funcţia sinus 1,1 t=2 - gcotfas.files.wordpress.com · tabel de valori: graficul func ... pentru...

T R

A I A

N

3

Funcţia sinus sin : 1,1 este periodică (perioada principală T=2 ), impară, mărginită.

Restricția sin : , 1,12 2

este bijectivă și inversa ei este arcsin : 1,1 ,

2 2

Graficul

Funcţia arcsinus

arcsin : 1,1 ,2 2

este impară, mărginită, bijectivă, strict crescătoare.

arcsin sin , ,2 2

x x x

sin sin , 1,1arc x x x

arcsin arcsinx x

Tabel de valori:

Graficul

Funcţia cosinus cos : 1,1 este periodică (perioada principală T=2 ), pară, mărginită.

T R

A I A

N

4

Restricția cos : 0, 1,1 este bijectivă și inversa ei este arccos : 1,1 0,

Graficul

Funcţia arccosinus arccos : 1,1 0, mărginită, bijectivă, strict decrescătoare.

arccos cos , 0,x x x

cos arccos , 1,1x x x

arccos arccosx x

Tabel de valori:

Graficul

Funcţia tangentă

tg: \ ;2

k k

este periodică (perioada principală T= ), impară, nemărginită.

Restricția tg : ,2 2

este bijectivă și inversa ei este : ,2 2

arctg

Graficul

T R

A I A

N

5

Funcţia arctangentă

: ,2 2

arctg

este impară, mărginită, bijectivă, strict crescătoare.

arc , ,2 2

tg tgx x x

,tg arctgx x x

arc arctg x tgx

Tabel de valori:

Grafic

T R

A I A

N

6

Observație: graficele sunt simetrice față de prima bisectoare

Funcţia cotangentă ctg: \ ; .k k este periodică (perioada principală T= ), impară, nemărginită.

Restricția ctg : 0, este bijectivă și inversa ei este : 0,arcctg

Graficul

Funcţia arccotangentă

: 0,arcctg mărginită, bijectivă, strict descrescătoare.

arc , 0,ctg ctgx x x

,ctg arcctgx x x

arc arcctg x ctgx

T R

A I A

N

7

Tabel de valori:

1 0

Grafic

Observație: graficele sunt simetrice față de prima bisectoare

T R

A I A

N

8

Ecuații:

. .: 1,1

. .: 1,1

sin , ,2 2

sin

, ,2 2

cos , 0,arccos

, 0,

, ,2 2

, ,2 2

, 0,

, 0,

C E x

C E x

x a a

arc x a

x a

x a ax a

x a

x tga a

arctgx a

x a

x ctga aarctgx a

x a

Ecuații trigonometrice fundamentale:

sin 1 22

sin 0

sin 1 22

cos 1 2

cos 02

cos 1 2

x x k

x x k

x x k

x x k

x x k

x x k

1 arcsin / , 1,1sin

, 1,1

arccos 2 / , 1,1sin

, 1,1

/ , cos 0

/ , sin 0

kx a k k a

x ax a

x a k k ax a

x a

tgx a x arctga k k x

ctgx a x arcctga k k x

sin sin 2 2 1

cos cos 2 2

x y x y k sau x y k

x y x y k sau x y k

tgx tgy x y k

ctgx ctgy x y k

Pentru ecuaţiile de tipul sin cosa x b x c înmulţim egalitatea cu2 2

1

a b şi înlocuim

numerele obţinute cu sin respectiv cos, transformând apoi în formula sin sau

cos

T R

A I A

N

9

Ecuația se mai poate rezolva folosind identitatea fundamentală sau inlocuirea în funcție de 2

xtg

Exerciţii:

1. Calculați:

a) ) sin 0i arc ) sin1ii arc 1

) sin2

iii arc

b) 1

) sin2

i arc 3

) sin2

ii arc 1

) sin2

iii arc

c) 2

) sin2

i arc

3

) sin2 3

ii arc

) sin 1iii arc

2. Calculați:

a) ) arccos0i ) arccos1ii 1

) arccos2

iii

b) 1

) arccos2

i 3

) arccos2

ii 1

) arccos2

iii

c) 2

) arccos2

i

3

) arccos2 3

ii

) arccos 1iii

3. Calculați:

a) ) arc 0i tg ) arc 1ii tg 1

) arc3

iii tg

b) ) arc 3i tg ) arc 1ii tg 3

) arc3

iii tg

c) ) arc 3i tg 5

) arc15

ii tg

18

) arc6

iii tg

4. Calculați:

a) ) arc 0i ctg ) arc 1ii ctg 1

) arc3

iii ctg

b) ) arc 3i ctg ) arc 1ii ctg 3

) arc3

iii ctg

c) ) arc 3i ctg 7

) arc21

ii ctg

15

) arc5

iii ctg

5. Calculați:

a) ) sin arcsin 0i ) sin sin1ii arc 1

) sin sin2

iii arc

T R

A I A

N

10

b) 1

) sin sin2

i arc 3

) sin sin2

ii arc 1

) sin sin2

iii arc

c) 2

) sin sin2

i arc

3

) sin sin2 3

ii arc

) sin sin 1iii arc

6. Calculați:

a) ) cosarccos0i ) cosarccos1ii 1

) cosarccos2

iii

b) 1

) cosarccos2

i 3

) cosarccos2

ii 1

)cosarccos2

iii

c) 2

) cosarccos2

i

3

) cosarccos2 3

ii

) cosarccos 1iii

7. Calculați:

a) ) arc 0i tg tg ) arc 1ii tg tg 1

) arc3

iii tg tg

b) ) arc 3i tg tg ) arc 1ii tg tg 3

) arc3

iii tg tg

c) ) arc 3i tg tg 5

) arc15

ii tg tg

18

) arc6

iii tg tg

8. Calculați:

a) ) arc 0i ctg ctg ) arc 1ii ctg ctg 1

) arc3

iii ctg ctg

b) ) arc 3i ctg ctg ) arc 1ii ctg ctg 3

) arc3

iii ctg ctg

c) ) arc 3i ctg ctg 7

) arc21

ii ctg ctg

15

) arc5

iii ctg ctg

9. Calculați:

a) 1

) sin arccos2

i 2

) sin arccos2

ii 3

) sin arccos2

iii

b) ) sin 1i arctg 1

) sin3

ii arctg

) sin 3iii arctg

c) ) sin 1i arcctg 1

) sin3

ii arcctg ) sin 3iii arcctg

10. Calculați:

a) 1

) cosarcsin2

i 2

) cosarcsin2

ii 3

) cosarcsin2

iii

T R

A I A

N

11

b) ) cos 1i arctg 1

) cos3

ii arctg

) cos 3iii arctg

c) ) cos 1i arcctg 1

) cos3

ii arcctg ) cos 3iii arcctg

11. Calculați:

a) 1

) arcsin2

i tg

2

) arcsin2

ii tg

3

) arcsin2

iii tg

b) ) arccos1i tg 1

) arccos2

ii tg 1

) arccos2

iii tg

c) ) 1i tgarcctg 1

)3

ii tgarcctg ) 3iii tgarcctg

12. Calculați:

a) 1

) arcsin2

i ctg

2

) arcsin2

ii ctg

3

) arcsin2

iii ctg

b) ) arccos1i ctg 1

) arccos2

ii ctg 1

) arccos2

iii ctg

c) ) 1i ctgarctg 1

)3

ii ctgarctg ) 3iii ctgarctg

13. Calculați:

a) 3

) sin arccos5

i 4

) sin arccos5

ii 5

) sin arccos13

iii

b) 1

) sin2

i arctg 1

) sin3

ii arctg ) sin 5iii arctg

c) 1

) sin2

i arcctg 1

) sin5

ii arcctg ) sin 2iii arcctg

14. Calculați:

a) 4

) cosarcsin5

i 3

) cosarcsin5

ii 12

) cosarcsin13

iii

b) 1

) cos2

i arctg 1

) cos3

ii arctg ) cos 2iii arctg

c) ) cos 2i arcctg 1

) cos4

ii arcctg ) cos 2iii arcctg

15. Calculați:

a) 3

) arcsin5

i tg 4

) arcsin5

ii tg 12

) arcsin13

iii tg

b) 3

) arccos5

i tg 4

) arccos5

ii tg 5

) arccos12

iii tg

c) ) 2i tgarcctg 1

)2

ii tgarcctg ) 5iii tgarcctg

T R

A I A

N

12

16. Calculați:

a) 3

) arcsin5

i ctg 4

) arcsin5

ii ctg 5

) arcsin13

iii ctg

b) 4

) arccos5

i ctg 3

) arccos5

ii ctg 12

) arccos13

iii ctg

c) ) 2i ctgarctg 1

)2

ii ctgarctg ) 6iii ctgarctg

17. Calculați:

a) 3 4

) sin arcsin arcsin5 5

i

5 12

) sin arccos arccos13 13

ii

b) 1

) sin 2arcsin3

i

1

) sin 3arcsin4

ii

c) 3

) sin 2arccos4

i

4

) sin 3arccos5

ii

18. Calculați:

a) 3 4

) cos arccos arccos5 5

i

5 12

) cos arccos arccos13 13

ii

b) 3

) cos 2arccos4

i

4

) cos 3arccos5

ii

c) 1

) cos 2arcsin3

i

1

) cos 3arcsin4

ii

19. Determinați o formulă algebrică și precizați domeniul de existență pentru fiecare expresie : a) ) sin arcsini x ) sin arccosii x ) sin arciii tgx

b) ) sin arci ctgx ) sin sinii arc x ) sin cosiii arc x

c) ) arcsini tgx ) arcsinii ctgx )iii

20. Determinați o formulă algebrică și precizați domeniul de existență pentru fiecare expresie : a) ) cos arcsini x ) cos arccosii x ) cos arciii tgx

b) ) cos arci ctgx ) cos sinii arc x ) cos cosiii arc x

c) ) arccosi tgx ) arccosii ctgx )iii

21. Determinați o formulă algebrică și precizați domeniul de existență pentru fiecare expresie : a) ) arcsini tg x ) arccosii tg x ) arciii tg tgx

b) ) arci tg ctgx ) sinii arctg x ) cosiii arctg x

c) ) arci tg tgx ) arcii tg ctgx )iii

22. Determinați o formulă algebrică și precizați domeniul de existență pentru fiecare expresie : a) ) arcsini ctg x ) arccosii ctg x ) arciii ctg tgx

T R

A I A

N

13

b) ) arci ctg ctgx ) sinii arcctg x ) cosiii arcctg x

c) ) arci ctg tgx ) arcii ctg ctgx )iii

23. Arătați că :

a) 3 3

) arcsin arccos5 5 2

i

5 12

) arcsin arcsin13 13 2

i

b) 12 12


i

4 3

) arccos arccos5 5 2

i

c) 1 1


i

1 2 2

) arccos arccos3 3 2

i

24. Arătați că :

a) arcsin arccos , 1,12

x x x

b) arc arc ,2

tgx ctgx x

c) 2 *2

1arc arc ,

2tgx tg x

x

25. Rezolvaţi ecuaţiile: a) ) 2 sini arc x ) 6 sin 1ii arc x ) 4 sin 2 1iii arc x

b) ) 4arccosi x ) 3arccos 1ii x ) 4arccos 2 1iii x

c) ) 4arci tgx ) 3arcc 1ii tg x ) 6arc 4 1iii tg x

26. Rezolvaţi ecuaţiile: a) 2) 2 sin 4 12 10i arc x x 2) 6 sin 5 5,5ii arc x x

b) 2 2) 4arccos 3 2

2i x x

1) 2012arccos2 0xii

c) 2) 3arc 4 3 3i tg x x 2) 6arcc 5 6 3ii tg x x

27. Rezolvaţi ecuaţiile:

a) ) sin 0,5i x 2

) sin2

ii x 3

) sin2

iii x

b) 1

) sin2

i x 1

) sin2

ii x 3

) sin2 3

iii x

c) 1

) sin5

i x ) sin 0,1ii x 3

) sin2

iii x


a) ) sin 2 0,5i x 2

) sin32

ii x 4 3

) sin5 2 3

xiii

b) 1

) sin2 2

xi

1) sin

6 2

xii

3

) sin 2,52

iii x

T R

A I A

N

14

c) 1

) sin 24

i x ) sin 0,22

xii

5) sin

3 2

xiii


a) ) sin 0,52

i x

2) sin

3 2ii x

3

) sin4 2

iii x

b) 1

) sin5 2

i x

1) sin 2

6 2ii x

2 3

) sin3 2 3

iii x

c) 1

) sin12 3

i x

) sin 2 0,4

12ii x

10

) sin5 3 3

xiii

30. Rezolvaţi ecuaţiile: a) ) sin sin 2i x x ) sin sin3ii x x ) sin sin 4iii x x

b) ) sin 2 sin3i x x ) sin3 sin 4ii x x ) sin 1 sin 2 1iii x x

c) ) sin sin 32

ii x x

) sin sin 2

4iii x x

31. Rezolvaţi ecuaţiile: a) 2) sin sin 0i x x 2) sin sin 0ii x x 2) 2sin 3sin 0iii x x

b) 2) 2sin sin 0i x x 2) 2sin sin 0ii x x 2) 2sin 3sin 0iii x x

c) 2)2sin 2 sin 0i x x 2) 2sin 2 sin 0ii x x 2 1) sin 0

2iii x

32. Rezolvaţi ecuaţiile: a) 2) 2sin 3sin 1 0i x x 2) 2sin 3sin 1 0ii x x

b) 2) 2sin 2 2 sin 2 0i x x 2) 2sin 2 3 sin 3 0ii x x

c) 2)4sin 2 2 3 sin 6 0i x x 2) 4sin 2 2 3 sin 6 0ii x x


a) ) cos 0,5i x 2

) cos2

ii x 3

) cos2

iii x

b) 1

) cos2

i x 1

) cos2

ii x 3

) cos2 3

iii x

c) 1

) cos5

i x ) cos 0,1ii x 3

) cos2

iii x


a) ) cos2 0,5i x 2

) cos32

ii x 4 3

) cos5 2 3

xiii

b) 1

) cos2 2

xi

1) cos

6 2

xii

3

) cos 2,52

iii x

c) 1

) cos24

i x ) cos 0,22

xii

5) cos

3 2

xiii

T R

A I A

N

15


a) ) cos 0,52

i x

2) cos

3 2ii x

3

) cos4 2

iii x

b) 1

) cos5 2

i x

1) cos 2

6 2ii x

2 3

) cos3 2 3

iii x

c) 1

) cos12 3

i x

) cos 2 0,4

12ii x

10

) cos5 3 3

xiii

36. Rezolvaţi ecuaţiile: a) )cos cos2i x x ) cos cos3ii x x ) cos cos4iii x x

b) ) cos2 cos3i x x ) cos3 cos4ii x x ) cos 1 cos 2 1iii x x

c) ) cos cos 32

ii x x

) cos cos 2

4iii x x

37. Rezolvaţi ecuaţiile: a) 2) cos cos 0i x x 2) cos cos 0ii x x 2) 2cos 3 cos 0iii x x

b) 2) 2cos cos 0i x x 2) 2cos cos 0ii x x 2) 2cos 3 cos 0iii x x

c) 2)2cos 2 cos 0i x x 2) 2cos 2 cos 0ii x x 2 1) cos 0

2iii x

38. Rezolvaţi ecuaţiile: a) 2) 2cos 3cos 1 0i x x 2) 2cos 3cos 1 0ii x x

b) 2) 2cos 2 2 cos 2 0i x x 2) 2cos 2 3 cos 3 0ii x x

c) 2)4cos 2 2 3 cos 6 0i x x 2) 4cos 2 2 3 cos 6 0ii x x


a) 1

)3

i tgx ) 1ii tgx ) 3iii tgx

b) 3

)3

i tgx ) 1ii tgx ) 3iii tgx

c) ) 0,1i tgx 2

)4

ii tgx 3

)2

iii tgx


a) 1

) 23

i tg x ) 3 1ii tg x ) 2 3iii tg x

b) 3) 1

3i tg x

2) 1

3ii tg x

2 3) 3

4

xiii tg

c) 3

)3 3

i tg x

) 1

5ii tg x

3

) 34

xiii tg

41. Rezolvaţi ecuaţiile: a) ) 2i tg x tgx ) 3ii tg x tgx ) 2 3iii tg x tg x

T R

A I A

N

16

b) ) 1 2 1i tg x tg x 2) 1

3ii tg x tg x

2 3)

4

xiii tg tgx

c) ) 23 2

i tg x tg x

)

5 3ii tg x tg x

42. Rezolvaţi ecuaţiile: a) 2) 0i tg x tgx 2) 0ii tg x tgx 2) 3 0iii tg x tgx

b) 2) 2 0i tg x tgx 2) 2 0ii tg x tgx 2) 3 0iii tg x tgx

c) 2) 3 0i tg x tgx 2) 3 0ii tg x tgx 2) 1 0iii tg x


a) 2) 3 1 3 0i tg x tgx 2) 3 1 3 0ii tg x tgx

b) 2) 3 3 1 1 0i tg x tgx 2) 3 3 1 1 0ii tg x tgx

c) 2) 3 4 3 3 0i tg x tgx 2) 3 2 3 3 0ii tg x tgx


a) 1

)3

i ctgx ) 1ii ctgx ) 3iii ctgx

b) 3

)3

i ctgx ) 1ii ctgx ) 3iii ctgx

c) ) 0,1i ctgx 2

)4

ii ctgx 3

)2

iii ctgx


a) 1

) 23

i ctg x ) 3 1ii ctg x ) 2 3iii ctg x

b) 3) 1

3i ctg x

2) 1

3ii ctg x

2 3) 3

4

xiii ctg

c) 3

)3 3

i ctg x

) 1

5ii ctg x

3

) 34

xiii ctg

46. Rezolvaţi ecuaţiile: a) ) 2i ctg x ctgx ) 3ii ctg x ctgx ) 2 3iii ctg x ctg x

b) ) 1 2 1i ctg x ctg x 2) 1

3ii ctg x ctg x

2 3)

4

xiii ctg ctgx

c) ) 23 2

i ctg x ctg x

)

5 3ii ctg x ctg x

47. Rezolvaţi ecuaţiile: a) 2) 0i ctg x ctgx 2) 0ii ctg x ctgx 2) 3 0iii ctg x ctgx

b) 2) 2 0i ctg x ctgx 2) 2 0ii ctg x ctgx 2) 3 0iii ctg x ctgx

c) 2) 3 0i ctg x ctgx 2) 3 0ii ctg x ctgx 2) 1 0iii ctg x

T R

A I A

N

17


a) 2) 3 1 3 0i ctg x ctgx 2) 3 1 3 0ii ctg x ctgx

b) 2) 3 3 1 1 0i ctg x ctgx 2) 3 3 1 1 0ii ctg x ctgx

c) 2) 3 4 3 3 0i ctg x ctgx 2) 3 2 3 3 0ii ctg x ctgx

49. Rezolvaţi ecuaţiile: a) )sin 2 cosi x x )sin 5 cos 2ii x x )sin 4 cos3iii x x

b) )sin 2 1 cosi x x )cos 2 1 sin 5ii x x )sin 4 cos 3 1iii x x

c) 1)sin 2 1 cos

2i x x

)sin 5 1 cos 23

ii x x

)cos 3 sin 2 16

iii x x

50. Rezolvaţi ecuaţiile: a) 2 2)2sin cos 3sin 1 0i x x x 2) sin cos 0ii x x

b) 2 2)sin 14cos 11sin 10 0i x x x 2) 2cos 5 7sinii x x

c) 2 2)5sin 2cos 3sin cos 0i x x x 2 2) sin cos cos 0ii x x x

51. Rezolvaţi ecuaţiile: a) )cos2 cos 1i x x ) cos2 3cos 2 0ii x x

b) )cos2 sin 0i x x ) cos2 sin 1 0ii x x

c) 2)cos2 sin 1 0i x x 2) 2cos2 2sin 1 0ii x x

52. Rezolvaţi ecuaţiile: a) )sin cos 0i x x ) sin cos 0ii x x

b) )cos 3sin 0i x x ) 3sin cos 0ii x x

c) )3sin 3cos 0i x x ) 33sin cos 0ii x x

53. Rezolvaţi ecuaţiile: a) )sin cos 1i x x ) sin cos 1ii x x

b) )cos 3sin 1i x x ) 3sin cos 1ii x x

c) )sin 3cos 1i x x ) 33sin cos 3ii x x

54. Rezolvaţi ecuaţiile: a) 2sin 2 2sin 2cos 1 0x x x

b) sin 2 2sin cos 1 0x x x

c) sin 2 cos2 sin cos 1 0x x x x

55. Rezolvaţi ecuaţiile: a) 2 2sin 4sin 2 7cos 0xx x

b) 2 23sin sin cos cos 2xx x x

c) 2cos 3sin cos 1x x x


a) 2 2 2 3

2sin sin 2 sin 3x x x

b) 2 2 2 32 6 10

2cos cos cosx x x

T R

A I A

N

18

c) 2 2 2 26 cos 3 cos 4sin sin x xx x

57. Rezolvaţi ecuaţiile: a) 3 3 32 3sin sin sin 3sin sin 2 sin 3x x x x x x

b) 3 3 32 3cos cos cos 3cos cos 2 cos3x x x x x x

c) 3 3 32 4sin cos cos 3sin cos 2 cos 4x x x x x x

funcţia sinus 1,1 t=2 - gcotfas.files.wordpress.com · tabel de valori: graficul func ... pentru...

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