winkler fundatii ii

FUNDASPECIAL

MasterI

IIE

nginerie

CALCTRANS

N

Geotehn

CULULPSVERSAIPOTEZ

nic|

PILOILALEFOLZATERE

|Ing.

LORSUPOSINDENULUI

AdrianP

PUILAMODELILINEA

2/7

Priceputu

ASOLICLULWRELAS

7/2010

u

ITRIINKLERSTIC

R

Cuprins Pagina 1 / 14

ing. Adrian Priceputu Calculul piloilor supui la solicitri transversale folosind modelul Winkler n ipoteza terenului linear-elastic

CUPRINS 1 Grinda continu .................................................................................................................. 22 Grinda infinit acionat de o for concentrat ................................................................. 33 Grinda infinit acionat de mai multe fore concentrate ................................................... 64 Grinda infinit acionat de moment nconvoietor ............................................................ 75 Grinda finit ....................................................................................................................... 86 Aplicaii ale modelului Winkler pentru piloii supui la solicitri transversale ................. 97 Determinarea lungimii de ncastrare a piloilor ............................................................... 12 CUPRINSUL FIGURILOR Fig. 2.1: Grind infinit acionat de o for concentrat .......................................................... 3Fig. 2.2: Variaia coeficienilor de efort pentru lungimea adimensional ................................. 4Fig. 2.3: Distribuia eforturilor secionale de-a lungul unei grinzi infinite acionate de o for concentrat ................................................................................................................................. 5Fig. 3.1: Grind supus la mai multe fore concentrate ............................................................. 6Fig. 4.1: Grind acionat de moment nconvoietor .................................................................. 7Fig. 5.1: Grind de lungime finit .............................................................................................. 8Fig. 6.1 Schema de calcul a unei seciuni de structur de sprijin considernd modelul de interaciune Winkler ................................................................................................................. 10Fig. 7.1: Distribuie simplificat a mpingerii panei alunectoare asupra pilotului, sub form de triunghi dreptunghic la partea superioar i triunghi isoscel la partea inferior (Parparita, 1992) ........................................................................................................................................ 12Fig. 7.2: Distribuie simplificat a mpingerii pe pilot - parabol la partea superioar, triunghi la partea inferioar (Marinescu, 1988) ..................................................................................... 13 Tab. 4.1 ...................................................................................................................................... 7Tab. 6.1: Valori orientative ale coeficientului de pat pentru cteva tipuri de pmnturi .......... 9

Grinda continu Pagina 2 / 14


1 GRINDA CONTINU Calculul momentelor nconvoietoare, al forelor tietoare i al deformaiilor unei grinzi continue solicitat la nconvoiere se bazeaz pe ecuaia diferenial a fibrei deformate mediane a grinzii.

pdx

zdEI 44

(1.1) unde p este ncrcarea pe unitate de lungime, iar produsul EI este rigiditatea la nconvoiere a grinzii. Pentru a exprima relaia dintre p i presiunea de contact la nivelul fundaiei se poate folosi urmtoarea relaie:

pBp (1.2) unde B este limea grinzii. nlocuind ecuaia ((1.2) n ecuaia ((1.1) obinem:

0pBdx

zdEI 44

(1.3) innd cont c zkp s , rezult:

0zBkdx

zdEI s44

(1.4)

0zEI

Bkdx

zd s4

4

(1.5) nmulind i mprind cu 4 termenul al doilea, rezult:

0zEI4

Bk4dx

zd s4

4

(1.6)

Putem introduce notaia 4 sEI4Bk , unde se msoar n m-1. Ecuaia diferenial devine:

0z4dx

zd 44

4

(1.7) Soluia general a ecuaiei difereniale (1.7) este: xsinCxcosCexsinCxcosCez 43x21x (1.8) Constantele de integrare Ci, unde i=14, se determin din condiiile de margine.

Grinda infinit acionat de o for concentrat Pagina 3 / 14


2 GRINDA INFINIT ACIONAT DE O FOR CONCENTRAT

Fig. 2.1: Grind infinit acionat de o for concentrat

Din condiiile de margine obinem:

Pentru x=, M=0, T=0 C1=C2=0; Pentru x=0, 0=

dydx

, C3=C4;

Pentru x=0, 2P

=T , Bk2

P

EI4Bk

EI8

PEI8P

EI8PCC

ss4343

Soluia ecuaiei difereniale devine astfel:

)x(fBk2

P)xsinx(coseBk2

Pz 1s

x-

s

(2.1) unde )xsinx(cosexf x-1 .

)x(fBk

P-xsineBk

P-dxdz

2s

2x-

s

2

(2.2) unde xexf x sin)( -2 .

Introducem notaia 1

=le , unde le este lungimea elastic.

xfPl

41xsinxcose

41PlM

xsinxcoseBkEI4Bk

P

xsinxcoseBk

PxsinxcoseBk

PEIM

dxzd

3ex

e

x

s

s

x

s

4x

s

3

2

2

(2.3)

unde )xsin-x(cosexf x-3 .



xPf21xcose

21PT

xcoseBk

EI4Bk

P2xcose

BkP2

EIT

dxzd

4x

x

s

s

x

s

4

3

3

(2.4)

unde xcose=)x(f x-4 . Variaia funciilor )x(f1 , )x(f2 , )x(f3 i )x(f4 avnd ca argument pe x , este descris n Fig. 2.2. Aceste funcii pot fi utilizate pentru calculul lui z, M i respectiv T.

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.00 1 2 3 4 5

x (-)

f(lx

) (-) f1

f2f3f4

4

2

34

Fig. 2.2: Variaia coeficienilor de efort pentru lungimea adimensional

Deoarece diagrama forei tietoare este antisimetric fa de punctul de aplicaie al forei, valorile funciei f4 se vor lua cu semnul indicat n figur cnd fora se afl la stnga fa de



seciunea de calcul i cu semn contrar cnd punctul de aplicaie al forei este situat n partea dreapt a seciunii. Diagramele deformatei, a rotirii, a momentului nconvoietor i respectiv a forei tietoare pentru grinda infinit acionat de o for concentrat sunt redate n Fig. 2.3.

P

43z

x

x

M

x

4

T

x

2

Fig. 2.3: Distribuia eforturilor secionale de-a lungul unei grinzi infinite acionate de o for concentrat

Grinda infinit acionat de mai multe fore concentrate Pagina 6 / 14


3 GRINDA INFINIT ACIONAT DE MAI MULTE FORE CONCENTRATE Pentru cazul n care grinda este acionat de mai multe fore concentrate Pi, i=1n, determinarea valorilor pentru z, , M, T ntr-o seciune se face prin suprapunerea efectelor (Fig. 3.1).

n1

i1is

xfPBk2

z (3.1)

n

1ii2i

s

2

)x(fPBk

(3.2)

n

1ii3ie )x(fPl4

1M

(3.3)

n

1ii4i )x(fP2

1T

(3.4)

Fig. 3.1: Grind supus la mai multe fore concentrate

Grinda infinit acionat de moment nconvoietor Pagina 7 / 14


4 GRINDA INFINIT ACIONAT DE MOMENT NCONVOIETOR Momentul nconvoietor M0 este nlocuit de un cuplu de fore xP ().

Fig. 4.1: Grind acionat de moment nconvoietor

Pentru determinarea tasrii grinzii ntr-o seciune situat la distana x faa de punctul de aplicaie al cuplului, se folosete relaia (2.3) pentru cazul n care acioneaz dou fore concentrate.

)x(fBk2

Mxsine

Bk2M

dxdf

Bk2M

dx)]dx-x([f-)x(f

Bk2M

dxdx)]}dx-x([f-)x(f{P

Bk2-)]dx-x([f

Bk2P)x(f

Bk2P-z

2s

20x-

s

201

s

011

s

0

11s

1s

1s

(4.1)

Deci, pentru calcularea deformaiei unei grinzi infinite acionat de un moment ncovoietor M0, se folosete funcia f2(x), funcie care descrie rotaia n cazul unei grinzi acionat de o for concentrat P. Aceasta inseamn c pentru , M, T funciile f1, f3 si f4 vor fi refolosite, prin permutarea corespondenei descris n Tab. 4.1.

Tab. 4.1 Funciile folosite n cazul

n care grinda este acionat de

P M0 z 2f 2f 3f M 3f 4f T 4f 1f

1f

Grinda de lungime finit Pagina 8 / 14


5 GRINDA FINIT Pentru utilizarea funciilor determinate n cazul grinzilor infinite, grinda finit este calculat dup metoda forelor fictive. Considerm grinda de lungime finit care e transformat ntr-o grind infinit adugnd prelungiri fictive la capetele A i B (Fig. 5.1). Grinda de fundare considerat ca o grind infinit este acionat de sistemul de fore Pi, i=1n, mpreun cu forele fictive Vi, i=14 situate de o parte i de alta a grinzii, cu valori determinate astfel nct stare de eforturi i cea de deformaii ale grinzii de lungime finit s nu fie modificate.

Fig. 5.1: Grind de lungime finit

Pentru determinarea forelor fictive sunt utilizate condiiile de margine, dup cum urmeaz: MA=0, TA=0, MB=0, TB=0. Folosind funciile ( )i3 xf i ( )i4 xf definite anterior i impunnd condiia pentru care capetele grinzii sunt libere, se obine un sistem de patru ecuaii liniare pentru determinarea valorilor forelor fictive. Pentru uurina calculului, distana dintre fora V1 i captul A al grinzii este aleas n aa fel nct momentul nconvoietor s fie nul, iar punctul de aplicaie al forei V2 este ales astfel nct fora tietoare asociat din seciunea A s fie de asemenea nul. Aceeai abordare este utilizat i n cazul forelor V3 i V4 fa de momentul nconvoietor i fora tietoare din captul B al grinzii. Din tabelele funciilor ( )i3 xf i ( )i4 xf reiese c pentru ca forele fictive ce apar ntr-o ecuaie s se anuleze reciproc, distanele de la capetele grinzii pn la punctele de aplicaie ale forelor fictive trebuie alese dup cum urmeaz:

4

=x pentru care 04

f3

(5.1)

2

=x for which 02

f4

(5.2) Forele Vi, i=14 obinute anterior sunt introduse n schema de ncrcare a grinzii de lungime finit iar calculul deformaiilor i a eforturilor secionale pot fi fcute folosind tabelele i diagrame asociate grinzii infinite.

Aplicaii ale modelulului Winkler pentru piloii supui la solicitri transversale Pagina 9 / 14


6 APLICAII ALE MODELULUI WINKLER PENTRU PILOII SUPUI LA SOLICITRI TRANSVERSALE

Modelarea structurilor de sprijin supuse la fore orizontale ca grinzi pe mediu Winkler este una foarte realist, prin aceast metod fiind dimensionate majoritatea structurilor de sprijin din Romnia. Modelarea se bazeaz pe urmtoarele ipoteze:

1. Coeficientul de pat, ks, nu variaz cu adncimea 2. Orice seciune a structurii de sprijin este modelat printr-o grind elastic a crei fibr

medie deformat este caracterizat de ecuaia:

B)z(pdz

)z(ydIE 44

p

(6.1)

unde:

EpI este rigiditatea la ncovoiere a seciunii; B este lungimea seciunii normale pe direcia presiunii reactive.

Presiunea reactiv a pmntului la suprafaa de contact a seciunii, p(z), este direct proporional cu deplasarea, y(z), acionnd normal la suprafaa de contact i este calculat pornind de la ecuaia (6.2) care exprim deformaia unui resort imaginar prin care este modelat pmntul

)z(y)z(k)z(p s (6.2) unde ks este coeficientul de pat la adncimea z. n Tab. 6.1 sunt prezentate cteva valori orientative pentru ks. Tab. 6.1: Valori orientative ale coeficientului de pat pentru cteva tipuri de pmnturi

Tipul de pmnt ks (daN/cm3) Pmnturi prfoase, umpluturi afnate, argile moi, nisipuri afnate

0.10.5

Umpluturi compactate, argile vrtoase, nisipuri de ndesare medie

0.55.0

Argile tari, nisipuri ndesate 5.010.0 Argile tari, pietriuri i bolovniuri 10.020.0



Fig. 6.1 Schema de calcul a unei seciuni de structur de sprijin considernd modelul de interaciune

Winkler Considernd c valoarea coeficientului de pat nu variaz cu adncimea, ks(z)=k, ecuaia (6.1) devine:

)z(ykBdz

)z(ydIE 44

p (6.3)

Dac notm cu _z adncimea redus de calcul, dat de relaia

0

_

lzz (6.4)

unde z este adncimea de calcul, iar l0 (lungimea elastic) este dat de relaia:

4 p0 BK

IE4l

(6.5) Pentru o seciune infinit, la aplicarea unei fore tietoare T0 i a unui moment ncovoietor M0 la captul superior al seciunii, se obin urmtoarele ecuaii:



00

0

000

030

020

020

00

Ml

z2TzzT

MzTzlzM

MBKl

z4TBKl

z2z

MBKl

z2TBKl

z2zy

(6.6)

Valorile funciilor z , z , z si z sunt date n relaiile (6.7) (6.10).

)zcos(e)z( z (6.7) )zcos(e)z( z (6.8)

))zsin()z(cos(e)z( z (6.9) ))zsin()z(cos(e)z( z (6.10)

Determinarea lungimii de ncastrare a piloilor Pagina 12 / 14


7 DETERMINAREA LUNGIMII DE NCASTRARE A PILOILOR O metod pentru determinarea lungimii de ncastrare a piloilor presupune o distribuie linear a presiunii reactive a pmntului, descris grafic n Fig. 7.1.

z

z0

l02

l0

l02/2

l02/2

B0

D0

C0

z

A0

p

p01

p02

A0

B0

C0

Failure surface depth

A`0

M0T0

Fig. 7.1: Distribuie simplificat a mpingerii panei alunectoare asupra pilotului, sub form de triunghi

dreptunghic la partea superioar i triunghi isoscel la partea inferior (Parparita, 1992) Valorile p01 (la baza planului alunector) i p02 se consider a fi egale cu diferena dintre rezistena pasiv a pmntului i presiunea activ a acestuia, corespunztoare distanei D1 dintre piloi. Lund n considerare un coeficient al condiiilor de lucru de 0.8, rezult:

aa1pp1oo2

1

oo21active01passive0101

kc2HkD8.0kc2HkD8.0

245tanc2

245tanHD8.0

245tanc2

245tanHD8.0ppp

(7.1)

Valoarea p02 se obine din relaia de mai sus, nlocuind H cu

2

llH 020 :

0T

2lp

2llp

0020202001 (7.2)



Ecuaia de moment fa de punctul D0 ( 0M 0D ) este:

02

llTM

6ll4

2llp 02

00002002001

(7.3)

De unde rezult:

0001

0002001

02 T2lpM12lT8lp2

l (7.4)

0001

2001000

001 T2lplplT6M12zl

(7.5) 0TpM3M24T2MplT24lTp12lTp6lp 200100200010020200130020140301 (7.6) Soluia acestei ecuaii este l0, adic adncimea minim de ncastrare a pilotului. Diagrama de presiune pe pilot mai poate avea urmtoarea form:

H

h1

h

z0

z1

ps

pi

M

Fig. 7.2: Distribuie simplificat a mpingerii pe pilot - parabol la partea superioar, triunghi la partea

inferioar (Marinescu, 1988) Notm cu ps presiunea maxim din zona superioar a diagramei, i cu pi presiunea maxim din zona inferioar a acesteia.



Ecuaia de moment se poate scrie astfel:

0ci010cs001 zh32bpzh

21zzbpz

32zhH (7.7)

De unde se poate obine valoarea lui h.

winkler fundatii ii

Documents