7/25/2019 TO_5_1_5

1/6

5. Algoritmi de optimizare multidimensional[ cu restric\ii

5.1.5. Studiu de caz. Amestecarea optim a produselorpetroliere.

Diversele sortimente de produse petroliere se obin prin operaiide amestecare, n diferite proporii, a constituenilor petrolieri debaz, astfel nct s se obin indicii calitativi prescrii pentru !ecaresortiment n parte.

"peraia de amestec a componenilor de baz se poate realizan numeroase variante, astfel nct a devenit necesar obinerea unorreete optime de amestec. "ptimizarea este realizat pe baza unorcriterii te#nico$economice, urmarindu$se ca, n funcie de diverselecaliti ale componenilor, s se determine o astfel de proporie aacestora nct s se obin sortimente comerciale la pre de cost

minim %sau bene!ciu ma&im' i s se aib calitatea c#imic, !zic ite#nic impus de utilizarea produsului sau de normele de calitate38.

(e consider cazul n care amestecul petrolier se realizeaz cu )benzine componente, denumite *+, *, *- i *), n cantitiledisponibile i cu caracteristicile indicate n tabelul 5.5.

abelul 5.5

/aracteristicile benzinelor componente

*enzina

component

/ifraoctanica%0'

Densitateala,11/

%t2

m-'

.emperatura!nalade

!erbere

%1/

'

/a

ntitatiledisponibile%t'

3retul

%lei2t'

*+ 54 1.- 14 4511 -6-111* 44 1.)+ 1) -411 51-111*- 4 1.)1 1 111 4++111*) 71 1.)7 11 611 1+111

(e urmrete obinerea a 4111 t benzin 8 amestec, care scorespund unui pre de cost minim i s satisfac urmtoarele

condiii de calitate9

e#nici numerice de optimizare

205

7/25/2019 TO_5_1_5

2/6

5. Algoritmi de optimizare multidimensional[ cu restric\ii

cifra octanica 0otor $ minim ):

densitatea la 1 1/ 8 ma&im 1,)5 t2m-:

temperatura !nal de !erbere 8 ma&im 15 1/.

Rezolvare. (oluia problemei este obinut prin parcurgereaurmtoarele etape9

a' modelarea matematic a problemei:b'aducerea problemei la forma matriceal %5.4-' 8 %5.44':c' construirea un !sier de tip .m,cu numele amestec1.m,

!ier ce va conine relaia de calcul a funciei obiectiv isistemul de restricii.

A. Modelarea matematic a problemei. ;otnd cux+,x,x-

ix) cantitile e&primate n tone din cele patru benzine componente,funcia de optimizare a amestecului, e&primat pe baza criteriuluiminimizrii preului de cost, are urmatoarea formul

4321 701611503383 xxxxF +++= .%5.4'

3resupunnd ca proprietile amestecului sunt aditive, pentru!ecare propritate in parte pot ! scrise relatii de aditivitate.

7/25/2019 TO_5_1_5

3/6

5. Algoritmi de optimizare multidimensional[ cu restric\ii

unde i i a sunt temperaturi !nale de !erbere ale componenilor,respectiv a amestecului.

/antitatea total de benzin obinut este dat de relaia

60004321

=+++ xxxx .%5.+'

Deoarece cantitile din cei patru componeni sunt limitate,sistmul de restricii va conine i relaiile materiale asociate bilanuluimaterial9

8200

2000

3600

6500

4

3

2

1

x

x

x

x

.

%5.'

e#nici numerice de optimizare

207

7/25/2019 TO_5_1_5

4/6

5. Algoritmi de optimizare multidimensional[ cu restric\ii

=orma !nal a sistemului de restricii conine relaiile %5.46' 8%5.' i are e&presia

=+++

++++++

+++

8200

2000

3600

6500

6000

6000205200202204206

7450

6000

7490

1

740

1

7410

1

7370

1

60007490766650

4

3

2

1

4321

4321

4321

4321

x

x

x

x

xxxx

xxxx

,x,x,x,x,

xxxx

.

%5.-'

>a acestea se adauga i condiiile de nenegativitate

410 ,,i,xi = .%5.)'

B. Aducerea problemei la forma matriceal (5.63) (5.66).3roblema de optimizare are forma particular %5.4-'9

( ) [ ]

=

n

nmin

x

x

x

cccF

2

1

21X

:

respectiv

( ) [ ]

=

4

3

2

1

701611503303

x

x

x

x

Fmin

X ,

=

701

611

503

303

c .

(istemul de restricii %5.4)' este descompus n subsistemeleurmtoare9

a' relaii de tip egalitate, 1=k 9

[ ] [ ]60001111

4

3

2

1

=

x

x

x

x

:

e#nici numerice de optimizare

208

7/25/2019 TO_5_1_5

5/6

5. Algoritmi de optimizare multidimensional[ cu restric\ii

b' realii de tip inegalitate 9

1230000

691,8053

444000

200202204206

335,1351,1349,1356,1

90766650

4

3

2

1

x

x

x

x

:

c' relaii margini simple ale variabilelor 9

82000

20000

36000

65000

4

3

2

1

x

x

x

x

.

?ectorii i matricele componente ale sistemului de restricii auformele numerice urmtoare9

=

200202204206

3351351134913561

90766650

1111

,,,,a :

=

1230000

6918053

444000

6000

,b :

=

0

0

0

0

VMI :

=

8200

2000

3600

6500

VMS .

C. Se construiete sierul MATA! cu numeleamestec1.m, !ier ce va conine relaia de calcul a funciei obiectiv%5.4' i sistemul de restricii %5.-' 8 %5.)', lista 5.7. =iierul conineliniile de de!nire a valorilor numerice pentru coe!cienii funcieiobiectiv 8 vectorul c, a matricei coe!cienilor funciilor restricii 8matricea a, ale termenilor liberi ai funciilor restricii 8 vectorul b i

restriciile de tip margini simple ale variabilelor. @lterior este apelat

e#nici numerice de optimizare

209

7/25/2019 TO_5_1_5

6/6

5. Algoritmi de optimizare multidimensional[ cu restric\ii

funcia lp pentru determinarea soluiei optime a problemei deoptimizare.

&ecutnd !ierul amestec1.mse obine rezultatul prezentatn lista 5.+1. (oluia optim este [ ]5,3176005,2823=optX tone.Bezultatul obinut este similar cu cel prezentat n 38.

e#nici numerice de optimizare

210

>ista 5.7/on\inutul !Cierului amestec1.m

a=[1 1 1 1;

-56 -66 -76 -90;

-1.356 -1.349 -1.351 -1.353;

206 204 202 200];

b=[6000; -444000; -8053.691; 1230000];

c=[383000; 503000; 611000; 701000];

vmi=[0; 0; 0; 0];

vms=[6500; 3600; 2000; 8200];

x0=[0; 0; 0; 0];

x=lp(c,a,b,vmi,vms,x0,1)

>ista 5.+1

Bezultatele ob\inute prin rularea !Cieruluiamestec1.m

ams!c1

x =

1.0"003 #

2.8235

0

0

3.1765