1. Ecuaia diferenial a conduciei termice

Se pune problema de a stabili o ecuaie general valabil pentru conducia termic ntr-un corp n care cmpul de temperaturi este tranzitoriu i n care se gsesc surse interne de cldur. Sursele interne de cldur sunt caracterizate prin densitatea volumic de flux, qv, n W/m

3, care

reprezint fluxul de cldur degajat n volumul unitar. Se admit urmtoarele ipoteze: - corpul este omogen i izotrop; - proprietile fizice sunt constante; - deformaia volumului cauzat de variaia de temperatur este neglijabil; - sursele interne de cldur sunt uniform distribuite. Se consider un element de volum, cu volumul dV=dxdydz, n care la momentul iniial cmpul de temperaturi are o anumit configuraie.

A A'

B B'dy

CC'

D'D

0

y

x

z

dz

dx

ydQ

y+dy

dQ

xdQ x+dxdQ

z+dzdQ

zdQ

Fig. 1. Conducia termic printr-un perete infinitezimal de volum n coordonate rectangulare

Bilanul termic aplicat elementului de volum ntr-un interval de timp dat este: Cldura acumulat de corp rezult prin nsumarea (conform regulii de semne) dat de cldura intrat n corp prin suprafeele exterioare, cldura generat sau absorbit prin sursele interioare de cldur i cldura cedat de corp prin suprafeele exterioare. Conform legii lui Fourier, cldurile elementare dQx,, dQy, dQz care intr n elementul de volum dup axele Ox, Oy i Oz prin

conducie n timpul d sunt:

dQ q dS d q dy dz dx x x x ( )

dQ q dS d q dx dz dy y y y ( ) (1)

dQ q dS d q dx dy dz z z z ( )

n acelai interval de timp prsesc elementul de volum prin conducie, cldurile: dQ q dS d q dy dz d

x dx x dx x dx x dx ( )

dQ q dS d q dx dz dy dy y dy y dy y dy

( ) (2)

dQ q dS d q dx dy dz dz z dz z dz z dz

( )

Funcia qx dx este continu pe intervalul dx. Prin dezvoltare n serie Taylor se obine:

...q qq

xdx

x dx x

x

(3)

Reinnd primii doi termeni i considernd similar i dup celelalte axe, relaiile (2)

devin:

dQ qq

xdx dy dz d

dQ qq

ydy dx dz d

dQ qq

zdz dx dy d

x dx x

x

y dy y

y

z dz z

z

(4)

Cldura acumulat n elementul de volum n timpul d va fi:

dQ dQ dQ dQ dQ dQ dQx x dx y y dy z z dz (5) Din relaiile (2.8) i (2.9) se obine:

dQq

x

q

y

q

zdV d

x y z

1

(6)

n intervalul de timp d n elementul de volum dV, sursele interne de cldur degaj cldura: dQ q dV dv2 (7)

Adunnd relaiile (2.10) i (2.11) se obine cldura total acumulat n elementul de volum:

dQ dQ dQq

x

q

y

q

zq dV d

x y z

v

1 2

(8)

Cldura total acumulat n elementul de volum se poate exprima i n funcie de cldura

specific c, n J/(kgK) i densitatea , n kg/m3 prin relaia:

dQ ct

d dV

(9)

Egalnd relaiile (6) i (8) se obine:

t

c

q

x

q

y

q

z

q

c

x y z v

1 ;

t

cdiv q

q

c

v

1

(11)

nlocuind fluxurile termice unitare cu relaiile:

qt

xq

t

yq

t

zx x y y z z

; ; ; (12)

rezult:

t

c x

t

x y

t

y z

t

z

q

cx y zv

1 (13)

sau

t

cdiv grad t qv

1 (14)

reprezentnd ecuaia difereniala a conduciei termice.

Dac conductivitatea termic se consider constant dup cele trei direcii din relaia

(2.17) rezulta:c

q

z

t

y

t

x

t

c

t v

2

2

2

2

2

2

(15)

Notnd raportul

ca , n m2/s, care reprezint difuzivitatea termic, relaia (15) se

poate scrie sub forma:

ta t

q

ca t

qv v

2 2

(16)

2. Conducia termic unidimensional n regim staionar. Perete plan Se consider un perete plan cu feele paralele, alctuit dintr-un material omogen de

grosime i conductivitate termic = const. (figura 2). Feele plane au temperaturile constante tp1 i tp2 i suprafaa de schimb de cldur S. Se

admite tp1 tp2 . Dimensiunile suprafeeei S fiind mult mai mari dect , rezult c suprafeele plane paralele cu feele peretelui sunt suprafee izoterme. Transferul de cldur se face n direcia

0 x

t q

x

d

t(x)

= const.( =0)

>0

n

i

i

npp ttq

1

1,1

(5)

n care tp1 i tp,n+1_sunt temperaturile cunoscute ale suprafeelor exterioare ale peretelui neomogen.__ Pentru a obine distribuia de temperaturi n perete t = t(x), unde x0 , se integreaz ecuaia (2) ntre limitele 0 i x, respectiv tp1 i t. Rezult:

ttxq p 1 (6) Egalnd q din relaiile (3) i (6) se obine n final ecuaia temperaturii n peretele plan:

xtt

ttpp

p

21

1 (7)

care evideniaz c ntr-un perete plan omogen ( = const.), temperatura variaz liniar cu distana (grosimea peretelui).

n cazul n care conductivitatea termic este dependent de temperatur , se poate admite pentru cele mai multe aplicaii practice o variaie liniar de tipul:

t 10 [W/mK] (8) nlocuind relaia (2.51) n relaia (2.44), fluxul termic unitar se exprim cu relaia:

dx

dttq 1 (9)

Separnd variabilele i integrnd ntre limitele: la x = 0, t = tp1 i la x = , t = tp2 rezult:

21210

21 pp

pptt

ttq

(10)

Profilul temperaturii n acest caz se obine integrnd ecuaia diferenial (2.52) ntre limitele: la x = 0,t = tp1, la x, t = t(x), rezultnd:

121

0

2

1

xqtxt p

(11)

Aceast expresie arat c distribuia temperaturii este parabolic, depinznd de semnul

coeficientului ca n figura 2. Transferul de cldur global la un perete plan. Se consider un perete plan omogen cu

fee paralele cu grosime constant i conductuvitate = const. Prin perete se transfer cldur de la un fluid cald cu temperatura tf1 la un fluid rece cu temperatura tf2 , coeficienii de schimb de

cldur prin convecie ntre fluide i suprafeele peretelui, 1 i 2 fiind constani.Transferul de cldur se face unidimensional, normal pe suprafaa peretelui. Se cere determinarea fluxului de cldur Q, a fluxului termic unitar q i a temperaturilor suprafeelor peretelui tp1 i tp2. n regim termic staionar, n absena surselor interioare de cldur, fluxul unitar care se transmite prin convecie de la fluidul cald la suprafaa peretelui este egal cu fluxul termic unitar transmis prin conducie prin perete i este egal cu fluxul unitar transmis prin convecie de la suprafaa peretelui la fluidul rece:

22221111 fppppf ttttttq

(12)

n care transferul de cldur prin convecie s-a exprimat cu ajutorul legii lui Newton. Explicitnd din relaia (12) diferenele de temperatur:

;1

;;1

2

2221

1

11

qttqttqtt fppppf (13)

prin nsumare, pentru eliminarea temperaturilor necunoscute, se obine:

;11

21

21

qtt ff (14)

Fluxul unitar de suprafa este:

;11

21

21

ff ttq (15)

Generaliznd, ecuaia fluxului termic unitar transmis printr-un perete plan neomogen,

alctuit din n straturi, cu grosimile i i conductivitile i , unde i= 1,2,,n, perete mrginit de dou fluide cu temperaturile tf1 i tf2 ,este:

;11

211

21

n

i i

i

ff ttq (16)

3. Conducia termic unidimensional n regim staionar. Perete cilindric Se consider un perete cilindric cu raza interioar r1 (diametrul d1), raza exterioar r2 (diametrul d2) i lungimea l mult mai mare dect razele, alctuit dintr-un material omogen cu

conductivitate termic = const. (figura 3). Mrimile care trebuie determinate sunt: fluxul de cldur Q, fluxul termic unitar q i distribuia temperaturilor n perete. Se consider legea lui Fourier pentru conducia unidimensional prin peretele cilindric:

dr

dtrl

dr

dtSQ 2 [W] (1)

unde suprafaa de schimb de cldur este S = 2rl. La suprafeele cilindrice, utilizarea fluxului unitar de suprafa are dezavantajul variaiei acestei mrimi cu diametrul suprafeei cilindrice. Din aceast cauz se prefer utilizarea fluxului unitar liniar ql, n W/m, definit de relaia:

lqQ l (2)

tp1

tp2

?=const.

d

d1

2

d l =

1m

r

r

r

2

1

d

l

r

Fig. 3. Transferul cldurii printr-un perete cilindric omogen

Din relaia (2.60), fluxul unitar liniar este:

dr

dtrq 2 (3)

Se separ variabilele:

r

drqdt l

2

(4)

i se integreaz ntre limitele (condiii la limit de tipul nti):

la ;, 11 pttrr

la .22 , pttrr

rezultnd:

1

2

1

221 ln

2ln

2 d

dq

r

rqtt llpp

(5)

Fluxul termic unitar este:

1

2

21

ln2

1

d

d

ttq

pp

l

[W/m] (6)

iar fluxul de cldur transmis prin ntregul perete cilindric:

lR

ttl

d

d

ttQ

condl

pppp

,

21

1

2

21

ln2

1

[W] (7)

unde, 1

2, ln

2

1

d

dR condl

, n (mK)/W reprezint rezistena termic la transfer de cldur

conductiv.

Ecuaia fluxului termic unitar transmis printr-un perete cilindric neomogen, alctuit din n

straturi, definite de diametrele di i conductivitile i , unde i= 1,2,,n, este:

n

i

i

i

npp

l

d

d

ttq

1

1

1,1

ln2

1

(8)

n care tp1 i tp,n+1_sunt temperaturile cunoscute ale suprafeelor exterioare ale peretelui neomogen.__ Pentru a obine distribuia de temperaturi n perete t = t(r), unde 21 rrr , se integreaz

ecuaia (4) ntre limitele r1 i r, respectiv tp1 i t. Rezult:

1

1 ln2 d

dqrtt lp

(9)

relaie care arat c distribuia temperaturii este de tip logaritmic.

Transferul de cldur global la un perete cilindric. Se consider un perete cilindric

omogen cu diametrele d1 i d2 i conductuvitate = const. Prin perete se transfer cldur de la un fluid cald cu temperatura tf1 la un fluid rece cu temperatura tf2 , coeficienii de schimb de

cldur prin convecie ntre fluide i suprafeele peretelui 1 i 2 fiind constani. Transferul de cldur se face unidimensional , n lungul razei. Se cere determinarea fluxului de cldur Q, a fluxului termic unitar liniar ql i a temperaturilor suprafeelor peretelui tp1 i tp2. n regim termic staionar, n absena surselor interioare de cldur, fluxul unitar care se transmite prin convecie de la fluidul cald la suprafaa peretelui este egal ca fluxul termic unitar transmis prin conducie prin perete i este egal cu fluxul unitar transmis prin convecie de la suprafaa peretelui la fluidul rece:

222

1

2

21

1111

ln

2fp

pp

pfl ttd

d

d

ttttdq

(10)

n care transferul de cldur prin convecie s-a exprimat cu ajutorul legii lui Newton. Explicitnd din relaia (10) diferenele de temperatur:

22

22

1

221

11

11 ;ln2

; d

qtt

d

dqtt

d

qtt lfp

lpp

lpf

(11)

prin nsumare algebric se obine:

221

2

11

21

1ln

2

11

dd

d

dqtt lff (12)

Fluxul unitar de suprafa este:

221

2

11

21

1ln

2

11

dd

d

d

ttq

ff

l

(13)

Generaliznd, ecuaia fluxului termic unitar liniar transmis printr-un perete cilindric

neomogen, alctuit din n straturi, cu diametrele di i conductivitile i , unde i= 1,2,,n, perete mrginit de dou fluide cu temperaturile tf1 i tf2 ,este:

221

1

11

21

1ln

2

11

dd

d

d

ttq

n

i i

i

ff

l

(14)

4. Determinarea grosimii izolaiei termice pentru o temperatura dat la suprafaa acesteia

Necesitatea asigurrii unei anumite temperaturi la suprafaa izolaiei termice, se impune spre exemplu din respectarea normelor de protecie a muncii.

Se consider o conduct izolat termic amplasat n mediul ambiant ca n figura 2.8. Se scrie egalitatea dintre fluxul transmis prin peretele conductei, prin stratul tremoizolant i prin stratul de protecie a izolaiei, deci pna la suprafaa exterioara a izolaiei termice i fluxul transmis prin convecie de la aceasta suprafaa la mediul ambiant. Considernd notaiile din figura rezult:

spe

e

iz

p

spe

iz

izi

e

cif

ef

d

tt

d

d

d

d

d

d

d

tt

1ln

2

1ln

2

1ln

2

11

0 (1)

Din cauza aportului neglijabil al termenilor 1, 2 i 4, care reprezint rezistene la transfer termic,

n suma de la numitor acetia se consider nuli. Se mai aproximeaz dsp diz i se urmrete s se obin n final o relaie de forma x ln x, cu x= diz/de.

Fig. 4. Transferul de cldur printr-un perete cilindric izolat termic

0

0

2ln

sau 1

ln2

1

ttd

tt

d

d

d

d

dd

ttd

d

d

tt

eee

efiz

e

iz

e

iz

iz

e

eee

e

iz

iz

pef

(2)

Valoarea pentru x = diz/de rezult din tabele din literatura de specialitate i n continuare

se poate determina diz , respectiv grosimea izolaiei iz.

5. Determinarea grosimii izolaiei la o scdere a temperaturii fluidului transportat prin conduct

La transportul fluidelor calde prin conducte se poate impune din considerente funcionale sau economice scderea temperaturii fluidului. n figura 2.9. se consider un tronson de conduct prin care circul un fluid cald amplasat n mediul ambiant. Se cunosc urmtoarele mrimi:

temperatura fluidului la nceputul i la sfritul tronsonului, tf1 i tf2 n oC;

temperatura mediului ambiant, to n oC;

lungimea tronsonului, l n m;

debitul de fluid, m n kg/s;

cldura specific a fluidului, cp n J/(kgK);

diametrele conductei, di i de n m;

conductivitile termice ale materialelor conductei, izolaiei i proteciei izolaiei, c, iz, p n W/(mK);

grosimea peretelui conductei i a stratului de protecie, c i p; coeficienii de transfer termic prin suprafaa, i ,e n W/(m

2K).

Fig. 5. Scderea temperaturii fluidului n lungul unei conducte izolate termic

Fluxul de cldur pierdut de fluid n mediul ambiant prin elementul de lungime dl este:

dQt t

Rdl

f o

l

1

[W] (1)

unde Rl reprezint rezistena total la transfer termic. Datorit transferului de cldur spre mediul ambiant, fluidul i micoreaz temperatura cu dtf pe poriunea dl, cednd fluxul de cldur:

dQ m c dtp f 2 [W] (2)

Fluxurile de cldur exprimate prin relaiile (2.88) (2.89) sunt egale:

21 QdQd (3)

fp

l

ofdtcmdl

R

tt

(4)

Separnd variabilele:

dt

t t

dl

R m c

f

f o l p

(5)

i integrnd ntre tf1 i tf2 i ntre 0 i l se obine:

ln

t t

t t

l

R m c

f o

f o l p

1

2

(6)

Explicitnd rezistena la transfer termic a termoizolaiei:

Rd

dliz iz

iz

e

1

2 ln (7)

rezult:

ln ln

d

d

l

m ct t

t t

R R R Riz

e

iz

p

f o

f o

li lc lp le

21

2

(8)

Ecuaia se rezolva prin ncercri sau aproximaii succesive, rezultnd n final grosimea

izolaiei iz. n cazul n care t t t tf o f o1 2 2 / , scderea de temperatur a fluidului este neglijabil. Notnd cu tm temperatura medie a fluidului, din egalitatea fluxurilor termice:

t t

Rl m c t t

fm o

l

p f f

,

1 2 (9)

rezult rezistena termic a termoizolaiei, respectiv grosimea izolaiei.

6. Determinarea grosimii critice a izolaiei termice la o conducta

Se consider o conduct izolat termic amplasat n mediul ambiant. Se scrie fluxul termic unitar neglijnd rezistena stratului protector al izolaiei:

ln ln

qt t

d

d

d

d

d d

t t

R R R R

t t

R

l

f o

i i c

e

i iz

iz

e e iz

f o

li lc liz le

f o

l

1 1

2

1

2

1

(1)

Grosimea izolaiei termice influeneaza valoarea fluxului termic unitar prin termenul al treilea i al patrulea de la numitor. Astfel, la creterea diametrului exterior al izolaiei, diz :

rezistena termica a izolaiei crete, deci crete valoarea termenului al treilea, Rliz , respectiv crete ql ;

rezistena termica a mediului scade, deci scade valoarea termenului al patrulea, Rle, respectiv scade ql ;

Pentru a se obine valoarea diametrului exterior al izolaiei, diz la care ql este maxim, se egaleaz cu zero derivata numitorului n raport cu diz:

0iz

l

dd

dR ; 0

11

2

1122

izeizizl ddR (2)

Rezult: d diz iz criz

e

2

(3)

Rezult c la creterea lui diz pn la valoarea diz cr, fluxul termic unitar crete, iar peste valoarea diz cr, scade. Aceast concluzie rezult i din reprezentarea grafic a variaiei rezistenelor termice Rliz i Rle, n funcie de diametrul izolaiei, figura 6.

Problema tratat trebuie considerat numai n cazul evilor cu diametru mic.

Rl

Rl iz

R leRliRlc

diz(d )iz crdiz =de

Rl t

Fig. 6. Determinarea grosimii critice a izolaiei termice la perete cilindric

Exemplu: Pentru e = 7 W/m2 K i iz = 0,04 W/mK, rezult diz cr = 0,011 m; n majoritatea

cazurilor evile cu diametru mic nu se termoizoleaza.

7. Nervuri longitudinale cu profil rectangular

Pentru intensificarea fenomenelor de transfer de cldur se mrete suprafaa de transfer prin nervurarea acesteia (exemple:compresoare, evi cu nervuri la construcia schimbtoarelor de cldur). n cazul transferului de cldur prin nervuri, se urmrete determinarea cmpului de temperaturi de-a lungul nervurii i a fluxului termic pe care poate s-l evacueze nervura. Se consider o nervur dintr-un material omogen i izotrop, fr surse interne de cldur, care face corp comun cu un perete. Temperatura bazei nervurii este t0= const. Nervura este n contact cu un fluid cu temperatura tf = const.

Fig. 7. Nervur longitudinal cu profil rectangular

Schimbul de cldur ntre nervur i fluid este caracterizat de coeficientul de convecie =const. Se consider temperatura nervurii mai mare dect cea a fluidului nconjurtor. Pentru un element de volum de grosime dx din nervur se poate scrie urmtorul bilan termic:

convdxxx dQQQ (1)

unde: xQ - este fluxul de cldur care traverseaz planul x;

dxxQ - este fluxul de cldur care traverseaz planul x+dx

convdQ - este fluxul de cldur transmis prin convecie fluidului.

Termenii bilanului au expresiile:

dxdx

dtt

dx

dS

dx

QdQQ

dx

dtSQ xdxxx

; (2)

fconv ttPdxQd (3) nlocuind relaiile (2) i (3) n relaia (1) se obine ecuaia diferenial:

012

2

fttS

P

dx

dt

dx

dS

Sdx

td

(4)

Dac se introduce schimbarea de variabil ftt , care reprezint excesul de

temparatur ntre perete i fluid i se noteaz raportul:

S

Pm

2 [m-2] (5)

forma general a ecuaiei difereniale devine:

01 2

2

2

mdx

d

dx

dS

Sdx

d (6)

Aceast ecuaie se particularizeaz pentru unele forme geometrice. Pentru nervura cu seciune transversal constant, ecuia diferenial se simplific n forma:

022

2

mdx

d (7)

Soluua general a ecuaiei este:

mxmx eCeC 21 (8)

Constantele C1 i C2 se determin prin impunerea condiiilor la limit. n continuare se trateaz cazul cnd fluxul termic transmis prin conducie prin muchea

nervurii este egal cu fluxul termic schimbat cu fluidul, prin convecie cu coeficientul . n acest caz nu se neglijeaz fluxul termic care strbate captul liber al barei. Se consider condiiile la limit i rezult:

la x = 0, t = to, =o, rezult: C1 +C2 = o; (9)

la x = l, dt

dxt te (10)

m C e C e C e C em l m l m l m l1 2 1 2

(11)

C em

e C em

em l m l m l m l1 2

(12)

Cm

e

me

me

o

m l

m l m l1

1

1 1

(13)

Cm

e

me

me

o

m l

m l m l2

1

1 1

(14)

t t t t

ch m l xm

sh m l x

ch m lm

sh m le o e

(15)

Fluxul termic care strbate o seciune curent la x de baza barei este:

Q m Ssh m l x

mch m l x

ch m lm

sh m lx

(16)

Cldura total cedat de bar (la x = 0) este:

Q m S t tth m l

m

mth m l

x o e

0

1

(17)

8. Nervuri radiale cu grosime constant

Se consider o eav cu nervuri circulare de grosime constant, figura 8, confecionate dintr-un material izotrop i omogen.

Bilanul termic se scrie sub forma: Q Q dQr r dr r , unde:

;

;

;

Q Sdt

dr

Q QdQ

drdr

Q Qd

drS

dt

drdr

dQ P t t dr

r

r dr rr

r r dr

r e

(1)

Fig. 8. Nervur radial cu grosime constant

Rezult:

S

d t

dr

dS

dr

dt

drdr P t t dre

2

2 (2)

sau d t

dr S

dS

dr

dt

dr

P

St te

2

2

1

(3)

Schimbnd variabila la = t-te , explicitnd P = 22r i S = 2r i utiliznd coeficientul

mP

S

2, rezult ecuaia diferenial de tip Bessel care caracterizeaz procesul de

transfer de cldur:

d

dr r

d

drm

2

2

21 0

(4)

9. Metoda diferenelor finite

Se consider un corp bidirecional mprit ntr-o reea cu paii de spaiu x dup axa x i

y dup axa y ca n figura 9.

Cu ct paii de spaiu x i y sunt mai mici cu att distribuia aproximativ a temperaturii n corp va fi mai aproape de cea real.

Fig. 9. Notaiile utilizate n analiza numeric a conduciei tranzitorii bidimensionale

prin metoda diferenelor finite

Ecuaia diferenial care descrie procesul de conducie termic n corp este:

a

t

x

t

y

t

2

2

2

2

(1)

Gradienii temperaturii se scriu:

t

x

t t

xm n

m n m n

1 2

1

/ ,

, ,

(2)

t

x

t t

xm n

m n m n

1 2

1

/ ,

, ,

(3)

t

y

t t

ym n

m n m n

, /

, ,

1 2

1

(4)

t

y

t t

ym n

m n m n

, /

, ,

1 2

1

(5)

2

2

1 2 1 2 1 1

2

2t

x

t

x

t

x

x

t t t

xm n

m n m n m n m n m n

,

/ , / , , , ,

(6)

2

2

1 2 1 2 1 1

2

2t

y

t

y

t

y

y

t t t

ym n

m n m n m n m n m n

,

, / , / , , ,

(7)

tt tm np

m n

p 1 1

, ,

(8)

Ecuaia (10.7.) devine:

at t t

x

t t t

y

t tm np

m n

p

m n

p

m n

p

m n

p

m n

p

m n

p

m n

p

1 12

1 1

2

12 2, , , , , , , ,

(9)

Dac paii de timp i de spaiu x i y sunt alei astfel nct x = y i x2/a = 4 se observ c temperatura nodului (m,n) dup un pas de timp rezult ca media aritmetic a temperaturilor celor patru noduri vecine la pasul de timp anterior.