Capitolul I: Introducere n Teoria NanostructurilorNoiuni generaleO nanostructur este un obiect de mrime intermediar ntre molecular i microscopic. n descrierea Nanostructurilor este necesar s se diferenieze numrul de dimensiuni pe scara nanometric. Grosime unei suprafeei a unui obiect este ntre 0,1 si 100 nm. Nanotuburile au dou dimensiuni, diametrul tubului, este ntre i i lungimea care s-ar putea fi mult mai mare. Nanoparticulele sferice au trei dimensiuni pe scara nanometric, particula este ntre i n fiecare dimensiune spaial. Nanoparticulele i particule ultrafine (UFP) sunt deseori folosit ca sinonim dei UFP poate ajunge n gama de microni. Termenul de "Nanostructur" este adesea folosit atunci cnd se refer la tehnologia magnetice.Nanocristalele semiconductoare sunt structuri cuantice de dimensiuni comparabile cu cele ale atomilor (nanometrii) denumite adesea i atomi artificiali. Ele conin ca purttori de sarcin electroni, goluri sau perechi eletron-gol (excitoni). Ceea ce face interesant studierea acestor structuri este analogia cu sistemele deja existente n natur (nuclee, atomi, molecule), avnd dou mari avantaje fa de acestea: se pot fabrica n laboratoare i se pot interconecta relativ uor n diverse circuite electronice. Datorit dimensiunii foarte mici au proprieti remarcabile care se modific o dat cu mrimea, forma lor, concentraia de purttori, aplicarea unui cmp electric sau magnetic, lucruri ce pot fi controlate cu precizie mrit. Dimensiunea mic, uurina implementrii, proprietile remarcabile, consumul mic de putere sunt doar cteva dintre avantajele, care vor impune destul de repede aceast tehnologie n domenii ca micro(nano) electronica, cu precdere n fabricarea componentelor pentru calculatoare, optoelectronica, termoelectrica, biologie, medicinaPentru a ajunge la dimensiuni uzuale de 20-80 atomi (4-16 nm), a fost necesar trecerea prin mai multe etape de miniaturizare:Iniial s-a pornit de la structuri de tip bulk - 3D (masive) care erau considerate a avea cele 3 dimensiuni specifice (lungime, lime, nlime) aproximativ de acelai ordin de mrime. Acestea au proprieti obinuite i nu fac studiul acestei lucrri

Figura I.1.1. Reprezentarea schematic a Cutiei CuanticeA doua etap a fost reprezentat de aa zisele quantum well - 2D - (vi cuantice) care aveau ca principal caracteristic o grosime foarte mic, comparabil cu lungimea de und de Broglie a purttorilor de sarcin (confinare 1D):

Figura I.1.2. Reprezentarea schematic a Vilor Cuantice

(I.1.1)

este lungimea de und asociat particulei(electron, gol, exciton), este constanta lui Plank este impulsul particulei este masa particulei n stare liber este viteza particulei iar este viteza luminii ( )

Astfel datorit grosimii foarte mici purttorii de sarcin erau obligai s circule doar in planul format de lungime i lime. Practic electronii exist ntr-o lume 2D unde trebuie s se supun anumitor reguli specifice care conduc la fenomene mult diferite de cele ale structurilor 3D.Dac se continua restricionarea i n plus fa de grosime se va impune i o lime comparabil cu lungimea de unde particulei atunci se poate vorbi de quantum wire - 1D - sau fir cuantic. n acest caz electronii se pot mica doar pe direcia lungimii.

Figura I.1.3 Reprezentarea schematic a Firului Cuantice

Un quantum dot - 0D - se va obine atunci cnd toate cele 3 dimensiuni ale structurii vor fi comparabile cu lungimea de und de Broglie, iar volumul ocupat v-a fi mai mic dect cel definit de raza Bohr corespunztoare materialului din care provine.

Figura I.1.4. Reprezentarea schematic a unui Punct Cuantice

Cutii cuanticeCutiile cuantice pot fi interpretate ca un fir cuantic, care este limitat i de-a lungul axei rmase . Acest lucru elimin restul gradelor de libertate a impulsului particule i o localizeaz n toate direciile. Astfel, nivelurile energetice devin subnivele.

Figura I.2.1 Reprezentarea schematic a unei cutii cuantice cu laturile .

Considerm cazul cnd nlimea barierei de potenial este infinit i separ interiorul cutiei de exterior, apoi cele ecuaia Schrodinger 3-dimensional n cutie este pur i simplu:

(I.2.1)Energia total poate fi scris o sum de trei termeni ,apoi aceast ecuaie unic tridimensional poate fi decuplat n trei unidimensionale ecuaii:

(I.2.2)

(I.2.3)

(I.2.4)energia total a cutiei cuantic devenind:

(I.2.5)

Caracterul independent al spaiului 3-dimensional impune trei numere cuantice, adic , i pentru a numerota fiecare stare.Ecuaiile Cutiilor cuantic cu bariera de potenial finit pot fi desprins la trei ecuaii unidimensionale, calcule ntr-un mod similar cu firul cuantic cu nlimea barierei finite. Alternativ, o soluie complet tridimensional poate fi construit prin extinderea funciei de und ca o combinaie liniar a soluii gropii cu nlimea barierei infinit (a se vedea Gangopadhyay i Nag [165]

Capitolul II: Firul Cuantic (quantum wire)1.Ecuaia lui Schrodinger pentru Firul CuanticEcuaia Schrdinger trei-dimensional pentru masa efectiv constant este:

(II.1.1)ntr-un fir cuantic este posibil s se decupleze micare de-a lungul lungime firului. Lund axafirului de-a lungul , apoi potenialul total, poate fi ntotdeauna scris ca sumaunui potenial bidimensional plus potenialul de-a lungul srm (care n acest caz se ntmpl s fie zero), adic

(II.1.2)

Funciile proprii pot fi scrise ca un produs a dou componente:

(II.1.3)

nlocuind (II.1.2) i (II.1.3) n ecuaia (II.1.1), obinem:

(II.1.4)Scriem energia ca o sum de termeni asociai celor dou componente ale micrii:

(II.1.5)Acum este posibil s se asocieze energiile cinetice i poteniale de pe partea stng a ecuaiei (II.1.5)cu componente i de pe partea dreapta, astfel formndu-se dou ecuaii decuplate:

(II.1.6)

(II.1.7)n prima ecuaie nici un operator nu acioneaz asupra , n mod similar i n a doua ecuaie, astfel acestea pot fi reduse. n plus, dup cum s-a menionat mai sus, componenta potenialul de-a lungul axei firului , astfel ecuaiile finale devin:

(II.1.8)

(II.1.9)n mod evident ecuaia (II.1.8) este ndeplinit de unda plan de forma dnd astfel relaia de dispersie:

(II.1.10)A doua ecuaie de micare, ecuaia (II.1.9), este Ecuaia lui Schrodinger pentru potenialul bidimensional care caracterizeaz firul cuantic.Pentru seciunea transversal a firului, ecuaia (II.1.9) ar trebui s fie ntr-adevr rezolvat, folosind o soluie complet bidimensional.

2. Un Fir Cuantic cu seciunea transversal dreptunghiular i cu bariera de potenial cu nlimea finitCea mai simpl geometrie a firului cuantic este cea cu seciunea transversal rectanghiular nconjurat de o barier de potenial infinit. Acest lucru este ilustrat schematic n figura II.2.1i poate fi considerat 2-dimensional.

Figura II.2.1. Un fir infinit cu seciunea transversal rectanghiular.n interiorul firului cuantic, potenialul este zero, n timp ce n exterior este infinit. Astfel, n acest ultim caz, funcia de und este zero. Prin urmare, ecuaia Schrodinger este definit pe direciile de micare -i adic ecuaia (II.1.9) devine:

(II.2.1)forma potenialului n aceast ecuaie Schrodinger (adic zero) permite a folosi acelai procedeu ca i la ecuaia (II.1.3), adica decuplarea micri in continuare:

(II.2.2)nlocuim n (II.2.1):

(II.2.3)Din nou, este posibil s se asocieze termeni pentru energie cinetic de pe partea stng a ecuaiei (II.2.3), cu componentele energie, adic prin scrierea :

(II.2.4)Decuplm complet termenii, formnd dou ecuaii

(II.2.5)

(II.2.6)mprim prima ecuaie la iar a doua la :

(II.2.7)

(II.2.8)

Figura II.2.2.Valorile energie ntr-un fir cuantic cu seciunea transversal n form de ptrat i bariera de potenial infinit.Avnd n vedere c potenialul n afara firului este infinit, condiia de continuitate a funcia de und implic faptul c, att i sunt zero la capetele firului. Astfel, ecuaiile (II.2.7)i (II.2.8) sunt identice cu cele unei gropi cuantice infinit de adnci, deci ecuaia Schrodinger bidimensional a fost decuplat n dou ecuaii unidimensionale.Avnd n vedere originea sistemului de coordonate ntr-un "col", i dimensiunile firului i , ca n Figura II.2.2, atunci soluiile sunt:

(II.2.9)

(II.2.10)De unde obinem componente de energie ca:

(II.2.11)Astfel, energia total devine

(II.2.12)Nivelele energetice ale unui fir cuantic, sunt descrise de ctre dou numere cuantice principale i .

Figura II.2.3.Densitatea de probabilitate a patru stri energetice a unui fir cuantic infinit de lung, (stnga sus) ,; (dreapta sus),; (stanga jos) ,;(dreapta jos) ,Figura II.2.2.Afieaz energiile pentru (, ), egal cu (1,1), (1,2),(2,1), i (2,2), n funcie de lungimea pentru un fir cuantic cu seciune transversal ptrat i infinit de lung.n acest caz, Energiile (1,2) i (2,1) sunt egale, ns n mod clar acest lucru nu vavalabil pentru un fir cu seciune transversal dreptunghiular, care are . Energia scade pe msur ce dimensiunea sistemului crete.Funciei de und pentru o und staionar (de-a lungul lungimea firului, independent de poziie) este real, i, prin urmare densitatea de probabilitate este pur i simplu . Acest lucru este reprezentat grafic n Figura II.2.3. Distribuia spaial a densitii de sarcin depinde de numrul cuantic principal , i (cum era i de ateptat),i numrul de anti-noduri (maxime locale) este egal cu

Un Fir Cuantic cu seciunea transversal dreptunghiular i cu bariera de potenial cu nlimea finitCel mai relevant pentru dispozitivele reale este un fir cuantic cu seciunea transversal dreptunghiular i bariera de potenial de nlime finit. Figura II.3.1 (stnga) ilustreaz potenial 2-dimensional pentru acest sistem. Cu aceast configurare nu este posibil pentru a scrie potenial ca o sum a dou poteniale independente i , i astfel nu este posibil s separm variabilele i .

Figura II.3.1.Un fir cuantic cu seciunea transversal n form de ptrat cu bariera de potenial finit (stnga) i o form aproximativ pentru potenial (dreapta), potrivit pentru decuplarea micrii.Cu toate acestea, se poate de folosit o aproximare ca n Figura II.3.1.(dreapta). n aceast form, este egal unde i sunt independente. n regiunilor colurilor", apare un potenial dublu Acest lucru este n zone care nu influeneaz prea mult valorile proprii ale funciei, n special firele largi i strile energetice joase.Ecuaia Schrodinger pentru seciunea transversal ptrat ntr-un fir cuantic general este dat de ecuaia (II.1.9), adic

(II.3.1)Prin urmare, putem scrie potenialul ifuncia de und :

(II.3.2)Din nou, este posibil s se asocieze termeni pentru energie cinetic de pe partea stng a ecuaiei (II.3.2), cu componentele energie, adic prin scrierea , obinndu-se dou ecuaii:

(II.3.3)

(II.3.4)mprim primul dintre aceste ecuaii la iar a doua la obinem ecuaii cu potenialul simplu- unidimensional, adic:

(II.3.5)

(II.3.6)n aceast derivare, operatorul de energie cinetic corespunztor pentru o mas efectiv constant a fost utilizat, dar deoarece nu exist nimic care depinde de aceast form, masa efectiv variabil a operatorului de energie cinetic, adic se poate de folosit.Rezultatul final este acelai, soluiile pentru ambele funcii de und i energiile sunt ca mai nainte determinate.

Figura II.3.2 Energia ntr-un fir de GaAs cu seciune transversal ptrat nconjurat de bariera de nlime finit de (stnga) i (dreapta)

Figura II.3.1 arat echivalentul a Figurii II.2.2. dar cu bariera finit, corespunztoare concentraii de 20 n i 40% n Valorile proprii 1, 1corespund strilor fundamentale lui i . Celelalte reprezint combinaii dintre aceste stri. Comportamentul energetic este similar ca i n cazul bariei infinite, are loc degenerarea pentru 1,2 i 2,1, scade valoarea valorilor proprii cu creterea dimensiunii firului. Densitatea de probabilitate este reprezentat n figura II.3.3 pentru aceleai patru stri. Din nou comportamentul este similar cu cazul firului cu bariera infinit, cu aceeai distribuie a maximelor i minimelor. Cu toate acestea, principala diferen este c bariera cu nlime finit permite pentru un numr semnificativ "scurgerea" funciei de und n materialul nfurtor. Aceast este interaciune cu "piloni poteniali" situat n afara firului la fiecare col, care provine de la potenialul aproximat ca n Figura II.3.1care limiteaz aplicabilitatea acestui model simplu.Pentru un fir relativ ngust ), densitatea de sarcin a strii fundamental FiguraII.3.3. 8.10 (stnga sus), implic faptul c, probabil n jur de 80-90% din fluctuaii este limitat n fir. Astfel, efectul aproximrii n afara potenialului firului nu va fi substanial.Totui pentru energii mari, mai multe stri din "nuana mai deschisa", sunt n afara firului, i astfel, ar fi de ateptat ca aceast aproximare ar putea fi nepotrivit. Acelai efect ar fi adevrat cnd am reduce lungimea lateral a firului.Aceast abordare simpl a firul cuantic finit este doar o cale de nelegere fizica de baz i o prezice calitativ a modului n care proprietile electronice variaz n funcie de parametrii sistemului. Valorile proprii a energie ar putea fi mbuntit prin luarea n considerare a perturbaiei sistemului 2-dimensional care ar eliminat piloni potenial . Utilizarea teoriei perturbaiilor de ordinul nti, permite scrierea variaiei energiei sub forma:

(II.3.6)

(II.3.7)

Figura II.3.3. Densitatea de probabilitate pentru cele patru stri de energie mici a unui fir cuantic GaAs cu latura de 100 cu bariera finita de , (stnga sus) , ;(dreapta sus) , (stnga jos) ,; (dreapta jos) ,; marginile firului sunt indicate de cutie. Perturbaia potenialului ar fi negativ i de valoarea V, simetrie ptratului ar oferi

(II.3.8)care este relativ simplu de evaluat. Califano i Harrison [164] au demonstrat c acest lucru poate fi o abordare destul de util la soluionarea problemei firului cuantic cu bariera de potenial finit.

Un Fir Cuantic cu seciunea transversal circularConsiderm din nou ecuaia lui Schrdinger pentru micarea n limita planului transversal a unui fir cuantic, ca i mai devreme folosim ecuaia (II.1.9)

(II.4.1)Avnd n vedere simetria cilindric a firului cuantic, figura II.4.1, Ar fi mult mai avantajos s trecem la coordonate polare.

Figura II.4.1. Reprezentarea schematic a unui fir cuantic cu seciunea transversal circularUnde modulul i unghiul este definit ca n figur i (II.4.2)

(II.4.3)Funcia de und poate uor fi scris n de variabile noi i ; cu toate acestea, avnd n vedere simetria circular, funcia de und nu trebuie s aib o dependena fa de unghiul . Astfel, funcia de und poate fi de fapt scris ca i ecuaia Schrodinger, prin urmare, devine:

(II.4.4)n cazul n care indicele privind indic faptul c, este asociat cu valori proprii limitate de micarea transversal, spre deosebire de micare de-a lungul axei a firului. n plus, simetria circular a potenialului care definete firul poate fi scris n mod explicit ca Acum:

(II.4.5)

Difereniind ambele pri ale ecuaiei (II.4.3) dup variabila , obinem:

(II.4.6)Prin urmare ecuaia (II.4.5) devine:

(II.4.7)Atunci derivata a doua este:

(II.4.8)

(II.4.9)i astfel

(II.4.10)n cele din urm:

(II.4.11)i n mod similar pentru , n final deci obinem:

(II.4.12)Reamintind c , atunci:

(II.4.13)

nlocuind n ecuaia (II.4.4) i obinem forma final a ecuaiei Schrodinger

(II.4.14)n acest caz, cercetarea a fost fcut pe forma specific a operatorului de energie cinetic,spre deosebire de exemplul anterior a firului cuantic cu seciunea transversal n form de ptrat, aceast ecuaie Schrodinger este valabil numai pentru o masa efectiva constant.

Figura II.4.2 Energie unui fir cuantic cu seciunea circular i bariera de potenial finit.

O abordare numeric pentru rezolvarea ecuaiei (II.4.14) ar fi s urmeze o procedura, care de fapt ne-am angajat n capitolul III s-o expunem, i anume metoda diferene finite:

(II.4.15)

(II.4.16)nlocuim aceste ultime 2 expresii n ecuaia (II.4.14)

(II.4.17)nmulind ambele pri a ecuaiei cu obinem:

(II.4.18)Grupm termeni , ), i , apoi:

(II.4.19)n cele din urm obine:

(II.4.20)Ecuaia (II.4.20) poate fi soluionat n funcie de condiiile limit i . n regiunea cu potenialul constant, funcii de und este continu, i, prin urmare, n cazul special cnd o dreapt este perpendicular pe fir (axa ), funcia de und trebuie s fie, de asemenea continu. Astfel, atunci cnd axa traverseaz de firul, componenta radial a funciei de und trebuie s aib o derivat zero, adic un maxim sau minim local. Acest lucru permite pornire iteraiilor.

(II.4.21)Cu scderea dimensiunii maximele sau minimele sunt mai evideniate.

Figura II.4.3. Componenta radial a funciei de und pentru primele dou stri energetice ntr-un fir cuantic cu seciune circular, raza de i nlimea bariere finite.Figura II.4.2 afieaz energiile electronului fa de raza de firului, pentru un fir GaAs nconjurat de , i masa efectiv constant. Cum era de ateptat, energia scade odat cu creterea razei. n Figura II.4.3.este reprezentat micarea radial pentru un fir cu raza de starea par i imparparitatea strilor poate fi clar vzut.

Capitolul III:Rezolvarea Ecuaia lui Schrodinger pentru un Fir Cuantic prin metoda diferenelor finite generalizate.1.Descrierea general a metodei pentru N=1Principala problem a gsirii soluie ecuaiei lui Schrodinger prin metoda matricelor, n mai multe dimensiuni, este numrul mare de componente. Dac pentru 1dimensiune sa constatat c este nevoie 10 stri pentru a reproduce energia de baz i funcia de und a unor poteniale perturbate, apoi pentru dou dimensiuni ar fi componente. n trei dimensiuni acest lucru ar deveni stri. Astfel, matricea ar fi de ordinul 100 sau 1000 i, respectiv, acest lucru este pentru un numr relativ mic a funciilor de baza, n realitate pot fi necesare 20 sau mai mult n fiecare direcie.O abordare alternativ [172,173], care este mai puin exigent n memorie,este de a reveni la ideea de exprimrii derivatei din ecuaia lui Schrodinger n diferene finite, procedeu folosit anterior pentru un fir cu seciunea circular.Reamintind ecuaia Schrdinger pentru micare n limita seciunii transversale a unui fir cuantic, dat mai devreme n ecuaia (II.1.9) i folosit din nou n ecuaia (II.4.1), adic

(III.1.1)Transcriem derivat a dou n diferene finite, cu ajutorul expresiei (II.4.16)

(III.1.2)Prin nmulirea cu a exuaiei precedente obinem:

(III.1.3)Grupm termenii:

(III.1.4)

Figura III.1.1. Ochiurilor de plas 2-dimensional pentru abordarea diferenelor finite la firul cuanticAstfel, funcia de und n punctul de aplicare depinde de 4 valori a punctelor vecine,(vezi Figura III.1.1).Ecuaia (III.1.4) poate fi scris mai succint n ceea ce privete indicaiile date n Figura III.1.1

(III.1.5)Unde

(III.1.6)O astfel de ecuaie exist pentru fiecare punct de pe grila. Pentru a rezolva simultan trebuie s fie scrise n form de ecuaii matriciale i rezolvate n conformitate cu condiiile de frontier a funciei de und i prima deriv s tind la zero, deoarece coordonatele spaiale tind la infinit. economisire memorie se produce deoarece matricea este rar. El-Moghraby et al. [172] arat aceast metod n detaliu i s o aplice pentru fire cuantice cu seciunile transversale dreptunghiulare i triunghiulare i puncte cuantice. Mai trziu ntr-o lucrare El-Moghraby et al. [173] aplic metoda alinierii verticale a punctelor cuplate cuantice.

2.Rezolvarea Ecuaia lui Schrodinger pentru firul cuantic prin metoda diferenelor finite pentru N=33.Utilizarea n Pachetului de Programe Mathematica 7.0 n rezolvarea Ecuaia lui Schrodinger