ww.neutr

ino.roSocietatea de Ştiinţe Matematice din România

Filiala Caraş-Severin

REVISTA DE MATEMATICĂ

A ELEVILOR ŞI PROFESORILOR

DIN JUDEŢUL CARAŞ-SEVERIN

Nr. 20, An VIII-2007

Editura „Neutrino”

Reşiţa, 2007 2

© 2006, Editura „Neutrino” Titlul: Revista de matematică a elevilor şi profesorilor din judeţul Caraş-Severin I.S.S.N. 1584-9767 Colectivul de redacţie: Bădescu Ovidiu Chiş Vasile Dragomir Adriana Dragomir Lucian Drăghici Mariana Didraga Iacob Gâdea Vasilica Golopenţa Marius Moatăr Lavinia Pistrilă Ion Dumitru Stăniloiu Nicolae Şandru Marius Şuşoi Paul

© 2007, Editura „Neutrino” Toate drepturile rezervate Mobil: 0724224400 www.neutrino.ro E-mail: editura@neutrino.ro

ww.neutr

ino.ro

3

CUPRINS

● Câteva gânduri despre matematică……………………… pag. 4 ● Interviu cu Domnul Academician Solomon Marcus (Lucian Dragomir) ……… pag. 5 ● Chestiuni metodice, note matematice ■ Puterea unui punct faţă de un cerc (Lucian Dragomir) …………. pag.8 ■ Consideraţii asupra unei teoreme a lui Cebâşev ( Maria-Magdalena Joiţa, Ovidiu Bădescu) ……….…. pag.19 ■ Asupra unei formule trigonometrice (Lucian Dragomir) ………. …. pag.26 ■ Concursul Traian Lalescu,ediţia nr.21 (Paul Mihai Şuşoi)… ………….. pag.33 ■ Concursul interdisciplinar Poezie± ,etapa judeţeană ……………… pag. 35 ■ Concursul interdisciplinar Poezie± ,etapa naţională (Paul Mihai Şuşoi, Lucian Dragomir) ……… pag.40 ■ Olimpiada Naţională de Matematică, Piteşti , 2007 (Lucian Dragomir) …….. pag.41 ● Probleme rezolvate …………………………………… pag.42 ● Concursul Revistei, ediţia a III a ( Regulament ) ……… pag.57 ● Probleme propuse …………………………….…….. pag.58 ● Rubrica rezolvitorilor ………………………………….. pag.65

4

Câteva gânduri despre matematică

● Ne vom aminti de Arhimede când îl vom fi uitat pe Eschil fiindcă limbile mor, iar ideile matematice sunt fără moarte. „Nemurirea” poate părea un cuvânt inept, dar matematicianul are, probabil, cea dintâi şansă de a se bucura de binefacerile ei, oricare ar fi acelea.

G.H.Hardy ● Matematica nu este o plimbare prudentă pe o autostradă degajată, ci o călătorie spre o sălbăticie ciudată, unde exploratorii se pierd adesea. Rigoarea ar trebui să fie un semn adresat istoricului că hărţile au fost trasate, iar adevăraţii exploratori s-au îndreptat în alte părţi.

W.S.Anglin ● Modelele matematicianului, ca şi cele ale pictorului sau ale poetului, trebuie să fie frumoase;ideile, ca şi culorile sau cuvintele, trebuie să se lege între ele într-un mod armonios. Frumuseţea este cel dintâi test: nu există vreun loc etern pe lume pentru matematica urâtă.

G.H.Hardy

●Un expert în rezolvări de probleme trebuie să fie înzestrat cu două calităţi aparent incompatibil: o imaginaţie neobosită şi o stăruinţă plină de răbdare. Howard W. Eves ● Tinerii ar trebui să demonstreze teoreme, iar vârstnicii să scrie cărţi.

G.H.Hardy

ww.neutr

ino.ro

5

Literatura nu se ia la întrecere cu ştiinţa şi tehnologia, ea trebuie pur şi simplu să-şi apropie această lume, s-o asimileze în substanţa ei umană. (Solomon Marcus – Întâlnirea extremelor, 2005) Concursul naţional interdisciplinar POEZIE± desfăşurat la Caransebeş ne-a prilejuit o întânire absolut excepţională: am avut onoarea şi bucuria să putem discuta, să fim în preajma unuia dintre marii noştri oameni de cultură şi ştiinţă, apropiat astfel parcă de spiritele enciclopedice ale Renaşterii. Este vorba despre distinsul Profesor Solomon Marcus, membru al Academiei Române, care a avut amabilitatea să răspundă la câteva întrebări pentru cititorii revistei noastre. Care sunt, Domnule Profesor, primele amintiri care vă leagă de matematică? Cea mai puternică amintire din matematica primilor ani de şcoală este fascinaţia pe care mi-a produs-o, şi continuă de fapt şi acum să mă marcheze, faptul că nu există un cel mai mare număr natural, că după orice astfel de număr urmează un altul, mai mare. Cred că aici se află rădăcina multor “minuni” ale matematicii. Există vreun dascăl (gimnaziu, liceu, facultate) care v-a marcat în mod deosebit parcursul viitor? Pentru mine, matematica adevărată a început cu anul I de Facultate, când l-am avut profesor pe Miron Nicolescu. Au urmat şi alţii, ca Simion Stoilow, Octav Onicescu, Dan Barbilian, Victor Vâlcovici, Gheorghe Vrânceanu, Alexandru Froda. Abia dupa ce am absolvit Facultatea mi-a apărut în cale Grigore C. Moisil (până atunci ambasador la Ankara). Prin ce s-au deosebit toţi aceştia de dascălii de matematică din şcoală? Aceştia din urmă m-au învăţat aplicarea unor procedee, pe când cei pe care tocmai i-am amintit m-au contaminat cu întrebări şi cu idei. Dacă aveţi vreo amintire mai "neortodoxă" din anii de liceu ... Două amintiri mai neobişnuite: Corijenţa la limba română, urmată de repetarea clasei a doua de liceu (corespunzătoare clasei a şasea de acum) şi eliminarea pe o perioadă scurtă, ca urmare a faptului că într-o lucrare în care eram invitaţi să comentăm pe profesorii noştri

6

am scris despre unul dintre ei că, după cum circula zvonul, luase nota 2 la capacitate. Din marii oameni de cultură şi stiinţă români, de care v-aţi simţit mai atras, mai aproape , care v-a influenţat cariera ? Dintre matematicieni, în afară de cei menţionaţi, trebuie să-i mai amintesc pe Spiru Haret, Dimitrie Pompeiu, Traian Lalescu, Petre Sergescu. Dintre nematematicieni, Eminescu, Arghezi, G.Călinescu, A. D. Xenopol, Nichita Stănescu, Constantin Noica şi aş putea continua lista lor… Aţi publicat în anii 1980-1990 o carte care m-a marcat profund şi care a constituit un real sprijin în viitoarea mea profesie (eram încă student pe atunci): Şocul Matematicii. Din câte imi amintesc, primul capitol se intitula "A fi matematician". Cum putem explica sintetic asta unui elev de liceu ? Nu are rost să repet aici ceea ce am scris în cartea la care vă referiţi. Ca şi literatura sau filozofia, matematica nu încape într-o definiţie. Elevul are dreptul de a ne pretinde să nu-i predăm o materie aridă, plictisitoare, care-i cere un efort neurmat de nici o recompensă (psihologică, sufletească, estetică). Să nu uităm nici o clipă că dacă unui adult îi poţi pretinde uneori să facă un efort într-o direcţie în care motivaţia şi recompensa nu apar imediat, unui copil nu i se poate cere aşa ceva, recompense ludică este obligatorie. Dacă elevul este invitat mai degrabă să reţină anumite lucruri decât să le înţeleagă şi să se bucure de această înţelegere, atunci acţiunea noastră pedagogică este ratată. De fapt, de ce Şocul Matematicii ? Există câteva momente în viaţă în care contactul cu matematica se constituie într-un şoc, pe care avem datoria de a încerca să-l amortizam. Un prim moment este în clasa I primară, apoi este momentul primilor ani de gimnaziu, când se trece mai ferm de la empirie şi intuiţie la analiză şi deducţie; un al treilea moment ar putea fi contactul cu matematica universitară, matematica de cursă lungă; apoi este momentul intrarii în profesie, când constatăm că, într-adevăr, cultura, şi în particular cultura matematică, este ceea ce îţi rămâne după ce ai uitat aproape tot; descoperi că matematica e un mod de gândire care trebuie să funcţioneze şi dincolo de

ww.neutr

ino.ro

7

teoremele pentru care ai dat examen. Aceste lucruri le-am avut în vedere când am scris "Şocul matematicii". Când şi cum aţi apropiat poezia de matematică? Cât sunt ele de apropiate ? Viaţa m-a pus în situaţia de a apropia nu poezia de matematică, ci invers, deoarece de poezie m-am ataşat încă din adolescenţă, pe când matematica am descoperit-o mai târziu, la vârsta bacalaureatului şi, mai ales, a primilor ani de universitate. Dar dacă la început am citit matematica folosindu-mă de ochelarii poeziei, ulterior, spre sfârşitulanilor '50 şi începutul anilor '60 am procedat la o relectură a poeziei marcată de formaţia mea matematică. Aşa s-a născut "Poetica matematică"(1970). Câtă nevoie de matematică are un elev care doreşte o devenire reală ? Nu e vorba de cantitatea de cunoştinţe matematice, ci de calitatea educaţiei matematice: predăm o matematică de reţete şi formule, o matematică aproape exclusiv instrumentală sau scoatem în evidenţă potenţialul ei cultural şi spiritual, legătura ei profundă cu lumea înconjurătoare? Acesta este pariul pe care şcoala nu reuşeşte încă să-l câştige. Cât de util e pentru un elev să participe la olimpiadele şcolare,la concursuri de excepţie în general ? Matematica are, desigur, şi o latură competitivă, care o apropie de sport şi care prezintă, de aceea, un anume grad de atractivitate. Dar dacă problemele propuse la aceste competiţii nu au şi o valoare cognitivă, culturală şi estetică, atunci concursurile la care-i invităm pe tineri nu se vor deosebi prea mult de paginile de divertisment din ziare şi din almanahuri. Domnule Profesor, mulţumim încă o dată pentru clipele plăcute pe care ni le-aţi acordat, vă dorim multă sănătate şi putere de muncă în continuare. (Interviu realizat de Prof. Lucian Dragomir)

8

Puterea unui punct faţă de un cerc Această notă aduce în atenţie chestiuni geometrice deloc noi, dar care adunate cu grijă poate că aduc un mic ajutor celor care se pregătesc pentru concursuri şcolare şi un pic de bucurie tuturor celor care nu au uitat frumuseţea geometriei sintetice la ale cărei nestemate, prea uşor parcă , am renunţat în matematica de liceu.

Teoremă: Dacă , , ,A B C D sunt patru puncte distincte situate pe un cerc ( , )C O R astfel încât { }AB CD M∩ = , atunci

MA MB MC MD⋅ = ⋅ . Demonstraţie: Evident, deosebim cazurile: 1) M Int∈ ( , )C O R Deoarece

MAC MDB≡ (subântind acelaşi arc) şi AMC MDB≡ (opuse la vârf),deducem

MAC MDBΔ Δ∼ , de unde MA MCMD MB

= sau

MA MB MC MD⋅ = ⋅ . Observaţie: E util să reformulăm: dacă M Int∈ ( , )C O R atunci pentru orice coardă ( )AB care conţine punctul M, produsul MA MB⋅ este constant. Valoarea constantă a acestui produs înmulţită cu ( 1)− se notează cu ( )Mρ şi se numeşte puterea punctului interior M faţă de cercul dat . 2) M Ext∈ ( , )C O R Din MBC MDAΔ Δ∼ obţinem MB MCMD MA

= , de unde aceeaşi

egalitate MA MB MC MD⋅ = ⋅

Valoarea constantă a acestui produs se notează cu ( )Mρ şi se numeşte puterea punctului exterior M faţă de cerc.

D

M

C D

A

B

C

AB

M

ww.neutr

ino.ro

9

Dacă M este un punct fixat ne propunem acum să determinăm în funcţie de elemente cunoscute, expresia puterii sale faţă de cerc. 1) M Int∈ ( , )C O R E suficient să considerăm coarda (AB) ca fiind diametru şi deci

( )Mρ 2 2( )( )MA MB R OM R OM OM R= − ⋅ = − + − = − 2) M Ext∈ ( , )C O R La fel, considerăm A , O , M , B coliniare (în această ordine) astfel încât (AB) este diametru şi astfel avem:

( )Mρ 2 2( )( )MA MB R OM OM R OM R= ⋅ = + − = − . Observaţie: Dacă M ∈ ( , )C O R , ( ) 0Mρ = , iar dacă MT e tangentă la cerc, punctul T fiind punctul de tangenţă, avem

2 2 2 ( )MT OM R Mρ= − = . Aşadar pentru orice punct M din planul cercului ( , )C O R avem : ( )Mρ 2 2OM R= − . În continuare vă propunem unele aplicaţii (mai mult sau mai puţin cunoscute, unele deosebit de frumoase). Problema 1 . Dacă ( , )C O R şi ( , )C I r sunt cercul circumscris, respectiv cercul înscris pentru un triunghi ABC, atunci

2 2 2 .OI R Rr= − Soluţie : Notăm cu D intersecţia bisectoarei (AI cu ( , )C O R , aşadar D este

mijlocului arcului BC . Deoarece ( ) ( )( )

2m B m Am IBD +

= şi

( ) ( )m IDB m C= , în BIDΔ obţinem 0 ( ) ( )( ) 180 ( )

2m B m Am BID m C+

= − − =

00 ( ) ( ) 2 ( ) 180 ( )180 ( )

2 2m B m A m C m C m IBD+ + −

= − = = ,

adică triunghiul BID este isoscel cu (1)BD ID= .

A

B

D

C

I

E

10

Folosind teorema sinusurilor în ABDΔ avem şi

2 sin (2)2ABD R= ⋅ .

Notăm acum E piciorul perpendicularei din I pe CA şi avem: IE r= , iar din AIEΔ (dreptunghic în E), deducem:

(3) sin

2

rAI A= .

Este suficient acum să scriem puterea punctului I faţă de cercul ( , )C O R şi obţinem: 2 2( )I IA ID OI Rρ = − ⋅ = − sau, folosind

relaţiile (1) , (2) , (3) , 2 22 sin2sin

2

r AR R OIA ⋅ ⋅ = − , de unde

2 2 2 .OI R Rr= − (Observaţei: 2 0OI ≥ conduce acum la inegalitatea lui Euler, anume 2R r≥ ). Problema 2 . Dacă ( , )C O R este cercul circumscris triunghiului ABC în care G şi H sunt centrul de greutate, respectiv ortocentrul,

iar , ,AB c BC a CA b= = = , atunci: 2 2 2

2 2 .9

a b cOG R + += −

Soluţie: Dacă E este mijlocul lui (BC) şi

{ }( , )AE C O R D∩ = , putem scrie

2 2( )2 ( )3 a

G OG R GA GD

m GE ED

ρ = − = ⋅ =

= ⋅ + =

2 1 ;3 3a am m ED⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Folosind acum puterea punctului E faţă de cercul ( , )C O R ,avem:

AE ED BE EC⋅ = ⋅ ,adică 2

4aam ED⋅ = şi , revenind,ajungem la:

A

B C E

D

ww.neutr

ino.ro

11

22 1( ) ( )3 3 4a a

a

aG m mm

ρ = ⋅ +⋅

. E suficient acum să folosim un alt

rezultat cunoscut, anume teorema medianei, conform căreia avem: 2 2 2

2 2( )4a

b c am + −= . Din acest moment urmează efectiv calcule

fără nici o dificultate. Observaţie: Egalitatea propusă se poate obţine şi folosind,de exemplu, relaţia 2 2 23MA MG GA= +∑ ∑ (Leibniz), adevărată pentru orice punct M din planul triunghiului ABC. E suficient să luăm .M O= Propunere: Dacă tot am văzut cum se calculează OI , OG, încercaţi să arătaţi (şi să reţineţi) cum se poate ajunge şi la OH:

2 2 2 2 29 ( ).OH R a b c= − + + ■ Problema 3 . Se consideră două puncte fixe A şi B pe diametrul unui semicerc, egal depărtate de centru, iar M şi N două puncte variabile pe semicerc astfel încât // .AM BN Să se arate că produsul AM BN⋅ este constant .

(Admitere facultate,1986) Soluţie: Considerăm tot cercul din care provine semicercul dat şi notăm

{ }( , )AM C O R P∩ = ,

{ }( , ) .BN C O R Q∩ = Proiectăm acum O pe MP şi NQ în S, respectiv T. (Punctele S, O, T sunt coliniare! De ce?) Obţinem astfel AOS BOTΔ ≡ Δ (justificarea e chiar imediată), de unde

( ) ( )OS OT≡ şi ( ) ( ).AS BT≡ Deducem acum ( ) ( )MP NQ≡ (coarde egal depărtate de centru) şi astfel: .MS NT SP= = Cum AS BT= , ajungem la .BN NT BT SP AS AP= − = − = Puterea punctului A faţă de cerc conduce la 2 2AM AP R OA⋅ = − , adică

2 2AM BN R OA⋅ = − (constant).

A

B

M

N

O T

Q

R

S

12

Problema 4 . Se notează cu M, N, P mijloacele laturilor (BC), (CA), respectiv (AB) ale unui triunghi ABC. Dreptele AM, BN, CP intersectează cercul circumscris triunghiului ABC în Q, S, respectiv T. Să se demonstreze inegalitatea:

9.AM BN CPMQ NS PT

+ + ≥

(Admitere facultate, 1987) Soluţie: Folosind puterea punctelor M, N, P faţă de cerc obţinem:

2 2 2

, ,4 4 4a b cAM MQ BN NS CP PT⋅ = ⋅ = ⋅ = . Suma din membrul

stâng al inegalităţii propuse se poate acum scrie: 2 2 2AM BN CP AM BN CP

MQ NS PT AM MQ BN NS CP PT+ + = + + =

⋅ ⋅ ⋅

2 2 2

2 2 24 .AM BN CPa b c

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠ Folosim acum teorema medianei, adică

2 2 22 2( )

4b c aAM + −

= şi analoagele. Urmează calcule imediate,

grupări convenabile, folosirea în final a inegalităţilor de tipul 2 2

2 2 2a bb a

+ ≥ şi concluzia vă este la îndemână. ■

Problema 5 . Se consideră un cerc în care este înscris triunghiul isoscel ABC ( AB AC= ). Prin A se duce o coardă care intersectează (BC) în E şi cercul în F. Să se arate că AB este tangentă cercului circumscris triunghiului BEF .

(Mihail Şt. Botez) Soluţie: Deoarece A este comun şi AFB ABC≡ (subântind

coarde egale) deducem că: ABE AFBΔ ≡ Δ , de unde: AB AEAF AB

=

sau 2AB AE AF= ⋅ . Folosind puterea punctului A exterior cercului circumscris triunghiului BEF obţinem că AB este tangentă la acest cerc.

ww.neutr

ino.ro

13

Problema 6 . Dacă H este ortocentrul triunghiului ABC şi D, E, F sunt picioarele înălţimilor acestuia ( , ,D BC E CA F AB∈ ∈ ∈ ), să se arate că: .HA HD HB HE HC HF⋅ = ⋅ = ⋅ Soluţie: Puterea punctului H faţă de cercul circumscris patrulaterului inscriptibil ABDE (unghiuri formate de diagonale cu laturi opuse sunt congruente – sunt chiar unghiuri drepte) conduce la HA HD HB HE⋅ = ⋅ . Analog pentru alt patrulater inscriptibil. Problema 7 . Se consideră două cercuri 1 1 1 2 2 2 1 2( , ), ( , ),C O R C O R O O≠ . Să se determine locul geometric al punctelor din plan care au puteri egale faţă de cele două cercuri . Soluţie: Avem aşadar de găsit mulţimea punctelor M din plan pentru care 2 2 2 2

1 1 2 2O M R O M R− = − ( # ) . Fără a restrânge generalitatea problemei putem considera 1 2R R≥ şi notând 2 2

1 2 0R R k− = ≥ , condiţia ( # ) devine 2 21 2O M O M k− = .

Avem acum altă problemă (destul de cunoscută): Să se determine locul geometric al punctelor M din plan pentru care diferenţa pătratelor distanţelor la două puncte fixe este constantă. E suficient să folosim, de exemplu, teorema lui Pitagora generalizată în triunghiul 1 2O O M (sau teorema cosinusului?) şi obţinem imediat , dacă N este proiecţia lui M pe 1 2O O , că punctul N este fix, adică locul lui M este o dreaptă perpendiculară pe

1 2O O .■ Observaţii : (1) Locul astfel determinat se numeşte axa radicală a cercurilor ( şi este deci o dreaptă perpendiculară pe linia centrelor) ; (2) Dacă { }1 1 1 2 2 2( , ) ( , ) ,C O R C O R A B∩ = , atunci axa radicală a cercurilor este chiar dreapta AB, iar dacă MN este tangenta comună cercurilor 1 1 1( , )C O R şi 2 2 2( , )C O R , atunci AB intersectează (MN) în mijlocul acestuia . Problema 8 . Fie un triunghi ABC şi se notează cu / /, respectiv B C mijloacele laturilor (AC), respectiv (AB), iar cu H piciorul înălţimii

14

din A. Să se arate că cercul circumscris triunghiurilor / / /,AB C BC H şi /B CH au un punct comun I, iar HI intersectează

( )/ /B C în mijlocul său. (Short list, OIM, 1970)

Soluţie: Considerăm D ca fiind al doilea punct de intersecţie a cercurilor circumscrise triunghiurilor /BC H şi /B CH ; deducem acum / / 0 / /( ) ( ) ( ) 180 ( )m B DC m C m B m B AC= + = − , de unde avem că patrulaterul / /AB DC este inscriptibil, deci I este de fapt punctul D. În continuare, deoarece triunghiurile /BC H şi /B CH sunt isoscele( / /C H C B= şi / /B H B C= - mediane corespunzătoare ipotenuzelor … ), iar / / //B C BC , deducem că / /B C este tangenta comună celor două cercuri (tangentă în / /, respectiv C B ). Cum HD (sau HI) este axa radicală a cercurilor respective, obţinem că HI intersectează / /( )B C în mijlocul acestuia . ■ Problema 9. În triunghiul ABC se notează , ,AB c BC a CA b= = = . Cercurile cu centrele în A, B şi C de raze respectiv 1 2 3, ,r r r intersectează laturile triunghiului în şase puncte (discurile respective sunt două câte două disjuncte). Demonstraţi că cele şase puncte sunt conciclice dacă şi numai dacă există egalităţile:

2 1a r b r− = − şi 3 2b r c r− = − . (I.V.Maftei, A.Ghioca, ONM 1983)

Soluţie: Notăm { } { }1 1 2( , ) ( ) , ( , ) ( ) , ( , ) ( ) ,C A r AB M C A r AC N C B r AB S∩ = ∩ = ∩ =

{ } { } { }2 3 3( , ) ( ) , ( , ) ( ) , ( , ) ( ) .C B r BC R C C r AC P C C r BC Q∩ = ∩ = ∩ =Presupunem că M,N,P,Q,R,S sunt conciclice. Folosind puterea punctului A faţă de cercul ce conţine cele şase puncte avem: AM AS AN AP⋅ = ⋅ , adică 1 2 1 3 2 3( ) ( )r c r r b r c r b r− = − ⇒ − = − ; analog,cu puterea punctului C faţă de acelaşi cerc, avem

2 1a r b r− = − . Reciproc,presupunând adevărate egalităţile

2 1a r b r− = − şi 3 2b r c r− = − , vom arăta că hexagonul MNPQRS este inscriptibil; vom demonstra aşadar că mediatoarele laturilor

ww.neutr

ino.ro

15

sale sunt concurente. În primul rând, să observăm că mediatoarele laturilor[ ] [ ] [ ], ,MN PQ RS sunt concurente, fiind bisectoarele unghiurilor triunghiului ABC; notăm punctul de concurenţă cu O şi arătam că O este situat şi pe celelalte mediatoare. Notăm cu K, L, I proiecţiile lui O pe dreptele BC, CA, AB. Cum O este pe mediatoarea lui [ ]PQ , avem: ( ) ( )OP OQ≡ şi deoarece această

mediatoare este şi bisectoarea unghiului C ,deducem: ( ) ( ).OL OK≡ Obţinem astfel: OLP OKQΔ ≡ Δ şi, analog,

,OKR OIS OIM OLNΔ ≡ Δ Δ ≡ Δ . Ajungem acum la: , ,OK LP x RK SI y MI NL z= = = = = = . Folosind ipoteza

2 1a r b r− = − ,deducem CR CN= şi apoi sau (1).RQ PN x y x z= + = + Analog,din ipoteza 3 2b r c r− = − ,

ajungem la (2).AP AS MS NP y z x z= ⇒ = ⇒ + = + Din (1) şi (2) avem x y z= = , adică , ,OL OK OI sunt mediatoarele laturilor [ ] [ ] [ ], ,NP RQ SM ale hexagonului . ■ Problema 10. Fie 1 2TT tangenta comună a două cercuri de centre

1 O şi 2O , secante în A şi B. Dreapta AB intersectează a doua oară cercul circumscris triunghiului 1 2ATT în M . Să se stabilească natura patrulaterului 1 2.MT BT

(C.Coşniţă , Rev.Pitagora,1939) Soluţie: Folosim observaţia 2, Problema 7 şi astfel punctul N de intersecţie dintre axa radicală a cercurilor şi tangenta comună are proprietatea că 1 2NT NT= . Observăm că 2 2 1T MA T T A≡ şi

2 1 1T T A ABT≡ , aşadar 2 2 1//ABT T MA T M BT≡ ⇒ . Cum însă

1 2BNT T NMΔ ≡ Δ ,deducem şi 2 1T M BT= , aşadar 1 2MT BT este paralelogram. ■ Problema 11. În triunghiul ABC, bisectoarea unghiului BAC intersectează latura (BC) în D. Se consideră cercul ω tangent la BC în D, care trece prin A, şi se notează cu M al doilea punct de intersecţie al lui AC cu ω. Se notează cu P al doilea punct de

16

intersecţie al lui BM cu ω. Să se arate că P este situat pe una din medianele triunghiului ABD.

(Concurs Iran , 1998) Soluţie: Notăm cu

( ), ( )m BAP m PADα β= = .Evident, 1 ( )2

m BACα β+ = .

Deoarece APDM este patrulater inscriptibil, avem imediat: ( ) ( )m PAD m PMD β= = . Cum însă DC este tangentă la ω în D,

deducem: 1( ) ( ) ( ).2

m MDC m MAD m BAC= = Acum, din

0 1 1( ) 180 ( ) ( ) ( ) ( )2 2

m ADB m BAC m ABC m ACB m BAC= − − = +

ajungem la: 0( ) 180 ( ) ( ) ( )m ADM m ADB m MDC m ABC= − − = .

Deci, 01 1( ) ( ) ( ) ( ) 180 ( )2 2

m BDM m BAC m ACB m ABC m BAC= + + = −

Obţinem acum: 0 1( ) 180 ( ) ( )2

m MBD m BDM m BACβ β α= − − = − = .

Aşadar MBD PBD PAB≡ ≡ şi astfel BC este tangentă la cercul circumscris triunghiului APB. Deducem acum că AP este axa radicală a celor două cercuri (ω şi cercul circumscris triunghiului APB), care intersectează tangenta comună în punctul T. Deoarece T este pa axa radicală, el are puteri egale faţă de cele două cercuri, adică: 2 2TB TD TB TD= ⇔ = , deci P se află pe mediana din A a triunghiului APB. ■ Problema 12. Se consideră un triunghi ABC şi ( ), ( )D AB E AC∈ ∈ astfel încât // ,DE BC iar P un punct în interiorul triunghiului ADE. Se notează { } { }, .PB DE F PC DE G∩ = ∩ = Dacă O este centrul cercului circumscris triunghiului PDG, iar Q centrul cercului circumscris triunghiului PEF, să se arate că .AP OQ⊥ Soluţie: Deoarece cele două cercuri se intersectează în P, este suficient să arătăm că AP este axa lor radicală. Notăm

{ } { }, .AP DE H AP BC K∩ = ∩ = Din , DH BK FH BKHE KC HG KC

= = ⇒

ww.neutr

ino.ro

17

DH FHHE HG

= şi astfel DH HG FH HE⋅ = ⋅ , adică H se află pe axa

radicală. Cum H AP∈ , concluzia este imediată. ■ În încheiere, vă propunem să vă încercaţi puterile cu următoarea problemă: Problemă Fie ABC un triunghi şi în interiorul său două cercuri

1C şi 2C care se intersectează în punctele M şi N şi astfel încât 1C este tangent dreptelor AB şi BC, iar 2C este tangent dreptelor AC şi BC. Să se arate că dacă M şi N sunt situate pe mediana din A a triunghiului ABC, atunci ABC este triunghi isoscel. Reciproca este adevărată ?

(Lucian Dragomir, G.M.) Bibliografie:

(1) D.M.Bătineţu-Giurgiu şi colectiv – Probleme date la olimpiadele de matematică pentru licee (1950-1990), Ed. Ştiinţifică, Bucureşti, 1992

(2) M.Şt.Botez – Probleme de geometrie, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1976

(3) A.Coţa şi colectiv – Matematică pentru clasa a IX a, manual, E.D.P. 1988

(4) A.Leonte,R.Trandafir – Principii şi structuri fundamentale în matematica de liceu, Ed. Albatros, Bucureşti, 1986

(5) L.Nicolescu, V. Boskoff – Probleme practice de geometrie, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1990

(6) Gazeta Matematică, colecţia 1983- 2006

Lucian Dragomir, Grup Şcolar Oţelu-Roşu e-mail: lucidrag@yahoo.com

18

CONSIDERAŢII ASUPRA TEOREMEI LUI CEBÂŞEV O teoremă foarte interesantă, dar mai puţin folosită de către elevi, este Teorema lui Cebâşev. Ne propunem în acest articol să arătam cum se poate extinde şi să demonstrăm o aplicaţie a ei.

Lema 1. Pentru , 2n n∈ ≥ avem n

Cn

nn 2

42 ≥

Lema 2. Dacă nP este produsul numerelor prime mai mici sau egale cu n, atunci n

nP 4< Lema 3. Dacă p este un număr prim şi 2/ 2 ; .r n r

np C p n r⇒ ≤ ∈ ,

Corolar 1. Dacă p este un număr prim şi nnCp 2/ şi ,2np ≥

atunci p apare la puterea 1 în descompunerea în factori primi a lui nnC2 .

Lema 4 . Fie p prim, nn

n Cpnp 2/,≤ atunci .32 np ≤

Lema 5. Dacă p este un număr prim şi npn 2≤< atunci nnCp 2/ .

Lema 6. Dacă 2, ≥∈ nNn şi notăm ( )nΓ numărul numerelor

prime mai mici sau egale cu n, atunci ( ) ( ) .14;121

≥∀−≤Γ nnn

Toate aceste rezultate sunt demonstrate în W.Sierpinski - "Theory of number " pag.132-135. Lema 7. Fie nR produsul numerelor prime p cu npn 2≤< ( 1=nR

dacă nu există astfel de numere). Atunci 2

3

2

4n

n

n

nn

R

⋅

> pentru

( ) .98≥∀ n Demonstraţie. Aplicând lema 5 se obţine că n

nn CR 2/ de unde rezultă nn

nn QRC ⋅=2 .

Dacă p este prim şi nnn CpQp 2// ⇒ şi aplicând lema 3 rezultă

.2np ≤

ww.neutr

ino.ro

19

Dacă npnp 2>⇒> deci p apare la puterea 1 în dezvoltarea lui .2

nnC Iar nRp / din definiţia lui nR rezultă că p nu divide nQ . Deci

în descompunerea în factori primi a lui nQ apar doar numere prime mai mici sau egale cu n. Dacă p este prim nQpnp /;≤ rezultă n

nCp 2/ şi cu lema 4 vom

avea că .32 np ≤

Fie ssn ppQ αα ...1

1= descompunerea în factori primi . Dintre numerele { }nαα ,...,1 unele sunt egale cu 1 altele sunt mai mari ca 1.

Să presupunem că 1>iα pentru ti ,1= şi 1=iα pentru sti ,1+= , rezultă că ( ) ( )ssn ppppQ s ...... 1

111

1 ⋅= −− αα unde sppp ,..., 21 sunt

numere distincte n32

≤

Deci 32

3221 4...

n

ns pppp <≤⋅ . Fie 2≥iα , ti ,1= rezultă npi 22 ≤

pentru ti ,1= npi 2≤⇒ , [ ]npi 2≤⇒ pentru ti ,1= rezultă

[ ]( )2

2 nnt ≤Γ≤

Am aplicat lema 6 şi tinând cont că [ ] .14298 ≥⇒≥ nn Din

( ) tinpnpnpi

iiii ,1,22 1 =∀≤≤⇒≤ −αα şi rezultă ( ) 211

1 ...1

n

s npp s ≤−− αα

Deci .

2

4

42

4

4

42

3

32

232

2

232

2n

n

nn

n

nn

nn

n

nn

n

nnnnn

CRnQ

⋅

=

⋅⋅

≥

⋅

>⇒⋅<

Corolar 1. Pentru .4,324 2nRn n >≥ Demonstraţie. Pentru 3, ≥∈ kNk demonstrăm prin inducţie că

( ).164 +≥ kk Dacă [ ] [ ]( ) .6461644;3; xxxxRx xxx >⇒>+≥≥≥∈

20

Deci nn

>64 pentru 2233 4432436

nnn

nnnn>⇒>⇒≥⇔≥

şi cum 244234

nn

nnn>⇒> pentru .23124324

nn

nn >⇒≥

Pentru 2723

2318

23>=≥

n .

Atunci nnnnnnn

2227

12 8,4 >=> . Deci

.244

84

4 223

212

24

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅>⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

>

> nn

n

nn

nnn

nn

n

De unde .4 2nRn > Corolar 2. Pentru orice ( ), kk α∈ ∃ ∈ astfel încât

( ) ( ) .,2 kk

n nnR α≥∀>

Demonstratie . Pentru n

Rnn

n

n

nn

244324

1224 >⇒>⇒≥ iar

( )∞⎯⎯→⎯ ∞→nk

n

nn 22412

deci ( ) kα∃ ∈ astfel încât ( )

( ) kk

n

nnn

α≥∀> ,122

412.

Teorema 1. Pentru orice 9≥n între n şi 2n sunt cel putin 3 numere prime. Demonstraţie. Pentru 324≥n rezultă din corolarul 1, iar pentru

323≤n se verifică direct. Teorema 2. Pentru orice număr natural 6≥n între n şi 2n sunt cel putin 2 numere prime. Teorema 3.(Cebâşev) Pentru orice număr natural 4≥n între n şi 2n-2 există cel putin un număr prim. Teoremele 2 şi 3 sunt consecinţe ale teoremei 1.

ww.neutr

ino.ro

21

Teorema 4. Pentru orice ( ), kk α∈ ∃ ∈ astfel încât ( ) kn α≥∀ între n şi 2n sunt cel putin k numere prime. Această teoremă este o consecinţă a corolarului 2. Aplicaţii. 1. Să se determine mulţimea ( ){1 /A n a= ∈ ∀ impar cu

}nana /2 ⇒< . " Testul 2 " Tabăra naţională de matematică de la Sinaia 1984

2. Pentru 2≥n notăm cu G grupul multiplicativ al elementelor inversabile din inelul n

a)Să se demonstreze că dacă pentru orice Gx∈ avem xx =−1 atunci numărul elementelor lui G este o putere a lui 2. b)Determinaţi {2 / nA n= ∈ are proprietatea de la punctul }a

Olimpiada naţională de matematică Târgovişte 1987 Punctul de la aplicaţia 2 este cunoscut Fie ( ){3 /A n p= ∈ ∀ impar }npnp /2 ⇒< . Se observă că

2313 , AAAA ⊃⊃ , 13 AA ⊃ în mod evident , iar pentru 23 AA ⊃ fie

2An∈ şi p prim np <2 şi pp prin absurd că p nu divide pe n ( )ppGp mod012 ≡−⇒∈⇒ . Deci ( )1/ 2 −pn fals pentru că

np <2 de unde 3/ Annp ∈⇒ .

Să-l determinăm pe 3A . Dacă 72≥n rezultă 62

≥⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ n există cel

puţin două numere prime 1p şi 2p care verifică

2 21 2 1 2

1 2 1 2 1

2 ,2 2

/ , /2

n np p n p n p n

np n p n n p p q p

⎡ ⎤ ⎡ ⎤< < ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤

⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ > ⎢ ⎥⎣ ⎦

22

21

21nnp >+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡≥⇒ adică { }3,2,14

421 ∈⇒<⇒>⋅ qqnpp .

Dar qppnnnn /52

65;/5572 212 ⇒<<⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡≤<⇒<⇒≥

contradicţie , rezultă 72≥n . Dacă [ ] 2 2 249,71 3 5 7n n∈ ⇒ ⋅ ⋅ ≤ 3 5 7 / 105n n⇒ ⋅ ⋅ ⇒ ≥ contradicţie, deci 48≤n

Dacă [ ] nnnn ⇒⋅⇒≤⋅⇒∈ /535348,25 22 poate fi 30 sau 45. Dacă [ ] { }22,18,15,12,9/324,9 ∈⇒⇒∈ nnn Orice 8≤n verifică cerinţa din 3A . Deci

{ }45,30,22,18,15,12,9,8,7,6,5,4,3,2,13 =A , şi din această mulţime se verifică ce elemente aparţin lui 1A şi ce elemente aparţin lui 3A . Pentru 2A se va ţine cont de faptul că dacă

nnnAn /224, 22 ⇒≤⇒≤∈ , deci { } .45,15,9,7,5 2 ∅=A∩

Profesor Maria-Magdalena Joiţa

Şcoala "Dumitru Apostol "Găeşti Profesor Ovidiu Bădescu

Liceul Traian Lalescu, Reşiţa

ww.neutr

ino.ro

23

Asupra unei formule trigonometrice

Scopul prezentului articol este de a prezenta mai multe metode, mai mult sau mai puţin cunoscute, de obţinere a unei binecunoscute formule:

xyyxyx cossincossin)sin( ⋅+⋅=+

Chiar dacă în unele cazuri avem doar ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∈

2,0, πyx , considerăm că

soluţiile sunt instructive şi utile în prezentarea lor la clasă sau la centrele de excelenţă .Trebuie astfel să menţionăm că ideea iniţială aparţine elevilor care au dorit să cunoască şi rezolvări dincolo de manuale. Soluţia 1. (Experienţa la catedră ne-a demonstrat c, din punct de vedere metodic , această primă abordare e cea mai nimerită, chiar dacă identitatea e puternic condiţionată) Considerăm un dreptunghi ABCD şi notăm măsurile unghiurilor formate de diagonala [AC] cu laturile adiacente cu x, respectiv y,

aşadar 2π

=+ yx . Se obţin imediat

:ACBCx =sin ,

ACABx =cos ,

ACDCy =sin ,

DCADy =cos , de unde

1cossincossin 2

22

2 =+

=⋅+⋅

=⋅+⋅AC

ABBCAC

DCABADBCxyyx =

sin( ).x y= + ■ Soluţia 2. Considerăm ABC un triunghi în care D este proiecţia lui A pe BC .

bDC

ACADy ==cos şi

cBD

ABBDx ==cos ; folosim acum

24

teorema proiecţiilor şi avem: xcyba coscos ⋅+⋅= . Cu teorema sinusurilor şi folosind faptul că Ayx −=+ π , avem:

xyRyxRAR cossin2cossin2sin2 ⋅⋅+⋅⋅=⋅ sau xyyxyx cossincossin)sin( ⋅+⋅=+ .

(remarcăm că e esenţială în demonstraţie ipoteza în care B, C sunt vârfuri ale unui triunghi pentru ca B + C să fie unghi). Soluţia 3. Considerăm triunghiul ABC în configuraţia de mai jos:

Egalitatea evidentă A ( ABC ) = A ( ABD) + A ( ACD ) se poate scrie :

2sin

2sin

2)sin( yhACxhAByxACAB ⋅⋅

+⋅⋅

=+⋅⋅

de unde:

yBxCyABhx

AChyx sinsinsinsinsinsin)sin( ⋅+⋅=⋅+⋅=+ sau

xyyxyx cossincossin)sin( ⋅+⋅=+ . Soluţia 4 . În cercul de diametru 2R fie coardele perpendiculare [AC] şi [BD] care se intersectează în E. Folosind teorema

sinusurilor, cu notaţiile din figură, avem: )sin(2 yxRBD +⋅= ( 1 )

BCBEy =cos ⇒

yxRyBCBE cossin2cos ⋅⋅=⋅= ( 2 )

Analog în triunghiul ADC : yRDC sin2 ⋅= şi astfel:

DCDEx =cos ⇒ xyRxDCDE cossin2cos ⋅⋅=⋅= (3) .

Deoarece EDBEBD += , din (1), (2) şi (3), avem: xyyxyx cossincossin)sin( ⋅+⋅=+ . Soluţia 5. Considerăm un triunghi ABC dreptunghic în A aşa încât unghiul C are măsura x; construim semidreapta (CT astfel ca măsura unghiului ACT să fie y; proiecţia lui B pe CT este N, iar

ww.neutr

ino.ro

25

paralela prin A la BN intersectează CT în M, apoi proiectăm A pe BN în P. Se obţine următoarea configuraţie:

Avem succesiv:

sin( )

cos sin

BN BP PNx yBC BC

BP AM AB y AC yBC BC

++ = = =

+ ⋅ + ⋅= =

⇒ xyyxyx cossincossin)sin( ⋅+⋅=+ . Soluţia 6. O demonstraţie clasică foloseşte teorema lui Ptolemeu; pentru uşurarea calculelor ne vom permite să considerăm în patrulaterul inscriptibil ABCD două unghiuri opuse drepte (de exemplu A şi C ).

Evident, [BD] este diametru şi avem:

RBD 2= , xRCD cos2 ⋅= , xRBC sin2 ⋅= , yRAB sin2 ⋅= , yRAD cos2 ⋅= şi

)sin(2 yxRAC +⋅= . E suficient să înlocuim totul în egalitatea lui Ptolemeu:

BDACCDABBCAD ⋅=⋅+⋅ . Soluţia 7. Pe un cerc de rază R şi de centru A considerăm punctele M, N, P astfel încât unghiurile MAN şi NAP să aibă măsurile 2x, respectiv 2y.

RMN

RMBx

2sin == ,

RABx =cos ,

RNPy2

sin = , R

ACy =cos

şi R

MPyx2

)sin( =+ ; în

triunghiul MNP avem că BC este linie mijlocie, deci BCMN ⋅= 2 şi astfel aceeaşi teoremă a lui Ptolemeu aplicată în patrulaterul inscriptibil ABNC conduce la:

26

ANBCBNACNCAB ⋅=⋅+⋅ ⇔ RyxRyRyRyRxR ⋅+⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ )sin(sincossincos ; concluzia este imediată.

Soluţia 8. Conform construcţiei norvegianului Wessel (un cartograf , nu matematician specialist), înmulţirea a doi vectori cu aceeaşi origine (identificaţi cu numere complexe corespunzătoare) înseamnă înmulţirea modulelor lor şi adunarea argumentelor .

Această extraordinară şi aparent simplă observaţie a lui Wessel se transcrie imediat astfel:

)sin()cos()sin)(cossin(cos yxiyxyiyxix +⋅++=⋅+⋅+ Nu avem decât să efectuăm înmulţirile în membrul stâng şi să egalăm părţile imaginare: xyyxyx cossincossin)sin( ⋅+⋅=+ . ■ (Remarcă: Folosind aici celebra formulă a lui Euler:

xixeix sincos ⋅+= , avem imediat: )sin)(cossin(cos)sin()cos()( yiyxixeeyxiyxe iyixyxi ⋅+⋅+=⋅=+⋅++=+

continuarea fiind imediată). Soluţia 9. Rotaţia de unghi θ este o transformare clasică în ℝ2 , definită prin R ( x , y ) = )cossin,sincos( θθθθ ⋅+⋅⋅−⋅ yxyx

Deoarece R ( 1 , 0 ) = )sin,(cos θθ , R ( 0 , 1 ) = θθ cos,sin(− ), avem că matricea asociată acestei aplicaţii liniare este

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

θθθθ

cossinsincos

A

Considerăm punctul iniţial M (1, 0) şi rotim [OM] în sens trigonometric cu un unghi x, apoi cu un unghi y, aşadar avem o

ww.neutr

ino.ro

27

rotaţie totală de unghi x + y ⇒

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++−+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −01

)cos()sin()sin()cos(

01

cossinsincos

cossinsincos

yxyxyxyx

xxxx

yyyy

⇒ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

)sin()cos(

cossinsincossinsincoscos

yxyx

yxyxyxyx

, adică o egalitate

chiar mai bogată în informaţii. Soluţia 10. Considerăm funcţia derivabilă f : ℝ → ℝ , )cos()sin()cos()sin()( atatatattf +−−−+= , cu a

∈ ℝ fixat. Calcule simple conduc la expresia derivatei: 0)(/ =tf ,∀t∈ℝ ⇒ f este constantă;

Deoarece af 2sin)0( = avem că atf 2sin)( = , ∀ t ∈ ℝ ; Considerăm acum ytaxat =−=+ , , deci yxa +=2 şi astfel ajungem la:

xyyxyxa cos)sin()cos(sin)sin(2sin ⋅−−−⋅=+= , de unde egalitatea noastră e imediată. Bibliografie : [1] Brânzei Dan , Onofraş Eugen, Aniţa Sebastian, Isvoranu Gheorghe – Bazele raţionamentului geometric, Editura Academiei, Bucureşti, 1983 [2] Turtoiu Fănică – Probleme de trigonometrie, Editura Tehnică, Bucureşti, 1986 [3] Simionescu Gheorghe – Noţiuni de algebră vectorială şi aplicaţii în geometrie, Editura Tehnică, Bucureşti,1982 [4] Udrişte Constantin , Radu Constantin , Dicu Constantin , Mălăncioiu Odetta – Probleme de algebră, geometrie şi ecuaţii diferenţiale, EdituraDidactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981 [5] Vodă Gh.Viorel – Surprize în matematica elementară,Editura Albatros, Bucureşti, 1981

Lucian Dragomir, Grup Şcolar Oţelu-Roşu

e-mail : lucidrag@yahoo.com

28

Caransebeş 2007, Ediţia nr. 21 a Concursului Interjudeţean Traian Lalescu

A venit rândul judeţului nostru să fie gazda acestei manifestări matematice (şi nu numai), devenite deja tradiţională în concertul concursurilor de gen din ţară. În perioada 23-25 martie, la Liceul Pedagogic C.D.Loga din Caransebeş, s-a desfăşurat astfel ediţia cu numărul 21 a competiţiei ce a avut la start unii dintre cei mai buni elevi din judeţele Arad, Hunedoara, Timiş, Caraş-Severin. Gazde atente şi ospitaliere, după cum mărturiseau participanţii (elevi şi profesori deopotrivă), personalul şcolii organizatoare a reuşit să creeze o atmosferă caldă, benefică întrecerii. Se cuvine să amintim aici rolul deosebit avut în organizare de Domnul Profesor Nicolae Grindeanu, Directorul Liceului Pedagogic, de Primăria Municipiului Caransebeş, de mulţi alţi colegi şi persoane care, chiar nefiind profesori, au fost alături de noi trup şi suflet pentru a contribui la reuşita acestei manifestări. Trebuie să mai amintim şi echipa universitară care a asigurat conceperea subiectelor de concurs şi care a fost condusă de Domnul Profesor Universitar Dr. Constantin Buşe de la Universitatea de Vest din Timişoara. În fine, vom prezenta , ca de obicei, lista elevilor cărăşeni care au reuşit de această dată să fie premiaţi: Clasa a 5 a Lazăr Silviu Şcoala nr.9 Reşiţa Premiul I Ţunea Marius Şcoala nr.6 Reşiţa Menţiune Aghescu Monica Şcoala nr.2 Reşiţa Menţiune Ţeudan Adina Şcoala nr.2 Reşiţa Menţiune Drăghici Livia Şcoala nr.2 Reşiţa Premiu SSMR Clasa a 6 a Stoicănescu Gelu Liceul .Traian Doda

Caransebeş Premiu SSMR

Clasa a 7 a Semenescu Anca Liceul .Pedagogic

Caransebeş Premiul I

ww.neutr

ino.ro

29

Uţă Robert Grup Şcolar Moldova-Nouă

Premiu SSMR

Clasa a 8 a Cococeanu Oana Şcoala nr.1 Oţelu-

Roşu Menţiune

Meşter Sergiu Şcoala nr.2 Reşiţa Premiu SSMR Clasa a 9 a Stăniloiu Ovidiu Liceul Tata Oancea

Bocşa Premiul II

Lupu Vlad Grup Şcolar Oţelu-Roşu

Menţiune

Milcu Roxana Liceul Pedagogic Caransebeş

Menţiune

Cotoran Florin Liceul Traian Vuia Reşiţa

Premiu SSMR

Clasa a 10 a Pîrvu Cătălin Grup Şcolar

Moldova-Nouă Menţiune

Unguraş Dragoş Grup Şcolar Oţelu-Roşu

Menţiune

Gurgu Caius Liceul .Traian Doda Caransebeş

Premiu SSMR

Clasa a 11 a Popovici Doru Liceul Traian

Lalescu Reşiţa Menţiune

Iacob Alexandra Liceul .Traian Doda Caransebeş

Premiu SSMR

Clasa a 12 a Măran Andrada Grup Şcolar

Moldova-Nouă Menţiune

Cucu Silviu Liceul Traian Lalescu Reşiţa

Premiu SSMR

Prof. Drd. Paul Mihai Şuşoi

30

Concursul Naţional Interdisciplinar de Matematică şi Limba Română ± POEZIE , etapa judeţeană 2007

Ministerul Educaţiei şi Cercetării a lansat,începând cu acest an, un concurs pe cât de frumos şi inedit (ne referim la subiecte), pe atât de util , poate că mai ales pentru că s-a descoperit că elevii care ştiu destul de multă matematică au carenţe de exprimare , au un vocabular destul de limitat.Ce este demn de subliniat este că judeţul nostru a organizat ediţia naţională a acestei confruntări în premieră în ţara noastră , în perioada 4-6 mai 2007. Pentru cei care nu prea ştiu despre ce este vorba (şi din păcate nu sunt puţini aceştia), vom prezenta subiectele propuse la etapa judeţeană ale acestui concurs .

Clasa a 5-a , etapa judeţeană

1. Limba română (15 puncte) „Neagră ca un as de pică

Sub nemărginitul cer,

Singuratică şi mică

Cât o boabă de piper.” (G. Topârceanu – Cioara)

În versurile de mai sus, poetul George Topârceanu descrie o pasăre. Dacă

vrei să primeşti 15 puncte, citeşte cu atenţie versurile de mai sus şi

găseşte răspunsul corect pentru următoarele sarcini de lucru: 1. Adaugă fiecăruia dintre primele trei versuri doar câte un singur cuvânt, în

aşa fel încât să obţii câte o propoziţie (în total, trei propoziţii) . (6 puncte)

2. Scrie, pentru fiecare cuvânt adăugat, ce parte de vorbire este şi ce funcţie

sintactică are acesta în enunţul căruia îi aparţine. (6 puncte)

3. Construieşte un singur enunţ în care să foloseşti toate adjectivele propriu-

zise din text, care să îndeplinească funcţia sintactică de nume predicativ.

Atenţie! Numele predicativ nu trebuie să fie multiplu. (3 puncte)

ww.neutr

ino.ro

31

2. Matematică ( 15 puncte ) Numerele 1,2,3, ..., 15, 16 au fost aşezate într-un pătrat, astfel ca suma numerelor pe orice linie, pe orice coloană şi pe fiecare din cele două diagonale este 34. Din pătrat însă s-au şters unele numere, iar ceea ce a rămas arată aşa :

12 3 4 10 1 3

9 2 2 4 11 1 A B C D

Literele A,B,C,D de pe ultima linie, respectiv cifrele 1,2,3,4, de pe coloana din dreapta, nu fac parte din pătratul dat.

a) Explică de ce 16 nu poate fi aşezat în căsuţele A2,A4,D4,B1,B3. b) Explică de ce 16 nu poate fi aşezat în căsuţele C1 sau C3. c) Aşează acum numerele care lipsesc în pătrat astfel încât să fie

satisfăcută condiţia dată. 3. Română + Matematică ( 100 puncte )

”Uite-un fluture pe perdea, Vrea să intre în camera mea, N-am să-l las, fiindcă am deja Musafiri destui... O lumânare aprinsă am, Şapte stele chiar lângă geam Şi mai vine la seara mea Încă cineva! Peste cer sunt nori ca de fum,

Luna nouă iese acum, Lucrurile-n ceaţă dispar... Uite-un fluture pe perdea, Vrea să intre în camera mea, N-am să-l las fiindcă am deja Musafiri destui Deja...” (Al. Andrieş - Fluture pe perdea)

1. Identifică în strofa a treia a textului un cuvânt care poate numi un număr – pătrat perfect. Transcrie cuvântul şi cifra corespunzătoare numărului sugerat de acesta. (2 puncte)

2. Selectează, din textul dat, două substantive care fac parte din câmpul semantic al termenului „cameră”. Alcătuieşte o propoziţie pornind de la cuvintele obţinute astfel. (4 puncte)

3. Identifică şi transcrie verbele din text care ocupă poziţii reprezentând multipli de 3 (numeri numai verbele). (2 puncte)

4. Combină câteva dintre literele care sunt iniţiale în versurile citate, în aşa fel încât să obţii un substantiv care denumeşte un termen matematic. Construieşte

32

apoi o propoziţie dezvoltată, în care substantivul găsit de tine să îndeplinească funcţia sintactică de complement. (2 puncte) Folosind ca personaje fluturele, şapte

stele, luna şi musafiri, alcătuieşte o

scurtă compunere narativă de 10 – 15

rânduri, cu titlul Prietenii mei

(45 puncte)

b. Pornind de la compunerea pe care

ai realizat-o, alcătuieşte textul unei

probleme de matematică, cu cel puţin

două judecăţi, pe care să o rezolvi .

( 45 puncte )

10 puncte se acordă din oficiu. Total:140 de puncte

Clasa a 6-a , etapa judeţeană

1. Limba română ( 15 puncte ) „Dimineaţa, când mă scoală,

Stolul e o ciripeală.

Le strig tare, ca la şcoală.

Porţia e câte trei –

Zeci de boabe-n cioc, de mei.

Le învăţ să numere,

Ele dau din umere.

De le-aş da şi carne crudă,

Nici nu vor de scris s-audă.

Vrăbioii mei sunt proşti:

Cum de-i vezi, îi şi cunoşti.”

(Tudor Arghezi – Nepăsare)

Dacă vrei să primeşti 15 puncte, citeşte cu atenţie poezia de mai sus şi găseşte

răspunsul corect pentru următoarele sarcini de lucru:

1. Identifică şi transcrie, din text, un cuvânt care, cu forma folosită de poetul

Tudor Arghezi, ar putea fi, în alt context, deopotrivă, pronume şi adjectiv

pronominal. (4puncte)

2. Găseşte şi transcrie cuvântul care se pronunţă la fel cu pronumele “ele”, dar

se scrie diferit faţă de acesta şi, cu această formă, are valoarea de substantiv.

(4 puncte)

3. Alcătuieşte o frază în care să foloseşti substantivul scris ca răspuns la a doua

sarcină de lucru, cu forma de plural articulat şi cu funcţia sintactică de atribut

substantival genitival. (7 puncte)

ww.neutr

ino.ro

33

2. Matematică ( 15 puncte ) Prâslea trebuie să omoare balaurul cu multe capete. El s-a luptat cu

balaurul 3 zile, de dimineaţă până la apusul soarelui. În prima zi, Prâslea a tăiat 34

din capetele balaurului şi încă unul. Noaptea, balaurului i-au mai crescut două

capete. În a doua zi, Prâslea a mai tăiat 34

din capetele pe care le avea balaurul şi

încă unul, dar noaptea, balaurului i-au mai crescut din nou încă două capete. În a

treia zi , Prâslea a tăiat din nou 34

din capete şi încă unul şi de data asta balaurul

a fost răpus, deoarece rămăsese fără capete . a) Câte capete avea balaurul ? b) Câte capete ale balaurului a tăiat Prâslea în fiecare din cele trei zile ?

3. Română + Matematică ( 100 puncte) Copil să fii cu cercei aurii Două raze de soare să-ţi fie salbă Cu sania în ninsoare să alergi Şi să crezi în Moşul cu barbă. De nimic să nu-ţi pese, Nici de frig, nici de ploi, Doar tu şi cu vântul Să zburaţi amândoi.

Cu soarele pe umăr Să pleci la plimbare, Cu luna în braţe Să te joci în mare. Amintire de vis finit, Nici timpul înapoi nu mai vrea; Îmi repeta întruna mâhnit: Vacanţa de copil s-a sfârşit. (Ioana Miloşescu - Copilărie)

1. Selectează numai din prima şi a treia strofă din poezia Copilărie de Ioana Miloşescu părţi de vorbire care pot alcătui logic două mulţimi de elemente sugerând: una, acţiuni posibile, realizabile, cealaltă, obiectele care ar putea corespunde mulţimii acţiunilor. Transcrie-le, realizând grafic corespondenţa dintre elementele celor două mulţimi. (10 puncte) 2. Poezia este o construcţie foarte bine proiectată de către autor. Acesta, precum un arhitect priceput, utilizează cuvintele cu o mare putere de sugestie. În acelaşi mod, un matematician construieşte problemele, pe care elevii isteţi le rezolvă cu plăcere. Tu eşti un elev foarte bun atât la limba română, cât şi la matematică şi astfel, vei putea să răspunzi următoarelor două sarcini de lucru: 3.a. Valorificând în mod special simbolurile structurilor „vis finit”, „înapoi nu mai vrea”, „repeta întruna”, din strofa a treia a poeziei Copilărie, de Ioana Miloşescu, scrie o

b. Găseşte o modalitate matematică de a crea o problemă de mişcare, cu cel puţin trei judecăţi, pornind de la relaţia dintre structurile citate la punctul a şi formule matematice

34

compunere de 20 -25 rânduri cu titlul Călătorie prin vârsta copilăriei. ( 45 puncte )

cunoscute de tine. Rezolvă această problemă. ( 45 puncte )

10 puncte se acordă din oficiu. Total:140 de puncte Pentru a obţine punctajul maxim (15 + 15 + 100 + 10 = 140), vei avea în vedere următoarele precizări:

Sarcinile de lucru îţi solicită atât cunoştinţele dobândite la cele două discipline de studiu, cât, mai ales, perspicacitatea, logica şi atenţia.

A rezolva corect şi repede o sarcină de lucru înseamnă, în primul rând a înţelege mesajul comunicat şi logica acestuia.

Deşi par multe, sarcinile de lucru vor putea fi rezolvate foarte repede dacă vei alege cât mai repede calea logică pentru a obţine răspunsul corect.

Cuvintele comunică, prin logica îmbinării lor în enunţuri, atât mesaje explicite, cât şi mesaje încifrate.

Pentru alegerea căii corecte către răspuns, este necesar să citeşti cu atenţie enunţurile sarcinilor de lucru şi textele suport.

Elevii calificaţi din judeţul nostru la etapa naţională au fost : Clasa a 5 a Ţeudan Adina Şcoala Generală 2 Reşiţa Lazăr Silviu Şcoala Generală 9 Reşiţa Clasa a 6 a Epure Iasmina Grup Şcolar Anina Moţ Ioana Şcoala Generală 6 Reşiţa

ww.neutr

ino.ro

35

Concursul Naţional Interdisciplinar de Matematică şi Limba Română ± POEZIE, etapa naţională 2007

Etapa naţională a acestui inedit concurs a fost organizată în judeţul nostru, gazda fiind din nou Liceul Pedagogic C.D.Loga Caransebeş. În perioada 4-6 mai 2007, în municipiul de pe Timiş şi Sebeş, s-au întâlnit 169 de elevi din clasele a 5-a şi a 6-a, din toată ţara, pentru a arăta că ştiu matematică şi limba română deopotrivă. Pentru a evidenţia importanţa şi amploarea acestui concurs vom aminti doar că pe toată perioada ne-am bucurat de prezenţa absolut extraordinară a invitatului de onoare, Domnul Academician Solomon Marcus. Deasemenea, comisia de concurs a fost condusă de Prof. Dr. Mircea Bertea(preşedinte), Prof. Mina-Maria Rusu şi Prof. Adrian Troie(inspectori generali în MECT – vicepreşedenţi). Subiectele au fost, aşa cum ne aşteptam, frumoase, generoase (pot fi găsite pe www.neutrino.ro), iar rezultatele obţinute de elevi încurajatoare(pe acelaşi site). Premiul I la clasa a 5-a a fost obţinut, cu 133 de puncte din 140 posibile, de eleva Costea Teodora de la Şcoala nr.10 din Bacău, iar la clasa a 6-a de eleva Marin Bianca de la Liceul Nadia Comăneci Oneşti (tot judeţul Bacău!), ci 137 de puncte. Elevii judeţului nostru s-au comportat foarte bine în concurs, obţinând, cu punctaje mari, două menţiuni, prin Ţeudan Adina şi Epure Iasmina. Felicităm încă o dată elevele care au fost premiate, elevii care s-au calificat la această etapă finală a concursului, profesorii care i-au pregătit, părinţii care le-au fost aproape. Se cuvine deasemenea să amintim efortul câtorva profesori care au fost zi şi noapte inima din umbră a concursului, încercând să facă tot posibilul pentru ca la lumină să se vadă totul bine şi frumos. Nici măcar nu le amintim numele, le mulţumim doar încă o dată. În rest, tuturor vacanţă plăcută şi suntem convinşi că în zilelele toride ale verii unii vă veţi găsi timp să mai citiţi puţină matematică, să mai rezolvaţi sau chiar să compuneţi câte o problemă. Prof. Drd.Paul Mihai Şuşoi.Prof.Lucian Dragomir

36

Olimpiada Naţională de matematică, Piteşti, aprilie 2007

Incredibil, dar adevărat. Cred că nu greşesc prea mult dacă încep aşa şi de fapt nici n-o să povestesc prea multe; nu pot. Am plecat la Piteşti cu un lot mai numeros ca oricând aproape. În urma rezultatelor absolut încântătoare de anul trecut, de la Iaşi (5 premii şi menţiuni), lotul 2007 al judeţului a cuprins 11 elevi, adică tot atâtea premii posibile(visam noi). Problemele au fost la fel de dificile pentru toţi participanţii, însă lipsa de concentrare, poate marile aşteptări ale tuturor, care au creat o subtilă stare negativ emoţională, poate multe alte motive, au făcut să nu ne întoarcem anul acesta decât cu un premiu. Premiul obţinut este absolut onorant: menţiune a MECT şi medalie de argint – Ovidiu Stăniloiu de la Liceul Teoretic Tata Oancea din Bocşa (Ovidiu confirmă astfel parcursul ascendent din ultimii ani ). În rest, Sergiu Meşter şi Roxana Milcu au fost primii sub linia premianţilor, dar asta nici nu mai contează acum. Am venit acasă anul acesta cu capul puţin plecat, cu o nouă lecţie învăţată, cu speranţa, poate chiar convingerea că la anul va fi mai bine. Aceasta însă presupune eforturi susţinute în timp îndelungat, înseamnă încredere în propriile forţe, înseamnă detaşare de orice altceva în clipele de concurs. Am pierdut doar o bătălie, lupta mare continuă. Oricum, să ajungi la o etapă finală nu e la îndemâna oricui. Şi dacă azi nu ai câştigat şi acolo, continuă, va răsări din nou soarele pe care îl visezi, doar tu ştii în ce formă. Aşadar, lotul 2008 al judeţului nostru va fi format din doar 7 elevi, competiţia pentru acestea anunţându-se deja acerbă. Poate că nici nu strică. Poate că mai sunt multe de discutat (cauze, soluţii,...). Deocamdată, spor la treabă, elevilor şi profesorilor deopotrivă.

Prof. Lucian Dragomir

ww.neutr

ino.ro

37

Probleme rezolvate din RMCS nr. 18 şi nr. 19 ( Din considerente tehnice, în acest număr nu vom publica decât selectiv soluţii ale problemelor apărute în numerele anterioare; în general, e vorba de problemele la care s-au primit puţine soluţii corecte sau chiar nu s-a primit nici o soluţie completă şi corectă. Mulţumim pentru înţelegere)

Clasa a V-a V. 060 Aflaţi toate numerele naturale, pătrate perfecte,de forma 6aab .

Prof. Ion Belci, Şcoala nr. 9 Reşiţa

Soluţie : 2

6aab cd= , deci { }4,6d ∈ şi 3.c ≥ Încercări imediate conduc la numerele 1156 şi 8836. ■ V. 064 Aflaţi numerele naturale , ,x y z pentru care

3 2 2 12 2 2 416.x y z+ ++ + = Prof. Zoran Ocanovici, Moldova-Nouă

Soluţie : Numărul 416 se scrie în baza 2 astfel: 2110100000 , aşadar 8 7 5416 2 2 2 .= + + Dacă 3 2 8x + = , avem 2 1 7 sau 2 1 5y y+ = + =

şi obţinem 2, 3, 5 sau 2, 2, 7.x y z x y z= = = = = = Dacă 3 2 5 1, 3, 8.x x y z+ = ⇒ = = = (De ce alte cazuri nu sunt posibile ?). ■ V. 067 Diana alege un număr de două cifre şi Adriana îl înmulţeşte cu 4. a) Dacă se aşează cifra 3 în faţa numărului Dianei, arătaţi că nu se poate obţine un număr de trei cifre de trei ori mai mare decât numărul Adrianei ; b) Ce număr trebuie să aleagă Diana astfel încât aşezând cifra 3 în faţa numărului său să obţinem un număr de trei cifre care este de patru ori mai mare decât numărul prietenei sale ?

Prof. Lucian Dragomir , Oţelu-Roşu Soluţie : Diana alege un număr de forma ab , iar numărul Adrianei este astfel 4 ab⋅ . a) 3 3 4 300 12ab ab ab ab= ⋅ ⋅ ⇒ + = ⋅ , de unde avem : 11 300ab⋅ = ,egalitate imposibilă, deoarece 300 nu este divizibil cu 11. b) 3 16 15 300 20.ab ab ab ab= ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ = ■

38

V. 068 Scrieţi numărul 2008100A = ca sumă de patru cuburi de numere naturale .

Prof. Marian Bădoi , Oraviţa Soluţie : 2007 2007100 100 (1 8 27 64) 100A = ⋅ = + + + ⋅ =

( ) ( )( ) ( )

3 33 3 3 3 2007 669 669

3 3669 669

(1 2 3 4 ) 100 100 2 100

3 100 4 100

= + + + ⋅ = + ⋅ +

+ ⋅ + ⋅

V. 069 Se consideră şirul 1 ; 3 ; 6 ; 11 ; 20 ; 37 ; … a) Completaţi şirul cu următorii trei termeni . b) Aflaţi al 2007-lea termen. c) Arătaţi că diferenţa dintre al 2008-lea termen şi al 2007-lea termen este un număr divizibil cu 5. Prof.Mariana Drăghici,Reşiţa Soluţie: Observăm(destul de greu credem) forma generală a termenului de pe locul n : 2nn + . ■ V. 070 Un butoi de 75 litri, plin cu apă, este golit în 20 de vase de 3 litri, 4 litri şi de 5 litri. Aflaţi numărul vaselor de aceeaşi capacitate ştiind că fiecare astfel de număr este prim.

Prof. Ion Belci, Reşiţa. Soluţie: Suma celor 3 numere prime este 20⇒unul este 2 Vor exista trei posibilităţi. CAZ I. Cele 2 vase sunt de 5 litri⇒ au împreună 10 litri ⇒ 75-10=65 litri se pun în vase de 3litri şi 4 litri Presupunem că toate vasele sunt de 3 litri⇒ 18 ⋅ 3=54 litri, 65-54=11 litri, 4-3=1 litru se mai pune în fiecare vas de 4 litri ⇒ 11 vase de 4 litri (11 este nr. prim). 18-11=7 vase de 3 litri (7 este nr. prim) CAZ II. Cele 2 vase sunt de 4 litri ⇒ au împreună 8 litri. ⇒ 75-8=67 litri se pun în vase de 3 litri şi 5 litri Presupunem că toate vasele sunt de 3 litri ⇒18 ⋅ 3=54 litri, 67-54=13 litri, 5-3=2 litri se mai pun în fiecare vas de 3 litri ⇒ 13:2=6,5 – nu este nr. nat.⇒ situaţie imposibilă CAZ III. Cele 2 vase sunt de 3 litri ⇒ au împreună 6 litri ⇒ 75-6=69 litri. Dacă toate vasele ar avea 4 litri⇒ 4 ⋅ 18=72 litri>69, imposibil ■

ww.neutr

ino.ro

39

V. 071 Fie x cel mai mare număr natural care împărţit la 145 dă restul egal cu pătratul câtului, iar y cel mai mare număr natural care împărţit la 13 dă câtul egal cu pătratul restului.

a. Comparaţi numerele x şi y. b. Determinaţi cardinalul mulţimii:

{A n n= ∈ şi n este divizor al numărului ( ) }:12x y+ . Prof. Vasile Chiş, Reşiţa.

Soluţie: a) 2145x c c= ⋅ + , unde 2 145.c < Cel mai mare număr care verifică ipotezele date este astfel 145 12 144 1884.⋅ + = La fel ,

213 , 13,y c cr r c r= ⋅ + < = şi cel mai mare y este 213 12 12 1884 .x y⋅ + = ⇒ = b) Folosim faptul că 157 este număr prim şi ajungem la 2.cardA = ■ V.077 Câte numere de 4 cifre scrise în baza 10 înmulţite cu 4 dau un număr care are ultimele 4 cifre 2, 0, 0, 8?

Prof. Pavel Rîncu , Dalboşeţ Soluţie: { }4 2008 (4 ) 8 ( ) 2,7abcd e u d u d⋅ = ⇒ = ⇒ ∈ . Dacă 2d = ,

ajungem imediat la 0, 0, 3, 1 sau 0, 0, 8, 3b c a e b c a e= = = = = = = = Dacă 7d = ,avem 2, (4 1) 0 imposibil sau c u b= + = 7, (4 3) 0c u b= + = , imposibil. Numerele căutate sunt deci 3002 şi 8002. ■ V.078 a) Demonstraţi că numărul abcd este divizibil cu 17 dacă şi numai dacă 2−cd ab este divizibil cu 17. b) Demonstraţi că numărul 23972397……2397 este divizibil cu 17.

Prof. Mihai Monea , Deva Soluţie : a) 100 102 2 17 6 2abcd ab cd ab ab cd ab cd ab= + = − + = ⋅ ⋅ + − Dar, ( ) ( )17 6 2 17 2 17ab cd ab cd ab⋅ ⋅ + − ⇔ −

b) numărul dat este un multiplu al lui 2397 care este divizibil cu 17 pentru că 97 2 23 51− ⋅ = este multiplu de 17 . ■

Clasa a VI-a VI 063 a) Există mulţimi A nevide de numere naturale nenule care

satisfac proprietatea : 2x A Ax

∈ ⇒ ∈ şi 4 Ax∈ ? ;

b) Există mulţimi B nevide de numere naturale nenule care

satisfac proprietatea : 3x B Bx

∈ ⇒ ∈ şi (4 )x B− ∈ ? .

Prof. Lucian Dragomir , Oţelu-Roşu

40

Soluţie : . a) x trebuie să fie divizor natural al lui 2 şi al lui 4 ; se ajunge

astfel la { }1,2 A⊂ . Acum avem însă : 21 44

A A A∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈ ,

imposibil, deoarece 12∉ . Aşadar nu există mulţimi care satisfac

enunţul. b) La fel , x trebuie să fie 1 sau 3. În acest caz se verifică (obligatoriu) că mulţimea { }1,3B = satisface condiţiile din enunţ. ■ VI 064 Punctele A, B, C sunt vârfurile unui triunghi în care oricare două laturi diferite au lungimi diferite.În câte moduri poate fi ales un punct D în planul triunghiului ABC astfel încât mulţimea { }, , ,A B C D să admită o axă de simetrie ? Soluţie : Presupunem că mulţimea{ }, , ,A B C D admite o axă de simetrie. Punctele acestei mulţimi sunt două câte două simetrice faţă de această axă şi deci,în condiţiile din enunţ, trebuie să avem două sau patru puncte nesituate pe axă. Dacă pe axă sunt situate două puncte, atunci această axă este una din dreptele AB, AC, BC, iar punctul D este simetricul punctului C, respectiv B, respectiv A faţă de axa AB, respectiv AC, respectiv BC. Dacă pe axă nu se află nici unul dintre punctele A, B, C, D,atunci această axă este una dintre mediatoarele segmentelor (AB), (AC), (BC), iar punctul D este simetricul punctului C, respectiv B, respectiv A faţă de mediatoarea segmentului (AB), respectiv (AC), respectiv (BC). Dacă unul dintre unghiurile triunghiului ABC este drept, atunci mediatoarele catetelor conduc la acelaşi punct, deoarece aceste mediatoare sunt axe de simetrie ale dreptunghiului ABCD. Prin urmare punctul D poate fi aşezat în şase moduri dacă triunghiul ABC nu este dreptunghic şi în cinci moduri dacă ABC este dreptunghic. ■ VI 066 Pe o tablă sunt scrise numerele 1,3,5. Un pas este ştergerea a două dintre numere,fie acestea a şi b, în locul lor fiind scrise numerele 2

3a b+

şi 2

3b a+

. Este posibil ca după câţiva astfel de paşi succesivi să

avem scrise pe tablă numerele 19 23 11, ,9 9 3

?

Prof. Lucian Dragomir , Oţelu-Roşu Soluţie : Problema se încadrează în aşa numita teorie a invarianţilor.Să observăm astfel că transformarea pe care o facem la un pas lasă invariantă

ww.neutr

ino.ro

41

(neschimbată) suma celor trei numere : 2 2

3 3a b b a c a b c+ +

+ + = + + .

Deoarece 1 3 5 9+ + = ar trebui după oricât de multe astfel de

transformări să obţinem tot suma 9, dar 19 23 11 9.9 9 3+ + ≠ ●

VI 067 Lungimile laturilor unui triunghi sunt numere întregi consecutive. Se ştie că o mediană a triunghiului este perpendiculară pe o bisectoare a lui. Să se afle lungimile laturilor triunghiului.

Olimpiadă Moldova Soluţie : Dacă M este mijlocul laturii AC şi bisectoarea AO este perpendiculară pe BM , atunci triunghiul ABM este isoscel , cu AB AM= . Notăm , 2 , .AB x AM x AC x x= ⇒ = = ∈ Avem acum următoarele situaţii posibile : 1) AB şi AC sunt consecutive,

1 2 1AB AC AC x x x< ⇒ = + ⇒ = + , prin urmare 1x = , deci 1, 2, 3AB AC BC= = = . Cum 1 2 3+ = , avem că A, B, C sunt coliniare,

absurd. 2) Dacă AB şi BC sunt consecutive, AB fiind cea mai mică se ajunge la 2, 3, 4.AB BC AC= = = ■ VI 073 Fie [AB] un segment cu lungimea 1m. Fie A1 mijlocul segmentului [AB], A2 mijlocul segmentului [A1B], A3 mijlocul segmentului [A2B] s.a.m.d. Determinaţi cel mai mic număr natural n pentru care lungimea segmentului [ ]nA B este mai mică de 1mm.

Prof. Mihai Monea , Deva Soluţie : Se observă că prin construcţia unui punct lungimea se înjumătăţeşte şi deci lungimea segmentului [ ]nA B este

1 11 mm2 1000n m< = adică 2 1000n > şi deci n = 10 .●

VI 074 În interiorul unghiului XOY cu măsura 30 construim atâtea semidrepte de culoare albastră câte sunt necesare pentru a împârţi unghiul în unghiuri egale de 2 . Apoi reluăm construcţia cu semidrepte de culoare roşie pentru a obţine unghiuri de 3 şi a treia oară construim semidrepte verzi pentru a împărţi unghiul în unghiuri egale de câte 5 . În urma finalizării construcţiei se constată că unele semidrepte se suprapun. Câte semidrepte distincte sunt în interiorul unghiului?

Prof. Mihai Monea , Deva

42

Soluţie : Sunt 15 unghiuri de 2 deci am trasat 14 semidrepte albastre, pe care le notă [ [1 2 14, ,....,⎡⎣OA OA OA şi ( ) 2=km XOA k . Sunt 10 unghiuri

de câte 3 deci 9 semidrepte roşii, notate [ [ [1 2 9, ,...,OB OB OB şi

( ) 3=lm XOB l . Sunt 6 unghiuri de câte 5 , deci 5 semidrepte verzi,

notate [1 2 5, ,...,⎡ ⎡⎣⎣OC OC OC şi ( ) 5=im XOC i . Deoarece 2, 3, 5 au

c.m.m.m.c pe 30 nu vom avea triplă suprapunere. Având în vedere măsurile unghiurilor ce se formează avem suprapunerile [ 3OA cu [ 2OB ,

[ 6OA cu [ 4OB , [ 9OA cu [ 6OB şi [ 12OA cu [ 8OB , apoi [ 2OA cu [ 2OC ,

[ 10OA cu [ 4OC şi în final [ 5OB cu [ 3OC deci 7 suprapuneri . Rămân 14+9+5-7=21 semidrepte distincte. ● VI 075. Un călător descoperă lângă un izvor trei vase pe care sunt trei etichete corespunzătoare capacităţii lor. Pe primul scrie 5l, pe al doilea 7l iar pe al treilea se mai distinge doar litera l. Folosind apa izvorului şi cele două vase cum poate călătorul determina capacitatea celui de al treilea vas?

Prof. Mihai Monea , Deva Soluţie : Ideea este că numerele 5,7 sunt prime între ele , deci există

,a b∈ astfel încât 5 7 1a b+ = , deci trebuie realizate operaţii cu cele două vase pentru a se obţine 1l. Deoarece în acest caz 3 5 2 7 1⋅ − ⋅ = Atunci umplem vasul de 5l cu apă si-l golim în cel de 7l, apoi mai umplem încă o dată cu 5l si golim în cel de 7l care se umple astfel, iar în cel de 5l mai rămân 3l apă, pe care în golim în cel de 7l după ce l-am golit şi pe acesta. Apoi umplem din nou vasul de 5l din care 4l îi golim în cel de 7l şi astfel în cel de 5l rămânem cu un litru de apă. Acesta este etalonul pe care îl golim în vasul cu capacitate necunoscută. Repetăm operaţia de câte ori e nevoie până se umple vasul a cărui capacitate trebuie determinată.● VI.076. La o masă rotundă sunt 8 persoane care primesc fiecare câte 6 cărţi. Fiecare jucător poate schimba o carte cu orice alt jucător cu care nu e vecin, o singură dată. Demonstraţi că în urma efectuării tuturor schimburilor rămân cărţi care îşi păstrează proprietarul iniţial.

Prof. Mihai Monea , Deva

ww.neutr

ino.ro

43

Soluţie : Dacă jucătorii îi considerăm vârfurile unui poligon atunci

schimburile au loc pe diagonală. Sunt deci 8 5 202⋅

= schimburi în care

sunt implicate celmult 40 cărţi diferite. Dar cum sunt în total 6 8 48⋅ = cărţi , rămân cel puţin 8 cărţi în afara schimburilor. ●

Clasa a VII-a VII. 064 În triunghiul ABC , M este piciorul bisectoarei din C. Ştiind că

ABC CMBΔ Δ∼ , raportul de asemănare fiind m∈ , arătaţi că există n∈ astfel încât .m n⋅ ∈

Prof. Constantin Apostol , Rm.Sărat

Soluţie: Din ABC CMBΔ Δ∼ deducem AB BC CA

CM MB BC= = şi deci

BCA MBC≡ , adică ABC este triunghi isoscel cu ( )( )AB AC≡ .

Aşadar şi triunghiul CMB este isoscel, cu ( ) ( ).CM CB≡ Notăm acum

, ,AM x MB y BC z= = = şi obţinem: 2 2 (1)x y z x y z xy yz y z+ +

= = ⇒ = + .

Pe de altă parte,cu teorema bisectoarei în triunghiul ABC şi bisectoarea

CM avem : 2 (2)x x y xz xy yy z

+= ⇒ = + . Din (1) şi (2) avem : x z= ,

aşadar raportul de asemănare a celor două triunghiuri este x x yy x

+= de

unde 2 2x xy y= + . Considerând această relaţie ca o ecuaţie în x ajungem

la soluţia 5

2y yx +

= de unde 1 5 .

2xy

+= Finalizarea e chiar

imediată.● VII. 067 Fie ABCDE un pentagon convex.Numim dreaptă centrată o dreaptă care trece prin centrul de greutate al unui triunghi format din trei vârfuri consecutive şi mijlocul laturii determinate de celelalte două vârfuri. Să se arate că cele cinci drepte centrate sunt concurente.

Prof. Nicolae Stăniloiu , Bocşa Soluţie: Conform cu figura de mai jos, dacă G1 şi G2 sunt centrele de grutate ale triunghiurilor EAB şi respectiv CAB, iar P-mijlocul segmentului CD şi Q-mijlocul segmentului DE atunci, aplicând reciproca teoremei lui Thales în triunghiul EMC va rezulta ca

44

se deduce că G2Q determină pe G1P raportul constant 321 =

HPHG .

Analog şi celelalte drepte centrate vor trece prin H şi deci cele cinci drepte centrate sunt concurente.■ VII. 071 Fie ABC un triunghi. Se construiesc A’, B’, C’ simetricele vârfurilor A, B şi respectiv C faţă de BC, AC şi respectiv AB. Prin A’,B’, C’ se duc paralele la BC, AC şi respectiv AB formându-se astfel triunghiul MNP ( M şi A , N şi B, C şi P situate în aceleaşi semiplane faţă de dreptele BC, AC şi respectiv AB. Să se arate că punctele M, A, mijlocul D al lui [BC] şi mijlocul E al lui [NP] sunt coliniare.

Prof. Nicolae Stăniloiu, Bocşa. Soluţie:Notăm:

{ } { } { } { }, , , ,BC MP G BC MN F AB NP T AC NP Z= = = =∩ ∩ ∩ ∩

{ } { },CC AB X BB AC Y′ ′= =∩ ∩

, linie , linie .

CC F BX mijlocie FB BCFD DG

BB G CY mijlocie BC CG′Δ − ⇒ = ⎫

⇒ =⎬′Δ − ⇒ = ⎭

: ;FB NTsiCG ZP NE EP si TE EZ

MNP ME mediana FG NP D ME= = ⇒ = = ⎫

⎬Δ − ⇒ ∈ ⎭

ATZΔ , AE mediană, BC TZ ⇒ D AE∈ . ●

G1G2//MC şi 3121 =

ECGG (1)

Deoarece QP este linie mijlocie în triunghiul EDC rezultă că

QP//EC şi ECQP21

= (2)

Din (1) şi (2) rezultă că

G1G2//QP şi 3221 =

QPGG

, de unde

dacă notăm { } QGPGH 21 ∩=

H

A B

C

D

E

M

G1

G2

P

Q

ww.neutr

ino.ro

45

VII. 073 Fie trapezul ABCD cu baza mare AB şi O intersecţia diagonalelor. Fie 1 2 3 4, , ,G G G G centrele de greutate ale

, , ,AOB BOC COD DOAΔ Δ Δ Δ . Demonstraţi că 1 3 2 4G G G G> dacă şi

numai dacă ( ) 090 .m AOB <

Prof. Mihai Monea , Deva Soluţie : Fie , , ,M N P Q mijloacele laturilor , , ,AB BC CD DA . Atunci

, ,M O P sunt coliniare şi 1 3 1 323

= + =G G G O OG MP . În

2 42,3 3

AB CDOQM G G NQ +Δ = = . Atunci

( )m AOB < 90 ⇔ OM >2

AB şi DC>2

OP >2+

⇔AB CDMP

1 2 2 43 3>2 2

⇔ G G G G 1 3⇔ G G > 2 4G G .

VII. 075 Un triunghi are aria 21m .Îl împărţim în patru triunghiuri ducând cele trei linii mijlocii. Apoi fiecare triunghi astfel obţinut îl împărţim în patru triunghiuri tot cu ajutorul liniilor mijlocii ş.a.m.d. După câte astfel de împărţiri aria unui triunghi mic va fi mai mică de 21mm ?

Prof. Mihai Monea , Deva Soluţie : Printr-o împărţire cu ajutorul liniilor mijlocii se obţin 4 triunghiuri congruente deci de aceeaşi arie. Printr-o împărţire obţine 4 triunghiuri , apoi fiecare triunghi se împarte în alte patru etc, deci

24 triunghiuri iar după n împărţiri vor fi 4n triunghiuri. Fiecare va

avea aria 3 6 2 21 1 10 14 4n nm mm mm= ⋅ < . Deci 610 4n< şi apoi 310 2n<

Numărul căutat este cea mai mică soluţiei a acestei inecuaţii, adică 10n = ●

Clasa a VIII-a

VIII 064 Există n∈ pentru care 3 2

3

23

n n nn n+ + +

∈− +

?

Prof. Constantin Apostol , Rm.Sărat

46

Soluţie : Observăm că oricare ar fi a∈ la numitor obţinem numărul 3 3 ( 1)( 1) 3a a a a a− + = − + + care se divide cu 3. Se arată acum că

numărul 3 2 2a a a+ + + nu se divide cu 3 pentru nici un întreg a.Pentru aceasta se consideră pe rând a de forma 3 ,3 1,3 2k k k+ + şi astfel numărul dat nu poate fi întreg. ● VIII 067 O piramidă are toate muchiile congruente. Arătaţi că baza ei nu poate fi un poligon cu şapte laturi. Soluţie : Presupunem că există o piramidă [ ]1 2 7...VA A A cu vârful V,

baza [ ]1 2 7...A A A şi toate muchiile congruente. Notăm cu O proiecţia ortogonală a punctului V pe planul bazei.Din congruenţa unor triunghiuri dreptunghice avem imediat : 1 2 7...OA OA OA= = = şi astfel poligonul

1 2 7...A A A este inscriptibil, iar O este centrul cercului circumscris poligonului. Deoarece laturile poligonului sunt congruente deducem că poligonul estre regulat. Acum oservăm însă că latura poligonului este mai mică decât latura hexagonului regulat înscris în acelaşi cerc: 1 2 1A A OA<

sau 1 1VA OA< ceea ce este fals deoarece în triunghiul dreptunghic 1VOA avem 1 1VA OA> ● VIII 070 a) Fie tetraedrul ABCD şi punctele M şi P mijloacele muchiilor

[BD] respectiv [CD] şi AB AD⊥ . Dacă 12AMP BCDP P= , arătaţi că

( )AD ABC⊥ . b)Dacă, în plus, măsura unghiului planelor (BCD) şi (ABC) este de 600,

găsiţi valoarea raportului dintre ariile triunghiurilor AMP şi ABC. Prof. Irina Avrămescu, Reşiţa.

Soluţie: a) 2

BDAM = , 2

BCMP = . 2

BCDAMP

PP = 2

CDAP⇒ =

AD AC⇒ ⊥ . Cum şi AD AB⊥ , deducem ( )AD ABC⊥

b) AMP BDCΔ Δ∼ ⇒ 14

AMP

BDC

AA

= 0cos 60ABC BDCA A= ⋅ ⇒

2BDC ABCA A= ⋅ Finalizare: 1 .2

AMD

ABC

AA

= ■

ww.neutr

ino.ro

47

VIII 075 Arătaţi că aria figurii obţinute prin proiecţia unui tetraedru

regulat de muchie a pe un plan este cel mult egală cu 2

.2a

Prof. Ramona Călin , Reşiţa Soluţie : Cazul I : (ABC)|| α => proiecţia tetraedrului pe planul α este

∆A’B’C’ echilateral şi are aria 24

3 22 aa≤

Cazul II: BC||α => proiecţia tetraedrului pe planul α este patrulaterul

ortodiagonal A’B’C’D’ cu aria 22

cos 22 aa≤

⋅ θ , unde θ este măsura

unghiului dintre AD şi α Cazul III: dacă 1θ este măsura unghiului dintre AD şi planul α 2θ este măsura unghiului dintre BC şi planul α β este măsura unghiului dintre A’D’ şi B’C’

atunci aria proiecţiei este 22

sincoscos 221

2 aa≤

⋅⋅⋅ βθθ . ●

VIII 078. Determinaţi numărul submulţimilor mulţimii { }1,2,3,...,63 care au suma elementelor egală cu 2007 .

Prof. Lucian Dragomir , Oţelu-Roşu Soluţie: Deoarece 1 2 3 ... 63 2016+ + + + = şi 2016 2007 9− = , vom număra câte submulţimi ale mulţimii date au suma elementelor egală cu 9; acestea se pot efectiv şi enumera(în acest caz ! ) : { } { } { } { } { }9 , 1,8 , 2,7 , 3,6 , 4,5 şi acum cele cu câte trei elemente :

{ } { } { }1,2,6 , 1,3,5 , 2,3,4 .Avem deci 8 submulţimi,iar numărul cerut este tot 8 , submulţimile căutate fiind complementarele celor anterioare în raport cu întreaga mulţime.■

Clasa a IX-a IX . 056 Determinaţi progresiile aritmetice 1( )n na ≥ de numere naturale cu raţia mai mare decât 2 şi pentru care

2 2 2 22 1 3 1 1 3 2

21

( ) ( ) ... ( ) ( ) ...

... ( ) 980.n

n n

a a a a a a a a

a a −

− + − + + − + − +

+ − =

Prof. Nicolae Stăniloiu , Bocşa 48

Soluţie: Expresia: ( )2ij aa − se mai scrie: ( ) ( ) 222 rijaa ij −=− unde r este raţia progresiei. Deoarece r este natural iar r2 trebuie să dividă 980 va rezulta că r2=49 sau r2=196. Cea mai mare diferenţă din suma considerată este n-1 şi deci, dacă r2=49 atunci ( ) 201 2 <−n ceea ce înseamnă 5≤n . Prin verificări directe se obţine n=4. Dacă r2=196 atunci ( ) 51 2 <−n , adică 3≤n şi nu se obţine nici o valoare convenabilă pentru n. Deci orice progresie formată din 4 numere şi având raţia 7 verifică ipoteza. ■ IX . 058 Determinaţi funcţiile * *:f → care satisfac proprietăţile : a) (3) 9f = ;

b) *( ) ( ) ( ) ( ), , , .xf x yf y f x f y x y x yx y−

= + ∀ ∈ ≠−

Prof. Lucian Dragomir , Oţelu-Roşu Soluţie: Pentru 1x y= + ajungem imediat la

*( 1) ( ) ,1

f y f y yy y+

= ∀ ∈+

, de unde avem : ( )f y k y= ⋅ .Folosind a)

obţinem ( ) 3f y y= ⋅ ( Verificare ! ) ■ IX . 066 Determinaţi numerele întregi x , y pentru care numerele

2yx + şi 2xy + sunt întregi consecutive . Prof. Lucian Dragomir , Oţelu-Roşu

Soluţie: În primul rând, , 0.x y ≥ Într-adevăr,dacă 0y < şi 2 2y yx a a x+ = ∈ ⇒ = − ∈ , fals : ( )2 0,1 .y ∈ La fel pentru x .

Dacă 0 1y x= ⇒ + şi 2x sunt consecutive doar pentru 2;x = în rest

avem 2 1x x> + ( Bernoulli sau inducţie ) . Pentru 0y ≠ ,din 2 2 1x yy x+ − − = , presupunând că x y n− = este pozitiv, putem scrie 2 (2 1) 1 .y n n− = + Pentru 1n = avem imediat 1, 2.y x= = Pentru 2n = reobţinem soluţia 0, 2.y x= =

Pentru 3n ≥ se arată că 2 2y ≥ şi 2 1 1n n− > + ( inducţie) , deci nu avem soluţii. Dacă 0n < , notăm 0y x m− = > şi urmează un raţionament asemănător. ■

ww.neutr

ino.ro

49

Clasa a X-a X . 056 Se consideră mulţimile

{ } { }2 2/ 2 0 , / 4 0A x x x m B x x x m= ∈ + − = = ∈ − + = .

Determinaţi m∈ ştiind că există ,a b A B∈ ∪ cu 0.a b+ = Prof. Lucian Dragomir , Oţelu-Roşu

Soluţie : Folosind relaţiile lui Viete deducem ,a A b B∈ ∈ (sau invers), adică nu pot fi amândouă în aceeaşi mulţime !...Înlocuiri imediate conduc la 2 22 0, 4 0a a m b b m+ − = − + = , de unde 2 2 2 4 0a b a b+ + − = . Folosim acum 0a b+ = şi ajungem la o ecuaţie în a (de exemplu). Calcule imediate conduc la { }0,3 .m∈ ■ X . 061 Rezolvaţi sistemul

⎪⎩

⎪⎨⎧

+++=++++

++= −−−++

)333(log)33(log)3(log3333

233

233

1113

zzzyyx

zyxzyx

Prof. Mihai Monea , Deva

Soluţie : Prima ecuaţie se scrie 3

3333333zyx

zyx ++= şi ţinând cont

de situaţia în care avem egalitate în inegalitatea mediilor deducem că .zyx == Ecuaţia a doua devine cu 333)33)(3( 232 +++=+++ xxxxxx

soluţiile 2,1 21 −=−= xx . Soluţiile sistemului sunt )2,2,2(),1,1,1( −−−−−−

X . 062 Fie 20, < <2 2π π

π⎧ ⎫⎛ ⎞= ∈⎨ ⎬⎜ ⎟

⎝ ⎠⎩ ⎭D x tg x . Demonstraţi că pentru orice

∈x D avem relaţia: ( )tg ctg x > ( )ctg tg x . Prof. Mihai Monea , Deva

Soluţie : Condiţiile din ipoteză ne asigură că expresiile ( )tg ctg x şi

( )ctg tg x sunt corect definite şi pozitive. Atunci ( )tg ctg x > ( )ctg tg x

⇔ ( )tg ctg x >2π⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

tg tg x ⇔ ctg x >2π− tg x . Ultima egalitate este

adevărată deoarece 2 2+ ≥ =tg x ctg x tg xctg x >2π . ●

50

Clasa a XI-a

XI. 065 Dacă f : [0,1] → [1,2] este o funcţie continuă, arătaţi că există

( )0,1t∈ aşa încât t

tf 1)( = .

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu Soluţie: Dacă (1) 1f = , problema este rezolvată . Dacă (1) 1f > , considerăm funcţia [ ]: 0,1 , ( ) ( ) 1g g x xf x→ = − , care este continuă. Deoarece (0) 0, (1) (1) 1 0g g f< = − > , deducem că există

( )0,1t∈ astfel încât ( ) 0g t = . Concluzia e imediată. ■ Clasa a XII-a

XII 060 Considerăm un corp ( , , )+ ⋅K şi , ∈a b K . Demonstraţi că se poate construi pe K o structură de corp care să admită cele două elemente ca elemente neutre.

Prof. Mihai Monea, Deva Soluţie: Construim o funcţie : , ( )→ = +f K K f x mx n cu condiţiile

(0) , (1)= =f a f b . Prin calcul avem ( ) ( )= − +f x b a x a . Funcţia este bijectivă deci putem face cu ea transport de structură astfel încât legile căutate sunt : ( ) ( )( )1 1− −⊕ = +z t f f z f t şi ( ) ( )( )1 1− −⊗ =z t f f z f t . Se

verifică uşor axiomele corpului. ● XII 061 Considerăm un inel A de caracteristică impară notată 2 1+k şi

,a b două elemente care comută între ele cu proprietatea că există *, ∈m n impare astfel încât 1= =m na b . Demonstraţi că elementul +a b

este inversabil. Prof. Mihai Monea, Deva

Soluţie: Avem 2 2

(1 1)(1 1 1 .. 1) 1 1 1 ... 1 1+

+ + + + + = + + + + =kk

deci 1 1+ este

element inversabil. Pe de altă parte pentru orice ∈p impar avem

( )( )1 2 1..− − −+ = + + + +p p p p pa b a b a a b b . Alegem =p mn şi atunci relaţia

de mai sus devine ( )( )1 2 11 1 ..− − −+ = + + + +mn mn mna b a a b b deci +a b este

inversabil. ●

ww.neutr

ino.ro

51

Concursul Judeţean al Revistei de Matematică Caraş-Severin , Ediţia a III -a

Regulament Fiecare elev trebuie să rezolve (singur!; altfel e posibil să vă treziţi calificaţi la concurs şi acolo să nu faceţi mare lucru → daţi naştere la întrebări şi credem că nici n-o să vă simţiţi prea bine), aşadar să rezolve cât mai multe probleme de la clasa sa , de la clasa precedentă sau de la orice clasă superioară (am avut şi anul acesta multe situaţii şi de acest gen). Redactaţi îngrijit fiecare problemă pe câte o foaie separată (enunţ + autor + soluţie + numele vostru), completaţi talonul de concurs de pe ultima pagină a revistei şi trimiteţi totul într-un plic (încercaţi să fie unul ceva mai mare, format A5 cel puţin), scrieţi chiar pe plic, în colţul din dreapta sus, clasa şi trimiteţi plicul la adresa : Prof. Lucian Dragomir, Grup Şcolar Industrial Oţelu-Roşu, str.Republicii 10-12, 325700, Oţelu-Roşu, Caraş-Severin, cu menţiunea “probleme rezolvate”(tot în colţul dreapta sus). Insistăm asupra trimiterilor în plic (nu în folii de plastic) şi asupra respectării cu stricteţe a termenelor finale indicate de fiecare dată - plicurile primite după data limită nu vor fi luate în considerare.

După data limită de trimitere a soluţiilor, acestea sunt evaluate şi în numărulul următor al revistei vor fi publicaţi toţi rezolvatorii cu punctajele obţinute. La ediţia a III-a a concursului vor fi selectaţi concurenţii în funcţie de punctajele obţinute din rezolvarea problemelor publicate în numerele 19, 20, 21 şi 22 ale revistei noastre. În jurul datei de 1 februarie 2008 se va întocmi clasamentul general (prin însumarea punctelor obţinute) şi astfel primii clasaţi (în jur de 10 de clasă şi care au minim din jumătatea punctajului maxim posibil) vor fi invitaţi, împreună, ca şi la ediţia precedentă, să participe la concurs; acesta va avea loc tot la începutul lunii februarie într-un oraş care va fi anunţat în timp util . Subiectele vor fi alese tot din probleme de genul RMCS sau G.M. sau ceva cât de cât nou. Spor la treabă tuturor! (Informaţii suplimentare se pot obţine la: prof. Lucian Dragomir, tel: 0255/530303 sau 0722/883537). Notă: Rugăm toţi colaboratorii care ne trimit probleme propuse (obligatoriu cu soluţii !), note, articole, etc., să tehnoredacteze materialele pe calculator şi să le ataşeze ca fişier la mesajul lor, apoi să folosească adresa: lucidrag@yahoo.com (cu menţiunea: materiale pentru RMCS ).

52

Probleme propuse (termen limită de trimitere a soluţiilor: 1 septembrie 2007)

Clasa a IV-a

IV. 071 Calculaţi suma dintre deîmpărţit şi împărţitor ştiind că împărţitorul este cel mai mic număr par scris cu trei cifre distincte, câtul reprezintă 2/3 din împărţitor, iar restul este cel mai mare număr scris cu două cifre.

Inst. Mariana Mitrică, Reşiţa IV. 072 Dacă din triplul unui număr natural scădeţi 34, dublaţi rezultatul pe care îl micşoraţi apoi cu 50, obţineţi anul naşterii lui Mihai Eminescu. Determinaţi numărul iniţial.

Inst. Mariana Mitrică, Reşiţa IV. 073 Suma a trei termeni este 8750. Primul termen reprezintă jumătate din al doilea termen şi un sfert din ultimul termen.

Care sunt cei trei termeni? Inst. Mariana Mitrică, Reşiţa

IV. 074 Într-o cutie sunt bile de trei culori: albe, negre şi roşii. Numai 27 dintre ele nu sunt albe, numai 35 nu sunt negre şi numai 30 nu sunt roşii. Câte bile de fiecare culoare sunt în cutie? Înv. Eufemia Jurca, Reşiţa IV. 075 Suma a două numere este 240. Dacă înmulţim primul număr cu 3, iar al doilea rămâne neschimbat, atunci suma devine 500. Care sunt cele două numere? Înv. Eufemia Jurca, Reşiţa IV. 076 A treia parte din sfertul jumătăţii unui număr este 15. Care este numărul? Înv. Eufemia Jurca, Reşiţa IV. 077 Un tată este cu 30 de ani mai mare decât fiul său , iar peste 6 ani el va avea de 4 ori vârsta fiului său de atunci. Cîti ani are fiecare în prezent ?

Înv. Georgeta Gaiţă, Reşiţa IV. 078 Ionel are de 6 ori mai multe beţişoare decât Andrei. Dacă Ionel i-ar da lui Andrei 45 de beţişoare, atunci ei ar avea acelaşi număr de beţişoare . Câte beţişoare are fiecare ?

Înv. Georgeta Gaiţă, Reşiţa

ww.neutr

ino.ro

53

Clasa a V-a V. 079 Adina a fost rugată de către mama ei să aranjeze sufrageria (care are forma unui pătrat), pentru primirea unor musafiri, cu 14 scaune, astfel încât în dreptul fiecărui perete să se găsească un acelaşi număr de scaune. Fata este nedumerită; părerea ei este că ar avea nevoie de 16 scaune sau ar trebui să aranjeze mai puţine. Voi ce credeţi, se pot aranja cele 14 scaune aşa cum cere mama sau Adina are de ce să fie nedumerită ?

* * * V. 080 Alin, Bianca, Costel şi Diana au avut de învăţat o poezie şi unul singur a învăţat-o.Profesoara de limba română i-a întrebat cine a învăţat poezia şi ei au răspuns astfel: Alin: Eu nu am învăţat poezia! Bianca: Costel a învăţat poezia! Costel: Alin a învăţat poezia! Diana: Bianca nu a învăţat poezia! Ştiind că exact unul dintre copii nu spune adevărul, găsiţi cine a învăţat poezia .

Prof.Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu V. 081 Într-o carte de limba română sunt mai mult de 40 de opere literare, dar mai puţin de 50. O treime sunt legende, un sfert sunt poezii, iar restul sunt poveşti. Câte poezii sunt în carte?

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu V. 082 Arătaţi că dacă a este cifră nenulă, diferită de 9, numărul

( ) ( )( ) aaaa

aaan,,

,00,0−+

= este natural.

Prof. Loreta Ciulu, Reşiţa V. 083 Arătaţi că numerele A = 2+22+23+....+22006 şi B = 32+34+36+...+34006 dau acelaşi rest la împărţirea la 7.

Prof. Mariana Drăghici, Reşiţa V. 084 Într-un coş sunt de 4 ori mai multe mere decât pere. Se mai pune în coş un fruct, după care se constată că numărul merelor este de 2 ori mai mare decât numărul perelor. Câte mere şi câte pere au fost la început în coş?

Prof. Mariţa Mirulescu, Caransebeş

54

V. 085 Într-o împărţire cu rest a două numere naturale nenule se ştie că suma dintre cât, rest şi împărţitor este 18, suma dintre rest şi împărţitor este 9, iar suma dintre cât şi împărţitor este 17. Aflaţi deîmpărţitul.

Prof. Dorina Humiţa, Caransebeş

Clasa a VI-a VI. 079 În câte feluri puteţi schimba ordinea literelor din cuvântul PACE astfel încât să nu avem două vocale alăturate ?

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu VI. 080 Fie ABC un triunghi ascuţitunghic şi M un punct al laturii BC. Din M se duce perpendiculara MN pe AC şi se prelungeşte cu un segment NP congruent cu MN. Tot aşa, se duce perpendiculara MQ pe AB şi se prelungeşte cu un segment QR congruent cu MQ. Să se aleagă punctul M astfel încât linia frântă RAP să fie cât mai scurtă.

Prof. Loreta Ciulu, Reşiţa

VI. 081 Calculaţi suma: 3 7 13 21 133...2 6 12 20 132

S = + + + + +

Prof. Mariana Drăghici, Reşiţa VI. 082 Să se afle numerele naturale x, y din proporţia

2 2

2 2

2 3 331 3

xy a ba b

− +=

+ , unde numerele a, b sunt direct proporţionale cu

numerele 3 şi 2. OLM /1996 ,Iaşi

VI. 083 Să se afle cel mai mic număr natural de forma kaaa ...7 21 , care

este de 5 ori mai mare decât numărul 7...21 kaaa , unde 1≥k . ***

VI. 084 Cuiele cu ajutorul cărora se fixează potcoavele se numesc caiele. Pentru potcovirea cailor unei ferme se folosesc, la fiecare copită, acelaşi număr de p caiele, 2 6.p≤ ≤ Se constată că, după ce au fost potcoviţi 25% din cai , au fost folosite 444 de caiele. a) Determinaţi p ; b) Aflaţi numărul cailor de la fermă.

OL Bucureşti 2007

ww.neutr

ino.ro

55

VI. 085 a) Fiecare număr din mulţimea { }1,2,3,..., 4010 se împarte cu rest la 2007. Calculaţi suma câturilor obţinute. b) Luăm un număr natural nenul q ţi împărţim cu rest fiecare număr din mulţimea { }1,2,3,...,3q la q . Determinaţi q pentru care suma tuturor câturilor astfel obţinute este 2007.

OL Bucureşti 2007 Clasa a VII-a

VII. 079 Să se calculeze:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +n

nn...4

443

332

22.

Prin [a] se înţelege partea întreagă a numărului real a.

Prof. Loreta Ciulu, Reşiţa

VII. 080 Demonstraţi egalitatea *2 2 2 2

2 1 1 1 ,( 1) ( 1)k k

k k k k+

= − ∈⋅ + +

a) Găsiţi cea de a 2007-a zecimală a numărului 48 A, unde:

3 5 7 47...1 4 4 9 9 16 529 576

A = + + + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Prof. Mariana Drăghici, Reşiţa VII. 081 Numerele întregi sunt colorate cu alb şi violet. Suma a două numere de culori diferite este un număr violet, iar produsul lor este alb. Cum este colorat numărul care se obţine înmulţind două numere colorate în alb?

***

VII. 082 Determinaţi numerele întregi x şi y astfel încât: 132=−

yx.

O.L.Tulcea, 2007 VII. 083 Considerăm mulţimea { }1,3,5,7,9,11A = . Determinaţi toate perechile de mulţimi ( , )E F care îndeplinesc simultan condiţiile: a) E şi F au acelaşi număr de elemente; b) E F A∪ = ; c) pentru orice x A∈ , dacă x E∈ , atunci ( 2) .x F+ ∈

OL Bucureşti 2007 56

VII. 084 Se notează cu I centrul cercului înscris într-un triunghi ABC. Mediatoarea segmentului [ ]BI intersectează latura [ ]BC în E,

mediatoarea segmentului [ ]CI intersectează latura [ ]BC în F, iar cele două mediatoare se taie în P.

a) Arătaţi că triunghiul IEF este asemenea cu triunghiul ABC; b) Arătaşi că punctele A ,I , P sunt coliniare.

OL Bucureşti 2007 VII. 085 La un concurs de matematică participă n elevi , 5n ≥ , iar proba conţine 5 probleme. Fiecare elev a rezolvat exact 3 probleme. Pentru orice grup de 5 elevi există o aceeaşi problemă rezolvată de fiecare elev din grup. Să se arate că există o aceeaşi problemă rezolvată de toţi elevii.

Concurs Iaşi 2007 Clasa a VIII-a

VIII. 079 Fie DCBAABCD ′′′′ un paralelipiped dreptunghic. Fie M un punct al muchiei AA ′ . Paralelipipedul se intersectează cu un plan α determinat de muchia BC şi punctul M.

a) Determinaţi natura secţiunii. b) Cum se modifică aria ei când punctul M descrie muchia AA ′de la

A la A′ ? Fie AB=a, BC=b, AA ′=c. Aflaţi valorile extreme ala ariei. Prof. Loreta Ciulu, Reşiţa

VIII. 080 Să se arate că dacă k este cifră diferită de 1 şi 0 atunci ecuaţia kyx =− 25 11 nu are soluţii în mulţimea numerelor întregi.

Prof. Nicolae Stăniloiu , Bocşa VIII. 081 Să se determine valorile reale ale lui m pentru care ecuaţia

2 ( 1)x x mx x− = + are trei rădăcini reale diferite. ***

VIII. 082 Să se arate că pentru , 2n n∀ ∈ ≥ numărul 5 4 1A n n= + + nu este prim.

*** VIII. 083 Să se determine numerele întregi ,x y pentru care 2 2.x y x xy y+ = − +

*** VIII. 084 Fiecare punct din spaţiu este colorat alb sau violet. Arătaţi că printre pătratele de latură 1 din spaţiu există cel puţin unul cu vârfurile violet sau cel puţin unul cu trei vârfuri albe.

***

ww.neutr

ino.ro

57

VIII. 085 a) Arătaţi că oricare ar fi n∈ , numărul 2 2 2007n n+ + nu este pătrat perfect; b) Fie k un număr natural par , 4.k ≥ Sa se arate că există un număr natural n astfel încât numărul 2 2n n k+ + să fie pătrat perfect.

Concurs Iaşi 2007 Clasa a IX-a

IX. 068 Demonstraţi că dacă centrul cercului circumscris unui patrulater inscriptibil este centru de greutate al patrulaterului atunci patrulaterul este dreptunghi.

Prof. Nicolae Stăniloiu, Bocşa

IX. 069 Să se demonstreze inegalitatea: 1222 222 ≤

++

++

+ cabab

abcbc

bacac

,

oricare ar fi a, b, c numere reale pozitive. Prof. Nicolae Stăniloiu, Bocşa

IX. 070 Să se rezolve ecuaţia: [ ]

1 1x x

⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦ , unde [ ]a reprezintă partea

întreagă a numărului real a . ***

IX. 071 Găsiţi x∈ pentru care fracţia 2

3 13 1

xx−+

are valoare maximă.

*** IX. 072 Să se arate că pentru orice triunghi având laturile a,b,c şi aria S este adevărată inegalitatea 2 2 2 4 3a b c S+ + ≥ ⋅ . ***

Clasa a X-a X. 068 Se consideră o mulţime M de numere reale care satisface proprietăţile: a) 0 M∈ ; b) Dacă ( )0,x y+ ∈ ∞ şi 2log ( )x y M+ ∈ , atunci 3x M∈ şi

4log y M∈ . Să se arate că 20072008

M∈ .

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu X. 069 Fie npk ≤≤ numere naturale. a) Să se demonstreze egalitatea:

( ) pn

kpn

kk

kpknk

pknk

pknk CCCCCCCCC =−+−+− −−

−+−−++ 1...2

221

110

b)Demonstraţi că: ( ) 11...22

211

10 =−+−+− −−−+

−−++

knn

kk

knknk

nknk

nknk CCCCCCCC

***

58

X. 070 Să se calculeze suma : 1 1

.n k

jk

k jk C

= =

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑

***

X. 071 Dacă 0,2πα ⎡ ⎞∃ ∈ ⎟⎢⎣ ⎠

astfel încât a tgα= , să se calculeze suma:

1 3 2 5 3 7 ...n n n nC a C a C a C− ⋅ + ⋅ − ⋅ + ***

X. 072 Se consideră într-un reper cartezian xOy un triunghi ABC astfel încât picioarele înălţimilor din B şi C sunt puncte fixe pe axa Ox, iar vârful A este mobil pe axa Oy. Să se determine locul geometric al ortocentrului triunghiului ABC.

*** Clasa a XI-a

XI. 068 Se consideră mulţimea M a matricelor cu 4 linii şi 5 coloane în care toate elementele sunt numerele – 1 şi 1, iar produsul numerelor din fiecare linie şi din fiecare coloană este – 1. Să se determine numărul elementelor mulţimii M.

*** XI. 069 Se consideră două funcţii , :f g → continue în *n∈ şi care satisfac [ ]( ) ( ), .g x x f x x= ⋅ ∀ ∈ Să se calculeze ( ).f n

*** XI. 070 Se consideră o funcţie derivabilă :f → pentru care există lim ( )x

f x a→∞

= ∈ şi există /lim ( ).x

x f x→∞

⋅ Să se determine /lim ( ).x

x f x→∞

⋅

***

XI. 071 Să se rezolve inecuaţia 1 1arcsin arccos 0.x x− ≥ ***

XI. 072 Să se arate că 5: , ( )f f x x x→ = + este bijectivă şi, notând cu g inversa sa, să se calculeze ''(2).g

*** Clasa a XII-a

Dorim ca problemele clasei a XII-a să poată fi rezolvate şi de elevii din clasele anterioare, facem următoarea precizare:

ww.neutr

ino.ro

59

Spunem că :F I → este o primitivă a unei funcţii :f I → dacă şi

numai dacă ) este derivabilă pe I) '( ) ( ),

a Fb F x f x x I

⎧⎨ = ∀ ∈⎩

XII. 068 Fie : , ( ) 2F F x x x a x b→ = − + − . Determinaţi ,a b∈ astfel încât F să fie primitivă a unei funcţii :f → .

***

XII. 069. Fie { }0,1,2,3M = . Definim { }

1, 3*

max , , în restx y x y

x yx y

⎧ − + < <⎪= ⎨⎪⎩

,

,x y M∀ ∈ . Rezolvaţi ecuaţia *2 2z = . ***

XII. 070. Pe mulţimea *+ definim legea " " care verifică următoarele

proprietăţi: ( ) ( ) ( ) ( ) *) , , , ,i x y z t x z y t x y z t +⋅ = ⋅ ⋅ ∀ ∈ *) 1,ii x x x += ∀ ∈ *) 1 ,iii x x x += ∀ ∈ , unde " "⋅ este înmulţirea numerelor raţionale.

Calculaţi ( ) ( )18 12 21 28α = ***

XII. 071. Se consideră funcţia [ ): 1,f ∞ → cu proprietăţile:

a) ( )1 1f =

b) ( )( ) [ )( ) ( ) , , 1,y f xy f x F y y x y− = + ∀ ∈ ∞ , unde F este o

primitivă a lui f pe [ )1,∞ .

Calculaţi ( ) (1)nf . ***

XII. 072. Studiaţi dacă [ ][ ]

( )2

0,1: 0,1 , ( ) max

yF F x x y

∈→ = − poate fi

primitivă a unei funcţii [ ]: 0,1f → ***

60

Anunţ: Rugăm şi pe această cale membrii Filialei Caraş-Severin ai SSMR să achite, până în data de 12 iunie, la responsabilii de zonă, cotizaţia pe anul 2007. (15 RON. Până la ora apariţiei am primit doar de la zona Caransebeş). Comitetul Filialei

Rubrica rezolvitorilor (punctaje realizate pentru ediţia a III a a Concursului RMCS)

Insistăm asupra redactării clare, riguroase, asupra justificării complete a rezultatelor obţinute

Clasa a III-a

Liceul Hercules Băile Herculane (Înv. Felicia Adriana Laitin) Urdeş Florin 103, Sgîncă Iustin Ştefan 82, Moagă Alecsandru 158, Marcu Laura 124, Urzică Ionuţ Sorin 113, Căpăţână Alexandra Maria 95, Ştefan Răzvan Bogdan 75. Şcoala Generală 2 Reşiţa (Înv. Florica Boulescu) Neaţu Monica 87, Imbri Alexandru 20, Damian Dario 20, Vasilovici Camil Robert 30, Dăescu Vanesa 30, Ursul Larisa Iasmina 40, Popescu Vlad Şerban 40, Ciobanu Anca 60. Şcoala Teregova (Înv. Maria Lăzărescu) Berzescu Ilie Adrian 40

Clasa a IV-a

Liceul Hercules Băile Herculane (Înv. Doina Zah, Floarea Kuszay) Domilescu Manuel Ilie 84, Dobreanu Răzvan 97, Şandru Ilie Daniel 118, Gherghina Liviu 117, Dancău Anca Ionela 118, Susana Ionuţ Emanoil 123, Dimcea Alexandra 123, Coman Daniel 123, Torok Bogdan 123, Ciopec Oana 123, Mihart Georgiana 115, Ausmann Adelina 120, Cosma Iulia 103, Ferescu Liana 115, Şuşară Bianca 85, Bălaj Denisa Maria 118, Rabota Alexandru 123, lozovanu Dumitru 123. Şcoala Berzasca (Înv- Nicoleta Jugănaru) Vulpescu Iulia 50 Şcoala Broşteni (Inst. Ionela Popa) Pelian Popa Dragoş 95 Şcoala Generală Dalboşeţ (înv. Purea Emilia) Curiţa Ileana 40 Liceul Traian Doda Caransebeş (Înv. Marinela Galescu, Mariana Andraş), Dragomir Ioana Ştefania 70, Ionescu Cristian Ionuţ 40 Şcoala Generală 2 Reşiţa (Înv. Eufemia Jurca, Înv. Aurica Niţoiu) Rada Simina 97, Manciu Emilian 65, Lăvan Iasmina 35, Mihai Radu Bogdan

ww.neutr

ino.ro

61

85, Codilă Silvana 45, Frenţiu Adrian Ramon 45, Borozan Antonio 35, Feraru Carla 70, Iordănescu Andreea 115, Vîlceanu Vlad 90, Şandru Bogdan 70, Blaga Isabel 50, Perian Cezara 30, Stanca Andreea 60 . Şcoala Generală nr. 9 Reşiţa (Înv. Margareta Filip) Peptan Andrei 125 Şcoala Generală nr. 1 Oraviţa (Înv. Merima Velcotă) Gheorghişan Călin 125, Pîrvu Ancuţa Iulia 125 Şcoala Generală 3 Oţelu-Roşu (Instit. Simona Petrila) Kocsis Laura Celine 125, Ilin Ana-Maria 125, Băilă Cristina 127, Românu Nicoleta 127. Liceul Pedagogic Caransebeş (Înv. Ion Ritta) Bivolaru Iulia 125

Clasa a V-a Şcoala Generală 1 Anina (Prof. Marin Constantin Cleşiu) Tiron Romina 30, Bardaş Alexandra 30 Şcoala Bănia (Prof.Iancu Cleşnescu) Odobaşa Daniel 314 Şcoala Bozovici (Prof. Iosif Găină, Maria Bololoi) Vrancea Andreea 116, Borchescu Eugen 85, Ştefan Ana 95, Şcoala Generală 2 Caransebeş (Prof. Carina Corîci) Caraiman Lia 70 Liceul Pedagogic C.D.Loga Caransebeş (Prof. Dorina Tuvenie, Dorina Humiţa) Ştefănigă Claudiu 125, Huian Cristina 125, Ştirbei Daiana 125, Pop Silvia 185, Ban Ioana 115, Mucenica Lorena 95, Barcan Alexandra 75. Şcoala Ciclova Română (Prof. Geta Mâşcoi) Măran Budo Cristian Samuel 218, Chisăliţă Cătălin 185, Şcoala Generală Dalboşeţ (Prof. Pavel Rîncu) Băcilă Alexandru 58, Careba Denisa 85, Şcoala Lăpuşnicu Mare (Prof. Iosif Găină) Chera Patricia 70, Ungureanu Daniel 70 Şcoala Generală nr. 1 Moldova Nouă (Prof. Marioara Radosavlevici) Craiovan Andreia 67. Şcoala Generală nr. 3 Moldova Nouă (Prof. Sânefta Vladu) Lupulovici Silvana 40 Grup Şcolar Moldova Nouă (Prof. Vasilica Gîdea) Oprea Adelina 130, Tarsoly Carla 130, Beloia Marinela 137, Păunovici Rebeca 135 Şcoala Generală 2 Reşiţa (Prof. Mariana Drăghici) Ţeudan Adina 112, Drăghici Livia Liliana 228, Aghescu Monica Elena 105 Şcoala Generală nr. 9 Reşiţa (Prof. Irina Avramescu, Prof. Vasile Chiş, Prof. Ion Belci) Peptan Alexandru 87, Colgea Alexandru 70, Hrincescu

62

Teodor 126, Popescu Ovidiu 40, Lazăr Silviu Ioan 105, Muscai Lorena 182, Zeman Andrei Miodrag 47, Zima Marius 50. Şcoala Generală nr. 1 Oraviţa (Prof. Camelia Pîrvu, Prof. Marian Bădoi) Săcrieru Andreea-Marta 95, Brădeanu Simona Ştefania 50, Adam Bogdan 55, Serafin Dennis George 175, Vucu Paul 50, Marocico Flavius 95. Şcoala Generală 1 Oţelu-Roşu (Prof. Heidi Feil) Pop Cristian Ionuţ 208, Radu Ionela 194, Tuştean Patricia 107, Stan Corina Larisa 50, Butoi Armin 50, Muntean Lavinia Mihaela 94, Bidilici Răzvan Marian 136 Şcoala Generală 3 Oţelu-Roşu (Prof.Felicia Boldea) Cărăuşu Robert 203, Băilă Diana 193, Tănasă Raul 215, Preda Gabriela 215. Grup Şcolar Industrial Oţelu-Roşu (Prof. Iulia Cecon) Lazăr Raluca 79, Vărgatu Alina 110, Gherăescu Alina 68, Oprea Filip Emanuela 68.

Clasa a VI-a Şcoala Generală 1 Anina (Prof. Livia Lath) Sârghie Bianca Flavia 36, Rotaru Ana-Maria 21, Drăgilă Patricia Elena 40. Liceul Hercules Băile Herculane (Prof . Marius Golopenţa) Talpoş Bogdan Mihai 88, Tabugan Dana 97. Şcoala Bozovici (Prof. Iosif Găină) Barbeş Cezara 80, Păunescu Alexandra 80, Nicola Alexandra 80 Liceul Traian Doda Caransebeş (Prof. Adrian Dragomir) Puşchiţă Daniel 60, Beudean Andra 40, Dorca Adrian 30, Antonescu Nicoleta 60, Bălăşoiu Bogdan 60, Rada Cristiana 60, Keleti Edith 60, Stepanescu Mihai 30, Stoicănescu Gelu 80, Popa Andreea 76 Şcoala Generală 2 Caransebeş (Prof. Carina Corîci) Bărbuceanu Florin 80, Agape Oana Gabriela 80, Dumitraşcu Andreea 80 Şcoala Generală Dalboşeţ (Prof. Pavel Rîncu) Jarcu lorena Maria 90, Marin Lidia Mădălina 90 Şcoala Generală nr. 1 Moldova Nouă (Prof. Marioara Radosavlevici) Gîrjan Laura 80 Şcoala Generală 2 Reşiţa ( Prof. Mariana Drăghici) Cernea Serena 80, Ciorogar Irina 95, Pascu Andra Diana 80 Şcoala Rusca Teregova (Prof. Sorin Ciucă) Codoşpan Florinela 42, Blaj Marinela Alisa 47, Humiţa Maria 47, Curmei Roxana 19 Şcoala Generală nr. 1 Oraviţa (Prof. Camelia Pîrvu) Pelian Popa Ioana 95

ww.neutr

ino.ro

63

Şcoala Generală 1 Oţelu-Roşu (Prof. Heidi Feil) Pîrjol Claudia 70, Buţă Cristina 70, Krokoş Lorena 158, Cîmpureanu Gilbert 106, Buţă Anamaria Diana 162, Kuhn Anne Marie 162 Şcoala Generală 3 Oţelu-Roşu (Prof. Felicia Boldea) Hinoveanu Octavian 135, Iuhasz Patricia 103, Grafenberger Andreas 105, Buzuriu George 132, Găină Petronel 132 Grup Şcolar Industrial Oţelu-Roşu (Prof. Adriana Dragomir) Dumitresc Cecilia 84, Nasta Laura 84

Clasa a VII-a Şcoala Bozovici (Prof. Maria Bololoi) Borozan Florina Elisaveta 28, Borchescu Anamaria 94 Şcoala Generală nr. 9 Reşiţa (Prof. Irina Avramescu) Filip Larisa 30, Kormos Nicholas 40 Şcoala Rusca Teregova (Prof. Sorin Ciucă) Banda Vasile 18 Liceul Pedagogic C.D.Loga Caransebeş (Prof. Dorina Humiţa) Semenescu Anca 157, Mihai Cristian 50

Clasa a VIII-a Liceul Pedagogic C.D.Loga Caransebeş (Prof. Antoanela Buzescu) Prunar Victor 150

Clasa a IX-a Colegiul Naţional Moise Nicoară Arad (Prof. Ioan Ioja) Vlad Adina 125 Liceul Tata Oancea Bocşa (Prof. Ioan Todor) Stăniloiu Ovidiu 120 Liceul Pedagogic C.D.Loga Caransebeş (Prof. Lavinia Moatăr) Daia Daniela 48, Moatăr Alexandra 40, Jdioreanţu Doriana 40, Miculescu David 48, Vornic Iosif 48, Colţan Călin 48, Blidariu Florentina 60, Lazăr Ion 78, Timofte Andrei 100, David Bogdan 48, Ţurcan Lucian Vlad 100, Megan Ligia 60, Milcu Roxana 90, Gurgu Caius 30, Enăşel Ion 87, Dumitrescu Otilia 50. Liceul Pedagogic C.D.Loga Caransebeş (Prof. Antoanela Buzescu) Mureşan Ana-Maria 60, Mureşan Alexandru Ioan 60. Liceul Traian Doda Caransebeş (Prof. Lavinia Moatăr, Prof. Iacob Didraga) Blidaru Mihaela 48, Ţiu Mihai 48, Cornean Luiza Doriana 47,

64

Bălulescu Bianca Veronica 60, Galamba Ionel Marinel 48, Aghescu Alina Mihaela 48, Plavă Mihaela 50. Grup Şcolar Industrial Oţelu-Roşu (Prof. Lucian Dragomir) Bugariu Dan 60

Clasa a X-a Liceul General Dragalina Oraviţa (Prof. Mihai Lazarov) Răşinariu Lucian 20 Grup Şcolar Industrial Oţelu-Roşu (Prof. Lucian Dragomir) Unguraş Dragoş 80, Buzuriu Alina 70, Dragomir Lucia 70, Beg Apostol 70, Muntean Cristian 70, Popa Roxana 70, Kurucz Iulia 70

Clasa a XI-a Liceul Traian Doda Caransebeş (Prof. Lavinia Moatăr) Popovici Daniel 53, Drăgoi Georgiana 65, Moisă Marius 20, Cojocariu Carolina 53, Aghescu Loredana 65, Roiban Florin 26, Roşca Alexandru 26, Dochin Luminiţa 20, Cărăbaş Florentina 26, Stănescu Alexandru Alvin 45, Micluţ Mihai 20, Curescu Cristian 26, Piele Cristian 38, Humişa Sorin 45, Mutuleanu Alexandra 86, Burghelea Dragoş Bogdan 38, Cuţitoi Simina 65, Ştefănuţ Paula Loredana 65, Işfănuţ Elena 65, Voinea Alexandra 60, Goga Anca 60, Guţulescu Oana Lavinia 60, Petruş Laura 50. Liceul Pedagogic C.D.Loga Caransebeş (Prof. Mariţa Mirulescu) Labo Laurenţiu 70