modele var si modele vecm
TRANSCRIPT
Modele VAR si modele VECM
4.1. Teste de nestationalitate (teste de tip "unit roots")
Exista doua tipuri de procese (serii) nestationare:
a) serii nestationare dar stationare relativ la o tendinta determinista TS ("time stationary"). Exemplu: o serie ce fluctueaza stationar in jurul unei tendinte deterministe liniare:
unde este un proces stationar;
b) serii nestationare generate de un proces pentru care polinomul autoregresiv din reprezentarea autoregresiva AR(p) are radacini unitare (are radacini unitate "unit root", sau pe cercul unitate). Spunem ca seria este stationara prin diferentiere DS ("differency stationary") sau ca aretendinta stochastica (seria "hoinareste"); seria are radacina unitate.
Exemplul tipic aici este mersul aleator . Polinomul in L asociat partii autoregresive din modelulul AR(p):
unde
il are pe unu ca si radacina. Multe serii din economie au un comportament de mers aleator, este nestationara
dar devine stationara. Daca este necesar a se diferentia seria de d ori pana devine stationara,
fiind stationara, polinomul autoreresiv il are pe 1 ca si radacina multipla de ordin d si spunem ca seria este integrata de ordin d, notand I(d).
Teste de tip Dickey-Fuller (ADF)
Testele dezvoltate in continuare sunt destinate detectarii nestationalitatii de tip DF, adica a detectarii radacinii unitate in reprezentarea procesului. Testele Dickey-Fuller sunt utile:
- pentru a testa daca o serie este stationara (relativ la medie sau relativ la o tendinta determinista);
- pentru a identifica natura tendintei seriei (seria poate avea tendinta determinista sau/si tendinta stochastica) respectiv pentru a determina ordinul de integrare.
Daca are o radacina unitate atunci in ecuatia de regresie:
ne asteptam ca sa fie aproape de 1, sau echivalent ne asteptam ca sa fie aproape de zero in regresia:
(V1)
(obtinuta scazand din ambii membri, in ecuatia anterioara). Pornind de la aceasta idee, initial testul Dickey-Fuller, (pentru detectarea unei radacini unitate) a fost dezvoltat pentru testarea ipotezei:
in modelul autoregresiv de ordinul unu:
unde erorile sunt presupuse independente si identic distribuite, cu medie 0 si varianta . Astfel, testul faciliteaza alegerea intre un proces de tip mers aleator (proces nestationar) si un proces autoregresiv de ordinul unu (proces stationar). Daca ipoteza nula este adevarata seria contine o radacina unitate, in caz contrar seria fiind stationara
de tip AR(1). Varianta corespunde unor procese explozive, ce nu-si gasesc aplicabilitate.
Ipoteza nula din testul Dickey-Fuller este o ipoteza privind semnificativitatea coeficientului termenului :
in ecuatia de regresie , unde . "Raportul Student" aferent
coeficientului , utilizat in mod obisnuit pentru testarea unei ipoteze relativ la un coeficient de regresie, nu urmeaza legea Student. Distributia asimptotica a acestei variabile a fost studiata de catre Dickey (1975) si Fuller (1976), iar mai recent MacKinnon (1991) obtine prin simulare valori critice mai precise. Pentru un nivel de semnificatie de 5% spre exemplu, valoarea critica rezultata este -1.95:
.
Mentionam ca valoarea critica, pentru acest nivel de semnificatie, este de -1.64 in cazul legii
normale , astfel ca utilizarea testului z sau t in testarea ipotezei conduce prea frecvent la respingerea ipotezei nule.
Distributia asimptotica a statisticii t de tip Student difera dupa cum se include sau nu o constanta in regresie. In cazul prezentei unei constante in forma autoregresiva:
testul privind semnificativitatea coeficientului se realizeaza in ecuatie
(V2)
Deasemenea o alta varianta interesanta a testului faciliteaza alegerea intre un process nestationar cu tendinta stochastica (proces integrat) si unul cu tendinta determinista. Aceasta se realizeaza prin testarea ipotezei de radacina unitate:
pentru un proces de tipul:
.
Testarea ipotezei anterioare este echivalenta si aici cu o ipoteza privind semnificativitatea coeficientului lui in ecuatia de regresie:
(V3)
Fuller (1976) a studiat comportamentul asimptotic al statisticii t si in acest caz obtinand, prin simulare, valorile critice corespunzatoare acestei variante a testului. Spre exemplu la un nivel de semnificatie de 5% valoarea critica obtinuta este de -3.41:
.
Acest test faciliteaza selectia intre doua procese nestationare de tipul:
, respectiv
, cu .
Procesul generat de prima ecuatie contine o radacina unitate ( , seria are tendinta stochastica. Cel de-al doilea
proces aleator, pentru care , nu are radacina unitate si este obtinut prin insumarea dintre o tendinta determinista liniara si un proces stationar de tip autoregresiv AR(1); seria este astfel stationara in jurul unei tendinte deterministe liniare.
Distributiile asimtotice anterioare sunt valabile in ipoteza in care este de tip zgomot alb. Altfel este necesara o abordare ce tine seama si de autocorelatiile reziduurilor din ecuatia de regresie in care se testeaza semnificativitatea
coeficientului lui .Un proces AR(1) cu erori autocorelate de ordin p-1 poate fi pus intr-o reprezentare AR(p) cu erori de tip zgomot alb. Se tine seama apoi de reprezentarea de tip Sims-Stock-Watson (1990) a unui model AR(p), scrisa utilizand diferentele de ordinul unu, din care se obtine forma generala a ecuatiei de regresie utilizate in forma generala a testului.
In forma generala, testul Dickey-Fuller imbunatatit ADF (Augmented Dickey-Fuller) se efectueaza relativ la
coeficientul termenului :
in ecuatia de regresie urmatoare:
.
Distributia asimptotica a raportului t asociat coeficientului este aceeasi cu cea din cazul AR(1), astfel ca se utilizeaza aceleasi valori critice. La aplicarea testului, peste selectat astfel incat reziduurile din ecuatia de regresie sa ramana necorelate. Au fost dezvoltate trei variante ale testului DF, aferente respectiv regresiilor:
(V1)
(V2)
(V3)
Distributiile asimtotice si deci valorile critice sunt specifice fiecarei variante. Valorile critice nu depind insa de numarul de intarzieri p.
Decizia asupra ipotezei nule, un anumit nivel de semnificatie:
tcalc < t*tab H0 se respinge seria nu are radacina unitate (este stationara relativ la medie in V1 si V2, sau stationara relativ la o tendinta determinista in varuianta V3)
tcalc > t*tab H0 se accepta seria are o radacina unitate (este nestationara, cu tendinta stochastica).
Testul ADF este de test de nestationalitate stochastica (daca H0 este adevarata, seria este nestationara de tip DF).
Alegerea intre cele trei variante ramane totusi o problema. O solutie logica pare a fi efectuarea testului in varianta generala (V3), dar includerea unor regresori cu coeficienti nesemnificativi reduce puterea testului; astfel, testul poate indica prezenta unei radacini unitate cand in realitate seria nu o contine. Principiul general consta in a alege o varianta conforma cu datele:
- daca seria prezinta o tendinta (determinista sau stochastica) se aplica varianta generala (V3);
- daca seria nu are o tendinta vizibila si are medie diferita de zero, se aplica varianta (V2) respectiv
- daca seria fluctueaza in jurul lui zero se aplica testul in varianta (V1).
Dupa aplicarea testului este indicat a se examina si semnificativitatea coeficientilor de regresie (din ecuatia de regresie aferenta testului aplicat) in principal atunci cand nu suntem siguri asupra variantei adecvate respectiv asupra valorii lui p. Daca se considera necesar, se poate aplica din nou testul cu o alta specificare pentru ecuatia de regresie. Pentru alegerea odinului p se poate utiliza de asemenea criteriile de informatie (AIC, SC,)
Daca ipoteza nula nu este respinsa atunci se aplica in continuare testul DF pentru detectarea radacinii unitate in diferentele de ordin unu. Pentru determinarea ordinului de integrare se aplica testul succesiv pentru datele initiale, diferentele de ordin unu si eventual doi; seriile din domeniul economic necesita de regula o singura diferentiere. Daca
pentru datele initiale H0 se accepta, iar pentru datele diferentiate ipoteza nula H0 se respinge Yt e nestationar
dar diferentele de ordin 1 sunt stationare Yt este integrata de ordin 1 sau Daca ipoteza nula H0 se
accepta atat pentru datele initiale Yt cat si pentru cele difererentiate dar se respenge pentru datele de doua ori
dioferentiate seria este integrata de ordinul doi sau
Tendinta determinista versus tendinta stochastica. O serie poate avea tendinta determinista sau/si tendinta stochastica; o serie ce are atat tendinta determinista cat si tendinta stochastica se comporta ca si o serie cu tendinta stochastica. Graficul de mai jos reda comparativ doua serii de timp nestationare cu si respectiv fara radacina unitate (prima serie are atat tendinta determinista cat si tendinta stochastica):
, unde , si
, unde
obtinute prin simulare. Pentru eroarea au fost generate 200 de valori aleatoare. In cazul seriei stationare relativ la o tendinta determinista valorile fluctueaza stationar in jurul tendintei, in timp ce seria cu radacina unitate se indeparteaza de la tendinta determinista iar amplitudinea fluctuatiilor creste sau descreste in timp.
Observatie. Varianta erorii in cazul seriei stationare relativ la tendinta determinista liniara ramane constanta in timp.
Diferentele de ordin unu pentru ambele tipuri de procese:
, ;
, , cu ,
sunt stationare:
, respectiv
.
Prin urmare, prin analiza seriilor diferentiate nu se poate face distinctie intre cele doua tipuri de nestationalitate. Exista o diferenta esentiala intre cele doua serii de timp:
- daca seria contine radacini unitate atunci socurile ( ) asupra seriei sunt permanente, deoarece (Johnston si DiNardo,
1994): . Daca o serie macroeconomica este de tip DS atunci impactul socurilor conjuncturale are un efect permanent asupra nivelului seriei. Originea nestationalitatii unui mers aleator consta in acumularea de socuri aleatoare,
deoarece: ;
- in cazul seriilor stationare relativ la tendinta influenta socurilor asupra urmatoarelor abateri de la tendinta determinista
se diminueaza in timp: .
Pentru a detectarea naturii tendintei unei serii nestationare se poate utiliza varianta V3 a testului ADF:
(V3)
H0 :
H1 :
Daca H0 se accepta seria are radacina unitate seria are tendinta stochastica. Daca H0 se respinge seria nu are radacina unitate, prin urmare nu are tendinta stochastica. Pentru a detecta prezenta unei tendintei deterministe se va
testa semnificativitatea coeficientului de regresie in ecuatia de regresie aferenta testului aplicat V3, utilizand testul Student clasic. De asemenea daca se estimeaza tendinta determinista iar reziduul este stationar atunci seria este stationara relativ la tendinta.
Existenta sau nu a unei radacini unitate intr-o serie nestationara determina natura tendintei. Cunoasterea naturii tendintei unei variabile nestationare este importanta in previziune respectiv in modelarea econometrica. Stationalitatea/nestationalitatea respectiv detectarea naturii nestationalitatii determina tipul de modelare si proprietatile asimtotice ale metodelor econometrice de estimare.
4.2. Serii cointegrate . Meto dologia Engle-Granger (cointegrare intr-o singura ecuatie)
Notiunea de cointegrare este strans legata de cea de "regresii false" cu serii de timp. Atunci cand se estimeaza regresii
cu serii de timp in economie deseori din R2 este mare (R 1) iar statistica Durbin-Watson este mica DW 0
(erorile sunt corelate). In general, R 1, DWcalc 0 si R2 > DWcalc poate fi un semnal ca regresia este falsa; dependenta este exagerata iar estimatorii sunt suspecti. Aceasta se intampla deoarece variabilele din economie sunt deseori nestationare si se comporta ca si un proces de tip mers aleator (au radacina unitate). Daca doua serii sunt I(1) atunci deseori se respinge ipoteza inexistentei unei relatii intre ele chiar cand aceasta un exista. Generand doua serii de tip mers aleator independente si estimand ecuatia de regresie dintre ele, Engle si ranger au observat ca ipoteza conform careia panta dreptei de regresie este nesemnificativa s-a respins in 76% din cazuri, utilizand testul t; au sugerat ca regresia sa fie estimata pentru seriile diferentiate.
Pentru a exista o relatie pe termen lung intre variabile, acestea trebuie sa fie cointegrate. Un test de cointegrare poate fi aplicat, pentru a se evita regresiile false. Un este indicat a se estima regresii cu serii de timp, exceptie atunci cand seriile sunt cointegrate. Engle si Granger (1987) au observat faptul ca o combinatie liniara a doua sau mai multe serii nestationare poate fi stationara.
Definitie (Engle and Granger, 1987). Daca doua serii sunt integrate de acelasi ordin I(d) si exista astfel
incat reziduul din regresie are un ordin mai mic de integrare I(d-b) atunci, conform definitiei Engle-Granger (1987), cele doua serii sunt cointegrate de ordin CI(d,b).
Astfel, daca sunt I(1) si atunci cele doua serii sunt cointegrate de ordin CI(1,1). In acest caz, pentru a estima relatia pe termen lung dintre variabile este suficient a se estima modelul de regresie
static , estimatorii MMP fiind consistenti atunci cand lungimea seriei este mare. Ne vor referi, in continuare, doar la acest caz.
Doua serii nestationare Y si X, integrate de ordinul 1, adica I(1), pentru care exista o combinatie liniara, notata
cu :
ce este stationara, I(0) se numesc se numesc serii cointegrate (de ordinul 1). Vectorul (1, ) se numeste vector
de cointegrare. Astfel diferenta ramane stabila in jurul unei medii fixe (media lui este zero). Daca
constanta este zero, relatia ce le mentine legate pe termen lung este una de proportionalitate . Variabilele
raman legate pe termen lung prin relatia de echilibru iar deviatiile de la aceasta au loc doar pe termen scurt; aceasta relatie de echilibru poate fi interpretata ca o relatie echilibru pe termen lung, "deranjata" doar de
socuri aleatoare ( ) cu efect pe termen scurt. Relatia se numeste relatie de cointegrare intre cele doua variabile. Relatia de echilibru pe termen lung este inteleasa in sensul de stabilitate a relatiei de dependenta.
Doua serii cointegrate au o tendinta stochastica comuna (tendinte de evolutie similare), adica "hoinaresc" impreuna (analogie in evolutie). Relatia de dependenta dintre ele este stabila.
Exemple. Posibile relatii de cointegrare sugerate de teoria economica, variabilele fiind de regula considerate in forma logaritmata:
- intre venit PIB si consum C. Raportul C/PIB este constant pe termen lung, astfel ln(C)-ln(PIB) este stationar iar ln(C) si ln(PIB) sunt cointegrate. In mod similar PIB si investitiile;
- cererea de moneda, preturi, venit
- intre cursul valutar, preturile domestice respectiv preturile din tara straina, cursul real avand comportament stationar (conform teoriei paritatii de cumparare);
- cusul diferitelor actiuni;
- rentabilitatea activelor si rata inflatiei, diferenta acestora adica rata reala a rentabilitatii, ce are comportament stationar;
- ratele dobanzii pentru diferite maturitati, diferenta fata de rata activului fara risc (rata pe termen scurt) reflectand prima de risc a investitorilor;
- logaritmul indicelui pretului actiunilor respectiv al dividendelor diferenta reprezentand logaritmul
randamentului .
- logaritmul indicelui preturilor respectiv al salariului , diferenta reprezentand logaritmul indicelui salariului real;
- cursurile actiunilor (de regula in forma logaritmata) etc.
Aceste posibile relatii de cointegrare trebuie confirmate si de datele empirice.
Abordari in teoria cointegrarii:
- abordari bazate pe o singura ecuatie, cea mai cunoscuta fiind metoda in doua etape propusa de Engle si Granger;
- abordarea multivariata de tip VAR respectiv VECM; in acest caz ne asteptam la existenta mai multor relatii de cointegrare. In cazul general dat fiind un grup de mai multe variabile nestationare suntem interesati daca acestea sunt cointegrate, si daca sunt, care este relatia de echilibru pe termen lung dintre ele. Pentru analiza cointegrarii intre mai multe procese nestationare, cu radacina unitate, se apeleaza la metodologia dezvoltata de Johansen si Juseliu (1990), implementata in softurile de statistica.
Metodologia Engle-Granger :
Etapa 1. Testarea existentei unei relatii de cointegrare intre doua variabile:
a) se testeaza daca ambele variabile sunt integrate de ordin 1, utilizand teste de tip unit root, precum testul ADF
b) se estimeaza regresia liniara prin MMP pentru a obtine o estimatie a relatiei (vectorului)
de cointegrare. Interesant este ca estimatorii obtinuti pentru si sunt superconsistenti (in acest caz, cand ambele variabile sunt I(1)), chiar daca erorile sunt corelate. Erorile standard nu sunt insa de incredere, astfel nu se pot realiza inferente privind modelul pe termen lung. Daca exista o relatie de cointegrare atunci MMP o va depista, iar daca nu
exista atunci regresia este falsa. Se extrag apoi estimatiile pentru reziduuri ;
c) se testeaza daca reziduurile sunt stationare. Daca ipoteza existentei radacinii unitate in seria reziduurilor este respinsa, atunci intre cele doua procese exista relatia de cointegrare. Daca reziduurile sunt stationare cele doua serii
sunt cointegrate, relatia de cointegrare fiind cea estimata iar relatia de echilibru pe termen lung
este .
Dupa estimarea coeficientilor de regresie si prin urmare a reziduurilor , se aplica testul ADF au un alt test de tip unit root pentru detectarea nestationalitatii reziduurilor (detectarea radacinii unitate). Valorile critice insa nu sunt cele clasice deoarece seria reziduurilor a rezultat prin estimare. Valorile adecvate testului ADF de cointegrare au fost obtinute de catre MacKinnon de asemenea prin simulare si pot fi gasite in Johnston si DiNardo (1994).
Exemple de valori critice pentru ADF pentru cointegrare,
T - lunginea seriei ADF (p=4)
50 -3,29
100 -3,17
200 -3,25
Daca tcalc < H0 se respinge sunt stationare Xt, Yt cointegrate (exista o relatie de dependenta stabila intre ele numita relatie de cointegrare.
De asemenea se poate utiliza testul Durbin-Watson pentru cointegrare (CRDW) propus de Bhargava si Sargan. Se
calculeaza statistica Durbin-Watson iar daca dcalc > Xt, Yt sunt cointegrate; valorile tabelate sunt: 0.386
pentru =5%, 0.322 pentru =1%. Observatie: d=2(1- ), fiind coeficientul de autocorelatie a reziduurilor de ordinul 1.
Etapa 2. Elaborarea unui model de tip ECM
Doua serii cu tendinte stochastice ce sunt cointegrate evolueaza impreuna in timp, acest echilibru pe termen lung fiind 'deranjat' doar de socuri aleatoare cu efect pe termen scurt. Daca exista, relatiile de echilibru pe termen lung dintre variabile este necesar a fi incoporate in modelul dinamic, destinat previziunii. Astfel, ne asiguram ca modelul va genera, atunci cand este utilizat in simulare, pentru variabilele cointegrate serii ce vor evolua impreuna. Daca se ignora existenta cointegrarii si se modeleaza diferentele de ordin intai ca si variabile stationare, atunci cele doua serii vor evolua independent, fiecare dupa tendinta sa stochastica, si prin urmare neconform cu datele istorice.
Relatia pe termen scurt dintre doua variabile cointegrate, cu relatia de cointegrare , poate fi descrisa printr-un model de corectie a erorilor ("error correction model"), forma simpla a acestuia fiind:
, sau
.
Reziduurile din ecuatia de cointegrare (ce surprind dezechilibrele pe termen lung) sunt luate in considerare in modelul dinamic, fiind introduse ca un factor. Astfel, modificarile variabilei Y pe termen scurt depind de
cele ale variabilei Xsi de abaterea lui Y de la valoarea sa de echilibru pe termen lung din perioada precedenta.
Dezechilibrul dintr-o perioada este corectat in perioada imediat urmatoare; spre exemplu un dezechilibru intre cerere si oferta din perioada anterioara determina o modificare a pretului (dezechilibrul a determinat o corectie a pretului
in perioada curenta). Coeficientul indica in ce proportie un dezechilibru aparut in evolutia celor doua variabile (abatere de la relatia de cointegrare), se regaseste intr-o corectie a variabilei Y in perioada imediat urmatoare.
Observam ca in acest model coeficientii de regresie sunt coeficienti ai unor variabile stationare, fiind aplicabile tehnicile clasice de estimare si validare.
Observatie. Forma ecuatiei ECM rezulta rearanjand modelul dinamic:
unde este zgomot alb. Rezulta forma ECM:
unde si . Cele doua ecuatii sunt echivalente, dar forma ECM are avantajul de a incorpora si dezechilibrele pe ermen lung, de la ecuatia de cointegrare (atunci cand variabilele sunt
cointegrate) iar coeficientul ofera informatii privind viteza de ajustare.
Ecuatia anterioara poate include si un termen determinist in t, respectiv alti termeni de tipul sau :
.
astfel incat termenul eroare sa fie de tip zgomot alb. Forma finala a modelului rezulta utilizand procedurile obisnuite de validare si estimare. Coeficientul masoara viteza de ajustare la dezechilibrele pe termen lung.
O alta modalitate de a detecta existenta unei relatii de cointegrare consta in testarea semnificativitatii coeficientului (cu alternativa mai mic decat zero) in modelul ECM; daca acesta este semnificativ atunci nu exista o relatie de cointegrare intre variabile.
Desi se estimeaza o relatie de echilibru pe termen lung intre doua variabile cointegrate, este important de considerat si relatia pe termen scurt dintre acestea, deoarece sistemul poate sa nu fie intotdeauna in echilibru.
Metodologia ne este aplicabila pentru studiul cointegrarii intre mai multe vriabile.
In concluzie, relativ la estimarea regresiei intre doua variabile relativ la care baza de date este formata din serii de timp sunt utile reperele urmatoare:
Daca variabilele sunt stationare sau stationare relativ la tendinta (determinista) modelul este specificat pentru variabilele observate. Forma generala a modelului dinamic adecvate in acest scop este:
.
- Termenul se include doar daca una din variabile este stationara relativ la tendinta. In acest caz testele clasice din regresie, bazate pe metoda c.m.mici patrate sunt asimptotic valide (daca numarul datelor e suficient de mare).
Daca variabilele sunt nestationare, stationare dupa o singura diferentiere si nu sunt cointegrate, atunci, regresia se va estima pentru variabilele diferentiate.Modelul dinamic are forma:
.
Daca variabilele sunt nestationare si cu radacina unitate, stationare dupa prima diferentiere si cointegrate, atunci regresia:
,
furnizeaza un estimator (super)consistent pentru relatia de cointegrare pe termen lung dintre variabile (Johnston si DiNardo, 1994). Relatia dintre variabile este modelata estimata utilizand un model de tip corectie a erorilor:
unde
Aceasta ecuatie incorporeaza atat dinamica pe termen scurt cat si cea pe termen lung.
4.3. Analiza cauzalitatii dintre variabile
Inainte de specificarea unui model actuarial pentru investitii este important de testat natura relatiilor existente intre variabile. Ne vom referi in continuare, pentru simplitatea expunerii, la doua variabile Y respectiv X.
In sensul abordarii propuse de Granger (1969) X este cauza pentru Y, sau X explica pe Y, daca X ajuta la predictia lui Y. Procedura presupune a se cuantifica cat din nivelul current al variabilei Y poate fi explicat prin valorile
sale istorice iar apoi a se vedea daca adaugand variabile de tipul variatia explicata creste.
Analiza cauzalitatii intre doua variabile presupune parcurgerea etapelor de mai jos.
1) Pentru a testa daca X este cauza pentru Y, in sens Granger, se estimeaza ecuatia de regresie:
, (u)
unde k este fixat astfel incat erorile sa fie zgomot alb. Relativ la aceasta ecuatie, ipoteza nula respectiv alternativa sunt:
, X nu este cauza pentru Y,
.
Testarea ipotezei precedente se realizeaza utilizand un test de tip Fisher-Snedecor construit astfel:
,
unde si reprezinta suma patratelor reziduurilor respectiv coeficientul de determinatie in ecuatia fara restrictii
(u) iar si sunt aceleasi elemente dar in ecuatia de regresie cu restrictii (r) ce include doar termenii de tip :
. (r)
Se respinge ipoteza nula daca valoarea calculata pentru statistica F este mai mare decat valoarea critica.
2) Analog, se testeaza daca Y este cauza pentru X pornind de la regresia:
, (u)
Ipoteza nula respectiv alternativa sunt:
, Y nu este cauza pentru X
.
Testul F are aceeasi forma:
,
si referindu-se la ecuatia de regresie cu restrictii (r):
. (r)
3) In urma aplicarii celor doua teste sunt posibile patru concluzii:
i) cauzalitate unidirectionala: X este cauza pentru Y (X Y) daca ipoteza nula se respinge la 1) si se accepta la 2);
ii) cauzalitate unidirectionala: Y este cauza pentru X (Y X) daca ipoteza nula se respinge la 2) si se accepta la 1);
iii) cauzalitate bidirectionala: X Y daca ipoteza nula se respinge atat la 1) cat si la 2).
iv) cele doua variabile sunt independente daca ipoteza nula se accepta la 1) si la 2).
4.4. Modele vector autoregresiv VAR
Reprezentarea autoregresiva AR(p) este extinsa pentru un vector de variabile dependente VAR(p). In scrierea matriciala, pentru doua variabile, un model VAR(1) are forma:
sau unde este vectorul variabilelor dependente (2x1), B vectorul termenilor liberi (2x1), A
matricea coeficientilor (2x2) iar vectorul erorilor (perturbatiilor). Prezentul variabilelor este dependent de propriul trecut.
Un sistem econometric cu ecuatii simultane poate fi pus in forma VAR. Aceste modele sunt destinate previziunii (avantaj: nu sunt necesare previziuni ale variabilelor, inafara sistemului) si se utilizeaza deasemenea pentru a analiza impactul unor perturbatii (socuri) aleatoare asupra variabilelor sistemului.
Fiecare variabila este exprimata functie de trecutul celorlalte variabile din sistem. Forma generala VAR(p) este redata prin ecuatia vectoriala:
unde este vectorul variabilelor dependente (kx1), (kxk) matrici ale coeficientilor iar este vectorul (kx1)
inovatiilor (erorilor); adica transpusa vectorului. Se presupune ca inovatiile sunt necorelate cu
trecutul acestora respectiv cu variabilele din partea dreapta a ecuatiei.
Pentru estimarea coeficientilor se utilizeaza metoda celor mai mici patrate pentru fiecare ecuatie in parte, fara a se pierde din eficienta.
Se utilizeaza atunci cand ne intereseaza interactiunea dintre variabile.
Se definesc si aici conditii de stabilitate, stationalitate a modelului. In operatorul intarziere modelul se scrie:
unde , prin fiind notata matricea unitate. Modelul VAR(p) este stabil daca radacinile ecuatiei
sunt inafara cercului unitate (au modulul mai mare decat unu). Un model stabil este stationar, mediile, variantele si autocovariantele fiind independente de timp.
Inainte de elaborarea unui model se recomanda eliminarea tendintei si a sezonalitatii din date, daca exista; o metoda alternativa consta in introducerea unui termen t in ecuatia vectoriala pentru a extrage tendinta determinista. Pentru validare se aplica teste specifice, similare cu cele din cazul unui model autoregresiv cu o singura ecuatie: erorile
trebuie sa fie necorelate, sa aiba aceeasi varianta (constanta in timp), iar pentru elaborarea de previziuni este necesara si normalitatea erorilor.
Testul Granger de cauzalitate, numit si test de exogeneitate slaba, ne indica daca o variabila endogena poate fi
tratata ca exogena. Intr-un model VAR cu 2 variabile, nu este cauza de tip Granger pentru daca toate matricile coeficientilor sunt triunghiulare, cu 0 deasupra diagonalei principale.
4.5. Cointegrare in sisteme de ecuatii. Metodologia Johansen
In general, abordarea Engle-Granger este adecvata doar pentru doua variabile. Daca avem n variabile si n-1 dintre ele nu sunt (slab) exogene, si/sau exista mai multe relatii de cointegrare intre variabile atunci abordarea prin intermediul unei singure ecuatii nu este adecvata (Harris and Sollis, 2003).
In modelele multivariata toate variabilele sunt abordate simultan, si se urmareste explicarea comportamentului unei variabile functie de trecutul sau si a celorlalte variabile.
Etapele metodologiei Johansen, destinata elaborarii modelelor dinamice, sunt:
1) testarea ordinului de integrare pentru fiecare variabila;
2) determinarea numarului
3) .
Pentru un vector (kx1) de k potentiale variabile endogene specificam un model autoregresiv VAR(p):
Atunci cand ecuatia
are radacini in interiorul cercului unitate atunci unele sau toate variabile din vectorul sunt nestationare I(1), iar intre ele pot exista relatii de cointegrare.
Definitie. Un vector de variabile integrate de acelasi ordin I(d) este cointegrat CI(d,b) cu vectorul de cointegrare
daca este integrat de ordin mai mic I(d-b). Astfel, exista anumite combinatii liniare ale variabilelor din vector ce sunt integrate de un ordin mai mic.
Observatie. Pentru un vector ce contine doua variabile integrate I(1) =( pentru care reziduul din
regresia este stationar I(0), vectorul de cointegrare este ; adica
reziduul este stationar.
Daca toate variabilele din vectorul =( sunt stationare I(0), atunci se aplica metodologia clasica VAR, pentru elaborarea acestui model. Daca cel putin una din variabile este nestationara I(1) atunci exista doua
posibilitati: (1) nu exista nici o relatie de echilibru (sau de cointegrare) intre elementele lui caz in care modelul costituie un sistem de regresii false, respectiv (2) exista una sau mai multe relatii de echilibru (sau de cointegrare) intre
elementele lui , cand se are in vedere reprezentarea VECM a modelui (aceasta fiind o reprezentare VAR cu restrictii).
Abordarea Johansen consta in identificarea a r combinatii liniare de cointegrare, printre cele k variabile integrate, si incorporarea lor intr-un model dinamic.
Cum pot fi identificate aceste relatii de cointegrare?
Daca sunt cointegrate atunci reprezentarea VAR nu este prea adecvata pentru analiza deoarece relatiile de cointegrare nu apar explicit. Relatiile de cointegrare devin vizibile in reprezentarea VECM, reprezentare echivalenta cu VAR, aceasta fiind:
unde iar .
Justificare. Consideram k=2.
Este mai convenabil sa apara pentru a putea evidentia eventual reziduul din perioada anterioara, astfel:
sau
unde iar .
Aceasta reprezentare echivalenta are mai multe avantaje (Juselius, 2003): se reduce efectul multicoliniaritatii,
informatiile pe termen lung sunt sintetizate in matricea , avem o interpretare mai intuitiva a coeficientilor (surprind efetul pe termen lng respectiv scurt), este o reprezentare adcvata atunci cand ne intereseaza modificarile fata de perioada anterioara (ex. in cazul ratei inflatiei).
b) Legatura intre rangul matricii si numarul relatiilor de cointegrare
Coeficientii contin informatii despre ajustarea pe termen scurt, iar pentru a identifica eventuale relatii de echilibru pe
termen lung intre elementele vectorului ne concentram asupra matricii . Rangul matricii indica numarul
relatiilor de cointegrare prezente intre cele k varibile din vectorul .
Cum sunt I(1) rezulta stationare, astfel rangul matricii, notat cu r, trebuie sa fie mai mic decat numarul
variabilelor r=rang( )<k (altfel in partea stanga avem o variabila nestationara iar in partea dreapta una nestationara);
daca spre exemplu atunci membrul stang al ecuatiilor este o variabila stationara iar in cel drept avem o
variabila nestationara plus variabile stationare ( respectiv reziduul). Astfel sau rang( )<k. Rangul
matricii este egal cu numarul de linii (sau coloane) liniar independente. Avem rang( )=k doar atunci cand toate variabilele sunt stationare; in acest caz nu se pune problema cointegrarii.
In cazul nestationalitatii de tip I(1), deoarece un proces nestationar nu poate fi egal cu unul stationar forma
VECM are sens doar atunci cand defineste combinatii liniare stationare, adica intre variabile exista relatii de cointegrare.
Atunci cand matricea (kxk) are rang redus acesta poate fi descompusa in doua matrici
(kxr) si (kxr) fiecare cu rangul r:
.
Astfel in ipoteza unor variabile I(1) reprezentarea VECM a unui vector cointegrat cu r relatii de cointegrare este:
sau
unde este stationar I(0) fiind vectorul rx1 relatiilor de cointegrare, (kxr) este matricea vectorilor de cointegrare (r vectori de cointegrare, fiecare coloana reprezentand coeficientii unui vector de cointegrare); acestia formeaza o baza in spatiul vectorilor de cointegrare, orice combinatie liniara a vectorilor din baza fiind de asemenea un vector de cointegrare. Avem in aceasta reprezentare un VAR(p-1) in care toate variabilele sunt stationare.
Matricea coeficientlor de ajustare din reprezinta viteza cu care se ajusteaza la dezechilibre in relatia de cointegrare.
Descomunerea nu este unica deoarece pentru orice matrice M(rxr) nesingulara
avem unde iar . Pentru a obtine valori unice sunt necesare anumite restrictii, precum normalizarea (se impart toti coeficientii vectorului de cointegrare la unul dintre ei) sau restrictii sugerate de teoria economica.
Prin urmare, avem urmatoarele cazuri:
1) r=rang( )=k, caz in care sunt stationare si se va elabora un model VAR pentru variabilele
observate , utilizand inferentele standard;
2) cand exista r combinatii liniare a variabilelor ce sunt stationare prin urmare r relatii de
cointegrare, fiind cointegrate. Reprezentarea VECM este valida, toate variabilele ce intervin fiind
stationare. Reprezentarea VAR in este consistenta dar ineficienta, iar reprezentarea VAR pentru diferente este gresita (Cochran, 2005);
3) r=0 cand nu exista combinatii liniare stationare si se va elabora un model VAR pentru diferente (acestea fiind stationare).
c) Testarea numarului relatiilor de cointegrare si estimarea acestora
Johansen (1988) a obtinut estimatii pentru (kxr) si (kxr) utilizand pocedura cunoscuta ca si regresia rangului
redus. Estimatorii de maxima verosimilitate ML pentru sunt obtinuti ca si vectori proprii corespunzatori celor mai mari r valori proprii.
Testele sunt bazate pe estimarea reprezentarii VECM:
si se definesc utilizand cele mai mari valori proprii ale matricii . In scopul stabilirii numarului relatiilor de cointegrare
sunt estimate valorile proprii (sau radacinile caracteristice) ale matricii : . Aceste valori proprii
sunt deasemenea egale cu patratul corelatiei canonice intre si corectata de diferentele , astfel ca iau valori intre 0 si 1. Numarul valorilor proprii semnificativ diferite de zero indica numarul relatiilor de cointegrare. Rangul
matricii este egal cu numarul valorilor proprii diferite de zero.
Urmatoarele doua teste, de tip LR("likelihood ratio"), sunt utilizate pentru determinarea numarului r de valori proprii semnificativ diferite de zero, adica a numarului relatiilor de cointegrare:
1. testul sau statistica "trace"
Se testeaza succesiv, pentru r=0,1, ,k-1 urmatoarele ipoteze:
cel mult r relatii de cointegrare (rangul matricii este cel mult r)
pana la primul r pentru care ipoteza nula se accepta. Cand ipoteza nula se accepta valoarea statisticii LR este
aproape de zero, adica ultimele k- valori proprii sunt nesemnificative . Ipoteza nula se respinge atunci cand valoarea calculata este mai mare decat cea critica.
2. testul "maximum eigenvalue"
sau
Ipoteza nula respectiv alternativa sunt:
r relatii de cointegrare (rangul matricii este cel mult r)
r+1 relatii de cointegrare
pentru r=0,1, ,k-1.
Valorile critice sunt determinate de mai multi autori, printre care Johansen and Juselius (1990), MacKinnon-Haug-Michelis (1999). Valorile critice difera dupa cum se seriile au constanta si/sau tendinta determinista respectiv ecuatiile de cointegrare contin constanta si/sau tendinta determinista. Forma generala a modelului:
poate include si tendinte deterministe, de tip t, prin vectorul variabilelor deterministe .
Pentru selectia numarului de intarzieri, in analizele de tip VECM sau VAR, se pot utilize criteriile AIC (Akaike Information Criterion), SIC (Schwarz Information Criterion), sau HQ (Hannan-Quinn Information Criterion). Se alege aceea valoare pentru p ce minimezeaza valoarea acestor functii, in modelul VAR.
Acesta abordarea faciliteaza testarea unor restrictii, utilizand teste de tip LR distribuite dupa legea , restrictii eventual sugerate de teoria economica, asupra elementelor matricii vectorilor de cointegrare sau a matricii coeficientlor
de ajustare ; regasim aici si testele de exogeneitate (slaba sau tare).
Modelul dinamic VECM poate fi utilizat pentru generarea de previziuni respectiv pentru a analiza impactul unor perturbatii (socuri) aleatoare asupra variabilelor sistemului.
Bibliografie
1. Bresson G., Pirotte A., Econometrie des series temporalles, Presses Universitaires de France, 1995.
2. Buiga A., Dragos, C, Lazar D., Parpucea I., Statistica descriptiva, Editura Mediamira, 2004.
3. Florea I., Parpucea I., Buiga A., Lazar D., Statistica inferentiala, Presa Universitara Clujeana, 2000.
4. Florea, I. Econometrie, Editura Universitatii din Oradea, 2004.
5. Harris R., Sollis R., Applied time series modeling and forecasting, John Wiley & Sons, 2003.
6. Makridakis S., Wheelwright S.C., Hyndman R.J., Forecasting. Methods and Applications, John Wiley & Sons Inc., 1998
7. Melard G., Methodes de prevision a court terme, Universite de Bruxelles, 1990.
8. Mills, T.C., The econometric modelling of financial time series, Cambridge University Press, 1999.
9. Pecican, E.S., Econometria pentru . economisti, Editura Economica, 2004.
10. Pecican E.S., Econometrie, Ed. ALL, Bucuresti, 1994.
11. Tertisco M., Stoica P., Popescu Th., Modelarea si predictia seriilor de timp, Ed. Academiei, Bucuresti, 1985.