1.1 Mrimi, mrimi msurate, erori, corecii Mrimile fizice msurate sunt mrimi determinate prin valorile lor. n realitate, valorile mrimilor sunt necunoscute, nu se pot afla (valori adevarate). Din aceast cauz, n matematic cnd se fac operaii cu valori ale mrimilor, se spune presupunem c valoarea..... . Prin msurarea mrimilor fizice se obin valori aproximative (experimentale). La fiecare valoare msurat apare o valoare (pozitiv sau negativ), inevitabil, numit eroare de msurare. Erorile se pun n eviden ,numai atunci cnd valorile mrimilor se obin prin msurtori repetate. Repetnd o msurtoare se obin valori diferite ntre ele, se poate afirma c, folosind instrumente din ce n ce mai performante (precise), se obin valori msurate din ce n ce mai apropiate de valorile adevarate . Se numete eroare diferena algebric pozitiv sau negativ dintre valoarea msurat i o valoare de referin a mrimii msurate . ei=Mi-X (i=1,2,.......m) 1.1 unde: ei - eroarea fcut la msurare; Mi valoarea obinut din msurare; X valoarea de referi a mrimii msurate; m reprezint numrul de msurtori; Se numete corecie (c sau v),eroarea cu semn schimbat c = v = -e = X-M 1.2 n msuratori ca valoare de referin se alege o valoare din valorile msurate,sau o valoare calculat din irul de valori msuratori, considerat ca probabil (apropiat de valoarea adevarat ). n acest caz, erorile sunt numite erori aparente sau reziduale . Cndvaloarea de referin se consider valoarea adevrat, erorile sunt numite erori adevrate sau erori reale i sunt necunoscute . Nu se pot calcula deoarece nu se cunosc valorile adevrate ale mrimilor . Msurarea reprezint un proces de determinare a informaiei exprimat printr-un numr care reprezint raportul dintre marimea msurat i o alt mrime de aceeai natur luat drept unitate. Precizia de msurtorilor depinde att de volumul informaiilor (nr. De determinri) precum i de precizia instrumentului de msurare.

Tehnica care se ocup cu modul de prelucrare a masurtorilor i ajungerea la valoarea cea mai probabil se numete teoria erorilor de msurare, iar procedeul se numete al celor mai mici ptrate. Ecuaia msurrii: n=Q/q 1.3 unde : Q reprezint mrimea care se msoar; q unitatea de msur; n reprezint numrul de cuprindere al unitii de msur pe mrime de msurat;

Mrimile care se msoar, numele unitilor de msur, simbolul i definiia unitilor de msur sunt stabilite prin convenii . n prezent, 45 de state printre care i Romnia, fac parte din Convenia metrului i folosesc Sistemul Internaional de Uniti (SI). Aparatele de msurat se mpart n aparate etalon i aparate de lucru. Aparatele etalon servesc la reproducerea unitilor de msur, pstrarea lor i la verificarea aparatelor de lucru (cu care se msoar).Exemplu de msurare : pentru o lungime Q dintre dou puncte A i B ( o latur de drumuire ,etc.) instrumentul d msur ,o rulet cu unitatea de msur q=50 s-a cuprins(repetat )de n=5,213.Valoarea mrimii msurate QAB=nq=5,21350m = 260,65m.Pentru a uura folosirea lor, aparatele de lucru, reproduc multipli i submultipli unitilor de msur..

1.3 Funcii de mrimi msurate Dac folosim variabile msurate, se formeaz polinoame dinstincte chiar dac, variabilele msurate se refer la acelai polinom. Spunem c obinem polinoame diferite, pentru c mrimile msurate sunt afectate de erori.Ca exemplu, pentru o dreapt D, perechile de puncte msurate i exprimate prin coordonatele lor, formeaz drepte dinstincte D1,D2,D3.......Problema care se pune, const n a gsi o dreapta D, de coeficieni a i b astfel determinai nct la fiecare x msurat, s obinem o coordonat y ct mai apropiat fa de dreapta D.Coeficientul a, reprezint coordonata y a punctului de intersecie dintre dreapta D cu axa y;Parabola (gradul 2)Dreapta (gradul 1) Parabola cubica(gradul 3). Coeficientul b, reprezint unghiul de pant al dreptei D.S reprezentm grafic dreapta D i abaterile (erori, corecii) punctelor fa de dreapt,msurate ca distane d pe paralele duse la axa oy, n fiecare punct de coordonate xi , yi :Aplicm ecuaia erorii, relaia 1.1 i rezult: ei = di = yi y 1.16.Cu relaia 1.2, obinem coreciile: vi = - ei = - di = y - yi 1.17Unde: i = (1,m) reprezint numrul punctelor msurate,yi ordonate msurate i y ordonate pe dreapt.nlocuim n relaia 1.17 pe ei cu valoarea lui din relaia 1.16 i obinem m relaii dintre necunoscute (A i B) i mrimile msurate (xi i yi). Relaiile formeaz un sistem de ecuaii de condiie sau de corecii i se reprezint astfel:vi = A + Bxi - yi 1.18 Relaiile 1.18 formeaz un sistem de m ecuaii cu (m+n) necunoscute(m= numrul coreciilor vi i n = numrul coeficienilor. Sistemele de ecuaii n care numrul de necunoscute este mai mare dect numrul ecuaiilor , din punct de vedere matematic este nedeterminat.Astfel de sisteme se pot determina (calcula) dac se caut pentru coreciile vi cele mai probabile valori, prin transformarea lor n alte sisteme, numite sisteme normale sau normalizate, cu numrul de ecuaii egal cu numrul necunoscutelor (n exemplul dat dou ecuaii cu dou necunoscute A i B fr necunoscutele vi ).Matematicianul francez A. Legendre (1752- 1833) fundamenteaz pentru prima dat teoria prelucrrii observaiilor (msurrilor) prin urmtorul postulat : valoarea cea mai probabil a unei mrimi

fizice, bazate pe un set de valori obinute prin msurri (sau ca rezultate din msurri), este aceea pentru care suma ptratelor coreciilor este minim.Procesul de calcul bazat pe postulat, se numete compensare prin metoda celor mai mici ptrate.Metoda celor mai mici ptrate (MCMMP) este folosit pentru a rezolva cu aproximare sisteme liniare n care numrul de ecuaii este mai mare dect numrul de necunoscute. MCMMP este des folosit n calcule statistice, n special n analiza de regresie.Metoda celor mai mici ptrate i are originile pe trmul astronomiei i geodeziei, n ncercarea oamenilor de tiin i a matematicienilor de a oferi soluii de navigaie pe oceane n timpul erei marilor descoperiri geografice. Descrierea precis a comportamentului corpurilor cereti a fost cheia ce a deschis calea navigaiei pe oceane, unde marinarii nu mai aveau posibilitatea de a se ghida dup poziia uscatului. MCMMP reprezint punctul culminant al unor cercetari ce au avut loc n timpul secolului XVIII. Exprimat matematic, postulatul lui Legendre se noteaz astfel:Sum(vi^2)= minima;1.19.Se tie din matematic, c relaia 1.19 este minim, cnd derivatele pariale ale ecuaiilor de condiie sunt egale cu zero.Prin aplicarea postulatului se transform sistemul ecuaiilor de condiie n sistem normal,n care numrul ecuaiilor este egal cu numrul neconoscutelor.

1.2 Funcii Valorile mrimilor se obin direct ca rezultat al msurrii, indirect folosind funcii explicite i condiionate folosind funcii implicite.Funcia este explicit, cnd se obine cte o valoare din valorile altor mrimi, folosind relaii matematice de calcul.Exemplu : Se msoar la o latur de drumuire, distana nclinat LAB, unghiul zenital ZAB i se obine distana redus la planul orizontal DAB = LAB. sin (ZAB).Funcia este implicit, cnd se obin valori ale mrimilor, folosind relaii matematice de condiie (de regul geometrice) ntre mrimi.Funcia implicit se noteaz f( x, .y, z, ...) = 0 (1.4)Exemplu: ntr-un triunghi plan se msoar dou unghiuri, unghiul A si B. Unghiul C se afl din relaia geometric dintre mrimi, A+B+C-200g = 0 adic C=200g - (A+B) Funcia explicit de o singur variabil se noteaz y = f(x), 1.5 Unde y reprezint variabila dependet, x variabila indepent i f(x), caracteristica funciei (mulimea operaiilor efectuate cu mrimea x pentru a obine mrimea y).Creterea funciei se noteaz cu y = f(x+x)-f(x) 1.6 Derivata funciei se noteaz cu simbolurile dy = f'(x)dx, i reprezint limita raportului dintre creterea variabilei independente x (cretere considerat suficient de mic n valoare absolut), cnd x tinde ctre zero, adic:f(x)=lim[(f(x+x)-f(x)/x)]. Din punct de vedere geometric, derivata este egal cu tg(), unde reprezint unghiul format de tangenta la curb n punctul M, de coordonate M(x,y), cu direcia pozitiv a axei Ox (coefieientul unghiular al tangentei la curb) Difereniala funciei se noteaz cu simbolul dy sau df(x) i reprezint produsul dintre derivata funciei i difereniala variabilei independente, adic dy = f'(x) dx. Regula se aplic msurtorilor la a liniariza funciile pentru creteri h suficient de mici (se dezvolt funcia n serie numai cu prima derivat i se renun la urmtorii termeni).

Exemplu de compensare pentru o diferen de nivel: Relaia matematic este urmtoarea: hij = Hj - Hi 1.20 unde hij reprezint diferena de nivel de la i la j, Hi cota lui i i Hj cota luij.Introducem valorile msurate i corceiile: hij + vij = Hj + vj - (Hi + vi) 1.21 Ordonm relaia 1.20 astfel: vij = vj - vi + Hj - Hi - hij 1.22 Notm lij = Hj - Hi - hij, nlocuim n 1.22 i obinem ecuaia de condiie : vij = vj - vi + lij 1.23

Exemplu de compensare pentru o distan redus :Relaia matematic este urmtoarea: Dij = (X j - Xi )2 + (Yj -Yi )2 1.24 unde : Dij reprezint distana redus, (Xi, Xj) i (Yi, Yj) coordonatele punctelor.Se dezvolt n serie Taylor radicalul din 1.24 cu coordonate msurate:Derivatele pariale : Termenul liber: lij = Distana din coordonate - Distana msurat.Scriem ecuaia de condiie: vij = -cos (ij) xi - sin(ij) yi + cos(ij)xj + sin(ij) yj + lij 1.4 Indicatori ai mrimilor msurate 1.4.1 Indicatori de precizie (media aritmetic) Media aritmetic simpl pentru un ir de msurari M1, M2, M3, ..., Mm o notm cu M i este dat de expresia:M=sum(Mi)/m ;Media aritmetic ponderat notnd ponderile p1 p2 ,........, pm ale mrimilor M1, M2, M3, ..., Mm o notm cu Mp i este dat de expresia: M=sum(piMi)/sum(pi);Media aritmetic d informaii asupra valorii medii a irului i este considerat ca cea mai probabil valore a irului de msurri. Mediana reprezint valoarea central (de mijloc), din irul de msurri. Modul (ecart maxim) reprezint diferena dintre valorile extreme ale irului de msurri.

1.4.2 Indicatorii variaiei sau de mprtiere (amplitudinea, dispersia, abaterea standard, coeficient de variaie) Amplitudinea, se noteaz cu W sau max i este dat de expresia: W = Mmax - Mmin 1.28

Ne d informaii despre imprtierea valorilor msurate ntre valorile extreme.Dispersia, se noteaz cu 2 i este dat de expresia: ^2 =(1/(m-1))*sum(pi*(Mi-M)^2) Pentru mrimi ponderate este dat de expresia: p^2 =(1/(m-1))*sum(pi*(Mi-M)^2) Ne d informaii asupra mrimii mprtierii valorilor msurate n jurul valorii mediei aritmetice.Abatere standard (abaterea medie ptratic, eroarea medie ptratic a unei singure msurari), se noteaz sau p i este rdcina ptrat a dispersiei. Se exprim n unitile de msur ale mrimilor msurate. Observie. Diferenele Mi - M din relaiile 1.29 i 1.30, reprezint erorile aparente (reziduale) ale mrimilor msurate. Abaterea standard a mediei aritmetice (abaterea medie ptratic a mediei aritmetice,eroarea medie ptratic a mediei aritmetice), se noteaz cu M i are expresia: M=/sqrt(m); Pentru msurri ponderate are expresia, Mp =p/sum(sqrt(pi)); Abatere probabil, reprezint circa 2/3 din abaterea standard, adic 0,6745. Coeficient de variaie ( variabilitate) se noteaz cu V% i este dat de expresia,V% = /M*100

Predicie n sens larg, anticipare a producerii unui eveniment sau fenomen, a unei interaciuni,aciuni sau relaii, pe baza cunoaterii disponibile, astfel putem numi predicia cu prevederea sau prezicerea. n cercetarea social, tip de analiz sociologic prin care se urmrete s se specifice trsturile unui eveniment social (relaie, interaciune,performan, comportament individual sau de grup etc.) pe baza informaiei existente i relevante despre alte evenimente cu care este asociat. Exemple: cunoaterea aptitudinilor unei persoane faciliteaz elaborarea de predicie despre performanele dintr-o activitate;testele de inteligen prezic capacitatea trecut, prezent i viitoare de a nva i a rezolva probleme; apartenena la o organizaie politic prezice atitudinile fa de un eveniment politic; poziia individual ntr-o ierarhie social. n fiecare relaie de acest gen apar dou variabile. Prima concentreaz informaia utilizat pentru a face predicia i este numit predictor, iar a doua este considerat variabil criteriu (sau dependen). Tipul cel mai simplu de predicie implic un predictor i un criteriu. Analiza statistic multivariat ofer posibiliti instrumentale de specificare a predictorilor multipli, cu ponderi diferite, pentru una sau mai multe

variabile-criteriu(dependente), n condiii de stabilire i cunoatere ale nivelului incertitudinii. Totodat,incertitudinea predicie este influenat invers proporional de acurateea i precizia estimaiei parametrilor populaiei pe baza informaiilor culese din investigarea unui eantion.

Probabilitate

1. Sens apriori. Dac vom considera rezultatele unui experiment sau ale unei anchete sociale (scorurile la un test sau rspunsurile la ntrebri) ca evenimente i vom caracteriza fiecare eveniment prin succes (producerea lui n direcia care ne intereseaz) sau prin eec (rezultate care nu se conformeaz ateptrilor), atunci (P) producerii evenimentului n direcia care ne intereseaz este este aplicat n teoria matematic , care msoar ansele unor rezultate posibile n situaii incerte. 2.Sens aposteriori. Acesta este de tip empiric, considerndu -se c ntr-o serie de observaii(teste, chestionare, experimente),(P) este exprimat prin raportul dintre numrul de apariii ale unui eveniment i numrul de ncercri.(P) este considerat empiric prin aplicarea unor probe de msurare, prin nregistrarea numrului de ori n care se produce un tip de evenimente i apoi prin calcularea raportului dintre numrul de apariii i numrul de ncercri pentru a specifica probabilitatea de producere a tipului respectiv de eveniment.

p(A/B)=p(AintersectatB)/p(B) Testul F (Fisher). Se utilizeaz pentru a testa dac variaia unei variabile este mai mare ntr-o populaie dect n alta, comparaia fiind fcut folosind dou eantioane mici, cte unul din fiecare populaie. S notm cu 12variana n primul eantion i cu 22 variana n cel de al doilea i s presupunem c prima din cele dou valori este mai mare.

Testulc2 (hi ptrat). Este un test de concordan , neparametric, folosit pentru a testa gradul deapropiere dintre o distribuie empiric i una teoretic. Nefcnd deci apel la valorile variabilei,el poate fi utilizat att n cazul caracteristicilor cantitative ct i n cel al caracteristicilor calitative.Aplicarea testului c2 nu este un bun indicator de depistare a msurtorilor greite, deoarece este foarte sensibil la modul de alegere al ponderilor. Cu acest test se verific normalitatea (dac mrimile sunt distribuite dupa legea de distribuie normal).n tratarea matematic a erorilor aleatoare se admite, n general, c distribuia probabilitilor erorilor este dat de legea normal - legea erorilor lui Gauss.

Regresie

Metod statistic folosit pentru a estima sau prognoza schimbrile dintr-o variabil n funcie de schimbrile din alt variabil sau dintr-un set de alte variabile. Variabila ale crei valori se estimeaz prin analiza de regresie este denumit dependent sau endogen,iar cea n funcie de care se face estimarea este denumit independent sau exogen. Dac notm pe prima cu y iar pe cea de-a doua cu x, atunci relaia lor, n msura n care este una de tip liniar, poate fi exprimat prin ecuaia y' = a + b x, denumit ecuaie de regresie.Prin y' se desemneaz valoarea ateptat a lui y n funcie de x. Elementul cel mai important al acestei ecuaii este b, coeficientul de regresie a variabilei y asupra variabilei x sau regresia lui y n funcie de x. Prin el se exprim regula de coresponden dintre schimbrile n x i cele n y. Valoarea sa indic numrul de uniti cu care se schimb (crete sau descrete) n medie variabila dependent pentru o schimbare cu o unitate a variabilei independente; a este denumit termen liber al

regresiei i este folosit mai mult ca element de calcul cu sens matematic, dect ca instrument pentru interpretarea relaiei dintre variabile. a i b poart numele de parametrii ai ecuaiei de regresie. Spre deosebire de x i y care iau valori diferite i snt observabile, parametrii au caracter constant pentru o aceiai populaie i snt neobservabili, determinndu-se pe baz de calcul.Legtura dintre dou variabile x i y este liniar dac efectul n y al schimbrii lui x cu o unitate dat este acelai, indiferent de nivelul la care se produce schimbarea n aceast ultim variabil. Norul de puncte care corespunde, n reprezentare grafic, distribuiilor unitilor de analiz, n funcie de cele dou variabile considerate ca axe rectangulare,tinde s se ordoneze n jurul unei drepte dac relaia este de tip liniar. Aceasta poart numele de dreapt de regresie i are ca expresie matematic ecuaia de regresie. Trasarea ei n funcie de parametrii ecuaiei de regresie se face astfel nct suma ptratelor distanelor de la unitile de analiz la dreapta de regresie este minim.

VARIABILE ALEATOARE CONTINUE Variabila aleatoare continu X are o infinitate de valori, x, i repartiia nu poate fi redat printr-un tablou.n consecin, se folosete probabilitatea evenimentului X x , care, dup cum s-a vzut, se numete funcie de repartiie i are, n acest caz, un rol primordial.Pentru variabila aleatoare continu, funcia de repartiie este definit de

integrala: F(x) =P(X pentru variabila aleatoare continu (probab ilitatea egalitii fiind nul) a) Proprietile funciei derepartiie Geometric, funcia de repartiie pentru variabila aleatoare continu este reprezentat de aria haurat, cuprins ntre curba densitii de probabilitate i axa absciselor (Fig.a), iar aria total este egal cu unitatea.

2. CLASIFICAREA MSURTORILOR Clasificarea se va face dup modul de obinere al valorilor mrimilor, numrul lor,condiiile de msurare,ncrederea acordat i interdependena lor.2.1 Dup modul de obinere al valorii mrimilor. Dup modul de obinere al valorilor, msurrile se mpart n directe, indirecte i condiionate.Msurtori directe se numesc atunci cnd se obine valoarea mrimii direct, folosind instrumente de msurare. La fiecare msurtoare, obinem cte o valoare msurat. De exemplu, msurarea unei lungimi cu o rulet. Din aceast categorie fac parte i msurtorile obinute n urma unor operaii de calcul cum ar fi: diferena dintre dou numere (msurarea unui unghi orizontal cu teodolitul, msurarea geometric a unei diferene de nivel folosind o nivel) sau nmulirea unui numr cu o constant (msurareadistanelor stadimetric). Masurtori indirecte se numesc atunci cnd se obine valoarea mrimii indirect, folosind relaii matematice cu funcii ntre dou sau mai multe mrimi msurate direct.De exemplu, dac se msoar direct ntre dou puncte A i B, lungimea nclinat LAB i unghiul zenital ZAB, se obin valori indirecte pentru lungimea redus la orizont DAB i diferena de nivel HAB folosind relaii matematice, astfel :DAB = LAB sin(ZAB) i HAB = LAB. cos(ZAB) Msurtori condiionate se numesc atunci cnd valorile mrimilor msurate direct, sunt supuse unor condiii exprimate prin relaii matematice. De exemplu, unghiurile ,, msurate direct ntru-un triunghi plan, trebuie s ndeplineasc relaia ++=200g 2.2 Dup numrul msurrilor Dup numrul msurrilor, msurrile se mpart n msurri necesare i suplimentare .Se numesc msurri necesare numrul minim de msurri pentru a determina valoarea unei mrimi. De exemplu, pentru a afla valoarea unei lungimi se msoar o singur dat Se numesc msurri suplimentare numrul de msurri peste (n plus) necesare pentru a determina valoarea unei mrimi. De exemplu, la msurarea unei lungimi de m ori,diferena m-l reprezint msurri suplimentare.Numrul msurrilor suplimentare reprezint gradul de libertate al determinarii.De regul, se fac msurri suplimentare; msurrile suplimentare sunt necesare pentru aridica precizia valorii mrimii msurate sau a prentmpina eventualele greeli care apar n procesul de msurare. 2.3 Dup condiiile de msurare Dup condiiile de msurare, msurrile se mpart n msurri de aceeai precizie si de precizii diferite.Msurri de aceeai precizie sunt msurrile fcute de un singur operator, cu acelai instrument i n aceleai condiii de mediu.Msurri de precizii diferite se numesc msurrile fcute fie de mai muli operatori, fie cu instrumente diferite sau n condiii de mediu diferit. Din definiie, rezult c majoritatea msurrilor sunt msurri de precizii diferite. 2.4 Dup ncrederea acordat Dup ncrederea acordat, msurrile se mpart n msurri de ncredere superioar i redus.Ca exemplu, s presupunem o lungime msurat cu dou instrumente diferite, i anume:un operator msoar cu compasul de msurare i acelai operator sau un alt operator msoar cu panglica sau ruleta. Folosind instrumente diferite ca precizie de msurare, ne face s nu acordm valorilor msurate aceeai ncredere. Considerm c a doua msurare este mai bun (precis).Msurri de ncredere superioar sunt msurri realizate de ctre operatori mai ateni,cu instrumente mai precise i n condiii de lucru (mediu) mai bune.Msurri de ncredere redus sunt msurri realizate cu instrumente mai puin precise,de operatori mai puin ateni sau n condiii dificile de mediu.La prelucrarea msurrilor cu ncrederi diferite, se stabileasc condiii de folosire n aa fel,ca msurrile de ncredere redus s influeneze ct mai puin valorile finale calculate. n acest scop, la fiecare valoare msurat se ataeaz o valoare numeric, numit pondere,proporional cu ncrederea (la msurri de ncredere superioar ponderea este mai mare i la msurri de ncredere redus ponderea este mai mic).Ponderea , ca definiie, reprezint expresia numeric a ncrederii acordate valorilor msurate.Cnd la mai multe msurri li se atribuie aceeai ncredere (pondere), msurrile sunt considerate de aceeai precizie i cnd li se atribuie ponderi d iferite, msurrile sunt considerate de precizii diferite. 2.5 Dup interdependena lor Dup interdependena, msurrile se mpart n msurri dependente i independente. Sunt msurri dependente, msurrile efectuate n condiii de mediu neuniform (variaii ale refraciei atmosferice, diferie de temperaturi, etc.) i cu instrumente imperfecte (cu erori remanente). Din aceast definiie rezult c majoritatea msurrilor sunt dependente.Avnd n vedere dificultatea de a stabili gradul de dependen pe fiecare msurare n parte, n lucrri curente, msurrile la prelucrarea lor se consider independente.

3. CLASIFICAREA ERORILOR DE MSURARE Clasificarea se va face dup valoarea de referin, modul de prezentare i surse de provenien.3.1 Dup valoarea de referin.Dup valoarea de referin, erorile se mpart n erori adevrate (reale) i erori aparente(reziduale). Erori adevarate (reale) sunt erori calculate fa de o valoarea X, considerat ca valoare adevarat a mrimii msurate. Din definiie, avnd n vedere c valorile adevarate ale mrimilor msurate sunt necunoscute, rezult c i erorile adevarate sunt necunoscute. Erori aparente (reziduale, reziduri) sunt erori calculate fa de o valore X, considerat ca cea mai apropiat de valoarea adevarat (just, probabil) . Aceat valoare poate fi de exemplu, media aritmetic a valorilor msurate sau o valore msurat, considerat ca fiind cea mai apropiat de valoarea adevarat (ce mai precis). 3.2 Dup modul de prezentare Dup modul de prezentare, erorile se prezint ca erori absolute i ca erori relative. Erori absolute, sunt erorile calculate n modul, adic: |ei| =|Mi|-| X | 1.38 Erori relative, sunt erorile calculate ca raport dintre valoarea absolot a erorii i valoarea absolut a valorii de referin, adic: er =|e|/ |X| 1.39 Erorile relative sunt independente de unitatea de msur i exprim intuitiv (mai uor) gradul de aproximare (precizie).Folosind numai mrimea erorile, cnd mrimile msurate sunt diferite ntre ele ca valori sau ca uniti de msur (lungimi mari cu lungimi mici, kg cu gr, etc.), nu putem caracteriza cu usurin precizia de msurare (gradul de aproximare). Spre exemplu, la o lungime de 2000 m msurat cu eroarea de 0,5 m i la o lungime de 100 m msurat cu eroarea de 0,05m (de 10 ori mai mic), dup mrimea erorilor, credem c avnd eroarea mai mic, a doua distan a fast msurat (aproximat) mai precis.Din exemplul dat mai sus, calculnd erorile relative pentru prima lungime 1/ (2000 / 0.5)= 1/ 4000 respectiv 1 (100 / 0.05) = 1/ 2000 pentru

a doua lungime, rezult c lungimea de 2000m a fost msurat de dou ori mai precis. Eroarea procentual, reprezint eroarea relativ nmulti cu numrul 100, adic: ep=er*100.Erorile care se fac la calcule, se numesc erori de calcul i sunt determinate printre altele de folosirea numerelor sau numere rezultate din funcii, dezvoltri n serie, etc, cu cifre mai puine.

3.3 Dup sursa de provenien Dup sursa de provenien, erorile se mpart n erori de msurare i n erori de calcul. 3.3.1 Erori de msurare Erori de msurare sunt erorile care se fac n procesul de msurare i sunt determinate de condiiile de mediu i de imperfeciuni ale operatorilor, aparatelor de lucru sau ale metodelor de msurare. Erorile de msurare se pot clasifica dup mrime i dup modul de acionare. 3.3.1.1 Dup mrimea lor Dup mrimea lor, erorile se mpart n erori mici (propriu-zise, acceptate) i mari (greeli,neacceptate).Erori mici (propriu-zise, acceptate) apar n timpul msurrii din urmtoarele cauze: imperfeciuni ale aparatelor. Aceste erori se numesc erori instrumentale i sunt mici sau mari n funcie de tipul instrumentului (precizia de msurare), de gradul de uzur al instrumentului sau de metoda de lucru folosit.; imperfeciuni ale operatorilor. Aceste erori se numesc erori personale i sunt mici sau mari n funcie de iscusina i de starea operatorului; influena condiiilor atmosferice. Aceste erori se numesc erori de mediu i sunt mici sau mai mari n funcie de schimbrile de temperatur, de presiune, umiditate,luminozitate, etc. Erori mari (neacceptate, greeli) apar n timpul msurrii din urmtoarele cauze: neatenia operatorului.; dereglri nesezizate ale instrumentelor n timpul lucrului. folosirea de metode de lucru necorespunztoare.Msurrile afectate de erori mari, dac nu se gsesc cauzele lor, se elimin.De exemplu, la msurarea de trei ori a unei lungimii valorile msurate sunt notate (scrise)astfel: 225,27 m 225,31 m i 252,30 m.,se constat cu uurin c la ultima msurare, nu avem o erore de msurare mare ci o greeal de notare. S-a notat 252,30 m n loc de 225,30 m.Pentru numai dou msurri, se msoar nc o dat lungimea i se constat valoarea greit.

3.3.1.2 Dup modul de acionare Dup modul de acionare (modul de propagare), erorile se mpart n erori sistematice i n erori ntmpltoare (accidentale).Erori sistematice, sunt erori date de cauze permanente, acioneaz constant (fie pozitiv,fie negativ), dup legi (relaii matematice) mai mult sau mai puin cunoscute.Cunoscnd cauza (legea de formare), se elimin din valoarea msurat prin coreciiaplicate valorii msurate sau prin metode adecvate de lucru.De exemplu, dac se masoar o lungime de 253,45 m cu o panglic de oel mai lung cu0.05 m fa de mrimea etalonat de 50 m, valoarea msurat se va corecta astfel: se calculeaz eroarea pe unitatea de msura:eu = valoarea nominal valoarea etalonat = 50,05m 50m = 0,05 m; se calculeaz numrul de cuprindere al unitii de msurare (valoarea nominal)pe mrimea de masurat: n = 253,45 m / 50.05 m = 5,063936064; se calculeaz eroarea total pe mrimea msurat:et = eun = 0,05m 5,063936064 = 0,253 m;se calculeaz lungimea corectat scaznd din valoarea mrimii msurate eroarea total a: 253,45m 0,253m = 253,197m.Exemple de erori sistematice eliminate prin metode adecvate de lucru: Erorile de diviziune ale cercurilor gradate se

elimin folosind metoda reiteratiilor . Eroarea de neorizontalitate la nivele se elimin folosind metoda nivelmentului geometric. Erorilor sistematice se elimin din msurri prin corecii sau metode de lucru. Erorile sistematice mici, care nu se pot elimina, se numesc erori sistematice reziduale i aceste erori se vor considera la prelucrarea msurrilor ca erori ntmpltoare.Erori ntmpltoare (accidentale), sunt erori care au valori mici, pozitive i negative i nu se pot elimina. Exemple de cauze de erori ntmpltoare: vibraii ale trepiedelor sau pilatrilor date de micarea solului sau de operator; dilatri neuniforme ale aparatelor date de variaia temperaturii; date de refracia atmosteric neuniform ; starea operatorului. Erorile ntmpltoare se pot micora semnificativ ca mrime, prin folosirea de aparate de msurat i metode de lucru perfecionate. Prelucrarea msurrilor se va face folosind erori aparente (reziduale, reziduri)i se consider c msurrile sunt afectate numai de erori ntmpltoare i de erori sistematice.

3.3.2 Erori de calcul

La calcule se produc erori care se vor aduga la erorile de msurare.Ca surse de erori de calcul, se pot enumera: folosirea n formule matematice de parametri sau de constante cu valori aproximative; folosirea funciilor (sin x, cos x, tg x, etc.) cu un numr finit de termeni; procesul de rotunjire a numerelor.Pentru diverse numere aproximative rezultate din msurri (distane, direcii, unghiuri,etc.) la care cunoatem erorile de msurare i cunoatem i rezultatele finale la care va trebui s ajungem, se impune, s nu avem erori de calcul care s afecteze precizia msurrilor (erorile de calcul s fie mai mici sau neglijabile, fa de erorile de msurare). 3.3.2.1 Eroarea numerelor

Cifre semnificative ale unui numr aproximativ se numesc acele cifre din scrierea respectiv, care se deosebesc de zero, sau sunt zero dar cuprinse ntre cifre diferite de zero. Numrul 03,205 are 4 cifre semnificative formate de grupul 3, 2, 0, 5. Sunt cifre semnificative i zerourile de la sfritul numrului cnd acestea indic numrul de cifre care trebuie pstrat. Dac numrul 03,2050 este considerat c reprezint o valore cu o precizie pn la ultimul zero, numrul are n acest caz 5 cifre semnificative formate de grupul 3, .2, 0, 5, 0.La n cifre considerate exacte, erorea numrului nu depete o jumtate de unitate din cea de a n-a cifr semnificativ socotit de la stnga spre dreapta.Ca exemplu, numrul 3,205 are eroarea 0,001 = 0.0005.Cunoscnd erorea numerelor,30 se aplic anumite reguli la rotujirea numerelor. 3.3.2.2 Rotunjirea numerelor

Prin rotunjirea unui numr se ntelege reinerea unui anumit numr de cifre din cifrele existente, aplicnd anumite reguli stabilite de rotunjire, i anume: dac prima dintre cifrele abandonate este mai mare dect 5; ultima cifr pstrat se mrete cu o unitate dac prima dintre cifrele abandonate este mai mica dect 5, ultima cifr pstrat se menine nemodificat; dac prima dintre cifrele abandonate este egal cu 5 i printre celelalte cifre abandonate exist cifre nenule, ultima cifr pstrat se mrete cu o unitate; dac prima dintre cifrele abandonate este egal cu 5 i printre celelalte cifre abandonate nu exist cifre nenule, ultima cifr pstrat rmne neschimbat dac ea este numr par i se mrete cu o unitate dac ea este impar.Ultima regul, numit regula cifrelor pare s-a stabilit pe baza divizibilitii numerelor(numerele pare se divid exact cu mai multe numere dect cele impare i deci, sunt mai puin afectate de erori).

MASURATORI INDIRECTE

Cazul general In calcul masuratorilor indirecte , valoarea marimilor care ne intereseaza se obtin

prin intermediul unor marimi masurate direct , marimile masurate direct si cele de

determinat fiind fuctional dependente intre ele. Fie M10 , M20 , Mn0, valorile medii a unor marimi , rezultate din masuratori : directe si X1 , X2 , ..Xh , marimile ce urmeaza a fi determinete indirect.Sa presupunem ca intre marimile fizice masurate

direct si marimile Xi , exista urmatoarele relatii :Mi0 +vi = Fi (X1 , X2 , ..Xh )( i = 1,2,n si n > h ) (2.50) Pentru depistarea eventualelor greseli , cat si pentru marirea preciziei , avem intotdeauna n > h .Problema care se pune este , ca din sistemul (2.50)

sa deducem cele mai bune valori pentru X1 , X2 , ..Xh .Daca valorile masurate direct Mi0 ar fi perfect riguroase (neafectate de erori ), atunci sistemul (2.50) s-ar scrie

sub forma : Mi0 = Fi (X1 , X2 , ..Xh )( i = 1,2,n si n > h ) (2.51)Acest sistem ar fi compatibil si rezolvabil in raport cu necunoscutele X1 , X2..Xh .In acest caz ecuatiile suplimentare in numar de (n-h) ar fi simple consecinte ale celorlalte h, iar

operatiile de masurare s-ar reduce la atatea masuratori cite necunoscute sunt .In practica

, cu oricata grija si pricepere si in oricat de bune conditii s-ar efectua masuratorile , acestea sunt afectate in mod inerent de erori .Datorita erorilor de masurare , sistemul

(2.51) este incompatibil , de aceia marimilor masurate trebuie sa li se aplice niste

corectii vi , astfel ca sistemul sa fie compatibil cu necunoscutele X1 , X2 , Xh .Valorile cele mai probabile ale corectiilor se determina aplicind metoda celor mai mici

patrate.Deci vi reprezinta corectiile ce trebuie aplicate marimilor masurate direct ,

pentru a fi satisfacute toate ecuatiile de tipul (2.50) ce pot fi intocmite , pentru rezolvarea unei anumite probleme .

Liniarizarea ecuatiilor

Deoarece in majoritatea cazurilor functiile Fi din (2.50) sunt neliniare , compensarea devine foarte greoaie . De aceea pentru usurarea calculelor de compensare , aceste

ecuatii se aproximeaza cu niste ecuatii liniare , ce se obtin prin dezvoltare in serie

Taylor , in vecinatatea unor valori Xi , apropiate de cele adevarate . Valorile apropiate X10 , X20 Xh0 se cunosc fie dintr-o masuratoare anterioara , fie prin rezolvarea sistemului (2.11) , in care se iau in consideratie numai h ecuatii si in

crae se considera vi = 0.Valorile probabile ale necunoscutelor vor fi deci : Xi = Xi0 + xi i = 1 , 2 .h (2.52)in care xi reprezinta niste corectii ce urmeaza sa le determinam prin compensare .Aceste corectii trebuie sa fie suficient de mici , astfel ca

in dezvoltarea in serie sa putem neglija termenii de ordinul II si mai mari . Daca valorile aproximative Xi0 , au fost determinate nefavorabil , astfel ca termenii

de ordinl II si superior , neglijati in dezvoltarea in serie , au valori ce influenteaza

compensarea , atunci se reface intreaga compensare , considerind in locul valorilor apropiate Xi0 valorile Xi = Xi0 + xi .Introducand (2.52) in (2.50) se obtine :vi = Fi

(X10 + x1 , X20 + x2 , . Xh0 + xh ) Mi0 (2.53) Dezvoltand in serie Taylor relatia (2.53) si neglijand termenii de ordinul II si superiori rezulta :vI @ Fi (Xi0 , X20 , .. Xh0 ) Mi0 + (Fi/X1) x1 + (Fi/X2) x2 + ..(Fi/Xh) xh (2.54)i = 1 , 2 , ., n.Adoptand urmatoarele notatii :(Fi/X10) = a i ; (Fi/X20) = bi ; ..; (Fi/Xh0) = hi (2.55)Fi (X10 , X20 , . Xh0 ) Mi0 =li (2.56)relatiile (2.54) devin : aix1 + bix2 + ..+ hixh +li = vi (2.57) i=1 , 2 ,. , si n > h .Relatiile (2.57) , poarta denumirea de sistemul liniar al ecuatiilor de corectii.Un caz particular rezulta cand ecuatiile initiale (2.50) sunt

de la inceput sub forma liniara , adica :M0 + vi = aix1 + bix2 + ..+ hixh (2.58)Desi nu se mai pune problema liniarizarii totusi si in acest caz este recomandabil a folosi valorile aproximative Xi0 , pentru ca la calculul efectiv , sa avem numere mici (in

special termenii liberi ).Sistemul ecuatiilor de corectii va fi in acest caz : vi= aix1 + bix2 + ..+ hixh +li (2.59);li = aix10 + bix20 + ..+ hixh0 Mi0 . Observatia 1. Fiecare masuratoare genereaza cate o ecuatie de corectie .

Observatia 2. Din expresiile coeficientilor si termenilor liberi , dati de (2.55) si (2.56) , se observa ca marimea masurata direct Mi , decicea care este afectata de erori intervine

numai in termenul liber .Tot din (2.56) se deduce ca eroarea termenului liber este egala

cu eroarea marimii masurate, deoarece marimile Xi , sunt niste constante .Rezulta deci ca eroarea unei ecuatii de corectie este egala cu eroarea termenului liber al acesteia ,

coeficientii ai , bi , ..,hi putand fi considerati niste constante lipsite de erori . Observatia 3. Daca marimile masurate Mi0 , sunt determinate cu aceeasi precizie si ecuatiile sistemului liniar al corectiilor vor fi de aceeasi precizie . In caz contrar vom

avea un sistem liniar al ecuatiilor de corectii ponderat .Observatia 4 . Din observatiile

facute la punctul (2) si (3) rezulta ca ecuatiile sistemului liniar de corectii nu pot fi multiplicate cu constante diferite intrucat se vor modifica ponderile in mod diferit .

Se admite a se inmulti tot sistemul cu aceiasi constanta . In expresia (2.56) , a termenului liber Fi (Xi0 , X20 , . Xh0 ) reprezinta o valoare calculata a marimii Mi , deci rezulta regula practica de calcul a termenului liber si anume:Termenul liber =

valoarea calculata valoarea masurata.

Masuratori indirecte de aceeasi precizie Din sistemul liniar al ecuatiilor de corectie (2.61) , in care vom presupune ca toate

ecuatiile au aceeasi pondere , valorile cele mai probabile ale corectiilor se deduc ,

utilizand metoda celor mai mici patratre , adica:[vv] = min (2.62) Daca in (2.62) se inlocuiesc valorile corectiilor vi date de sistemul (2.61) se obtine :

[vv] = v12+ v22 + + vn2 = (a1x1 + b1x2 + . + h1xh +l1)2 + (a2x1 + b2x2 + + h2xh +l2)2 + (anx1 + bnx2 + + hnxh +ln)2 =min(2.63) Din (2.63)se observa ca avem o functie de necunoscute xi,adica[vv] = F (x1 , x2 , ., xh).

Pentru a determina minimul acestei functii de mai multe variabile , trebuie ca:F / Xi = 0 (i = 1 , 2 , , h ) (2.64)Efectuand aceste derivate se obtine :F / X1 = 2 a1 (a1x1 + b1x2 + .. +h1xh + li) + 2 a2 (a2x1 + b2x2 + +h2xh + l2)+ + 2 an (anx1 + bnx2 + +hnxh + ln) = 0 (2.65)Aceasta derivata partiala mai poate fi scrisa si sub forma [av]=0 (2.66) F / X2 = 2 b1 (a1x1 + b1x2 + +h1xh + li)+ 2 b2 (a2x1 + b2x2 + ..+h2xh + l2) + + 2 bn (anx1 + bnx2 + ...+hnxh + ln) = 0 (2.67)sau[bv] = 0 (2.68) Analog se calculeaza si celelalte derivate partiale , pana la ultima , care va fi :

F / Xh = 2 h1 (a1x1 + b1x2 + .. +h1xh + li) + 2 h2 (a2x1 + b2x2 + .. +h2xh + l2) + + + 2 hn (anx1 + bnx2 +.. +hnxh + ln) = 0 (2.69)sau[hv] = 0 (2.70) Anularea derivatelor de ordinulintai ne determina punctele stationare ale functiei .

Vom arata la tratarea matriciala ca acestea sunt puncte de minim , adica derivata de ordinul II este pozitiva .Daca in relatiile (2.65) , (2.67) , (2.69) se efectueaza calculele

rezulta ;[aa]x1 + [ab]x2 + + [ah]xh + [al] ) = 0;[ab]x1 + [bb]x2 + + [bh]xh + [bl] ) = 0;....[ah]x1 + [bh]x2 + + [hh]xh + [hl] ) = 0(2.70)Sistemul (2.70) se numeste sistemul normal al corectiilor .Se remarca faptul ca matricea coeficientilor acestui

sistem este simetrica , deci nesingulara . Rezulta ca sistemul are solutie iar aceasta este

unica .Prin rezolvarea acestui sistem se determina corectiile xi , care aplicate valorilor apropiate Xi0 , conform relatieiXi = Xi0 + xi ne da valoarea cea mai probabila a

necunoscutelor .De asemeni cu ajutorul corectiilor xi din sistemul liniar (2.69) se pot

deduce corectiile vi care vor fi aplicate marimilor masurate Mi .Daca calculele de compensare se executa manual cu mijloace calasice de calcul determinarea coeficientilor si termenilor liberi si ecuatiillor normale . Pentru calculul corect al coeficientilor sistemului normal se fac urmatoarele controale : In tabloul coeficientilor ecuatiilor de corectie , se fac sumele atat pe orizontala(pentru fiecare ecuatie ) , cat si pe

verticala , sumele generale [s] si 1 trebuie sa fie identice . In tabloul coeficientilor ecuatiilor normale , sumele se fac asa cum se indica prin liniile punctate cu sageti . Controlul se face pe fiecare linie si anume , trebuie sa avem : [aa] + [ab] + .. + [ah] + [al] = [as].

Cazul masuratorilor indirecte ponderate

Fie sistemul liniar al ecuatiilor de corectie ponderat :aix1 + bix2 + .. + hixh + li = vi pi (2.71)i = 1 , 2 , .. , n;Valorile probabile se vor determina in acest caz din conditia :

[ p v v ] = min (2.72)Relatia (2.72) , in care se tine seama de valorile corectiilor vi date

de de (2.71) mai poate fi scrisa si sub forma :[ p v v ] = p1v12 + p2v22 +..+ pnvn2 = pi (a1x1 + b1x2 + + h1xh + l1 )2+ p2 (a2x1 + b2x2 + + h2xh + l2 )2+ + pn (anx1 + bnx2 + . + hnxh + ln )2 = min (2.72)Minimul acestei functii se determina din conditia :[pvv] / x i = 0 i = 1 , 2 , ..,n (2.73)Efectuand aceste derivate se obtine:[pvv] /x1 = 2 =ni 1piai (aix1 + bix2 + + hixh + li ) = 0 (2.74)[pvv] /x2 = 2 =ni 1piai (aix1 + bix2 + .. + hixh + li ) = 0 (2.75)..[pvv] /xh = 2 =ni 1piai (aix1 + bix2 + .. + hixh + li ) = 0 (2.76)Relatiile (2.74) , (2.75) si (2.76) mai pot fi scrise si sub forma :[pav] = 0 ; [pbv] = 0 ; .; [phv] = 0 (2.77)Daca se fac calculele in (2.74) , (2.75) si (2.76) se obtine sistemul norma al corectiilor in cazul ponderat si

anume :[paa] x1 + [pab] x2 + + [pah] xh + [pal] )=0[pab] x1 + [pbb] x2 + + [pbh] xh + [pbl] ) = 0(2.78) [pah] x1 + [pbh] x2 + + [phh] xh + [phl] ) = 0;Sistemul (2.78) fiind simetric , se obisnuieste a fi scris sub forma prescurtata urmatoare :

[paa] x1 + [pab] x2 + + [pah] xh + [pal] ) = 0 + [pbb] x2 + + [pbh] xh + [pbl] ) = 0 + [phh] xh + [phl] ) = 0 (2.79) Ca si in cazul masuratorilor indirecte de aceeasi precizie , calculul coeficientilor sistemului normal se face intr-un tablou de forma de mai jos:

Toate calculele de control sunt analoge cu cele de la cazul masuratorilor de aceeasi

precizie In tabelul (2.7 ) se calculeaza si valoarea [pll] care este utila la evaluarea preciziei

Funcia explicit de mai multe variabile se noteaz z = f(x,y) 1.10 Creterea funciei se noteaz cu z = f(x+ x , y+ y) - f(x,y) 1.11 Derivata funciei se formeaz separat pe variabila x i y (derivate pariale) adic fx '(x,y)respectiv fy'(x,y) i se noteaz: f / x respectiv f / y. Difereniala dz = df = ( f / x) dx + ( f / y) dy 1.12 Dac n functia z = f(x,y) se face schimbarea de variabile x = x(u,v) i y = y(u,v),derivatele sunt : z / u = ( z / x)( x / u) + ( z / y)( y / u) respectiv, z / v = ( z / x)( x / v) + ( z / y)( y / v) 1.13 Regula Taylor de dezvoltare n serie pentru dou varabile, unde h i k sunt creterile:f(x + h, y + k) = f(x, y) + (1/1!) (fx' (x,y) h + fy'(x,y) k) + (1/2!) (fx" (x,y) h + f "y(x,y) k) +....+ Exemplu: Se msoar la o latur de drumuire AB, lungimea notat cu LAB=125,45m cu creterea LAB = 0,15m i unghiul zenital notat cu ZAB=75,1735g cu creterea ZAB= 0,05g .Se cere : Distana redus notat cu DAB, creterea funciei, derivatele pariale i difereniala.Pentru distana redus se aplic relaia de calcul: DAB = LAB sin (ZAB) i se obine:DAB = 125,45 m sin (75,1735g) = 116,031 m;Pentru creterea funciei se aplic relaia 1.5 i rezult: DAB = (125,45 + 0,15) m sin(75,1735g + 0,05g) - 116,031 m = 116,207 m - 116,031 m = 0,176 m

Derivatele pariale sunt: n raport cu LAB este fx' (x,y) = 1 sin (ZAB) = 0,924919 i n raport cu ZAB este fy' (x,y) = LAB cos (ZAB) = 125,45 m 0,380164 = 47,692 m Se transform 0,05g n radiani ( tiind c 1g = 0.015707 rad) i rezult 0,05g=0,000785 rad.Difereniala dz = sin(ZAB) dx + LABcos (ZAB)dy=0,924919 0,15m+47,692m *0,000785=0,139m + 0,037 m = 0,176 m care corespunde cu creterea funciei DAB. Funciile algebrice care se obin din variabile independente numai cu ajutorul primelor trei operaii aritmetice (adunarea, scderea i nmulirea), se numesc polinoame. Forma general se scrie astfel: f(x) = ao + a1x + a2x2 + ... + anxn