teza12m5
DESCRIPTION
matematicaTRANSCRIPT
SUBIECTUL I (30 puncte)
5p1) Se considera intervalele A = [ − 2, 3) si B = [0, 1). Sa se determine numarulelementelor multimii (A − B) ∩ ℤ
5p 2) Se considera functia f : ℝ → ℝ, f (x) = x2 + ax + b. Determinati a, b ∈ ℝ stiind caparabola asociata functiei este tangenta la axa Ox in punctul de abscisa x = 1
5p 3) Rezolvati in ℝ inecuatia logx4 < 2
5p4) Se considera multimea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Care este probabilitatea caalegand o submultime cu trei elemente a multimii A, aceasta sa contina doarnumere prime?
5p 5) Daca 2AB→
+ 3AC→
= BC→
, calculati raportul modulelor vectorilor AB→
si BC→
.
5p 6) Calculati aria triunghiului ABC stiind ca AB = 8 si B = C =π
6.
SUBIECTUL II (30 puncte)
1) Se consideră grupul comutativ G =
A(k) =
2k 2k − 1 0
0 1 0
0 0 2k
, k ∈ ℤ
in raport cu
inmultirea matricelor.
5p a) Demonstrati ca I3 ∈ G.
5p b) Determinati simetricul elementului A(2) in grupul (G, ⋅ ).
5p c) Determinati toate numerele intregi p si q cu proprietatea A(p) ⋅ A(q) = A
p
q
2) Se considera polinomul f = X3 + X2 + aX + b si x1, x2, x3 ∈ ℂ radacinile lui.
5p a) Determinati a, b ∈ ℝ daca f (i) = 0, unde i2 = − 1 .
5pb) Determinati a, b ∈ ℝ daca f (X − 3) impartit la (X − 1) da restul -4 si
x13 + x2
3 + x33 = 9.
5p c) Demonstrati ca f nu are toate radacinile de modul 1.
SUBIECTUL III (30 puncte)
1) Se considera funcţia f : (0, ∞) → ℝ, f (x) = 1 + lnx − x.
5p a) Calculati limx→∞
f (x)
x.
5p b) Demonstrati inegalitatea 1 + ln(x) ≤ x, ∀ x ∈ (0, ∞).
5p c) Demonstrati ca exista c ∈ (1, 2) astfel incat f |(c)
f (c)=
1
2 − c
2) Se considera functia f : ℝ → ℝ, f (x) =1
x2 + 1 si notam In = ∫0
1f n(x)dx, n ∈ ℕ.
5pa) Calculati aria suprafetei marginite de graficul functiei g(x) = x2 f (x), axa Ox,
dreptele x = 1 si x = 3√ .
5p b) Demonstrati ca sirul (In)n≥n este convergent.
5p c) Demonstrati ca 2nIn+1 − (2n − 1)In =1
2n , ∀ n ∈ ℕ ⋆ .