Concursul de Matematica ”TRAIAN LALESCU” - faza nationala 2008Sectiunea A

1. Fie matricea A ∈Mn(C). Sa se arate ca A este nilpotenta daca si numaidaca tr(Ak) = 0, oricare ar fi k > 0; ( tr(A) este urma matricei A).

2. Fie E o submultime nevida a intervalului (0,+∞) care ındeplinesteconditiile

i) x2 ∈ E oricare ar fi x ∈ E.

ii)√

x2 + y2 ∈ E, oricare ar fi x, y ∈ E.Se cera) Sa se dea un exemplu de multime E 6= (0,∞) care ındeplineste conditiile

i) si ii).b) Sa se arate ca E = [0,∞); (E este ınchiderea topologica a lui E).

3. Fie U ⊂ R2 o submultime deschisa care contine discul unitate ınchis D sif : U → R o functie de clasa C1 cu proprietatea ca :

∣∣∣∣∂f

∂x(P )

∣∣∣∣ ≤ 1 si∣∣∣∣∂f

∂y(P )

∣∣∣∣ ≤ 1, ∀P ∈ D.

Sa se arate ca daca {M1,M2, . . . , Mn} este o multime de puncte din D cu centrulde greutate ın O atunci pentru orice punct P ∈ D este adevarata inegalitatea :

∣∣∣∣∣f(P )− 1n

n∑

k=1

f(Mk)

∣∣∣∣∣ ≤ 2.

4. Fie ∆ multimea plana formata din punctele interioare si laturile unuidreptunghi ABCD de laturi AB = a si BC = b. Se defineste functia f : ∆ → Rprin:

f(P ) = PA + PB + PC + PD.

Sa se calculeze multimea valorilor functiei f .

1