SUBIECTUL I (30 puncte)

5p1) Se considera intervalele A = [ − 2, 3) si B = [0, 1). Sa se determine numarulelementelor multimii (A − B) ∩ ℤ

5p 2) Se considera functia f : ℝ → ℝ, f (x) = x2 + ax + b. Determinati a, b ∈ ℝ stiind caparabola asociata functiei este tangenta la axa Ox in punctul de abscisa x = 1

5p 3) Rezolvati in ℝ inecuatia logx4 < 2

5p4) Se considera multimea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Care este probabilitatea caalegand o submultime cu trei elemente a multimii A, aceasta sa contina doarnumere prime?

5p 5) Daca 2AB→

+ 3AC→

= BC→

, calculati raportul modulelor vectorilor AB→

si BC→

.

5p 6) Calculati aria triunghiului ABC stiind ca AB = 8 si B = C =π

6.

SUBIECTUL II (30 puncte)

1) Se consideră grupul comutativ G =

A(k) =

2k 2k − 1 0

0 1 0

0 0 2k

, k ∈ ℤ

in raport cu

inmultirea matricelor.

5p a) Demonstrati ca I3 ∈ G.

5p b) Determinati simetricul elementului A(2) in grupul (G, ⋅ ).

5p c) Determinati toate numerele intregi p si q cu proprietatea A(p) ⋅ A(q) = A

p

q

2) Se considera polinomul f = X3 + X2 + aX + b si x1, x2, x3 ∈ ℂ radacinile lui.

5p a) Determinati a, b ∈ ℝ daca f (i) = 0, unde i2 = − 1 .

5pb) Determinati a, b ∈ ℝ daca f (X − 3) impartit la (X − 1) da restul -4 si

x13 + x2

3 + x33 = 9.

5p c) Demonstrati ca f nu are toate radacinile de modul 1.

SUBIECTUL III (30 puncte)

1) Se considera funcţia f : (0, ∞) → ℝ, f (x) = 1 + lnx − x.

5p a) Calculati limx→∞

f (x)

x.

5p b) Demonstrati inegalitatea 1 + ln(x) ≤ x, ∀ x ∈ (0, ∞).

5p c) Demonstrati ca exista c ∈ (1, 2) astfel incat f |(c)

f (c)=

1

2 − c

2) Se considera functia f : ℝ → ℝ, f (x) =1

x2 + 1 si notam In = ∫0

1f n(x)dx, n ∈ ℕ.

5pa) Calculati aria suprafetei marginite de graficul functiei g(x) = x2 f (x), axa Ox,

dreptele x = 1 si x = 3√ .

5p b) Demonstrati ca sirul (In)n≥n este convergent.

5p c) Demonstrati ca 2nIn+1 − (2n − 1)In =1

2n , ∀ n ∈ ℕ ⋆ .