serii probleme

7/25/2019 Serii Probleme

1/12

ANALIZMATEMATIC

Partea I. SERII NUMERICE. INTEGRALE IMPROPRII.

Serii Probleme

A. Sumarea unor serii de numere reale. Probleme cu indica ii de rezolvare.

Sse calculeze suma urmtoarelor serii, i sse specifice natura lor:

1.

1

)1(

1

nnn

.

Rspuns:S = Sn=n

limn

lim1n

n

= 1, finit seria este convergent.

2.

1

)!1(n

n

n.

Rspuns:S = Sn = 1, finit seria este convergent.nlim

3. 1 1

1

n nn

.

Rspuns: S= = a1+a2+a3+ +an =

n

1kka 2 - 1+ 3 - 2 + 4 - 3 +

+ 1 nn + nn 1 = 11 n , S = Sn = seria este divergent.n

lim

4.

1ln

)1ln(ln

nn

n.

Rspuns: an = lnn

n

ln

)1ln( = ln(ln(n+1)) ln(ln n), Sn = = ln(ln(n+1))

ln(ln 2), S = Sn = seria este divergent.

n

k

ka

1

nlim

5.

122 23

1sin

23

32sin

n nnnn

n.

Rspuns:Reamintim csin sin=2

1 [cos (-) cos (+)],

Deci an =21 [cos

22n cos 1

2n ], S

n = =

n

k

ka

121 (cos

22n cos 1),

S = Sn =n

lim2

1(cos 0 cos 1) =

2

1(1 cos 1), finit seria este convergent.

6.

122 384

22cos

384

1sin

n nn

n

nn.

Rspuns:Reamintim c sin cos =2

1[sin (+) sin (-)],

deci S = Sn =n

limn

lim2

1 (sin

3

1 sin

32

1

n) =

2

1sin

2

1, finit seria este

convergent.

11


2/12

7.

122 52436

26

52436

3

n nn

nch

nnsh .

Soluie: Reamintim csh ch =2

1[sh (+) sh (-)].

Deci S = Sn =nlim nlim 2

1

(sh 5

1

sh 56

1

n ) = 2

1

(sh 5

1

sh 0) = 2

1

sin 5

1

, finit seria este convergent.

8.

122 869

3

869

13

n nnsh

nn

nsh .

Rspuns: S =2

1(ch1 + ch

4

12), finit seria este convergent.

9. 1

2 3816

1

n nn.

Rspuns:an =3816

1

2 nn=

)14)(34(

1

nn=

34 n

A+

14 n

B=

)14)(34(

)34()14(

nn

nBnA,

an =4

1 (

34

1

n

14

1

n), Sn = =

n

k

ka

14

1 (1

14

1

n), S = Sn =

nlim

nlim

4

1 (1

14

1

n) =

4

1(1 0) =

4

1, finit seria este convergent.

10. 1

2 14

1

n n.

Rspuns: S = Sn =

n

lim

n

lim2

1 (1

12

1

n) =

2

1 (1 0) =

2

1, finit seria este

convergent.

B. Probleme propuse. Sumarea unor serii de numere reale.

1.

1

)2)(1(

1

nnn

. Rspuns: S =2

1; an =

1

1

n

2

1

n.

2.

1

11ln

nn

. Rspuns: S = ; an = ln(n+1).

3.

1)1ln(

lnln

n n

n. Rspuns: S=-; a

n= ln(ln(n+1)) ln(lnn).

4.

122 3816

2sin

3816

14sin

n nnnn

n.

Rspuns: S =2

1(1 cos

3

1); an =

2

1(cos

34

1

ncos

14

1

n).

5.

122 344

12cos

344

2sin

n nn

n

nn.

Rspuns: S =2

1(sin 1 + sin

3

1); an =

2

1(sin

12

1

nsin

32

1

n).

6.

1

22 344

12

344

2

n nn

nch

nnsh .

22


3/12


4/12

l =n

lim

n

n1

2

1

=n

lim2n

nlimpent ru = 1, avem l =

n 2nn

= 1 seria este

divergent.

4. 1

5 13n n

n .

Soluie: Comparm cu seria armonicgeneralizat 1

1

n n

. Deoarece

l =n

lim

n

n

n

113 5 =

nlim

13 5

2

n

n

1

pentru =2

9lim> 1, avem l =

n 13 5 n

n5

=3

1

seria este convergent.

5. 13 12

5

n n .


1

n n

. Deoarece

nlim

n

n

1

12

5

3 =n

lim

33

11

2

5

nn

n

pentru =3

1 lim< 1, avem l =n

33

1

3

1

12

5

nn

n

=2

l =5

seria este divergent.

6.

1

1

nn

nn

.


1

n n

. Deoarece

l =n

lim

n

n

nn

1

1=

nlim

)1( nnn

)1( nnn

nlim=

)11

1(2

3

n

n

npentru =

2

3

nlim

> 1,

avem l =

)111(2

3

2

3

nn

n=

2

1 seria este convergent.

7. 1

!

1

nn

.

Soluie: Aplicm criteriul raportului: l =n

limn

n

a

a 1 =n

lim

!

1

)!1(

1

n

n =

nlim

!

1

)1(!

1

n

nn

=n

lim1

1

n= 0 < 1 seria este convergent.

8. 1 !nn

n

, > 0.

4


5/12


limn

n

a

a 1 =n

lim

!

1

)1(!

n

nn

=n

lim1n

= 0

< 1 seria este convergent.

9. n

nn

n

1

!

, > 0.

Soluie: Aplicm criteriul raportului:

l =n

limna

na 1 lim=n n

n

n

1

=

nlim

n

n

11

=

e

. Avem 3 cazuri:

1.

Dace

< 1, adic< e, seria este convergent;

2. Dace

> 1, adic> e, seria este divergent;

3.

Dace

= 1, adic= e, seria este divergentpentru c termenul general

nu tinde la 0, adic: deoarecen

n

11 tinde cresctor la e,

an = n!n

n

e

i

3

2

n

nn

3

=n

n

e

11

> 1 an este ir cresctor i a1= e annu

tinde la 0.

10.1

1

2

1

nn

n.


limn

n

a

a 1 =2

1 n

lim1n

n =

2

1 < 1

seria este convergent.

11.nn

n

n 731

.


limn

n

a

a 1 = n

lim11 73

73

nn

nn

= n

lim

1

7

37

17

37

11

nn

nn

= , avem 3 cazuri:7

1. Dac7

< 1, adic< 7 seria este c onvergent;

2. Dac7

> 1, adic> 7 seria este divergent;

55


6/12

3. Dac7

= 1, adic = 7 seria este divergentpentru c termenul general

nu tinde la 0, adic: an=nn 73

7

i

nlim an=

n

nlim

nn 73

7

=

n

nlim

1

7

37

7

nn

n

=

1, a nnu tinde la 0 seria este divergent.

12.n

nn

n

2

1

1

.

Soluie: Aplicm criteriul rdcinii:

l =n

lim n

n

a1

=n

lim nn

n

n

2

1=

nlim

2n

1n=

2

1< 1 seria este convergent.

13.

n

n n

nn

3

3

1

2 .

Soluie: Aplicm criteriul rdcinii: l =n

lim n na =n

lim n

n

n

n

nn

23 =

nlim

3

3 2

n

nn = . Avem 3 cazuri:

1.

Dac< 1 seria este convergent;2. Dac> 1 seria este divergent;3. Dac= 1 seria este divergentpentru c termenul general nu tinde la 0,

adic: an =

n

n

nn

3

3 2

i nlim an = nlim

n

n

nn

3

3 2

= nlim

n

n

n

3

21 =

nlim

nn

n

n

n

n

n

33

2

2

3

21 =

lim n

2

2

n

n

e

= e0 = 1 an nu tinde la 0 seria este

divergent.

14 . nn

nn

n2

12

1

.


lim n na =n

lim n nn

n

n2

12

=

nlim

21

n

n

n= 2

nlim

n

n

11 = 2e > 1 seria este divergent.

15 . n

n

a1

, a > 0.

66


7/12

Soluie: Aplicm criteriul Raabe - Duhamel: l =n

lim

1

1n

n

a

an =

nlim

1

1n

n

a

an =

nlim

11nnan = lim n

n

11

1

nna

lim

=

n 1

1

1

11

1

nn

a

n

nn

lim1

nn= lna

n 1

nn

n 1a= .

1a,

,

pentru

pentru

Deci, pentru a < 1 (adic l >1) rezult c seria este convergent, pentru a > 1,

(adic l < 1) rezult c seria este divergent, iar pentru a = 1 avem seria cu

termeni constani 1n

1, care este divergent.

16. , a > 0.n

n

a ln

1Soluie: Aplicm criteriul Raabe - Duhamel: l =

nlim

1

1n

n

a

an =

nlim 11lnln nnan = lim

n

11

lnn

n

an =n

lim1

ln

1ln

11ln

n

n

n

n

a

n

n

n

=

lna limn 1ln nn

n = lna nlim

nn

1 limn

ln = lna n n

n

11

1

ln = lna lne-1

= -lna = lna-1

=

lna

1. Vom avea 3 cazuri:

1. Dacl na

1> 1 ln

a

1> lne a

e

1seria este divergent;

3.

Dac lna

1 = 1, adic a =

e

1, seria este divergent pentru c an =

nee n

n

111ln

ln

, iar seria armoniceste divergent.

17.

1!!2

!!12

nn

n.

Soluie: Aplicm criteriul Raabe - Duhamel: l =n

lim

1

1n

n

a

an =

nlim

112

22

n

nn =

nlim

12

1222

n

nnn =

nlim

12 nn

=2

1< 1 divergent.

18. 2

ln

1

nnn

.

77


8/12

Soluie: Aplicm criteriul integral al lui Cauchy. Calculm integrala improprie I

=

2lnxx

dx =

2lnt

dt = 2lnln t

= ln - ln(ln2) = , deci divergent seria este, de

asemenea, divergent. Pentru calculul integralei, am notat ln x = t, deci dtx

dx ,

iar dacx = 2 t = ln2, i dacx , t l n= .

19. 2

5ln

1

n nn.


=

25ln xx

dx =

2ln5t

dt = =

2ln

5dtt

2ln

4

4

t=

2ln4

1

4, deci convergent i seria este

convergent. Am notat ln x = t, deci dtx

dx , iar dacx = 2 t = ln2, i dacx

, t

ln

=

.

20. 2

3 2ln

1

n nn

.


=

23 2ln xx

dx =

2ln3 2t

dt=

2ln

3

2

dtt = 2ln33 t

= , deci divergent i seria este

divergent. Pentru calculul integralei am procedat ca la exerciiile precedente.

21.

1...21

!

n n

n

, 0.

Soluie: Aplicm criteriul lui Raabe Duhamel.

l =n

lim

1

1n

n

a

an =

nlim

1!1

1...21

...21

!

n

n

n

nn

=

nlim

11

1

n

nn

=n

lim1

11

n

nnn =

nlim

1

n

n= .

Avem 3 cazuri:

1. Dac< 1 rezultcseria este convergent;2. Dac1 rezultcseria este divergent;

3.

Dac= 1 vom avea

22

1

1

!1

!

nnnn

ncare este divergent.

22.

2

34...95113...852

nnn .


limn

n

a

a 1 =n

lim14

23

n

n =

4

3 < 1, rezult

cseria este convergent.

23. .

2n

nnarctg


lim n na =n

limnarctg

1 =

2< 1,

de unde rezultcseria este convergent.

88


9/12

24.

2

1ln2

2

n

n

nn

.

Soluie: Aplicm criteriul rdcinii L =

n

lim n na =

n

limn

n

nn

1ln2

2

=

n

lim n

nn

1ln

2

=n

lim

n

n

n

1ln

2 =

n

n n

11limln

2 = = 2 1, de unde rezult c seria este

divergent.

eln2

25.

252

1

n

n

n.

Soluie: Aplicm criteriul Leibniz pentru serii alternante. Avem

n

n

ann

55 2

1

2

1.

Verificm dac an+ 1 < an 55 21

12

1

nn , ceea ce este adevrat, iar

01

2

1limlim

5

n

an

nn

, de unde rezultcseria este convergent.

26.

2

1

1

1

n

n

n.


n

n

ann

1

1

1

1 1. Verificm dac an+ 1 < an

1

1

2

1

nn, ceea ce este

adevrat, iar 01

1

1

limlim na nnn , rezultnd astfel cseria este convergent.

27.

0 0

10

...

...

n n

n

kk

KkKk, kn> 0 i kn+, K > 0.

Soluie: Aplicm criteriul lui Kummer i avem: kn - n

1n

a

a kn+ 1 = kn -

n

n

nn

nn

kk

KkKk

kkk

KkKkKk

...

...

...

...

0

10

10

10

kn+1 = kn- 1n

n

k

Kkkn+ 1= K > 0 seria este convergent.

28.

1

2

!!2

!!12

nn

n, R .

Soluie: Aplicm criteriul lui Gauss:1n

n

a

a=

2

!!22

!!12

!!2

!!12

n

n

n

n

=2

12

22

n

n=1+

n

1 +

2n

1odeci

= 1 seria este divergent.

Sse verifice dacurmtoarele serii sunt absolut convergente:

29 .

2

131

n

n

n.

99


10/12


n

n

ann

3

1

3

1 1.

Verificm dac an+ 1 < an nn 3

1

33

1

. Aceasta este adevrat i

01

3

1limlim na nnn . Rezult c seria este convergent. Seria modulelor este

1

3

1

nn

= 1

1

3

1

nn

, care este divergent. Deci seria iniialeste semi convergent.

1.14.30.

23 52

1

n

n

n.


n

n

ann

52

1

52

1

33. Verificm dac an+ 1 < an

52

1

512

1

33

nn. Aceasta este

adevrat i 01

52

1limlim 3 n

an

nn , rezultnd c seria este convergent. Seria

modulelor este 1

3 52

1

n n i o comparm cu seria armonic generalizat

1

1

n n

.

Avem l =

n

n

n 152

1

lim3

=

52lim

3 n

n

n

, iar pentru = 3 > 1 gsim l =2

1 seria este

convergent. Deci seria ini ialeste absolut convergent.

D. Probleme propuse

Sse stabileascnatura seriilor:

1. 1

5 2

3

n n

n. Rspuns: convergent

2. 1n 3 4 1n3

n. Rspuns: divergent

3. 1n

5

3n2

n2. Rspuns: convergent

4. 1n

3 2n


5. 1n 7 2nn

n2. Rspuns: convergent

6.

1n2 1n4

2n5. Rspuns: divergent

7.

1n3n

n1n

. Rspuns: convergent

11000


11/12

8. . Rspuns: divergent1n

!n

9. , 0. Rspuns: convergentpentru 1 ,

divergentpentru 1 .

1n

1nn

10. 1n

n

!n

2. Rspuns: convergent

11. 1n

n

!n

n. Rspuns: divergent

12. 1n

nn

!n. Rspuns: convergent

13.

1n n

n

n

!n3. Rspuns: divergent

14.

1nn

n

n

!n2. Rspuns: convergent

15.

1n

n

2n3


16.

n

1n

n

n

1n3

. Rspuns: divergent

17.n

1n2

2

1n2n5

1n

. Rspuns: convergent

18.

1n !!1n2

!!n2. Rspuns: divergent

19. 1n

nn

n

72


20.

1n

n

n


21.

1n2

1n

1n5


22.

1n3

n

1n2


23. 1n

n5


2n 2 nlnn124. . Rspuns: convergent

11111


12/12

25.

2n nlnlnnlnn

1. Rspuns: divergent

2n

7 nlnn

126. . Rspuns: convergent

2nn

n

n2

nln27. . Rspuns: convergent

n5

2

. Rspuns: divergent

11222

28.

n

1n 1n

n

1nn

n

n

2n329. . Rspuns: convergent

2n nlnn1

30. .

Sse studieze dacurmtoarele serii sunt absolut convergente:

Rspuns: divergent

31 . 1n 1n

. Rspuns: semi convergent n1

1n

2

1n

1n3

132 . . Rspuns: absolut convergent

1n3

1n

2n

133. . Rspuns: semi convergent

1n

n

n5

134. . Rspuns: semi convergent

1n4

n

n2

135. . Rspuns: absolut convergenta

serii probleme

Documents