Download - T.lalescu.sect.A
Concursul de Matematica ”TRAIAN LALESCU” - faza nationala 2008Sectiunea A
1. Fie matricea A ∈Mn(C). Sa se arate ca A este nilpotenta daca si numaidaca tr(Ak) = 0, oricare ar fi k > 0; ( tr(A) este urma matricei A).
2. Fie E o submultime nevida a intervalului (0,+∞) care ındeplinesteconditiile
i) x2 ∈ E oricare ar fi x ∈ E.
ii)√
x2 + y2 ∈ E, oricare ar fi x, y ∈ E.Se cera) Sa se dea un exemplu de multime E 6= (0,∞) care ındeplineste conditiile
i) si ii).b) Sa se arate ca E = [0,∞); (E este ınchiderea topologica a lui E).
3. Fie U ⊂ R2 o submultime deschisa care contine discul unitate ınchis D sif : U → R o functie de clasa C1 cu proprietatea ca :
∣∣∣∣∂f
∂x(P )
∣∣∣∣ ≤ 1 si∣∣∣∣∂f
∂y(P )
∣∣∣∣ ≤ 1, ∀P ∈ D.
Sa se arate ca daca {M1,M2, . . . , Mn} este o multime de puncte din D cu centrulde greutate ın O atunci pentru orice punct P ∈ D este adevarata inegalitatea :
∣∣∣∣∣f(P )− 1n
n∑
k=1
f(Mk)
∣∣∣∣∣ ≤ 2.
4. Fie ∆ multimea plana formata din punctele interioare si laturile unuidreptunghi ABCD de laturi AB = a si BC = b. Se defineste functia f : ∆ → Rprin:
f(P ) = PA + PB + PC + PD.
Sa se calculeze multimea valorilor functiei f .
1