Metode bazate pe modelul mediului discret (modelul Winkler)

Modelul Winkler asimilează terenul cu un mediu discret reprezentat prin resoarte independente (Fig. K.4 si K.5 ).

Resoartele independente permit determinarea deformatiei terenului aflat sub baza fundatiei, dar nu şi în afara ariei direct încărcate.

Relaţia caracteristică pentru modelul Winkler este:

p = ks z

unde: p - presiunea într-un punct al suprafeţei de contact dintre fundaţie şi teren z - deformaţia pe verticala în acel punct ks - factor de proporţionalitate între presiune şi deformaţie, care caracterizează rigiditatea resortului, denumit coeficient de pat

Stabilirea valorii coeficientului de pat ks

1. Pe baza incercarii de incarcare cu placa (fig. K.6).

Pentru un punct de coordonate (p, z) aparţinând diagramei de încărcare – tasare, în

zona de comportare cvasi-liniară, coeficientul de pat se obţine:

k's = p/z

unde: k's - coeficientul de pat obţinut printr-o încercare cu placa de latură Bp

Pentru acelaşi teren, diagrama de încărcare – tasare depinde de dimensiunile şi rigiditatea plăcii.

Coeficientul de pat ks de utilizat în cazul unei fundaţii de latură B se determina in functie de k's:

ks = α k's

unde: α - coeficient de corelare definit de Terzaghi:

pB

Bα = pentru pământuri coezive

( ) 2

pB 0.3

2B

+ α =

pentru pământuri necoezive

unde: Bp - latura plăcii de formă pătrată; Bp = 0.30m B - lăţimea bazei fundaţiei

Pe baza parametrilor geotehnici de compresibilitate Coeficientul de pat, ks, se determina in functie de Es si νs:

ss m 2

s

Ek k

(1 )=

α − ν

unde: km - coeficient funcţie de raportul dintre lungimea şi lăţimea suprafeţei de contact a fundaţiei

a

bα = a: semilăţimea bazei fundaţiei

b: semilungimea bazei fundaţiei Coeficientul de pat, ks , se determina in functie de modulul edometric, Eoed:

ks B = 2 Eoed

2. Pe baza valorilor orientative, ks , date in tabelul K.2.

3. Prin calcul invers În cazul în care se dispune de valori măsurate ale modulelor de deformaţie liniară, Es,

pentru toate stratele de pamant aflate in limita zonei active a fundatiei (definita conform anexei H), valoarea coeficientului de pat, ks , se obtine:

efs

pk

s=

unde: pef - presiunea efectiva medie la baza fundatiei s - tasarea absolută probabilă a fundaţiei

Metode analitice de calcul Grinda continuă pe o singură direcţie Grinda de lungime infinită încărcată cu o forţă concentrată (fig. K.7)

Ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate a grinzii solicitată la încovoiere se scrie:

4

4

d zEI p

dx=

unde:

p - încărcarea pe unitatea de lungime EI - rigiditatea grinzii

Între p şi presiunea de contact la nivelul tălpii de fundare se poate scrie relaţia:

p = pB unde: B - lăţimea grinzii

Înlocuind se obține: 4

4

4s

4

d zEI pB 0

dx4k Bd z

z 0dx 4EI

+ =

+ =

Se introduce notaţia: s4k B

4EIλ = , unde λ se măsoară în m-1.

Ecuaţia devine: 4

44

d z4 z 0

dx+ λ =

Soluţia generală a ecuaţiei este:

( ) ( )x x1 2 3 4z e C cos x C sin x e C cos x C sin xλ −λ= λ + λ + λ + λ

Constantele de integrare Ci, i=1÷4, se determină din condiţiile de margine: Ecuaţia devine:

( ) ( )x1

s s

P Pz e cos x sin x x

2k B 2k B−λλ λ= λ + λ = ϕ λ

unde: ( ) ( )x1 x e cos x sin x−λϕ λ = λ + λ

( )

( )

2 2x

2s s

x2

dz P Pe sin x x

dx k B k B

unde : x e sin x

−λ

−λ

λ λ= θ = − λ = − ϕ λ

ϕ λ = λ

Se introduce notaţia e

1l =

λ, unde le este lungimea elastică.

( ) ( )

( ) ( )

xe e3

x3

Pl PlM e cos x sin x x

4 4unde : x e cos x sin x

−λ

−λ

= − λ − λ = − ϕ λ

ϕ λ = λ − λ

( )

( )

x4

x4

P PT e cos x x

2 2unde : x e cos x

−λ

−λ

= − λ = − ϕ λ

ϕ λ = λ

Grindă de lungime infinită acţionată de mai multe forţe concentrate:

În situaţia în care grinda este acţionată de mai multe forţe concentrate Pi, i=1÷n, determinarea valorilor pentru z, θ, M, T într-o secţiune dată se face prin suprapunerea efectelor (fig. K.10):

( )

( )

( )

( )

n

i 1 ii 1s

2 n

i 2 ii 1s

ne

i 3 ii 1

n

i 4 ii 1

z P x2k B

P xk B

lM P x

4

1T P x

2

=

=

=

=

λ= ϕ λ

λθ = ϕ λ

= ϕ λ

= ϕ λ

∑

∑

∑

∑

Grindă de lungime infinită acţionată de un moment încovoietor Momentul încovoietor M0 este înlocuit în calcul prin cuplul P_x (fig. K.11).

Pentru determinarea tasării grinzii într-o secţiune situată la distanţa x faţă de punctul

de aplicare al cuplului se utilizează relaţia. Astfel, pentru calculul săgeţii în cazul grinzii infinite acţionată de un moment

încovoietor M0 este utilizată funcţia φ2(λx) , funcţie care descrie rotirea în cazul grinzii infinite acţionate de o forţă concentrată P. Aceasta înseamnă că pentru θ, M şi T se vor utiliza, prin permutare, funcţiile φ1, φ3 şi φ4 după corespondenţa descrisă în tabelul K.7.

( )

( )

( )

( )

20

2 is

30

3 is

04 i

01 i

e

Mz x

2k B

Mx

k B

MM x

2M

T x2l

λ= ϕ λ

λθ = ϕ λ

= ϕ λ

= − ϕ λ

Grinda de lungime finită Pentru folosirea funcţiilor determinate în cazul grinzii de lungime infinită, grinda de

lungime finită se calculează prin metoda forţelor fictive. Se consideră grinda de lungime finită care este transformată în grindă infinită prin

prelungirea fictivă a capetelor A şi B (fig. K.12).

Asupra grinzii de fundare considerată ca grindă infinită acţionează sistemul de

încărcări Pi, i=1÷n, împreună cu forţele fictive Vi, i=1÷4 amplasate de o parte şi de cealaltă a grinzii cu valori astfel determinate încât starea de eforturi şi deformaţii în grinda de lungime finită să nu se modifice.

Pentru determinarea forţelor fictive se impun condiţiile pentru capetele libere ale grinzii şi anume: MA=0, TA=0, MB=0, TB=0.

Utilizând funcţiile φ3 şi φ4 definite anterior şi impunând condiţiile pentru capetele libere ale grinzii se obţin patru ecuaţii liniare pentru determinarea valorilor forţelor fictive.

Pentru simplificarea calculelor se alege distanţa de la forţa V1 la capătul A al grinzii astfel încât momentul încovoietor să fie egal cu zero, iar punctul de aplicaţie pentru V2 astfel încât forţa tăietoare corespunzătoare în secţiunea A să fie egală cu zero.

În acelaşi mod se procedează şi cu forţele V3 şi V4 cu privire la momentul şi forţa tăietoare în capătul B al grinzii.

Din tabelele pentru funcţiile φ3 şi φ4 rezultă că, pentru ca forţele fictive care apar într-o ecuaţie să se anuleze alternativ, distanţele de la capetele grinzii finite la punctele de aplicaţie ale forţelor fictive să fie alese după cum urmează:

3

4

x pentru care 04 4

x pentru care 02 2

π π = ϕ = λ

π π = ϕ = λ

Forţele Vi, i=1÷4 astfel obţinute se introduc în schema de încărcare a grinzii finite iar calculul deformaţiilor şi al eforturilor secţionale se poate face utilizând tabelele şi diagramele pentru grinda infinită.

Pentru momentele concentrate momentele fictive vor fi alese după cum urmează:

4x pentru care 02 2

3 3x pentru care 0

4 4

π π = ϕ = λ

π π = ϕ = λ