, desvoltarea din membrul al

doilea al equatiunei (A) are un numer cu sotiu de ter-meni, si prin urmare la mediuloc se afla doi termeni cuconfactori egali caH sunt:

M (n21)....m+3 m+1 m-1 M+3M-1 m+1

2 2 2 2 2 2U V , S1 T U V .

m-1 m-11.2 . 1.2 . .

2 2Deca dera grupam termenii equidistanti de estremi-

Um-2+ vm-2.2cos(m-2)a,...

+

m(m-1) . . .

2

(1.-)m,-(1)1÷1,

-.

.(2?1+1) muiv7.

u5v2-1

2 )

1.2 .. .

sn(m 1)

1MMULTIREA SI IMPART1REA ARCELOR 289

tati, caH au confactori egali si semne contrarie, equa-tiunea (A) se face:

2m(V=i)msinma.(uni tn (urn lp upm

+9n 1)(um -21)2_148pm--2)._

m(m 1) m+3 m+1 m-1 m-1 m+12 ,

V.4m-12 2 2 2V U

1.22

m(mi)u2v2(um-4vm--4)-...1 1.2

m(m 1) m+3 m-1 m-12 2 2 ,

m1u1.2

2

substituind aci valorile date de equatiunile (a) si (b)avem :

2m(/)msinma.2V---1sinma-21.11 ./sin(m-2)a

m(m-1) . (m-4)a.+2 ,

1.2V ism . .

m+3m(m 1)2

. . +2 m_iV Nina;1.2

si divisend cu 2V=i,2

2'(\/=1-)mlsinraa.sin ma tsin(m-2)a1

(rn

1.2. 4)a

15

1.2

11 I

-I- v

,

290 CUES DE TRIGONOMETTUA

m(m-1) m--1- 3

2 .sma. (5)m-1L2

2

Espressiunea (V-1)'' din membrul antaiu nu mailit -I

te imaginaria, câci ea este tot una cu (-1) 2 ; si m

find fora sotiu, m-1 este cu sotiu, era este un

numer intreg; prin urmare espressiunea 2 estereale.

Essemple. 1°. Se se aetermine sin'a cunoscund pe cosa,cos2a, . . .

Formula (I), in care punem m.6. dh:6 6.5 125(V=1.)6sin6acos6aicos4a+Ers2a-2 .

6 5.41.2.3 ;

inse

(V=i)°.(-1)51-=-1;deci

32sin°a=cos6a-6cos4a+15cos2a 10.2°. Se se determine sin'a cunoscund pe sind, sin2a,Formula (5), in care punem m=5, dh:

24(V1-7.)%ida.sin5a---1 1

5.4.2

sin3a+ sina ;

inse

deci(V=1)4.-.(-1)1.1 ;

16sin5a.sin5a-5sin3a+10sina.

. . .

M-1

m-1

1 .2

CAPITULTIL

RESOLUTIUNEA. EQUATIUNEI BINGME zm-.=1, SI POLIGUNELEREGULATE.

Resolutiunea equatiunei binome 1.

235. Ori-ce quantitate, fie reale, fie imaginaria, scim*eh se pote represinta prin ua espressiune de forma :

A(cos,p+V-1 sin 9) ) ;deca dera representa pe una din radecinile equatiuneibinome

Tm=1, (1)

putem pune tot-de-una :T=cos cp +V-1 sin?. (a)

Pentru ea valorea (a) a lui .T se fie in adever ua rade-cina a equatiunei (1), trebue ca pusa in acesta equa-tiune so o identifice adeca trebue se avem:

(cosT+V-1sin )m 1,

seu, dupe formula lui Moivre,cosmp+V-1 smmy=1.

Egaland quantitatile reale intre sine, si pre celle i-maginarie assemenea,

cosnip=1,V-sin m9,-0 seu : sinniT=0,adeca nip este un arc al carui cosinus este+1 si sinus()inse tote arcele coprinse in espressiunea

*225

;

;

II.


mp=2kn,in care k este un numer intreg ore-care, implinese a-

*8,9,17,18 cesta conditiune*. De aci

9)-=2k.

7

si punenci acesta valore in (a),. 2kx

.t =cos +V lsm (2)

Acesta eqnatiune ne va da tote radecinile equatiunei(1) deca vom da lui k diferite valori.

236. Pentru valorile k=k' si k=k", rad.ecinile equa-tiunei (1) vor fi :

2k. .lsln 2k'n.1---cos +V ,

. 2k".t=cos ;

cand aceste doue radecini sunt egale avem:2Ic'n .ism 2Ic'n 2Ic'17c 2k11.

COS -FV, =cos +V isin

de unde21cmn 21e'n .

SIB2k'n . 2k"n

COS =COS , -= sin--- --.m m m In

Pentru ca aceste conditii se fie implinite, fiind-ck siperioda sinusului si a cosinusului este 2n, trebue seavem:

2k'n 2k"n_2mr,

n fiind un numer intreg ore care ; de acir=mn.

Asia dera deca diferentia k'k" intre doue valori cedam lui k este un multiplu al lui m, celle doue valori

21c7r

in m

/71. 112

,m m m in

tn

lc'

rn

.

21c".

m

RESOLUTIUNEA EQUATIUNET BINOME 293

correspundiatorie aflate pentru radecina sunt egale. Deaci urmedia ca pentru a afla tote radecinile equatiunei(1), nu este necessariu a da in (2) lui k de cat valorilede la 0 pene la tn-1; caci deca am da lui k si valorimai mari de cat m, valorile ce am afla atunci pentruradecina ar fi identice cu celle aflate deja cand am datlui k valori mai mici de cat m.

237. Deca rn este fora sotiu, punend. in (2) k=0,avem :

T=cos0°-f- V isin0°-1 ;equatia (1) are dera in acest cas ua radecina reale.

Dem m este cu sotiu, cand vom face in (2) k=0, vom

aye : .T=1; si cand vom pune :2

T=cosm+V=fsm7r=-1 ;equatia (1) in casul acesta are doue radecini reale.

Deca in (2) vom da lui k valorea rnk, vom aye :2(m k)rc 2(rnk)nT.cos +V i.

sin[27r-21rn

.cosi2rc'112

cos2kmV isin2km;rn 171

si acesta valore imaginaria este conjugata cu cea datade (2); asia-dera radecinile imaginarie alle equatiunei (1)sunt conjugate doue cdte doue. Putem dera coprindetote radecinile equatiunei (1) in formula :

2km . 2kmcos -+V lsm , (3)

in care dam lui k numai valorile de la 0 pene la-2 deca

k=,

rnrn

_

2


m este cu sotiu, si de la 0 pene la 772 deca m este2

fora sotiu. La 6e-care valore data lui k vor correspun-de dite doue valori imaginarie alle radecinei, conjuga-te una cu alta.

238. Decatn---2n+1, (b).

equatiunea pote se se reduca a fi de gradul n. Inadever, in

r.1trecund pe 1 in membrul antaiu si divisenci cuvom aye :

r-a+ .+Tsd-T2+T+ 1=0.Divisend cu .tm si avend in vedere cA, dupe (b),

n_ m-12

1 1Tn+TII-1+Tn-2+...+

13+ 2+Tn +1= 0,1

Tnseu

-2)1+ ..it+11+1=0. (4) .

r- ) T.Punem

1 1

Dupe acesta conventiune,flj 1 2 1V.-2=r +

prin urmare

4f)-2+J__]..r+ 1Ta--1) Tn-2

Bev

(e)

-1

[ I

V,I.Tu

vn_l= , ;Tn-2

f

0==l

r-

TA )

RESOLUTIUNEA EQUATIUNEI BINOME 295

Vn= XViiiVn-11 (d)Deca in a doua din equatiunile (c) vom pune pe rand

n.0, n.1, vom aye :1V0=2, V1=T+=x.

Cu ajutorul ac'estor doue valori vom puté afla sue-cesiv valorile lui 1,2; PS) Pa, introducundu-le in for-mula (d):

V2=xV1V0=x2 2,Vs= XV2V1=x(x2-2)--x=x3-3x,V4= xV3V2=0C(X8-3x)(x2 2).x4---4x2+2,

Substituind tote aceste valori in (4) in locul quanti-

tatilor (T9+-1 ],etiune de gradul

Se gassim espressiuneastei equatiuni.quatiunei Tm 1.0

de unde

(T3+

n in x.

Espressiuneaeste*:

2kg

,4 + . . .,

vom gasi ua equa-e 7

generale a radecinilor ace-generale a radecinilor e-

21or

n35,(2)

*226,eor.1

.lamT.cos

1 2kir.cos+V

2kn*, .+v ism .T m m

Adunand aceste doue egalitati avém :

1.2 cos

2 ir,

T mseu

2knx.2cos . (5)

. . . .

e 1

-0-


In aceste equatiune trebue se dam lui k tote valorilen2-1de la 1 pene la

2

runend. valorile lui x ghsite prin (5) in equatiunea1

vom put4 obtine valorile lui T.

PROPRIETATILE RADECINILOR EQUATIIINEI zm=1.

239. Deca ridican2 la ua putere intrega una din ra-decinile equatiunei e=1, acesta putere este si ea ua ra-decina a equatiunei.

Fie,2 .

sin2.T'cos. -I-V-1

una din radecinile equatiunei. Ridicund la puterea in-trega k ambii membri, vora av6 dupe formula lui Moivre:

==.(COS-21c + V --1 si n 27'rn

it235 si acesta valore a lui T'k fiind cuprinsa in formula (2)*,care dh tote radecinile equatiunei r=1, este si ea uaradecina a acellei equatiuni. C. C. T.D.

240. Teca m.np , n si p fiznd doue numere- primeintre elle, celle m radeczni alle equatiunei e3.1 se potobtine immultind celle n radecini alle equatzunei z11.1 princelle p radecini alle equatzuuei e .1.

Radecinile equatiunilorr=tip=1, TP .1,

sunt esprimate respectiv prin formulele generale :2kg . 2kna.cos - /-1 sin ,np np

sin-21c. ,

T. .1,

-nt 777.

ni nt

RESOLUTITINEA EQUATIUNEI BINOME 297

0=cos 2 7r-E V sin2

2nn ,cos----r- V -1p ,

kkri, fiind nisce numere arbitrarie. Fiind-ca p si n auntprime intre elle , putem tot-de-una gasi doue numereintregi si i, positive seu negative , caH se justificeequatia :

p4n11=k,din care

21yr 2icir

n p np6

Introducund acesta valore in espressiunea a e maisus a lui a, avem :

2 2727r , . ,;rr 21yr 1a=cos(--- +- )+v -1 KA(2(n

+n p P )2 E 2r 2rirr . 2 E rr . 2,rirr=coscos --sm sin-n P n P

.+1/-1

2 n 2/yr . 2nn 2 Errsin cos- - +1/-1 sm--cosn p p n2'E 2r( 2,rirr , .= cosi cos+v-1 sm--n p P

+11-1 sin2 11(coE;227 -r 1/---7. sin2 1'11,.

seu, in fine,2 E rr 2 E1 11 2/irr rr+v -1 sin

n (cos + v -1

Primul parentes din membrul al doilea vedem caeste radecina 13 a equatiunei = 1 ; era al doilea pa-rentes e radecina 7 a equatiunel .TP =1 ; prin urmare teo-rema este demonstrata.

si 2nr.rp

-2

E

p

)

-4

n p

n p


241. Deca m nu este un numer prim, radecinile equa-tiunei zni=1 se pot gasi immullind una cu alta radecindeequatiunilor de aceasi forma si de grade egale cu factoriiprimi seu cu puterile factorilor primi 2ji lui m.

Asia, deca m.npqr, n,p,q,r fiina nisce numere primeseu puteri de numere prime, dic sh radecinile equatiu-nei r.epqr -1 se gasesc immultind. una cu alta rade-cinile equatiunilor =1, Tp .1, .z.4 .1, Tr=1.

In adever, immultind. radecinile equatiunei =1 cu240 one equatiunei TP =1, vom ave radecinile equatiunei

T°P.1; assemenea, deca immultim radecinile acesteidin urma equatiuni prin alle equatiunei vom ob-tine radecinile equatiunei si acestea immultiteprin alle equatiunei f=1, ne vor da radecinile equa-tiunei epqr=r.1. C.C.T.D.

Essemplu. Se resolvam equatiunea*237 Punend in (3,* m=7, obtinem formula urmatore care

dh tote rad.ecinile equatiunei :

2kw 2kA.T=cos

dand lui k valorile 0,1,2,3, gassim radecinile equatiunei:

t=cos0°=1,2nel=cos +1/=1.

2nsin

2 n, T"1cos --V-71 sin2-7-r,

7 7 7 7

4n 4n 47r4 71;r= cos +1/-1 sin7-,

Tv =cos sin7 7 7

6n 6n 67r 6n=cos---FA/1--1. sin-7 , sin--.

7 7 7

Deca aplichm metoda pe la § 238 , vom aye, dupece voila divide equatiunea data fr-1=0 prin T-1=0;

T"Pg=1;

en=cos

t'

3=1,

.

7 7

RESOLUTIUNEA EQUATIUNEI B1NOME 299

Ts-FTs-FT4+Ts+Ts+T+1=0,

pre care divisandu-o cu

(e+314-k2+T12)+1T+T1)+1=0; (A)

punem aci .

1 1 1T72) T3+-= T73 ;

41'238 avem* :

T7.2=e+le.x2.____ 2,

V*3=T5+-1 .x8 3x,Ts

punend aceste valori in (A) si reducund obtinem equa-tiunea :

x3-1 x2 2x--1.0a carii solutiune generale este coprinsa in formula :

x.2 cos 24.7g7

Dand lui k valorile 1,2,3, avem :27: 477 ,,,x =2cos 67,x

7 7

Inse equatiunea T+1=x, dh :

.T2--Tx+1=0din care

2 x2i X

substituind pe rand in acesta equatiune valo.rile lui xgasite mai sus avem :

=2cos7

/2,

.


Til=cos22- V-7

=Cts--,1-FV-1

11.cos221=cos2n7 7

r=Cos 27n V(1 cos2--n s27; V-1 sin7 -2.,7 7

477r=cosT 47; 47,COS2i= COS-7 +V-1 sm--,7 '7

471 47, 47:sin-7V--(1cos2-7 = cos-TV-1 ,

671 67:.cos- 67,V(1 cos2-77

-1-\/-17

eit=cos-6-- cos267: =cos v sm--,67,

7 7 7 7

pe lunga cari adaogincl si radecina data de equa-*24 1 tia prin care am divisat equatia data*, gasim

tote radecinile aflate si prin prima metoda.

DESPRE POLIGONELE REGULATE.

242. Se luhm caA

essemplu circumferentia impartitain siepte parti egale. Deca u-nim punctele de dMsiune dinunul in unul seu din siesse insiesse, obtinem un poligon re-gulat inscris de siepte laturi,ABCDEFG ; in figura acestpoligon este insemnat cu tras-satura continua. Deca am uni

punetele de divisiune din doue in doue seu din cinci incinci, am obtine un alt poligon regulat de siepte laturi,

sin. 22n

. 2

7sin

7;

7

7

7

=c08-74n

7

7 ) 7

r=CosL7

T-1=0,

7

,

Tv

,

t=1

D E

POLTGONE 'REGULATE 30f

ACEGBDF, insemnat pê figura cu linii punctate. U-nind in fine punctele de divisiune alle circumferentieical trei in trei seu din patru in patru, vom forma unnou poligon regulat de siepte laturi, ADGCFBE, carein figura este insemnat cu linii si puncte. Aceste douedin urma se numesc poligone regulate radiate.

Ne putem lesne convinge ch ori-cum am uni alt-felpunctele de divisiune, nu putem obtine mai mult de cataceste trei poligone regulate de siepte laturi.

Fie inca circumferentia impartita in opt parti egale.Deca unim punctele de divisiu-n e din unul in unul seu din sieptein siepte, obtinem uti octogonregulat, ABCDEFGH, care infigura este insemnat cu trasa-tura continua. Unind punctelede divisiune din trei in trei seudin cinci in cinci, am obtine un

alt poligon regulat de opt laturi, ADGBEHCF, insem-nat infigura cu linii punctate. Acest din urma este un po-ligon radiat.

Aceste doue sunt singurele poligone regulate de optlaturi ce se pot forma ; caci deca am uni verfurile dindoue in doue seu din siesse in siesse, am obtine un poli-gon regulat de patru laturi, era nu de opt ; deca am univerfurile din patru in patru, poligonul s'ar reduce nu-mai la un diametru al circumferentiei.

Facund assemenea pentru circumferentia divisata inori-cate parti egale, vom nut6 stabili legea urmatore :sunt numai atatea poligone regulate de m laturi, cdte

numere prime cu m sunt mai mici de cdt . Asia esiste2

.

G

302 Ms DE TIUGONOMEM1A

patrii poligone regulate de 15 laturi, caci sunt patru

numere mai mici de cat 15 cari se fie prime cu 15, ,43i2

anume : 1,2.4,7.243. Problema divisiunei circumferentiei in m parti

egale depinde de resolutiunea algebrica a equatiuneibinome

*235 caci scim* el radecinile acestei equatiuni sunt date prinformula

2k7E 21c7rTcos +1/ ism

Inse 2In este drcul subintins de laturea poligonului

regulat care se formedia cand, circumferentia fiind di-visata in m parti egale, vom uni punctele de divisiunedin k in k. Deca dera vom cunosce valorea lui prinresolutiunea algebrica a equatiunei r=1, egaland a-

2kir 21ircesta valore cu cos--FV=1sin , vom puté cu-m ill 2kn

nosce liniile trigonometrice alle arcului si pe ur-m

ma chiar laturea poligonului regulat de m laturi.*241 Am vediut inca* eh deca m nu este un numer prim,

resolutiunea equatiunei r=1 pote se se reduca la re-solutiunea unor equatiuni de un grad mai Epic ; prin ur-mare in acest cas problema divisiunei circumferentieiin m parti egale se pote simplifica.

244. Divisiunea circumferentiei in trei si in siesse partiegale. A cesta problema depinde de resolutiunea alge-brica a equatiunei

in in

POUGONE REGULATE 303

-1. 0 ,

care divisata prin dh:

T+1.0.1Divisend cu si punend

x+1=0,din care

x=-1.Inse dupe formula (5)* radecina equatiunei x+1=0 *238

este data prin formula:

x=2cos-27E,3

seu( 27r 7L r/E nx=-2cos n---

3-----2cos-3=-2sini---

3=-2si n

n6 '

egaland acesta valore trigonometrica a lui x cu valo-rea sea algebrica, gasita mai sus, avem:

2sin 7g= 1,6

si 2sin:=2sin30° este laturea exagonului regulat in-

scris.%

Din

2sin-=16

avem:n 1

sin 6-=----;3 2

deci

*64

T-1=0


seu

2sin-7-r---2sin60°=ff.2

*64 Acesta este laturea trianghiului equilateral inscris.*215. Divisiunea circumferentiei in cinci si in diece

parti egale. Acesta problema depinde de resolutiuneaalgebrica a equatiunei

.T5-1=0.0 dividem prin

T-1=0,apoi prin si avem :

Punem1

de unde1

substituind aceste valori in equatiune si reducund,avem :

e+x-1=0. (a)

Radecinile acestei equatiuni sunt coprinse in formu-*23bla generala (5)*:

x.--2cos 27cm

5

in care dand lui k valorile 1 si 2,

,

sin!-41 1 =113 4 2'

e,

.

RESOLTJTIUNEA EQUATTUNET BINOME 305

.= 2sin7: 27t 7:x=2 cos. ?n ---)=.2sin,

5 2 5 10si

47: .-=2sin1 7: 47: . 37:2sm-10.x=2cos-5

2--.,- =

De alta parte radecinile algebrice alle equatiunei (a)sunt :

1 \/1 1+1/5--El.T,-Fx= ,4 4

si

1 \/1

si egaland radecinile algebrice cu celle trigonometrice,

2sin =2sin.18°= --110 2

/

si. .37c 1+6

.10 2

Acestea sunt valorile laturilor cellor doue poligoneregulate de diece laturi*; cea d'antaiu este laturea de *67cagonului ordinar, cea de a doua a decagonului radiatce se formedia unind punctele de divisiune alle circum-ferentiei din trei in trei.

Pentru a gasi laturile pentagonelor regulate , ye-dem eh

2= . . 3nsin2-t 7--`=cos, si sin=cos- ;10 510 5

deci97,-sin- -I-FVI

j)5

V. 0+21i5

=\/i_cos2n=\/1sin2`' =V1.(

5 102Q

5

4 4,

5 5 10

2 '


seu

2sin2n .1/10+215 2 ;

si

Vto-2V5\/1cos' sint3 = 1.110 4

43 I.5 4

seu

7, V10-212sn5--=

2sin =2sin72° si 2sin --1==2sin36° sunt laturile pen-5 5

tagonului regulat radiat si a pentagonuluiregulat ordi-nariu.

24 6. Divisiunea circumferentiei in cmci-spre-diece partiegale. Ea depind.e de resolutiunea algebrica a equa-tiunei

Inse fiind-ca 15-3X5, pentru a avea radecinile equa-tiunei n'avem de cat se immultim radecinileequatiunei

prin alle equatiunei*240 TI-1=0*.

Lasand la ua parte radecina reale T=1 , atal pentru./3-1=0 cat si pentru T"-1=0, radecinile lui -1= 0

*237,(3) sunt* :

cos-1L-±v=tsiniL.3 3

*244 Inse am gasit*

T15_1=0.

2

els= 0,

RESOLUT1UNEA EQUATIUNE1 BINOME 307

sin-2-t3 2

de unclen 1uva----='3 2 '

asia-dera aceste raclecini sunt :

si

cos-3 +V=Isin

cosj-/:::isin 1 ligV7Z

3 2 2

(a)

Assemenea, radecinile equatiunei T5-1=--0 sunt* : *23743)

27C 27csm

5

4.cos-+ f==1 4,sin cos 1`5 ---1-Visin5 5

Inse*

de unde

n 00-2V-6 2= 1/10+21/3-, sin5 4 5 4

7: V6+21/5-cos

5 4 '27r V6-21/5-cos5 4

Asia dera radecinile equatiunei T5-1=-0 sunt :n 7C _\/6+21/- + -V-

1V10-2vccos---1-1/-1 sin

55 4 47

V6+21 .-, \/10-2V5-cos--Vi sin 5\/6-21/5-±y--f \/10±21/cos.2-7=41/-1 sin27t-

5 5 4 4 'V6-2a v-i. V 1O+21/-

cos27` Y 1 sin27`5 5 4 4

(b)

*245

.L3,

1 I/7Sv_i3 3 2 2

v I

5

i

=

--

5 4

308 CURS DE TRTGONOMETRIA

Immultind radecinile (a) cu (b), avend in vedere for-*226 mulele (1), (ibis), (lter)*, vom obtine urmatorele ra-

decini alle equatiunei T15-1=-0 :

87w81.cos15 8

V=-1.+ (V3(8+2 /6)-1-V10-2 V5),

2n 2ircos lsin

15 V6+2 ,/-+V3(10-2V5))15 8

= ,

(V+V

8 3(6 +2n) -V1 2V41171; 1171: 1 (

V6-2V5-1/3(10+2V5))cos +V lsin15 15 8

_V5)+V.10+2/5,+

8V3(6-2

cosHi5-71+V-=Isin(--11)=--(81V6-2/-+-1130.0+2,/5))

v18

V (6-2/-1/103 t 2/5),271: - . 27c 1 (cos V ism15 15

= V6+2/5-0/3(10-2/5))8

V-1(V 3(0 -i-2v 5)-V10- 2v 5)8 ,

87r -V-1 sin 14cos

87r2/5-V3(10-2V-5115 15 8

V=18 1/3(6+2V-5)+1/10-2/4

cos(-- isin ----chi -2V 5 +1/3 (1 0+27))l 15i

-VIV3(6-2V-Y10+27-6),8

-1-r2isin (V6-1- 2 rV3(10-24))5

j_(

. 1

15)

1

RESOLUTIUNEA EQUATIUNEI BINOME 309

1171; . 117r 1cos-1515

.%/6-2V--4/3(101-2V-5-))8

V-1(8 (1/3(6-2.Vd-V10+2V-51

Inse. it .-i-d--_sm-f-.5; STE 77tCOs( COS :.); cos

87r 7nsin =sin cos

15 15'117r

--_.cos15

47c, sin15

117r

15

47r=sin.15

Apoi avem:

V6+2 r6=1 V6-2 V-5

-1/ 3(6+2 V )=Vi+V; V3(6Asia-dera radecinile de mai sus devin:

. Icos V3+ V3(10-1-21/3)15

--1r ,1710

-I 1/3 1/ 10-1-21/b}

8-t

+178(10+2 V5))cos11-1/..=-fsinT57E .18(1-1/g

+ 8-1 11/1-5. --1/5-1/1421/51,

cos 21: +1=isin215 .141+-1/1+1/3(10-2V"))

1/5+-1/ 1/10 21/518

cos 21:-1/-7=isin 21: --81-(1+1/-5-+ V3(10-2 Vg)

Wikf5-+1/g--- 1/10-2 1/51

-1(

t

8

15 15 b

-4--/L-1-1

15

15 15 15

--11/)=1/

15 8

)


cos4 7r

154--V-isin-41i--,-- 18

1/8-1(1/15-1/3-1-1/10+21/51

41: -(1-1/5--1/3(10+21/6) )

+ 1/8 11/175--1/8-+1/10+21/4

cos15

-1-1/ 711sin15 8

(1+ V-6-1/3(10-2 V5) )77r r77 1

V-8-1(1/1-F lrg +1/10-2 1/5 ),

cos77r Visin 7r 7 1

8(1+1/15 15 V3(10-2 -1/-) )

+1/-8-176+1/ +1/10-2 i/- )-Egaland quantitatile imaginarie din ambele membre

alle acestor egalitati si immultind de ambele parti cu2 avem, luand numai valorile positive :

2sinL-r -- 1 (VM15 4

2sin. (15 -Z

1/1-5- +1/a. V10-2 i/6),27r 1

2siu47----1 (Via-V.5 +1/10-1-21/415 4

471;cos ---Vism15

2 7n 1 (1/1-1.15 4

Cea d'antaiu din aceste equatiuni da, valorea latureipoligonului regulat ordinar de cinci-spre-diece laturi,ce11e-alte trei dau laturile poligonelor radiate de cinci-spre-diece laturi ce se formedia unind punctele de divi-siune alle circumferentiei din doue in doue, din patruin patru si din siepte in siepte.

3(10+21/0

-1/-, vi. -v-0+2 )'

+ + 1/- -1- V10-21/6).

15

I

_

--=C-1 '

CAP1TULTJL III.

DER1VAREA SI DESVOLTAREA IN SER1A A FUNCT1UN1LOR C1RCULARIE.

Derivata sinusului.

247. Derivata unei functiuni se numesce raportulcrescerii functiunei catre crescerea variabilei, cand a-ceste doue cresceri se apropia indefinit d.e zero.

Fie functiuneay.sinx. (1)

Dand variabilei x ua crescere ore-care h, functiuneay va Ina.si ea ua crescere ore-care lc, si equatiunea vadeveni

y+k--sin(x+h).

Scadiend. din acesta equatiune pe (1),

k.sin(x+h) sinx--AsinA-co4x+-1,2 2

si divisend de ambele parti cu h,

2sinhcos(x+h)k 2 2)

SOU

h Is


. hk 2 , hh h

cos xi-}2

2

Deca crescerea h a variabilei tinde catre zero, k fiind

crescerea functiunei, raportulk va tinde cittre derivata

y' a functiunei (1). Apoi cand h tinde catre zero, rapor-

*75tu1

sinmAe catre 1*, era factorul cos (.7c +-h catre cosx;

1. 2

prin urmare la limita vom aye :k =cosx.

Asia-dera derivata sinusului este cosinusul.

DERIVATA COS1NUSULIJI.

248. Fia equatiuneaY*--=-cosx.

Dand variabilei x crescerea h, functiunea va devenierasi :

= cos(x+h),din care scadiend pe cea precedinte si impartind cu h,

cos(x+ h)cosx 2sin-Ic 2 2

12

seusin-h--

2 hnixh k 1- 2 f

T

,==

k

y-)k

+A.)

DERIVAREA FLIP/MI.111110R C1RCULARIE 313

La limita, cand. h va deveni infinit de mic, acesta e-quatiune va deveni:

.1iin_.y1.sinx.k

hAsia-dera derivata cosinusului este sinusul luat cu sem-

nul contrariu.Se luam de mai multe ori derivatele suceesive alle

sinusului si alle cosinusului unui arc :

7.-- sinx,y'=cosx,y"= sinx,y"'------cosx,y"'------sinx,yvcosx,

y=cosx,r',--- - sinx,y"---- cosx,y1"---sinx,ylv---=cosx,

yv------siux,

Vedem dera ch derivatele sinusului si cosinusului sereproduc periodic din patru in patru.

DERIVATA TANGENTEI SI A COTANGENTEI.

249. Fie se se derivedie functiuneay=tgx.

Inlocuind pe tgx prin sinx avem :cosx

sinxy.cosx

Luand derivata acestei equatiuni, avencl in vedere ehmembrul al doilea este ua fractiune,

co 82x+ 8i112XYI-- 1

COS2X

si fiind eh coex-i-sin2x----1,


, 1

cos2xDeci derivata tangentei este inversa patratului cosi-

nusului.250. Assemenea, derivand. functiunea

co8xy=cotx=sinic'

avem:2/ sin x cos2x 1

Y_

sinax si112 ../C

Derivata cotangentei este egale cu inversa patratuluisinusului luata cu semnul contrariu.

DERIVATA SECANTEI SI COSECANTEI.

251. Avem functiunea:1y=secx= ,

cosxseu, dupe algebra,

y=(cosx)'.Derivam ambii membri, avend in vedere ca, cel de

al doilea este ua putere :

yi---(cosx)-2(sinx). sinxcos2 x

Derivata secantei este sinusul impartit cu patratul co-sinusului.

252. Derivand in acellasiu mod functiunea

y=cosecx= .1 .(sinx)-1,slnx

vom aye :

y'-=(sinx)-2cosx--------sco x

isin2x.

Y

DERIVAREA FUNCTIUNILOR CIRCULARIE 315

Derivata cosecantei este egale cu cosinusul impartit cupatratul sinusului Si luat cu semnul contrariu.

DERIVATELE FIINCTIUNILOR CIRCULARIE INVERSE

253. Egalitateay=arcsinx

se interpretedia ast-fel : y este arcul al carui sinus arevalorea x. ITa assemenea functiune se numesce functi-une circularia inversa prin opositiune cu celle ce amconsiderat pene acum.

Functiunea datay=arcsinx

pote dera se se scrie six= siny. (a)

Fie h si k crescerile respective alle lui x si y, adeca

a sinusului si a arcului. Am vediue eh raportul Li al *247k

acestor cresceri are de limita pe cosy; prin urmare ra-

portul inversk va aye de limita pe'

adeca1

h cosy,. k 1Illit =.-

h cosy

cosy=±1/1sin2y ;

si punend in locul lui siny valorea data de (a),

cosy=± V1x2.

Inse

Prin urmare

lim =y 1

h 111

,

.

*248


Padicalul va av6 semnul lui cosy,, in locul caruia afost pus; adeca deca arcul y se va termina in cadranulantaiu seu al patrulea, radicalul va fi positiv; era decase va termina in al doilea seu al treilea, va fi negativ.

25 Fie

care se pote scrie si

Insemnandcosiuusului si

y= arccosx,

x cosy. (b)erasi cu h si k crescerile respective allealle arcului, am vediut* eh

. h

prin urmare

Inse dupe (b)

asia-dera

, .11131

k 1

siny.

siny=±1/1 x2;

Jimk

V1 x2Radicalul va av6 semnul lui siny in locul caruia este

pus; adeca deca arcul se va termina in cadranul antaiuseu al doilea, radicalul va fi positiv; era deca se vatertnina in al treilea seu al patrulea, va fi negativ.

255. Se consideram functiuneay---arctgx,

seux=tgy.

*249 Luand. tot pe h si k drept crescerile respective allelui x si y, am vediut% eh

IC 1lim

ILc.,,,,s2y

4.

1.

DENVAREA FUNCTIUNILOR C1RCULARIE 317

de unde

lira411{..yl------cos2y.

Inse Seim* ch *3t

11cos2y-1-1-tey '

asia-dera, 1y ite

Assemenea am put6 gasi si pentruy=arceotxv

256. Fie

seu

Am gasit* cà

de unde

1t= 1+ x2

y=arcsecx,

x=secy.

hmh siny-k cosy

. k , cosyhm = .h sup"

*251

Inse scim* ca, *3 1

coey 1, 1, siny= _Vsec2y-1 Vx2-1

..=+ .seey x2 secy x

Asia dera1

X 2--LAssemenea, pentru y=arecosecx, am gasi :

1

XVX2-1

---

.y

'418 CURS DE TRIGONOMETR1A

DESVOLTAREA IN SERIA A LUI SINx SI COSx

Vora demonstra mai antaiu urmatorea teorema, carene va fi necessaria mai in urma.

257. Fund x un numer fix ore. care , ori-cdt de maream poi, si n un numer intreg variabile , quantitatea

tinde catre Tero deca n cresce la infinit.1.2.3 n

Fie p un numer intreg egal cu x seu immediat infe-rior lui x, si fie n>p; avem :

xn x x x x )[ x1.2 n11 2 3 p p+1 p+2

Daca vom neglige factorii x , totip+1 p+2 n--1'mai mici de cat 1, este evident ch vom av4 :

xn x xxn 1

x1.2 2 3 p n

Inse deca ii cresce la infinit, factorulx tinde catreIi

xzero, pe cand factorul(1

X )X remane fix; prin2

x x xurmare produsul total x I x va tinde ca-1 2 3 p n

xntre zero, si a fortiori quantitatea1.2

nva tinde catre

zero.258. Fie x un arc positiv mai mic de 90°. Avem :

1cosx>0. (a)Primul membru al acestei neegalitati este derivata

functiuneixsinx+C,

x"

x xn

xJ

.

DESVOLTAR1 IN SERIA 319

in care C este ua constanta ore-care ; caci derivand a-cesta din urma functiune, vom de peste 1cosx. Func-tiuneaxsinx+C se numesce functiunea primitiva afunctiunei 1cosx. Determinkm pe C cu conditiuneaca se avem

x sinx+ C=0,cand vom pune x=0 ; atunci 0=0, si functiunea se re-duce la

xsinx.Acesta functiune, anulandu-se pentru x=0 , este po-

sitiva ; si fiind-cA derivata sea1cosx

este positiva, dupe (a), ea merge crescund din ce in ce ;prin urmare

xsinx>0.Primul membru al acestei neegalitati este derivata

functiuneiXI

Cosx-FO,1.2

C fiind ua constanta pe care o determinhm cu conditiaca se avem:

X2

1 2.+cosx+C=0,

pentru x=0; atunci 0=-1, si functiunea se reduce lax21+1.2

+cosx.

Acesta functiune se anuledia pentru x= 0 ; derivatasea xsinx este positiva ; deci functiunea este positivasi merge crescund din ce in ce ; avem dera :

x91+1.2

-F

+cosx>0.

RepetAm indefinit aceste operatiuni, luand. functiu-nea primitiva a membrului antaiu, si determinand ne-incetat constanta arbitraria cu conditiune ca acestafunctiune primitiva se se anuledie pentru XO. Vomobtine ast-fel urmatorul sir de neegalitati:

1 cosx>0,xS111X>O,

259. Din aceste neegalitati scotem:cosx<1,

2

COSX>1 x ,1.2

X2 X4

1.2 1.2.3.11

(A)

2.2COSX>1 +

2

1.2

x4

4

1.2.3.4 1.2...2n'x 2n X2114-2

1.2 1.2.3.4-4- ----T1.2...2n 1 2....(2n+2)

Prin urmare, deca Consideram sera2 6X

41 x + X+.

1.2 1.2.3.4 1.2.3.4.5.6

12

1+.15---2-+cosx>0,

31.2.smx>0,

1

xs x412

+ COSX>0)1241...3.X X X6 --sinx>0,1-1.2.3+1.2.3.4.5

cosx<1_.

X2nCOSX<1 X +

+

DESVOLTAR1 IN SERIA 321

x2n x2n+ 2

T2n1.2....(2n+2)'+ 1.2...vedem ca cosx este coprins intre suma cellor d'antaiun+1 termeni si intre suma cellor d'antaiu n+2 termeni;prin -urmare valorea esacta a lu cosx va fi egale cu su-ma celor d'antaiu n+ 1 termeni, plus ua fractiune' dintermenul al (n+2) ; vom aye dera :

x2 x4 X2n en +2COSX=1 -h 0 , (1)

1.2 1.2.3.1 1.2...2nR7

in care o este un numer mai mic de cat 1, ales ast-felx2n -I- 2

incat quantitateao1 2 (2n+2)'

adaogita la suma cel-.....lor d'antaiu n+1 termeni ai seriei, se ne dee valoreaesacta a lui cosx.

Inse cand n cresce la infinit, quantitatea1.2...(2n+2)

tinde catre zere; si prin urmare la limita cand n=cc , *257

vom aye :

X2n-F2

X2 X4 X6co:MX=1 ++ , (2)

1.2 1.2.3.1 1.2.3.4.5.6seria convergenta care dh pe cosx.

Acesta formula am demonstrat-o in hipotese chx>0;inse ea subsiste si pentru x<0 ; caci cos(x)=cosx; sifiind-ch membrul al doilea coprinde numai puteri cu so -

tin able lui x, scambarea semnului lui x nu va aduce niciua scambare in semnele termenilor desvoltarii:

260. Din neegalitatile (A) deducem inca:x

xs

1 1.2.3'21,

sinx>

.

_

x x x5

1.2.3.4.5 '

x x3 x5 .x2n4-1sinx<

11.2.3 + 1.2.3.4.5 1.2,...(2n +1)

x x3 x5 x2n + 1 X 2n ± 3

SinX 1 1.2.3+ 1.2.3.4.5 1.2..(2n1-1)-T1.2..(2n+ 3)Considerand seria

X X3 X5 x2n+ 1 X2n + 3

1 1.2.3+ 1.2.3.4.5 --.±1.2..(2n-1-1)-71.2..(2n+3)'vedem dera eh sinx este coprins intre suma cellor d'an-taiu n+1 termeni si intre suma calor d'antaiu n+2termeni; dsia-dera valorea esacta a lui sinx este egale

. cu suma cellor d'antaiu n+1 termeni, plus ua fractiu-ne din al (n + 2) termen ; adeca :

x xs1.2.3+

X6

1.2 3.4.5

.x2n-i- 1 x.2n± 3

S1nX-1 ±1.2..(2n1)7°1.2..(2n+3)(3)6 fiind un numer mai mic de cat 1 ales ast-fel hack sejustifice equatia Deca inse n cresce la infinit, termenul

X2n 3

*257 tinde catre asia-dera la limita, cand1.2..(2n+3)n= cc , avem :

X X5 X7SinX-=

1 1.2.3+1.2.3.4.5 1.2 ..... 7+ (4)

Acesta formula a fost stabilita pentru x>0 ; ea esisteinse si pentru x<0. In adever, punend in (4) in kc dex pe x, semnele totor termenilor se vor scamba ; im-multind apoi tota equatiunea cu 1, vom regasi totequatia (4).

Formulele (2) si (4) ne pot da valorea sinusului sicosinusului ori-carui arc coprins intre 900 si +90°cu ua aprowimatiune ori-cat de mare vom voi.

zero*,

sin.<1 1.2.3

DESVOLTARI IN SERIA 323

DESVOLTAREA IN SERIA A LUI ARCTGx

261. Vora presupune pe x mai mic de cat 1 seu egalcu 1, si positiv.

Derivata functiunei arctgx este* *255

1

1 -F,X21Efectuand divisiunea indicata in espressiunea 1+edobandim :

1

1+x2±x2nT_X2n+2

1 X2+X4 X6 + X8

en+2esprime restul ce a remas dupe a (n +1) diviiiune.

Din acesta equatiune avem :1 (1--x2d-x4x6+

1+x2(a)

Functiunea primitiva a primului membru, pe care oinsemram cu Y, este :

( X X3 x5 x7 x2.4.1

1 3 5 7, (b)

2n+1i acesta functiuney vedem ch se anuledia deca

Primul membru al equatiunei (a), derivata a functiuneiy, se pote dera insenma cuY', si acea equatiune se potescrie mai simplu :

1 ±x2x2n+ 2Quantitateal+x2 este positiva ,

cat puteri cu sotiu alle lui x; apoix2n-I-2

<x2i2+2;1 +X2

(c)

caci nu coprinde de

prin urmare y' fiind. egal cu-+ 2

lx +2n a:2dupe (c), avem :

9

-1-Xan )=-T-1+ x2.

z2n-f_2

+x=0.

en+2

yi<x2n+2, de unde : en+2 <0

Derivata y' a functiunei y este positiva ; prin urmarey eresee deca cresee x; si fiind-ch y' se anuledia pentrux=0, y va av4 valori positive din ce in ce mai mari encat va eresee x. Din contra, functiunea

x211-1-3

avend derivata seayi_x2n 2

negativa, descresee eu eat cresce x ; si fiind-chsi acestafunctiune se anuledia pentru x=0, ea are valori nega-tive din ce in ce mai maH cu cat cresce x; prin urmarevom av6 tot-de-una :

X2n+3

2n+3 O'seu

y< x2n+s

2n+3 ;

n+3fiind mai mic de eat xA vom put6 gasi un numer2n+3'

ore-care 0, mai mic de cat 1, ast-fel in catxan-Fiy.2n+3.

Punend acesta valore in (b) si trecund parentesufdinmembrul al doilea in membrul cel-alt, vom aye :

6 Xfn+1 X2n+3aretgx=1-c ± 2n+1 2n+3*1 3 5

Inse d.eca n cresce la infinit, termenul 02n-F2

tinde .

catre zero*; prin urmare la limita , cand n=cc , avem :

yi

'

X3.

xfIn+3

*257

y'>0,

Y

y

DESVOLTARI IN SERIA 325

arctgx.r.Lc1 3 5 7

(5)

In acesta demonstrati e. am presupus pe x positiv;inse formula (5) convine si in casul cand x este nega-tiv ; cad atunci arctgx devine negativ, si toti termeniidin membrul al doilea, cari coprind numai puteri forasotiu alle lui x, si vor scamba si ei semnul. Deca deravom immulti tota equatiunea cu 1 , vom regasi for-mula (5). Prin urmare acesta formula ne pote da arcul

carui tangenta este cunoscuta, tot-de-una cand acestatangenta este coprinsa intrd 1 si +1 inclusiv.

CALCULUL LUI

262. Formula (5) ne pote da mediul de a calcula ra-portul circumferentiei catre diametru, raport care scimcA se insemnedia cu r.

10. Arcul 45°.--ZL scim ch are de tangenta pe1%;pu *654

nend aceste valori in (5), avem :

1 1 1

4 3 5 7

seria care ne pote da pe r.in30°--2°. Arcul6

are de tangenta pe 1*. Aceste Ira-*64

lori, introduse in (5), dau seria :

n 1 1 1 1

3(1/3fl-505 ---7(/3)7+-

1pe,si punend factor comun,-1/ 3

a

v.

.,

+ +

n 1-

6 1/3


7( 1 ,2-_---.-_-( 1.-- 1 1 1

6)

-I-),

V3 3.3 -1-- 5.32 7.32

seria mai converginte de cat cea precedinte, care nepote da pe 7r.

APENDICE.-TEOREMI LUI LEGENDRE.

263. Deca laturile unui trianghiu sferic sunt fortemici in raport cu radia sferei pe care este situat acesttrianghiu, putem fora nici ua erore apretiabile se calcu-lam, in loc de elementele trianghiului sferic, elementeleunui trianghiu rectiliniu, alle carui laturi se fie egale culaturile trianghiului sferzc, era anghiurile lui se fie egalecu anghiurile trianghiului sfericmicsiorate fie-care cu atreia parte a escesului sferic. Suprafetiele acestor douetrianghiuri sunt si elle egale.

A Fie trianghiul sferic ABC pus peua sfera cu centrul in 0, a carii radia

i , 0Ar este forte mare in raport cu la-. I turile a,b,c, all6 trianghiului. Consi-

..... der si trianghiul rectiliniu A'B'C', al-le carui laturi sunt egale cu laturiletrianghiului sferic.

, Ne imaginhm ua alta sfera, tot cu cen-trul in 0 si cu radia 1 ; acesta sfera, ta-iata de planele AOB, BOC, COA, va datrianghiul sferic A,B,C, alle carui an-

sunt egale cu alle trianghiului sferic dat, ad,eca :ghinri

.

A'

o

o'


Cat pentru laturi, avem relatiunile:a, 1 b, 1 e, 1arbrc

din caria

Trianghiul A1B1C,, care se afla pe ua sfera cu radia*158 1 , dà :

cosaf.--cosb,cosecFsinbisincicosAsi inlocuind pe cu valorile lor,

a b c . b . cCOS=COS--- cos-+ sm-sm-cosA.r r r r

In

*259,(2)sin_b260,(4) r'

a b cacesta equatiune putem inlocui pe cos-,cos -,cos-,

7' r r-sinc

r-,cu desvoltarile l or

1in serii*, si fiind-chre

ste

forte mic, vom neglige termenii in cari acesta quanti-tate va intra la ua putere mai mare de cat a patra:

a2 a 4 b2 b 4 c2 C4 11- + 1- -2r2 24?-4 2r2

I-2r2 24r4)

+1b 1,3 )(c c8 )cosA.r Gr r Gr2

Efectuam immultirile, negligiend erasi termenii ce

centin pe la ua putere mai mare de a patra :b2 c2 b4

j.-2r21- 2 47.41-= 1 27-2 2r2+24r4+ 2 473 1- 4r4

( bc be' b3c)+ COSAr2 6r" 67-4

Trecund in un membru pe toti termenii ce nu con-tin pe cosA si facund reducerile,

a1,b1,c1,A1,

+

104 b2c2a4

CcC.

b ck=;:,

r

+

TEORENIA LTJL LEGENDRE 329

bc r 1b2+1cosAb2+c2a2b41' c4...._424+6b2c2

,/-721% 6r2 2r2 24r4

si divisend cu confactorul lui cosA,b2+c2a2 /A+ c 4 a4+ 6 b2c2

cosA= 2r2 24r4M _b2 c21

6r2

Immultim ambii termeni ai fractiunei cu 1+ b2-Fcs;

6r2avem :

cosA=

b2+c2--a2 e+ a4+ 6b2c2

2r2 24r4(1+ b267--2c2).be 11

r 2.

b2+ c2 21

6r2

Termenul '2 I), care se afla la numitorul fractiu -6r

1nei, vedem ca, va coprinde pe la a patra putere du-

pe ce vom efectua ridicarea la patrat ; si fiind immul-betit inca cu factorul lu va coprinde la a siessea pu-r2'

tere ; prin urmare acel term en se pote neglige, dupeconventiunea ce am facut.

Facund immultirea numeratorului fractiunei cu pa-

rentesul (1-Fb2+1, si continuand de a neglige terme-6r2

1patrulea .nii de un grad mai mare de cat al avem:

b2±0_42 b4+c4r2b2c2a2b2a2c2 b4+ c4d+6b2c2

2r2 12r4 24r'cosA

seu mai simplu,

bcr2

)

c

r


b2, e2_ a2 ce+b4+c4_2a2b2_2a2c2._ 2b2e2cosA '2r' . (1)

24bcr2Trianghiul rectiliniu A'B'C' dh :

a2=b2+c2 2bccosA',de uncle

cosA'= 122+0 ce2 b c

Inse

(2)

co s'A' ;

substituind aci valorea lui cos2A, dedusa din (2), si fa-cund reducerile, gassim :

2 a2b2+.2 a2c2+ 2b2c2a4b4_ c4

2b2c2

Immultim ambii membri cubc :6 r2

bcsinA' +1)4 +c4 2 a2b2 2a2c2-2b2c2(3)6r2 24bcr2

Comparand equatiunile (2) si (3) cu (1), veclem chprima fractiune din membrul al doilea al equatiunei (1)este identica cu cea din membrul al doilea de la (2);era a doua fractiune din (1) este identica cu cea din(3); prin urmare :

cosAcoskbcsin'A' (4)6r2

insemnam cu x diferentia intre anghiul A si A', adecaAA'=x

7 (5)de aci

cosA= cos(A'+x)=cosA'cosx sinA' sinx ;si fiind.-ca x este forte mic, putem inlocui pe cosx si

*259,260 sina; prin desvoltarile kr in seria* oprindu-ne la pH-mul termen al desvoltarii, si atunci

2r2

sin2A'=1

+

TEOREMA LII1 LEGENDRE 331

cosA.---cosA' xsinA'.Comparand equatiunile (4) si (6) avem ;

bcsin'A'6r2

(6)

si fiindcàbcsinA'=S', suprafatia trianghiului rectiliniu,2

S'X3r2.

Punend acesta valore in (5) avem :'SA'A (a)

37-2

Lucrand assemenea si pentru celle-alte anghiuri, amobtine assemenea :

S'3.2

CIC-37-2

Adunand aceste trei equatiuni una cu alta,S'Cr2

si fiind-ch

avem :

inse

deci

seu

.1V-F-B'-FC'=180°,

S'=A+B+C-180';r2

A+B-I-C-180°--e;

SI

r 2

(b)

(c)

(7)

S'

,

,

C=A4-B+


S' E_-..--.

3 r2 3

Acesta valore fiind pusa in equatiunile (a), (b), (c),ne dh :

A'=A' --6 B' =B 8, C'= C 8, (A)3 3 3

adeca anghiurile trianghiului rectiliniu ce are acelleasilaturi ca si trianghiul sferic, sunt egale cu anghiurileacestui trianghiu sferic, micsiorate fie-care cu a treiaparte a escesului sferic. Prima parte a teoremei estedemonstrata.

Equatiunea (7) da, escesul sferic prin raportul arculuicatre radia; pentru a gasi espressiunea lui in grade

. S'minute si secunde, trebue se impartim valorea

*76 data de acea equatiune, prin sinl"*, si atunciS' a

r2sinl" '

de undeS'---esin1".r2

(8)

Acesta valore punendu-o in (a), (b), (c), obtinem :

A'-----Aesinl", R--=Besinln , C'C Esinl"3 3 3

Equatiunea (8) ne dh inca :S'=r2esin1".

*219 Inse suprafatia S a trianghiului sferic este* :S=7-2esin1";

S+S' ;suprafetiele ambelor trianghiuri sunt dera egale, cea cecompletedia demonstratiunea teoremei nostre.

deci

TEORVIA LUI LEGENDRE 333

Teorema lui Legendre inlesnesce forte mult opera-tiunile geodesice. In adever, radia pamentului este de6377398 metre , pe cand cel mai mare trianghiu geo_desic nu pote aye laturi mai mari de cat cel mult 40000metre ; trianghiurile geodesice dera , caH in realitatesunt trianghiuri sferice, pot fi tratate ca trianghiurirec-tilinie cu ajutorul teoremei lui Legendre.

Essemplu. R adi a p am entului fiind r=3266330 stan-jeni francesi, laturea AB a unui trianghiu de pe supra-fatia pamentului este de 56559st ; anghiul A estede 78°4'9",53; anghiul B de 59°50'53",40, si anghiul Cde 42°5'36",07:

Facund suma acestor anghiuri, se gasesce :A+B+C=180°0'39",00 ;

prin urmare

E=39", i=13".

Deci in loc de a resolve trianghiul sferic ABC, putemresolve un trianghiu "rectiliniu A'B'C', in care latureaA'B' se fie tot de 56559st ',04, era anghiurile se fieensesi anghiurile tringhiului sferic, micsiorate fie carecu cate 13", adeca : k=78°3'56'',53; B'=59°50'40",40C'=42,°5'2311,07. Se gasesce ast-fel :

72960st. fr.,00; B'C'=BC=82555st

FINE

A'C'=AC0,62.

TABLA DE MATERII

PAG.

Prefatia 5

CARTEA I.

Studiul functiunilor circularieCANTIMUL I. Notiuni preliniinarii si cleftnitiuni , . 7

Principiul lui Descartes, pag. 9. Aireurile de care, p. 10. ilreuricomplemeutarie si suplementarie, p 11. -.<1/4Liniile trigonometrice p.12.-- Sinus, p. 12. Tangents, p. 15. Secanta, p. 17. Cosinus, p.19. Cotangents, p. 21. Cosecants, p. 23. Liniile trigonometrieeails arcelor egali si de semne contrarie, p. 25. Liniile trigonome-trice alle arcelor suplementarie, p. 27. Liniile trigonometrice alleareelor cari difera intre elle cu ua semi-circumferentia, p. 28. Re-ducerea arcelor la primul cadran, p. 30. Arcele cari corespund laua linia trigonometrica data, p. 31.

CAPiTIMUL IL Formule fundamentale - 35Relatiuni intre liniile trigonometrice alle aceluiasiu are, p. 35.Tor-mule correlative, p. 37.Aditiunea areelor, p.44. Immultirea arcs-lor, p. 52. Divisiunea arcelor, p. 51. Formule calculabile prin lo_garitmi, p. 59. Metode generali pentru a face espressiunile calcula-bile prin logaritmi, p. 67. Liniile trigonometrice a cator-va arcuri,p. 73.

CAPITULIIL IN. Table trigonometrice 77Calculul sinusului si cosinusului arcului de 10", p. 82. Tablele luiCallet, p. 86. Usul tablelor, p. 91.

CARTEA II.

Trigonometrin rectiliniaCAPITULIIL I. Proprietatile trianghiurilor rectilinii 102

Trianghinri dreptanghie, p. 102. Trianghiuri orecari sen oblic-an-

'

TABLA DE MATERI1 ij

PA.G.

ghie, p. 105 - Anghiuri in functiune de laturi, p. 111...- Suprafatiatrianghmlui, p. 116. - Radia cercului circumscris, p. 120. - Radiacercului inscris. p. 121.- Radiele eerenrilor exinscrise, p. 122.

CAPITTULM, II. Resolutiunea trianglaurilor 128Trianghinrile dreptanghie, p. 128.-Verificatiuni, p. 131 -Essemple,p. 132.-Reso1ntiunea trianghiurilor oreeari seu oblicanghie, p.134.-Essemple, p. 143.

CANTULUL 111. Esercitii si aplicatiui 151CAte-va casuri de resolutiuni de trianghiuri in cari se dau nu trei e-lemente, ci trei combinatiuni alle acestor ellemente, p. 151. - Ope-ratiuni pe pament, p. 16% - Triangulatinne, p. 167. - Calculul dis-tantielor, p. 169.- Calculul inaltimilor, p. 170.- Questiuni diverse,p. 172

CARTEA III.

Trigonometria sferleaCAPITULIIL I .Proprietatile trianghiurilor sferice I 78

Relatiuni intre celle trei laturi si un anghiu, p. 181.- Relatiuni mtr edoue laturi si anghiurile opuse, p. 184 - Relatiuni intro dOue laturianghiul coprins intre elle si anghiul opus la una din elle, p. 185. -Relatiuni intre ua lature si celle trei angh'uri, p. 186. - Formule re_lative la trianghiurile dreptanghie, p. 187.- Formule relative la tri-anghiurile rectilaterali, p 195.- Formula ealculabile prin logaritmieari dau anghiurile in functiune de laturi, p. 197.- Formule calcula-bile prin logaritmi cari dau laturile in functiune de anghiuri, p.200 -Formulele lui Delambre. p. 203. - Analogiile lui Napier, p 205.Espressiuni diverse alle escesului sferic, P. 206.- Radia cereului cir-cumscris, p. 209.-Radia cercului inscris, p. 211.-Radiele cercnrilorexinscrise, p. 212.

CAPITIILIIL II. Resolutiunea trianghiurilor sferice 214Resolutiunea trianghiurilor dreptanghie, p. 215.-Essemple, p. 221.-Resolutiunea trianghiurilor rectilaterali, p. 228.-Resolutiunea trian-ghiurilor ore-cari. p 233.- Essemple, p. 248 - Espressiunea in lun-gime a laturilor, p. 259.- Suprafatia unui trianghiu sferic, p. 260.

CAPrrniTh ILL Esercitii si aplicatiuni 262

CARTEA IV.

Complementul teoriel functiunllor cireularleCAPITULTIL I. Immultirea si impartirea arcelor 268

Espressiuni imaginarie. P. 268. - Formula lui Moivre, p. 270. - Im-multirea arcelor, p. 272.- Divisiunea arcelor, p. 276.- Espressiunea

TABLA DE MATER]]

PA G.

lui sin'° a si pos.' a in functiune de sinusele si cosinusele multiplilorareulni, p. 283.

CAP1TDLBL II. Resolutiunea eguatiunei binome zu=1 si roligonele re-gulate. . . . , 291Resolutiunea equatiunei binome =1, p. 291. Proprietatile rade-cinilor equatiunei sm =1, p. 298.Despre poligonele regulate p.300.

CAPHIMIIL III Derivarea si desvoltarea in seria a fan ctiunilor eireu-larie 311Derivata sinusului, p. 311. Derivata cosinusului, p. 312.. Derivatatangentei si a cotangentei, p. 313. Derivata secantei si a Coseean-tei, p. 314. Derivata functiunilor circularie inverse, p. 315. Des-voltarea in seria a lui sinx si coax, p. 318. Desvoltarea in seria alui aretgx, p. 323. Caleolul lui i, p. 325.

APENDla. Teorema lui Legendre 327Tabla de materii 334

ERRATAFormula de la pag. 80 randul 3 se se numerotedie (2).Figura de la pag. 233 se se inlocuiasea eu cea de la pag. 182.Formula de la pag. 288 randul 7 se se numerotedie (4).

sm

UI

trigoometria - · pdf filesecurantia generalitatea unei formule, tot va trebui a ... sinus,...

Documents