srrs

Revista Romn de Statistic Trim. III/2012 - Supliment160

Aspecte privind funciile de regresie neliniare utilizate n analizele economice

Prof.univ.dr. Constantin ANGHELACHE

Universitatea Artifex/ASE - Bucureti Conf.univ.dr. Alexandru MANOLE

Conf.univ.dr. Elena BUGUDUI Conf. univ. dr. Anca Mihaela TEAU

Lect.univ.dr. Florin Paul Costel LILEA Universitatea Artifex - Bucureti

Abstract

In this paper, authors present some considerations regarding the use of non-linear regression functions in the statistical analysis of economical phenomenon. The article includes the description of necessary steps for the determination of model parameters and the interpretation of the factorial variables characteristics depending on the values of these parameters. The non-linear models presented are: exponential, hyperbolic, parabolic, polynomial and multiplicative.

Key words: linear regression, exponential model, hyperbolic model, polynomial model, multiplicative model, Laffer curve

Evoluia fenomenelor economice nu evolueaz ntotdeauna dup traiectorii liniare, putnd fi i neliniare.

Pentru a completa posibilitatea de analiz prin modelul de regresie, vom prezenta n acest studiu condiionrile teoretice n cazul unei legturi neliniare ntre variabilele considerate.

Analiza corelaiilor dintre variabilele economico-financiare se poate face i dup funcii neliniare, care prin transformri sunt liniarizate. Procedm astfel pentru prezentarea modelului neliniar ntr-o form echivalent simpl i uor de interpretat valorile parametrilor, sau pentru estimarea acestora.

Astfel, dac dependena dintre dou variabile este reprezentat prin modelul neliniar de regresie, i

xi

iay , prin logaritmare, obinem modelul de regresie liniar iii xaby lnlnlnln .

n estimarea parametrilor unui model neliniar de regresie procedm la estimarea parametrilor aplicnd metoda celor mai mici ptrate. Apoi, prin transformri, liniarizm funcia neliniar, i se estimeaz parametrii prin aplicarea metodei celor mai mici ptrate. n final, determinm parametrii prin metode numerice.

Revista Romn de Statistic Trim III/2012- Supliment 161

Din punct de vedere econometric modelele liniarizabile prin logaritmare/antilogaritmare, indiferent de forma lor, pot fi cu termen liber sau fr termen liber.

Modelul fr termen liber (log-log) este de forma dependenei date de relaia:

ibii axy

n acest model a R iar a R. n funcie de semnul parametrului b se stabilesc proprietile caracteristicii rezultative. Dac acest parametru este pozitiv, caracteristica rezultativ are o traiectorie cresctoare. Tendina descresctoare a caracteristicii rezultative este evideniat, prin modelul neliniar de regresie, de valoarea negativ a exponentului caracteristicii rezultative1.

Logaritmnd relaia de mai sus rezult modelul dublu logaritmic, respectiv: log yi = log a + blog xi + log i Utiliznd substituiile iiiii axxyky loglog,log , modelul

liniar de regresie devine: iii bxay

Estimm cei doi parametri ai modelului liniar de regresie i determinm parametrul a ce apare n modelul neliniar de regresie:

aa 10 Modelul cu termen liber (log-log) are n plus un termen liber i se prezint sub forma:

ibii axay 0

n cazul acestui model nu mai este posibil aplicarea procedeului anterior de liniarizare. Pentru estimarea parametrilor, parcurgem urmtoarele dou etape:

- dac se specific o valoare a termenului liber al modelului, atunci, utiliznd notaiile 0ayv ii i ii xu , se va obine modelul de regresie fr termen liber. Pentru acesta se estimeaz parametri, conform cazului modelului dublu logaritmic;

- estimm apoi cei trei parametri ai modelului prin metode numerice. Se poate recurge la transformarea modelului ntr-unul liniar folosind dezvoltarea seriei Taylor.

Prezentm cteva proprieti ale parametrilor ce sunt necesari pentru interpretarea parametrilor modelului i a caracteristicilor variabilei factoriale n raport cu valorile parametrilor. Interpretrile sunt realizate n contextul utilizrii modelului liniarizat, respectiv:

1 Anghelache, C. i alii (2012) Elemente de econometrie teoretic i aplicat, Editura Artifex, Bucureti


- dac b < 0, funcia log-log este descresctoare n raport cu caracteristica factorial. n acest caz 0lim iix xy ; n situaia modelului cu termen liber,

0lim axy iix ; - dac b > 0, funcia neliniar este cresctoare iar iix xylim ; - indiferent de semnul parametrului b, acesta este egal cu elasticitatea

variabilei rezultative calculat n raport cu variabila factorial, adic:

ii

xy

b

: ii

xy

; n aceast situaie, dac derivata de ordinul al doilea este

222

1 b

ii

i xbabxy

, rezult: 1,0b . Funcia analitic este cresctoare i concav; b = 1, modelul de regresie se reduce la modelul simplu liniar, fr termen liber; b > 1, funcia este cresctoare i convex.

n continuare vom prezenta cteva posibiliti de aducere la liniaritate a unor funcii de regresie specifice i aplicabile n analizele economico-financiare, cum sunt modelele: exponenial, hiperbolic, parabolic, polinomial i multiplicativ.

Modelul exponenial se utilizeaz n cazul n care norul de puncte rezultat n urma reprezentrii grafice a seriei de valori niii yx ,1, este orientat de-a lungul curbei unei funcii exponeniale.

Modelul exponenial, cu parametrii a i b, este definit prin relaia: Rbabay ixi i ,,

Estimarea parametrilor modelului exponenial se face prin transformri de date prin logaritmare, parcurgnd etapele:

- prin logaritmarea termenilor egalitii se obine modelul liniar de regresie:

iii xbay lnlnlnln Modelul devine liniar prin substituirea lui

aaxyu iiii ln,ln,ln i bb ; - Estimm parametrii modelului liniar de regresie, iii xbau

folosind metoda celor mai mici ptrate; obinem estimatorii a i b ; - se determin estimatorii parametrilor modelului de regresie neliniar:

aea i beb n final se calculeaz valorile ajustate pe baza modelului neliniar de

regresie estimat:


nibay ixi ,1, Modelul exponenial se utilizeaz cnd valorile variabilei rezultative cresc

n progresie aritmetic iar valorile variabilei factoriale cresc n progresie geometric.

Pentru a interpreta semnificaia parametrului b pornim de la relaia:

xy

yb

1

Se observ c parametrul b definete rata de cretere a caracteristicii rezultative n funcie de variabila factorial X2.

n modelul exponenial deosebim situaiile: - b este rata de cretere sau scdere a caracteristicii Y n raport cu X; - dac b > 1, evoluia caracteristicii Y este cresctoare; - cnd 1,0b , caracteristica Y nregistreaz o scdere n raport cu

variabila X; - valorile caracteristicii Y sunt numai pozitive i parametrul a satisface

proprietatea de pozitivitate. Modelul hiperbolic Modelul hiperbolic de regresie este folosit de regul pentru a studia

dependena dintre rata omajului i rata inflaiei. Curba de regresie construit n acest caz se numete curba Phillips.

Valoarea b/a este abscisa punctului n care graficul se intersecteaz cu axa Ox. Valoarea corespunde venitului minim ce permite achiziionarea produsului solicitat pentru consum. Modelul hiperbolic este dat de egalitatea:

i

ii x

bay

Interpretarea parametrilor modelului hiperbolic se face astfel: - calculm panta curbei dup relaia:

2// iii xbxy Funcia este descresctoare cnd parametrul b este pozitiv i cresctoare

dac b este negativ. - indiferent de semnul parametrului b, pentru modelul hiperbolic:

axy

x

lim

Estimarea celor doi parametri se face parcurgnd etapele:

2 Anghelache C., Mitru. C, Bugudui, E., Deatcu, C. (2010) Econometrie, Editura Artifex, Bucureti


- Parametrii a, b sunt estimai prin metoda celor mai mici ptrate. Din

condiia

21

i ii x

bay= minim se obine sistemul liniar de ecuaii:

n

i

n

i i

in

i ii

n

i

n

ii

i

xy

xb

xa

yx

ban

1 112

1 1

11

1

Rezolvm sistemul liniar de ecuaii avnd necunoscutele a i b .

- Calculm valorile ajustate ii x

bay

, i seria erorilor de ajustare.

Modelul parabolic Acest model se utilizeaz n cazul n care ritmul de evoluie caracteristic

urmeaz o funcie neliniar, avnd coeficientul pantei egal cu constanta a. Punctele niii yx ,1, sunt dispuse n jurul curbei descris de o parabol. De exemplu, curba Laffer este reprezentat sub form unei parabole i

definete relaia dintre veniturile guvernamentale i rata de impozitare. Precizm unele caracteristici ale curbei Laffer:

Veniturile statului = f (rata de impozitare); - Curba Laffer se descompune n dou regiuni: regiunea unui comportament

normal, cuprins ntre 0 i acel nivel al ratei de impozitare (t%) unde venitul statului este maxim; regiunea cuprins ntre t% i 100% numit i zon inadmisibil n care, la o cretere a ratei de impozitare, nu se realizeaz o cretere corespunztoare a veniturilor statului.

- ntre venitul din impozitul pe inflaie i rata inflaiei exist o dependen de tip parabolic. n acest caz, se constat c exist un nivel al inflaiei pn la care se apreciaz c statul i sporete profitul,dup care, o cretere a inflaiei conduce la o diminuare a veniturilor statului. Modelul parabolic de regresie, definit de parametrii a,b,cR este

iiii axbxcy 2 . Fiind o funcie neliniar n raport cu cei trei parametri, a, b i c, pentru

estimarea acestora se utilizeaz metoda celor mai mici ptrate. Se pune condiia ca

valoarea expresiei 22

iiii xaxbcy

s fie minim, rezultnd sistemul liniar de ecuaii:


n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

xyxaxbxc

xyxaxbxc

yxaxbcn

1

2

11

4

1

32

1 11

3

1

2

11

2

1

Din sistemul de ecuaii rezult seria valorilor ajustate niyi ,1, . Pentru a evalua calitatea modelului estimat se determin seria reziduurilor nii ,1 , unde iii yy .

Modelul polinomial Un model de regresie neliniar este reprezentat adesea prin intermediul

funciilor polinomiale de un anumit ordin. Dac funcia polinomial este de ordinul k, atunci acesta este determinat

prin relaia: t

ktkttt xxxy ...2210

unde variabilele reziduale satisfac ipotezele modelului clasic de regresie iar nttx ,1 sunt valorile caracteristicii pentru un numr de perioade. n acest caz, funcia este neliniar n raport cu variabilele factoriale dar este

liniar n raport cu parametrii modelului de regresie. Pentru estimarea corect a parametrilor funciei polinomiale trebuie s

existe o relaie de multicoliniaritate ntre variabilele X, X2, ...Xk. Alegerea gradului funciei polinomiale se face innd seama de:

- multicoliniaritatea este frecvent n situaia n care seria considerat conine un numr redus de date;

- se recomand folosirea unor funcii polinomiale ce au grad mai mic sau egal cu 4;

- notm cu 2kR raportul de determinare calculat pentru funcia

polinomial de ordinul k. Dac dimensiunea seriei de date este n, atunci 12

1 nR . Din cele trei condiii, rezult c puterea de predicie a funciei polinomiale

scade n raport cu numrul de parametri ce trebuie estimai. Ca exemplu putem considera definirea costului unui proces de producie

(Y) n funcie de cantitatea produciei realizate ntr-o anumit perioad (X): t

ktttt xxxy 32210

Considernd ultima funcie polinomial, definim patru tipuri de costuri: - costul mediu al produciei pentru o perioad (ct):


ttttt

tt xxxx

yc 23210 1

- costul fix mediu al produciei, care este reprezentat prin primul termen al relaiei prin care definim costul mediu:

t

tt x

ycf

- costul variabil mediu, reprezentat prin al doilea termen al relaiei:

2321 ttttt xxcfccv

- costul marginal al produciei:

2321 32 tt

t

tt xxdx

dycm

Acetia sunt indicatori importani n caracterizarea performanelor unui

proces de producie3. n estimarea parametrilor modelului vom recurge la transformrile de date Z1 = X, Z2 = X2 . . . Zk = Xk, rezultnd modelul liniar de regresie:

tktkttt zzzy ...22110 n cazul modelului de regresie de tip polinomial va trebui s determinm

gradul polinomului i s stabilim dac variabilele Z1, Z2, ...Zk sunt corelate n ansamblu sau dou cte dou i n ce msur multicoliniaritatea influeneaz mrimea dispersiei estimatorilor.

Modelele de regresie neliniare continue pot fi transformate prin seriile Taylor de ordinul k n modele polinomiale de ordinul k iar, apoi, prin substituiri de variabile, rezult modelul liniar. Considerm c modelul neliniar de regresie este definit prin funcia tt xxf 21 , , difereniabil de ordinul k ntr-un punct (a, b) iar ordinea de calculare a derivatelor pariale mixte pn la ordinul k nu este important, rezultnd: - polinomul Taylor de ordinul k ataat funciei f(x1, x2) n punctul (a, b) este definit prin relaia4:

,,!

1...,!2

1,!1

1,, 2121 bafdkbafdbafdbafxxP kk

unde ,,, 2

21

1

1 bafbxx

axx

bafd

ni ,1 este difereniala

de ordinul i pentru funcia 21, xxf n punctul (a,b); 3 Mitru, C., Anghelache, C. (coordonatori), Bugudui, E., Deatcu, C. (2009) Econometrie: studii teoretice i practice, Editura Artifex, Bucureti


- dac 21, xxRk reprezint restul de ordinul k al seriei Taylor, atunci: 212121 ,,, xxRxxPxxf kk - dac a = b = 0, din relaia anterioar se obine formula lui MacLaurin, care definete egalitatea: ,,,...,,0,0, 2112121221121 xxRxxPxxPxxPfxxf k unde 21 , xxPp este un polinom de gradul p x1 i x2.

Modelul multiplicativ Modelul multiplicativ, definit prin intermediul variabilelor exogene X1,

X2, . . . , Xk , este dat de relaia: tk exxaxy ktttt ...21 21

unde t este o variabil rezidual ce are o repartiie normal de medie zero i dispersie 2.

Modelul multiplicativ se liniarizeaz prin logaritmare. Se obine modelul echivalent:

tktkttt xxxy ln...lnlnlnln 2211 tktktt zzz ...22110 Caracteristica principal a acestui model este dat de relaia care exist

ntre coeficienii variabilelor exogene i elasticiti. Fiecare parametru este egal cu un coeficient de elasticitate, de forma:

t

jt

jt

tj y

xxye

Un model multiplu neliniar este funcia de producie Cobb-Douglas,

reprezentat printr-o funcie de dou variabile care include i variabila timp. Prima form de reprezentare sau funcia Cobb-Douglas fr progres tehnic.

n acest caz, variabila timp nu este inclus explicit n cadrul funciei. Funcia este definit prin relaia:

teLAKY tt

1 unde: Yt cuantific producia sau costul produciei; Kt capitalul fix; Lt fora de munc; A,,- parametrii reali; t - variabil rezidual.

A doua form de reprezentare sau funcia Cobb-Douglas cu progres tehnic, variabila timp fiind inclus explicit n cadrul funciei, definit prin relaia:

tmttt eLAKY

1


Cei doi parametri, i , ofer informaii importante asupra caracteristicilor procesului de producie, fiind parametrii elasticitii pariale n raport cu fiecare factor al procesului de producie.

Parametrul reprezint elasticitatea parial a produciei n raport cu capitalul fix:

t

t

t

t

t

tK K

YYK

KYe

lnln

Parametrul exprim elasticitatea parial a produciei n raport cu

capitalul uman:

t

t

t

t

t

tL L

YYL

LYe

lnln

Elasticitatea scalei este egal cu suma celor dou elasticiti: e = eL + eK = + Pentru funcia de producie Cobb-Douglas, elasticitatea scalei se calculeaz

numai n raport cu cei doi parametri. n cazul analizei economico-financiare, se poate utiliza, atunci cnd corelaia evolutiv dintre variabile este de o form neliniar, modalitatea teoretic expus, fr nici o dificultate.

Bibliografie selectiv Andrei, T., Bourbonais, R. (2008) Econometrie, Editura Economic,

Bucureti Anghelache, C. i alii (2012) Elemente de econometrie teoretic i aplicat,

Editura Artifex, Bucureti Anghelache, C. i alii (2011) Econometrie, Editura Artifex, Bucureti Anghelache C., Mitru. C, Bugudui, E., Deatcu, C. (2010) Econometrie,

Editura Artifex, Bucureti Mitru, C., Anghelache, C. (coordonatori), Bugudui, E., Deatcu, C. (2009)

Econometrie: studii teoretice i practice, Editura Artifex, Bucureti

srrs

Documents