24. Spnrr DE NUMERE REALE

24.1. Notiuni de teorie

1) Definifii qi proprietifi generale

Fie girul de numere reale (a,, ),,,0 cdruia ii asociem un alt gir

(s" , l , , ro cu s0 = l l0. s l =uo+ut, . , J, =u0+ut +. . .+a,, . . . , numrt

Sirul sumelor paryiale.Definitie. Se numegte serre de termen general u,, perechea de

. / \ / \ - \ -$trun (u, , / ,>0. (s, , r , ,>0 $l senoleaza Lu,, sau uo+ut+u2+.. .+u,,+. . . .,>o

Scna Z,, se nume$te convergentd dacd girul sumelorn>0

parliale (s,),,0 est€ convergent gi in acest caz s=lims,, se nume$te

+suma serrct. notancu-se s = Lu, .

Seriile care ,rr, .nnt'"oorr',r"arente se numesc divergente. Dacd

+ , - r / \rrm s,, = a@ aluncl punem Lu, = +@ , lar daca $trul (s, J,,0 nu are

.---"="limite atunci spunem cd )t,, este oscilantd.

,>0

Pin studiul naturii unei scrii se intelege precizarcaconvergentei respectiv divergenlei serici.

Proprietdli generale ale seriilorI . Natura unei serii nu se schimbl daod addugdm sau suprimim

un numir finit dc tcrmcni.2. Natura unei serii nu se modificd daci schimbdm ordinea unui

numdr finit de termeni.^

\ - \ -1t. Lr,, 9t LLu,, cu A e K au aceeagt natura.,>0 ,>O

,^-\-s ls- /+. uaca Lu,,, Lv,, sunl convergente, atuncl Z(a,, + yr ) cstc

n>0 ,20 , n>0

conversentd.

1 1 1 1 Probleme de analizl matematici

358 24. Serii de numere reale

5. Dacd )r, este convergentd, atunci lim a, = 0.,>0

6. Dacd (u"),ro nu are limitd sau limz, + 0 atunci lr, esten50

divergentd.Observatie. Dacd lima, = 0 nu rezulti nici convergenla dar

.<. inlcl dlvergenta senet Lur, .

x>0

2) Criterii de convergen{i pentru serii cu termeni'pozitivi

lr, ".t. "u termeni pozitivi dacd u,, > 0 (V)n > 0.

n>0

24. s

liml

lir.saslpoz-itivi fu,,, ) v" astfel incAt

,>0 ,>0

t 1, ' t fV\r>O- ' , - ' , r \ ' l ' - -

s1 \-a) Dacd )_v, este convergentd, atuncl Lu" esten>0 r>0

convergentA;- \ - 'b) Dacd /u,, este divergentd, atunci ) v, este divergentd.

,>0 t>0

2. Criteriul rdddcinii

Fie I r-r, o serie cu termeni pozitivi, aqa incdt existd,>0

1. C rite riu I c ompar aliei

Fie seriile cu termeni

so

Ir<li ='

es

tr

!

a) Daci /<1,atunci I r.r,,h>0

b) Daci i >l,atunci lr ,'|>0

este convsrgentA.

este divergentd.

I 1 I I Probleme de analizd matematici

ei::

I ;:-

3. Criteriul raportului

Fie lu,, o serie cu termeni pozitivi aqa incit existdr>0

limu,*, = I .

a) Dac6/ < 1 , atunci ) rz,, este convergentd.

b) Dacd / > 1 , atunci )u,, este divergentd.,>0

4, Criteriul Rsabe-Dulnmel

Fie seria cu termeui pozitivi lu,, pentru care existix>0

/ \. . l u, , , ll rmnl - - I l= L.,'-,- \ ,,+r .)

a) Dacd L> 1 , atunci lz,, este convergentd.n>0

b) Dacd I<1,atunci )u,, este divergentd.

Obscrvafie. folosind criteriul Raabe-Duhamel se aratd cd

seria armonici gener aliz'atd

F I =t+ I

* I+. . . . p.R-L nP 2p 3tr,> l "

cste convergentA pentru p>1 9i divergenti pentru p31 (a se vedea

problema 29).

3) Serii alternate

O serie alternatuT este de forma

>(- | I " u, , = r , - u, + Lt \ - u t+. . . +(- l ) " - r u, , +. . .

tr>l

i r care u, , >0, (V)n>1.

br i

-i.::

e-i:

ri

I:.a--

Criteriul lui Leibniz.

incdt u, , >u,, . , , (V)n >1 9i

: - r , - .x ]

L\-L) tlr este convergenta'r>l

- \ - / . ,n I

hlc sena al temata z(- l ) . l , , a$a,2I

1im r.r,, = 0 . Atunci seria altematd

n:: 1 I 1 1 Probleme de analizd matematicd

4) Serii absolut convcrgente

Defini$e. Seria 14 se nume$te absolut convergentd dacd,> l

sena modulelor termenilor ) 1,r,, j "st" "o.rlrogentI.a2l

Teoremi. Orice serie absolut convergente. este convergentd.Reciproca acestei teoreme nu este insd adevdratlSeriile care sunt convergente, fErd si fi" ubroiut

"orru"rg".rt"se numesc serz jconvergente.

Observafie. Dacd seria l]lr,l ""rin"a

condifia de divergenli, r>l

din criteriul rdddcinii sau criteriul raportului, atunci seriadivergentS.

5) Calculul aproximativ al sumelor unor scrii

l1l I Probleme de anairErnat"matG

lz, estex>l

Menfiondm mai intdi cdteva notiuni privind erorile in calcululnumenc.Fie / :DcR+R o funct ie dat6 qi re D f ixat . Dacd in

calculul valorii f(x) se inlocuie;te -r prin FeD\{xJ, atunci sespune cd' x a fost aproximat prin F gi se scrie x=i. Numdrul r senume$te aproximantd sau valosre aproximatd a lui x . Oe cele maimulte ori i_este rational cu un numir linit de zecimale.Diferenla _r - i se

"u,-"gt: eroare in aproximarea -t = .r $ise noteazd e"=x-i iarfe,l=fx_;l s" nrrmegte

"roo re absolutd.

Dacd r este un numdr irational, adicd de forma x = a,arar...in care ce Z iar ftecare taproximants i a rui .r ," ojo""lT,,l"".ji,*Til'i l.;ti;ft;ide zecimale, adicd i = a,aiar...a,,. Analogdacd .r este ratlonal cu unnumdr mare de zecimale sau o infinitate de zecimale (dar in acest cazperiodice).

Pin trunchiere intr_o formuli de calcul se inlelege neglijareaunei pdrti finite sau infinite care compune fbrmula.Si presupunem cI, aplicdnd unul din criterii, s_a stabilitconvergenla seriei I r,t" , dar nu este posibil sd_i determin[m suma s.

^ ,>tIn acest caz trebuie sd ne multumim cu o valoare aproxrmativd asnmer s gt anume cu o sumi. parliald s, = ut + u2+... + 2,, oblinuti

24

pri

em

di!

cucq

s:

val

Err

s:

s:

ap

c2

trtirq

h

l ;

aii

I

3

E

i

I

o

-I

a

I

I

pr in t runchiere. NotAnd R^=u,*t+un*2+" ' avem s=s,, +R, $i

eroarea absolutd frcutd in aproximarea s = s,, este

l"-",,1=lt,lDe asemenea, o altl eroare in gdsirea sumei ' mai provine qi

din calculul aproximativ al termenilor ut,u1, .., Lt,, '

1. Calculul aproxinativ al sumelor seriilor alternate

Fies-, . , , I r , t ' l ,

) ( - i I t t t ,=t l t - I ' tz+u\-ut+ +(-1, uut" '

cu u,-"0, , , ,>0, u, ,>u,,*r , (V)n >1, adicd o ser ie al ternatd

convergentd in baza criteriului lui Leibniz Existd in acest caz

s = lims,, carc insd nu poate fi determinal pcnlru orice scric'

Eroarea absolutd in aproximarea s = s,, cste mai micd dccit

valoarea absolutd a primului termen neglijat, adic[

l " - ' , ,1<, , , ' ' (v)r > IEroarea este prin lipsd dacd n este par 9i prin adaos dacd n estc tmpar'

2, Aproximarea sumei seriilor cu termeni pozitivi

Dacd 14 este o seria cu temeni pozitivi convergentd qi,>0

s=l ims. =Ir . , , atunci s, , <s (V)r20 qi eroarea in aproximarea

- 's = s.,

"rt" " -

",, = 4, . Rezulte ci problema calculdrii valorii

aproxirnative a lui s revine la majorarea rcstului R, printr-o sene a

cdrei sumi o Putern calcula.in anumite situalii majorarea restului R, se poate face intr-o

manierd standard, utilizdnd criteriul rdddcinii respectiv criteriul

raportului.

a) Majorarea restului folosind criteriul ridicinii

Fie 1", o serie cu termeni pozitivi astfel incitr>0

lim tli =1 <1, adicd serie convergentd. Atunci oricate ar fi ke (/,1),

1 1 I 1 Problerne de analizd matematicd

362__ 24. Serii de numere reale

existd no e N astfel incdt d4 <k, (V)n>no.Dac6. n2no, atunci avem

R, = u,,u + u.*r + ...1 k,*t + k'*t + ...,adicd

*,=+,(v)n>no.

b) Majorarea restului folosind criteriul raportului

Fie lu,, o serie cu termeni pozitivi astfel incdt,>0

,l*; = t . I , adicd serie convergenti. Atunci oricare ar fi k e (t,l)

existd noeN astfel furci1 u! !L3l{ ,

(V)n|no, adicd u, ,* ,<ku,,

(Y)n > no. Deci pentru n ) no obtinem

R,, = u,*, + uh+2 + ...3 u,(k + k2 + ...)

R,<",* , (v)n>-no.

adica

1111 Probleme de anal6atematicE