3/30/2016

1

T

Tu dttu

Tm

0

)(1

(3.77)

unde T este durata observării sistemului.

În mod asemănător se pot introduce estimatorii pentru funcţiile de

corelaţie :

TTuy

TTyy

TTuu

dttytuT

R

dttytyT

R

dttutuT

R

0

0

0

)()(1

)(

)()(1

)(

)()(1

)(

(3.78)

Aceşti estimatori sunt variabile aleatoare depinzând de eşantion, iar

calităţile lor depind de durata T a eşantionului.

Valorile medii ale funcţiilor de corelaţie se calculează cu relaţiile :

)()(1

)]()([1

)]([

)()(1

)]()([1

)]([

00

00

uy

T

uy

TTuy

uu

T

uu

TTuu

RdtRT

dttytuET

RE

RdtRT

dttutuET

RE

(3.79)

Rezultă că estimatorii funcţiilor de corelaţie au valorile

medii egale cu valorile adevărate ale acestor funcţii, deci sunt

estimatori nedeviaţi.

Totuşi, în calculul funcţiilor de corelaţie se produce o

eroare datorită trunchierii datelor la un interval de lungime

finită. În realitate datele de intrare şi de ieşire sunt discretizate,

adică pentru o perioadă de eşantionare Te=1:

T

T

y(N)]... y(2))1([

u(N)] ... u(2) )1([

yy

uu

k

k

Erorile introduse de discretizare sunt suficient de mici dacă

intervalul de eşantionare este ales corespunzător, conform

teoremei lui Shannon

cec

c

e ffT

T 2 ; 2

(3.80)

unde c este pulsaţia cea mai mare conţinută în spectrul

mărimii eşantionate.

3/30/2016

2

Timpul de întârziere maxim max se alege după criteriile:

- max > ts (timpul de stabilizare) pentru ca funcţia de corelaţie

să prindă toate valorile funcţiei pondere.

min

min

max

2T

max10T

unde min este cea mai mică pulsaţie din spectrul mărimii

eşantionate.

Calculul efectiv al estimatorilor funcţiilor de corelatie se

realizează prin discretizarea integralelor care şi definesc.

Considerând T = NTe , t=iTe , = kTe, rezultă (pentru Te =1) :

(3.81)

(3.82)

N

i

Tuy

N

i

Tuu

kiyiuN

kR

kiuiuN

kR

0

0

2,...... 1, 0,=k );()(1

1)(

2,...... 1, 0,=k );()(1

1)(

(3.83)

Deoarece nu dispunem decât de N date, sumele trebuie

restrânse astfel încât, pentru Te=1, rezultă:

kN

i

Tuy

kN

i

Tuu

kiyiukN

kR

kiuiukN

kR

0

0

2,...... 1, 0,=k );()(1

1)(

2,...... 1, 0,=k );()(1

1)(

(3.84)

Pentru semnalele pseudoaleatoare binare, funcţia de

autocorelaţie se prezintă ca o mărime periodică, sub forma

unor impulsuri care apar la intervalul NTe , iar între

acestea valoarea sa nu este nulă. Pentru o perioadă NTe

această funcţie se exprimă prin relaţia

N

NkT

N

NakTR ee

Nuu

4

1)(

2

1)( 2

(3.85)

Această expresie conţine doi termeni: primul corespunde

funcţiei impuls (aproximează funcţia impuls), al doilea

termen este constant pe întreaga perioadă.

3/30/2016

3

Pe o perioadă NTe funcţia de intercorelaţie între intrare şi

ieşire va fi

N

ieee

ee

Tuy

N

i

N

ieeeee

N

ieuueee

Tuy

iThN

NTakTh

N

NTakTR

iThN

NTaTikiTh

N

NTa

TikRiThTkTR

0

22

0 0

22

0

)(4

1)(

2

)1()(

)(4

1)()(

2

1

)()()(

Pentru valori mari ale întârzierii , )h(kTkT ee tinde la zeroşi din (3.86) rezultă

(3.86)

N

ie

Nuyee kTRiTh

N

NTah

0

2 )()(4

1 (3.87)

Ţinând seama de (3.87) din (3.86) se poate determina

funcţia pondere cu relaţia

])([1

21)(

2 hkTRN

N

TakTh e

Tuy

e

e

(3.88)

Se pune in evidenta ca h este eroarea datorita valorii constante

a functiei de autocorelatie egală cu N

Na

4

12 pe intreaga perioada. .

În MATLAB, [87], pentru analiza de corelaţie şi estimarea

răspunsului la impuls se utilizează funcţia cra. Se notează cu z

datele intrare-ieşire , incluse într-un fişier iddata sau într-o

matrice cu 2 coloane z=[y u]. Funcţia cra se poate apela sub

formele:

),,,(],,[

)(

plotnfazcraCLRir

zcrair

(3.89)

Cu prima variantă se obţine răspunsul la impuls estimat. A doua

variantă permite accesul la : – numărul de perioade ale întârzierii

pentru care sunt calculate funcţiile de corelaţie ( valoarea implicită este

=20); nfa – ordinul filtrului de albire (valoarea implicită este nfa=10);

pentru nfa =0 (nu se produce preaalbirea) se obţine funcţia de

covarianţă a datelor originale;

plot poate lua valorile: plot=0 nu reprezintă grafic răspunsul; plot=1

(valoare implicită) reprezintă grafic răspunsul la impuls ir ; plot=2

3/30/2016

4

reprezintă grafic toate componentele lui R. Pe acest grafic este reprezentat

răspunsul pentru un impuls de intrare normalizat u(t)=1/Te, pentru 0<t<Te ,

unde Te este perioada de eşantionare a datelor. R conţine informaţii despre

funcţiile de corelaţie: R(:,1) conţine indicii întârzierii; R(:,2) conţine funcţia de

covarianţă a lui y, R(:,3) conţine funcţia de covarianţă a lui u, R(:,4) conţine

funcţia de intercorelaţie între u şi y. CL este 99% , nivel semnificativ pentru

răspunsul la impuls.

Exemplul 3.2 Se consideră sistemul definit prin vectorii coeficienţilor A,B,C

>>A=[1 -1.2 0.6]

>>B=[0 1 0.5]

>>C=[1 -0.8 0.4]

Se determină modelul THETA asociat acestui sistem

>>th0=poly2th(A,B,C).

Se consideră semnalul de intrare u de forma unui semnal pseudoaleator

binar şi un semnal perturbator e de forma e=0.2*u:

>>u= sign(randn(400,1));

>>e=0.2*randn(400,1);

Se determină răspunsul sistemului y prin simulare numerică şi se formează

matricea z de date intrare-iesire:

>>y=idsim([u e],th0);

>>z=[y(1:200) u(1:200)].

Cu idplot se obţine reprezentarea grafică a datelor intrare-ieşire

>>idplot(z,1:100).

În figura 3.16 sunt reprezentate primele o sută de eşantioane intrare –ieşire.

Se alege întârzierea > 20 si ordinul filtrului de albire nfa > 10

>>=30;

>>nfa=15;

Se estimează răspunsul la impuls utilizând funcţia cra

>> [ir,R,CL]=cra(z,,nfa,2);

Cu una din următoarele instrucţiuni:

>>ir=cra(z);grid

>>plot(ir);grid

se obţine reprezentarea grafică a răspunsului la impuls estimat, în figura 3.17.

Pentru plot=2 în funcţia cra se reprezintă grafic funcţiile de covarianţă :

a ieşirii - Ryy, a intrării - Ruu şi funcţia de intercorelaţie intrare-ieşire –Ruy,

precum şi răspunsul la impuls estimat, ca în figura 3.18.

3/30/2016

5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-10

-5

0

5

10Analiza de corelatie - Marimea de iesire y

0 20 40 60 80 100

-1

-0.5

0

0.5

1

Marimea de intrare u

0 5 10 15 20 25 30-0.5

0

0.5

1

1.5

2Analiza de corelatie- Raspunsul la impuls estimat h(k)

k

h(k

)

Fig. 3.16

Fig. 3.17

-50 0 50-5

0

5

10Covarianta Ryy pentru y filtrat

-50 0 50-0.5

0

0.5

1Covarianta Ruu pentru u prealbit

-50 0 50-0.5

0

0.5

1Intercorelatia Ruy

-50 0 50-1

0

1

2Raspunsul la impuls estimat

Fig. 3.18

3.2.3. Identificarea sistemelor pe baza densitatilor spectrale

Prin definitie funcţiile densităţi spectrale sunt transformatele Fourier

ale funcţiilor de corelaţie:

0

0

)()()(

)()()(

uyj

uyuy

uuj

uuuu

RFdeRS

RFdeRS

(3.90)

3/30/2016

6

Pentru definirea unor estimatori ai densitatilor spectrale, prin trunchiere se

amplifica erorile, atât prin delimitarea intervalului de integrare cât si prin

inlocuirea integranzilor prin estimatorii lor. Estimatorii posibili ai

densitatilor spectrale se definesc prin:

deRSdeRS jT

Tuy

Tuy

jT

Tuu

Tuu

00

)()( ; )()( (3.91)

Tj

TTj

TTuu dtdetutu

Tdedttutu

TS

0 00 0

)()(1

)()(1

)( adică

Cu schimbarile de variabila t+t ; rezulta

)()(1

)()(1

)()(1

)(000 0

)(

jUjUT

deudeuT

ddeuuT

S

TT

Tj

Tj

T TjT

uu

T

jT deujU0

)()( in care Ca urmare se obţine

2)(

1)( jU

TS TT

uu (3.92)

Similar se arată că

)()(1

)( jYjUT

S TTuy

T

(3.93)

UT(jω) şi YT(jω) fiind transformatele Fourier trunchiate ale

semnalelor de intrare u(t) si respectiv de iesire y(t).

Pentru a micşora influenƫa trunchierii se folosesc aşa numitele

ferestre de ponderare [28], [77] pentru a obƫine estimatori

performanƫi. Dacă este un semnal oarecare şi ],0[ );( ttu

],0[ ),( TttuT este acelaşi semnal trunchiat, observat doar

pe intervalul [0, T] atunci

rest in0

]0[1 );()()(

,T tf(t)=tftutuT (3.94)

f(t) este o funcƫie fereastră temporală , după cum se

observă în figura 3.19

În baza teoremei de convoluƫie în complex rezultă că

3/30/2016

7

)}({)({)}({ tfFtuFtuF T (3.95)

Rezultă că spectrul uT(t) diferă de cel al semnalului real u(t)

datorită convoluƫiei cu spectrul ferestrei temporale f(t). Dacă

însă f(t) ar fi impulsul Dirac atunci

)}({)}({ tuFtuF T (3.96)

uT(t)

t

t

tT

u(t)

0

f(t)

0

0

T

T

Fig. 3.19

Înlocuind deci f(t) cu o altă funcƫie, a cărui spectru

aproximează suficient de bine funcƫia Dirac, obƫinem

un spectru netezit UT(jω), mai apropiat de spectrul real.

Câteva astfel de funcƫii sunt:

1. Fereastra triunghiulară, (t) este prezentată în

fig. 3.20. şi este definită de relaţia

T]0,[ t/1

-T,0][ t /1)(

Tt

Ttt (3.97)

-T T

1

0

)(t

Fig. 3.20

2. Fereastra Burlett, B(t). este prezentată în fig. 3.21 şi

este definită de relaţia

rest in ; 0

]0[ ; /1)(

,T tTttB (3.98)

3/30/2016

8

B(t)

T0 t

1

Fig. 3.21

3. Fereastra Hamming generalizată , Hm(t) este definită de relaţia

rest in ; 0

]22

[ ; 2

cos)1()(

T,

T-t

T

t

tHm

(3.99)

4. Fereastra Blackman , Bk(t) este definită de relaţia

rest in ; 0

]22

[ ; 4

cos08,02

cos5,042,0)(

T,

T- t

T

t

T

t

tBk

(3.100)

Precizia estimatorilor depinde şi de precizia de estimare a

transformatei Fourier din datele de intrare-ieşire care sunt de

obicei discretizate. Se consideră

Tee TNuTuutu )1( ........ )( )0()(

Prin definiţie

0

2)()2()( n

tfjnn udtetufjUjU n (3.101)

Prin discretizare, t=kTe , k=0, 1, 2, ….rezultă

0

2)()(

k

Tkfj

eennenekTuTfuu

(3.102)

unde e

enT

ff2

10 aceasta înseamnă că frecvenţa maximă

posibilă, în care se poate calcula transformata Fourier, corespunde perioadei 2Te , conform teoremei lui Shannon.

Se poate considera

2

N0,n cu

e

nNT

nf şi în acest caz

22

1

N n

TNT

nf

een

0

2

)()(k

kN

nj

eenn ekTuTfuu

(3.103)

3/30/2016

9

Efectul trunchierii constă în limitarea sumei, deci

1

0

2

)(N

k

kN

nj

eeTn ekTuTu

(3.104)

Efectul trunchierii poate fi micşorat utilizând o funcţie de

ponderare g(kTe) oarecare, astfel că

1

0

2

)()(N

k

kN

nj

eeeTn ekTukTgTu

(3.105)

În forma dată transformata Fourier discretă necesitã un volum

foarte mare de calcule pentru evaluarea ei în N puncte pe baza

a N date, fiind necesare N2/2 operaţii de multiplicare în

complex pentru fiecare punct. Transformata Fourier poate ficalculată numai prin operaţii de multiplicare cualgoritmul rapid (TFR).

)(lg2 NN

Transformarea Fourier rapidă (TFR) se bazează pe

descompunerea sumei care defineşte transformata

Fourier discretă în două componente, una pentru indici de

sumare pari şi alta pentru indici de sumare impari. Se

recomandă N=2r

in

N

nj

pn

N

i

iN

nj

ee

N

i

iN

nj

ee

N

k

kN

nj

een

ueueTiuT

eiTuTekTuTfu

212/

0

)12(2

12/

0

221

0

2

))12((

)2()()(

(3.106)

pnu

inu

pnu

inu

ipn

pin

ppn uuu , ,

în care corespunde sumei în care u(kTe) este luat după

celei în care indicii sunt impari. Relaţia poate

şi pot fi

şi

indicii pari şi

fi folositã recursiv, deoarece la rândul lor

descompuse în componente de lungime N/4,

încât se poate scrie

iinu

iin

N

nj

ipn

N

nj

pin

N

nj

ppnn

ueueueufu

42

32

22

)(

(3.107)

3/30/2016

10

Pentru estimarea răspunsului la frecvenţă al unui sistem pe baza

analizei spectrale, în MATLAB, [87] se utilizează funcţia spa.

Instrucţiunea spa estimează funcţia de transfer H şi spectrul

zgomotului Spz pentru un model liniar general de forma

)()()()( kvkuqHky (3.108)

unde Spz este spectrul zgomotului v(k). Se va nota cu Hs

estimaţia funcţiei de transfer H obţinută pe baza analizei

spectrale cu instrucţiunea spa.

Funcţia spa poate fi apelată sub formele

)(,,

);,,( );(

dataspaSptSpzH

wdataspaHdataspaH

s

ss

(3.109)

unde: data conţine datele intrare-ieşire ca un obiect iddata. Hs

este obţinut ca un obiect idfrd, fiind estimaţia lui Hs(ejω) la

frecvenţele specificate în vectorul linie w. Când nu este

specificat vectorul implicit w este

eTpiw /*128/]128:1[

datelor. este lungimea “ferestrei temporale” utilizată în

calculul densităţilor spectrale. Valoarea implicită a lui este

unde Te este perioada de eşantionare a

)10/)(,30min( datalength . Pentru valori mai mari ale lui se obţin

estimaţii mai bune ale densităţilor spectrale.

Când spa este apelat cu 2 sau 3 argumente de ieşire, ca în a treia

variantă din relaţia (3.109) se obţin respectiv 2 sau 3 modele de tip

idfrd : Hs conţine chiar răspunsul la frecvenţă estimat de la intrare la

ieşire; Spz conţine chiar datele spectrului zgomotului v(k); Spt

conţine matricea spectrelor pentru toate canalele intrare-ieşire din

data.

Funcţia spa utilizează următorul algoritm

1.Se calculează estimaţiile funcţiilor de covarianţă cu

instrucţiunea covf; aceasta poate fi apelată sub forma

R=covf(data, 1), unde 1 este întârzierea maximă minus 1,

pentru care sunt estimate funcţiile de covarianţă;

3/30/2016

11

2. Se calculează produsele dintre funcţiile de covarianţă şi o

“fereastră temporală” Hamming, de lungime ;

3. Se calculează transformatele Fourier ale acestor produse;

se obţin estimaţiile densităţilor spectrale de putere;

4. Se calculează estimaţiile funcţiei de transfer, spectrul

zgomotului

Pe baza algoritmului transformatei Fourier rapide (TFR) se

poate obţine estimaţia empirică a funcţiei de transfer H a unui

sistem de forma (3.108) cu instrucţiunea etfe.

Funcţia etfe se apelează în formele

),,(

);(

NdataetfeH

dataetfeH

e

e

(3.110)

unde data are aceeaşi semnificaţie ca în cazul funcţiei spa. N

este numărul punctelor de frecvenţă în care este calculată He ;

valoarea implicită a lui N este 128. Valoarea implicită a lui

este o mulţime vidă. Când este specificat se

produce o netezire a valorilor estimate. He este obţinut ca un

obiect idfrd fiind estimaţia lui He(ejω) la frecvenţele

specificate în vectorul linie w, definit ca în cazul funcţiei spa,

pentru N=128. Estimaţia empirică a funcţiei de transfer He

este calculată ca raportul dintre transformata Fourier a

mărimii de ieşire şi transformata Fourier a mărimii de

intrare, utilizând transformata Fourier rapidă. Pentru a obţine

netezirea valorilor estimate se utilizează o fereastră

temporală Hamming a cărui lungime este egală cu numărul

de eşantioane din data divizat prin plus 1.

Pentru reprezentarea grafică a funcţiilor de frecvenţă

estimate se utilizează funcţiile bode şi ffplot. Cele două funcţii au

exact aceeaşi sintaxă. Diferenţa constă în faptul că ffplot

reprezintă graficele cu o scală liniară a frecvenţei şi unitatea

de măsură a frecvenţei este [Hz] iar bode reprezintă graficele pe

o scară logaritmică a frecvenţei şi unitatea de măsură a

frecvenţei este [rad/s] .

3/30/2016

12

Se exemplifică modurile de apelare ale funcţiei bode:

bode(m);

[mod,faz,w]=bode(m);

[mod,faz,w,sdmod,sdfaz]=bode(m);

bode(m1,m2,m3,...,w);

bode(m1,m2,m3,...,’sd’,sd,’mode’,mode,’ap’,ap)

(3.111)

Funcţia bode calculează modulul, mod, şi faza, faz, ale răspunsului

la frecvenţă al modelelor m de tip idmodel sau idfrd. Când este

apelat fără argumentele din partea stângă bode reprezintă grafic pe

ecran o diagramă Bode. bode(m) reprezintă grafic răspunsul Bode

al oricărui model (idmodel, idfrd) continuu sau discret în timp,

monovariabil sau multivariabil. Când argumentul sd este specificat

printr-un număr mai mare ca zero, pe grafic se reprezintă şi

intervalele de încredere pentru funcţiile de frecvenţă, prin linii

întrerupte (de aceeaşi culoare ca şi a curbei estimate).

Acestea indică regiunile de încredere ce corespund la deviaţiile

standard sd . Pentru a reprezenta toate graficele pe

aceeaşi diagramă se utilizează argumentul mode=’same’.

bode(m1,m2, …, mn,w) reprezintă grafic răspunsurile pentru

modelele m1,…,mn pe o singură figură.

Răspunsul la frecvenţă a unui model dat m (de tip idmodel sau idfrd)

se poate calcula cu funcţia freqresp care se apelează sub formele

),(]cov,,[

);(

wmfreqrespHwH

mfreqrespH

(3.112)

Răspunsul la frecvenţă H este calculat pentru valorile

frecvenţelor exprimate în [rad/s] din vectorul linie w. covH

reprezintă covarianţa răspunsului H. Vectorul w poate fi

specificat sau se alege implicit astfel:

a) pentru un model discret în timp w va avea 128 de valori

ale frecvenţei, egal distanţate, între 0 (exclus) şi ;

b) pentru un model continuu în timp vectorul w se

defineşte cu relaţia

)128)),(/*10(10log),100/)(/(10(loglog TabspiTabspispacew ee

3/30/2016

13

unde Te este perioada de eşantionare a datelor din care se

estimează modelul.

Exemplul 3.3 Se consideră sistemul monovariabil discret definit prin

polinoamele A=[1 -1.2 0.6], B=[0 1 0.5]. Se asociază acestui sistem modelul m

>> m=idpoly([1 -1.2 0.6],[0 1 0.5])

Discrete-time IDPOLY model: A(q)y(t) = B(q)u(t) + e(t); % t=k

A(q) = 1 - 1.2 q^-1 + 0.6 q^-2

B(q) = q^-1 + 0.5 q^-2

Se generează un semnalul de intrare u de formă sinusoidală, cu perioada

50, de lungime egală cu 20 de perioade utilizând funcţiile idinput şi iddata

>> u=iddata([],idinput([50,1,20],'sine'))

>> u.Period=50

Data set with 1000 samples. Sampling interval: 1

Se determină prin simulare numerică răspunsul sistemului y şi se formează

matricea z de date intrare-iesire:>>y=sim(u,m)

Data set with 1000 samples. Sampling interval: 1

>>z=[y(1:500) u(1:500)];

Primele 100 de eşantioane din datele intrare-ieşire se reprezintă grafic în

fig. 3.22.

>>idplot(z,1:100);

Se estimează functia de transfer Hs a modelului utilizând funcţia spa

>>Hs=spa(z)

IDFRD model Hs.

Contains Frequency Response Data for 1 output and 1 input and

SpectrumData for 1 output at 128 frequency points, ranging from 0.024544

rad/s to 3.1416 rad/s. Output Channels: y1; Input Channels: u1

Estimated from data set z using spa.

Se determină estimaţia empirică a funcţiei de transfer He a modelului

cu funcţia etfe

>>He=etfe(z,30,128)

IDFRD model He.

Contains Frequency Response Data for 1 output and 1 input at 10

frequency points, ranging from 0.37699 rad/s to 2.6389 rad/s.

Output Channels: y1; Input Channels: u1

Estimated from data set z using ETFE.

Se reprezintă grafic diagramele Bode pentru răspunsurile la

frecvenţă estimate Hs şi He în fig. 3.23

3/30/2016

14

>>bode(Hs,He,’-’,)

Se determină cu funcţia spa spectrul zgomotului Spz şi matricea spectrelor Spt

>> [Hs,Spz,Spt]=spa(z,100)

10-2

10-1

100

101

10-1

100

101

102

Am

plit

ud

e

Diagramele Bode pentru functiile estimate Hs si He

10-2

10-1

100

101

-300

-200

-100

0

Ph

ase

(d

eg

ree

s)

Hs

He

HeHs

0 20 40 60 80 100-4

-2

0

2

4Analiza spectrala - marimea de iesire y

0 20 40 60 80 100

-1

-0.5

0

0.5

1

Marimea de intrare u

Fig. 3.22

Fig. 3.23

IDFRD model Spz. Contains SpectrumData for 1 output at 128 frequency points,

ranging from 0.024544 rad/s to 3.1416 rad/s. Output Channels: y1

Estimated from data set z using spa.

IDFRD model Spt. Contains SpectrumData for 2 output at 128 frequency points,

ranging from 0.024544 rad/s to 3.1416 rad/s.

Output Channels: y1, u1 Estimated from data set z using spa.

Spt= idfrd object: 4-D

Se reprezintă spectrul zgomotului Spz în fig.3.24.

>> bode(Spz)

10-2

10-1

100

101

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

Spectrul zgomotului pentru iesirea y

Fig. 3.24