Serii FourierNotiunea de spatiu Hilbert. Spatiul[ ] ,2La b.Unspatiu Hilbert este un spatiu Banach in care norma este generata de un anumit produs scalar, anume, x xx .Spatiul functiilor de patrat integrabil pe intervalul[ ], a b, notat [ ]2, L a b se organizeza ca spatiu Hilbert prin introducerea unui produs scalar. In acest spatiu prin distanta dintre f si g intelegem numarul[ ]2 2( , ) ( ) ( )bad f g f g f t gt dt cunoscut si sub numele de abatere patratica medie a functiilor f si g pe intervalul [ ], a b iar convergenta (in norma) a unui sir de functii { nnfN din acest spatiu catre o functie f o numim convergenta in medie.Sisteme ortogonale si ortonormale de elemente in spatii HilbertFie X un spatiu Hilbert, I o multime de indecsi si { ii Ix Xo familie de elemente.Doua elemente , xy X se numesc ortogonale si se noteaza x y daca , 0 xy .Familia de elemente{ ii Ix Xse numeste sistem ortogonal dacai jx x pentrui j . Daca in plus ( )1ii I x familia se numeste sistem ortonormal.Familia de elemente { ii Ixdintr-un spatiu liniar real se numeste liniar independenta daca pentru orice sistem finit 1 2, ,...ni i ix x xare loc implicatia 1 21 2 1 2... 0... 0, ni i n i n ix x x + + + R.Fiind dat un sistem finit sau numarabil de elemente liniar independente se poate construi, pornind de la acesta un sistem ortogonal sau ortonormal finit, respectiv numarabil folosind procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt.Daca { ii Ix Xeste un sistem ortonormal, atunci numerele ,i ic xx se numesc coeficientii Fourier generalizati ai elementuluix X in raport cu sistemul ortonormal considerat.Fiind dat un sistem ortonormal { iifNde elemente din[ ]2, L a bsi o functie [ ]2, f L a b , seria 1( )k kkc f t se numeste seria Fourier generalizata a functiei f(t) in raport cu sistemul ortonormal considerat, unde { kkcNsunt coeficientii Fourier generalizati ai functiei f in raport cu acelasi sistem ortonormal.1Un sistem ortonormal { [ ]2,iif L a bN este inchis daca[ ]2( ) , f L a b are loc relatia: 21( )bkkac f t dt numita formula lui Parseval.Se poate demonstra ca seria Fourier generalizata atasata unei functii f din [ ]2, L a bin raport cu un sistem ortonormal inchis din[ ]2, L a b converge in medie catre f.Sistemul ortogonal si sistemul ortonormal al functiilor trigonometriceFie[ ]2, L a a T + cu +2,T R fixat. Fie sistemul de functii trigonometrice:1, cos , sin , cos 2 , sin 2 ,..., cos , sin ,... t t t t n t n t numit sistemul ortogonal al functiilor trigonometrice. Ortogonalitatea se poate verifica prin calcul direct.Prin normalizare se obtine sistemul ortonormal al functiilor trigonometrice:1 2 2 2 2 2 2, cos , sin , cos 2 , sin 2 ,..., cos , sin ,... t t t t n t n tT T T T T T T In raport cu acest sistem, pentru [ ]2, f L a a T + cu2, T periodica de perioada T , coeficientii sai Fourier generalizati sunt:01 1 , ( ) ;2 2 cos , ( ) cos ;a Taa Tkaa f f t dtT Ta k t f f t k tdtT T ++ 2 2sin , ( )sin .aTkab kt f ft ktdtT T + Seria Fourier generalizata a functiei f in raport cu sistemul ortonormal este:01 cos sink kka a k t b k t ]+ + ] si converge in medie catre f. Formula lui Parseval se rescrie astfel:22 2 2 201 ( )a Tk kaka a b f f t dt+ ]+ + ].Seria Fourier trigonometrica atasate unei functii periodiceSe numeste serie trigonometrica o serie de functii de forma:[ ]01cos sink kka a k t b k t + +2unde 0(numita pulsatie), , ,k ka a b sunt constante rele si t variabila reala.Sa observam ca, deoarece functiile cos , sin t t sunt periodice de perioada2 , functiile cos , sin ,k t k t k Nsunt periodice cu perioada2kTk . Din aceasta observatie rezulta imediat ca daca seria trigonometrica este convergenta intr-un punct0t, iar suma sa este 0( ) St atunci seria va fi convergenta si in punctele 0 1,t nT n + Zsi 0 0 1( ) ( ) St St nT +.De aici rezulta ca este suficient sa cunoastem natura seriei intr-un interval[ ]1, a a T + pentru a putea spune care este natura seriei pentru orice t real.Daca seria trigonometrica este convergenta pe[ ]1, a a T + atunci ea este convergenta pe intreaga axa reala iar suma seriei[ ]01( ) cos sink kkSt a a k t b k t + +este definita peRsi este o functie periodica de perioada12T .Fiind data o functie f se pun urmatoarele doua probleme:- daca f este suma unei serii trigonometrice sa se determine coeficientii seriei 0, , , k ka a b kN ;- in ce conditii o functie f poate fi dezvoltata in serie trigonometrica.Pentru a raspunde la prima chestiune sa observam intai ca daca f este o functie periodica de perioada T integrabila pe orice interval marginit atunci integrala fuctiei pe orice interval de lungime egala cu perioada este aceeasi.Se poate usor demonstra prin calcul direct urmatorul rezultat:Daca f este periodica de perioada T, integrabila pe orice interval marginit, daca [ ]01( ) cos sink kkf t a a k t b k t + + si daca seria trigonometrica din membrul drept al egalitatii precedente este uniform convergenta, atunci:01( ) 2( ) cos2( ) sina Taa Tkaa Tkaa f t dtTa f t k tdtTb f t k tdtT+++'(Formulele lui Euler si Fourier),cu a real arbitrar si2T .Constantele 0, , , k ka a b kN determinate prin formulele Euler si Fourier se numesc coeficientii Fourier ai functiei f(t) , iar seria trigonometrica cu acesti coeficienti se numeste seria Fourier atasata functiei f(t), chiar daca seria nu este convergenta in nici un punct sau chiar daca, convergenta fiind, suma sa nu este egala cu f(t)pentru nici o valoare a lui t.Pentru a raspunde la cea de-a doua problema pusa mai sus se introduce urmatoarea notiune:3O functie f(t)satisface conditiile lui Dirichlet pe un interval [ ], a b daca:(i) f(t)este marginita si are cel mult un numar finit de puncte de discontinuitate in[ ], a b;(ii) exista o partitie a intervalului[ ], a b intr-un numar finit de subintervale astfel incat pe fiecare subinterval f(t)este monotona.Rezultatul urmator cunoscut sub numele de teorema lui Dirichlet furnizeaza raspunsul complet la cea de-a doua chestiune:Daca functia f(t)periodica, de perioada T satisface conditiile lui Dirichlet pe un interval[ ], a a T +atunci seria sa Fourier converge pentru orice t. Suma S(t) a seriei Fourier este egala cu f(t)in toate punctele in care f(t)este continua, convergenta seriei fiind uniforma pe orice interval compact de continuitate. Intr-un punct c de discontinuitate, suma seriei S(c) este egala cu media aritmetica a celor doua limite laterale ale functiei f(t)in punctul c, adica( 0) ( 0)( )2f c f cSc + + .Dezvoltarea in serie Fourier a unei functii se reduce la calculul coeficientilor dati de formulele lui Euler si Fourier.Este de remarcat faptul ca din dezvoltarea in serie Fourier a unei functii, folosind concluziile teoremei lui Dirichlet se pot obtine sumele unor serii numerice prin inlocuirea variabilei t cu o valoare, fie din domeniul de continuitate al functiei, fie considerand un punct de discontinuitate.Este evidenta legatura dintre coeficientii Fourier in raport cu sistemul ortonormal al functiilor trigonometrice, 0 , ,k ka a b , si coeficientii Fourier in raport cu sistemul ortogonal al functiilor trigonometrice, 0, ,k ka a b (dati de formulele lui Euler si Fourier):0 0 ; ;2,2' k kk ka TaTa aTb bprin urmare formula lui Parseval se rescrie folosind coeficientii dati de formulele Euler si Fourier astfel:2 2 2 2011 1( )2a Tk kaka a b f t dtT+ ] + + ].Aceasta formula este de asemenea utila in determinarea sumelor unor serii numerice.Fie f(t)o functie periodica care satisface conditiile lui Dirichlet pe un interval de lungime perioada.Daca f(t)este functie para, atunci seria sa Fourier are forma:401coskka a k t +, numita serie Fourier de cosinusuri unde 200202( ) 4( ) cosTTka f t dtTa f t k tdtT'.Daca f(t)este impara, atunci seria sa Fourier devine de forma:1sinkkb k t , numita serie Fourier de sinusuri,unde 204( ) sinTkb f t k tdtT .Forma complexa a seriei FourierForma complexa a seriei Fourier se obtine scriind sinusul si cosinusul cu ajutorul formulelor lui Euler:cos2( )( )sin2ik t ik tik t ik te ek ti e ek t +' Astfel seria devine:012 2ik t ik t k k k kka ib a iba e e +]+ + ] ].Daca f(t) este periodica de perioada T integrabila pe[ ], a a T +, atunci seria de mai sus se poate pune si sub forma:in tnnc e,cu 1( )a Tinnac f e dT +.Prin urmare daca functia f(t) satisface conditiile lui Dirichlet si daca in fiecare punct de discontinuitate valoarea functiei este egala cu media aritmetica a limitelor sale laterale in acel punct, atunci:( )1( ) ( )a Tin tnaf t f e dT +.5