Seciunea 3: Modelul Cox-Ross-Rubinstein (1979)

Ipoteze:

Cursul activului suport urmeaz o distribuie binomial a.. n fiecare moment de timp evoluia sa poate fi descris astfel:

0S u

cu 1 tu ed

(vezi curs) 0S

0S d

0 1t t

t

unde u i d reprezint factori de cretere respectiv scdere constani n timp, t

intervalul de timp ntre dou momente succesive n care se face evaluarea, volatilitatea cursului activului suport iar p i 1 p reprezint probabilitatea de cretere, respectiv

scdere a cursului activului suport n fiecare moment de timp considerat.

Evaluarea se face ntr-un mediu neutru la risc a.. valoarea ateptat la momentul 1t a

cursului activului suport poate fi scris:

1 0

*

0[ / ]r t

t tE S S e F

dar media unei variabile aleatoare care urmeaz o distribuie binomial este:

1 0 0[ ] (1 )tE S p S u p S d

de unde: r te d

pu d

, denumit probabilitate neutr la risc (evaluarea s-a fcut ntr-un

mediu neutru la risc).

n mod similar, folosind metoda evalurii neutre la risc, valoarea unui CALL cu suport activul S , la momentul 0t poate fi scris:

0 1 0

*[ / ] [ (1 ) ]r t r tt t t u dC e E C e p C p C F (identic pt. PUT)

unde uC este valoarea CALL la 1t dac cursul crete (devenind 0S u ) iar dC este

valoarea CALL la 1t dac cursul scade (devenind 0S d ).

p

1-p

Seciunea 3: Modelul Cox-Ross-Rubinstein (1979)

Aplicaii:

1. Fie o aciune suport care are cursul spot la momentul curent 0 50 . .S u m ,

20% i pentru care se emit opiuni cu preul de exercitare 50 . .E u m Rata

dobnzii fr risc este 10%r . a) S se evalueze opiuni CALL i PUT europene folosind modelul binomial pe 5 perioade tiind c durata unei perioade este de 3 luni. b) Verificai relaia de paritate PUT-CALL n cazul opiunilor europene ex-dividend.

Rezolvare1:

a)

Preul de exercitare (Strike price): 50E

Factorul de actualizare (Discount factor per step): 0,9753r te

Factorul de fructificare (Growth factor per step): 1,0253r te

Perioada de timp dintre 2 noduri (Time step): 3

0,25 ani12

t

Probabilitatea neutr la risc (Probability of up move): p= 0,6014 r te d

u d

Factorul de cretere (Up step size): 0.2 0.25 1,1052tu e e

Factorul de scdere (Down step size): 0.2 0.251 0,9048td e e

u

.

1La adresa web: http://www.rotman.utoronto.ca/~hull/software/ puteti descarca programul DerivaGem for

Excel cu ajutorul cruia se pot verifica calculele din cadrul modelelor aplicate pentru evaluarea instrumentelor financiare derivate.

Seciunea 3: Modelul Cox-Ross-Rubinstein (1979)

Binomial European CallAt each node:

Upper value = Underlying Asset Price

Lower value = Option Price

Values in red are a result of early exercise.

Strike price = 50

Discount factor per step = 0.9753 82.43606

Time step, dt = 0.2500 years, 91.25 days 32.43606

Growth factor per step, a = 1.0253 74.59123

Probability of up move, p = 0.6014 25.82574

Up step size, u = 1.1052 67.49294 67.49294

Down step size, d = 0.9048 19.93147 17.49294

61.07014 61.07014

14.96255 12.30464

55.2585459 55.25855 55.25855

10.96868087 8.416238 5.258546

50 50 50

7.879951 5.639758 3.084334

45.2418709 45.24187 45.24187

3.720452328 1.809077 0

40.93654 40.93654

1.061092 0

37.04091 37.04091

0 0

33.516

0

30.32653

0

Node Time:

0.0000 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000 1.2500

Pe ultima coloan payoff-ul opiunii (marcat n chenar cu rou) se obine calculnd

( , ) max( ,0)TC T S S E . De exemplu pentru 5 creteri consecutive ale cursului valoarea

opiunii CALL la scaden va fi 55 82,436 50 32,436 . .

uC S u E u m .

Pentru chenarele din perioadele anterioare aplicm expresia dedus pe baza metodei

evalurii neutre la risc. De exemplu valoarea din primul chenar din perioada 4t (dup 4

creteri consecutive de curs) este:

4 5 4

0,1 0,25[ (1 ) ] [32,436 0,6013 17,4929 0,398] 25,825r tu u u d

C e p C p C e

Continund raionamentul obinem valoarea opiunii la momentul iniial: 0 7,88 . .C u m

Seciunea 3: Modelul Cox-Ross-Rubinstein (1979)

Binomial European PutAt each node:

Upper value = Underlying Asset Price

Lower value = Option Price

Values in red are a result of early exercise.

Strike price = 50

Discount factor per step = 0.9753 82.43606

Time step, dt = 0.2500 years, 91.25 days 0

Growth factor per step, a = 1.0253 74.59123

Probability of up move, p = 0.6014 0

Up step size, u = 1.1052 67.49294 67.49294

Down step size, d = 0.9048 0 0

61.07014 61.07014

0.279591 0

55.25855 55.25855 55.25855

0.952006 0.719163 0

50 50 50

2.004797 2.026932 1.84983

45.24187 45.24187 45.24187

3.720452 4.128678 4.758129

40.93654 40.93654

6.511728 7.828958

37.04091 37.04091

10.52056 12.95909

33.516

15.24949

30.32653

19.67347

Node Time:

0.0000 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000 1.2500

Pentru opiunea PUT se raioneaz similar dar pornind de la payoff-ul unei opiuni PUT:

( , ) max( ,0)TP T S E S . De exemplu valoarea PUT-ului dup 4 scderi consecutive de

curs va fi:

4 4 5

0,1 0,25[ (1 ) ] [12,959 0,6013 19,6734 0,398] 15,2494r td d u d

P e p P p P e

Continund raionamentul obinem valoarea opiunii PUT la momentul iniial:

0 2.0048 . .P u m .

b) Teorema de paritate CALL-PUT valabil pentru opiuni europene: 0.11.25

0 0 0 7,879951 50 2,004797 50 52,0048 52,0048.r TC E e P S e