8/18/2019 Siruri de Functii - Problema 15

1/2

Siruri de functii - Problema 15

December 8, 2015

a) Daca   f n   :   A   →   R, ∀n   ≥   1, unde   A   = [−a, a], cu   a >   0 si   f n(x) =1 +   x

n

n, ∀x ∈ A, n ≥ 1, atunci, se deduce usor ca (f n(x))n  converge punctual

la  f   : A → R, data de  f (x) = ex.

Observam ca pentru  n ≥ [a] + 1 avem 1 +   xn > 0, ∀x ∈ A.Notam  α =   1[a]+1  ≤ 1 si consideram functia  h  :  A × [0, α] → R, data prin:

h(x, y) =

  (1 + xy)

1

y − ex,   daca  y = 00,   daca  y = 0

  =

  e

1

yln(1+xy) − ex,   daca  y  = 0

0,   daca  y  = 0

Fie  x ∈ A fixat.Functia   g   : [0, α]   →   R   data prin   g(y) =   h(x, y) este continua pe [0, α] si

derivabila pe (0, α), deci, conform teoremei lui Lagrange, pentru orice  y  ∈ (0, α]exista  cy  ∈ (0, y) astfel incat:

g(y) − g(0) = (y − 0)g(cy) ⇔ g(y) = yg(cy).

In continuare,

g(y) = e1

yln(1+xy) ·

  1

y2

  xy

1 + xy − ln(1 + xy)

.

In primul rand, functia  y  → e1

yln(1+xy), adica  y  → (1 + xy)

1

y este marginita pe(0, α].

Intr-adevar, daca  x ∈ [−a, 0], atunci:

0 <  (1 + xy)1

y ≤ 11

y = 1, ∀y ∈ [0, α]

deoarece 0   <   1 + xy <   1 pe acest interval, iar, daca   x   ∈   (0, a], atunci, dininegalitatile:

ln(1 + xy) ≥ xy ≥   xy1 + xy

, ∀y ∈ [0, α]

avem ca   g(y)   ≤   0, ∀y   ∈   (0, α], adica   g   e descrescatoare pe acest interval, deunde rezulta ca:

g(y) ≤   limy0

g(y) = 0, ∀y ∈ (0, α]

adica, (1 + xy)1

y ≤ ex ≤ ea, ∀y ∈ (0, α].

1

8/18/2019 Siruri de Functii - Problema 15

2/2

Acum, descompunerea in serii Taylor ne da:

xy1 + xy

  = xy(1 − xy + O(y2)) = xy − x2y2 + O(y3)

si

ln(1 + xy) = xy − 1

2(xy)2 + O(y3),

de unde obtinem ca:

1

y2

  xy

1 + xy − ln(1 + xy)

 =

  1

y2

−

1

2x2y2 − O(y3)

 = −

1

2x2 + O(y).

deci, exista o constanta  mx ∈ (0, ∞) pentru care:

−

1

2 x2

−mxy ≤

  1

y2   xy

1 + xy  − ln(1 + xy)

≤ −

1

2 x2

+mxy ≤

  1

2 x2

+mxy, ∀y ∈ (0, α]

adica:   1y2

  xy

1 + xy − ln(1 + xy)

≤   12 x2 + mxysi cum   |x| ≤  a   si   y   ≤  α, rezulta ca exista o constanta strict pozitiva,   M x   (deexemplu, M x =

  12a

2 + mx · α), pentru care: 1y2

  xy

1 + xy − ln(1 + xy)

≤ M x, ∀y ∈ (0, α].Din cele de mai sus, deducem ca functia   g(y) este marginita, deci, exista unM 

x >  0 pentru care  |g(y)| ≤ M 

x, ∀y  ∈ (0, α]. Rezulta, mai departe, ca:

|g(y)| = |y · g(cy)| ≤ M x

· y, ∀y ∈ (0, α].

Cum  x  a fost ales arbitrar din  A, iar  A  este un interval compact, deducem caexista  M > 0 astfel incat:

|h(x, y)| ≤ M  · y, ∀x ∈ A, y  ∈ (0, α].

Deci, pentru orice  x ∈ A  si pentru orice  n ≥ [a] + 1, natural, avem:

1 +

 x

n

n≤

  M 

n  → 0,

cand  n → ∞, deci, sirul de functii dat este uniform convergent pe  A.

Deci, sirul de functii (f n(x))n este uniform convergent pe orice interval com-pact de forma [−x, x] cu  x > 0.

Cum, pentru orice  a < b,  ∃x > 0 astfel incat [a, b] ⊂ [−x, x], rezulta ca sirulde functii dat e uniform convergent pe orice interval compact de forma [a, b].

b) Consideram sirul  xn =  n, ∀n ≥ 1.Cum   |f n(xn) − f (xn)|   =   |2

n − en|   =   en

1 −2e

n  → ∞, cand   n   → ∞,

rezulta ca sirul de functii (f n(x))n≥1  nu este uniform convergent pe  R.

2