teorie compensari12345676 5432

2
1.1 Mărimi, mărimi măsurate, erori, corecţii Mărimile fizice măsurate sunt mărimi determinate prin valorile lor. În realitate, valorile mărimilor sunt necunoscute, nu se pot afla (valori adevarate). Din această cauză, în matematică când se fac operaţii cu valori ale mărimilor, se spune ” presupunem că valoarea..... ”. Prin măsurarea mărimilor fizice se obţin valori aproximative (experimentale). La fiecare valoare măsurată apare o valoare (pozitivă sau negativă), inevitabilă, numită eroare de măsurare. Erorile se pun în evidenţă ,numai atunci când valorile mărimilor se obţin prin măsurători repetate. Repetând o măsurătoare se obţin valori diferite între ele, se poate afirma că, folosind instrumente din ce în ce mai performante (precise), se obţin valori măsurate din ce în ce mai apropiate de valorile adevarate . Se numeşte eroare diferenţa algebrică pozitivă sau negativă dintre valoarea măsurată şi o valoare de referinţă a mărimii măsurate . ei=Mi-X (i=1,2,.......m) 1.1 unde: · ei - eroarea făcută la măsurare; · Mi valoarea obţinută din măsurare; · X valoarea de referiţă a mărimii măsurate; · m reprezintă numărul de măsurători; Se numeşte corecţ ie (c sau v),eroarea cu semn schimbat c = v = -e = X-M 1.2 În măsuratori ca valoare de referinţă se alege o valoare din valorile măsurate,sau o valoare calculată din şirul de valori măsuratori, considerată ca probabilă (apropiată de valoarea adevarată ). În acest caz, erorile sunt numite erori aparente sau reziduale . Cândvaloarea de referinţă se consideră valoarea adevărată, erorile sunt numite erori adevărate sau erori reale şi sunt necunoscute . Nu se pot calcula deoarece nu se cunosc valorile adevărate ale mărimilor . Măsurarea reprezintă un proces de determinare a informaţiei exprimată printr-un număr care reprezintă raportul dintre marimea măsurată şi o altă mărime de aceeaşi natură luată drept unitate. Precizia de măsurătorilor depinde atât de volumul informaţiilor (nr. De determinări) precum şi de precizia instrumentului de măsurare. Tehnica care se ocupă cu modul de prelucrare a masură torilor şi ajungerea la valoarea cea mai probabil ă se numeşte teoria erorilor de măsurare, iar procedeul se numeş te al celor mai mici pătrate. Ecuaţia măsurării: n=Q/q 1.3 unde : · Q reprezintă mărimea care se măsoară; · q unitatea de măsură; · n reprezintă numărul de cuprindere al unităţii de măsură pe mărime de măsurat; Mărimile care se măsoară, numele unităţ ilor de măsură, simbolul şi defini ţia unităţilor de măsură sunt stabilite prin convenţii . În prezent, 45 de state printre care şi România, fac parte din Convenţia metrului şi folosesc Sistemul Internaţional de Unităţi (SI). Aparatele de măsurat se împart în aparate etalon şi aparate de lucru. Aparatele etalon servesc la reproducerea unităţilor de măsură, păstrarea lor şi la verificarea aparatelor de lucru (cu care se măsoară).Exemplu de măsurare : pentru o lungime Q dintre două puncte A şi B ( o latură de drumuire ,etc.) instrumentul d măsură ,o ruletă cu unitatea de măsură q=50 s-a cuprins(repetat )de n=5,213.Valoarea mărimii măsurate QAB=nq=5,213·50m = 260,65m.Pentru a uşura folosirea lor, aparatele de lucru, reproduc multipli şi submultipli unităţilor de măsură.. 1.3 Funcţii de mărimi măsurate Dacă folosim variabile măsurate, se formează polinoame dinstincte chiar dacă, variabilele măsurate se referă la acelaşi polinom. Spunem că obţinem polinoame diferite, pentru că mărimile măsurate sunt afectate de erori. Ca exemplu, pentru o dreaptă D, perechile de puncte măsurate şi exprimate prin coordonatele lor, formează drepte dinstincte D1,D2,D3 .......Problema care se pune, constă în a găsi o dreapta D, de coeficienţi a şi b astfel determinaţi încât la fiecare x măsurat, să obţinem o coordonată y cât mai apropiată faţă de dreapta D.Coeficientul a, reprezintă coordonata y a punctului de intersecţie dintre dreapta D cu axa y;Parabola (gradul 2)Dreapta (gradul 1) Parabola cubica(gradul 3). Coeficientul b, reprezintă unghiul de pantă al dreptei D.Să reprezentăm grafic dreapta D şi abaterile (erori, corecţii) punctelor faţă de dreaptă,măsurate ca distanţe d pe paralele duse la axa oy, în fiecare punct de coordonate xi , yi :Aplicăm ecuaţia erorii, relaţia 1.1 şi rezultă: ei = di = yi – y 1.16 . Cu relaţia 1.2, obţinem corecţiile: vi = - ei = - di = y - yi 1.17Unde: i = (1,m) reprezintă numărul punctelor măsurate, yi ordonate măsurate şi y ordonate pe dreaptă.Înlocuim în relaţia 1.17 pe ei cu valoarea lui din relaţia 1.16 şi obţinem m relaţii dintre necunoscute (A şi B) şi mărimile măsurate (xi şi yi). Relaţiile formează un sistem de ecuaţii de condi ţ ie sau de corecţii şi se reprezintă astfel:vi = A + Bxi - yi 1.18 Relaţiile 1.18 formează un sistem de m ecuaţii cu (m+n) necunoscute(m= numărul corecţiilor vi şi n = numărul coeficienţilor. Sistemele de ecuaţii în care numărul de necunoscute este mai mare decât numărul ecuaţiilor , din punct de vedere matematic este nedeterminat. Astfel de sisteme se pot determina (calcula) dacă se caută pentru corecţiile vi cele mai probabile valori, prin transformarea lor în alte sisteme, n umite sisteme normale sau normalizate, cu numărul de ecuaţii egal cu numărul necunoscutelor (în exemplul dat două ecuaţii cu două necunoscute A şi B fără necunoscutele vi ). Matematicianul francez A. Legendre (1752- 1833) fundamentează pentru prima dată teoria prelucrării observaţiilor (măsurărilor) prin următorul postulat : valoarea cea mai probabilă a unei mă rimi fizice, bazate pe un set de valori obţinute prin măsurări (sau ca rezultate din măsurări), este aceea pentru care suma pătratelor corec ţiilor este minimă.Procesul de calcul bazat pe postulat, se numeşte compensare prin metoda celor mai mici pătrate.Metoda celor mai mici pătrate (MCMMP) este folosită pentru a rezolva cu aproximare sisteme liniare în care numărul de ecuaţii este mai mare decât numărul de necunoscute. MCMMP este des folosită în calcule statistice, în special în analiza de regresie. Metoda celor mai mici pătrate îşi are originile pe tărâmul astronomiei şi geodeziei, în încercarea oamenilor de ştiinţă şi a matematicienilor de a oferi soluţii de navigaţie pe oceane în timpul erei marilor descoperiri geografice. Descrierea precisă a comportamentului corpurilor cereşti a fost cheia ce a deschis calea navigaţiei pe oceane, unde marinarii nu mai aveau posibilitatea de a se ghida după poziţia uscatului. MCMMP reprezintă punctul culminant al unor cercetari ce au avut loc în timpul secolului XVIII. Exprimat matematic, postulatul lui Legendre se notează astfel:Sum(vi^2)= minima;1.19.Se ştie din matematică, că relaţia 1.19 este minimă, când derivatele parţiale ale ecuaţiilor de condiţie sunt egale cu zero. Prin aplicarea postulatului se transformă sistemul ecuaţiilor de condiţie în sistem normal,în care numărul ecuaţiilor este egal cu numărul neconoscutelor. 1.2 Funcţii Valorile mărimilor se obţin direct ca rezultat al măsurării, indirect folosind funcţii explicite şi condiţionate folosind funcţii implicite. Funcţia este explicită, când se obţine câte o valoare din valorile altor mărimi, folosind relaţii matematice de calcul. Exemplu : Se măsoară la o latură de drumuire, distanţa înclinată LAB, unghiul zenital ZAB şi se obţine distanţa redusă la planul orizontal DAB = LAB. sin (ZAB).Funcţia este implicită, când se obţin valori ale mărimilor, folosind relaţii matematice de condiţie (de regulă geometrice) între mărimi.Funcţia implicită se notează f( x, .y, z, ...) = 0 (1.4)Exemplu: într-un triunghi plan se măsoară două unghiuri, unghiul A si B. Unghiul C se află din relaţia geometrică dintre mărimi, A+B+C-200g = 0 adică C=200g - (A+B) Funcţia explicită de o singură variabilă se notează y = f(x), 1.5 Unde y reprezintă variabila dependetă, x variabila indepentă şi f(x), caracteristica funcţiei (mulţimea operaţiilor efectuate cu mărimea x pentru a obţine mărimea y). Creşterea funcţ iei se notează cu Δy = f(x+Δx)-f(x) 1.6 Derivata funcţiei se notează cu simbolurile dy = f'(x)dx, şi reprezintă limita raportului dintre creşterea variabilei independente Δx (creştere considerată suficient de mică în valoare absolută), când Δx tinde către zero, adică:f(x)=lim[(f(x+Δx)-f(x)/Δx)]. Din punct de vedere geometric, derivata este egală cu tg(α), unde α reprezintă unghiul format de tangenta la curbă în punctul M, de coordonate M(x,y), cu direcţia pozitivă a axei Ox (coefieientul unghiular al tangentei la curbă) Diferenţiala funcţiei se notează cu simbolul dy sau df(x) şi reprezintă produsul dintre derivata funcţiei şi diferenţiala variabilei independente, adică dy = f'(x) dx. Regula se aplică măsurătorilor la a liniariza funcţiile pentru creşteri h suficient de mici (se dezvoltă funcţia în serie numai cu prima derivată şi se renunţă la următorii termeni). Exemplu de compensare pentru o diferenţă de nivel: Relaţia matematică este următoarea: hij = Hj - Hi 1.20 unde hij reprezintă diferenţa de nivel de la i la j, Hi cota lui i şi Hj cota luij.Introducem valorile măsurate şi corceţiile: hij + vij = Hj + vj - (Hi + vi) 1.21 Ordonăm relaţia 1.20 astfel: vij = vj - vi + Hj - Hi - hij 1.22 Notăm lij = Hj - Hi - hij, înlocuim în 1.22 şi obţinem ecuaţia de condiţie : vij = vj - vi + lij 1.23 Exemplu de compensare pentru o distanţă redusă :Relaţia matematică este următoarea: Dij = (X j - Xi )2 + (Yj -Yi )2 1.24 unde : Dij reprezintă distanţa redusă, (Xi, Xj) şi (Yi, Yj) coordonatele punctelor.Se dezvoltă în serie Taylor radicalul din 1.24 cu coordonate măsurate:Derivatele parţiale : Termenul liber: lij = Distanţa din coordonate - Distanţa măsurată.Scriem ecuaţia de condiţie: vij = -cos (θij) xi - sin(θij) yi + cos(θij)xj + sin(θij) yj + lij 1.4 Indicatori ai mărimilor măsurate 1.4.1 Indicatori de precizie (media aritmetică) Media aritmetică simplă pentru un şir de măsurari M1, M2, M3, ..., Mm o notăm cu M şi este dată de expresia:M=sum(Mi)/m ;Media aritmetică ponderată notând ponderile p1 p2 , ........, pm ale mărimilor M1, M2, M3, ..., Mm o notăm cu Mp şi este dată de expresia: M=sum(piMi)/sum(pi);Media aritmetică dă informaţii asupra valorii medii a şirului şi este considerată ca cea mai probabilă valore a şirului de măsurări. Mediana reprezintă valoarea centrală (de mijloc), din şirul de măsurări. Modul (ecart maxim) reprezintă diferenţa dintre valorile extreme ale şirului de măsurări. 1.4.2 Indicatorii variaţiei sau de împrăştiere (amplitudinea, dispersia, abaterea standard, coeficient de variaţie) Amplitudinea, se notează cu W sau Δmax şi este dată de expresia: W = Mmax - Mmin 1.28 Ne dă informaţii despre imprăştierea valorilor măsurate între valorile extreme.Dispersia, se notează cu σ2 şi este dată de expresia: σ^2 =(1/(m-1))*sum(pi*(Mi-M)^2) Pentru mărimi ponderate este dată de expresia: σp^2 =(1/(m-1))*sum(pi*(Mi-M)^2) Ne dă informaţii asupra mărimii împrăştierii valorilor măsurate în jurul valorii mediei aritmetice.Abatere standard (abaterea medie pătratică, eroarea medie pătratică a unei singure măsurari), se notează σ sau σp şi este rădăcina pătrată a dispersiei. Se exprimă în unităţile de măsură ale mărimilor măsurate. Observţie. Diferenţele Mi - M din relaţiile 1.29 şi 1.30, reprezintă erorile aparente (reziduale) ale mărimilor măsurate. Abaterea standard a mediei aritmetice (abaterea medie pătratică a mediei aritmetice,eroarea medie pătratică a mediei aritmetice), se notează cu σM şi are expresia: σM=σ/sqrt(m); Pentru măsurări ponderate are expresia, σMp =σp/sum(sqrt(pi)); Abatere probabilă, reprezintă circa 2/3 din abaterea standard, adică 0,6745. Coeficient de variaţie ( variabilitate) se notează cu V% şi este dat de expresia,V% = σ/M*100 Predicţie În sens larg, anticipare a producerii unui eveniment sau fenomen, a unei interacţiuni,acţiuni sau relaţii, pe baza cunoaşterii disponibile, astfel putem numi predicţia cu prevederea sau prezicerea. În cercetarea socială, tip de analiză sociologică prin care se urmăreşte să se specifice trăsăturile unui eveniment social (relaţie, interacţiune,performanţă, comportament individual sau de grup etc.) pe baza informaţiei existente şi relevante despre alte evenimente cu care este asociat. Exemple: cunoaşterea aptitudinilor unei persoane facilitează elaborarea de predicţie despre performanţele dintr-o activitate;testele de inteligenţă prezic capacitatea trecută, prezentă şi viitoare de a învăţa şi a rezolva probleme; apartenenţa la o organizaţie politică prezice atitudinile faţă de un eveniment politic; poziţia individuală într-o ierarhie socială. În fiecare relaţie de acest gen apar două variabile. Prima concentrează informaţia utilizată pentru a face predicţia şi este numită predictor, iar a doua este considerată variabilă criteriu (sau dependenţă). Tipul cel mai simplu de predicţie implică un predictor şi un criteriu. Analiza statistică multivariată oferă posibilităţi instrumentale de specificare a predictorilor multipli, cu ponderi diferite, pentru una sau mai multe variabile-criteriu(dependente), în condiţii de stabilire şi cunoaştere ale nivelului incertitudinii. Totodată,incertitudinea predicţie este influenţată invers proporţional de acurateţea şi precizia estimaţiei parametrilor populaţiei pe baza informaţ iilor culese din investigarea unui eşantion. Probabilitate 1. Sens apriori. Dacă vom considera rezultatele unui experiment sau ale unei anchete sociale (scorurile la un test sau răspunsurile la întrebări) ca evenimente şi vom caracteriza fiecare eveniment prin succes (producerea lui în direcţia care ne interesează) sau prin eşec (rezultate care nu se conformează aşteptărilor), atunci (P) producerii evenimentului în direcţia care ne interesează este este aplicat în teoria matematică , care măsoară şansele unor rezultate posibile în situaţii incerte. 2.Sens aposteriori. Acesta este de tip empiric, considerîndu -se că într-o serie de observaţii(teste, chestionare, experimente),(P) este exprimată prin raportul dintre numărul de apariţii ale unui eveniment şi numărul de încercări.(P) este considerată empiric prin aplicarea unor probe de măsurare, prin înregistrarea numărului de ori în care se produce un tip de evenimente şi apoi prin calcularea raportului dintre numărul de apariţii şi numărul de încercări pentru a specifica probabilitatea de producere a tipului respectiv de eveniment. p(A/B)=p(AintersectatB)/p(B) Testul F (Fisher). Se utilizează pentru a testa dacă variaţia unei variabile este mai mare într-o populaţie decît în alta, comparaţia fiind făcută folosind două eşantioane mici, cîte unul din fiecare populaţie. Să notăm cu σ12varianţa în primul eşantion şi cu σ22 varianţa în cel de al doilea şi să presupunem că prima din cele două valori este mai mare. Testulc2 (hi pătrat). Este un test de concordanţă, neparametrică, folosit pentru a testa gradul de„apropiere” dintre o distribuţie empirică şi una teoretică. Nefăcînd deci apel la valorile variabilei,el poate fi utilizat atît în cazul caracteristicilor cantitative cît şi în cel al caracteristicilor calitative.Aplicarea testului c2 nu este un bun indicator de depistare a măsurătorilor greşite, deoarece este foarte sensibil la modul de alegere al ponderilor. Cu acest test se verifică normalitatea (dacă mărimile sunt distribuite dupa legea de distribuţie normală).În tratarea matematică a erorilor aleatoare se admite, în general, că distribuţia probabilităţilor erorilor este dată de legea normală - legea erorilor lui Gauss. Regresie Metodă statistică folosită pentru a estima sau prognoza schimbările dintr-o variabilă în funcţie de schimbările din altă variabilă sau dintr-un set de alte variabile. Variabila ale cărei valori se estimează prin analiza de regresie este denumită dependentă sau endogenă,iar cea în funcţie de care se face estimarea este denumită independentă sau exogenă. Dacă notăm pe prima cu y iar pe cea de-a doua cu x, atunci relaţia lor, în măsura în care este una de tip liniar, poate fi exprimată prin ecuaţia y' = a + b • x, denumită ecuaţie de regresie. Prin y' se desemnează valoarea aşteptată a lui y în funcţie de x. Elementul cel mai important al acestei ecuaţii este b, coeficientul de regresie a variabilei y asupra variabilei x sau regresia lui y în funcţie de x. Prin el se exprimă regula de corespondenţă dintre schimbările în x şi cele în y. Valoarea sa indică numărul de unităţi cu care se schimbă (creşte sau descreşte) în medie variabila dependentă pentru o schimbare cu o unitate a variabilei independente; a este denumit termen liber al regresiei şi este folosit mai mult ca element de calcul cu sens matematic, decît ca instrument pentru interpretarea relaţiei dintre variabile. a şi b poartă numele de parametrii ai ecuaţiei de regresie. Spre deosebire de x şi y care iau valori diferite şi sînt observabile, parametrii au caracter constant pentru o aceiaşi populaţie şi sînt neobservabili, determinîndu -se pe bază de calcul.Legătura dintre două variabile x şi y este liniară dacă efectul în y al schimbării lui x cu o unitate dată este acelaşi, indiferent de nivelul la care se produce schimbarea în această ultimă variabilă. Norul de puncte care corespunde, în reprezentare grafică, distribuţiilor unităţilor de analiză, în funcţie de cele două variabile considerate ca axe rectangulare,tinde să se ordoneze în jurul unei drepte dacă relaţia este de tip liniar. Aceasta poartă numele de dreaptă de regresie şi are ca expresie matematică ecuaţia de regresie. Trasarea ei în funcţie de parametrii ecuaţiei de regresie se face astfel încît suma pătratelor distanţelor de la unităţile de analiză la dreapta de regresie este minimă. VARIABILE ALEATOARE CONTINUE Variabila aleatoare continuă X are o infinitate de valori, x, şi repartiţia nu poate fi redată printr-un tablou.În consecinţă, se foloseşte probabilitatea evenimentului X £ x , care, după cum s -a văzut, se numeşte funcţie de repartiţie şi are, în acest caz, un rol primordial.Pentru variabila aleatoare continuă, funcţia de repartiţie este definită de integrala: F(x) =P(X <=x)= f (x)dx= F(x)dx unde f (x) reprezintă densitatea de repartiţie a probabilităţii sau densitatea de probabilitate.Densitatea de probabil itate este prima derivată (dacă există) a funcţiei de repartiţie F(x) ,adică:f(x)= ()() =F(x) Densitatea de probabilitate este reprezentată de o curbă, (Fig.a). Mărimea f (x)dx , se numeşte element de probabilitate şi reprezintă probabilitatea ca variabila aleatoare să se găsească în intervalul elementar dx , fiind egală, din punct de vedere geometric, cu aria dreptunghiului elementar cu baza dx (Fig.b).Rezultă că probabilitatea egalităţii cu o valoare oarecare a variabilei aleatoare continue este egală cu zero. Acest paradox aparent trebuie interpretat în felul următor: evenimentul X = x este un eveniment posibil, dar probabilitatea acestui eveniment este zero. Un astfel de eveniment, posibil cu probabilitatea zero nu trebuie confundat cu evenimentul imposibil.Definiţia clasică a probabilităţii conduce la o interpretare, nu în sensul că evenimentul va aparea, ci în sensul că evenimentul este posibil, dar probabilitatea (frecvenţa) sa este nulă.Se observă de asemenea că f (x) nu are semnificaţia unei probabillităţi aşa cum se prezintă expresia P(xi ), pentru variabila aleatoare discretă. În consecinţă, semnul ≤sau folosit la variabila aleatoare discretă va fi înlocuit, în general, prin < sau > pentru variabila aleatoare continuă (probab ilitatea egalităţii fiind nulă) a) Proprietăţile funcţiei derepartiţie Geometric, funcţia de repartiţie pentru variabila aleatoare continuă este reprezentată de aria haşurată, cuprinsă între curba densităţii de probabilitate şi axa absciselor (Fig.a), iar aria totală este egală cu unitatea. 2. CLASIFICAREA MĂSURĂTORILOR Clasificarea se va face după modul de obţinere al valorilor mărimilor, numărul lor,condiţiile de măsurare,încrederea acordată şi interdependenţa lor. 2.1 După modul de obţinere al valorii mărimilor. După modul de obţinere al valorilor, măsurările se împart în directe, indirecte şi condiţionate. Măsurători directe se numesc atunci când se obţine valoarea mărimii direct, folosind instrumente de măsurare. La fiecare măsurătoare, obţinem câte o valoare măsurată. De exemplu, măsurarea unei lungimi cu o ruletă. Din această categorie fac parte şi măsurătorile obţinute în urma unor operaţii de calcul cum ar fi: diferenţa dintre două numere (măsurarea unui unghi orizontal cu teodolitul, măsurarea geometrică a unei diferenţe de nivel folosind o nivelă) sau înmulţirea unui număr cu o constantă (măsurareadistanţelor stadimetric). Masurători indirecte se numesc atunci când se obţine valoarea mărimii indirect, folosind relaţii matematice cu funcţii între două sau mai multe mărimi măsurate direct.De exemplu, dacă se măsoară direct între două puncte A şi B, lungimea înclinată LAB şi unghiul zenital ZAB, se obţin valori indirecte pentru lungimea redusă la orizont DAB şi diferenţa de nivel ΔHAB folosind relaţii matematice, astfel :DAB = LAB sin(ZAB) şi ΔHAB = LAB. cos(ZAB) Măsurători condiţionate se numesc atunci când valorile mărimilor măsurate direct, sunt supuse unor condiţii exprimate prin relaţii matematice. De exemplu, unghiurile α,β,γ măsurate direct întru-un triunghi plan, trebuie să îndeplinească relaţia α+β+γ=200g 2.2 După numărul măsurărilor După numărul măsurărilor, măsurările se împart în măsurări necesare şi suplimentare .Se numesc măsurări necesare numărul minim de măsurări pentru a determina valoarea unei mărimi. De exemplu, pentru a afla valoarea unei lungimi se măsoară o singură dată Se numesc măsurări suplimentare numărul de măsurări peste (în plus) necesare pentru a determina valoarea unei mărimi. De exemplu, la măsurarea unei lungimi de m ori,diferenţa m-l reprezintă măsurări suplimentare.Numărul măsurărilor suplimentare reprezintă gradul de libertate al determinarii.De regulă, se fac măsurări suplimentare; măsurările suplimentare sunt necesare pentru aridica precizia valorii mărimii măsurate sau a preîntâmpina eventualele greşeli care apar în procesul de măsurare. 2.3 După condiţiile de măsurare După condiţiile de măsurare, măsurările se împart în măsurări de aceeaşi precizie si de precizii diferite.Măsurări de aceeaşi precizie sunt măsurările făcute de un singur operator, cu acelaşi instrument şi în aceleaşi condiţii de mediu.Măsurări de precizii diferite se numesc măsurările făcute fie de mai mulţi operatori, fie cu instrumente diferite sau în condiţii de mediu diferit. Din definiţie, rezultă că majoritatea măsurărilor sunt măsurări de precizii diferite. 2.4 După încrederea acordată După încrederea acordată, măsurările se împart în măsurări de încredere superioară şi redusă.Ca exemplu, să presupunem o lungime măsurată cu două instrumen te diferite, şi anume:un operator măsoară cu compasul de măsurare şi acelaşi operator sau un alt operator măsoară cu panglica sau ruleta. Folosind instrumente diferite ca precizie de măsurare, ne face să nu acordăm valorilor măsurate aceeaşi încredere. Considerăm că a doua măsurare este mai bună (precisă).Măsurări de încredere superioară sunt măsurări realizate de către operatori mai atenţi,cu instrumente mai precise şi în condiţii de lucru (mediu) mai bune. Măsurări de încredere redusă sunt măsurări realizate cu instrumente mai puţin precise,de operatori mai puţin atenţi sau în condiţii dificile de mediu.La prelucrarea măsurărilor cu încrederi diferite, se stabileasc condiţii de folosire în aşa fel,ca măsurările de încredere redusă să influenţeze cât mai puţin valorile finale calculate. În acest scop, la fiecare valoare măsurată se ataşează o valoare numerică, numită pondere,proporţională cu încrederea (la măsurări de încredere superioară ponderea este mai mare şi la măsurări de încredere redusă ponderea este mai mică).Ponderea, ca definiţie, reprezintă expresia numerică a încrederii acordate valorilor măsurate.Când la mai multe măsurări li se atribuie aceeaşi încredere (pondere), măsurările sunt considerate de aceeaşi precizie şi când li se atribuie ponderi d iferite, măsurările sunt considerate de precizii diferite. 2.5 După interdependenţa lor După interdependenţa, măsurările se împart în măsurări dependente ş i independente. Sunt măsurări dependente, măsurările efectuate în condiţii de mediu neuniform (variaţ ii ale refracţiei atmosferice, diferiţe de temperaturi, etc.) şi cu instrumente imperfecte (cu erori remanente). Din această definiţie rezultă că majoritatea măsurărilor sunt dependente.Având în vedere dificultatea de a stabili gradul de dependenţă pe fiecare măsurare în parte, în lucrări curente, măsurările la prelucrarea lor se consideră independente.

Upload: bia9012

Post on 08-Nov-2015

219 views

Category:

Documents


2 download

DESCRIPTION

compensari 2345676543

TRANSCRIPT

  • 1.1 Mrimi, mrimi msurate, erori, corecii Mrimile fizice msurate sunt mrimi determinate prin valorile lor. n realitate, valorile mrimilor sunt necunoscute, nu se pot afla (valori adevarate). Din aceast cauz, n matematic cnd se fac operaii cu valori ale mrimilor, se spune presupunem c valoarea..... . Prin msurarea mrimilor fizice se obin valori aproximative (experimentale). La fiecare valoare msurat apare o valoare (pozitiv sau negativ), inevitabil, numit eroare de msurare. Erorile se pun n eviden ,numai atunci cnd valorile mrimilor se obin prin msurtori repetate. Repetnd o msurtoare se obin valori diferite ntre ele, se poate afirma c, folosind instrumente din ce n ce mai performante (precise), se obin valori msurate din ce n ce mai apropiate de valorile adevarate . Se numete eroare diferena algebric pozitiv sau negativ dintre valoarea msurat i o valoare de referin a mrimii msurate . ei=Mi-X (i=1,2,.......m) 1.1 unde: ei - eroarea fcut la msurare; Mi valoarea obinut din msurare; X valoarea de referi a mrimii msurate; m reprezint numrul de msurtori; Se numete corecie (c sau v),eroarea cu semn schimbat c = v = -e = X-M 1.2 n msuratori ca valoare de referin se alege o valoare din valorile msurate,sau o valoare calculat din irul de valori msuratori, considerat ca probabil (apropiat de valoarea adevarat ). n acest caz, erorile sunt numite erori aparente sau reziduale . Cndvaloarea de referin se consider valoarea adevrat, erorile sunt numite erori adevrate sau erori reale i sunt necunoscute . Nu se pot calcula deoarece nu se cunosc valorile adevrate ale mrimilor . Msurarea reprezint un proces de determinare a informaiei exprimat printr-un numr care reprezint raportul dintre marimea msurat i o alt mrime de aceeai natur luat drept unitate. Precizia de msurtorilor depinde att de volumul informaiilor (nr. De determinri) precum i de precizia instrumentului de msurare.

    Tehnica care se ocup cu modul de prelucrare a masurtorilor i ajungerea la valoarea cea mai probabil se numete teoria erorilor de msurare, iar procedeul se numete al celor mai mici ptrate. Ecuaia msurrii: n=Q/q 1.3 unde : Q reprezint mrimea care se msoar; q unitatea de msur; n reprezint numrul de cuprindere al unitii de msur pe mrime de msurat;

    Mrimile care se msoar, numele unitilor de msur, simbolul i definiia unitilor de msur sunt stabilite prin convenii . n prezent, 45 de state printre care i Romnia, fac parte din Convenia metrului i folosesc Sistemul Internaional de Uniti (SI). Aparatele de msurat se mpart n aparate etalon i aparate de lucru. Aparatele etalon servesc la reproducerea unitilor de msur, pstrarea lor i la verificarea aparatelor de lucru (cu care se msoar).Exemplu de msurare : pentru o lungime Q dintre dou puncte A i B ( o latur de drumuire ,etc.) instrumentul d msur ,o rulet cu unitatea de msur q=50 s-a cuprins(repetat )de n=5,213.Valoarea mrimii msurate QAB=nq=5,21350m = 260,65m.Pentru a uura folosirea lor, aparatele de lucru, reproduc multipli i submultipli unitilor de msur..

    1.3 Funcii de mrimi msurate Dac folosim variabile msurate, se formeaz polinoame dinstincte chiar dac, variabilele msurate se refer la acelai polinom. Spunem c obinem polinoame diferite, pentru c mrimile msurate sunt afectate de erori.Ca exemplu, pentru o dreapt D, perechile de puncte msurate i exprimate prin coordonatele lor, formeaz drepte dinstincte D1,D2,D3.......Problema care se pune, const n a gsi o dreapta D, de coeficieni a i b astfel determinai nct la fiecare x msurat, s obinem o coordonat y ct mai apropiat fa de dreapta D.Coeficientul a, reprezint coordonata y a punctului de intersecie dintre dreapta D cu axa y;Parabola (gradul 2)Dreapta (gradul 1) Parabola cubica(gradul 3). Coeficientul b, reprezint unghiul de pant al dreptei D.S reprezentm grafic dreapta D i abaterile (erori, corecii) punctelor fa de dreapt,msurate ca distane d pe paralele duse la axa oy, n fiecare punct de coordonate xi , yi :Aplicm ecuaia erorii, relaia 1.1 i rezult: ei = di = yi y 1.16.Cu relaia 1.2, obinem coreciile: vi = - ei = - di = y - yi 1.17Unde: i = (1,m) reprezint numrul punctelor msurate,yi ordonate msurate i y ordonate pe dreapt.nlocuim n relaia 1.17 pe ei cu valoarea lui din relaia 1.16 i obinem m relaii dintre necunoscute (A i B) i mrimile msurate (xi i yi). Relaiile formeaz un sistem de ecuaii de condiie sau de corecii i se reprezint astfel:vi = A + Bxi - yi 1.18 Relaiile 1.18 formeaz un sistem de m ecuaii cu (m+n) necunoscute(m= numrul coreciilor vi i n = numrul coeficienilor. Sistemele de ecuaii n care numrul de necunoscute este mai mare dect numrul ecuaiilor , din punct de vedere matematic este nedeterminat.Astfel de sisteme se pot determina (calcula) dac se caut pentru coreciile vi cele mai probabile valori, prin transformarea lor n alte sisteme, numite sisteme normale sau normalizate, cu numrul de ecuaii egal cu numrul necunoscutelor (n exemplul dat dou ecuaii cu dou necunoscute A i B fr necunoscutele vi ).Matematicianul francez A. Legendre (1752- 1833) fundamenteaz pentru prima dat teoria prelucrrii observaiilor (msurrilor) prin urmtorul postulat : valoarea cea mai probabil a unei mrimi

    fizice, bazate pe un set de valori obinute prin msurri (sau ca rezultate din msurri), este aceea pentru care suma ptratelor coreciilor este minim.Procesul de calcul bazat pe postulat, se numete compensare prin metoda celor mai mici ptrate.Metoda celor mai mici ptrate (MCMMP) este folosit pentru a rezolva cu aproximare sisteme liniare n care numrul de ecuaii este mai mare dect numrul de necunoscute. MCMMP este des folosit n calcule statistice, n special n analiza de regresie.Metoda celor mai mici ptrate i are originile pe trmul astronomiei i geodeziei, n ncercarea oamenilor de tiin i a matematicienilor de a oferi soluii de navigaie pe oceane n timpul erei marilor descoperiri geografice. Descrierea precis a comportamentului corpurilor cereti a fost cheia ce a deschis calea navigaiei pe oceane, unde marinarii nu mai aveau posibilitatea de a se ghida dup poziia uscatului. MCMMP reprezint punctul culminant al unor cercetari ce au avut loc n timpul secolului XVIII. Exprimat matematic, postulatul lui Legendre se noteaz astfel:Sum(vi^2)= minima;1.19.Se tie din matematic, c relaia 1.19 este minim, cnd derivatele pariale ale ecuaiilor de condiie sunt egale cu zero.Prin aplicarea postulatului se transform sistemul ecuaiilor de condiie n sistem normal,n care numrul ecuaiilor este egal cu numrul neconoscutelor.

    1.2 Funcii Valorile mrimilor se obin direct ca rezultat al msurrii, indirect folosind funcii explicite i condiionate folosind funcii implicite.Funcia este explicit, cnd se obine cte o valoare din valorile altor mrimi, folosind relaii matematice de calcul.Exemplu : Se msoar la o latur de drumuire, distana nclinat LAB, unghiul zenital ZAB i se obine distana redus la planul orizontal DAB = LAB. sin (ZAB).Funcia este implicit, cnd se obin valori ale mrimilor, folosind relaii matematice de condiie (de regul geometrice) ntre mrimi.Funcia implicit se noteaz f( x, .y, z, ...) = 0 (1.4)Exemplu: ntr-un triunghi plan se msoar dou unghiuri, unghiul A si B. Unghiul C se afl din relaia geometric dintre mrimi, A+B+C-200g = 0 adic C=200g - (A+B) Funcia explicit de o singur variabil se noteaz y = f(x), 1.5 Unde y reprezint variabila dependet, x variabila indepent i f(x), caracteristica funciei (mulimea operaiilor efectuate cu mrimea x pentru a obine mrimea y).Creterea funciei se noteaz cu y = f(x+x)-f(x) 1.6 Derivata funciei se noteaz cu simbolurile dy = f'(x)dx, i reprezint limita raportului dintre creterea variabilei independente x (cretere considerat suficient de mic n valoare absolut), cnd x tinde ctre zero, adic:f(x)=lim[(f(x+x)-f(x)/x)]. Din punct de vedere geometric, derivata este egal cu tg(), unde reprezint unghiul format de tangenta la curb n punctul M, de coordonate M(x,y), cu direcia pozitiv a axei Ox (coefieientul unghiular al tangentei la curb) Difereniala funciei se noteaz cu simbolul dy sau df(x) i reprezint produsul dintre derivata funciei i difereniala variabilei independente, adic dy = f'(x) dx. Regula se aplic msurtorilor la a liniariza funciile pentru creteri h suficient de mici (se dezvolt funcia n serie numai cu prima derivat i se renun la urmtorii termeni).

    Exemplu de compensare pentru o diferen de nivel: Relaia matematic este urmtoarea: hij = Hj - Hi 1.20 unde hij reprezint diferena de nivel de la i la j, Hi cota lui i i Hj cota luij.Introducem valorile msurate i corceiile: hij + vij = Hj + vj - (Hi + vi) 1.21 Ordonm relaia 1.20 astfel: vij = vj - vi + Hj - Hi - hij 1.22 Notm lij = Hj - Hi - hij, nlocuim n 1.22 i obinem ecuaia de condiie : vij = vj - vi + lij 1.23

    Exemplu de compensare pentru o distan redus :Relaia matematic este urmtoarea: Dij = (X j - Xi )2 + (Yj -Yi )2 1.24 unde : Dij reprezint distana redus, (Xi, Xj) i (Yi, Yj) coordonatele punctelor.Se dezvolt n serie Taylor radicalul din 1.24 cu coordonate msurate:Derivatele pariale : Termenul liber: lij = Distana din coordonate - Distana msurat.Scriem ecuaia de condiie: vij = -cos (ij) xi - sin(ij) yi + cos(ij)xj + sin(ij) yj + lij 1.4 Indicatori ai mrimilor msurate 1.4.1 Indicatori de precizie (media aritmetic) Media aritmetic simpl pentru un ir de msurari M1, M2, M3, ..., Mm o notm cu M i este dat de expresia:M=sum(Mi)/m ;Media aritmetic ponderat notnd ponderile p1 p2 ,........, pm ale mrimilor M1, M2, M3, ..., Mm o notm cu Mp i este dat de expresia: M=sum(piMi)/sum(pi);Media aritmetic d informaii asupra valorii medii a irului i este considerat ca cea mai probabil valore a irului de msurri. Mediana reprezint valoarea central (de mijloc), din irul de msurri. Modul (ecart maxim) reprezint diferena dintre valorile extreme ale irului de msurri.

    1.4.2 Indicatorii variaiei sau de mprtiere (amplitudinea, dispersia, abaterea standard, coeficient de variaie) Amplitudinea, se noteaz cu W sau max i este dat de expresia: W = Mmax - Mmin 1.28

    Ne d informaii despre imprtierea valorilor msurate ntre valorile extreme.Dispersia, se noteaz cu 2 i este dat de expresia: ^2 =(1/(m-1))*sum(pi*(Mi-M)^2) Pentru mrimi ponderate este dat de expresia: p^2 =(1/(m-1))*sum(pi*(Mi-M)^2) Ne d informaii asupra mrimii mprtierii valorilor msurate n jurul valorii mediei aritmetice.Abatere standard (abaterea medie ptratic, eroarea medie ptratic a unei singure msurari), se noteaz sau p i este rdcina ptrat a dispersiei. Se exprim n unitile de msur ale mrimilor msurate. Observie. Diferenele Mi - M din relaiile 1.29 i 1.30, reprezint erorile aparente (reziduale) ale mrimilor msurate. Abaterea standard a mediei aritmetice (abaterea medie ptratic a mediei aritmetice,eroarea medie ptratic a mediei aritmetice), se noteaz cu M i are expresia: M=/sqrt(m); Pentru msurri ponderate are expresia, Mp =p/sum(sqrt(pi)); Abatere probabil, reprezint circa 2/3 din abaterea standard, adic 0,6745. Coeficient de variaie ( variabilitate) se noteaz cu V% i este dat de expresia,V% = /M*100

    Predicie n sens larg, anticipare a producerii unui eveniment sau fenomen, a unei interaciuni,aciuni sau relaii, pe baza cunoaterii disponibile, astfel putem numi predicia cu prevederea sau prezicerea. n cercetarea social, tip de analiz sociologic prin care se urmrete s se specifice trsturile unui eveniment social (relaie, interaciune,performan, comportament individual sau de grup etc.) pe baza informaiei existente i relevante despre alte evenimente cu care este asociat. Exemple: cunoaterea aptitudinilor unei persoane faciliteaz elaborarea de predicie despre performanele dintr-o activitate;testele de inteligen prezic capacitatea trecut, prezent i viitoare de a nva i a rezolva probleme; apartenena la o organizaie politic prezice atitudinile fa de un eveniment politic; poziia individual ntr-o ierarhie social. n fiecare relaie de acest gen apar dou variabile. Prima concentreaz informaia utilizat pentru a face predicia i este numit predictor, iar a doua este considerat variabil criteriu (sau dependen). Tipul cel mai simplu de predicie implic un predictor i un criteriu. Analiza statistic multivariat ofer posibiliti instrumentale de specificare a predictorilor multipli, cu ponderi diferite, pentru una sau mai multe

    variabile-criteriu(dependente), n condiii de stabilire i cunoatere ale nivelului incertitudinii. Totodat,incertitudinea predicie este influenat invers proporional de acurateea i precizia estimaiei parametrilor populaiei pe baza informaiilor culese din investigarea unui eantion.

    Probabilitate

    1. Sens apriori. Dac vom considera rezultatele unui experiment sau ale unei anchete sociale (scorurile la un test sau rspunsurile la ntrebri) ca evenimente i vom caracteriza fiecare eveniment prin succes (producerea lui n direcia care ne intereseaz) sau prin eec (rezultate care nu se conformeaz ateptrilor), atunci (P) producerii evenimentului n direcia care ne intereseaz este este aplicat n teoria matematic , care msoar ansele unor rezultate posibile n situaii incerte. 2.Sens aposteriori. Acesta este de tip empiric, considerndu -se c ntr-o serie de observaii(teste, chestionare, experimente),(P) este exprimat prin raportul dintre numrul de apariii ale unui eveniment i numrul de ncercri.(P) este considerat empiric prin aplicarea unor probe de msurare, prin nregistrarea numrului de ori n care se produce un tip de evenimente i apoi prin calcularea raportului dintre numrul de apariii i numrul de ncercri pentru a specifica probabilitatea de producere a tipului respectiv de eveniment.

    p(A/B)=p(AintersectatB)/p(B) Testul F (Fisher). Se utilizeaz pentru a testa dac variaia unei variabile este mai mare ntr-o populaie dect n alta, comparaia fiind fcut folosind dou eantioane mici, cte unul din fiecare populaie. S notm cu 12variana n primul eantion i cu 22 variana n cel de al doilea i s presupunem c prima din cele dou valori este mai mare.

    Testulc2 (hi ptrat). Este un test de concordan , neparametric, folosit pentru a testa gradul deapropiere dintre o distribuie empiric i una teoretic. Nefcnd deci apel la valorile variabilei,el poate fi utilizat att n cazul caracteristicilor cantitative ct i n cel al caracteristicilor calitative.Aplicarea testului c2 nu este un bun indicator de depistare a msurtorilor greite, deoarece este foarte sensibil la modul de alegere al ponderilor. Cu acest test se verific normalitatea (dac mrimile sunt distribuite dupa legea de distribuie normal).n tratarea matematic a erorilor aleatoare se admite, n general, c distribuia probabilitilor erorilor este dat de legea normal - legea erorilor lui Gauss.

    Regresie

    Metod statistic folosit pentru a estima sau prognoza schimbrile dintr-o variabil n funcie de schimbrile din alt variabil sau dintr-un set de alte variabile. Variabila ale crei valori se estimeaz prin analiza de regresie este denumit dependent sau endogen,iar cea n funcie de care se face estimarea este denumit independent sau exogen. Dac notm pe prima cu y iar pe cea de-a doua cu x, atunci relaia lor, n msura n care este una de tip liniar, poate fi exprimat prin ecuaia y' = a + b x, denumit ecuaie de regresie.Prin y' se desemneaz valoarea ateptat a lui y n funcie de x. Elementul cel mai important al acestei ecuaii este b, coeficientul de regresie a variabilei y asupra variabilei x sau regresia lui y n funcie de x. Prin el se exprim regula de coresponden dintre schimbrile n x i cele n y. Valoarea sa indic numrul de uniti cu care se schimb (crete sau descrete) n medie variabila dependent pentru o schimbare cu o unitate a variabilei independente; a este denumit termen liber al

    regresiei i este folosit mai mult ca element de calcul cu sens matematic, dect ca instrument pentru interpretarea relaiei dintre variabile. a i b poart numele de parametrii ai ecuaiei de regresie. Spre deosebire de x i y care iau valori diferite i snt observabile, parametrii au caracter constant pentru o aceiai populaie i snt neobservabili, determinndu-se pe baz de calcul.Legtura dintre dou variabile x i y este liniar dac efectul n y al schimbrii lui x cu o unitate dat este acelai, indiferent de nivelul la care se produce schimbarea n aceast ultim variabil. Norul de puncte care corespunde, n reprezentare grafic, distribuiilor unitilor de analiz, n funcie de cele dou variabile considerate ca axe rectangulare,tinde s se ordoneze n jurul unei drepte dac relaia este de tip liniar. Aceasta poart numele de dreapt de regresie i are ca expresie matematic ecuaia de regresie. Trasarea ei n funcie de parametrii ecuaiei de regresie se face astfel nct suma ptratelor distanelor de la unitile de analiz la dreapta de regresie este minim.

    VARIABILE ALEATOARE CONTINUE Variabila aleatoare continu X are o infinitate de valori, x, i repartiia nu poate fi redat printr-un tablou.n consecin, se folosete probabilitatea evenimentului X x , care, dup cum s-a vzut, se numete funcie de repartiie i are, n acest caz, un rol primordial.Pentru variabila aleatoare continu, funcia de repartiie este definit de

    integrala: F(x) =P(X pentru variabila aleatoare continu (probab ilitatea egalitii fiind nul) a) Proprietile funciei derepartiie Geometric, funcia de repartiie pentru variabila aleatoare continu este reprezentat de aria haurat, cuprins ntre curba densitii de probabilitate i axa absciselor (Fig.a), iar aria total este egal cu unitatea.

    2. CLASIFICAREA MSURTORILOR Clasificarea se va face dup modul de obinere al valorilor mrimilor, numrul lor,condiiile de msurare,ncrederea acordat i interdependena lor.2.1 Dup modul de obinere al valorii mrimilor. Dup modul de obinere al valorilor, msurrile se mpart n directe, indirecte i condiionate.Msurtori directe se numesc atunci cnd se obine valoarea mrimii direct, folosind instrumente de msurare. La fiecare msurtoare, obinem cte o valoare msurat. De exemplu, msurarea unei lungimi cu o rulet. Din aceast categorie fac parte i msurtorile obinute n urma unor operaii de calcul cum ar fi: diferena dintre dou numere (msurarea unui unghi orizontal cu teodolitul, msurarea geometric a unei diferene de nivel folosind o nivel) sau nmulirea unui numr cu o constant (msurareadistanelor stadimetric). Masurtori indirecte se numesc atunci cnd se obine valoarea mrimii indirect, folosind relaii matematice cu funcii ntre dou sau mai multe mrimi msurate direct.De exemplu, dac se msoar direct ntre dou puncte A i B, lungimea nclinat LAB i unghiul zenital ZAB, se obin valori indirecte pentru lungimea redus la orizont DAB i diferena de nivel HAB folosind relaii matematice, astfel :DAB = LAB sin(ZAB) i HAB = LAB. cos(ZAB) Msurtori condiionate se numesc atunci cnd valorile mrimilor msurate direct, sunt supuse unor condiii exprimate prin relaii matematice. De exemplu, unghiurile ,, msurate direct ntru-un triunghi plan, trebuie s ndeplineasc relaia ++=200g 2.2 Dup numrul msurrilor Dup numrul msurrilor, msurrile se mpart n msurri necesare i suplimentare .Se numesc msurri necesare numrul minim de msurri pentru a determina valoarea unei mrimi. De exemplu, pentru a afla valoarea unei lungimi se msoar o singur dat Se numesc msurri suplimentare numrul de msurri peste (n plus) necesare pentru a determina valoarea unei mrimi. De exemplu, la msurarea unei lungimi de m ori,diferena m-l reprezint msurri suplimentare.Numrul msurrilor suplimentare reprezint gradul de libertate al determinarii.De regul, se fac msurri suplimentare; msurrile suplimentare sunt necesare pentru aridica precizia valorii mrimii msurate sau a prentmpina eventualele greeli care apar n procesul de msurare. 2.3 Dup condiiile de msurare Dup condiiile de msurare, msurrile se mpart n msurri de aceeai precizie si de precizii diferite.Msurri de aceeai precizie sunt msurrile fcute de un singur operator, cu acelai instrument i n aceleai condiii de mediu.Msurri de precizii diferite se numesc msurrile fcute fie de mai muli operatori, fie cu instrumente diferite sau n condiii de mediu diferit. Din definiie, rezult c majoritatea msurrilor sunt msurri de precizii diferite. 2.4 Dup ncrederea acordat Dup ncrederea acordat, msurrile se mpart n msurri de ncredere superioar i redus.Ca exemplu, s presupunem o lungime msurat cu dou instrumente diferite, i anume:un operator msoar cu compasul de msurare i acelai operator sau un alt operator msoar cu panglica sau ruleta. Folosind instrumente diferite ca precizie de msurare, ne face s nu acordm valorilor msurate aceeai ncredere. Considerm c a doua msurare este mai bun (precis).Msurri de ncredere superioar sunt msurri realizate de ctre operatori mai ateni,cu instrumente mai precise i n condiii de lucru (mediu) mai bune.Msurri de ncredere redus sunt msurri realizate cu instrumente mai puin precise,de operatori mai puin ateni sau n condiii dificile de mediu.La prelucrarea msurrilor cu ncrederi diferite, se stabileasc condiii de folosire n aa fel,ca msurrile de ncredere redus s influeneze ct mai puin valorile finale calculate. n acest scop, la fiecare valoare msurat se ataeaz o valoare numeric, numit pondere,proporional cu ncrederea (la msurri de ncredere superioar ponderea este mai mare i la msurri de ncredere redus ponderea este mai mic).Ponderea , ca definiie, reprezint expresia numeric a ncrederii acordate valorilor msurate.Cnd la mai multe msurri li se atribuie aceeai ncredere (pondere), msurrile sunt considerate de aceeai precizie i cnd li se atribuie ponderi d iferite, msurrile sunt considerate de precizii diferite. 2.5 Dup interdependena lor Dup interdependena, msurrile se mpart n msurri dependente i independente. Sunt msurri dependente, msurrile efectuate n condiii de mediu neuniform (variaii ale refraciei atmosferice, diferie de temperaturi, etc.) i cu instrumente imperfecte (cu erori remanente). Din aceast definiie rezult c majoritatea msurrilor sunt dependente.Avnd n vedere dificultatea de a stabili gradul de dependen pe fiecare msurare n parte, n lucrri curente, msurrile la prelucrarea lor se consider independente.

  • 3. CLASIFICAREA ERORILOR DE MSURARE Clasificarea se va face dup valoarea de referin, modul de prezentare i surse de provenien.3.1 Dup valoarea de referin.Dup valoarea de referin, erorile se mpart n erori adevrate (reale) i erori aparente(reziduale). Erori adevarate (reale) sunt erori calculate fa de o valoarea X, considerat ca valoare adevarat a mrimii msurate. Din definiie, avnd n vedere c valorile adevarate ale mrimilor msurate sunt necunoscute, rezult c i erorile adevarate sunt necunoscute. Erori aparente (reziduale, reziduri) sunt erori calculate fa de o valore X, considerat ca cea mai apropiat de valoarea adevarat (just, probabil) . Aceat valoare poate fi de exemplu, media aritmetic a valorilor msurate sau o valore msurat, considerat ca fiind cea mai apropiat de valoarea adevarat (ce mai precis). 3.2 Dup modul de prezentare Dup modul de prezentare, erorile se prezint ca erori absolute i ca erori relative. Erori absolute, sunt erorile calculate n modul, adic: |ei| =|Mi|-| X | 1.38 Erori relative, sunt erorile calculate ca raport dintre valoarea absolot a erorii i valoarea absolut a valorii de referin, adic: er =|e|/ |X| 1.39 Erorile relative sunt independente de unitatea de msur i exprim intuitiv (mai uor) gradul de aproximare (precizie).Folosind numai mrimea erorile, cnd mrimile msurate sunt diferite ntre ele ca valori sau ca uniti de msur (lungimi mari cu lungimi mici, kg cu gr, etc.), nu putem caracteriza cu usurin precizia de msurare (gradul de aproximare). Spre exemplu, la o lungime de 2000 m msurat cu eroarea de 0,5 m i la o lungime de 100 m msurat cu eroarea de 0,05m (de 10 ori mai mic), dup mrimea erorilor, credem c avnd eroarea mai mic, a doua distan a fast msurat (aproximat) mai precis.Din exemplul dat mai sus, calculnd erorile relative pentru prima lungime 1/ (2000 / 0.5)= 1/ 4000 respectiv 1 (100 / 0.05) = 1/ 2000 pentru

    a doua lungime, rezult c lungimea de 2000m a fost msurat de dou ori mai precis. Eroarea procentual, reprezint eroarea relativ nmulti cu numrul 100, adic: ep=er*100.Erorile care se fac la calcule, se numesc erori de calcul i sunt determinate printre altele de folosirea numerelor sau numere rezultate din funcii, dezvoltri n serie, etc, cu cifre mai puine.

    3.3 Dup sursa de provenien Dup sursa de provenien, erorile se mpart n erori de msurare i n erori de calcul. 3.3.1 Erori de msurare Erori de msurare sunt erorile care se fac n procesul de msurare i sunt determinate de condiiile de mediu i de imperfeciuni ale operatorilor, aparatelor de lucru sau ale metodelor de msurare. Erorile de msurare se pot clasifica dup mrime i dup modul de acionare. 3.3.1.1 Dup mrimea lor Dup mrimea lor, erorile se mpart n erori mici (propriu-zise, acceptate) i mari (greeli,neacceptate).Erori mici (propriu-zise, acceptate) apar n timpul msurrii din urmtoarele cauze: imperfeciuni ale aparatelor. Aceste erori se numesc erori instrumentale i sunt mici sau mari n funcie de tipul instrumentului (precizia de msurare), de gradul de uzur al instrumentului sau de metoda de lucru folosit.; imperfeciuni ale operatorilor. Aceste erori se numesc erori personale i sunt mici sau mari n funcie de iscusina i de starea operatorului; influena condiiilor atmosferice. Aceste erori se numesc erori de mediu i sunt mici sau mai mari n funcie de schimbrile de temperatur, de presiune, umiditate,luminozitate, etc. Erori mari (neacceptate, greeli) apar n timpul msurrii din urmtoarele cauze: neatenia operatorului.; dereglri nesezizate ale instrumentelor n timpul lucrului. folosirea de metode de lucru necorespunztoare.Msurrile afectate de erori mari, dac nu se gsesc cauzele lor, se elimin.De exemplu, la msurarea de trei ori a unei lungimii valorile msurate sunt notate (scrise)astfel: 225,27 m 225,31 m i 252,30 m.,se constat cu uurin c la ultima msurare, nu avem o erore de msurare mare ci o greeal de notare. S-a notat 252,30 m n loc de 225,30 m.Pentru numai dou msurri, se msoar nc o dat lungimea i se constat valoarea greit.

    3.3.1.2 Dup modul de acionare Dup modul de acionare (modul de propagare), erorile se mpart n erori sistematice i n erori ntmpltoare (accidentale).Erori sistematice, sunt erori date de cauze permanente, acioneaz constant (fie pozitiv,fie negativ), dup legi (relaii matematice) mai mult sau mai puin cunoscute.Cunoscnd cauza (legea de formare), se elimin din valoarea msurat prin coreciiaplicate valorii msurate sau prin metode adecvate de lucru.De exemplu, dac se masoar o lungime de 253,45 m cu o panglic de oel mai lung cu0.05 m fa de mrimea etalonat de 50 m, valoarea msurat se va corecta astfel: se calculeaz eroarea pe unitatea de msura:eu = valoarea nominal valoarea etalonat = 50,05m 50m = 0,05 m; se calculeaz numrul de cuprindere al unitii de msurare (valoarea nominal)pe mrimea de masurat: n = 253,45 m / 50.05 m = 5,063936064; se calculeaz eroarea total pe mrimea msurat:et = eun = 0,05m 5,063936064 = 0,253 m;se calculeaz lungimea corectat scaznd din valoarea mrimii msurate eroarea total a: 253,45m 0,253m = 253,197m.Exemple de erori sistematice eliminate prin metode adecvate de lucru: Erorile de diviziune ale cercurilor gradate se

    elimin folosind metoda reiteratiilor . Eroarea de neorizontalitate la nivele se elimin folosind metoda nivelmentului geometric. Erorilor sistematice se elimin din msurri prin corecii sau metode de lucru. Erorile sistematice mici, care nu se pot elimina, se numesc erori sistematice reziduale i aceste erori se vor considera la prelucrarea msurrilor ca erori ntmpltoare.Erori ntmpltoare (accidentale), sunt erori care au valori mici, pozitive i negative i nu se pot elimina. Exemple de cauze de erori ntmpltoare: vibraii ale trepiedelor sau pilatrilor date de micarea solului sau de operator; dilatri neuniforme ale aparatelor date de variaia temperaturii; date de refracia atmosteric neuniform ; starea operatorului. Erorile ntmpltoare se pot micora semnificativ ca mrime, prin folosirea de aparate de msurat i metode de lucru perfecionate. Prelucrarea msurrilor se va face folosind erori aparente (reziduale, reziduri)i se consider c msurrile sunt afectate numai de erori ntmpltoare i de erori sistematice.

    3.3.2 Erori de calcul

    La calcule se produc erori care se vor aduga la erorile de msurare.Ca surse de erori de calcul, se pot enumera: folosirea n formule matematice de parametri sau de constante cu valori aproximative; folosirea funciilor (sin x, cos x, tg x, etc.) cu un numr finit de termeni; procesul de rotunjire a numerelor.Pentru diverse numere aproximative rezultate din msurri (distane, direcii, unghiuri,etc.) la care cunoatem erorile de msurare i cunoatem i rezultatele finale la care va trebui s ajungem, se impune, s nu avem erori de calcul care s afecteze precizia msurrilor (erorile de calcul s fie mai mici sau neglijabile, fa de erorile de msurare). 3.3.2.1 Eroarea numerelor

    Cifre semnificative ale unui numr aproximativ se numesc acele cifre din scrierea respectiv, care se deosebesc de zero, sau sunt zero dar cuprinse ntre cifre diferite de zero. Numrul 03,205 are 4 cifre semnificative formate de grupul 3, 2, 0, 5. Sunt cifre semnificative i zerourile de la sfritul numrului cnd acestea indic numrul de cifre care trebuie pstrat. Dac numrul 03,2050 este considerat c reprezint o valore cu o precizie pn la ultimul zero, numrul are n acest caz 5 cifre semnificative formate de grupul 3, .2, 0, 5, 0.La n cifre considerate exacte, erorea numrului nu depete o jumtate de unitate din cea de a n-a cifr semnificativ socotit de la stnga spre dreapta.Ca exemplu, numrul 3,205 are eroarea 0,001 = 0.0005.Cunoscnd erorea numerelor,30 se aplic anumite reguli la rotujirea numerelor. 3.3.2.2 Rotunjirea numerelor

    Prin rotunjirea unui numr se ntelege reinerea unui anumit numr de cifre din cifrele existente, aplicnd anumite reguli stabilite de rotunjire, i anume: dac prima dintre cifrele abandonate este mai mare dect 5; ultima cifr pstrat se mrete cu o unitate dac prima dintre cifrele abandonate este mai mica dect 5, ultima cifr pstrat se menine nemodificat; dac prima dintre cifrele abandonate este egal cu 5 i printre celelalte cifre abandonate exist cifre nenule, ultima cifr pstrat se mrete cu o unitate; dac prima dintre cifrele abandonate este egal cu 5 i printre celelalte cifre abandonate nu exist cifre nenule, ultima cifr pstrat rmne neschimbat dac ea este numr par i se mrete cu o unitate dac ea este impar.Ultima regul, numit regula cifrelor pare s-a stabilit pe baza divizibilitii numerelor(numerele pare se divid exact cu mai multe numere dect cele impare i deci, sunt mai puin afectate de erori).

    MASURATORI INDIRECTE

    Cazul general In calcul masuratorilor indirecte , valoarea marimilor care ne intereseaza se obtin

    prin intermediul unor marimi masurate direct , marimile masurate direct si cele de

    determinat fiind fuctional dependente intre ele. Fie M10 , M20 , Mn0, valorile medii a unor marimi , rezultate din masuratori : directe si X1 , X2 , ..Xh , marimile ce urmeaza a fi determinete indirect.Sa presupunem ca intre marimile fizice masurate

    direct si marimile Xi , exista urmatoarele relatii :Mi0 +vi = Fi (X1 , X2 , ..Xh )( i = 1,2,n si n > h ) (2.50) Pentru depistarea eventualelor greseli , cat si pentru marirea preciziei , avem intotdeauna n > h .Problema care se pune este , ca din sistemul (2.50)

    sa deducem cele mai bune valori pentru X1 , X2 , ..Xh .Daca valorile masurate direct Mi0 ar fi perfect riguroase (neafectate de erori ), atunci sistemul (2.50) s-ar scrie

    sub forma : Mi0 = Fi (X1 , X2 , ..Xh )( i = 1,2,n si n > h ) (2.51)Acest sistem ar fi compatibil si rezolvabil in raport cu necunoscutele X1 , X2..Xh .In acest caz ecuatiile suplimentare in numar de (n-h) ar fi simple consecinte ale celorlalte h, iar

    operatiile de masurare s-ar reduce la atatea masuratori cite necunoscute sunt .In practica

    , cu oricata grija si pricepere si in oricat de bune conditii s-ar efectua masuratorile , acestea sunt afectate in mod inerent de erori .Datorita erorilor de masurare , sistemul

    (2.51) este incompatibil , de aceia marimilor masurate trebuie sa li se aplice niste

    corectii vi , astfel ca sistemul sa fie compatibil cu necunoscutele X1 , X2 , Xh .Valorile cele mai probabile ale corectiilor se determina aplicind metoda celor mai mici

    patrate.Deci vi reprezinta corectiile ce trebuie aplicate marimilor masurate direct ,

    pentru a fi satisfacute toate ecuatiile de tipul (2.50) ce pot fi intocmite , pentru rezolvarea unei anumite probleme .

    Liniarizarea ecuatiilor

    Deoarece in majoritatea cazurilor functiile Fi din (2.50) sunt neliniare , compensarea devine foarte greoaie . De aceea pentru usurarea calculelor de compensare , aceste

    ecuatii se aproximeaza cu niste ecuatii liniare , ce se obtin prin dezvoltare in serie

    Taylor , in vecinatatea unor valori Xi , apropiate de cele adevarate . Valorile apropiate X10 , X20 Xh0 se cunosc fie dintr-o masuratoare anterioara , fie prin rezolvarea sistemului (2.11) , in care se iau in consideratie numai h ecuatii si in

    crae se considera vi = 0.Valorile probabile ale necunoscutelor vor fi deci : Xi = Xi0 + xi i = 1 , 2 .h (2.52)in care xi reprezinta niste corectii ce urmeaza sa le determinam prin compensare .Aceste corectii trebuie sa fie suficient de mici , astfel ca

    in dezvoltarea in serie sa putem neglija termenii de ordinul II si mai mari . Daca valorile aproximative Xi0 , au fost determinate nefavorabil , astfel ca termenii

    de ordinl II si superior , neglijati in dezvoltarea in serie , au valori ce influenteaza

    compensarea , atunci se reface intreaga compensare , considerind in locul valorilor apropiate Xi0 valorile Xi = Xi0 + xi .Introducand (2.52) in (2.50) se obtine :vi = Fi

    (X10 + x1 , X20 + x2 , . Xh0 + xh ) Mi0 (2.53) Dezvoltand in serie Taylor relatia (2.53) si neglijand termenii de ordinul II si superiori rezulta :vI @ Fi (Xi0 , X20 , .. Xh0 ) Mi0 + (Fi/X1) x1 + (Fi/X2) x2 + ..(Fi/Xh) xh (2.54)i = 1 , 2 , ., n.Adoptand urmatoarele notatii :(Fi/X10) = a i ; (Fi/X20) = bi ; ..; (Fi/Xh0) = hi (2.55)Fi (X10 , X20 , . Xh0 ) Mi0 =li (2.56)relatiile (2.54) devin : aix1 + bix2 + ..+ hixh +li = vi (2.57) i=1 , 2 ,. , si n > h .Relatiile (2.57) , poarta denumirea de sistemul liniar al ecuatiilor de corectii.Un caz particular rezulta cand ecuatiile initiale (2.50) sunt

    de la inceput sub forma liniara , adica :M0 + vi = aix1 + bix2 + ..+ hixh (2.58)Desi nu se mai pune problema liniarizarii totusi si in acest caz este recomandabil a folosi valorile aproximative Xi0 , pentru ca la calculul efectiv , sa avem numere mici (in

    special termenii liberi ).Sistemul ecuatiilor de corectii va fi in acest caz : vi= aix1 + bix2 + ..+ hixh +li (2.59);li = aix10 + bix20 + ..+ hixh0 Mi0 . Observatia 1. Fiecare masuratoare genereaza cate o ecuatie de corectie .

    Observatia 2. Din expresiile coeficientilor si termenilor liberi , dati de (2.55) si (2.56) , se observa ca marimea masurata direct Mi , decicea care este afectata de erori intervine

    numai in termenul liber .Tot din (2.56) se deduce ca eroarea termenului liber este egala

    cu eroarea marimii masurate, deoarece marimile Xi , sunt niste constante .Rezulta deci ca eroarea unei ecuatii de corectie este egala cu eroarea termenului liber al acesteia ,

    coeficientii ai , bi , ..,hi putand fi considerati niste constante lipsite de erori . Observatia 3. Daca marimile masurate Mi0 , sunt determinate cu aceeasi precizie si ecuatiile sistemului liniar al corectiilor vor fi de aceeasi precizie . In caz contrar vom

    avea un sistem liniar al ecuatiilor de corectii ponderat .Observatia 4 . Din observatiile

    facute la punctul (2) si (3) rezulta ca ecuatiile sistemului liniar de corectii nu pot fi multiplicate cu constante diferite intrucat se vor modifica ponderile in mod diferit .

    Se admite a se inmulti tot sistemul cu aceiasi constanta . In expresia (2.56) , a termenului liber Fi (Xi0 , X20 , . Xh0 ) reprezinta o valoare calculata a marimii Mi , deci rezulta regula practica de calcul a termenului liber si anume:Termenul liber =

    valoarea calculata valoarea masurata.

    Masuratori indirecte de aceeasi precizie Din sistemul liniar al ecuatiilor de corectie (2.61) , in care vom presupune ca toate

    ecuatiile au aceeasi pondere , valorile cele mai probabile ale corectiilor se deduc ,

    utilizand metoda celor mai mici patratre , adica:[vv] = min (2.62) Daca in (2.62) se inlocuiesc valorile corectiilor vi date de sistemul (2.61) se obtine :

    [vv] = v12+ v22 + + vn2 = (a1x1 + b1x2 + . + h1xh +l1)2 + (a2x1 + b2x2 + + h2xh +l2)2 + (anx1 + bnx2 + + hnxh +ln)2 =min(2.63) Din (2.63)se observa ca avem o functie de necunoscute xi,adica[vv] = F (x1 , x2 , ., xh).

    Pentru a determina minimul acestei functii de mai multe variabile , trebuie ca:F / Xi = 0 (i = 1 , 2 , , h ) (2.64)Efectuand aceste derivate se obtine :F / X1 = 2 a1 (a1x1 + b1x2 + .. +h1xh + li) + 2 a2 (a2x1 + b2x2 + +h2xh + l2)+ + 2 an (anx1 + bnx2 + +hnxh + ln) = 0 (2.65)Aceasta derivata partiala mai poate fi scrisa si sub forma [av]=0 (2.66) F / X2 = 2 b1 (a1x1 + b1x2 + +h1xh + li)+ 2 b2 (a2x1 + b2x2 + ..+h2xh + l2) + + 2 bn (anx1 + bnx2 + ...+hnxh + ln) = 0 (2.67)sau[bv] = 0 (2.68) Analog se calculeaza si celelalte derivate partiale , pana la ultima , care va fi :

    F / Xh = 2 h1 (a1x1 + b1x2 + .. +h1xh + li) + 2 h2 (a2x1 + b2x2 + .. +h2xh + l2) + + + 2 hn (anx1 + bnx2 +.. +hnxh + ln) = 0 (2.69)sau[hv] = 0 (2.70) Anularea derivatelor de ordinulintai ne determina punctele stationare ale functiei .

    Vom arata la tratarea matriciala ca acestea sunt puncte de minim , adica derivata de ordinul II este pozitiva .Daca in relatiile (2.65) , (2.67) , (2.69) se efectueaza calculele

    rezulta ;[aa]x1 + [ab]x2 + + [ah]xh + [al] ) = 0;[ab]x1 + [bb]x2 + + [bh]xh + [bl] ) = 0;....[ah]x1 + [bh]x2 + + [hh]xh + [hl] ) = 0(2.70)Sistemul (2.70) se numeste sistemul normal al corectiilor .Se remarca faptul ca matricea coeficientilor acestui

    sistem este simetrica , deci nesingulara . Rezulta ca sistemul are solutie iar aceasta este

    unica .Prin rezolvarea acestui sistem se determina corectiile xi , care aplicate valorilor apropiate Xi0 , conform relatieiXi = Xi0 + xi ne da valoarea cea mai probabila a

    necunoscutelor .De asemeni cu ajutorul corectiilor xi din sistemul liniar (2.69) se pot

    deduce corectiile vi care vor fi aplicate marimilor masurate Mi .Daca calculele de compensare se executa manual cu mijloace calasice de calcul determinarea coeficientilor si termenilor liberi si ecuatiillor normale . Pentru calculul corect al coeficientilor sistemului normal se fac urmatoarele controale : In tabloul coeficientilor ecuatiilor de corectie , se fac sumele atat pe orizontala(pentru fiecare ecuatie ) , cat si pe

    verticala , sumele generale [s] si 1 trebuie sa fie identice . In tabloul coeficientilor ecuatiilor normale , sumele se fac asa cum se indica prin liniile punctate cu sageti . Controlul se face pe fiecare linie si anume , trebuie sa avem : [aa] + [ab] + .. + [ah] + [al] = [as].

    Cazul masuratorilor indirecte ponderate

    Fie sistemul liniar al ecuatiilor de corectie ponderat :aix1 + bix2 + .. + hixh + li = vi pi (2.71)i = 1 , 2 , .. , n;Valorile probabile se vor determina in acest caz din conditia :

    [ p v v ] = min (2.72)Relatia (2.72) , in care se tine seama de valorile corectiilor vi date

    de de (2.71) mai poate fi scrisa si sub forma :[ p v v ] = p1v12 + p2v22 +..+ pnvn2 = pi (a1x1 + b1x2 + + h1xh + l1 )2+ p2 (a2x1 + b2x2 + + h2xh + l2 )2+ + pn (anx1 + bnx2 + . + hnxh + ln )2 = min (2.72)Minimul acestei functii se determina din conditia :[pvv] / x i = 0 i = 1 , 2 , ..,n (2.73)Efectuand aceste derivate se obtine:[pvv] /x1 = 2 =ni 1piai (aix1 + bix2 + + hixh + li ) = 0 (2.74)[pvv] /x2 = 2 =ni 1piai (aix1 + bix2 + .. + hixh + li ) = 0 (2.75)..[pvv] /xh = 2 =ni 1piai (aix1 + bix2 + .. + hixh + li ) = 0 (2.76)Relatiile (2.74) , (2.75) si (2.76) mai pot fi scrise si sub forma :[pav] = 0 ; [pbv] = 0 ; .; [phv] = 0 (2.77)Daca se fac calculele in (2.74) , (2.75) si (2.76) se obtine sistemul norma al corectiilor in cazul ponderat si

    anume :[paa] x1 + [pab] x2 + + [pah] xh + [pal] )=0[pab] x1 + [pbb] x2 + + [pbh] xh + [pbl] ) = 0(2.78) [pah] x1 + [pbh] x2 + + [phh] xh + [phl] ) = 0;Sistemul (2.78) fiind simetric , se obisnuieste a fi scris sub forma prescurtata urmatoare :

    [paa] x1 + [pab] x2 + + [pah] xh + [pal] ) = 0 + [pbb] x2 + + [pbh] xh + [pbl] ) = 0 + [phh] xh + [phl] ) = 0 (2.79) Ca si in cazul masuratorilor indirecte de aceeasi precizie , calculul coeficientilor sistemului normal se face intr-un tablou de forma de mai jos:

    Toate calculele de control sunt analoge cu cele de la cazul masuratorilor de aceeasi

    precizie In tabelul (2.7 ) se calculeaza si valoarea [pll] care este utila la evaluarea preciziei

    Funcia explicit de mai multe variabile se noteaz z = f(x,y) 1.10 Creterea funciei se noteaz cu z = f(x+ x , y+ y) - f(x,y) 1.11 Derivata funciei se formeaz separat pe variabila x i y (derivate pariale) adic fx '(x,y)respectiv fy'(x,y) i se noteaz: f / x respectiv f / y. Difereniala dz = df = ( f / x) dx + ( f / y) dy 1.12 Dac n functia z = f(x,y) se face schimbarea de variabile x = x(u,v) i y = y(u,v),derivatele sunt : z / u = ( z / x)( x / u) + ( z / y)( y / u) respectiv, z / v = ( z / x)( x / v) + ( z / y)( y / v) 1.13 Regula Taylor de dezvoltare n serie pentru dou varabile, unde h i k sunt creterile:f(x + h, y + k) = f(x, y) + (1/1!) (fx' (x,y) h + fy'(x,y) k) + (1/2!) (fx" (x,y) h + f "y(x,y) k) +....+ Exemplu: Se msoar la o latur de drumuire AB, lungimea notat cu LAB=125,45m cu creterea LAB = 0,15m i unghiul zenital notat cu ZAB=75,1735g cu creterea ZAB= 0,05g .Se cere : Distana redus notat cu DAB, creterea funciei, derivatele pariale i difereniala.Pentru distana redus se aplic relaia de calcul: DAB = LAB sin (ZAB) i se obine:DAB = 125,45 m sin (75,1735g) = 116,031 m;Pentru creterea funciei se aplic relaia 1.5 i rezult: DAB = (125,45 + 0,15) m sin(75,1735g + 0,05g) - 116,031 m = 116,207 m - 116,031 m = 0,176 m

    Derivatele pariale sunt: n raport cu LAB este fx' (x,y) = 1 sin (ZAB) = 0,924919 i n raport cu ZAB este fy' (x,y) = LAB cos (ZAB) = 125,45 m 0,380164 = 47,692 m Se transform 0,05g n radiani ( tiind c 1g = 0.015707 rad) i rezult 0,05g=0,000785 rad.Difereniala dz = sin(ZAB) dx + LABcos (ZAB)dy=0,924919 0,15m+47,692m *0,000785=0,139m + 0,037 m = 0,176 m care corespunde cu creterea funciei DAB. Funciile algebrice care se obin din variabile independente numai cu ajutorul primelor trei operaii aritmetice (adunarea, scderea i nmulirea), se numesc polinoame. Forma general se scrie astfel: f(x) = ao + a1x + a2x2 + ... + anxn