TEMA IV: SCHEME DE PROBABILITATE

4.1. Schema lui Bernoulli cu bil ntoars (binomial) cu deducerea formulei lui Bernoulli

Aceast schem corespunde modelelor n care fenomenele se repet n condiii identice.Se consider o urna care conine bile de dou culori: albe si negre. Numrul acestora este cunoscut, aceasta nsemnnd c dac din urn se extrage o bil se cunoate probabilitatea p ca aceasta s fie alb, precum i probabilitatea q ca aceasta s fie neagr. Evident, p+q=1.Din aceast urn se extrage cte o bil, aceasta revenind n urn dup fiecare extragere.Din urn se fac n extrageri dup fiecare extragere, bila revenind n urn, atrage dup sine nemodificarea probabilitii de a obine o bil alb sau una neagr.Fie A evenimentul care const n extragerea unei bile albe i B evenimentul extragerii unei bile negre. Se consider c la o experien n care au fost extrase n bile, se obine un eveniment de forma: A, A, B, A, , B, Aunde k dintre acestea sunt A, iar n-k sunt B.Evenimentele din irul de mai sus sunt independente, probabilitatea lui, folosind regula de nmulire a probabilitilor,p(A)=p, p(B)=q, fiind: p*q.ns, obinerea n extragerea a n bile, k bile albe i n-k negre, se poate realiza n Cn moduri.Prin urmare, probabilitatea ca in n probe s se obin de k ori o bil alb i de n-k ori o bila neagra estePn(k)=Cn*p*qDeoarece acest termen este unul din termenii dezvoltrii binomului (p+q), aceast schem se mai numete i schema binomial.

4.2. Schema urnei lui Bernoulli cu mai multe stri

n situaia n care urna conine bile de mai multe culori, problema determinrii probabilitii evenimentului, care consta n obinerea unei anumite combinaii de bile de diferite culori, se rezolva similar. Astfel, dac urna conine a1 bile de culoarea 1, a2 bile de culoarea 2,., ak bile de culoarea k, atunci probabilitatea ca n n extrageri s se obin a1 bile de culoarea 1, a2 bile de culoarea 2,., ak bile de culoarea k este :Pn(a1,,ak)=(n!/a1a2ak)*p1pk,unde p1++pk=1 i a1++ak=n.Deoarece pn(a1,,ak) reprezint unul din termenii dezvoltrii unui polinom la puterea n, aceast schem se mai numete i schem polinomial.

4.3. Schema lui Bernoulli cu bil nentoars

Dintr-o urn care conine a bile albe i b bile negre se fac n extrageri succesive, fr ca bila s revin n urn. Problema este de a determina probabilitatea ca din cele n bile extrase a sa fie albe i b negre.Numrul total al cazurilor posibile se determin formnd cu cele a+b bile toate combinrile posibile de cte n, adic C(a+b).Pentru a determina numrul cazurilor favorabile, se asociaz fiecare grupa cu a bile albe din cele a (n total Ca) cu fiecare grup de b bile negre (Cb) i se obin Ca* Cb. Deci probabilitatea cutat este:(Ca* Cb)/C(a+b), unde n=a+bn general, cnd n urn se gsesc a1 bile de culoarea 1, a2 bile de culoarea 2,., as bile de culoarea s i se extrag n bile, fr ntoarcerea bilei n urn, atunci probabilitatea ca a1 bile dintre acestea s fie de culoarea 1, a2 bile sa fie de culoarea 2, ., as bile de culoarea s, este:(Ca1**Can)/C(a1+an)++.

4.4.Schema de repartiie geometric (distribuia geometric)O variabil aleatoare X are o distribuie geometric dac repartiia sa are forma:X:I.Funcia f(x) = qx.p, x = 0,1,2,.,n,cu p+q=1, este ofuncie de probabilitate, cci:a) f(x)0, pentru orice x ;b).II.Funcia de repartiie:F(x) =.III.Media M(X):M(X) =.Pentru determinarea sumei seriei de puteri:S = 1 + 2q + 3q2+ . + xqx-1+vom integra seria n raport cu q. Se obine seria geometric:q + q2+ q3+ + qx+ =Derivnd rezultatul n raport cu q, se obine:S =