tema 2 modele de decizie aplicate în · pdf filetema 2: modele de decizie aplicate...

1

FACULTATEA DE FINANŢE, BĂNCI ŞI CONTABILITATE BRAŞOV

CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A

PROCESELOR ECONOMICE

TEMA 2

MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE

Conf. univ. dr. Nicolae BÂRSAN-PIPU

Facultatea de Finanţe, Bănci şi Contabilitate Braşov

Universitatea Creştină “Dimitrie Cantemir”

2.1 DEFINIREA PROBLEMEI DE DECIZIE

2.1.1 Contextul problemei de decizie

În activitatea de management din cele mai diverse domenii de activitate (cum ar fi cele

politice, economice, militare, tehnologice sau administrative) unul din elementele de bază îl

reprezintă rezolvarea problemelor de luare a deciziilor. Importanţa deciziilor ce trebuie

adoptate, dar şi complexitatea şi dificultatea alegerii acestora, impun o abordare coerentă a

problemelor de decizie. Teoria deciziei reprezintă în esenţă atitudinea ştiinţifică faţă de

procesul de adoptare a deciziilor. Componentele de bază ale acestui proces pot fi analizate în

mod sistematic pentru a evidenţia legităţile acestui proces. Ignorarea sau încălcarea acestor

legităţi rezultate din analiza aspectelor concrete al problemelor de decizie poate genera

adoptarea unor decizii empirice, incorecte sau neadecvate. Teoria matematică a deciziei, ale

cărei principale noţiuni le vom prezenta în cadrul acestui capitol, se bazează pe conceptele din

teoria probabilităţilor şi din statistica matematică, completate de o disciplină mai nouă,

respectiv teoria utilităţii. Abordarea problematicii riscului într-o manieră riguroasă implică şi

rezolvarea unor probleme de decizie care să conducă la minimizarea riscului şi a pierderilor

de orice natură asociate diferitelor decizii adoptate şi acţiunilor aplicate.

Într-o problemă de decizie, un decident individual (de obicei un manager) sau colectiv

(un comitet sau un board de conducere) trebuie să aleagă din mai multe alternative, în funcţie

de anumite criterii sau reguli de decizie, astfel încât decizia aleasă să fie – din anumite puncte

de vedere – „cea mai bună”. Alternativele pe care le are decidentul sunt constituite dintr-un

spaţiu de acţiune, care conţine toate acţiunile posibile pe care decidentul le are la dispoziţie.

http://universitatea-cantemir.ro/Cercetare/detaliu_cerc.php?id=1

http://universitatea-cantemir.ro/Cercetare/detaliu_cerc.php?id=1

CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR

ECONOMICE

2

În general, în majoritatea problemelor de decizie, spaţiul de acţiune este o mulţime finită, dar

există şi probleme de decizie cu spaţiul de acţiune infinit. Un alt element care defineşte o

problemă de decizie îl constituie spaţiul de parametri, sau spaţiul stărilor naturii, care

reprezintă starea adevărată a lumii reale. Consecinţele fiecărei acţiuni depind de evenimente

incerte, reprezentate de starea naturii. Într-o problemă de decizie, decidentul poate să aibă, sau

nu, la dispoziţie informaţii privind incertitudinile ce caracterizează problema de decizie.

Aceste informaţii suplimentare rezultă de obicei pe baza efectuării unor experimente,

înţelegând prin aceasta sensul cel mai larg de definire a experimentelor de natură statistică,

respectiv, activităţile de culegere şi prelucrare a informaţiei referitoare la un anumit fapt. Dacă

decidentul nu foloseşte informaţii din experimente pentru adoptarea deciziei, spunem că avem

o problemă de decizie fără experimentare. Dacă însă în procesul de adoptare a deciziei sunt

utilizate informaţiile provenite din experimente, spunem că avem o problemă de decizie cu

experimentare. Informaţia este de cele mai multe ori de natură statistică, furnizând modelul

probabilistic ataşat problemei de decizie. Informaţiile din experimente se referă la variabilele

aleatoare care definesc spaţiul de eşantionare al problemei de decizie.

Deciziile în care probabilitatea de apariţie a fiecărei stări a naturii este cunoscută (sau

poate fi estimată) sunt definite ca fiind decizii luate în condiţii de incertitudine sau de risc. În

asemenea situaţii, decidentul poate evalua gradul de risc în termenii unei distribuţii de

probabilitate. Astfel, probabilităţile în adoptarea deciziei pot fi văzute ca un mijloc de a

exprima convingerea decidentului asupra evenimentelor viitoare, care sunt însă incerte.

Probabilităţile care evaluează stările naturii sunt obiective şi subiective. Probabilităţile

obiective pot fi determinate pe baza datelor istorice sau ca urmare a experimentelor şi trebuie

să fie actuale, numărabile sau observabile. Probabilităţile subiective măsoară gradul de

convingere în verosimilitatea apariţiei viitoare a unui anumit rezultat şi se utilizează atunci

când probabilităţile obiective nu sunt accesibile sau nu pot fi utilizate.

Pentru fiecare problemă de decizie se defineşte o funcţie de pierdere, care cuantifică

pierderea asociată fiecărei consecinţe a acţiunilor adoptate, pentru fiecare stare a naturii.

Pierderea este cel mai adesea exprimată în termeni monetari, dar pot fi şi alte modalităţi de

măsurare a pierderii. Pe baza funcţiei de pierdere, se poate determina funcţia de risc, ca fiind

valoarea medie sau valoarea aşteptată a pierderii, definiţie ce implică utilizarea

probabilităţilor.

Criteriile sau regulile de decizie se împart în două categorii. Este vorba despre criteriul

minimax şi despre criteriul Bayes. Criteriul minimax se aplică mai ales deciziilor fără

experimentare, în care se evaluează pierderile maxime datorate acţiunilor adoptate şi apoi se

alege decizia care are o pierdere minimă. Acest criteriu de decizie este unul conservator,

pesimist, care ne asigură protecţia asupra unor variaţii crescute ale riscului, respectiv

minimizează riscul maxim.

Criteriul de decizie Bayes ia în considerare şi alte informaţii de care dispune decidentul

în legătură cu stările naturii care este posibil să apară. În aceste situaţii, decidentul ţine seama

de convingerile sale privind starea naturii, reprezentate sub forma unei distribuţii de

probabilitate, respectiv aşa-numita distribuţie a convingerii. Funcţia de risc de tip Bayes

TEMA 2: MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE

3

exprimă pierderea medie pentru decizia considerată, condiţionată de adevărata stare a naturii,

calculată în funcţie de densitatea de probabilitate a convingerii. Procedura de decizie Bayes

indică decidentului alegerea acţiunii care minimizează pierderea medie, pierdere evaluată în

funcţie de valorile distribuţiei de probabilitate iniţiale considerate pentru toate stările posibile

ale naturii. Această alegere se poate face fără utilizarea unor informaţii suplimentare rezultate

ca urmare a experimentării. Dacă însă decidentul poate dispune de aceste informaţii

suplimentare, atunci ele trebuie aplicate pentru adoptarea deciziei.

În cadrul experimentării, decidentul analizează variabilele aleatoare care conţin valorile

spaţiului de eşantionare. El va stabili o procedură de decizie sau o strategie, care să-i indice

acţiunile pe care trebuie să le aplice pentru fiecare valoare a variabilei aleatoare, urmărind

alegerea funcţiei de decizie optimale. Funcţia de risc, calculată cu ajutorul probabilităţilor

iniţiale oferă un mijloc de a defini optimalitatea, respectiv minimizarea riscului pentru fiecare

stare a naturii. Dar în majoritatea cazurilor, această funcţie optimală nu există şi atunci va

trebui să găsim o modalitate de găsire a deciziei optimale cu ajutorul probabilităţilor

posterioare, care înseamnă de fapt încorporarea în modelul de decizie a tuturor informaţiilor

disponibile despre starea naturii.

Înainte de a proceda la utilizarea experimentelor statistice, care de cele mai multe ori au

costuri semnificative, este necesar însă să evaluăm valoarea potenţială pe care o aduc aceste

experimente. Pentru acesta vom evalua mai întâi valoarea „informaţiei perfecte” a

experimentului, respectiv valoarea pe care decidentul este dispus să o plătească pentru această

informaţie perfectă. Abordările minimax şi Bayes conduc, în general, la rezultate diferite

privind alegerea deciziei optimale, cu toate că anumite alegeri ale distribuţiei convingerii

poate conduce la soluţii similare ale problemei de decizie.

Un alt element important într-o problemă de decizie o constituie problema „asumării

riscului”, respectiv a atitudinii faţă de risc a decidentului. Aceasta înseamnă decizia de a

rămâne într-o stare neschimbată (status-quo) sau decizia de a intra într-o situaţie de

incertitudine, care poate duce la câştig sau la pierdere. O abordare a acestei probleme este dată

de funcţia de utilitate, care poate fi văzută ca o „pierdere negativă”, urmărindu-se

maximizarea utilităţii printr-o decizie optimală. Dacă funcţia de utilitate marginală este

descrescătoare, atunci decidentul are aversiune la risc, iar atunci când funcţia de utilitate este

crescătoare, suntem în cazul unui decident care îşi asumă riscul.

În fine, o problemă de decizie secvenţială cu stadii multiple poate fi analizată şi cu

ajutorul arborilor de decizie, metodă care are avantajul de a furniza o reprezentare grafică

clară a alternativelor şi a cronologiei evenimentelor problemei de decizie. Un arbore de

decizie este alcătuit din noduri şi din ramuri. Există două tipuri de noduri, respectiv noduri de

decizie (reprezentate printr-un pătrat) şi noduri de incertitudine (reprezentate printr-un cerc).

Ramurilor de incertitudine li se ataşează probabilităţi, în funcţie de condiţionările pentru

fiecare ramură a arborelui de decizie.

Cele două metode de rezolvare a problemei de decizie, cea analitică şi cea grafică au

fiecare avantaje şi cel mai bine se utilizează împreună pentru determinarea soluţiei optimale a

problemei de decizie.


ECONOMICE

4

2.1.2 Scurt istoric al teoriei deciziei

Încercând o scurtă schiţă istorică a evoluţiei conceptelor din teoria deciziei, care are de

fapt o istorie recentă de circa 50 de ani, să remarcăm faptul că teoria probabilităţilor,

statistica, teoria utilităţii şi teoria jocurilor sunt principalele domenii ale matematicii care se

utilizează pentru rezolvarea problemelor de decizie.

Primele idei de teoria probabilităţilor se consideră că au fost introduse de Cardano, în

anul 1550, în lucrarea „Liber de Ludo Aleae” (Carte asupra jocurilor de noroc). Tot de

jocurile de noroc şi de numele lui Pascal şi Fermat se leagă principiile de bază ale teoriei

probabilităţilor, conţinute într-un schimb de scrisori între cei doi în anul 1654, ca rezolvare a

unei probleme din jocul de zaruri. Omul de ştiinţă olandez Christian Huygens, pe baza

conceptelor lui Pascal şi Fermat, a publicat în anul 1657 prima carte de teoria probabilităţilor,

intitulată „De Ratiociniis in Ludo Aleae” (Asupra raţionamentelor în jocurile de noroc). În

secolul al XVIII-lea, teoria probabilităţilor devine din ce în ce mai populară, contribuţii

importante având Jacob Bernoulli („Ars Conjectandi” – 1713) şi Abraham de Moivre

(„Doctrine of Chances” – 1713). Bernoulli este primul care demonstrează prima teoremă

limită a probabilităţilor, respectiv legea numerelor mari. Secolul al XIX-lea constituie

începutul abordării moderne în teoria probabilităţilor şi în statistica matematică. Carl

Friederich Gauss arată, în anul 1809, că repartiţia normală (celebrul „clopot” al lui Gauss)

reprezintă un model matematic adecvat pentru distribuţia erorilor de măsurare. În anul 1812,

Pierre de Laplace în lucrarea „Théorie Analytique des Probabilités” dezvoltă noi idei şi noi

domenii de aplicare a probabilităţilor în afara jocurilor de noroc, cum sunt teoria erorilor (la

care contribuţii importante a adus şi Gauss), matematicile actuariale, mecanica statistică ş.a.

În a doua jumătate a secolului XIX, se pot consemna numele lui Chebyshev şi Markov în

domeniul probabilităţilor şi ale lui Galton şi Pearson în statistica matematică.

Ca şi în alte domenii ale matematicii, dezvoltarea teoriei probabilităţilor a fost stimulată

de diversitatea aplicaţiilor sale. Statistica matematică este unul din cele importante domenii

aplicare a probabilităţilor. Statistica era la începuturile sale o ştiinţă politică cu originile în

Germania şi este destul de dificil de apreciat când termenul a fost utilizat în sens matematic

pur. De la primele sale obiective, de a sistematiza informaţiile despre stare societăţii (deci o

„matematică a statului”), statistica şi-a dovedit în ultimele două secole aplicaţiile sale în toate

domeniile ştiinţifice şi sociale.

Ultimul secol a consemnat dezvoltările teoretice importante ale lui von Mises, Keynes,

de Finetti, Borel şi Kolmogorov, ultimul având o contribuţie remarcabilă în axiomatizarea

modernă a teoriei probabilităţilor. Evident că lista celor care şi-au adus aportul la dezvoltarea

teoriei probabilităţilor este departe de a fi completă şi conţine numai o parte din marile nume

în domeniu. Şi în statistica matematică pot fi menţionate, cum ar fi cele aduse de Fisher,

Pearson, Neymann etc. În ultimele decenii, teoria probabilităţilor a fost integrată într-o

disciplină mai generală şi anume în teoria măsurii. Şi şcoala românească de teoria

probabilităţilor şi statistică matematică are în ultima jumătate de secol rezultate teoretice şi


5

practice importante, datorate îndeosebi academicienilor Octav Onicescu, Gheorghe Mihoc şi

Marius Iosifescu. Teoria probabilităţilor şi statistica matematică se studiază sistematic în toate

facultăţile de matematică din ţară.

Conceptele de teoria utilităţii au fost introduse iniţial de von Neumann şi Morgerstern în

lucrarea Theory of Games and Economic Behaviour (1947). Contribuţia principală la

construirea unei adevărate teorii a deciziei este adusă de Abraham Wald prin lucrarea

fundamentală Statistical Decision Functions (1950). Wald abordează problemele

fundamentale ale statisticii matematice ca fiind probleme de decizie. Generalizând problemele

de estimaţie şi de verificare a ipotezelor statistice, Wald a formulat modelul general al


În anii ’60 – ‘70, contribuţii semnificative la dezvoltarea teoriei deciziei au adus L. J.

Savage, D. Luce, H. Raifa, K. Arrow şi alţii. Eforturile s-au concentrat pe rezolvarea unor

probleme de decizie complexe ale societăţii contemporane, cu o mare cantitate de informaţie,

pe care numai calculatoarele electronice – care au cunoscut şi ele o dezvoltare explozivă în

această perioadă – o pot prelucra pe baza algoritmilor şi a modelelor dezvoltate în teoria

deciziei.

În literatura de specialitate din ţara noastră, direcţiile de cercetare în domeniul teoriei

deciziei s-au concentrat asupra abordării probabiliste şi statistice datorată profesorilor M.

Maliţa şi C. Zidăroiu (abordare de tipul celei prezentate în cadrul acestui capitol), dar şi

aspecte de decizie din teoria jocurilor (abordare pe care nu o vom discuta aici). Nu vom

discuta, de asemenea, în cadrul acestui capitol, nici procesele de decizie stocastice care

implică utilizarea lanţurilor Markov şi care necesită un aparat probabilistic mai avansat.


ECONOMICE

6

2.2 MODELUL MATEMATIC AL PROBLEMEI DE DECIZIE

2.2.1 Elementele generale ale modelului

Elementele de bază ale modelului general al unei probleme de decizie pot fi formalizate

matematic astfel:

Definim o mulţime A, denumită spaţiu de acţiune, alcătuită din toate acţiunile posibile

Αa de care dispune decidentul;

Definim o mulţime , denumită spaţiu de parametri, alcătuită din toate “stările

naturii” posibile . O singură stare a naturii şi numai una va apărea, dar starea

“adevărată” nu este cunoscută de decident în momentul în care el alege o acţiune;

Definim o funcţie L, denumită funcţie de pierdere, cu domeniul Α şi cu valori în

mulţimea R (mulţimea numerelor reale). L este constituită din perechile ordonate

Α,,, aa , denumite consecinţe (ale alegerii acţiunii a, atunci când starea

adevărată a naturii este );

Considerăm variabila aleatoare X, care are valorile posibile Xx , denumit spaţiu de

eşantionare. Variabila aleatoare X are funcţia de densitate de probabilitate în familia

;xf ;

Definim mulţimea D, denumită spaţiu de decizie, alcătuită din toate aplicaţiile d din X în

A.

Interpretarea modelului de mai sus este următoarea. În momentul în care decidentul îşi

alege acţiunea, el nu cunoaşte “adevărata” stare a naturii şi deci nu cunoaşte consecinţa

actuală a acţiunii sale (dacă el alege Aa , atunci consecinţa actuală a, este

necunoscută, deoarece starea este necunoscută). Decidentul ştie totuşi “pierderea” care

ar rezulta pentru fiecare din consecinţele posibile a, , corespunzătoare cu alegerea acţiunii

Aa şi starea naturii . Desigur, “pierderea” poate fi şi “câştig”, caz în care valoarea

lui aL , va fi negativă. Ca alternativă la funcţia de pierdere, putem să lucrăm cu o funcţie

de “câştig” sau o funcţie de “utilitate”. Pentru a reduce incertitudinea asupra stării ,

decidentul culege informaţie sub forma observării unei variabile aleatoare X, a cărui

distribuţie de probabilitate depinde de parametrul . Ştiind că xX şi ştiind forma lui

xf , decidentul poate extrage “informaţie” despre parametrul , care să îl ajute în

alegerea unei “strategii” generale, care defineşte, pentru fiecare xX , alegerea acţiunii a.

Sintetizând modelul general al problemei de decizie, decidentul alege o acţiune Aa ,

pe baza observaţiilor asupra valorilor variabilei aleatoare Xx . Alegerea unei “strategii”

generale, care defineşte pentru fiecare xX , alegerea lui a, este echivalentă cu alegerea

funcţiei de decizie Dd . După ce a fost aleasă, funcţia de decizie d specifică acţiunile care

trebuie să fie aplicate pentru toate valorile posibile xX .

Teoria deciziei poate fi văzută ca fiind studiul selectării deciziei d din mulţimea D.


7

Aceasta implică două tipuri diferite de probleme. Prima, de natură “filosofică”, este problema

criteriului utilizat pentru compararea elementelor din D; a doua, de natură “tehnică”, priveşte

modul de determinare a unei decizii optime, pe baza criteriului ales.

O problemă de decizie poate fi văzută şi ca fiind un “joc împotriva naturii”. Aceasta

însemnă că “natura” alege un element şi apoi decidentul, fără a cunoaşte starea

aleasă de natură, alege, la rândul lui, un element Aa . Rezultatul acestor două alegeri este

pierderea de către decident a cantităţii aL , , pierdere care poate fi măsurată într-o unitate

de măsură adecvată (nu neapărat în bani). Posibilitatea observării unei variabile aleatoare X,

cu densitatea de probabilitate xf , furnizează decidentului o informaţie limitată despre

alegerea naturii. Alegerea funcţiei de decizie poate fi văzută însă ca o “strategie de joc”.

Să notăm, de asemenea, că două din domeniile majore ale statisticii inferenţiale –

respectiv estimarea şi testarea ipotezelor – sunt ambele cazuri speciale ale modelului general

de decizie prezentat mai sus. Vom detalia aceste cazuri în cursul acestui capitol.

2.2.2 Regulile de decizie minimax şi Bayes

La prima impresie, s-ar putea crede că alegerea funcţiei de decizie optime este relativ

simplă, deoarece vom alege o funcţie Dd astfel încât pierderea să fie minimizată,

indiferent de starea naturii care apare. Totuşi, acest lucru nu este posibil dacă nu ştim

adevărata stare a naturii, caz în care nu suntem de fapt în faţa unei probleme de decizie.

Pentru a ilustra acest lucru, să presupunem că dorim estimarea unui parametru

necunoscut real, cu o funcţie de pierdere pătratică de forma 2aaL , . Să

presupunem că am observat variabila aleatoare xX şi că xda este estimarea lui

specificată de d. Dacă valoarea adevărată a parametrului este , vom avea o pierdere

2xd . Dacă, în fapt, 0 , va trebui să luăm 0xd pentru a minimiza pierderea;

dacă însă 1 , va trebui să luăm 1xd . Dar deoarece nu ştim valoarea lui , nu vom

putea selecta xd pentru minimizarea pierderii. Din punct de vedere matematic, problema

nu este bine definită.

O metodă posibilă pentru alegerea unei funcţii de decizie d “cât mai bune”, în termenii

unei cantităţi care să poată fi calculată, este găsirea unei măsuri care să evalueze “în medie ”

strategia de decizie aleasă.

Fie funcţia R, definită pe D cu valori reale, definită prin

X

,, dxxfxdLdR (X continuă) (2.1)

şi

X

,,x

xfxdLdR (X discretă). (2.2)

Funcţia R se numeşte funcţia de risc a lui d, evaluată pentru .

Riscul dR , măsoară deci valoarea medie a pierderii (sau valoarea aşteptată a


ECONOMICE

8

pierderii), utilizând funcţia de decizie d, dacă starea adevărată a naturii este şi în raport cu

distribuţia specificată xf .

Notând operatorul pentru valoarea medie cu X

M , putem scrie

xdLMdRX

,,

. (2.3)

Operatorul X

M poate fi aplicat pentru orice funcţie ,xg a cărei valoare medie în

raport cu X există, astfel încât

X

,, dxxfxgxgMX

. (2.4)

Putem utiliza de asemenea şi operatorul pentru varianţă X

V , definit ca

22

,,, xgMxgMxgVXXX

. (2.5)

Exemplul 2.1 Să analizăm problema estimării parametrului , utilizând funcţia de pierdere

pătratică

2aaL , , (2.6)

şi un eşantion aleator nXXXX ,,, 21 dintr-o distribuţie normală cu media 0 şi

abaterea standard 1, 10,N . Considerăm următoarele reguli de decizie:

XXXXn

XXXd nn 21211

1,,, , (2.7)

nn XXXmedianaXXXd ,,,,,, 21212 , (2.8)

0213 nXXXd ,,, . (2.9)

Conform relaţiilor de mai sus, 1d este media eşantionului, 2d este mediana

eşantionului, iar 3d este o regulă de decizie care statuează că “se ignoră orice valoare a

eşantionului şi întotdeauna se estimează ca fiind 0”. Calculând funcţiile de risc pentru

aceste decizii obţinem

n

XVXMdRXX

12

1 , . (2.10)

(în acest caz X are o distribuţie normală nN 1, .

Ţinând cont că mediana are o distribuţie normală nN 2 , obţinem

nn

XXmedianaMdR nX

571

2

2

12

,,,,

. (2.11)

Pentru 3d obţinem

222

3 0

XX

MMdR , . (2.12)


9

Funcţiile de risc pentru 21 dd , şi 3d sunt reprezentate în Figura 2.1

Figura 2.1 – Funcţiile de risc pentru deciziile d1, d2 şi d3

În condiţiile problemei noastre (distribuţie normală şi funcţie de pierdere pătratică), se

observă că mediana nu este un estimator acceptabil, având în vedere că funcţia de risc a

mediei are toate valorile mai mici decât ale medianei, pentru orice . În acelaşi timp, media

nu este în mod necesar un estimator mai bun decât 3d , ţinând cont că în vecinătatea lui 0,

funcţia de risc a lui 3d are valorile de risc cele mai mici. Din acest exemplu observăm că

funcţiile de risc în sine nu ne furnizează un criteriu de alegere între 1d şi 3d .

Exemplul următor ilustrează tocmai dificultatea alegerii regulilor de decizie.

Exemplul 2.2 Fie nXXXX ,,, 21 un eşantion aleator din distribuţia normală

,N , cu 0 , adică o distribuţie normală având media şi dispersia egale cu . Vom

estima parametrul utilizând aceeaşi funcţie de pierdere pătratică 2aaL , .

Considerăm funcţiile de decizie

XXXXn

XXXd nn 21211

1,,, , (2.13)

şi

n

iin XX

nXXXd

1

2

2121

1,,, , (2.14)

Calculând funcţiile de risc, obţinem

n

XVXMdRXX

2

1, , (2.15)

şi

XdVXdMdRXX 2

2

22 , , (2.16)

dar deoarece

2

2 XdMX

, obţinem

1

2 2

2

n

dR

, . (2.17)

n

571,

n

1

0

dR ,

1d

2d

3d


ECONOMICE

10

dR ,

1d

2d

Rezultă că 21 dRdR ,, dacă n

n

2

1 şi 21 dRdR ,, dacă

n

n

2

1 ,

egalitatea având loc dacă n

n

2

1 . Graficele funcţiilor de risc corespunzătoare deciziilor 1d

şi 2d pentru 2n sunt reprezentate în Figura 2.2.

Figura 2.2 – Funcţiile de risc pentru deciziile d1, şi d2

Analizând figura de mai sus, observăm că dacă ştim că 41 , atunci decizia 2d este

optimă, dar dacă ştim că 41 atunci decizia este 1d optimă. Problema este că nu ştim

valoarea lui şi astfel trebuie să găsim şi alte criterii care să ne ajute să alegem. În general, o

problemă de decizie conduce la un mare număr de funcţii de decizie posibile (mulţimea D are

un număr foarte mare de elemente) şi modelele grafice prezentate anterior nu mai pot fi

aplicate. De aceea, va trebui să căutăm criterii generale, care să ne permită selecţia regulilor

“optimale” din spaţiul de decizie D. Prin termenul “optimal” vom înţelege în continuare cea

mai bună soluţie pe care o alegem într-un context dat.

Vom analiza în cele ce urmează două astfel de criterii, cunoscute sub denumirea de

criteriul (regula) minimax şi criteriul Bayes. Pentru a detalia aceste concepte, să considerăm

două funcţii de risc ipotetice corespunzătoare regulilor de decizie 1d şi 2d pentru o problemă

de decizie cu spaţiul de parametri , reprezentate în Figura 2.3.

Figura 2.3 – Două funcţiile de risc ipotetice

1/4

dR ,

1d

2d

1/8


11

Pentru majoritatea valorilor lui , 2d are un risc mai mic decât 1d , dar există valori ale

lui pentru care 2d are un risc considerabil mai mare. Ce se poate face în asemenea situaţii?

Sunt posibile două abordări ale acestei probleme:

a) Alegerea lui 1d , care ne protejează asupra unor variaţii crescute ale riscului, respectiv

minimizează riscul maxim;

b) Considerarea şi a altor informaţii de care dispunem şi analizarea valorilor lui care

este probabil să apară. Dacă suntem convinşi că valorile lui vor fi în intervalul în care

2d are riscul maxim, atunci vom alege 1d . Dacă, pe de altă parte, avem convingerea că

este puţin probabil ca valorile lui să fie în intervalul de risc maxim, atunci vom alege

2d . În ambele cazuri, în analiză am introdus convingerile noastre privind valorile lui .

Aceste exemple intuitive ne conduc la următoarea formalizare. Pentru a), vom alege

decizia *d astfel încât

dRdRDd

,supinf*,sup

. (2.18)

Cu alte cuvinte, vom alege funcţia de decizie al cărui risc maxim este cel mai mic, dintre toate

valorile posibile de riscuri maxime corespunzătoare deciziilor d din D. *d se numeşte funcţie

de decizie minimax. Pentru b), presupunem că convingerile noastre referitoare la pot fi

reprezentate sub forma unei funcţii de densitate de probabilitate p cu domeniul . De

exemplu, în Figura 2.4 sunt reprezentate două distribuţii posibile 1p şi 2p pentru distribuţia

convingerii (în engleză belief distribution) p pe care le asumăm pentru .

Am văzut că funcţia de risc dR , exprimă pierderea medie pentru decizia d,

condiţionată de faptul că este adevărata stare a naturii. Considerând dR , o funcţie de

, pentru d fixat, putem să calculăm valoarea sa medie în raport cu distribuţia convingerii

p .

Definim riscul Bayes dB pentru o funcţie de decizie d ca fiind

dpdRdB , , ( continuă) (2.19)

sau

pdRdB , , ( discretă) (2.20)


ECONOMICE

12

Figura 2.4 – Forme posibile ale distribuţiei convingerii

Este natural să căutăm acum o funcţie de decizie care minimizează pierderea totală,

adică

xdLMMdBX

, . (2.21)

*d este, prin definiţie, o funcţie de decizie Bayes dacă

dBdBDd

inf* . (2.22)

Să remarcăm că, dată fiind o problemă de decizie, *d nu este unică deoarece ea

depinde de alegerea lui p . Spunem că *d este o funcţie de decizie Bayes în raport cu

p .

Exemplul următor ilustrează abordările minimax şi Bayes.

Exemplul 2.3 Pentru problema de decizie din Exemplul 2.1 avem

n

dR1

1 ,sup

, (2.23)

n

dR571

2

,,sup

, (2.24)

3dR ,sup

, (2.25)

Să presupunem acum că suntem siguri că variază în intervalul

10

1

10

1, şi în acest

interval avem convingerea că nu există valori ale lui care să fie mai plauzibile decât altele.

Convenim deci să reprezentăm această convingere printr-o distribuţie uniformă pe intervalul

10

1

10

1, şi avem

5

10

1

10

1

1

p . (2.26)

dR ,

p 1p 2


13

dR ,

d 1

d 2

d 3

d 4

Atunci funcţiile de risc Bayes sunt

n

dn

dB1

51

101

101

1

, (2.27)

n

dn

dB571

5571

101

101

2

,,

, (2.28)

300

15

101

101

2

3

ddB , (2.29)

Rezultă că dacă 300n , funcţia de decizie Bayes este 1d , dacă 300n atunci 1d şi

3d au acelaşi risc Bayes, iar dacă 300n atunci 3d este decizia cu riscul Bayes cel mai

mic. Totuşi, dacă convingerea noastră stabilită a priori ar fi fost diferită, de exemplu o

distribuţie uniformă pe intervalul 1 1, , urmând aceeaşi procedură ca mai sus, cele trei

valori ale riscului Bayes ar fi fost

n

dB1

1 , n

dB571

2

, ,

3

13 dB , (2.30)

şi deci pentru 3n , 1d este decizia preferată din punct de vedere Bayes.

Am analizat până acum două abordări posibile pentru alegerea regulilor de

decizie, respectiv abordarea minimax şi abordarea Bayes. Din exemplele anterioare, a rezultat

că aceste abordări conduc, în general, la răspunsuri diferite privind alegerea funcţiei de

decizie optimale (deşi pentru anumite alegeri a priori ale distribuţiilor de probabilitate ale

convingerii privind starea naturii, cele două abordări pot conduce la acelaşi rezultat).

2.2.3 Decizii admisibile

Să considerăm funcţiile de risc din Figura 2.5. Este clar că funcţiile 1d şi 2d vor fi

eliminate de la început din analiză. Funcţiile 3d şi 4d au un risc relativ similar şi rămâne să

alegem între ele.

Figura 2.5 – Funcţiile de risc pentru diferite funcţii de decizie


ECONOMICE

14

Fiind dată o funcţie de decizie Dd , dacă există o altă funcţie Dd care satisface

proprietăţile

dRdR ,, pentru orice valori , (2.31)

şi

dRdR ,, 00 pentru anumite valori 0 , (2.32)

atunci decizia d este dominată de decizia d sau d domină d .

O funcţie de decizie care este dominată de o altă funcţie de decizie se numeşte

inadmisibilă. În caz contrar, decizia se numeşte admisibilă.

În Figura 2.5 considerând spaţiul de decizie 4321 ddddD ,,, , rezultă că 1d şi 2d

sunt dominate de 3d şi 4d şi deci sunt inadmisibile, iar 3d şi 4d sunt admisibile deoarece

nici una nu o domină pe cealaltă. Utilitatea conceptului de admisibilitate este naturală,

deoarece ne permite eliminarea deciziilor inadmisibile şi concentrarea eforturilor pentru

alegerea deciziilor celor mai bune dintre cele admisibile.

2.2.4 Interpretarea geometrică

Pentru reprezentarea şi interpretarea geometrică a problemei de decizie, vom considera

cazul 2k pentru spaţiul de parametri k-dimensional k ,,, 21 . Fie o problemă de

decizie cu spaţiul de acţiune 321 aaa ,,A , cu spaţiul parametrilor 21 , şi cu

funcţia de pierdere definită în Tabelul 2.1:

Tabelul 2.1 – Funcţia de pierdere

tabelară

1a 2a 3a

1 4 1 3

2 1 4 3

La prima vedere acţiunea 3a este preferabilă, deoarece dacă 1 este adevărată, atunci

3a este preferabilă lui 1a , iar dacă 2 este adevărată, atunci 3a este preferabilă lui 2a .

Să considerăm acum o acţiune aleatoare corespunzătoare aruncării unei monede,

respectiv alegerea lui 1a dacă apare “capul” şi a lui 2a dacă apare “pajura”. Atunci, pentru

această acţiune aleatoare, dacă 1 este adevărată, pierderea medie este dată de

2

51

2

14

2

1

2

1

2

12111 aLaL ,, , (2.33)

şi dacă 2 este adevărată, de

2

54

2

11

2

1

2

1

2

12212 aLaL ,, , (2.34)

Deoarece 32

5 , în ambele cazuri acţiunea aleatoare este preferabilă lui 3a .


15

Exemplul de mai sus sugerează faptul că procedeul aleator se poate aplica şi regulilor de

decizie Dd şi vom scrie

21 1 dd , 10 , (2.35)

pentru a indica o decizie aleatoare care alege 1d cu probabilitatea şi 2d cu probabilitatea

1 . Vom defini riscul pentru decizia aleatoare ca fiind

21 1 dRdRR ,,, . (2.36)

Mai general, dacă m ,,, 21 , cu 0121 im , , putem

defini decizia aleatoare

mmddd 2211 , (2.37)

ca fiind o combinaţie aleatoare a elementelor lui D. Corespunzător, riscul va fi

mm dRdRdRR ,,,, 2211 . (2.38)

Considerând combinaţiile aleatoare ale tuturor elementelor lui D, obţinem mulţimea

tuturor regulilor de decizie aleatoare *D . Avem evident *DD şi notăm cu un element

general al lui *D .

Definim mulţimea de risc S pentru cazul k ,,, 21 ca fiind

*,,,,,,,S DkjRyyy jjk

k pentru 1încât astfel 1 R . (2.39)

Spaţiul k-dimensional k

R reprezintă mulţimea k-uplurilor ordonate kyy ,,1 de

numere reale. S este o submulţime a lui k

R alcătuită din punctele ale căror coordonate sunt

componentele j ale riscului ,jR , corespunzătoare deciziei aleatoare . Să remarcăm

faptul că S este o mulţime convexă, adică orice dreaptă care uneşte două puncte din S nu

iese în afara lui S . Această proprietate este ilustrată şi în Figura 2.6, pentru 2k . Toate

punctele de pe dreapta care uneşte punctele de risc pentru 1d şi 2d , corespund punctului de

risc pentru combinaţia aleatoare a lui 1d şi 2d . Toate punctele cu această proprietate aparţin

lui S şi S este convexă.

Figura 2.6 – Forma generală convexă a mulţimii de risc S

,2R

,1R

S

Punctul de risc

pentru d 1

Punctul de risc

pentru d 2

Punctele de risc pentru

combinaţia aleatoare a

deciziilor d 1 şi d2


ECONOMICE

16

Vom folosi această proprietate pentru a da o interpretare geometrică abordărilor

minimax şi Bayes.

Abordarea minimax. Pentru *D , cantitatea

,sup R

devine, pentru mulţimea

stărilor k ,,, 21 , chiar jymax , unde kyyy ,,1 este punctul de risc

corespunzător lui .

Abordarea minimax compară regulile de decizie în termenii jymax , astfel încât toate

regulile de decizie care conduc spre aceeaşi valoare sunt egale din punct de vedere al

criteriului minimax. În două dimensiuni, locul geometric al punctelor 21 yy , cu proprietatea

.,max constyy 21 (o anumită valoare specificată) are forma unui “echer”. Deoarece

abordarea minimax urmăreşte minimizarea valorii jymax , regula de decizie minimax este,

din punct de vedere geometric, punctul (sau punctele) în care echerul de 90 atinge marginea

inferioară (limita inferioară de sud-vest, notată S-E) a lui S . Această proprietate este ilustrată

în Figura 2.7. Să notăm şi faptul că regula minimax poate să nu fie unică, ea depinzând de

forma lui S , care la rândul ei depinde de problema de decizie.

,2R

,1R

S

Punctul de risc pentru

decizia minimax

Figura 2.7 – Interpretarea geometrică a abordării minimax

Abordarea Bayes. Pentru k ,,, 21 să considerăm distribuţia iniţială (a

priori) a convingerii dată de kpppp ,,, 21 , astfel încât kipi ,,, 10 şi

121 kppp . Riscul Bayes pentru regula de decizie aleatoare este dat de

k

j

k

jjjjj ypRpB

1 1

, . (2.40)

Acesta defineşte un hiperplan în spaţiul k-dimensional. Pentru simplificare, dacă 2k ,

toate punctele 21 yyy , care dau aceeaşi valoare de risc Bayes, aparţin unei drepte de

forma

.constypyp 2211 (2.41)


17

,1R

=y 1

,2R

=y 2

d 1

d 4

d 2

d 5

d 3

S

Deoarece 10 21 pp , şi 121 pp , această dreaptă va avea o orientare NV – SE. Dar

abordarea Bayes urmăreşte minimizarea 2211 ypyp ; rezultă că regula de decizie Bayes are

punctul de risc în punctul în care dreapta Bypyp inf 2211 este tangentă la marginea

inferioară a lui S , aşa cum se poate observa în Figura 2.8.

Figura 2.8 – Interpretarea geometrică a abordării Bayes

Exemplul 2.4 Presupunem că pentru o problemă de decizie cu spaţiul stărilor 21 , şi

spaţiul de decizie 54321 dddddD ,,,, , funcţia de risc ji dR , este definită de valorile

din Tabelul 2.2, după cum urmează:

Tabelul 2.2 – Funcţia de risc pentru Exemplul 2.4

d1 d2 d3 d4 d5

1 0 4 2 1 5

2 4 5 0 1 4

Cele 5 puncte de risc corespunzătoare elementelor lui D şi mulţimea S sunt

reprezentate în Figura 2.9. S este alcătuită din toate punctele de risc care pot fi obţinute din

combinarea aleatoare a celor 5 puncte de risc iniţiale.

Figura 2.9 – Mulţimea S corespunzătoare funcţiei de risc din Tabelul 2.4

,2R

,1R

S

Punctul de risc pentru

decizia Bayes Bypyp inf 2211

=y 1

=y 2


ECONOMICE

18

Regulile de decizie admisibile corespund punctelor din S care nu au puncte situate la S

– E de ele; aceasta înseamnă că nu putem să găsim un care să reducă o componentă de risc

fără a o creşte pe cealaltă.

În cazul nostru, mulţimea regulilor admisibile corespunde punctelor situate între 1d şi

4d , cât şi 4d şi 3d . Cu alte cuvinte, ea este alcătuită din combinarea aleatoare a 1d şi 4d sau

a 4d şi 3d .

Rezultă că regula minimax este 4d , deoarece echerul de 90 intersectează S în mod

unic în punctul 4d .

Regula Bayes depinde de alegerea perechii 21 pp , . Plecând de la verticală ( 11 p ) şi

variind valorile lui 1p până la orizontală ( 01 p ), obţinem deciziile Bayes din Tabelul 2.3.

Analizând rezultatele din tabelul menţionat, observăm că avem situaţii în care regulile

de decizie nu sunt unice.

Tabelul 2.3 – Regulile de decizie Bayes pentru Exemplul 2.4

1p Decizia Bayes

431 p 1d (unică)

431 p Orice combinaţie aleatoare a lui 1d şi 4d

2143 1 p 4d (unică)

211 p Orice combinaţie aleatoare a lui 4d şi 3d

211 p 3d (unică)

2.2.5 Câteva teoreme de bază

Rezultatele care urmează stabilesc relaţiile între conceptele de admisibilitate şi regulile

de decizie minimax şi Bayes. Să remarcăm mai întâi că este posibil să avem două funcţii de

decizie *, D21 astfel încât 21 , dar 21 ,, RR . În acest caz spunem că 1

şi 2 sunt egale până la echivalenţă.

Teorema 2.1 Pentru o problemă de decizie cu LA,, arbitrare şi X spaţiul de eşantionare

al variabilei aleatoare continue X, dacă o funcţie de decizie Bayes * cu o distribuţie

iniţială p este unică până la echivalenţă, atunci * este admisibilă.

Demonstraţie. Presupunem că * este inadmisibilă. Atunci există *D astfel încât

*,, RR , pentru toate valorile , (2.42)

şi

*,, 00 RR , pentru valoarea 0 , (2.43)

Pentru cazul continuu şi densitatea de probabilitate p rezultă

**,,

BdpRdpRB . (2.44)


19

Dar relaţia nu poate fi < deoarece ar contrazice faptul că * este Bayes, iar relaţia nu

poate fi deoarece ar contrazice faptul că * este unică până la echivalenţă. Avem o

contradicţie şi deci * este admisibilă ■

Cazul discretă se demonstrează similar.

Următoarea teoremă se referă la proprietatea că pentru o decizie Bayes cu finită şi

probabilităţile iniţiale 0ip rezultă că decizia este admisibilă.

Teorema 2.2 Dacă k ,,, 21 şi ** D este decizia Bayes pentru

kppp ,,, 21 , unde kjp j ,,, 1 0 , atunci * este admisibilă .

Demonstraţie. Să presupunem mai întâi că * nu este admisibilă. Atunci există *D

astfel încât:

*,, jj RR , pentru toate valorile kj ,,1 , (2.45)

şi

*,, ii RR , pentru valoarea i, (2.46)

(adică există care domină * ). Rezultă

*,, BpRpRBk

jjj

k

jjj

11

, (2.47)

inegalitatea strictă fiind datorată faptului că 0jp , pentru toate valorile lui j. Dar

BB inf* , (2.48)

deci avem o contradicţie şi rezultă că * este admisibilă ■

Pentru problemele cu finită, clasa deciziilor admisibile este o submulţime a clasei

deciziilor Bayes, proprietate ilustrată de teorema următoare.

Teorema 2.3 Dacă k ,,, 21 este finită şi ** D este admisibilă, atunci există

kpppp ,,, 21 , unde jp j 0, şi 121 kppp , astfel încât * este o

decizie Bayes în raport cu p.

Demonstraţie (cazul 2k ). Fie x punctul de risc corespunzător lui * şi fie xQ mulţimea

punctelor din planul situat la S – V de x. Fie xQQ xx . Deoarece * este admisibilă,

nu există puncte ale lui S la S – V de x. Atunci S şi xQ sunt mulţimi disjuncte, ele fiind şi

convexe. O proprietate cunoscută (cea a hiperplanurilor de separaţie) arată că există dreapta

.constypyp 2211 cu 021 pp , şi 121 pp . Această dreaptă este tangentă la S şi

* este o decizie Bayes în raport cu 21 pp , ■

Teoremele anterioare ne-au prezentat o imagine a tipului de legătură care există între

deciziile admisibile şi deciziile Bayes.

Următoarele teoreme ne vor arăta conexiunile dintre deciziile admisibile şi deciziile

minimax.


ECONOMICE

20

Teorema 2.4 Dacă pentru o problemă de decizie dată * este unica decizie minimax, atunci

* este admisibilă .

Demonstraţie. Să presupunem că * nu este admisibilă. Atunci există *D astfel încât

*,, RR , pentru toate valorile , (2.49)

şi

*,, 00 RR , pentru valoarea 0 . (2.50)

În continuare avem

*,sup,sup

RR

. (2.51)

Inegalitatea strictă ar contrazice faptul că * este minimax; egalitatea ar contrazice

faptul că * este unică.

Rezultă că ipoteza iniţială a inadmisibilităţii este falsă şi teorema este demonstrată ■

Teorema 2.5 Dacă pentru o problemă de decizie dată * este admisibilă şi

.*, constR pentru orice , atunci * este minimax.

Demonstraţie. Presupunem contrariul. Atunci există că *D astfel încât

*,sup,sup

RR

. (2.52)

Dar dacă .*, constR , atunci *,, RR , pentru toate valorile .

Aceasta contrazice faptul că * este admisibilă şi teorema este demonstrată ■

Teorema anterioară ne sugerează o strategie pentru determinarea funcţiilor de decizie

minimax: mai întâi se identifică o regulă admisibilă şi apoi se verifică dacă ea are riscul

constant.

Cea mai importantă teoremă de clasificare din teoria deciziei arată că, în general, pentru

a fi admisibilă, o regulă de decizie trebuie să fie Bayes.

Aceasta motivează căutarea unei metode mai simple de calcul a regulilor de decizie

Bayes, în loc de a căuta direct minimizarea pierderii medii posterioare

xdLMMX

D

,inf

, (2.53)

pentru orice xX .

Teorema 2.6 Funcţia Bayes de decizie * corespunzătoare convingerii iniţiale p este

determinată de ** ax , unde *a minimizează

dxpaL , , (2.54)

şi

dpxf

pxfxp . (2.55)


21

Demonstraţie. Scriind expresia riscului Bayes rezultă

dpdxxfxL

dpRB

X

,

,

, (2.56)

de unde, schimbând ordinea de integrare, obţinem

X

, dxxfdxpxLB

, (2.57)

ştiind că din definiţia funcţiei de densitate de probabilitate condiţionate avem

xfxppxf . (2.58)

Determinarea unei valori * care să minimizeze B este echivalentă cu minimizarea

integralei din enunţul teoremei ■

Din teorema a cărei demonstraţie am schiţat-o mai sus, rezultă că determinarea

deciziilor Bayes se poate realiza în două etape: în prima, se determină probabilitatea

condiţionată xp utilizând teorema lui Bayes; în a doua etapă, se minimizează pierderea

medie posterioară.

Modelul statistico-matematic al problemei de decizie analizat în această secţiune a

pus în evidenţă două stadii în utilizarea informaţiei statistice pentru decizie. Primul stadiu este

decizia fără experimentare, respectiv decizia în care decidentul nu utilizează nici un fel de

informaţii rezultate din efectuarea unor experimente statistice asupra condiţiilor problemei

sale. Abordarea minimax sau abordarea Bayes numai cu probabilităţi iniţiale pentru distribuţia

convingerii sunt exemple de decizie fără experimentare. Al doilea stadiu îl reprezintă decizia

cu experimentare, respectiv decizia în care decidentul utilizează probabilităţi condiţionate

posterioare pentru modelul de decizie. Procedurile Bayes sunt exemple de decizie cu

experimentare

Aceste două stadii de decizie fără sau cu informaţie rezultată din experimente statistice

legate de problema de decizie, evidenţiază legătura directă între teoria deciziei şi statistică,

elemente pe care le vom detalia în secţiunile următoare.


ECONOMICE

22

2.3 TEORIA DECIZIEI ŞI STATISTICA

2.3.1 Estimarea

Aşa cum am arătat anterior, problema estimării unui parametru necunoscut poate fi

văzută ca un caz special al unei probleme generale de decizie în care A , adică acţiunea

necesară este alegerea unui element din spaţiul de parametri. De altfel, dacă este vorba de

funcţii de decizie Bayes, Teorema 2.6 din secţiunea anterioară stabileşte că o astfel de funcţie

de decizie, , este definită prin alegerea, pentru fiecare xX , a acţiunii xa care

minimizează pierderea medie posterioară

dxpxL , . (2.59)

Următoarea teoremă stabileşte forma generală a estimării Bayes pentru diferite forme

ale funcţiei de pierdere aL , .

Teorema 2.7 Dacă 2aaL , denumită funcţia de pierdere pătratică, estimarea

Bayes este dată de media distribuţiei posterioare.

Demonstraţie. Trebuie să alegem xa pentru a minimiza

dxpa 2. (2.60)

Diferenţiind în raport cu a şi egalând cu 0, obţinem

dxpdxp

dxp

a , (2.61)

deoarece

1

dxp ■ (2.62)

Teorema 2.8 Dacă aaL , denumită funcţia de pierdere absolută, estimarea Bayes

este dată de mediana distribuţiei posterioare.

Demonstraţie. Considerăm cazul R . Trebuie să alegem a pentru a minimiza pierderea

medie posterioară

a

a

dxpadxpadxpa . (2.63)

Diferenţiind în raport cu a şi egalând cu 0 şi ţinând cont că

a

agdxxgda

d şi

a

agdxxgda

d, (2.64)

obţinem


23

2

1

a

a

dxpdxp , (2.65)

(deoarece suma celor două integrale este 1). Rezultă deci că a este mediana distribuţiei

posterioare ■

2.3.2 Verificarea ipotezelor statistice

Să analizăm problema de decizie reprezentată de verificarea ipotezelor statistice. Dacă

00 : H este ipoteza nulă şi 11 : H este ipoteza alternativă, atunci spaţiul

parametrilor va avea două elemente 10 , , iar spaţiul de acţiune va avea, de asemenea,

două elemente 10 aa ,A , cu următoarea semnificaţie: 0a reprezintă respingerea ipotezei

1H , iar 1a reprezintă respingerea ipotezei 0H .

Considerăm funcţia de pierdere definită de Tabelul 2.4 şi valorile variabilei aleatoare X,

cu densitatea xf .

Tabelul 2.4 Funcţia de

pierdere

1 2

0a 0 01L

1a 10L 0

Vom analiza mai întâi forma deciziei Bayes, fiind date probabilităţile iniţiale cu

condiţiile 00 p , 11 p , 110 . Conform Teoremei 2.6, pentru valorile

xX , decizia Bayes poate fi determinată alegând acţiunea care minimizează pierderea

medie posterioară. Pierderea medie posterioară dacă adoptăm 0ax este

1100

1101

10100

xfxf

xfLxpLxp

, (2.66)

iar dacă adoptăm 1ax avem

1100

0010

1010 0

xfxf

xfLxpxpL

, (2.67)

În relaţiile de mai sus am folosit teorema lui Bayes pentru funcţiile a scrie xp 0 şi

xp 1 . Atunci ax va fi decizia care ar trebui să fie aleasă dacă

11010010 xfLxfL , (2.68)

adică dacă

001

110

1

0

L

L

xf

xf . (2.69)

Relaţia de mai sus are următoarea semnificaţie: respingem 0H dacă raportul de

verosimilitate al lui 0 şi 1 este mai mic decât o anumită valoare.


ECONOMICE

24

2.3.3 Lema Neyman - Pearson

Considerând 11001 LL , calculăm mai întâi riscul ,R , unde este definită

pentru 10 X,XX şi

iax pentru 21,,X i ix . (2.70)

Atunci

1

010

000

Prob X

X

X~

,,

Xdxxf

dxxfxLR

, (2.71)

care este , adică probabilitatea de a respinge 0H când de fapt 0H este adevărată. Se ştie că

este probabilitatea erorii de tipul I. De asemenea,

0

101

111

Prob X

X

X~

,,

Xdxxf

dxxfxLR

, (2.72)

care este , adică probabilitatea de a accepta 0H când de fapt 0H este falsă. Se ştie că

este probabilitatea erorii de tipul II. Punctele de risc de coordonate 1 0, şi 0 1, ale

mulţimii S sunt atinse de testele care întotdeauna acceptă sau resping 0H , independent de x ;

aceste puncte aparţin lui S. Având în vedere simetria şi convexitatea lui S, reprezentarea

geometrică a lui pentru această problemă de testare a ipotezelor statistice este redată în Figura

2.11. Testele admisibile sunt date de punctele de risc situate pe marginea inferioară (SV) a lui

S. Dar aceste puncte sunt caracterizate de abordarea Neyman – Pearson:

Lema Neyman – Pearson. Cu o funcţie de pierdere 0–1, testele admisibile pentru ipoteza

00 :H faţă de 11 :H sunt definite de

Rkkxf

xfaxD pentru dacă

1

0

1 ,*;

. (2.73)

Figura 2.11 – Mulţimea de risc pentru H0 faţă de H1

1

1

S


25

2.4 ATITUDINI FAŢĂ DE RISC ŞI TEORIA UTILITĂŢII

2.4.1 Aversiunea la risc

Vom analiza în continuare din punct de vedere matematic problema „asumării riscului”.

Aceasta înseamnă problema deciziei de a rămâne într-o stare neschimbată (status quo) sau de

a intra într-o situaţie de incertitudine, care poate să ducă la „câştig” sau la „pierdere”.

Principalele exemple practice de asemenea probleme sunt cele din asigurări (primele de

asigurare conduc la câştig, dar plata despăgubirilor pentru accidente sau dezastre poate

conduce la pierdere); din agricultură (plata pentru recoltă poate duce la câştig, dar seceta,

bolile sau alte dezastre naturale pot duce la pierdere) sau de la jocurile de noroc (o sumă

iniţială este plătită de jucător şi rezultatul jocului poate fi câştig sau pierdere, în funcţie de

tipul de joc şi de regulile acestuia: curse, joc de cărţi, joc de zaruri, ruletă ş.a.).

În Figura 2.12 este prezentată în mod schematic o problemă de decizie simplă, care

sintetizează elementele unei probleme de asumare a riscului. Este vorba de problema unui joc

de noroc, în care fără incertitudine implică menţinerea stării de status quo (jucătorul nu joacă),

iar cealaltă conduce la o situaţie de incertitudine prin faptul că jucătorul participă la joc cu o

sumă iniţială. Cu notaţiile anterioare, spaţiul de acţiune 21 aa ,A este alcătuit din acţiunile:

1a : jucătorul nu joacă,

2a : jucătorul joacă,

spaţiul parametrilor 321 ,, este constituit din stările:

1 : status quo,

2 : câştig,

3 : pierdere,

iar consecinţele sunt:

11 a, : suma jucătorului rămâne neschimbată,

22 a, : suma jucătorului creşte cu valoarea premiului,

23 a, : suma jucătorului descreşte cu suma jucată.

Să remarcăm faptul că, în anumite situaţii, chiar dacă se obţine câştig, acesta poate fi

mai mic decât suma jucată, dar nu vom considera acest caz în problema noastră. Vom detalia

această problemă din perspectiva abordării Bayes a luării deciziilor. Pentru aceasta va trebui

să specificăm mai întâi probabilităţile pentru 321 ,, , fiind date 1a sau 2a şi apoi

determinarea valorii consecinţelor.

Am definit anterior funcţia de pierdere RA:L , atribuind valori consecinţelor,

astfel încât ji aL , este pierderea pentru acţiunea aleasă ja , dacă rezultatul ar fi i .

Introducem acum funcţia de utilitate RA:U , în care ji aU , este „valoarea

pozitivă” sau „utilitatea” obţinută pentru o consecinţă alcătuită din acţiunea ja şi rezultatul


ECONOMICE

26

i . Putem considera „utilitatea” ca o „pierdere negativă”. Într-o serie de probleme de decizie

o asemenea abordare este naturală, având în vedere că urmărim maximizarea utilităţii printr-o

decizie optimală.

Acţiuni Rezultate posibile Consecinţe

Nici o schimbare

Status quo

1

Nu joacă 11 a,

Recuperarea sumei

Câştig jucate plus

Joacă 2 suma câştigată

22 a,

Pierderea

Pierdere sumei

jucate

3 23 a,

Figura 2.12 – Schema unei probleme simple de asumare a riscului

Pentru problema de joc considerată anterior, să notăm cu C suma curentă de care

dispune jucătorul, cu S suma jucată şi cu P suma netă câştigată sau premiul câştigat. Să

presupunem, de asemenea că, dată fiind 1a , 11 p (ceea ce înseamnă că dacă jucătorul nu

joacă, în mod sigur nu va pierde şi va rămâne în status quo), iar dată fiind 2a , atunci

2

132 pp (respectiv dacă jucătorul joacă, probabilităţile de câştig sau de pierdere le

putem considera la fel de probabile).

În termeni monetari, consecinţele sunt

Ca 11 , , PCa 22 , , SCa 23 , , (2.74)

şi rezultă că utilităţile sunt determinate pentru orice valori C, P şi S, prin definirea unei funcţii

de utilitate RXU : , unde X conţine toate consecinţele care pot apărea din problema de

joc.

Atunci utilităţile medii ale celor două acţiuni sunt date de relaţiile de mai jos, în care am

utilizat valorile probabilităţilor de câştig sau de pierdere definite anterior pentru acţiunile 1a

(jucătorul nu joacă) şi respectiv 2a (jucătorul joacă):

Acţiunea Utilitatea medie

1a CU

2a SCUPCU

2

1

2

1


27

Pentru a maximiza utilitatea medie, acţiunea optimală este definită de următoarea schemă:

Joacă ( 2a )

dacă SCUPCUCU

2

1

2

1 Indiferent

Nu joacă ( 1a )

Această schemă este ilustrată în Figura 2.13, în care am considerat SPS ,0 .

Să considerăm acum cazul special SP , respectiv în termeni monetari, un joc

echilibrat. Avem

SCSCC 2

1

2

1. (2.75)

Ne punem problema să vedem în ce circumstanţe decidentul va alege – sau nu – acţiunea 2a

(să joace). Observăm că 2a va fi aleasă dacă

SCUCUCUSCU , (2.76)

iar 1a va fi aleasă dacă

SCUCUCUSCU , (2.77)

egalitatea însemnând indiferenţa de a juca sau nu.

C-S C C+Px

U (x )

U (C-S )

U (C+P )

U (C )

U (C ) pentru a 1

U (C ) pentru a 2

Figura 2.13 – Utilitatea medie pentru acţiunile a1 şi a2

Să considerăm acum forma continuă a funcţiei de utilitate, astfel încât pentru orice

valori ale lui C şi S, decidentul alege fie 1a , fie 2a , fie este indiferent, aşa cum este

reprezentată în Figura 2.14 (a), (b) şi (c).

Forma funcţiei de utilitate din Figura 2.14(a) reprezintă utilitatea marginală

descrescătoare, ceea ce înseamnă că la creşterea cu o cantitate fixă (a lui C, de exemplu)

produce o utilitate adiţională din ce în ce mai mică, dacă se adaugă la o sumă iniţială din ce în

ce mai mare (de exemplu de la SC la C vom avea o utilitate adiţională mai mare decât de

la C la SC ). O asemenea formă a funcţiei de utilitate determină decidentul să aleagă

întotdeauna C în loc de SC sau SC . Un decident care are o asemenea funcţie de

utilitate se spune că are aversiune la risc, adică starea de status quo este preferată unei situaţii


ECONOMICE

28

de incertitudine, al cărei rezultat aşteptat este egal cu situaţia de status quo. Pentru ca un joc

cu SC sau SC să fie preferat lui C de un decident cu aversiune la risc, probabilitatea

rezultatului pentru SC trebuie să fie mărită. Dacă notăm această probabilitate cu ,

decidentul va prefera să joace dacă

SCUSCUCU 1 , (2.78)

sau cu alte cuvinte dacă

1

1

CUSCU

SCUCU

. (2.79)

Inegalitatea de mai sus reflectă faptul că decidentul cu aversiune la risc va prefera un raport

superior în favoarea sa şi depăşirea creşterii raportului de utilitate.

Forma funcţiei de utilitate din Figura 2.14(b) reprezintă utilitatea marginală

crescătoare, ceea ce înseamnă că la creşterea cu o cantitate fixă (a lui S, de exemplu) produce

o utilitate adiţională din ce în ce mai mare, dacă se adaugă la o sumă iniţială din ce în ce mai

mare (de exemplu de la C la SC produce o utilitate adiţională mai mare decât de la SC

la C). O asemenea formă a funcţiei de utilitate determină decidentul să aleagă întotdeauna să

joace, în loc să rămână în C pentru siguranţă. Un astfel de decident se spune că îşi asumă

riscul. Se observă că decidentul care îşi asumă riscul va juca dacă

SCUSCUCU 1 , (2.80)

ceea ce implică numai

CUSCU

SCUCU

1, (2.81)

şi din Figura 2.14(b) se observă că membrul drept al inegalităţii este mai mic decât 1. Aceasta

implică existenţa valorilor 21 pentru care decidentul preferă să joace decât să rămână în

status quo. Situaţia descrisă în Figura 2.14(c) implică indiferenţa de a juca sau nu. Să

remarcăm faptul că pentru valori ale lui S suficient de mici în raport cu C, curbele din Figura

2.14(a) şi (b) vor avea aproximativ forma din Figura 2.14(c), respectiv curbele vor fi suficient

de bine aproximate printr-o dreaptă. Aceasta explică de ce un decident cu aversiune la risc

preferă să nu joace dacă suma jucată (şi câştigul) sunt suficient de mici.

C-S C C+Sx

U (x )

U (C+S ) U (C )

U(C) U (C-S )

(a )


29

C-S C C+Sx

U (x )

U (C+S ) U (C )

U(C) U (C-S )

(b )

C-S C C+Sx

U (x )

U (C+S ) U (C )

U(C) U (C-S )

(c )

Figura – 2.14 Forme ale funcţiei de utilitate:

(a) nu joacă; (b) joacă; (c) indiferent

2.4.2 Proprietăţile funcţiilor de utilitate

Vom detalia în continuare proprietăţile funcţiilor de utilitate prezentate anterior,

considerând, pentru exemplificare, cazul utilităţii marginale descrescătoare.

Presupunând continuitatea funcţiei de utilitate şi ţinând cont de relaţia

SCUSCUCU 2

1

2

1, (2.82)

rezultă că există cantitatea SCC 0, , astfel încât

SCUSCUCU C 2

1

2

1 , (2.83)

proprietate ilustrată în Figura 2.15.


ECONOMICE

30

C S C C+Sx

U (x )

C c

U (C S )

U (C c )

U (C+S )

U (C )

Figura 2.15 Definiţia lui C

Numărul C poate fi interpretat ca o „primă de asigurare” pe care decidentul trebuie să

o plătească în scopul de evita schimbarea stării de status quo C pentru un joc echilibrat între

SC şi SC .

Să considerăm funcţia de utilitate marginală descrescătoare pentru orice joc care implică

deplasarea de la C la XC , unde X este o variabilă aleatoare cu media 0 (în cazurile

anterioare am avut SX cu probabilităţile egale cu 21 ). Prima de asigurare este definită

de ecuaţia

XCUMCU C , (2.84)

unde valoarea medie M este considerată în raport cu distribuţia de probabilitate a lui X.

Pentru a înţelege natura lui C , care el însuşi furnizează o măsură a aversiunii la risc, să

presupunem că dispersia lui X, pe care o notăm 2 , este suficient de mică, astfel încât

tranzacţiile au loc într-o vecinătate a lui C (implicând de asemenea că la rândul său C este

suficient de mic). Dacă dezvoltăm în serie Taylor ambii termeni ai egalităţii (2.84) obţinem:

CUCUCU CC , (2.85)

CUCUCUXCUXCUMXCUM

22

2

1

2

1 , (2.86)

unde în relaţia (2.85) am ignorat termenii în 2

C şi următorii, iar în relaţia (2.86) termenii care

conţin 3XM şi următorii. Egalând cele două expresii, obţinem:

CU

dC

d

CU

CUC log22

2

1

2

1 . (2.87)

Cantitatea

CU

CU

defineşte deci o măsură (locală) a aversiunii la risc. Cu cât această

cantitate este mai mare, cu atât prima C pe care decidentul o are de plătit creşte (indicând

nivelul înalt de aversiune la risc). Forma lui C ne poate ajuta să determinăm expresia


31

matematică pentru U. De exemplu, să presupunem că pentru un anumit rezultat X, aversiunea

la risc nu depinde de C, ceea ce implică

(const.) k

CU

CU

. (2.88)

Rezolvând ecuaţia diferenţială de mai sus şi considerând punctele 00 U şi

U , obţinem soluţia

kxexU 1 , x0 . (2.89)

Rezultă că dacă decidentul consideră o utilitate marginală descrescătoare şi are o

aversiune constantă la risc, atunci există o funcţie de utilitate definită, pentru care trebuie

specificată doar o constantă. Pe măsură ce această constantă creşte, funcţia de utilitate are o

pantă din ce în ce mai mare, plecând din origine, aşa cum se poate observa din Figura 2.16.

x

U (x )

k 1

k 2

k 3

Figura 2.16 Funcţia de utilitate pentru k1 < k2 < k3

Forma de mai sus a funcţiei de utilitate ne arată că decidentul apare ca având o

aversiune la risc descrescătoare; într-adevăr, C descreşte dacă C creşte.

2.4.3 Evaluarea funcţiilor de utilitate

Forma funcţiei de utilitate poate să fie diferită în funcţie de problema de decizie şi de

abordarea decidentului şi este nevoie de o metodă operaţională pentru a evalua forma funcţiei

de utilitate. Să presupunem că decidentul dispune de suma curentă C (de exemplu în euro, €)

şi urmăreşte să evalueze forma funcţiei de utilitate în intervalul C până la 1000C , având

următoarea problemă de decizie: Decidentul are un bilet de loterie cu valoarea C, care îi

permite să joace un joc care îi aduce un câştig de 1000€ sau 0 (dacă pierde). I se cere

decidentului să stabilească o sumă 2S cu care ar vinde biletul. De asemenea, i se cere să

stabilească o sumă 1S dacă loteria ar fi constat din câştigul 2S şi 0, respectiv 3S dacă loteria

ar fi cu un câştig de 1000 şi respectiv 2S .

Stabilim o scală pentru funcţia de utilitate, respectiv 0CU şi 1001000 CU .


ECONOMICE

32

Pentru o abordare bayesiană şi funcţia de utilitate U , obţinem

5002

1100

2

1

2

11000

2

12

CUCUSCU

. (2.90)

Rezultă că 2S este suma pentru care 2SC are utilitatea 50 pe scala de utilitate. În

mod similar,

2502

150

2

1

2

1

2

121

CUSCUSCU

. (2.91)

şi

75502

1100

2

1

2

11000

2

123

SCUCUSCU

. (2.92)

Reprezentând grafic în Figura 2.17 valorile calculate pentru funcţia de utilitate, rezultă o

curbă care trece prin aceste puncte şi care ne sugerează o funcţie de utilitate marginală

descrescătoare.

0

25

50

75

100

x

U (x )

C+S 1C C+S 3C+S 2 C+ 1000

Figura 2.17 Evaluarea funcţiei de utilitate


33

2.5 DECIZII SECVENŢIALE

2.5.1 Concepte de bază

Să considerăm următoarea problemă de decizie cu două stadii. O acţiune iniţială 1a

este aplicată şi după aceea starea naturii (incertă) este 1 ; în continuare este aplicată

acţiunea 2a , starea (incertă) fiind

2 şi rezultând consecinţa finală 2121 aa ,;, .

În Figura 2.18 este reprezentată problema de decizie cu două stadii de mai sus, în care

printr-un pătrat am reprezentat un punct sau nod de decizie (în care decidentul alege o

acţiune), iar printr-un cerc am reprezentat un punct de incertitudine (în care apare o stare a

naturii incertă, necontrolabilă). Presupunem că utilitatea ataşată consecinţei finale este

2121 aaU ,;, . Reprezentând grafic această problemă se obţine un „arbore”, care are

forma din figura următoare.

1a 1

2a 2

2121 aaU ,;,

Figura 2.18 – Reprezentarea unei probleme de decizie cu două

stadii

Într-o problemă de decizie secvenţială nu putem decide ce să facem în stadiul iniţial

până nu am analizat toate consecinţele posibile 2121 aa ,;, . Ne punem întrebarea ce

vom face în al doilea nod de decizie dacă iniţial am ales acţiunea 1a şi rezultatul a fost

1 .

Arborele corespunzător este reprezentat în Figura 2.19.

( 1a , 1 )

2a

2121 aaU ,;,

Figura 2.19 – Reprezentarea unei probleme de decizie

ştiind că rezultatul a fost 1

Pentru o anumită alegere a lui 2a , distribuţia de probabilitate pentru un anumit rezultat

incert 2 va avea forma

2112 aap ,, , iar acţiunea optimală şi funcţia de utilitate

medie sunt definite de:

22121211211

2

daaUaapaUa

,,,,,max,* . (2.93)

Aceasta este utilitatea maximizată, dată fiind 1 şi

1a . Situaţia pe care o are de rezolvat


ECONOMICE

34

decidentul în primul stadiu este reprezentată în Figura 2.20.

Soluţia completă a problemei este definită de

11111

1

daUapa

,*max . (2.94)

1a 1

11 aU ,*

Figura 2.20 – Decizia în primul stadiu presupunând

o acţiune optimală în al doilea stadiu)

Dacă problema de decizie secvenţială este cu n stadii, se observă că structura soluţiei

rămâne aceeaşi. Începând din partea dreaptă a arborelui şi trecând succesiv prin nodurile de

decizie, vom repeta procesul de a considera utilitatea medie şi de a o maximiza.

Procedura prezentată aici este dificil de implementat din două motive: primul, procedura

implică considerarea tuturor combinaţiilor de acţiuni care se pot aplica şi a tuturor rezultatelor

posibile; al doilea, distribuţiile de probabilitate ale rezultatelor sunt probabilităţi condiţionate

şi sunt, în general, greu de calculat. În cazul mulţimilor finite de acţiuni şi de rezultate,

problemele de decizie pot fi formulate şi rezolvate utilizând metoda arborilor de decizie.

2.5.2 Arbori de decizie

Vom exemplifica metoda arborilor de decizie printr-o problemă de decizie specifică.

Presupunem că o companie producătoare doreşte să investească într-o linie de fabricaţie a

unui produs. Investiţia va fi profitabilă dacă cererea pieţei pentru produsul respectiv va creşte,

dar ea va produce pierderi dacă cererea pieţei va scădea. Alternativele pe care le are compania

sunt: să investească; să nu investească; să achiziţioneze un studiu de cercetare de piaţă, care

să-i furnizeze informaţii suplimentare despre evoluţia cererii pentru produsul respectiv. Să

presupunem că studiul de piaţă va furniza o predicţie de tipul cererea în creştere sau cererea în

scădere, iar rezultatul final (starea naturii) va fi cererea actuală în creştere sau cererea actuală

în descreştere. Structura arborelui de decizie pentru această problemă de investiţie este

reprezentată în Figura 2.21. Formalizarea problemei de decizie este următoarea:

1a : Studiu de piaţă,

321 aa ,,aA , unde 2a : Investeşte,

3a : Nu investeşte.

21 , , unde 1 : Cererea creşte,

2 : Cererea descreşte.

21 xxX , , unde 1x : Predicţie cererea creşte,

2x : Predicţie cererea descreşte.


35

Se ştie, de asemenea, că firma care realizează studiul de piaţă a înregistrat 80% succese

atunci când a prognozat creşterea cererii şi 70% succese atunci când a prognozat scăderea

cererii. Rezultă următoarele probabilităţi condiţionate

8011 ,xp , 2012 ,xp , (2.95)

3021 ,xp , 7022 ,xp . (2.96)

creşte

Investeşte cererea

descreşte

creşte

Nu investeşte cererea

descreşte

creşte

Investeşte cererea

descreşte

Studiu

de piaţă creşte

Nu investeşte cererea

descreşte

creşte

Investeşte cererea

descreşte

creşte

Nu

investeşte

cererea

descreşte

Figura 2.21 Arborele de decizie pentru problema de investiţie

Să presupunem de asemenea că, fără a ţine cont de concluziile studiului de piaţă,

compania producătoare a făcut propriile evaluări ale evoluţiei cererii, stabilind că sunt 60%

şanse ca cererea să crească şi deci avem probabilităţile

601 ,p , 402 ,p . (2.97)

Evaluarea directă a rezultatului incert în situaţia în care compania achiziţionează studiul

de piaţă este dată de probabilităţile

6040306080

2211111

,,,,,

pxppxpxp, (2.98)

406011 12 ,, xpxp . (2.99)

În continuare, pentru evaluarea convingerii despre 1 şi 2 pe baza informaţiilor din

studiul de piaţă (decizie cu experimentare), folosim teorema lui Bayes şi obţinem

Predicţie

cererea

creşte

Predicţie

cererea

descreşte


ECONOMICE

36

80600,60,8

111111

,,

xppxpxp , (2.100)

208011 1112 ,, xpxp . (2.101)

30400,60,2

211221

,,

xppxpxp , (2.102)

703011 2122 ,, xpxp . (2.103)

În Figura 2.22 este reprezentat arborele de decizie al problemei, completat cu valorile

probabilităţilor şi ale utilităţilor.

1 1200 C

2 800 C

1 1000 C

2 1000 C

1 1200 C

2 800 C

1 1000 C

2 1000 C

1 1200

2 800

1 1000

2 1000

Pentru evaluarea utilităţii diferitelor rezultate, să presupunem că funcţia de utilitate este

aproximativ liniară. Să presupunem, de asemenea, că unitatea monetară este UM = 1000€ şi

dacă cererea creşte compania aşteaptă să facă un profit net de 1200 UM, iar dacă cererea

descreşte, profitul net va fi de 800 UM, în condiţii de investiţie. Dacă nu investeşte, compania

aşteaptă un profit net de 1000 UM, iar costul studiului de piaţă este C.

În continuare, începând din partea dreaptă a arborelui de decizie, conform procedurii

menţionate anterior, calculăm utilităţile medii. Pentru ramura de decizie 1a rezultă:

CCCaxU 11202080080120021 ,,, , (2.104)


37

CCCaxU 100020100080100031 ,,, , (2.105)

CCCaxU 9207080030120022 ,,, , (2.106)

CCCaxU 100070100030100032 ,,, , (2.107)

Rezultatele de mai sus sunt reprezentate în Figura 2.23.

2a 1 1120 C

1a 0,6 1x 3a 2 1000 C

0,4 2x 2a 1 920 C

3a 2 1000 C

Figura 2.23 Utilităţile medii iniţiale pentru ramura a1

Aplicând acum principiul maximizării utilităţii medie, se observă că dat fiind 1x ,

acţiunea optimală este 2a , în timp ce dacă este dat 2x , acţiunea optimală este 3a , aşa cum

rezultă din Figura 2.24.

1120 C

1a 0,6 1x

0,4 2x

1000 C

Figura 2.24 A doua maximizare pentru ramura a1

Aplicăm acum încă o dată calculul utilităţilor medii pentru 1a , 2a şi 3a de pe ultimul

nivel al arborelui de decizie. Obţinem:

CCCaU 10724010006011201 ,, , (2.108)

1040408006012002 ,,aU , (2.109)

10004010006010003 ,,aU , (2.110)

cu reprezentarea din Figura 2.25.

1a 1072 C

2a

1040

3a

1000

Figura 2.25 Utilităţile pe ultimul nivel al arborelui de decizie


ECONOMICE

38

Decizia iniţială pentru această problemă a devenit acum clară: decidentul nu trebuie să

aleagă niciodată 3a , iar decizia 1a va fi adoptată numai dacă costul studiului de piaţă este

32C .

Procedura pentru aplicarea metodei arborilor de decizie poate fi sintetizată astfel:

(1) Se descrie logica arborelui în ordine cronologică, respectiv se descriu nodurile de

decizie şi nodurile de incertitudine, precum şi toate ramurile care apar în fiecare nod;

(2) Se ataşează probabilităţile ramurilor de incertitudine, ţinând cont de condiţionările

corespunzătoare pentru fiecare ramură;

(3) Se ataşează valorile utilităţilor ramurilor finale;

(4) Plecând de la dreapta la stânga arborelui de decizie, se calculează valorile medii ale

utilităţilor în nodurile de incertitudine şi se maximizează în nodurile de decizie,

determinându-se acţiunile optimale şi utilităţile lor medii;

(5) Se continuă procedura până la nodul de decizie iniţial, determinându-se acţiunea

optimală iniţială şi apoi secvenţa de acţiuni optimale care rezolvă problema de decizie.

Metoda arborilor de decizie reprezintă o alternativă viabilă la metodele analitice de

decizie prezentate la începutul acestui capitol. În acelaşi timp, arborii de decizie, prin

reprezentarea grafică a problemei de decizie constituie un instrument util şi accesibil pentru

considerarea tuturor alternativelor, atât în nodurile de decizie, cât şi în cele de incertitudine.

Cele două metode, grafică şi analitică, pot fi utilizate cel mai bine împreună, deoarece

ne furnizează, fiecare, informaţii privind problema de decizie, aşa cum vom vedea în

aplicaţiile următoare.


39

2.6 APLICAŢII

Vom detalia şi aplica în continuare conceptele prezentate în secţiunile anterioare prin

două probleme de decizie, care ne vor ajuta să fixăm noţiunile de teoria deciziei. De

asemenea, vom sistematiza printr-un algoritm paşii de rezolvare a unei probleme de decizie.

2.6.1 Problema forajului

O companie de îmbuteliere deţine un teren care se presupune că va conţine surse

subterane de apă minerală. Compania a clasificat terenul în patru categorii, după debitul de

apă minerală care se aşteaptă să fie obţinut din sursa forată, respectiv 1.000.000 litri, 500.000

litri, 100.000 litri sau 0 litri (sursa nu conţine apă minerală). Alternativele asupra cărora

trebuie să decidă compania sunt următoarele:

(1) forajul pentru găsirea de apă minerală;

(2) închirierea necondiţionată a terenului către o altă companie de foraj;

(3) închirierea condiţionată a terenului, în funcţie de cantitatea de apă minerală găsită.

Costul forajului pentru o sursă care va produce apă minerală este de 10.000€, în timp ce costul

forajului fără găsirea de apă minerală este de 6.000€. Profitul pentru o sursă de apă minerală

este de 0,10€/litru (după deducerea costurilor de producţie). Costul închirierii necondiţionate

este de 8.000€, în timp ce compania ar primi 0,03€ pentru fiecare litru extras în cazul

închirierii necondiţionate, dacă sursa forată pe terenul închiriat va produce mai mult de

250.000 litri. Cu elementele definite până acum, compania de îmbuteliere ar obţine

următoarele profituri posibile (Tabelul 2.5):

Tabelul 2.5 – Profiturile companiei de îmbuteliere

1.000.000

litri/sursă

500.000

litri/sursă

100.000

litri/sursă

0

litri/sursă

(1) Foraj 90.000 40.000 0 6.000

(2) Închiriere

necondiţionată

8.000 8.000 8.000 8.000

(3) Închiriere condiţionată 30.000 15.000 0 0

A. DECIZIA FĂRĂ EXPERIMENTARE

Problema de decizie constă din următoarele acţiuni:

1a : Forajul pentru găsirea de apă minerală,

2a : Închirierea necondiţionată a terenului,

3a : Închirierea condiţionată a terenului,

şi deci spaţiul de acţiune este 321 aaa ,,A .

Stările naturii pentru această problemă sunt:


ECONOMICE

40

1 : 1.000.000 litri apă minerală / sursă,

2 : 5000.000 litri apă minerală / sursă,

3 : 100.000 litri apă minerală / sursă,

4 : 0 litri apă minerală / sursă.

Rezultă spaţiul stărilor 4321 ,,, .

Am văzut anterior că stările naturii sunt caracterizate printr-un parametru al unei familii

de distribuţii de probabilitate. În contextul problemei noastre de foraj, rezultatul potenţial al

forajului poate fi văzut ca fiind valoarea medie a unei variabile aleatoare. Astfel, modelul

statistic pentru problema de foraj este constituit dintr-o variabilă aleatoare reprezentată de

cantitatea de apă minerală găsită în urma forajului, cu valoarea medie necunoscută. În lipsa

datelor de experimentare, compania va aproxima valoarea medie a rezultatelor prin cele patru

valori estimate iniţial, respectiv 1.000.000, 500.000, 100.000 şi 0. În exemplul nostru, stările

naturii sunt deci valorile posibile ale mediei variabilei aleatoare reprezentate de cantitatea de

apă minerală rezultată în urma forajului. Funcţia de pierdere jaL ,1 pentru această

problemă de decizie o obţinem direct din Tabelul 2.5 de profituri estimate, cu menţiunea că

valorile negative ale pierderii reprezintă, de fapt, profit (în Tabelul 2.6).

Tabelul 2.6 – Funcţia de pierdere pentru problema forajului

1 :

1.000.000

litri/sursă

2 :

500.000

litri/sursă

3 :

100.000

litri/sursă

4 :

0

litri/sursă

1a : Foraj 90.000 40.000 0 6.000

2a : Închiriere

necondiţionată

8.000 8.000 8.000 8.000

3a : Închiriere condiţionată 30.000 15.000 0 0

Regula de decizie minimax

Dacă adevărata stare a naturii ar fi cunoscută, ar fi simplu să alegem acţiunea corectă,

respectiv acţiunea cu cea mai mică pierdere. Din păcate, adevărata stare a naturii nu este în

general cunoscută, iar alegerea acţiunii corecte nu este simplă. În problema noastră de foraj,

dacă 1 , adică 1.000.000 litri/sursă, atunci, pe baza datelor de pierdere din Tabelul 2.5,

cea mai bună acţiune este 1a , adică forajul, în timp ce dacă 4 , cea mai bună acţiune este

2a , închirierea necondiţionată a terenului.

Aplicarea regulii minimax cere decidentului să găsească pierderea maximă pentru

fiecare din acţiunile sale şi să aleagă acţiunea cu cea mai mică pierdere maximă. Utilizând

deci regula minimax, considerăm mai întâi maximul funcţiei de pierdere pentru fiecare

acţiune (maximul pe fiecare linie din Tabelul 2.6) şi obţinem valorile 00061 .,max aL ,


41

00082 .,max aL şi 03 ,max aL . Luând în continuare minimul acestor valori,

avem 00080 8.000; 6.000; .min . Rezultă că aplicând regula minimax, decidentul

trebuie să aleagă acţiunea 2a închiriere necondiţionată, cu o pierdere negativă (profit) de

8.000€.

Regula de decizie Bayes

În anumite situaţii, decidentul poate să aibă anumite informaţii despre starea naturii, pe

care să le transforme într-o distribuţie de probabilitate a convingerii sale privind starea naturii.

Această distribuţie de probabilitate a convingerii, denumită distribuţie iniţială (sau a priori)

este adesea subiectivă şi depinde de experienţa sau de intuiţia decidentului. Să presupunem că

compania dispune de experienţă şi informaţii anterioare din care a concluzionat că la foraje

similare, circa 10% au fost foraje de 1.000.000 litri/sursă, 15% au avut ca rezultat 500.000

litri/sursă, 25% au dus la 100.000 litri/sursă şi circa 50% din foraje nu au găsit apă minerală.

Aceste date pot fi transformate într-o distribuţie de probabilitate după cum urmează:

100Prob 11 , p , (2.111)

150Prob 22 , p , (2.112)

250Prob 33 , p , (2.113)

500Prob 44 , p . (2.114)

Procedura de decizie Bayes indică decidentului să aleagă acea acţiune care minimizează

pierderea medie evaluată în funcţie de distribuţia iniţială pentru toate stările posibile ale

naturii. În cazul distribuţiilor discrete (aşa cum este şi cazul problemei noastre), funcţia de

pierdere este dată de

k

kpkaLaLMaL ,, . (2.115)

Pierderea medie pentru fiecare acţiune ia este dată de

0001250000062500150000401000009011 .,.,,.,., aLMaL ,

(2.116)

0008500000825000081500008100000822 .,.,.,.,., aLMaL ,

(2.117)

250550002500150000151000003033 .,,,.,., aLMaL ,

(2.118)

Rezultă că, utilizând regula de decizie Bayes şi convingerea sa asupra distribuţiei de

probabilitate a stării naturii, decidentul va alege acţiunea 1a de foraj pentru găsirea de apă

minerală, cu o pierdere medie (profit) de 12.000€.

B. DECIZIA CU EXPERIMENTARE


ECONOMICE

42

Consideraţiile făcute până acum au presupus că decidentul a adoptat deciziile sale fără a

utiliza informaţii rezultate din efectuarea unor experimente statistice privind problema de

decizie. Totuşi, dacă decidentul dispune de informaţii suplimentare rezultate din experimente,

atunci aceste informaţii trebuie aplicate în procesul de adoptare a deciziei.

Revenind la problema forajului, să presupunem că compania poate să achiziţioneze un

studiu geologic, al cărui cost este de 2.500€. Informaţiile conţinute în studiul geologic permit

clasificarea terenului în patru categorii. Categoria (1) se referă la o structură geologică extrem

de favorabilă prezenţei apei minerale. Categoria (2) reprezintă o structură care este probabil să

conţină apă minerală. Categoria (3) este o structură puţin favorabilă prezenţei apei minerale,

în timp ce categoria (4) denotă o structură geologică cu o probabilitate extrem de mică de a

conţine apă minerală.

Pe baza examinării şi a altor zone geologice similare (100 de astfel de examinări),

compania a obţinut datele din Tabelul 2.7 de mai jos.

Tabelul 2.7 – Frecvenţele clasificării geologice

Clasificarea

geologică 1 :

1.000.000

litri/sursă

2 :

500.000

litri/sursă

3 :

100.000

litri/sursă

4 :

0

litri/sursă

(1) 128 1610 2410 4810

(2) 123 163 247 4812

(3) 121 162 243 4817

(4) 120 161 244 489

Valorile din tabelul anterior pot fi interpretate astfel: dacă forajul este de 500.000

litri/sursă (starea naturii 2 ), atunci 163 este probabilitatea condiţionată ca să avem

categoria (2) de clasificare geologică; dacă forajul nu găseşte apă minerală (starea naturii 4 ),

atunci 4817 este probabilitatea condiţionată ca nivelul de clasificare geologică să fie (3).

Notăm cu X informaţia obţinută prin experimentare dintr-un eşantion aleator. X este o

variabilă aleatoare şi poate fi văzută ca o funcţie a eşantionului de date. Decidentul trebuie să

aleagă o procedură de decizie sau o strategie, care, pe baza informaţiilor furnizate de

experiment, să-i indice ce acţiune să aplice pentru fiecare valoare xX . Notăm această

funcţie cu xd , astfel încât dacă variabila aleatoare X ia valoarea x, atunci xda va fi

acţiunea aleasă. Decidentul este interesat bineînţeles să aleagă funcţia de decizie optimală.

Pentru a evalua funcţia de decizie, trebuie să-i explorăm consecinţele. Deoarece acţiunea

aplicată a este o funcţie care depinde de rezultatul variabilei aleatoare X, atunci Xd este şi

ea o variabilă aleatoare şi pierderea asociată acestei acţiuni depinde de asemenea de

rezultatele lui X. Ştim că o măsură a consecinţelor aplicării acţiunii Xda , atunci când

adevărata stare a naturii este , este dată de valoarea medie a pierderii, cuantificată prin

funcţia de risc dR , , care în cazul discret are expresia


43

,, XdLMdR . (2.119)

Să aplicăm abordarea de mai sus exemplului nostru. Să presupunem că evaluăm regula

de decizie 1d , conform căreia dacă rezultatul studiului geologic este (1) aplicăm acţiunea 1a ,

dacă rezultatul este (2) sau (3), aplicăm acţiunea 3a , iar dacă rezultatul este (4) aplicăm 2a .

Aceasta înseamnă

11 axd , pentru 1x

21 axd , pentru 4x

31 axd , pentru 2x sau 3x .

Atunci funcţiile de risc corespunzătoare sunt

50067500212

1

12

30003000008

12

80009011 .....,

dR , (2.120)

68827500216

2

16

300030

16

10008

16

100004012 .....,

dR , (2.121)

1671500224

3

24

70

24

40008

24

10013 ...,

dR , (2.122)

2502500248

17

48

120

48

90008

48

10000614 ....,

dR . (2.123)

În relaţiile de mai sus, valoarea de 2.500 a fost costul studiului geologic. Rezultă că

acţiunea care minimizează riscul este 11 axd , respectiv forajul pentru găsirea apei

minerale, dar această acţiune nu este optimală.

Observăm că funcţia de risc furnizează un mijloc de a defini optimalitatea. O funcţie de

decizie optimală este aceea care minimizează riscul pentru fiecare valoare a lui . Dar, în

majoritatea cazurilor, funcţia de decizie optimală nu există şi va trebui să considerăm o altă

modalitate de găsire a deciziei optimale, furnizată de procedurile Bayes.

Procedurile Bayes

Dacă decidentul dispune de o informaţie anterioară despre starea naturii, informaţie ce

poate fi descrisă în termenii unei distribuţii de probabilitate iniţiale, atunci funcţiei de risc i se

poate aplica principiul Bayes, care, pentru o distribuţie discretă, arată că riscul Bayes

corespunzător unei funcţii de decizie d şi unei distribuţii de probabilitate iniţiale a lui ,

kp , este dat de

k

kpkdRdB , , (2.124)

iar dacă mulţimea stărilor este continuă şi funcţia de densitate iniţială este xp , atunci

riscul Bayes este

dxxpxdRdB , . (2.125)

Principiul Bayes impune decidentului să aleagă funcţia d, denumită procedură de decizie


ECONOMICE

44

Bayes, care minimizează dB .

Atunci când nu sunt disponibile date suplimentare, procedura Bayes ne conduce la

selectarea acţiunii care minimizează pierderea medie, evaluată în funcţie de distribuţia iniţială

a lui . Dar dacă sunt disponibile date despre starea naturii, acestea vor fi încorporate în

modelul de decizie.

De exemplu, dacă datele geologice clasifică terenul în categoria (4), probabilitatea de a

găsi surse de 1.000.000 litri sau de 500.000 litri este extrem de redusă. Totuşi, după analiza

datelor experimentale, vom actualiza distribuţia iniţială pe baza datelor despre starea naturii.

Această informaţie actualizată ne furnizează distribuţia posterioară a lui , pe baza

distribuţiei iniţiale şi a datelor de experimentare. Distribuţia posterioară a lui este

reprezentată deci de probabilităţile condiţionate ale lui , date fiind valorile xX .

Calculul distribuţiei posterioare

Fie X, o variabilă aleatoare bidimensională discretă, cu distribuţia de probabilitate

jkp X , . Fie kp distribuţia de probabilitate iniţială a lui . Definim probabilitatea

condiţionată

kjXjkX

Prob . (2.126)

Pentru distribuţia bidimensională a lui X, expresia

kpjjkpkXX

, , (2.127)

poate fi utilizată pentru evaluarea distribuţiei de probabilitate a lui X, respectiv

k kkXXX kpjjkpj , . (1.128)

Să evaluăm acum distribuţia de probabilitate posterioară a lui , notată jX

f

, dat

fiind jX , din expresia

jkfjkp XjXX

, . (2.129)

Egalând cele două forme ale expresiei pentru Xp , respectiv relaţiile (2.127) şi (2.129) şi

considerând xj (rezultatul experimentului), obţinem distribuţia posterioară

x

kpkf

X

kX

xX

. (2.130)

În sinteză, pentru calculul distribuţiei posterioare considerăm kp distribuţia iniţială

şi xxX distribuţia de probabilitate a variabilei aleatoare X evaluată pentru xX .

Funcţia xX este distribuţia variabilei X, obţinută din

kkXX kpxx

, (2.131)

iar pentru xf X avem


45

kkXX kfxf

. (2.132)

Revenind la problema noastră, valorile distribuţiei iniţiale de clasificare geologică a

terenului kp au fost date în relaţiile (1.111) (1.114). Să presupunem acum că studiul

geologic a clasificat terenul ca fiind din categoria (3). Va trebui să evaluăm expresiile

4321 3

,,,,

kkfX

, unde

4321

3

3

3,,,,

k

kpkf

X

kX

X

. (2.133)

Avem

kXkX

3Prob3 , (2.134)

probabilitatea ca terenul să fie clasificat din punct de vedere geologic în categoria (3), date

fiind stările k şi aceste valori se obţin din Tabelul 2.7 ca fiind

12

13

1

X,

16

23

2

X,

24

33

3

X,

48

173

4

X. (2.135)

Atunci distribuţia variabilei X evaluată pentru 3X rezultă

4333231334321 pppp

XXXXX

2354050048

17250

24

3150

16

2100

12

1 ,,,,, . (2.136)

Valorile complete ale probabilităţilor condiţionate kpxkX

şi ale distribuţiei

marginale xX sunt calculate în Tabelul 2.8.

Tabelul 2.8 – Probabilităţile kpxkX

şi distribuţia

marginală xX

Clasificarea

geologică

kpxkX

xX

1 2 3 4

(1) 0,0667 0,0938 0,1042 0,1042 0,3688

(2) 0,0250 0,0281 0,0729 0,1250 0,2510

(3) 0,0083 0,0188 0,0313 0,1771 0,2354

(4) 0,0000 0,0094 0,0417 0,0938 0,1448

Putem să calculăm acum distribuţia posterioară pentru 3X , aplicând relaţia (2.133)

şi obţinem:

035023540

1001211

3,

,

,

Xf , (2.137)

080023540

1501522

3,

,

,

Xf , (2.138)


ECONOMICE

46

133023540

2502433

3,

,

,

Xf

, (2.139)

752023540

50048174

3,

,

,

Xf . (2.140)

Valorile complete ale distribuţiei posterioare a lui pentru problema noastră de decizie

sunt calculate în Tabelul 2.9.

Tabelul 2.9 – Distribuţia posterioară a lui

Clasificarea

geologică

kfxX

1 2 3 4

(1) 0,181 0,254 0,282 0,282

(2) 0,100 0,112 0,290 0,498

(3) 0,035 0,080 0,133 0,752

(4) 0,000 0,065 0,288 0,647

În continuare, pentru a determina procedura de decizie Bayes, decidentul – având

calculată distribuţia posterioară – va alege acţiunea care minimizează pierderea medie aB f

(inclusiv costul experimentării), care este de fapt riscul Bayes estimat în funcţie de distribuţia

posterioară f a lui , date fiind valorile xX , unde

continuă dacă

discretă dacă

,,

,,

,dyyfyaL

kfkaL

aLMaB

xX

kxX

f . (2.141)

Acum, pentru clasificarea geologică (3), procedura Bayes pentru 3X conduce la

642500275200006

1330008000004003500009011

.,.

,,.,.,aLMaB f, (2.142)

5005500275200008

13300008080000080350000822

..,.

,.,.,.,

aLMaB f, (2.143)

243500275200

1330008000001503500003033

.,

,,.,.,aLMaB f. (2.144)

Rezultă că procedura Bayes pentru cazul 3X determină alegerea acţiunii 2a –

închiriere necondiţionată, pentru care pierderea medie este minimă.

Aplicând procedura şi relaţiile de mai sus pentru toate valorile 4321 ,,,X , obţinem

valorile riscului Bayes pentru distribuţia posterioară (Tabelul 2.10).


47

Tabelul 2.10 – Valorile riscului Bayes pentru distribuţia

posterioară

1x 2x 3x 4x

1aB f -22.246 -7.956 642 3.795

2aB f -5.500 -5.500 -5.500 -5.500

3aB f -6.737 -2.168 243 1.529

Sintetizând valorile calculate pentru procedura Bayes se obţin datele din Tabelul 2.11

Tabelul 2.11 – Procedura Bayes pentru problema forajului

x Acţiunea

Bayes

Riscul Bayes Distribuţia

marginală

1 a1 22.246 0,369

2 a1 7.956 0,251

3 a2 5.500 0,235

4 a2 5.500 0,145

Rezultă că pentru categoriile de teren (1) şi (2) acţiunea optimă este 1a – forajul, iar

pentru categoriile de teren (3) şi (4) acţiunea optimă este 2a – închirierea necondiţionată a

terenului.

Valoarea experimentării

Înainte de a apela la experimente privind starea naturii (care în majoritatea cazurilor au

costuri semnificative), va trebui să determinăm valoarea potenţială pe care o pot aduce aceste

experimente. Să presupunem că experimentul ne poate furniza o „informaţie perfectă”

despre starea naturii. Dar care este valoarea acestei „informaţii perfecte”? În aplicaţia noastră

a problemei de foraj, studiul geologic furnizează o informaţie „imperfectă” care costă 2.500€.

Ţinând cont de probabilităţile iniţiale, pierderea medie cu informaţie perfectă, pe care o

notăm cu IPM , este dată de

00021500000825000081500004010000090 .,.,.,.,. IPM . (2.145)

Regula de decizie Bayes (fără experimentare) a condus la o pierdere medie de 12.000

şi la acţiunea 1a , respectiv o pierdere mult mai mare decât în cazul pierderii medii cu

informaţie perfectă. Făcând diferenţa între cele două valori de mai sus, obţinem o valoare de

9.000, care este de fapt costul informaţiei perfecte.

Considerând datele din Tabelul 2.10 şi Tabelul 2.11, suma ponderată a pierderilor

Bayes, denumită pierderea medie necondiţionată cu experimentare este dată de

29212145050051450500525109567369024622 .,.,.,.,.~

fB . (2.146)


ECONOMICE

48

Atunci valoarea experimentării (fără costul de 2.500) este dată de diferenţa între suma

ponderată definită în relaţia (2.146) şi pierderea Bayes fără experimentare, adică

2920001229212 ..min~

exp if aLBL , (2.147)

care reprezintă economia (pierdere negativă) rezultată în urma adoptării unei proceduri de

decizie optimale cu experimentare.

În fine, pentru a evalua diferenţa dintre adoptarea decizie după proceduri Bayes

optimale şi neoptimale, calculăm riscul mediu ponderat pentru procedura neoptimală,

utilizând valorile date de relaţiile (2.120) (2.123) şi valorile probabilităţilor iniţiale,

obţinând

4869500250225016711506882710050067 .,.,.,.,.~

B . (2.148)

Scăzând valorile date de relaţiile (2.146) şi 2.148) obţinem

8052496929212 ...~~

BBL fopt , (2.149)

adică o economie (pierdere negativă) de 2.805€, ca urmare a utilizării procedurii Bayes

optimale în locul procedurii neoptimale.

Arborele de decizie

Arborele de decizie pentru problema forajului est reprezentat în Figura 2.26. Ramura

iniţială superioară reprezintă decizia fără experimentare, respectiv decizia fără utilizarea

studiului geologic. Ramura iniţială inferioară reprezintă decizia cu experimentare, respectiv

cu date geologice.

Utilităţile afişate în nodurile de decizie şi de incertitudine ale arborelui corespund

valorilor calculate anterior. În nodurile de decizie au fost aplicate procedurile Bayes (optimale

şi neoptimale) de minimizare a riscului Bayes. Acţiunile respinse au fost barate cu semnul .

Decizia adoptată este achiziţionarea studiului geologic.


49

DECIZIE FĂRĂ EXPERIMENTARE 90.000

40.000

12.000

0

12.000

6.000

8.000

5.250

27.746

27.746

8.000

-12.292 6.737

x1

10.456

2.500 10.456

8.000

x2

4.668

1.858

8.000

x3

8.000

2.257

x4

1.295

8.000

8.000

971

DECIZIE CU EXPERIMENTARE

Figura 2.26 Arborele de decizie pentru problema forajului

Fără date

geologice

a

1

a

3

Închiriere

necondiţionată

Închiriere

condiţionată

1

(0,

10

)

2

(0,1

5) 3

(0,

25) 4

(0,

50)

a

2

a

3

a

1

a

1

a

2

a

2

a

2

Foraj

a1

a1

a1

a1

a2

a2

a2

a2

a3

a3

a3

a2

a3

a

3

Cu date

geologice a3

a1 14.792


ECONOMICE

50

2.6.2 Algoritm de rezolvare a unei probleme de decizie

Vom sintetiza modul de rezolvare a problemelor de decizie de tipul prezentat anterior,

respectiv cu funcţia de pierdere tabelară şi cu A , şi X finite şi discrete, în algoritmul care

urmează. În general, majoritatea problemelor de decizie pot fi formalizate cu ajutorul

modelului prezentat în cadrul algoritmului. Algoritmul are o organizare matriceală pentru a

facilita utilizarea programelor de calcul tabelar.

A. DECIZIE FĂRĂ EXPERIMENTARE

Pasul 1. Definirea problemei de decizie.

P1.1: Se defineşte spaţiul de acţiune la,,aA 1 .

P1.2: Se defineşte spaţiul stărilor k ,,1 .

P1.3: Se definesc consecinţele ljkia ji ,,,,,,, 11 .

P1.4: Se asociază costurile corespunzătoare consecinţelor şi alte costuri ale


Pasul 2. Definirea funcţiei de pierdere.

P2.1: Funcţia de pierdere se defineşte într-un tabel de forma:

Starea naturii

Acţiunea 1 2 ... k

1a 11 aL , 12 aL , ... 1aL k ,

2a 21 aL , 22 aL , ... 2aL k ,

... ... ... ... ...

la laL ,1 laL ,2 ... lk aL ,

Pasul 3. Regula de decizie minimax.

P3.1: Se bordează tabelul funcţiei de pierdere cu o coloană care conţine maximul

valorilor funcţiei de pierdere din fiecare linie:

Starea naturii

Acţiunea 1 2 ... k jaL ,max

1a 11 aL , 12 aL , ... 1aL k , 1aL ,max

2a 21 aL , 22 aL , ... 2aL k , 2aL ,max

... ... ... ... ... ...

la laL ,1 laL ,2 ... lk aL , laL ,max

P3.2: Se aplică regula de decizie minimax, respectiv se calculează minimul

valorilor din ultima coloană a tabelului de mai sus:

ljaL jil

,,,,maxmin 1 . (2.150)

P3.3: Se alege acţiunea corespunzătoare liniei pentru care s-a obţinut minimul.


51

Dacă nu sunt disponibile informaţii despre distribuţia de probabilitate iniţială,

algoritmul se opreşte la acest pas. Dacă sunt cunoscute valorile probabilităţilor iniţiale

pentru distribuţia convingerii, algoritmul continuă cu Pasul 4.

Pasul 4. Definirea probabilităţilor iniţiale.

P4.1: Se definesc probabilităţile iniţiale

kiipi ,,, 1Prob , (2.151)

într-un tabel de forma:

Starea

naturii 1 2 ... k

Probabilităţi

iniţiale 1p 2p ... kp

P4.2: Probabilităţile iniţiale trebuie să verifice condiţiile de definire a probabilităţilor,

respectiv valori pozitive subunitare şi suma egală cu 1, condiţii reflectate şi de relaţiile

următoare:

1

1 10

1

k

i

ip

kiip

,,,

. (2.152)

Pasul 5. Regula de decizie Bayes.

P5.1: Se calculează pierderea medie pentru fiecare acţiune ja

k

ijijj ipaLaLMaL

1 ,, , (2.153)

într-un tabel de forma:

Starea naturii

Acţiunea 1 2 ... k aL

1a 111 paL , 212 paL , ... kpaL k 1, 1aL

2a 121 paL , 222 paL , ... kpaL k 2, 2aL

... ... ... ... ... ...

la 11 paL l, 22 paL l, ... kpaL lk , laL

P5.2: Se aplică regula de decizie Bayes, calculând minimul valorilor din ultima coloană

a tabelului de mai sus, respectiv ljaL j ,,,min 1 .

P5.3: Se alege acţiunea Bayes, corespunzătoare liniei pentru care s-a obţinut minimul.

Dacă pentru problema de decizie nu se utilizează informaţii rezultate din experimentare,

algoritmul se opreşte la acest pas. În caz contrar, se continuă cu Pasul 6.

B. DECIZIE CU EXPERIMENTARE

Pasul 6. Definirea experimentului.

P6.1: Se defineşte spaţiul de eşantionare X şi variabila aleatoare X, cu valorile k,,, 21 .


ECONOMICE

52

P6.2: Se specifică probabilităţile condiţionate kiiXi

,,, 1 , într-un tabel de

forma:

x 1 2 ... k

1 11 X

12 X ... 1Xk

2 21 X

22 X ... 2Xk

... ... ... ... ...

k kX 1

kX 2 ... kXk

P6.3: Se stabileşte costul experimentului C.

Pasul 7. Procedura Bayes cu probabilităţi iniţiale.

P7.1: Se stabilesc regulile de decizie xdn şi acţiunile ij

a care se adoptă pentru

fiecare valoare kx ,,, 21 , unde liaaaa lji,,,,,A 1 21 , într-un tabel de

forma:

X 1 2 ... k

nd 1j

a 2j

a ... kj

a

P7.2: Se determină funcţia de risc mediu jndR , , la care se adaugă costul

experimentului C, cu relaţiile:

k

jjXjinjn CaLCxdLMCdR

i1

,,, . (2.154)

Datele se organizează într-un tabel de forma:

x 1 2 ... k C CdR jn ,

1,ndR 11

11

XjaL

, 21

12

XjaL

, ... kXjk

aL

1

1 , C CdR n 1,

2,ndR 12

11

XjaL

, 22

12

XjaL

, ... kXjk

aL

1

2 , C CdR n 2,

... ... ... ... ... ... ... kndR ,

111

Xjk aL

, 212

Xjk aL

, ...

kXjk kaL

1 , C CdR kn ,

P7.3: Se determină riscul mediu minim:

kidR ini

,,,min 1 . (2.155)

P7.4: Decizia Bayes (neoptimală) constă din alegerea acţiunii pentru care s-a obţinut

riscul mediu minim.

Dacă pentru problema de decizie nu se utilizează probabilităţi posterioare, algoritmul se

opreşte la acest pas. În caz contrar, se continuă cu Pasul 8.

Pasul 8. Calculul probabilităţilor posterioare.

P8.1: Se calculează probabilităţile condiţionate posterioare kpxkX

şi

distribuţia marginală xX . Datele sunt organizate ca în tabelul de mai jos, care

conţine produsul elementelor din tabelele de la P6.2 şi P4.1, iar în ultima coloană


53

suma probabilităţilor condiţionate pe fiecare linie.

k kpxkX

xX

x 1 2 … k

1 11 X 1p

12 X 2p ... 1Xk

kp 1X

2 21 X 1p

22 X 2p ... 2Xk

kp 2X

… ... ... ... ... …

k kX 1 1p

kX 2 2p ... kXk

kp kX

P8.2: Se calculează distribuţia posterioară

x

kpkf

X

kX

xX

, (2.156)

aplicând relaţia de mai sus pentru elementele din tabelele de la P6.2, P4.1 şi P8.2,

obţinându-se tabelul de forma de mai jos:

k kfxX

x 1 2 … k

1 11X

f

21X

f

... kfX 1

2 12X

f

22X

f

... kfX 2

… … … … …

k 1kX

f

2kX

f

... kfkX

Pasul 9. Procedura Bayes cu probabilităţi posterioare.

P9.1: Se determină riscul Bayes în funcţie de distribuţia posterioară, date fiind valorile

xX , cu relaţia de mai jos, în care se ţine cont şi de costul experimentului, iar datele

se organizează într-un tabel de forma de mai jos:

liCkfkaLCaLMCaBk

xXiiif ,,,, 1 . (2.157)

1x 2x kx

CaB jf 1

CfaL j 111 , CfaL j 22

1 , … CkfkaL j ,1

CaB jf 2

CfaL j 112 , CfaL j 22

2 , … CkfkaL j ,2

… … … … …

CaBkjf CfaL

kj11 , CfaL

kj22 , … CkfkaL

kj ,

P9.2: Se stabileşte decizia privind acţiunile Bayes, considerând minimul valorilor pe

coloană din tabelul de mai sus. Se obţine un tabel de forma:

x Acţiunea

Bayes

Riscul Bayes Distribuţia

marginală


ECONOMICE

54

1 1j

a CaB jfk

1

min 1X

2 2ja CaB jf

k

2min 2X

… … …

k kja CaB

kjfk

min kX

Pasul 10. Valoarea experimentului.

P10.1: Se determină pierderea medie cu informaţie perfectă disponibilă:

k

kk kpaLIPM , . (2.158)

P10.2: Se calculează costul informaţiei perfecte:

IPMaLIPC j min . (2.159)

P10.3: Se calculează pierderea medie necondiţionată cu experimentare:

k

Xjff kaBBk

~. (2.160)

P10.4: Se determină valoarea experimentului (fără costul acestuia):

jf aLBL min~

exp . (2.161)

P10.5: Se calculează riscul mediu ponderat (cu regula neoptimală):

k

kn kpCdRB ,~

. (2.162)

P10.6: Se calculează economia ca urmare a aplicării procedurii Bayes optimale cu

probabilităţi posterioare, faţă de regula Bayes neoptimală:

BBL fopt

~~ . (2.163)

Pasul 11. Arborele de decizie.

P11.1: Se construieşte arborele de decizie, conform procedurii prezentate anterior.

P11.2: Se alocă în nodurile de incertitudine, valorile de risc calculate.

Pasul 12. Concluzii.

P12.1: Se trage concluzia asupra deciziei optimale iniţiale care trebuie adoptată, precum

şi asupra secvenţei de acţiuni care trebuie adoptate pentru rezolvarea problemei de

decizie.

2.6.3 Problema festivalului

Vom aplica paşii algoritmului descris anterior pentru aşa-numita problemă a

festivalului, care este exemplificată şi rezolvată în continuare.

Un festival în aer liber este planificat să fie organizat într-un oraş la o anumită dată.

Profiturile care se estimează că se vor obţine în urma desfăşurării festivalului depind în cea

mai mare măsură de starea vremii. Astfel, dacă vremea este ploioasă, organizatorii festivalului

vor înregistra o pierdere de 30.000€, datorită numărului foarte redus de participanţi; dacă pe


55

durata festivalului cerul va fi înnorat, pierderile vor fi de 10.000€, iar dacă timpul va fi frumos

şi însorit, festivalul va aduce un profit de 20.000€. Costul instalării echipamentului tehnic

necesar desfăşurării festivalului este de 2.000€, pierdere care s-ar înregistra dacă

echipamentul ar fi instalat, iar festivalul ar fi anulat. La momentul respectiv, organizatorii vor

putea beneficia de un buletin meteo pentru prognoza vremii în perioada festivalului, de la o

filială a unui institut meteorologic, care a sintetizat datele de predicţie a vremii. Să remarcăm

faptul că suntem în faţa unei probleme de decizie fără experimentare (cazul A) dacă

organizatorii festivalului (decidentul) nu utilizează prognoza meteo sau o problemă de decizie

cu experimentare (cazul B), dacă vor lua în considerare prognoza din buletinul meteo.

A. DECIZIE FĂRĂ EXPERIMENTARE

Pasul 1. Definirea problemei de decizie.

P1.1: Spaţiul de acţiune: 21 aa ,A , unde:

1a : Instalare echipament şi organizare festival;

2a : Neinstalare echipament şi anulare festival.

P1.2: Spaţiul stărilor: 321 ,, , , unde:

1 : Ploaie;

2 : Nori;

3 : Soare.

P1.3: Consecinţe:

Consecinţe Acţiuni Stări

11 ,a Organizare festival – instalare echipament Ploaie

21 ,a Organizare festival – instalare echipament Nori

31 ,a Organizare festival – instalare echipament Soare

12 ,a Anulare festival – neinstalare echipament Ploaie

22 ,a Anulare festival – neinstalare echipament Nori

32 ,a Anulare festival – neinstalare echipament Soare

P1.4: Costuri (UM = €):

Consecinţe Costuri Profit

11 ,a –30.000

21 ,a –10.000

31 ,a 20.000

12 ,a 2.000

22 ,a 2.000

32 ,a 2.000

Pasul 2. Definirea funcţiei de pierdere.

P2.1: Funcţia de pierdere:


ECONOMICE

56

Starea naturii

Acţiunea 1 2 3 jaL ,max

1a 30.000 10.000 –20.000 30.000

2a 2.000 2.000 2.000 2.000

Pasul 3. Regula de decizie minimax.

P3.1: S-a bordat tabelul funcţiei de pierdere cu o coloană care conţine maximul

valorilor funcţiei de pierdere din fiecare linie.

P3.2: Regula de decizie minimax:

0002.,maxmin jaL .

P3.3: Decizia minimax: Acţiunea 2a – Neinstalare echipament şi anulare festival.

Pasul 4. Definirea probabilităţilor iniţiale.

P4.1: Probabilităţile iniţiale sunt:

Starea naturii 1 2 3

Probabilităţi iniţiale 0,10 0,30 0,40

P4.2: Probabilităţile iniţiale verifică condiţiile de definire a probabilităţilor (valorile sunt

cuprinse între 0 şi 1, iar suma lor este egală cu 1).

Pasul 5. Regula de decizie Bayes.

P5.1: Pierderile medii pentru fiecare acţiune ja :

Starea naturii

Acţiunea 1 2

3 jaL

1a 3.000 3.000 –12.000 –6.000

2a 200 600 1.200 2.000

P5.2: Regula de decizie Bayes:

0006.min jaL .

P5.3: Decizia Bayes: Acţiunea 1a – Instalare echipament şi organizare festival.

B. DECIZIE CU EXPERIMENTARE

Pasul 6. Definirea experimentului.

P6.1: Spaţiul de eşantionare X , variabila aleatoare X, cu valorile:

1x – Prognoză ploaie;

2x – Prognoză nori;

3x – Prognoză soare.

P6.2: Probabilităţile condiţionate ca urmare a experimentului sunt date în tabelul


57

următor.

P6.3: Costul experimentului €5001.C (costul studiului de prognoză meteo).

iXi

x 1 2 3

1 7/10 2/10 1/10

2 2/10 6/10 2/10

3 1/10 2/10 7/10

Pasul 7. Procedura Bayes cu probabilităţi iniţiale.

P7.1: Regula de decizie xdn şi acţiunile:

X 1 2 3

nd 2a 2a 1a

Aceasta înseamnă că se va adopta acţiunea 2a , respectiv anularea festivalului,

dacă prognoza meteo indică ploaie sau nori şi acţiunea 1a , adică ţinerea

festivalului, dacă prognoza meteo indică timp însorit.

P7.2: Calculul riscului mediu:

x 1 2 3 C CdR jn ,

1,ndR 1.400 400 3.000 1.500 6.300

2,ndR 400 1.200 2.000 1.500 5.100

3,ndR 200 400 –14.000 1.500 –11.900

P7.3: Riscul mediu minim:

90011.,min ini

dR .

P7.4: Decizia Bayes (neoptimală): Acţiunea 1a – organizarea festivalului.

Pasul 8. Calculul probabilităţilor posterioare.

P8.1: Probabilităţile condiţionate posterioare şi distribuţia marginală:

k kpxkX

xX

x 1 2 3

1 0,07 0,06 0,06 0,19

2 0,02 0,18 0,12 0,32

3 0,01 0,06 0,42 0,49

P8.2: Distribuţia posterioară:

k kfxX


ECONOMICE

58

x 1 2 3

1 0,368 0,316 0,316

2 0,063 0,563 0,375

3 0,020 0,122 0,857

Pasul 9. Procedura Bayes cu probabilităţi posterioare.

P9.1: Riscul Bayes în funcţie de distribuţia posterioară:

x x = 1 x = 2 x = 3

CaB f 1 9.395 1.500 –13.806

CaB f 2 3.500 3.500 4.000

P9.2: Decizia privind acţiunile Bayes:

x Acţiunea Bayes Riscul Bayes Distribuţia

marginală

1 2a 3.500 0,19

2 1a 1.500 0,32

3 1a –13.806 0,49

Pasul 10. Valoarea experimentului.

P10.1: Pierderea medie cu informaţie perfectă disponibilă:

20011., k

kk kpaLIPM .

P10.2: Costul informaţiei perfecte:

2005.min IPMaLIPC j .

P10.3: Pierderea medie necondiţionată cu experimentare:

6205.~

k

Xjff kaBBk .

P10.4: Valoarea experimentului (fără costul acestuia):

0006.min~

exp jf aLBL .

P10.5: Riscul mediu ponderat (cu regula neoptimală):

9804.,~

k

kn kpCdRB .

P10.6: Economia ca urmare a aplicării procedurii Bayes optimale cu probabilităţi

posterioare, faţă de regula Bayes neoptimală:

640 BBL fopt

~~.


59

Pasul 11. Arborele de decizie.

P11.1: Arborele de decizie pentru problema festivalului este reprezentat în Figura 2.27.

În prima parte a acestui arbore de decizie este reprezentată decizia fără experimentare,

respectiv fără date meteo. Se observă că această decizie nu este acceptabilă (ramura este

barată). În a doua parte a arborelui de decizie, este reprezentată decizia cu

experimentare, respectiv decizia care are la bază informaţiile furnizate de studiul meteo.

P11.2: Valorile de risc calculate în cadrul algoritmului sunt reprezentate în nodurile de

incertitudine.

Pasul 12. Concluzii.

P12.1: Valorile funcţiilor de risc calculate conduc la concluzia că pentru problema

noastră, decizia optimală o constituie alegerea unei proceduri de decizie fără

experimentare şi a acţiunii de organizare a festivalului.

În condiţiile unei proceduri de decizie cu experimentare, regula de decizie Bayes

neoptimală a condus la aceeaşi acţiune de instalare echipament şi organizare a festivalului. De

asemenea, şi utilizarea procedurii Bayes cu probabilităţi posterioare duce la aceeaşi decizie

optimală. Analizând însă informaţiile furnizate de valoarea experimentului, rezultă că costul

studiului de prognoză meteo nu justifică opţiunea pentru o decizie cu experimentare.

Algoritmul prezentat aici pentru acest tip de probleme de decizie (respectiv pentru acele

probleme de decizie în care avem distribuţii de probabilitate discrete) are avantajul organizării

tabelare, ceea ce permite utilizarea rapidă a unor programe de calcul tabelar. Vom vedea în

Capitolul 4 că acest algoritm, cu unele completări, este aplicabil şi pentru situaţiile unor

probleme de decizie bazate pe distribuţii de probabilitate continue.


ECONOMICE

60

DECIZIE FĂRĂ EXPERIMENTARE3 0 . 0 0 0

- 6 . 0 0 0

1 0 . 0 0 0

- 6 . 0 0 0 - 2 0 . 0 0 0

2 . 0 0 0

2 . 0 0 0

N e i n s t a l a r e 2 . 0 0 0

2 . 0 0 0

- 6 . 0 0 0 9 . 3 9 5

3 . 5 0 0

1 . 5 0 0 3 . 5 0 0

1 . 5 0 0

- 7 . 1 2 0 1 . 5 0 0

3 . 5 0 0

- 1 3 . 8 0 6

- 1 3 . 8 0 6

4 . 0 0 0

D E C I Z I E C U E X P E R I M E N T A R E

Fără date m e t e o

Cu date

meteo

Instalare

a 1

a 2

1 (0,10)

2 (0,30)

3 (0,60)

x = 1 (0,190)

x = 2 (0,320)

a 1

a 2

x = 3 (0,490)

a 1

a 1

a 2

a 2

1 (0,10)

2 (0,30)

3 (0,60)

Figura 2.27 Arborele de decizie pentru problema festivalului

tema 2 modele de decizie aplicate în · pdf filetema 2: modele de decizie aplicate...

Documents