Serii trigonometrice

Vom studia clasa particulară de serii de funcţii ( )1

nf x∞

∑ cu

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0, cos sin , 1 , cu n n n n n

f x a f x a nx b nx n x a≥

= = + ≥ ∈ ⊂R R,

numite serii trigonometrice. În acest scop vom prezenta

unele proprietăţi ale funcţiilor reale periodice.

( ) 1n nb

≥⊂ R

Definiţia VI.6.

Fie f : A ⊂ R → R.

1] f se numeşte funcţie periodică, dacă există T ≠ 0 a. î. ∀x∈A să avem

x + T ∈A, x - T ∈A şi:

(VI.35) f (x + T ) = f (x), ∀x∈A şi T ≠ 0.

2] Numărul real T0 > 0 cel mai mic posibil cu proprietatea f (x +T0 ) = f (x),

∀x∈A se numeşte perioada principală a funcţiei f (perioadă

fundamentală a lui f).

Observaţii:

1) Dacă T0 > 0 este perioadă principală, avem: f (x + pT 0) = f (x), ∀x∈A şi

∀p∈Z.

2) Exemple:

1. f (x) = sin x, x∈R şi g (x) = cos x, x ∈R au perioada principală T0 = 2π.

2. f (x) = sin (ωx+ ϕ) şi g (x) = cos (ωx+ ϕ), cu ω, ϕ∈R, ω ≠ 0 şi x ∈R au

perioada principală T0 =2πω

.

3. f (x) = sin xlπ şi g (x) = cos x

lπ , cu l > 0,fixat şi x ∈R au perioada

principală T0 =2l.

478

3) Dacă f : A ⊂ R → R are perioada principală (fundamentală) T0 = 2π,

atunci 0

2T xf ⎛⎜ π⎝ ⎠

⎞⎟ are perioada principală T0 = 2π şi din acest motiv se vor

considera funcţii reale periodice cu T = 2π.

4) În problemele privind studiul funcţiilor trigonometrice vom considera

clasa funcţiilor reale f : R → R continue pe orice interval compact din R

şi cu limite laterale finite în orice punct (funcţii local integrabile

Riemann pe R) periodice cu T = 2π. Pentru această clasă de funcţii are

loc egalitatea:

(VI.36) ( ) ( )2

,a

a

f x dx f x dx a+ π π

−π

= ∀ ∈∫ ∫ R .

( )2

2 2

şi + = 0, - 2a a a

a a a

x tπ + π π π

−π −π + π −π + π

⎛ ⎞= + + = π⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

Exemple:

( ) ( ) ; [0, )sin cu şi

0; [ ,0)

xe xf x x x g x

x⎧ ∈ π

= ∈ = ⎨∈ −π⎩

R se pot prelungi prin

periodicitate pe R.

5) Dacă f este o funcţie periodică de perioadă T∈R* şi pentru ∀a∈R, avem

[a, a + T] ⊂ A (f : A⊆ R →R) atunci construim graficul lui f pe segmentul

[a, a+ T] şi prin periodicitate, cu o translaţie pe Ox a graficului de pe

intervalul [a, a+ T] se obţine graficul lui f pe A⊆ R.

6) Dacă f, g: A⊆ R → R sunt funcţii periodice de perioadă T ∈R* comună,

atunci funcţiile f + g, λf (λ ∈R*), f – g, fg, ( 0 pe Af gg

≠ ) sunt periodice

pe A cu aceeaşi perioadă T ≠ 0.

479

7) Dacă f : A → R este periodică de perioadă T∈R* şi integrabilă Riemann

pe orice compact [a, a+ T]⊂ A (f este local integrabilă pe A), atunci

∀b ≠0, f este integrabilă Riemann pe compactul [b, b+ T] ⊂ A şi are loc

egalitatea: (VI.37) ( ) ( )a T b T

a b

f x dx f x dx+ +

=∫ ∫ .

Definiţia VI.7.

Fie f : [ ],a b →R. Funcţia f se numeşte funcţie absolut integrabilă pe

[ ],a b , dacă şi numai dacă, |f | este integrabilă pe [ ],a b .

Observaţii:

1. Dacă există ( )b

a

f x dx∫ , atunci există şi ( )b

a

f x dx∫ .

2. Dacă există ( )b

a

f x dx∫ , nu există totdeauna şi ( )b

a

f x dx∫ . De exemplu,

pentru b = + ∞ afirmaţa este valabilă ( ( )a

f x dx∞

∫ convergentă nu implică

totdeauna ( )a

f x dx∞

∫ convergentă, în capitolul "Integrale improprii".)

Definiţia VI.8.

Se numeşte sistem trigonometric fundamental, sistemul de funcţii reale:

(VI.38) 1,cos ,sin ,cos 2 ,sin 2 ,..., cos ,sin ,...x x x x nx nxx n

⎧⎨

∈ ∈⎩*R, N

în care toate funcţiile sunt periodice de perioadă principală (fundamentală)

T0 ≤ 2π, T0 ≠ 0 cu excepţia funcţiei f(x) = 1, ∀x∈R.

Teorema VI.34.

Pentru pe compactul [-π, π] au loc egalităţile: ,n m∀ ∈Z

480

( )

2 2

2 2

(1) cos 0; sin 0, 1 .

; 1 ; 1(2) cos ; sin ;

2 ; 0 0; 0

1 cos 2 1 cos 2cos sin ;2 2

(3) cos cos 0; sin sin 0;

,1cos cos cos2

nxdx nxdx n

n nnxdx nxdx

n n

nx mxdx nx mxdx

n m n m

π π

−π −π

π π

−π −π

π π

−π −π

= = ≥

π ≥ π⎧ ⎧= =⎨ ⎨

≥π = =⎩ ⎩

+ α − α⎛ ⎞ ⎛α = α =⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

= =

∈ ≠

α β =

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫N,

( ) ( )

⎞⎟⎠

( ) ( )

( ) ( )

cos

,1sin sin cos cos2

(4) cos sin 0;

,1sin cos sin sin2

n m n m

nx mxdx

n m n m

π

−π

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟α +β + α −β⎡ ⎤⎣ ⎦⎝ ⎠

∈ ≠⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟α β = α −β − α +β⎡ ⎤⎣ ⎦⎝ ⎠

=

∈ ≠⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟α β = α +β + α −β⎡ ⎤⎣ ⎦⎝ ⎠

∫

N,

N,

Demonstraţie:

Formulele (1) – (4) se obţin prin calcul direct plecând de la

şi folosind formulele de calcul trigonometric

convenabile pentru fiecare caz în parte.

cos 0, sin 0tdt tdtπ π

−π −π

=∫ ∫ =

Observaţie: Funcţiile cos nx şi sinnx cu x∈R şi n∈N – {0, 1}

admit o perioadă principală (fundamentală) T0 <2π şi anume T0=2nπ (n ≥2)

2 2cos cos şi sin sin , 2n x nx n x nx x nn n

⎛ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + = ∀ ∈ ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠R, ⎞ .

481

Definiţia VI.9.

Fie ( ) ( )0 0n nn na b

≥ ≥⊂ R, R⊂ două şiruri numerice oarecare.

1] Se numeşte serie trigonometrică, seria de funcţii reale 0

nf∞

∑ cu

fn: R → R şi ( )

( )

00

1

2cos sinn n nn

af x

f x a nx b n≥

⎧ =⎪⎨⎪ = +⎩ x

deci:

(VI.39) ( )0

1cos sin

2 n nn

a a nx b nx∞

=

+ +∑

2. Şirul de sume parţiale al seriei trigonometrice este:

(VI.40) ( ) ( )0

1cos sin

2

n

n k kk

aS x a kx b kx=

= + +∑

care este un şir de polinoame trigonometrice.

Vom studia convergenţa seriei trigonometrice (VI.39) pe un

interval de lungime 2π, de exemplu [-π, π] şi prin periodicitate vom obţine

convergenţa pe R.

Teorema VI.35. (Teorema de convergenţă a seriei

trigonometrice).

Fie dată seria trigonometrică (VI.39).

(i) Dacă seria trigonometrică (VI.39) este punctual cnvergentă pe [-π, π]

(deci pe tot R) şi f : R → R este suma sa, atunci f este periodică de

perioadă T = 2π.

(ii) Seria trigonometrică (VI.39) este uniform şi absolut convergentă pe R,

dacă seria numerică cu termeni pozitivi (1

n na b∞

+∑ ) este convergentă.

482

(iii) Dacă seria trigonometrică (VI.39) este uniform convergentă pe [-π, π],

atunci f este continuă şi au loc relaţiile:

(VI.41)( ) ( )1 1cos ; sin ;

0 1

k ka f x kxdx b f x kx

k k

π π

−π −π

⎧ ⎧= =⎪ ⎪π π⎨ ⎨

⎪ ⎪≥ ≥⎩ ⎩

∫ ∫ dx.

Demonstraţie: (i) Avem: 0 00

1, cos

2 2

n

n k kk

a aS S a kx b=

= = + +∑ sin kx

şi seria 0

1cos sin

2 n na a nx b n

∞

+ +∑ x

)

este punctual convergentă pe [-π, π] cu

suma f . Cum Sn sunt funcţii periodice cu T = 2π, rezultă că f (x + 2π)=f(x),

∀x∈R şi f este periodică ( ) (( )lim 2 limnn nS x S x

→∞ →∞+ π = n de perioadă T = 2π.

(ii) Aplicând criteriul lui Weierstrass de la serii de funcţii, avem:

( ) cos sin , şi 1n n n n nf x a nx b nx a b x n= + ≤ + ∀ ∈R ≥ şi dacă:

(1

n na b∞

+∑ ) este convergentă ⇒ ( )0

1cos sin

2 n nk

a a nx b nx∞

=

+ +∑ este

uniform şi absolut convergentă pe R.

( ) [ ]

( )

0

1Daca cos sin este uniform convergenta pe - ,

2( )cos sin cu i sunt funcţii continue pe

n n

n n n

a a nx b nxiii

f x a nx b nx n x

∞⎧+ + π⎪

⎨⎪ = + ∈ ∈⎩

∑N ş R R

π

⇒ suma sa f este funcţie continuă şi periodică cu T = 2π, deci f este

continuă pe porţiuni pe orice compact din R de lungime 2π şi avem:

(VI.42) ( ) ( )0

1cos sin ,

2 n naf x a nx b nx x

∞

= + + ∀∑ R∈ .

Înmulţind (VI.42) cu funcţiile mărginite coskx şi respectiv sinkx,

convergenţa uniformă se păstrează pe [-π, π] şi obţinem:

483

( )( ) ( )

( ) ( )

0

1

0

1

cos cos cos cos sin cos2

*sin sin cos sin sin sin

2

n n

n n

af x kx kx a nx kx b nx kx

af x kx kx a nx kx b nx kx

∞

∞

⎧= + +⎪⎪

⎨⎪ = + +⎪⎩

∑

∑.

Integrând termen cu termen pe intervalul de uniformă convergenţă [-π, π]

din (*) obţinem:

( ) ( )0

1

00

1

cos sin2

2 cos sin2

n n

n n

af x dx dx a nx b nx dx

a a nxdx b nxdx a

π π π ∞

−π −π −π

π π∞

−π −π

⎧ ⎡ ⎤= + + =⎪ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎪⎨

⎛ ⎞⎪ = π+ + = π⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

∑∫ ∫ ∫

∑ ∫ ∫

( ) ( )0

1

1 (2) (4) , 1 0

cos cos cos cos sin cos2

cos cos sin cos

n n

n n n

k n

af x kxdx kxdx a nx kx b nx kx dx

a nx kxdx b nx kxdx a

π π π ∞

−π −π −π

π π∞

−π −π

π = ≥

⎧ ⎡ ⎤= + +⎪ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎪⎪⎪ ⎛ ⎞⎨ ⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟= + = π⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

∑∫ ∫ ∫

∑ ∫ ∫

=

( ) ( )0

1 (1)

0

1 1

0

sin sin cos sin sin sin2

cos cos sin cos

n n

n n n

k n

af x kxdx kxdx a nx kx b nx kx dx

a nx kxdx b nx kxdx b

π π π

π π π

π π

π π

π

π

∞

− − −

∞

− −= ≥

⎧ ⎡ ⎤= + +⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪

⎪⎪⎨ ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎪⎜ ⎟⎪= + =⎜ ⎟⎪⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

∑∫ ∫ ∫

∑ ∫ ∫

=

( ) ( ) ( )0

1 1cos sin1(VI.41') ; ;1 1

n na f x nxdx b f x nxdxa f x dx

n n

π ππ

−π −π−π

⎧ ⎧= =⎪ ⎪= π π⎨ ⎨π ⎪ ⎪≥ ≥⎩ ⎩

∫ ∫∫

484

şi s-au obţinut formulele pentru calculul lui an şi bn.

Serii Fourier. Aplicaţii.

Definiţia VI.10.

Fie f : R → R o funcţie integrabilă Riemann pe orice compact din R şi care

are limite laterale finite în orice punct, în plus f periodică cu perioada

principală (fundamentală) T = 2π.

1] Şirurile de numere reale ( ) ( )0,n nn

a b≥ 1n≥

date prin formulele (VI.41’) se

numesc coeficienţi Fourier ai funcţiei f.

2] Seria trigonometrică de forma (VI.42) în care an (n ≥ 0) şi bn (n ≥ 1) sunt

coeficienţii Fourier ai lui f se numeşte serie Fourier asociată funcţiei f şi

notăm:

(VI.43) ( ) ( )0

1cos sin

2 n naf x a nx b

∞

≅ + +∑ nx cu:

(VI.41’)( )

( )

1 cos , ( 0)

1 sin , ( 1)

n

n

a f x nxdx n

b f x nxdx n

π

−π

π

−π

⎧= ≥⎪ π⎪

⎨⎪ = ≥⎪ π⎩

∫

∫.

Observaţii:

1. În relaţia (VI.43) avem egalitate pentru ∀x∈R dacă s-a demonstrat că

seria Fourier asociată funcţiei generatoare f este convergentă (punctual,

uniform) şi are ca sumă chiar funcţia f.

2. Dacă f : [- a, a]→R este o funcţie local integrabilă (sau chiar continuă pe

porţiuni) şi are proprietatea:

f funcţie pară (graficul lui f simetric faţă de Oy) ⇒ ( ) ( )0

2a a

a

f x dx f x dx−

=∫ ∫

485

şi f funcţie impară (graficul lui f simetric faţă de O(0,0))⇒ . ( ) 0a

a

f x dx−

=∫

3. Dacă f este funcţie local integrabilă (sau continuă pe porţiuni şi cu limite

laterale finite în orice punct) şi periodică de perioadă T= 2π, în plus are

proprietatea:

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

0

0

2cos funcţie pară cos ;( 1) funcţie pară

sin funcţie impară 0;( 1)

cos funcţie impară 0;( 0) funcţie impară 2sin funcţie pară sin ;( 1);

k

k

k

k

f x kx a f x kxdx kf

f x kx b k

f x kx a kf

f x kx b f x kxdx k

π

π

⎧⇒ = ≥⎪ π⇒ ⎨

⎪ ⇒ = ≥⎩⎧ ⇒ = ≥

⇒ ⎨⇒ = ≥

π

∫

∫

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪

⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎩⎩

4. Legătura dintre funcţia f: R → R local integrabilă Riemann (sau

continuă pe orice compact din R cu limite laterale finite în orice punct) pe

R şi periodică cu T = 2π şi seria Fourier asociată exprimată în formula

(VI.43) este doar o "legătură de asociere". Seria Fourier asociată lui f

poate fi: divergentă, punctual convergentă cu suma f sau altă funcţie,

uniform convergentă.

5. Vom demonstra o teoremă de reprezentare a unor clase speciale de

funcţii reale ca sume de serii trigonometrice şi în particular, de serii

Fourier. ([40], pag. 443-456).

Definiţia VI.11.

Fie f, g : R → R local integrabile pe R (sau continue pe orice interval

compact din R şi cu limitele laterale finite în orice punct) periodice cu

perioada T = 2π. Se numeşte produsul de convoluţie al funcţiilor f şi g

sau convoluţia lui f cu g, notat f * g şi definit prin:

486

(VI.44) ( )( ) ( ) ( )f g x f t g x t dtπ

−π

∗ = −∫

Observaţie:

1. Se verifică prin calcul direct următoarele proprietăţi ale convoluţiei a

două funcţii:

(c1) f g g f∗ = ∗ (c2) ( ) ( ) ( )f g h f g f h∗ + = ∗ + ∗

pentru ∀f, g, h:R→R care satisfac condiţiile din definiţia VI.11.

Teorema VI.36.

Fie f : R → R (local integrabilă pe R) periodică cu perioada T = 2π,

continuă pe porţiuni pe orice compact din R şi cu limitele laterale

finite în orice punct şi Sn(x) suma parţială a seriei Fourier asociată lui f

(VI.43). Pentru ∀x∈R- 2πZ şi ∀n∈N, notăm nucleul lui Dirichlet:

(VI.45) ( )sin

2

2 sin2

n

xnxD x x

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠=π

şi atunci avem:

(VI.46) ( ) ( )( ) , 0n nS x f D x n= ∗ ∀ ≥ .

Demonstraţie: Pentru ∀ x∈R- 2πZ, prin inducţie după n, folosind

formulele de calcul din trigonometrie, se arată că are loc egalitatea:

(**) sin

21 2cos 2cos 2 ... 2cossin

2

xnxx x nx x

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝+ + + + = ⎠ şi atunci avem:

(VI.45') ( )

1

1 1 2cos22

n

nk

D x kx

x n=

⎧ ⎛ ⎞= +⎪ ⎜ ⎟π⎨ ⎝ ⎠

⎪∀ ∈ π ∀ ∈⎩

∑R - Z, N

.

487

Seria Fourier asociată lui f, (VI.43), are sumele parţiale:

( ) ( )( )

( )

( )[ ]

( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

VI.41'0

1

1

VI.45' VI.44

1

1cos sin2 2

1 cos cos sin sin

1 1 2 cos ( )

, 0, 2 , 0, 2

n

n k k

n

k

n

nk

n n n

aS x a kx b kx f t dt

f t kx kt kx kt dt

f t k x t dt f t D x t dt

f D x n x S x f D x n x

π

−π

π

= −π

π π

=−π −π

= + + = +π

+ + =π

⎡ ⎤= + − = − =⎢ ⎥π ⎣ ⎦= ∗ ∀ ≥ ∀ ∈ π ⇒ ≡ ∗ ∀ ≥ ∀ ∈ π

∑ ∫

∑ ∫

∑∫ ∫R - Z R - Z

Teorema VI.37 (Lema lui Riemann)

Fie f: [ ],a b →R o funcţie continuă pe porţiuni pe compactul [ ],a b , atunci

avem:

(VI.47) ( )

( )

lim cos 0

lim sin 0

b

ka

b

ka

f x kxdx

f x kxdx

→∞

→∞

⎧=⎪

⎪⎨⎪ =⎪⎩

∫

∫.

Demonstraţie: Presupunem că f: [ ],a b →R este o funcţie în scară

(în particular f este o funcţie simplă), deci există o divizare ∆∈D([ ],a b ) cu

∆ = {a = x0 < x1< ...< xn = b} a. î. f(x) = ci (constant), ∀x∈(xi – 1, xi) cu

i = 1, 2, ..., n. În această ipoteză, avem:

( )

( )

1

1

1

1 1

1

1 1

sin sincos cos

cos cossin sin

i

i

i

i

xb n ni i

i ii ia x

xb n ni i

i ii ia x

kx kxf x kxdx c kxdx ck

kx kxf x kxdx c kxdx ck

−

−

−

= =

−

= =

⎧ −= = −⎪

⎪⎨

−⎪ = =⎪⎩

∑ ∑∫ ∫

∑ ∑∫ ∫⇒

488

( )

( )

1

1

2cos

2sin

b n

iia

b n

iia

f x kxdx ck

f x kxdx ck

=

=

⎧≤⎪

⎪⎨⎪ ≤⎪⎩

∑∫

∑∫ şi prin trecerea la limită pentru k →∞ se obţin

relaţiile (VI.47). După teorema lui Cantor f: [ ],a b →R funcţie continuă pe

compactul [ ],a b ⊂R este uniform continuă pe [ ],a b şi se poate demonstra

afirmaţia: "orice funcţie continuă f: [ ],a b →R este limita unui şir uniform

convergent de funcţii în scară" ([42] pag. 169 - 170).

În aceste condiţii, ∀ε >0 fixat alegem o funcţie în scară ϕ: [ ],a b →R a. î.

( )2f

b aε

−ϕ <−

şi avem:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

cos cos cos

sin sin sin

b b b

a a a

b b b

a a a

f x kxdx x kxdx f x x kxdx

f x kxdx x kxdx f x x kxdx

⎧= ϕ + −ϕ⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦

⎪ ⇒⎨⎪ = ϕ + −ϕ⎡ ⎤⎣ ⎦⎪⎩

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

cos cos cos

2 2

sin sin sin

2 2

b b b

a a a

b

a

b b b

a a a

b

a

f x kxdx x kxdx f x x kx dx

dxb a

f x kxdx x kxdx f x x kx dx

dxb a

⎧≤ ϕ + −ϕ⎪

⎪⎪ ε ε⎪< + = ε⎪ −⎪⎨⎪

<

≤ ϕ + −ϕ⎪⎪⎪ ε ε< + = ε⎪

−⎪⎩

∫ ∫ ∫

∫

∫ ∫ ∫

∫

<

⇒

489

( )

( )

lim cos 0

lim sin 0

b

ka

b

ka

f x kxdx

f x kxdx

→∞

→∞

⎧=⎪

⎪⎨⎪ =⎪⎩

∫

∫.

Consecinţa VI.10.

Pentru orice funcţie f: R → R (local integrabilă pe R) f continuă pe

porţiuni pe orice compact din R şi cu limite laterale finite în orice punct,

periodică cu T = 2π, atunci şirurile coeficienţilor Fourier

( ) ( )1 cos , 0na f x nxdx nπ

−π

= ≥π ∫ şi ( ) ( )1 sin , 1nb f x nxdx n

π

−π

= ≥π ∫ converg

la zero în R, deci: lim 0, lim 0n nn na b

→∞ →∞= = .

Demonstraţia este o consecinţă directă din lema lui Riemann

(teorema VI.37).

Teorema VI.38. (Teorema lui Dirichlet de reprezentare a unei

funcţii reale printr-o serie Fourier)

Fie f: R → R o funcţie (local integrabilă Riemann) continuă pe porţiuni

pe orice compact din R şi cu limite laterale finite în orice punct,

periodică cu perioada T = 2π. Dacă f este derivabilă pe porţiuni cu

derivatele laterale finite în orice punct, atunci seria Fourier, asociată lui f

(VI.43), este punctual convergentă pe R şi suma acestei serii este funcţia:

(VI.48 ) ( ) ( ) ( )0 0,

2f x f x

S x x− + +

= ∀ ∈R

Demonstraţie: Vom preciza în cele ce urmează conceptele:

"funcţie continuă pe porţiuni pe [ ],a b ⊂ R" şi "funcţie derivabilă pe

porţiuni pe [ ],a b ⊂ R ".

490

Definiţia VI.12.

Fie f :[ ],a b ⊂ R →R şi ∆∈D([ ],a b ) cu ∆ = {a = x0 < x1< ...< xn = b} iar

Ik =(xi – 1, xi) intervale parţiale deschise ale lui ∆ ( 1,k n= ).

1] Funcţia f este o funcţie continuă pe porţiuni pe [ ],a b , dacă f este

continuă pe fiecare interval parţial (xi – 1, xi) ( 1,i = n ) şi are limitele laterale

finite în orice punct din [ ],a b .

2] Funcţia f este o funcţie derivabilă pe porţiuni pe [ ],a b dacă f este

derivabilă pe fiecare interval parţial (xi – 1, xi) ( 1,i = n ) şi are derivate

laterale finite în orice punct din [ ],a b .

3] Funcţia f este o funcţie netedă pe [ ],a b dacă f∈C1([ ],a b ) şi f '(x) ≠0,

∀x∈[ ],a b . Funcţia f este o funcţie netedă pe porţiuni pe [ ],a b , dacă f

este netedă pe fiecare interval parţial (xi – 1, xi) ( 1,i = n ) şi are derivate

laterale finite în orice punct din [ ],a b .

Observaţii:

1. Dacă f este continuă pe porţiuni [ ],a b , atunci f are un număr finit de

puncte de discontinuitate numai de specia a I-a în [ ],a b .

2. O funcţie discontinuă este funcţie netedă pe porţiuni pe [ ],a b , dacă şi

numai dacă, funcţia este netedă pe porţiuni pe [ ],a b şi are un număr finit

de puncte de discontinuitate numai de specia a I-a în [ ],a b .

491

Demonstraţia teoremei lui Dirichlet (teorema VI.38)

Vom nota în demonstraţie pentru ∀x∈R fixat valoarea lui S(x) prin

( ) ( ) ( )(0 02

f x f xS x

− + +α = = ) . Conform ipotezelor din teoremă,

∀[ ],a b ⊂ R un compact fixat, atunci există ∆∈D([ ],a b ) a. î. funcţia f este

derivabilă pe fiecare interval parţial ( )( )1, 1,i ix x i n− = şi în punctele lui ∆ în

număr finit are derivate laterale finite. Demonstraţia se prezintă pe etape.

Etapa 1 în care se va evalua produsul de convoluţie: ( )nD f∗ −α . Pentru

∀x∈R fixat, conform definiţiei operaţiei "*", avem:

( ) ( ) ( ) ( )n nD f x f x t D t dtπ −δ δ π

−π −π

∗ −α = − −α = + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦−δ δ

∫ ∫ ∫ ∫ cu 0 < δ < π

şi notate . Cum f este derivabilă pe porţiuni şi are

derivate laterale finite în orice punct, atunci există c > 0 a. î.

1 2 3, ,I I I−δ δ π

−π −δ δ

= = =∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )0 ; 0f y f x c y x f y f x c y x− − ≤ − − + ≤ − unde y este

suficient de aproape de x. Evaluăm 2Iδ

−δ

= ∫ astfel:

( )2

sin2

2 sin 2 sin2 2

tntc t

I f x t dt dtt

δ δ

−δ −δ

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠= − −α ≤π π

∫ ∫ t deoarece avem:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 02

1 10 02 2

f x f xf x t f x t

f x t f x f x t f x c t c t c t

− + +− −α = − − =

= − − − + − − + ≤ + =

.

492

Notăm: supsin

2t

tM

t≤δ= şi avem: 2 2 sin

2

tc cIt

δ

−δ

M⋅ ⋅δ≤ ≤

π π∫ .

Etapa 2 în care se va dovedi că ( ) ( )lim 0,nnD f x x

→∞∗ −α = ∀ ∈⎡ ⎤⎣ ⎦ R fixat.

Vom arăta că 1lim 0 şi lim 0n n

I I→∞ →∞ 2= = folosind relaţiile (VI.47) din lema lui

Riemann. Avem:

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

1 2

1 2

sin2

2 sin2

sin cos cos sin2 22 sin

2

cos sin

cu şi tg2 2 2

n

tntI f x t D t dt f x t dtt

f x t t tnt nt dtt

g t nt g t nt dt

f x t f x t tg t g t

−δ −δ

−π −π

−δ

−π

−δ

−π

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠= − −α = − −α⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦π

− −α ⎡ ⎤= + =⎢ ⎥⎣ ⎦π

= +⎡ ⎤⎣ ⎦

− −α − −α= =

=

π π

∫ ∫

∫

∫

funcţii continue pe porţiuni şi după (VI.47) rezultă 1lim 0n

I→∞

= . La fel,

( ) ( ) ( )3 1 2sin cos cos sin cos sin 2 22 sin

2

f x t t tI nt nt dt g t nt g t nt dtt

π π

δ δ

− −α ⎡ ⎤= + = +⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦π∫ ∫

şi după (VI.47) rezultă 3lim 0n

I→∞

= . Pentru 2Iδ

−δ

= ∫ nu se poate aplica

teorema lui Riemann deoarece t = 0 este punct singular pentru funcţia

( ) sin2tf x t− −α⎡ ⎤⎣ ⎦ . Am arătat că 2

cMI δ≤

π şi alegem n∈N suficient de

mare şi δ >0 suficient de mic, adică ∀ε>0 alegem nε∈N a. î. ∀n ≥ nε ⇒

1 3,3 3

I Iε ε< < ; apoi alegem δ(ε) >0 a. î. cMδ

< ε⇒π

493

( ) ( )nD f x∗ −α < ε⎡ ⎤⎣ ⎦ pentru ∀n ≥ nε, deci ( )lim 0nnD f

→∞∗ −α = pe R.

Etapa 3. Pentru ∀x∈R, avem:

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )

(VI.45')

1

1,2,...

( )

1( ) ( ) 1 2 cos2

; cos 0 .

n n

n

n n nk

n n

k n

D f x D t f x t dt

D t f x t dt D t dt D f x kx dx

D f x S x kxdx

π

−π

π π π

=−π −π −π

π

−π=

∗ −α = − −α =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤= − −α = ∗ −α +⎢ ⎥π ⎣ ⎦

⎛ ⎞⎜ ⎟= ∗ −α = −α =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

∑∫ ∫ ∫

∫

=

Cum am dovedit că ( )lim 0nnD f

→∞∗ −α = pe R ⇒

( ) ( ) ( )pc 0 0lim 0

2n nn

f x f xS x S

→∞

− + +−α = ⇒ ⎯⎯→α =⎡ ⎤⎣ ⎦ R .

Consecinţa VI.11.

Dacă f : R → R este o funcţie periodică, continuă, derivabilă pe porţiuni,

atunci seria Fourier (VI.43) asociată lui f este punctual convergentă cu

suma f.

Demonstraţia rezultă direct din teorema lui Dirichlet (teorema

VI.38).

Consecinţa VI.12.

Dacă f : R → R este o funcţie continuă, periodică cu perioada T = 2π,

derivabilă pe porţiuni având toţi coeficienţii Fourier nuli ( an = 0 ∀n∈N şi

bn = 0, ∀n∈N*), atunci f ≡ 0 pe R (f(x) = 0, ∀x∈R).

Observaţii:

1. Dacă în definiţia VI.12 a unei funcţii periodice f, continuă pe porţiuni şi

care are limite laterale finite în orice punct (f local integrabilă), dar

presupunem că perioada principală (fundamentală) este T0 = 2l cu l > 0,

494

atunci rămân valabile toate rezultalele obţinute pentru această clasă de

funcţii periodice.

2. În acest caz, coeficienţii Fourier sunt daţi prin:

(VI.49) ( )1 cos

0

l

kl

k xa f x dl l

k−

⎧ π=⎪

⎨⎪ ≥⎩

∫ x şi

( )1 sin

1

l

kl

k xb f x dxl l

k−

⎧ π=⎪

⎨⎪ ≥⎩

∫ .

3. În acest caz, teorema lui Dirichlet (teorema (VI.38)) afirmă că avem:

(VI.50) ( ) ( ) ( ) 0

1

0 0cos sin

2 2 n nk

f x f x a n x n xS x a bl l

x

∞

=

− + +⎧ π π⎛ ⎞= = + +⎪ ⎜ ⎟⎨ ⎝ ⎠⎪ ∈⎩

∑R

.

4. Vom compara, cele două clase particulare de serii de funcţii: seriile de

puteri şi seriile trigonometrice.

Seriile de puteri sunt mai uşor de folosit în aplicaţii, deoarece sumele lor

parţiale sunt polinoame algebrice şi pe mulţimea de convergenţă suma lor

este o functie de clasă C∞. Un aspect negativ este faptul că o funcţie reală

de o variabilă reală, în general, nu poate fi reprezentată de o serie de puteri

pe întreg domeniul său de definiţie.

Exemplu: ( ) ( )2

1 , şi C1

f x x fx

∞= ∈ ∈+

R R are o dezvoltare în serie de

puteri: ( ) ( ) 22

0

1 11

n nf x xx

∞

= = −+ ∑ pe (-1, 1).

Seriile trigonometrice au sumele parţiale polinoame trigonometrice şi

reprezentarea funcţiilor prin serii Fourier are loc pe orice interval din R.

Seriile trigonometrice au aspecte negative, în ceea ce priveşte proprietăţile

de derivare termen cu termen şi de integrare termen cu termen, care se pot

aplica numai în condiţii suplimentare mult mai restrictive.

495

496

5. Dacă f este integrabilă pe [-π, π] i se poate asocia seria Fourier (VI.43)

în legătură cu care se pun următoarele probleme:

I. O serie Fourier este totdeauna convergentă pe [-π, π] ? Dacă seria

Fourier este divergentă ce proprietăţi suplimentare ale funcţiei generatoare

f asigură convergenţa seriei Fourier asociată lui f ?

II. Ce proprietăţi ale funcţiei f implică convergenţa uniformă a

seriei Fourier asociată ?

III. Dacă seria Fourier asociată lui f este convergentă pe [-π, π] în

ce caz, are ca sumă chiar suma f ? Dacă suma nu este f, care sunt

proprietăţile suplimentare ale funcţiei generatoare f care asigură faptul că f

este suma seriei Fourier asociată ?

IV. Dată o serie trigonometrică, există o funcţie integrabilă pe

[-π, π] care admite seria dată ca serie Fourier ?

V. Două funcţii distincte f şi g integrabile pe [-π, π] pot avea

aceeaşi serie Fourier ?

VI. În ce condiţii o funcţie definită pe [-π, π] este suma unei serii

trigonometrice convergente ?

6. Răspunsul parţial la aceste probleme a fost dat prin teorema lui Dirichlet

(teorema VI.38) şi consecinţa VI.11. În cadrul "Teoriei Integralei

Lesesgue pe Rn (n ≥ 1)" se vor da cele mai multe rezultate privind

problemele I – VI enumerate mai sus.

7. Vom enunţa fără demonstraţie ([35], [38], [40], [42]) alte afirmaţii care

precizează convergenţa seriei Fourier şi legătura ei cu funcţia generatoare.

Teorema VI.39.

Dacă f : R → R este integrabilă Riemann pe orice compact din R şi

periodică cu T ≤ 2π poate fi dezvoltată într-o serie trigonometrică (VI.39)

uniform convergentă pe R, atunci această serie trigonometrică coincide cu

seria Fourier (VI.43) asociată lui f pe R.

Demonstraţia se obţine direct, aplicând proprietatea că o serie

uniform convergentă de funcţii reale cu suma o funcţie continuă se poate

integra termen cu termen; vom deduce că ( )1 cos ;( 0)na f x nxdx nπ

−π

= ≥π ∫ şi

( ) ( )1 sin ; 1nb f x nxdx nπ

−π

=π ∫ ≥ şi atunci (VI.41) coincide cu (VI.43).

Teorema VI.40.

Dacă f : R → R este absolut integrabilă pe R, periodică cu T ≤ 2π şi

admite o dezvoltare în serie trigonometrică (VI.39) convergentă cu suma f

pe orice interval de lungime 2π, cu excepţia eventual a unui număr finit de

puncte, atunci această serie trigonometrică este seria Fourier (VI.43)

asociată lui f ([35], [38], [40], [42]).

Teorema VI.41.

Dacă f : R → R este funcţie continuă pe orice I ⊂ R de lungime 2π şi

periodică cu T ≤ 2π, atunci seria Fourier (VI.43) asociată lui f este uniform

şi absolut convergentă pe I cu suma f ([35], [38], [40], [42]).

Exemple: 1)

(π,0) (3π,0) (-π,0) (-3π,0) 0

y ( ) [ ]2 , ,f x x x= ∈ −π π . f

este continuă şi netedă

pe porţiuni pe R, f este

funcţie pară, deci avem: x

bn = 0 (n ≥1) şi ( ) ( )2

2 20 2

0 0

2 3 2 4, cos 1 , 12

nna x dx a x nxdx n

n

π ππ= = = = −π π∫ ∫ ≥

497

( ) [ ]2

22 2 2

cos 2 cos3 cos4 cos ... 1 ... , ,2 2 3

nx x nxx x xn

π ⎛ ⎞≅ − − + + + − + ∈ −π π⎜ ⎟⎝ ⎠

(Seria Fourier cu ( ) ( ) 2 21

4 41 cos şi nnf x nx

n n

∞

= − ≤ 2

4n∑ convergentă, este

uniform şi absolut convergentă la f ).

2) ( ) [ ], ,f x x x= ∈ −π π f

este continuă, netedă pe

porţiuni pe R, şi funcţie

pară, deci avem:

x 0

y

(-π,0) (π,0) bn = 0 (n ≥1);

( )0

20 0

0, 22 2 4, cos ; 2

2 1n

n ka xdx a x nxdx n k

k

π π=⎧

⎪ −= = π = = ⎨ 1= +π π ⎪π −⎩∫ ∫ .

[ ]2 2

4 cos3 cos(2 1)cos ... ... , ,2 3 (2 1)

x n xx x xn

⎛ ⎞π +≅ − + + + + ∈ −π π⎜ ⎟π +⎝ ⎠

.

(Seria Fourier cu:

( )2 1 2 21

4cos(2 1) 4 1 4 1 şi (2 1) (2 1) (2 1)n

n xf xn n

∞

+

− += ≤ ⋅ ⋅

π + π + π +∑ 2n convergentă,

este uniform şi absolut convergentă). În x = 0 ⇒ 2

20

18 (2 1n

∞π=

+∑ ).

498

3) ( ) (, ,f x x x )= ∈ −π π f

este continuă pe porţiuni,

netedă pe porţiuni şi

impară pe R, deci avem: x

y

(-π,0) (π,0) 0

( ) 1

0

2 12 20, 0, 1; sinn

n na xdx a n b x nxdxn

+π π

−π −π

−= = = ≥ = =π π∫ ∫ .

( ) ( )1

1

12 sin ,

n

x nx xn

+∞ −≅ ∈∑ ,−π π .

4) ( ) xf x e= este dezvoltabilă în serie Fourier pe [-π, π] . Vom asocia lui f

funcţia: ( )( )

1

; ( ,

;

f x xf x

e xπ

]⎧ ∈ −π π⎪= ⎨= −π⎪⎩

şi apoi o prelungim pe f1 pe R prin

periodicitate. Funcţia f1 este continuă pe [-π, π] şi chiar f1∈C1([-π, π]) deci

este dezvoltabilă în serie Fourier; în aceste condiţii f este dezvoltabilă în

serie Fourier pe (-π, π) şi în x = -π, x = π suma seriei Fourier este:

( ) ( )0 02 2

f f e e eπ π

ππ − + −π+ += = . Coeficienţii Fourier se calculează

direct:

( ) ( )

( ) ( )( )

0 2

1

2

1 1; cos 1 ,1

1 sin 1 , 11

nx xn

nxn

e e e ea e dx a e nxdx nn

n e eb e nxdx n

n

π ππ −π π −π

−π −π

π −ππ+

−π

− −= = = = − ∀π π π π +

−= = − ∀ ≥π π +

∫ ∫

∫

1≥

(Calculul integralelor lui an şi bn se face prin metoda integrării prin părţi).

Are loc egalitatea:

499

( ) ( ) ( )

( )

21

21

11 cos sin ; ,2 1

1 1 1 , ,2 2 1

n

nx

n

e e nx n nx xn

ee e e e x x

n

π −π ∞

=

π −π ∞π −π

=

⎧ ⎡ ⎤−−⎪ ⋅ + − ∈⎢ ⎥π +⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦= ⎨

⎪ − ⎡ ⎤

−π π

= − + = π = −π⎪ ⎢ ⎥π +⎣ ⎦⎩

∑

∑.

5) ( ) [ ]sin , ,f x x x= ∈ −π π

f este continuă, netedă pe

porţiuni şi funcţie pară, deci

avem:

500

y

0 (-2π,0) (-π,0) (π,0) (2π,0) x

( )( )

( )

[ ]

0 20 0

21

0

2

1 12 4 2sin , sin cos 2 ; 21

4 , 2 , ( 1)2 2 1sin cos 0,0; 2 1

0, ( 1)

2 4 cos 2 cos 4 cos 6 cos 2sin ... ... , ,3 15 35 (2 ) 1

n

n

n

n

a xdx a x nxdx nn

n k kka x xdx a

n kb n

x x x nxx xn

π π

π

⎧ − += = = = − ≥⎪π π π π −⎪

⎪−⎧⎪ = ≥⎪ ⎪π −= = =⎨ ⎨π⎪ ⎪ = +⎩⎪

⎪ = ≥⎪⎪⎩

⎛ ⎞= − + + + + + ∈ −π π⎜ ⎟π π −⎝ ⎠

∫ ∫

∫

6) ( ) [ ]sin , , şi f x ax x a= ∈ −π π ∈R - Z ; f este funcţie continuă şi impară,

deci avem:

( )

( ) ( )

2 20

2 21

12 2sin0, ( 0), sin sin ;

12sin sin sin , ,

n

n n

n

naa n b ax nxdxa n

nax a nx x

a n

π

∞

−π= ≥ = = ⋅

π π

−= π ∀ ∈ −π ππ −

∫

∑

−

7) ( ) [ ]cos , , şi f x ax x a= ∈ −π π ∈R - Z ; f este funcţie continuă şi pară,

deci avem:

( )( )

( ) [ ]

00 0

2 22 21

2 2sin 20, ( 1); cos ; cos cos

4 1 sin 12 1cos sin 2 cos , , .2

n n

n n

ab n a axdx a ax nxdxa

aax a a nx x

a a na n

π π

∞

π= ≥ = = = =

π π π

⎡ ⎤− π −= ⇒ = π + ∀ ∈⎢ ⎥

π −π − ⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

∑ −π π

8) ( ) [ ], , ,axf x e x a= ∈ −π π ≠ 0 este funcţie continuă şi derivabilă, avem:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

0

2 2

1

2 2

2 21

1 1 1; cos

11 1, 1 ; sin

11 , 1

11 cos sin , ,2

ax a a axn

na a ax

n

na a

na aax

n

a a

a e dx e e a e nxdxa

ae e n b e nxdx

a n

ne e n

a n

e ee a nx n nxa a n

e eS S

π ππ − π

−π −π

ππ − π

−π

+π − π

π − π ∞

=

π − π

= = − = =π π π

−= − ⋅ ∀ ≥ = =π + π

−= − ⋅ ∀ ≥π +

⎡ ⎤−−= + − ∀ ∈⎢ ⎥

π +⎢ ⎥⎣ ⎦−

−π = π =π

∫ ∫

∫

∑ x −π π

5. Aproximarea funcţiilor continue prin polinoame

trigonometrice

Fie dat un polinom trigonometric oarecare:

(VI.51) ( ) ( )0

1

0

cos sin2

, , 1, 2,...,

n

n k kk

k k

cT x c kx d kx

c c d k n=

⎧ = + +⎪⎨⎪ ∈ =⎩

∑R,

501

şi o funcţie f:[-π, π] → R integrabilă Riemann şi cu f 2 integrabilă Riemann

pe [-π, π] (adică, f "o funcţie de pătrat integrabilă" pe [-π, π]) atunci

asociem lui f o nouă normă:

(VI.52) ( )2def

f f x dxπ

−π

= ∫

care verifică axiomele:

(N1) ||f || ≥ 0 şi ||f || = 0 ⇔ f(x) = 0 ∀x∈[-π, π];

(N2) ||λ f || = |λ| ⋅ ||f ||, (λ∈R);

(N3) ||f + g|| ≤ ||f || + ||g||.

Să stabilim în ce mod pot aproxima cel mai bine polinoamele

trigonometrice Tn din (VI.51) o funcţie f pe [-π, π]. În acest sens definim

"Abaterea medie pătratică" prin expresia:

(VI.53) ( ) ( ) ( ) ( )2 2n n nf x T x dx f x T x

π

−π

∆ = − = −⎡ ⎤⎣ ⎦∫

şi cerem ca aceasta să admită o valoare minimă.

Se poate demonstra că valoarea minimă pentru abaterea medie

pătratică are loc în cazul când ( ) ( )n nT x S x= unde ( )nS x este suma

parţială a seriei Fourier asociată lui f:

(VI.54) ( ) 0

1cos sin

2

n

n kk

aS x a kx b kx=

= + +∑ k cu :

( )

( )

1 cos ; 0

1 sin ; 1

p

p

a f x pxdx p

b f x pxdx p

π

−π

π

−π

⎧= ≥⎪ π⎪

⎨⎪ = ≥⎪ π⎩

∫

∫.

Atunci rezultă din (VI.53):

502

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2VI.55 valoarea minimă n

notat

n n nf x S x dx f x S xπ

−π

∆ = δ = − = −⎡ ⎤⎣ ⎦∫Prin calcul direct se obţine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 2

20 0

1 1

2

2 cos sin cos sin2 2

n n n

n n

k k k kk k

f x S x dx f x f x S x S x dx f x dx

a af x a kx b kx dx a kx b kx

π π π

−π −π −π

π π

= =−π −π

⎡ ⎤− = − + = −⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + + + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

∑ ∑∫ ∫ dx =

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

20

1

220

01 1

2 cos sin

cos sin cos sin4

n

k kk

n n

k k k kk k

f x dx a f x dx a f x kxdx b f x kxdx

a a a kx b kx a kx b kx dx

π π π π

=−π −π −π −π

π

= =−π

⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟

⎝ ⎠⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪+ + + + +⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

∑∫ ∫ ∫ ∫

∑ ∑∫

+

⇒ folosind formulele deja demonstrate (1), (2), (3), (4) rezultă:

(VI.55') ( ) ( ) ( ) ( )2

2 2 20

10

2

n

n kk

af x S x dx f x dx a bπ π

=−π −π

⎡ ⎤k− = − π + +⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎣ ⎦∑∫ ∫ ≥

şi în final avem:

(VI.56) ( ) ( )2

2 2 20

1

1 ,2

n

k kk

a a b f x dx nπ

= −π

+ + ≤ ∀ ∈π∑ ∫ *N

numită "inegalitatea lui Bessel", care stabileşte o legătură între o funcţie f

integrabilă pe [-π, π] şi primii (2n + 1) coeficienţi Fourier: a0, a1, ..., an, b1,

b2, ..., bn. Inegalitatea (VI.56) este valabilă pentru orice număr natural n, în

consecinţă ea are loc şi pentru n → ∞, deci avem:

(VI.57) ( ) ( )2

2 2 20

1

12 k k

k

a a b f x dxπ∞

= −π

+ + ≤π∑ ∫ .

În particular, rezultă că dacă seria cu termenul general ( )2 2k ka b+ este

convergentă, atunci în mod necesar termenul său general ( )2 2 0n na b+ ⎯⎯→R

503

şi deci an 0⎯⎯→R , bn 0⎯⎯→R pentru n→∞, o proprietate deja demonstrată

pentru şirul coeficienţilor Fourier ( ) ( )0 1,n nn n

a b≥ ≥

.

Observaţii:

1) Relaţiile (VI.56) şi (VI.57) arată că şirul de coeficienţi Fourier ai unei

funcţii f integrabilă pe [-π, π] nu este un şir arbitrar de numere reale, ci un

şir pentru care seria pătratelor termenilor este o serie numerică

convergentă; în particular, şirul de coeficienţi Fourier tinde la zero în R.

2) Răspunsul este negativ la problema:

IV. Dată o serie trigonometrică, există o funcţie integrabilă pe

[-π, π] care admite seria dată ca serie Fourier asociată ?

Din consideraţiile de mai sus: dat un şir de numere reale a0, a1,b1, ..., an,

bn... pentru care seria pătratelor termenilor este convergentă nu există

totdeauna o funcţie integrabilă pe [-π, π] care să admită drept coeficienţi

Fourier şirul dat.

3) Noţiunea de "coeficient Fourier" şi cea de "serie Fourier" au fost

definite folosind integrala Riemann; răspunsurile negative la unele

întrebări se datorează faptului că integrala Riemann cu care lucrăm în

aceste cazuri, este o integrală particulară.

4) Vom introduce un concept mai general de integrală "Integrala

Lebesgue" cu ajutorul căreia se vor da răspunsuri la cele mai multe

probleme fundamentale din "Teoria seriilor trigonometrice" şi în

particular, din "Teoria seriilor Fourier".

5) Vom indica teoreme de aproximare uniformă a funcţiilor continue prin

polinoame trigonometrice.

Teorema VI.42.

Fie f : R → R o funcţie continuă, periodică cu T = 2π şi

504

( ) (0

1cos sin

2

n

n k kk

aS x a kx b kx=

= + +∑ ) suma parţială a seriei Fourier

asociată lui f, atunci şirul de polinoame trigonometrice ( ) 1n n≥σ cu :

( ) ( ) ( )0 1 1... nn

S x S x S xn

−+ + +σ = este uniform convergent pe R către f.

Demonstraţie:

Fie x∈R fixat, avem: ( ) 00 2

aS x = şi pentru:

( ) ( )

( ) ( )

0

1

1

cos sin2

1 1 cos sin2

p

p k kk

x p

k kkx

aS x a kx b kx

f y a kx b kx

=

+π

=−π

= + + =

⎡ ⎤= + +⎢ ⎥π ⎣ ⎦

∑

∑∫ dy =

( ) ( )1

1 1 cos2

x p

kx

f y k y x dy+π

=−π

⎡ ⎤= + −⎢ ⎥π ⎣ ⎦

∑∫ ⇒ folosind:

( )1

1 1 2cos , 22

n

nk

D x kx x n=

⎛ ⎞= + ∀ ∈ π ∀ ∈⎜ ⎟π ⎝ ⎠∑ R - Z, N unde nucleul Dirichlet

( )sin

2

2 sin2

def

n

xnxD x x

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝=π

⎠ , avem: ( ) ( )( )1sin

1 2

2sin2

x

px

p y xS x f y dyy x

+π

−π

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠=

−π ∫ .

Vom folosi proprietăţile integralei Riemann pentru a găsi o exprimare a lui

Sp(x) cu p ≥1:

505

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

22 2

2 2

0 0

1 1 1 1 sin(2 1)2sin

1 sin(2 1) 1 sin(2 1)2 2 2sin sin

1 sin(2 1)2 2sin

x x x

px x x

x y t x y t

p

p tS x f x t dtt

p t p tf x t dt f x t f x t dtt t

p tS x f x t f x t

+π +π

π−π −π⇑ ⇑

= + = +

π π

+= = + = − − +π π π π

+ ++ + = + + −⎡ ⎤⎣ ⎦π π

+⇒ = + + −⎡ ⎤⎣ ⎦π

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

2

0

cu 0dt pt

π

≥∫

Pentru ∀x∈R şi ∀n ≥1, avem: ( ) ( ) ( )0 1 11 ...n nS x S x S xn −σ = + + + =⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

0

22

0

1 sin sin 3 ... sin(2 1)2 2sin

sinsin sin 3 ... sin(2 1)sin

1 sin(*) 2 2 cu 1sinn

t t n tf x t f x t dtn t

ntt t n tt

ntx f x t f x t dt nn t

π

π

+ + + −= + + −⎡ ⎤⎣ ⎦π

⎛ ⎞+ + + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞σ = + + − ≥⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎣ ⎦π ⎝ ⎠

∫

∫

⇒

Pentru f(x) = 1, ∀x∈R ⇒ a0= 2, an = 0 şi bn = 0, ∀n ≥1 deci:

0 1 1... 1nn

S S S nn n

−+ + +σ = = = şi din relaţia (*) avem:

22

0

1 sin1sin

nt dt nn t

π

⎛ ⎞= ⎜ ⎟π ⎝ ⎠∫ , 1∀ ≥ din care prin înmulţirea cu f(x) rezultă:

(**) ( ) ( )22

0

1 sin2sin

ntf x f xn t

π

⎛ ⎞= ⎜ ⎟π ⎝ ⎠∫ dt .

Din (*) şi (**) se obţine pentru ∀x∈R, ∀n ≥ 1:

506

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

22

0

2 22 2

0 0

1 s2 2 2sin

1 sin 1 sin, ,sin sin

nntinx f x f x t f x t f x dt

n t

nt ntx t dt x t dtn t n t

π

π π

⎛ ⎞σ − = + + − −⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎣ ⎦π ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ϕ ≤ ϕ⎜ ⎟ ⎜ ⎟π π⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫

∫ ∫

=

unde ( ) ( ) ( ) ( ), 2 2 2x t f x t f x t f xϕ = + + − − . Fixăm x ∈R şi ε > 0 arbitrar

fixat. Cum f este funcţie continuă pe R ⇒ f continuă pe compactul

[x - π, x + π], deci f uniform continuă pe acest compact şi conform

definiţiei: ε > 0 (fixat), există δ(ε) cu 0 < δ(ε) < π a. î. pentru:

,x x′ ′′∀ ∈[x- π, x + π] cu x x′ ′′− < δ(ε) ⇒ ( ) ( )2

f x f x ε′ ′′− < . Pentru

t∈ 0,2δ⎡

⎢⎣ ⎦⎤⎥ şi , 2 , 2x x t x t+ − ∈[x- π, x + π], avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 2 22 2

x t f x t f x f x t f x ε εϕ ≤ + − + − − < + = ε din care se

obţine:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 22 2

0 0

22

1 2

2

1 sin 1 sin, ,sin sin

1 sin,sin

nnt ntx f x x t dt x t dt

n t n t

ntx t dt I In t

π δ

π

δ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ − ≤ ϕ = ϕ⎜ ⎟ ⎜ ⎟π π⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ϕ = +⎜ ⎟π ⎝ ⎠

∫ ∫

∫

+

Cum f continuă pe R ⇒ f mărginită şi notăm: ( )supx

M f x f∞

∈= =

R şi

(2

1 12

2

,sin

dtC Ct

π

δ

= ∈∫ *R ) . Avem:

507

( )2 22 2

10 0

2 22 2

0 0

1 sin sin,sin sin

1 sin sin1 2 2sin sin

nt ntI x t dt dtn t n t

nt ntdt n dtn t t

δ δ

π π

⎧ε⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ = ϕ ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ π π⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⇒⎨

⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ = ⇔ π =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ π ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

∫ ∫

∫ ∫

⇒

( )

2 22 2

10 0

22

2 1

2

sin sinsin sin 2

1 sin 4,sin

nt ntI dtn t n t

nt MI x t dt Cn t n

δ π

π

δ

⎧ε ε⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ≤ ≤ <⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ π π⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪

⎨⎪ ⎛ ⎞= ϕ ≤⎪ ⎜ ⎟π π⎝ ⎠⎪⎩

∫ ∫

∫

dt ε

⇒

pentru orice n ∈N suficient de mare avem: 1 2,2 2

I Iε ε< < şi atunci:

( ) ( ) 1 2 ,2 2n x f x I I xε ε

σ − ≤ + < + = ε ∀ ∈R deci ucn fσ ⎯⎯→R .

Teorema VI.43.(Teorema lui Weierstrass de aproximare prin

polinoame trigonometrice)

Orice funcţie f : R → R continuă, periodică cu T = 2π se aproximează prin

polinoame trigonometrice (adică pentru ∀ε>0 există un polinom

trigonometric Tε(x) astfel încât || f - Tε|| < ε) .

Demonstraţie: După teorema VI.42 avem: ucn fσ ⎯⎯→R şi atunci

pentru ∀ε>0 există nε∈N a. î. || f - σn|| < ε pentru ∀n ≥ nε şi ∀x∈R; se

consideră polinomul trigonometric ( ) ( )nT x xεε = σ şi teorema este

demonstrată.

508

Consecinţa VI.13.

Fie f : R → R continuă, periodică cu T = 2π (f(π) = f(-π)) şi a0, a1, ..., an,

..., b1, b2, ..., bn... sau a0, a1, b1,..., an, bn... şirul coeficienţilor Fourier ai

funcţiei f, atunci are loc egalitatea:

(VI.58) ( )2

2 2 2 2 201 1

1... ...2 n na a b a b f x dx

π

−π

+ + + + + + =π ∫

numită "egalitatea lui Parseval" (sau "egalitatea Parseval - Leapunov").

Demonstraţie: După teorema lui Weierstrass (teorema VI.43)

există un şir de polinoame trigonometrice ( )( ) 1n nT x

≥ convergent uniform

pe R către f, deci: ∀ε>0, ∃nε∈N a. î. ∀n ≥ nε ⇒ |f(x) – Tn(x)| < ε, ∀x∈R.

Alegem ε < 1, atunci vom avea şi inegalitatea: |f(x) – Tn(x)|2 < ε, ∀x∈R şi

∀n ≥ nε, care prin integrare conduce la: (*) ( ) ( ) 22nf x T x dx

π

−π

− ≤ πε⎡ ⎤⎣ ⎦∫ .

Dacă Fn este polinomul Fourier de grad n asociat lui f, folosind (VI.53),

avem:

(*) din (VI.55') rezultă: ( ) ( ) ( ) ( )22n nf x F x dx f x T x dx

π π

−π −π

− ≤ − <⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫2

πε

( )2

2 2 2 2 201 10 ... 2

2 n naf x dx a b a b n

π

−π

⎡ ⎤≤ − π + + + + + ≤ πε⇒∀⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ N∈ şi se obţine

(**) ( ) ( )2

2 20

10 2

2 n naf x dx a b

π ∞

−π

⎡ ⎤≤ − π + + ≤⎢

⎣ ⎦∑∫ 2 πε⎥ . Cum ε > 0 este arbitrar

de mic, şi diferenţa din dubla inegalitate (**) nu depinde de ε, se obţine:

( ) (2

2 20

1

12 n na )2f x dx a b

π ∞

−π

⎡ ⎤= + +⎢ ⎥π ⎣ ⎦

∑∫ (VI.58).

509

Observaţii:

1) Formula lui Parseval (VI.58) este o generalizare a teoremei lui Pitagora

într-un spaţiu euclidian n – dimensional ( ( )2 2a b a b a b 2⊥ ⇒ + = + , în

general, ( )2 2 21 2 1 2... ...k ka a a a a a 2+ + + = + + + cu 1 2, ,..., ka a a vectori

ortogonali doi câte doi dintr-un spaţiu euclidian n – dimensional).

2) Identitatea lui Parseval se mai numeşte "ecuaţia închiderii" (relaţia

(VI.58)) care afirmă că: sistemul trigonometric fundamental (VI.38) este pe

[-π, π] un sistem ortogonal complet (nu există nici o funcţie identic nulă f

care să fie ortogonală cu o funcţie din sistemul trigonometric fundamental)

în raport cu familia funcţiilor continue şi periodice cu T = 2π pe R.

3) Dacă f şi g sunt continue pe [-π, π] cu şirurile coeficienţilor Fourier:

... şi respectiv 0 1 1, , ,..., ,n na a b a b 0 1 1, , ,..., ,n na a b a b′ ′ ′ ′ ′ ... şi avem: na a′n= pentru

n≥0, pentru n ≥ 1, atunci nb b′= n f g≡ pe [-π, π].

4) Vom demonstra o teoremă care dă un răspuns parţial la problemele I, II,

III din "Teoria seriilor Fourier".

Teorema VI.44.

Fie f: R → R o funcţie periodică cu T = 2π. Dacă f ∈ C1(R), atunci avem:

(i) Seria Fourier asociată lui f converge uniform şi absolut pe R.

(ii) Suma seriei Fourier asociată lui f este egală cu f, deci f(x) = S(x),

∀x∈R.

Demonstraţie:

Fie ( )1 cosna f x nxπ

−π

=π ∫ dx cu n ≥ 0 şi ( )1 sinnb f x nx

π

−π

=π ∫ dx cu n ≥ 1

coeficienţii Fourier ai funcţiei f, iar ( )1 cosn f x nxdπ

−π

′α =π ∫ x cu n ≥ 0 şi

510

( )1 sinn f x nxdπ

−π

′β =π ∫ x cu n ≥ 1 coeficienţii Fourier ai funcţiei f '. Vom

calcula an şi bn folosind de la metoda integrării prin părţi, deci:

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( )sin 1cos sin

( )cos 1sin cos

n n

n n

f x nxa f x nxdx f x nxdxn n n

f f

f x nxb f x nxdx f x nxdxn n

f f

ππ π

−π−π −π

ππ π

−π−π −π

⎧ −π′π = = − = β⎪⎪⎪ π = −π⎪⎨

π⎪ ′π = = − + = α⎪⎪⎪ π = −π⎩

∫ ∫

∫ ∫ n

⇒

( )

( )

22

22

2 2 2 2

1 121 1

1 şi (*) 2

2,

nn n

nn nn nn n

an n

ba n b n nn n2x y x y xy x y

x y

⎧ β ⎛ ⎞= ≤ β +⎪ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪

⎪ α ⎛ ⎞β α ⎪ = ≤ α +⇒ = − ≥ = ⇒ ⎜ ⎟⎨ ⎝ ⎠⎪⎪ + = + + ≤ +⎪∀ ∈⎪⎩ R

După inegalitatea Bessel aplicată lui f ', avem:

( ) ( ) (2

22 2 2 20

1 1

1 seria 2 n n n nf x dx

π∞ ∞

−π

α ′+ α +β ≤ ⇒ α +β⎡ ⎤⎣ ⎦π∑ ∑∫ ) este convergentă

şi cum 21

1n

∞

∑ este convergentă din (*) rezultă:

(**) 2 22

1 1 ,2n n n na b n

n⎛ ⎞+ ≤ α +β + ∀ ≥⎜ ⎟⎝ ⎠

1 deci seria (1

n na b∞

+∑ ) este

convergentă. Pentru orice x ∈R, avem:

511

cos sin cos sin , 1n n n n n na nx b nx a nx b nx a b n+ ≤ + ≤ + ∀ ≥ ⇒

după criteriul lui Weierstrass seria de funcţii: ( )0

1cos sin

2

n

n nk

a a nx b nx=

+ +∑

este uniform şi absolut convergentă pe R.

Notăm suma seriei cu g: R → R: g(x) = ( )0

1cos sin

2 n nn

a a nx b nx∞

=

+ +∑ ,

∀x∈R şi cum seria este uniform convergentă pe R, atunci

sunt coeficienţii Fourier ai funcţiei g. Prin ipoteză:

( )0 , , 1n na a b n ≥

( )0 , , 1n na a b n ≥ sunt

coeficienţii Fourier ai funcţei f continuă şi periodică cu T = 2π, atunci g

este o funcţie continuă şi periodică cu T = 2π (suma unei serii uniform

convergentă) şi după o teoremă deja demonstrată, avem f ≡ g pe R.

Exerciţii:

9) f(x) = x, x ∈ (0, 2π)

nu este nici pară nici

impară; graficul

-2π

y

2π 0 6π 4π

construit pe (0, 2π) se

prelungeşte prin x

periodicitate la R cu xk = 2kπ (k ∈ N) puncte de discontinuitate de specia I

şi după teorema VI.38 seria are în aceste puncte suma:

( ) ( ) ( )2 0 2 0 0 22 2k

f k f kS x

π− + π+ + π= = = π . Coeficienţii Fourier ai lui

f(x) = x, sunt: 22 2

00 0

1 1 22xa xdx

ππ

= = =π π∫ π

512

22 2

00 0

22 2

00 0

1 1cos sin sin 0, 1,2,...

1 1sin cos cos , 1,2,...

n

n

xa x nxdx nx nxdx nn n

xb x nxdx nx nxdx nn n n

ππ π

ππ π

= = − = =π π π

−= = − = =π π π

∫ ∫

∫ ∫2

Avem: ( )sin 2 sin 32 sin ... , 0, 22 3

x xx x x⎛ ⎞= π− + + + ∀ ∈ π⎜ ⎟⎝ ⎠

.

10) f(x) = x2, x ∈ (0, 2π) nu este nici pară nici impară; graficul construit pe

(0, 2π) se prelungeşte prin periodicitate la R cu xk = 2kπ (k ∈ N) puncte de

discontinuitate de specia I şi după teorema VI.38 seria are în aceste puncte

suma: ( ) ( ) ( ) 222 0 2 0 0 4 2

2 2k

f k f kS x

π− + π+ + π= = = π . Coeficienţii

Fourier ai lui f(x) = x2,

sunt: y

-2π 0 2π 4π 6π x

2 22

00

1 83

a x dxπ π

= =π ∫

[ ]

22 22 2

00 0

2 2

2 2 20 0

1 sin 2cos sin

2 2 4cos cos , 1,2,...

nnxa x nxdx x x nxdx

n n

x nx nxdx nn n n

ππ π

π π

= = −π π

= − = =π π

∫ ∫

∫

=

22 222

0 00

2

20

1 2sin cos cos

2 4sin , 1,2,...

nxb x nxdx nx x nxdxn n

nxdx nn n

ππ π

π

4nπ

= = − +π π π

− π− = =

π

∫ ∫

∫

= −

513

Avem:

( )

2 22

21

2 2

4 cos sin 443 3

cos 2 sin 2 cos sin4 cos sin ... ... , 0, 22 2

n

nx nxxn n

x x nx nxx x xn n

∞

=

π π π⎛ ⎞= + − = +⎜ ⎟⎝ ⎠

π π⎛ ⎞+ − π + − + + − + ∀ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

π

11) Fie f(x) = ax2 + bx + c, cu a, b, c ∈R şi a≠0 se cere:

I. Seria Fourier asociată lui f pe (-π, π);

II. Seria Fourier asociată lui f pe (0, 2π).

I. În exemplele 1) şi 3) am determinat seria Fourier:

( ) ( )2

22

1

1 cos, ,

3

n nxx x

n

∞ −π= + ∀ ∈ −π π∑ şi:

( ) (1

1

12 sin ,

n

x nx xn

+∞ −= ∀∑ ),∈ −π π de unde rezultă:

( ) ( ) ( )22

21 1

1 cos 14 2

3

n nnxsin ,f x ax bx c a c a b nx

n n

∞ ∞− −π= + + = + + −∑ ∑

∀x∈(-π, π).

II. Din exemplele 9) şi 10) se obţine:

( ) ( )2

22

1 1

4 cos4 4 23

nx 1 sin ,f x ax bx c a b c a a b nxn n

∞ ∞π= + + = + π+ + − π −∑ ∑

∀x∈(-π, π).

12) Să se dezvolte în serie Fourier de cosinusuri funcţia:

( )cos ;0

2

0;2

x lxlf x

l x l

π⎧ ≤ ≤⎪⎪= ⎨⎪ < <⎪⎩

care are o prelungire pară şi periodică pe (- l, 0]

şi atunci se obţine o funcţie de perioadă 2l. După formulele (VI.49), avem:

514

( ) ( )

[ ]

2

00 0 0

2

0

2 2

0 0

2 2 2 2cos ; cos

2 cos cos şi notând se obţine :

2 1cos cos cos( 1) cos( 1)

ll l

n

l

n

x na f x dx dx a f x dl l l l l

x tx nx ldx

ll l l dx dt

a t ntdt n t n t dt

π π

π π= = = =

π

π⎧ =⎪π π ⎪= ⎨⎪ =⎪ π⎩

= = + + −π π

∫ ∫ ∫

∫

∫ ∫

x x =

cu:

( )

( )( )

2 2

10 0

2

0 2

1 1 sin 2 1cos 2 12 2

0; 2 1 şi 11 sin( 1) sin( 1) 2 1

; 2 şi 11 14 1

kn

ta t dt t

n k nn t n ta

n k kn nk

π π

π

⎡ ⎤= + = + =⎢ ⎥π π ⎣ ⎦

= + >⎧⎪+ −⎡ ⎤= + = −⎨⎢ ⎥ − = ≥π + −⎣ ⎦ ⎪ π −⎩

∫

( )0 0

2 2sin cos sin 0l l

nnx x nxb f x dx dx

l l l l lπ π π

= =∫ ∫ = (după 4° din teorema

VI.34); n = 1, 2, .... Avem:

( ) ( ) [ )21

cos ;0 11 1 2 22 cos cos , 0,2 4 10;

2

n

n

x lxx nxlf x x

l l n lx l

∞

=

π⎧ ≤ ≤⎪ −π π⎪= = + − ∀⎨ π π −⎪ < <⎪⎩

∑ l∈ .

13) Să se dezvolte în serie Fourier de sinusuri funcţia:

( );0

2

;2

lx xf x

ll x x l

⎧ ≤ ≤⎪⎪= ⎨⎪ − < ≤⎪⎩

care are o prelungire impară şi periodică pe (-l, 0]

şi se obţine o funcţie de perioadă 2l. După formulele (VI.49), avem:

515

( )0

2 cos 0l

nnxa f x dx

l lπ

= ∫ = (prin calcul direct după teorema VI.34) cu

n = 0, 1, ....;

( )2

0 02

2 2 2sin sin ( )sin

ll l

nl

nx nx nxb f x dx x dx l x dxl l l l l

π π= = + −∫ ∫ ∫ l

π şi prin

substituţia: ; cu x lt dx dlπ

= = tπ

se obţine:

2 22

2 2 2 20 00

2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 cos 2sin ( )sin cos

2 ( ) cos 2 4 sincos2

nl l l t nt lb t ntdt t ntdt ntdt

n n

l t nt l l nntdtn n n

π πππ

π

π π

π π

−⎛ ⎞= + π− = +⎜ ⎟π π π π⎝ ⎠

π − π⎛ ⎞+ − − =⎜ ⎟π π π⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

∫

+

cu ( )0; 2sin

2 1 ; 2 1k

n knn k

=⎧π ⎪= ⎨− = +⎪⎩

. Avem:

( )

( )( )

[ )

2 2 2

220

;0 4 1 3 1 52 sin sin sin ...3 5;

214 (2 1)sin , 0, .

2 1

n

n

lx x l x x xf xl l l ll x x l

l n x x lln

∞

=

⎧ ≤ ≤⎪ π π π⎪ ⎡ ⎤= = − +⎨ + =⎢ ⎥π ⎣ ⎦⎪ − < <⎪⎩

− + π= ∀ ∈π +∑

516